b5向量在轴上的射影的应用
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考
向量在轴上的射影的应用
四川省汶川县威州中学校 邓炜
新教材分别在高一、高二介绍了向量的有关概念（高一平面，高二空间），这对使用代数方法解决几何问题，提供了一个非常好的工具。
课本中（高中第二册（下B ））对向量在轴上的射影，只提出了概念，在应用方面，除了在证明三余弦定理时使用过它以外，其它应用几乎没有涉及。本文就它在求距离等方面的应用问题进行了探索。使各种距离有了统一的求法。
对于正射影，课文中是这样加以定义的：（P33）
已知向量→
--AB 和轴l ，→
e 是l 上与l 同方向的单位向量（如图）。作点A 在l 上的射影A /
，作点B 在l 上的射影B /
，则
→--/
/B A 叫做向量→--AB 在轴l 上或→
e 方向上的正射影，简称射影。课文中还给出了如下公式：
→
→→→→--==e a b a AB B A ,cos /
/
（一）求点到平面的距离：
如图，点P 为平面ABC 外一点，设向量→
a ⊥平面ABC ，则显然斜线段PA （或PB 、PC ）确定的向量→
--PA （或→
--PB 、→
--PC ）在→
a 上的射影的绝对值就是点P 到平面ABC 的距离。利用这一事实，我们可以将点P 到平面ABC 的距离问题，转化为先求平面ABC 的法向量→
a 的单位向量→
e ，然后求→--PA 在向量→e 算上的射影→
→e a ，它的绝对值即是点P 到平面ABC 的距
离，这样就避免了寻找垂足这一难点问题。
【例1】已正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离。
解：建立如图所示的直角坐标系C —xyz ，则B （4，0，0），G （0，0，2）， E （4，－2，0），F （2，－4，0）；∴→--GE =（4，―2，―2），→--GF =（2，―4，―2），→
--BE =（0，－2，0）。
设→
a ⊥平面GEF ，则显然→
a 不与z 轴垂直，故可设→
a =（x ，y ，1）， 则由→a ⊥平面GEF 0224=--=⇒⊥⇒→
--→
→--→y x GE
a
GE a
同理有：0242=--=⇒⊥→
--→
→
--→
y x GF a GF a
•A /
B /
A
B l
•P
A
C
→
a
→
e A
B C D E
F G x
z
••
解之得：31=x ，31-=y 。故→a =⎪⎭
⎫
⎝⎛-1,31,31，和它同方向的单位向量为()3,1,1111-=
→e 。 显然，→--BE 在→
e 上的射影的绝对值即点B 到平面GEF 的距离d 。 ∴点B 到平面GEF 的距离是：
()
()11
11
2
3,1,111
10,2,0=--==→
→--e BE
d 【例2】如图，△ABC 是正三角形，AA 1、CC 1都垂直于平面ABC ，且AA 1=CC 1=AB=a ，E 为CC 1的中点，求点C 到平面A 1BE 的距离。
解：建立如图所示的直角坐标系C —xyz ，则有 B ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-0,2,23a a ，A 1（0，－a ，a ），E ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0,0a ，C （0，0，0） ∴→
--B A 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a ,2,23，→--EB =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--2,2,23a a a ，→--CE =⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0,0a
。 设→a ⊥平面A 1BE ，则显然→a 不与z 轴垂直，故可设→
a =（x ，y ，1）， 则由→a ⊥平面A 1BE 02
2311=-+=
⇒⊥⇒→
--→
→--→a y a
x a B
A a
B A a 同理有：02
223=--⇒
⊥→
--→
a
y a x a EB a 解之得：23=x ，21
=y 。故→a =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,21,23，和它同方向的单位向量为(
)
2,1,3221=→e 。
显然，→--CE 在→
e 上的射影的绝对值即点C 到平面A 1BE 的距离d 。 ∴点B 到平面A 1BE 的距离是：
(
)
4
22,1,32212,0,0a
a e CE
d =
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
==→
→--。 二、求直线到与它平行的平面的距离、两平行平面之间的距离： 利用上面求到平面的距离的思路，很自然地有了下面两种结论：
1、如图，要求直线l 到与它平行的平面α的距离，只需求出平面的单位法向量→
e ，然后分别在直线和平面上任找一
•
•
A B
C
E
A 1
C 1
x
y
z
•
•
•