专训4用线段成比例法解几何问题的几种常见类型

专训4用线段成比例法解几何问题的几种常见类型名师点金:

线段成比例法在三角形、四边形、圆中有着广泛的应用，是近几年中考命题的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，有时也以压轴题的形式出现.

与三角形有关的问题

1.【2017杭州】如图，在锐角三角形ABC中，点D, E分别在边AC , AB上,

AG 丄BC 于点G, AF 丄DE 于点F，/ EAF =/ GAC.

⑴求证：△ ADE sA ABC ；

AF

⑵若AD = 3, AB = 5,求AG的值.

与四边形有关的问题

2.【2017泰安】如图，四边形ABCD中，AB = AC = AD , AC平分/ BAD，点P是

AC延长线上一点，且PD丄AD.

⑴求证：/ BDC =/ PDC ;

⑵若AC与BD相交于点

蒸邂藝初中系列方肘创新教辅领跑

I ■ T-r. _ ■

1義•型》与圆有关的问题

3.【2017滨州】如图，点E是^ ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ ABC 的外接圆O O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使/ BDM =/ DAC.

⑴求证：直线DM是O O的切线;

⑵求证：DE2= DF-DA.

直蒸邂藝初中系列方肘创新教捕领践

4•【中考襄阳】如图，AB是O O的直径，点C为O O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E, AE交O O于点D，直线EC交AB的延长线于点P,连接AC , BC ,

PB PC= 1 2.

(1)求证：AC平分/ BAD ;

(2)探究线段PB, AB之间的数量关系，并说明理由;

⑶若AD = 3，求△ ABC的面积.

(第4题)

炸蒸初中系列方肘创新教辅领跑

1. (1)证明：•/ AG 丄BC , AF 丄DE , •••/

AFE = / AGC = 90°

•// EAF = / GAC ,

:丄 AED = / ACB.

又•••/ EAD =/ CAB ,

:.△ ADE s' ABC.

⑵解：由(1)可知：△ ADE s' ABC ,

.AD AE 3

AB AC

AG — AC，…AG— AB— 5.

2. (1)证明：•/ AB = AD , AC 平分/ BAD ,

••• AC 丄BD , •/ ACD + / BDC = 90° •/

AC = AD , •/ ACD =/ ADC.

•••/ ADC + / BDC = 90°

又••• PD丄AD , •/ ADC +/ PDC = 90°

•••/ BDC = / PDC.

⑵解：如图，过点C作CM丄PD于点M.

•// BDC = / PDC , CM 丄PD, AC 丄BD ,

••• CE= CM.

•// CMP = / ADP = 90° / P=/ P, •••△

CPMs' A PD.

AD PA

设CM = CE= x,v CE : CP= 2 : 3, ••• PC=

|x.

•/ AB = AD = AC = 1 ,

答

案

由⑴可知：/ AFE = / AGC = 90°

•// EAF = / CAG ,•••△ EAF s' CAG.

AF AE AF AD 3

(第2题)

蒸邂蛊初中系列方肘创新教辅领跑

4. （1）证明：如图，连接 OC. .J PE 与O 0相切，••一0C 丄PE.

3 x 2x

1 1

解得 x =3, 即卩 CE =3.

经检验，x =3是方程的解且符合题意.

1 2

故 AE = AC — CE = 1—4=才.

3 3

3.证明：⑴如图，连接0D.

•••点E 是^ ABC 的内心, •••/ BAD =/ CAD.

••• BD = CD..・.OD 丄 BC.

又•••/ BDM =/ DAC , / DAC =/ DBC ,

•••/ BDM =/ DBC.

••• BC // DM. ••• 0D 丄 DM.

•••直线DM 是O 0的切线.

⑵如图，连接BE.

•••点E 是^ ABC 的内心,

••• DE 2= DF-DA. 即/ BAE = / BAE + / BED = / DBF = / CAE = / CBD , / ABE =/

ABE = / CBD + / CBE ,

EBD. ••• DB = DE. DAB , / BDF = / ADB ,

-旺 DB ，即 DB 2

= DF-DA. DB — DA

CBE.

（第3题）

（第4题） P

空蒸初中系列方肘创新教辅领跑

I'C

四边形 OCEH 是矩形.••• OC = HE. ••• AE

•/ OC // AE , •••△ PCOsA PEA. •• O C = PO.v A B = 3PB , AB = 2OB , •OB = 3 AE

3

OC PB + 2PB 5 PB. •• ---- - -------- - ------ _ --------- _ 一 • OC 一 5 •3+ OC 一 PB +3PB 一 8,… 一 2, 2十

PB BC ••• AB = 5. vA PBCsA PCA , / PC = AC = 2’ 1 • AC = 2BC. 在 RtAABC 中，AC 2 + BC 2= AB 2,

•••(2BC)2 + BC 2= 52

,.・.BC = >/5, • AC = 2诵. 1

• S A ABC = 2AC-BC = 5，即△ ABC 的面积为 5.

•/ AE 丄 P E ,.・. OC // AE. •••/ CAD =/ OCA. v OA = OC , •••/ OCA = / OAC. •••/ CAD =/ OAC. /• AC 平分/ BAD.

(2)解：PB , AB 之间的数量关系为 AB = 3PB.

理由如下：••• AB 为O O 的直径，•/ ACB = 90° •••/ BAC + / ABC = 90°. v OB = OC,

•••/ OCB = / ABC. v/ PCB + / OCB = 90°, •••/ PCB =/ PAC. •// P =/ P ,•••△ PCA s\ PBC. PC PA

PB= PC.A PC 2= PB ・PA.v PB PC= 1 2, ••• PC = 2PB. ••• PA = 4PB. ••• AB = 3PB. ⑶解：过点O 作OH 丄AD 于点H ,如图, AH = 2A D = 3 OC.