第二章 单纯形法
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第二章 单纯形法
最小比值规则
当确定进基变量后, 当确定进基变量后,以进基变量的系数列向量 中的正数为分母, 中的正数为分母,以相应的方程右端常数为分子求 最小比值,所得到的最小比值的分母就是主元 主元. 最小比值,所得到的最小比值的分母就是主元.主 元所在的方程中的基变量就是离基变量 离基变量. 元所在的方程中的基变量就是离基变量.即:
bi bl min α ik > 0 = a ik a lk
令新的非基变量 x3 = x 4 = 0 ,得到新的 基本可行解: 基本可行解: T 经济含义—— 经济含义—— 分别生产甲,乙产品20 20个 分别生产甲,乙产品20个,此时可获得 利润200百元. 200百元 利润200百元.
几个名词
进基, 进基,进基变量 离基, 离基,离基变量 最大检验数规则 最小比值规则 主元/ 主元/主方程 迭代(旋转运算) 迭代(旋转运算)
增加单位产品甲比乙对目标函数 的贡献值大(600>400),故先把非 的贡献值大(600>400),故先把非 ), 变成基变量, 基变量 x1 变成基变量,称为让 x1 进基, 进基变量. 进基,同时称 x1 为进基变量.
R( A) = R( A, b ) = 3 < 5
则该函数约束等式方程组有无穷多组解. 则该函数约束等式方程组有无穷多组解.
分析目标函数表达式
max z = 6 x1 + 4 x 2 + 0 x3 + 0 x 4
非基变量的系数都是正数,若将它们转换 非基变量的系数都是正数, 为基变量,目标函数值则就会可能增加. 为基变量,目标函数值则就会可能增加. 经济含义:每分别多生产一个单位产品甲, 经济含义:每分别多生产一个单位产品甲, 目标函数值分别增加6 乙,目标函数值分别增加6,4,即利润分 别增加600 600元 400元 别增加600元, 400元.
第二章单纯形法总结
得到解（0，0，0，5，4）T，y1+y2=9 选择x2为替换变量，替换y2：
- 2 3 2 2，行1-行2，行22 行3 行 2 得到解（0，2，0，1，0）T，y1+y2=1 2
0 1 0
1 1
1 0 -1
-1 1 2 0
1 2 2 -1
①
给出①的一个基解X=（XB，XN），令C=（CB，CN），则： x0=CBXB+CNXN ② XB=B-1b-B-1NXN ③ X0=CBB-1b-（CBB-1N-CN）XN ④ 若④中取XN=0，则： X0=CBB-1b是基可行解X=（XB，XN）的目标函数值。
将③和④写成矩阵形式 ： x 0 C B B 1b C B B 1 N C N X N X 1 B 1b B N B
引进新记号 x 0 xB0 , X B ( xB1 , xB2 xBm )T , 用R表示N中各列的下标集合， S {B1，B2， ，Bm }表示S中各列的下标集合 令 y 00 C B B1b y10 Y0 （ 1 ） ， B b y mc y0 j C B B1Pj c j y1 j Yi （ ） ， j R B1Pj y mj
单纯形法初始基本可行解的选择：
1、若原线性规划问题中所有约束条件均为≤形式，则松弛变 量可作为初始基本可行解。 2、若原线性规划问题中所有约束条件包括≥或=形式，则需 要人工变量法求得初始基本可行解。 标准型中最能引起目标函数值Z变化的非基变量为首选。
单纯形法入基变量的选择：
运筹学单纯形法
单纯形表
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0
Cj CB XB b 0 0 Z X3 3 X4 1 0 1 2 0 0
标准化
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 1 2 1 0 0 0 1 0
Z=x1+2x2 x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 单纯形表
Cj
1
2
0
0
单纯形法原理 单纯形表 CB XB b
z=x1+2x2 x3 =3-x1-x2 x4=1 -x2
x2进基，x4离基
X1 X2 X3 X4
3/1 11
0
1 0
1 1
1 1
2 2 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 -1 0
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2, x3, x40
x1=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,1,2,0), z=2 C (x1,x2,x3,x4)= (2,1,0,0), z=4,最优解
B
x4=0 x3=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,0,3,1), z=0
1 0
0 0
0 1
0
CB XB b 0 2 Z Cj CB XB b 1 2 Z X1 2 X2 1 4 X3 2 X2 1 2 1 1 0 0
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 0 0 0 -1 1 -1
第二章 单纯形法
求解线性规划： 求解线性规划： max z = 3x1 + 5x2 s.t. x1 ≤ 8 2x2 ≤ 12 3x1 + 4x2 ≤36 x1, x2 ≥ 0
解：将原问题转化为标准 型模型： 型模型：
Max z = 3 x1 + 5 x2 s.t. x1 + x3 = 8 x2 + x4 = 12 3x1+ 4x2 + x5 = 36 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
=0 =8 =12 =36
z
-3x1 x1 x2 3x1
+5/2x4 +x3 +1/2x4 -2x4 +x5
=30 =8 =6 =12
z +x3 x2 x1
+1/2x4 +x5 =42 +2/3x4 -1/3x5 =4 +1/2x4 =6 -2/3 x4 +1/3x5 =4
方程组形式的求解过程
max z = 10 x1 + 5 x2 3x1 + 4 x2 + x3 = 9 s.t 5 x1 + 2 x2 + x4 = 8 x ,x ,x ,x ≥0 1 2 3 4
4 在所有σj<0中，只要有一个σr<0说对应 中 说对应 的系数列向量a 的系数列向量 r ≤0，即一切 ir ≤0（i=1， ，即一切a （ ， 2，m），则该 问题无最优解，停止计 ， ），则该LP问题无最优解 ），则该 问题无最优解， 算，否则转5。 否则转 。 5 按最小检验数规则
确定进基变量x 和主列a 确定进基变量 k和主列 k；再按最小比值规 则
•转换为典则形式 转换为典则形式
运筹学单纯形法
总结：①在迭代过程中要保持常数列向量非负，这能确保基 可行解旳非负性。最小比值能做到这一点。 ②主元素不能为0。因为行旳初等变换不能把0变成1。 ③主元素不能为负数。因为用行旳初等变换把负数变成1会 把常数列中相应旳常数变成负数。
16
三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
2
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三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
2
运筹学第2章 单纯形法
所有检验数 j 0 ，则这个基本可行解是最优解。
n
z z0 j x j
j m 1
m
j ciaij c j =CTBa j c j
i 1
m
m
z0 c j x j = cibi =CBT b
j 1
i 1
✓对于求目标函数最小值的情况，只需 σj≤0
0
XB
b
x1
-1 x5 0
0
0 x4 3
1
-3 0
0
00
x2
x3
x4
0
-2 0
2
-2 1
0 10
-1 bi/aik
x5
1
0
0
29 2020/3/4
2、无界解
在求目标函数最大值的问题中，所谓无界解是指在约束条件 下目标函数值可以取任意的大。
•存在着一个小于零的检验数，并且该列的系数向量的每个元素 都小于或等于零，则此线性规划问题是无界的，一般地说此类
2x1 x2 x3 x5 2
s.t. x1 2x2
x4
3
x1,
x2 , x3, x4 , x5 0
✓添加人工变量x5来人为的创造一个单位矩阵作为基 ✓M叫做罚因子，任意大的数。 ✓人工变量只能取零值。必须把x5从基变量中换出去，否 则无解。
cj
3
2
00
CB XB
2020/3/4
14
(2)出基变量和主元的确定——最小比值规则
min
bi aik
aik
0
bl alk
确定出基变量的方法：把已确定的入基变量在各约束方程中的正的系数
运筹学02-单纯形法
反之，若经过迭代，不能把人工变量都变
为非基变量，则表明原LP问题无可行解。
19
第2章
单纯形法
2.3 人工变量法
2.3.1 大M法
在原问题的目标函数中添上全部人工变量，并令其系数 都为-M，
而M是一个充分大的正数。即
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + … + cnxn – M( xn+1 + xn+2 +…+ xn+m )
思路：由一个基本可行解转化为另一个基本可行解。 等价改写为 目标方程 max z max z = 3x1+5x2 z -3x1 -5x2 = 0 z -3x1 -5x2 x1 +x3 x1 +x3 = 8 2x2 +x4 2x2 +x4 = 12 s.t. s.t. 3x1+4x2 +x5 3x1 + 4x2 +x5 = 36 x1 ， x2 ，x3，x4，x5 x1 ， x2 ，x3，x4，x5 ≥ 0
以主列中正值元素为分母，同行右端常数为分子，求比值；
6
第2章
单纯形法
2.1 单纯形法的基本思想
(Ⅰ)
用换基运算 将X0 转化为 另一个基本 可行解 X1。
z- 3x1 -5x2 = 0 0 换基运算—— x1 +x3 = 8 ① 方程组的初等变换 目的是把主列变为 22x2 +x4 = 12 ② 单位向量：主元变 3x1 + 4x2 +x5 = 36 ③ 为1，其余变为0。 X0 = ( 0, 0, 8, 12, 36 )T z0 = 0
⑴ 当前基：m阶排列阵
第二章 单纯形法
运筹学
15
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单纯形法的求解步骤
重复步骤2~5，直到终止。
判优换基迭代
判优换基迭代 判优换基迭代 判优 最优解
运筹学Leabharlann 16华东交通大学工业工程与物流管理系
基本可行解的改进
• 换入变量的确定——最大增加原则
假设检验向量σN＝(CN- CB B-1N )=(σm+1, σm+2, …,σn), 若其中有两个以上的检验数为正，选取最大正检验数所对应的 非基变量为换入变量。 若：max{σj| σj>0,m+1≤j≤n}= σm+K 则选取对应的xm+k为换入变量。
1 0 B 0 1
2 / 5 3 / 5 1 / 5 N 6 / 5 1 / 5 2 / 5
17 / 5 b 6/5
CB (3,5), CN (2,1,1)
再转向步骤（2） 运筹学
25
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（2）检验X’=(0,0,4,0,3)T是否最优：
检验向量 N CN CB B N
1
1 / 2 1 1 / 2 N (5,2,1) (3,1) (1,4,2) 5 / 2 3 1 / 2
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单纯形法
线性规划问题的几何意义： • 凸集：没有凹入部分，内部没有空洞。实习圆、实 心球体、实心立方体都是凸集；两个凸集的交集是 凸集。 • 若线性规划问题存在可行域，则可行域是凸集。 • 线性规划问题的基可行解对应可行域的顶点。 • 若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以 在其可行域的顶点上达到最优。
由最优解判别定理，非基变量检验数σ1＝1>0， 所 以X‘=(0,0,4,0,3)T不是最优解
15
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单纯形法的求解步骤
重复步骤2~5，直到终止。
判优换基迭代
判优换基迭代 判优换基迭代 判优 最优解
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基本可行解的改进
• 换入变量的确定——最大增加原则
假设检验向量σN＝(CN- CB B-1N )=(σm+1, σm+2, …,σn), 若其中有两个以上的检验数为正，选取最大正检验数所对应的 非基变量为换入变量。 若：max{σj| σj>0,m+1≤j≤n}= σm+K 则选取对应的xm+k为换入变量。
1 0 B 0 1
2 / 5 3 / 5 1 / 5 N 6 / 5 1 / 5 2 / 5
17 / 5 b 6/5
CB (3,5), CN (2,1,1)
再转向步骤（2） 运筹学
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（2）检验X’=(0,0,4,0,3)T是否最优：
检验向量 N CN CB B N
1
1 / 2 1 1 / 2 N (5,2,1) (3,1) (1,4,2) 5 / 2 3 1 / 2
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单纯形法
线性规划问题的几何意义： • 凸集：没有凹入部分，内部没有空洞。实习圆、实 心球体、实心立方体都是凸集；两个凸集的交集是 凸集。 • 若线性规划问题存在可行域，则可行域是凸集。 • 线性规划问题的基可行解对应可行域的顶点。 • 若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以 在其可行域的顶点上达到最优。
由最优解判别定理，非基变量检验数σ1＝1>0， 所 以X‘=(0,0,4,0,3)T不是最优解
第二章 单纯形法1
Cm 由基的有限性可知，基本解的个数也不会超过 n
个。 由于基本解中的非零分量可能是负数，所以基 本解不一定是可行的。
(5) 基本可行解。 满足非负条件的基本解称为基本可行解（简 称基可行解）。 与基本可行解对应的基称为可行基。 基本可行解的非零向量的个数小于等于m，并 且都是非负的。 由于基本可行解的数目一般少于基本解的数 目，因此可行基的数目也要少于基的数目。 当基本可行解中有一个或多个基变量是取零 值时，称此解为退化的基本可行解。 (6) 基 本 最 优 解 （ 对 应 的 基 为 最 优 基 ） 使目标函数达到最优值的基本可行解
x(2))的一个凸组合。
（3 ）顶点：设K为凸集, x∈K, 若x不能用x(1)∈K,
x(2)∈K两点的一个凸组合表示为x=αx(1)+ (1-α)x(2),其中 0<α<1 ，则称x为K的一个顶点（或极点）。
线性规划的基本定理
定理1 若约束条件为（2.2),（2.3）的线性规划问题存在可行域，则 D= x Ax=b ,x 0 是一个凸集。 其可行域 证明：为了证明满足Ａx=ｂ，x≥0的所有点（可行解）组成的几何体是 凸集，只要证明Ｄ中任意两点 x(1) ,x(2) 连线上的一切点均满足线性约束 条件既可。
例2
已知线性规划问题的约束条件为
10 x1 x 2 x 3 x 4 10 x1 x ,x ,x ,x 0 1 2 3 4
解:可行域
1 1 1 0 A 1 0 0 1
试讨论可行域顶点和基本可行解之间的对应关系。
D= x / x1 +x 2 +x 3 =10, x1 +x 4 =10, x j 0, j=1,2,3,4,
个。 由于基本解中的非零分量可能是负数，所以基 本解不一定是可行的。
(5) 基本可行解。 满足非负条件的基本解称为基本可行解（简 称基可行解）。 与基本可行解对应的基称为可行基。 基本可行解的非零向量的个数小于等于m，并 且都是非负的。 由于基本可行解的数目一般少于基本解的数 目，因此可行基的数目也要少于基的数目。 当基本可行解中有一个或多个基变量是取零 值时，称此解为退化的基本可行解。 (6) 基 本 最 优 解 （ 对 应 的 基 为 最 优 基 ） 使目标函数达到最优值的基本可行解
x(2))的一个凸组合。
（3 ）顶点：设K为凸集, x∈K, 若x不能用x(1)∈K,
x(2)∈K两点的一个凸组合表示为x=αx(1)+ (1-α)x(2),其中 0<α<1 ，则称x为K的一个顶点（或极点）。
线性规划的基本定理
定理1 若约束条件为（2.2),（2.3）的线性规划问题存在可行域，则 D= x Ax=b ,x 0 是一个凸集。 其可行域 证明：为了证明满足Ａx=ｂ，x≥0的所有点（可行解）组成的几何体是 凸集，只要证明Ｄ中任意两点 x(1) ,x(2) 连线上的一切点均满足线性约束 条件既可。
例2
已知线性规划问题的约束条件为
10 x1 x 2 x 3 x 4 10 x1 x ,x ,x ,x 0 1 2 3 4
解:可行域
1 1 1 0 A 1 0 0 1
试讨论可行域顶点和基本可行解之间的对应关系。
D= x / x1 +x 2 +x 3 =10, x1 +x 4 =10, x j 0, j=1,2,3,4,
二章二节单纯形法
B b b = ≥ 0, 可行。 问题：若B0=I，则X0=？ − − X = 0 0
0 0 −1
2. 最优性检验
问题：用什么检验？
b B N
—— 目标。
−1 −1 B N N N
X 而目标z = CX = (C C ) = C ( B b − B NX ) + C X X = C B b + (C − C B N ) X
解：增加松弛变量 x3 , x 4 , x5 , 则约束化为
= 360 9 x 1 + 4 x 2 + x 3 4 x 1 + 5x 2 +x4 = 200 s .t . + x 5 = 300 3x 1 + 10x 2 x 1, x 2, x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0
易见，增加的松弛变量的系数恰构成一个单位阵I。
一、单纯形法的预备知识
1.线性规划的标准型 用单纯形法求解线性规划的前提是先将模 型化为标准型：
Maxz = CX AX = b s.t. X ≥ 0
其中，A 的秩为m （m ≤ n） ≥ 0。 ,b
m ×n
标准型的特征：Max型、等式约束、非负约束
非标准形式如何化为标准
1)
Min型化为Max型
1 2 3 1 2 4 1 4
求相应于基B1和B2的基本解，它们是否基本可行解？
1 0 解：B = , B 0 1
1 −1 1
1 0 1 0 1 1 = , B b = 0 1 3 = 3, 0 1
−1 1
相应于基B 的基本解为X = ( 0,0,1,3) , 是基本可行解。
例3：下面为某线性规划的约束 =1 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 3 2 x1 − x2 x ,L , x ≥ 0 4 1 请例举出其基矩阵和相应的基向量、基变量。
0 0 −1
2. 最优性检验
问题：用什么检验？
b B N
—— 目标。
−1 −1 B N N N
X 而目标z = CX = (C C ) = C ( B b − B NX ) + C X X = C B b + (C − C B N ) X
解：增加松弛变量 x3 , x 4 , x5 , 则约束化为
= 360 9 x 1 + 4 x 2 + x 3 4 x 1 + 5x 2 +x4 = 200 s .t . + x 5 = 300 3x 1 + 10x 2 x 1, x 2, x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0
易见，增加的松弛变量的系数恰构成一个单位阵I。
一、单纯形法的预备知识
1.线性规划的标准型 用单纯形法求解线性规划的前提是先将模 型化为标准型：
Maxz = CX AX = b s.t. X ≥ 0
其中，A 的秩为m （m ≤ n） ≥ 0。 ,b
m ×n
标准型的特征：Max型、等式约束、非负约束
非标准形式如何化为标准
1)
Min型化为Max型
1 2 3 1 2 4 1 4
求相应于基B1和B2的基本解，它们是否基本可行解？
1 0 解：B = , B 0 1
1 −1 1
1 0 1 0 1 1 = , B b = 0 1 3 = 3, 0 1
−1 1
相应于基B 的基本解为X = ( 0,0,1,3) , 是基本可行解。
例3：下面为某线性规划的约束 =1 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 3 2 x1 − x2 x ,L , x ≥ 0 4 1 请例举出其基矩阵和相应的基向量、基变量。
运筹学第2章单纯形法
==８ ==6
① ② ③
－２Ｘ４＋Ｘ５ ＝１２
得到新的基本可行解 X1 =(0,6,8,0,12)T
(1)、决定进基变量：1=--3, X1进基 (2)、决定离基变量：最小比值规则来确定主 元与离基变量.
则Xl为进基变量。 MIN(8/1,-,12/3)=12/3 此时可以确定X5为离基变量
Z
X(0) =(0, 0, 10, 15 )T
Z0 =0
Z-30X1-20X2 =0 选中X1从0↗，X2 =0 X3=10-(-X1 )0
X4=15-(-3X1 )0 求X1， X1→+ ,Z→+
2.2.3 单纯形法计算之例
2-3 人工变量法 (Artificial Variable)
+1/2X4
+X5 =42 =6
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4
X1 -2/3X4+1/3X5=4 令X4 =X5 =0 X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2,
Z值不 再增大了,X值是最优基本解
5
=1,
* T * 即:X =(4,6) ,Z =42
检验数
当目标方程中基变量系数全为0时，非基 变量的系数可以作为检验当前的基本可 行解是否最优的标志，称之为检验数。
(2)、判定解是否最优 Z-3X1-5X2 =0 当X1从0↗或X2从0↗ Z从0↗ ∴ X0 不是最优解
(3)、由一个基可行解→另一个基可行解。 ∵ -5<-3 选X2从0↗，X1 =0 X3 =8 X4 =12-2X2 0 X2 12/2
N
沿边界找新 的基本可行解
结束
① ② ③
－２Ｘ４＋Ｘ５ ＝１２
得到新的基本可行解 X1 =(0,6,8,0,12)T
(1)、决定进基变量：1=--3, X1进基 (2)、决定离基变量：最小比值规则来确定主 元与离基变量.
则Xl为进基变量。 MIN(8/1,-,12/3)=12/3 此时可以确定X5为离基变量
Z
X(0) =(0, 0, 10, 15 )T
Z0 =0
Z-30X1-20X2 =0 选中X1从0↗，X2 =0 X3=10-(-X1 )0
X4=15-(-3X1 )0 求X1， X1→+ ,Z→+
2.2.3 单纯形法计算之例
2-3 人工变量法 (Artificial Variable)
+1/2X4
+X5 =42 =6
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4
X1 -2/3X4+1/3X5=4 令X4 =X5 =0 X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2,
Z值不 再增大了,X值是最优基本解
5
=1,
* T * 即:X =(4,6) ,Z =42
检验数
当目标方程中基变量系数全为0时，非基 变量的系数可以作为检验当前的基本可 行解是否最优的标志，称之为检验数。
(2)、判定解是否最优 Z-3X1-5X2 =0 当X1从0↗或X2从0↗ Z从0↗ ∴ X0 不是最优解
(3)、由一个基可行解→另一个基可行解。 ∵ -5<-3 选X2从0↗，X1 =0 X3 =8 X4 =12-2X2 0 X2 12/2
N
沿边界找新 的基本可行解
结束
单纯形法的基本概念
第2章 单纯形法的基本概念2.1 可行解满足约束条件的解X=（12x x x n ，，...,）T ，称为线性规划问题的可行解，其中使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。
2.2 基设A 是约束方程组的m × n 维系数矩阵，其秩为m 。
B 是矩阵A 中m × m 阶非奇异子矩阵，则称B 是线性规划问题的一个基。
这就是说矩阵B 是由m 个线性独立的列向量组成。
为不失一般性，可设)(111121,,...,m m m mm a a B p p p a a ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭称j p 为基向量，与基向量j p 相应的变量j x 为基变量，否则称为非基变量，为了进一步讨论线性规划问题的解，下面研究约束方程组中的求解问题。
假设该方程组系数矩阵A 的秩为m ，且m < n ，故它有无穷多个解。
假设前m 个变量的系数列向量是线性独立的。
这时约束方程组可以写成11211m a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1x +12222m a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2x +...+12m m mm a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭m x =12m b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭—1,12,1,1m m m m a a a +++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1m x +—...—12n n mn a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭n x 或 11n n i j i j j j m Px b Px ==+=-∑∑上面这个方程组的一个基是)(11121221221212,,...,m m m m m mm a a a a a a B P P P a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭设B X 是对应于这个基的基变量 B X =()12,,...,Tm x x x现若令方程组中的非基变量12...0m m n x x x ++====，这时变量的个数等于线性方程的个数。
用高斯消去法，求出一个解()12,,...,,0, 0m X x x x =该解的非零向量的数目不大于方程个数m ，称X 为基解。
单纯形法2 第二章
(2)将(2-14)式中xk列的各元素，除apk变换为1以外，其他都 应变换为零。其他行的变换是将(2-15)式乘以aik(i≠p)后， 从(2-14)式的第i行减去，得到新的第i行。
a p ,m1 apn bp aik aik ,,0,, a p n aik bi aik 0,, ,0,,0, ai ,m1 a pk a pk a pk a pk
2 2
x4 100 3 x2 x5 120 3 x2
(2 7)
x 为使 x4 , x5 0 ， min(100 , 40) 100 3 3 当 x 的值由0增加到 100 ，原来的基变量x4的值最先变为 3 0，这就决定用 x 去替换 x ，所以新的基变量为 x , x ， 非基变量为 x1, x3 , x4
2.最优性的检验与解的判别
b1 a1,m 1 xm 1 a1,n xn , x1 x2 b2 a m 1 xm 1 a m 2 xm 2 a n xn , 2, 2, 2, xm bm a ,m 1 xm 1 a ,m 2 xm 2 a ,n xn , m m m x j 0 j 1, 2, , n
第三节 单纯形法
自1947年Dantzig提出单纯形法以来， 单纯形法是目前求解线性规划问题最有 效的方法。 一个线性规划问题如果有最优解， 就一定可以在可行域的顶点上找到。 Dantzig的单纯形法把寻优的目标集 中在所有基本可行解（即可行域顶点） 中。
单纯形法的基本思路是从一个初始的基 本可行解出发，寻找一条达到最优基本可行 解的最佳途径。 单纯形法的一般步骤如下： （1）寻找一个初始的基本可行解。 （2）检查现行的基本可行解是否最优， 如果为最优，则停止迭代，已找到最优解， 否则转一步。 （3）移至目标函数值有所改善的另一个 基本可行解，然后转到步骤（2）。
a p ,m1 apn bp aik aik ,,0,, a p n aik bi aik 0,, ,0,,0, ai ,m1 a pk a pk a pk a pk
2 2
x4 100 3 x2 x5 120 3 x2
(2 7)
x 为使 x4 , x5 0 ， min(100 , 40) 100 3 3 当 x 的值由0增加到 100 ，原来的基变量x4的值最先变为 3 0，这就决定用 x 去替换 x ，所以新的基变量为 x , x ， 非基变量为 x1, x3 , x4
2.最优性的检验与解的判别
b1 a1,m 1 xm 1 a1,n xn , x1 x2 b2 a m 1 xm 1 a m 2 xm 2 a n xn , 2, 2, 2, xm bm a ,m 1 xm 1 a ,m 2 xm 2 a ,n xn , m m m x j 0 j 1, 2, , n
第三节 单纯形法
自1947年Dantzig提出单纯形法以来， 单纯形法是目前求解线性规划问题最有 效的方法。 一个线性规划问题如果有最优解， 就一定可以在可行域的顶点上找到。 Dantzig的单纯形法把寻优的目标集 中在所有基本可行解（即可行域顶点） 中。
单纯形法的基本思路是从一个初始的基 本可行解出发，寻找一条达到最优基本可行 解的最佳途径。 单纯形法的一般步骤如下： （1）寻找一个初始的基本可行解。 （2）检查现行的基本可行解是否最优， 如果为最优，则停止迭代，已找到最优解， 否则转一步。 （3）移至目标函数值有所改善的另一个 基本可行解，然后转到步骤（2）。
数学建模 - 第二章 线性规划及单纯形法
p j a1 j , a2 j ,, amj 为A的第j列向量
T
max s.t.
p
j 1
n
j
xj b
x0
13
§2 线性规划问题的图解法
max s.t.
z cx Ax b x0
(1) (2) (3)
定义1 在LP 问题中，凡满足约束条件(2)、(3)的 解 x = (x1,x2,…,xn)T 称为LP 问题的可行解， 所有可行解的集合称为可行解集（或可行域）。 记作 D={ x | Ax = b ,x≥0 }。 定义2 设LP问题的可行域为D，若存在x*∈D，使得 对任意的x∈D 都有c x*≥c x，则称x*为LP 问题
设 xj 没有非负约束，若 xj ≤0，可令 xj = - xj’ ，
则 xj’ ≥0；
又若 xj 为自由变量，即 xj 可为任意实数，
可令 xj = xj’ - xj’’，且 xj’ , xj’’ ≥0
11
第二章
线性规划及单纯形法
max z’= x1-2x2+3x4- 3x5 s.t. x1+x2+x4-x5+x6=7 x1-x2+x4-x5-x7=2 3x1-x2-2x4+2x5=5 x1,x2,x4,x5,x6,x7≥0
x2
2x1 x2 2
x1 4x2 4
max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 – x2 ≥ 2 -x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0
Note:
可行域为无界区域，
目标函数值可无限
增大，即解无界。
(１,0)
O
A
x1
称为无最优解。
T
max s.t.
p
j 1
n
j
xj b
x0
13
§2 线性规划问题的图解法
max s.t.
z cx Ax b x0
(1) (2) (3)
定义1 在LP 问题中，凡满足约束条件(2)、(3)的 解 x = (x1,x2,…,xn)T 称为LP 问题的可行解， 所有可行解的集合称为可行解集（或可行域）。 记作 D={ x | Ax = b ,x≥0 }。 定义2 设LP问题的可行域为D，若存在x*∈D，使得 对任意的x∈D 都有c x*≥c x，则称x*为LP 问题
设 xj 没有非负约束，若 xj ≤0，可令 xj = - xj’ ，
则 xj’ ≥0；
又若 xj 为自由变量，即 xj 可为任意实数，
可令 xj = xj’ - xj’’，且 xj’ , xj’’ ≥0
11
第二章
线性规划及单纯形法
max z’= x1-2x2+3x4- 3x5 s.t. x1+x2+x4-x5+x6=7 x1-x2+x4-x5-x7=2 3x1-x2-2x4+2x5=5 x1,x2,x4,x5,x6,x7≥0
x2
2x1 x2 2
x1 4x2 4
max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 – x2 ≥ 2 -x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0
Note:
可行域为无界区域，
目标函数值可无限
增大，即解无界。
(１,0)
O
A
x1
称为无最优解。
第二章单纯形法
6 s.t.
5
B
G
2 x1 3
C x1
x2 x2 x2
x3 x4 x5
10 8 7
f(x) = 3 6
4
x1 , x 2 , x 3 , x2 4 , x 5 0
3 最优解
2
:
x
K
1
2, 1
x2
6,
1 max f ( x ) 36 .
D
否 确定改善方向
求新的基础可行解
求最优解的目标函数值
1、初始基本可行解的确定
对目标函数为(MAX≤)形式的线性规划背景模型，通过标准化， 每一个约束方程引入一个松弛变量，松弛变量为基变量，其 他变量为非基变量，得到一个初始基本可行解。
n
max f (x) cj xj j 1
s.t.
1、可行解：满足约束条件 (2)和(3)的解称为可行解。 2、基及基变量：设矩阵A的秩为m（n≥m）,则A中任何一组m个 线性无关的列向量构成的子矩阵,称为该问题的一个基(basis), 基中的这些列向量对应的变量称为基变量(basic variable)
3、基本解：对于基,令非基变量为零,求得满足（2） 的唯一解，称为基对应的线性规划的基本解（basic solution）。 4、基本可行解：满足（3）的基本解称为基本可行解 （basic feasible solution）；基可行解的非零分
2、最优解检验（根据线性规划问题的典式）
max z c B B 1 b ( c N c B B 1 N ) x N
s .t
x
B
B
1 Nx
5
B
G
2 x1 3
C x1
x2 x2 x2
x3 x4 x5
10 8 7
f(x) = 3 6
4
x1 , x 2 , x 3 , x2 4 , x 5 0
3 最优解
2
:
x
K
1
2, 1
x2
6,
1 max f ( x ) 36 .
D
否 确定改善方向
求新的基础可行解
求最优解的目标函数值
1、初始基本可行解的确定
对目标函数为(MAX≤)形式的线性规划背景模型，通过标准化， 每一个约束方程引入一个松弛变量，松弛变量为基变量，其 他变量为非基变量，得到一个初始基本可行解。
n
max f (x) cj xj j 1
s.t.
1、可行解：满足约束条件 (2)和(3)的解称为可行解。 2、基及基变量：设矩阵A的秩为m（n≥m）,则A中任何一组m个 线性无关的列向量构成的子矩阵,称为该问题的一个基(basis), 基中的这些列向量对应的变量称为基变量(basic variable)
3、基本解：对于基,令非基变量为零,求得满足（2） 的唯一解，称为基对应的线性规划的基本解（basic solution）。 4、基本可行解：满足（3）的基本解称为基本可行解 （basic feasible solution）；基可行解的非零分
2、最优解检验（根据线性规划问题的典式）
max z c B B 1 b ( c N c B B 1 N ) x N
s .t
x
B
B
1 Nx
第3讲 第二章 LP-单纯形法
j m 1
' a ij x j
n
i 1,2,m (1 )
z c j x j ci x i
j 1
n
m
i 1
j m 1
c
n
n
j
xj
ci (bi'
i 1
m
m
j m 1
n
' a ij x j )
m
n
j m 1
c x
j
j
ci bi'
ylj
j 1, 2,
n.
例1.用单纯形法求解(L):
maxZ=4X1+6X2 s.t. X1 ≤5 2X2 ≤8 2X1+3X2≤16 X1≥0 X2≥0
解:单纯形表如下:
cj
4 6 0 0 0
b
5 8 16 0 5 4 4 -24 3 4 2 -32
CB
0 0 0
XB
X3 X4 X5 σj
X1
B为基矩阵
基变量： x3 , x4 , x5 , 非基变量： x1 , x2 ,
方程组改写为： x 3 4 - x1 x4 3 - x 2 x 8 - x - 2x 1 2 5
令非基变量 x1 0, x2 0
得初始基可行解： X ( 0) (0,0,4,3,8)T
' m T
,则(LP)有无穷多最优解.
' 1
3. 若
(b , b ,, b ,0,0)
' 且有 0 Pk
为一基可行解,
又存在某检验数 k
0 ,则(LP)具有无界解.
4. 若存在某b’r<0,且对一切j有a’rj≥0 ,则(LP)无可行解.
第2章 单纯形法
2. 转换方法——换基运算
换基运算即对当前方程组进行一系列初等变换，其目的是：
将主列化成单位向量，以符合典式。 （1）将主元化为1。
用主元的倒数乘以主方程，得到新方程（a），称为源方程。
（2）载将主列中其余元素全部消去，都化为0.
欲消去主列中哪行非0元素，就用其相反数乘以源方程（a）后，再
（0） ① ② ③
2015年9月10日星期四
2.1.4 可行基变换
1.转换规则——主元的确定
（2） 确定离基变量合主元的规则——最小比值规则
根据主列中ak中的一切正数aik＞0 i 1, 2, , m 按照式 bi bl =min |aik＞0 2 3b a a lk ik 确定最小比值，以及 对应的第l行（方程）为主行（主方程），主行中的原 基变量xr 就是离基变量，同时确定主列中的主行元素alk 为主元。
x3 6 -x1 0 x1 6 x4 8 0 x 18-2 x 0 x 18 2 1 1 5
2-1
故有：x1 min 6,18 2 =6 （2-2）
即有：x1 = min 6,18 2 =6 不能取x1 6 , 否则x3，x4，x5全都为正数，无一离基。所以式（2-2）只能取等式，
加给该非0元素所在行。反复这样，主列化成单位列向量。
15
山西大学经济与管理学院 范建平
2015年9月10日星期四
2.1.4 可行基变换
范例的可行基变换
(1)由于主元为1，已经符合要求；
将主方程①填写入新方程组 Ⅱ Ⅰ 中，仍置于原行序①处，作为 源方程，表上记号（如打√）， 以备正确识别、援用。
换基运算即对当前方程组进行一系列初等变换，其目的是：
将主列化成单位向量，以符合典式。 （1）将主元化为1。
用主元的倒数乘以主方程，得到新方程（a），称为源方程。
（2）载将主列中其余元素全部消去，都化为0.
欲消去主列中哪行非0元素，就用其相反数乘以源方程（a）后，再
（0） ① ② ③
2015年9月10日星期四
2.1.4 可行基变换
1.转换规则——主元的确定
（2） 确定离基变量合主元的规则——最小比值规则
根据主列中ak中的一切正数aik＞0 i 1, 2, , m 按照式 bi bl =min |aik＞0 2 3b a a lk ik 确定最小比值，以及 对应的第l行（方程）为主行（主方程），主行中的原 基变量xr 就是离基变量，同时确定主列中的主行元素alk 为主元。
x3 6 -x1 0 x1 6 x4 8 0 x 18-2 x 0 x 18 2 1 1 5
2-1
故有：x1 min 6,18 2 =6 （2-2）
即有：x1 = min 6,18 2 =6 不能取x1 6 , 否则x3，x4，x5全都为正数，无一离基。所以式（2-2）只能取等式，
加给该非0元素所在行。反复这样，主列化成单位列向量。
15
山西大学经济与管理学院 范建平
2015年9月10日星期四
2.1.4 可行基变换
范例的可行基变换
(1)由于主元为1，已经符合要求；
将主方程①填写入新方程组 Ⅱ Ⅰ 中，仍置于原行序①处，作为 源方程，表上记号（如打√）， 以备正确识别、援用。
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4
二、思路解析
定义：如何从一个可行基找另一个可行基？称基变换。
定义：两个基本可行解称为相邻的，如果它们之间仅变换 一个基变量。对应的基称为相邻可行基。
例 LP问题
x1 minZ max 2 x1Z x22 0 x3x 2 0 x4 0 x5
x 15 5x 2 5 x 2 3 6x 6 2 x 1 2 x1 2 x 2 24 x 4 x 2 x1 x 2 5 x1 x1 0,5 1 , 2 , xi xi 0
1 5 / 4 15 / 2 15 / 2 0 1/ 4 1/ 2 7 / 2 0 1/ 4 3/ 2 3/ 2 0 1/ 4 1/ 2 17 / 2 LP问题
14
5 15 15 x3 + x4 x5 4 2 2 1 1 7 x x4 x5 1 4 2 2 1 3 3 x2 x4 x5 4 2 2 i 1, , 5 xi 0
x4 x5 b
0 15 0 4 1 1 0 8
×3/2
1 0 0 15 0 1/ 6 0 4 0 1/ 4 3 / 2 3 / 2 0 1/ 3 0 8
×（-5）
×（-1/3）
×（1/3）
13
0 0 1 0 0 1 0 0 所对应的
1 1 3 4M
0 3 0 1 1 6 0 6M
×1/6
21
0 0 1 0
0 0 3/ 2 0
0 0 1 1/ 3 0 2/3 0 3
0 0 1 1/ 3 0 1 0 3
1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 0 0 0 0 1/ 3 3 0 1/ 2 1/ 2 1/ 6 1 0 3 / 2 M 3 / 2 M 1/ 2 3
0 1 0 0
0 0 1 0
1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 0 0 1/ 4 1/ 4 1/ 4 5 / 2 0 3/ 4 3/ 4 1/ 4 3 / 2 0 3 / 4 M 3 / 4 M 1/ 4 3 / 2
×－M
×－M
1 1 1 2 0 3 2M 3 4M 3 2 6 6M 3
0 4 ×（-1） 0 1 1 9 ×（-3） 0 10M
×（4M）
0 2 1 1 0 4 0 4M 1
1 1 0 1 0 3 0 3M
第二章 单纯形法
2.1单纯形法原理
1
一、基础定理 定理1 若线性规划问题存在最优解，则问题的可行域是凸集。 定理2 线性规划问题的基本可行解对应线性规划问题可行域 （凸集）的顶点。 定理3 若线性规划问题最优解存在，则最优解一定在可行域顶
点处取得。
由此可看出，最优解要在基本可行解（可行域顶点）中找。
③主元素不能为负数。因为用行的初等变换把负数变成1会
把常数列中对应的常数变成负数。
16
单纯形的进一步讨论 人工变量法（也称大M法）
针对标准形约束条件的系数矩阵中不含单位矩阵的处理 方法。
例6 用单纯形法求解LP问题
max Z 3x1 x3
x1 2 x 1 x1 ,
15 24 x5 5
5
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
6x 1 x1 xi 0 5 x2 2 x2 x2 i 1, ,5 x3 x4 x5 15 24 5
当前可行基{
x3 , x4 , x5 }所对应的基本可行解
X1 比 从目标函数值明显看出，
将（2）式
X 0 明显地得到了改善。
5 x2 x3 15 x 24 6 x1 2 x2 4 x1 x2 x5 5 i 1, ,5 xi 0
（2）
可行基 {x1 , x3 , x5 } 留在左边，非基变量 x2 ,
19
min Z 3x1 0x2 x3 0x4 0x5 Mx6 Mx7
x1 2 x 1 x1~5
x2 x3 x2 x3 3 x2 x3 0
x4 x5 x6 x7
4 1 9
其中M为任意大的实数，M称为罚因子。用意：只要人
x4
移到右边
9
15 5 x2 x3 6x 24 2 x2 x4 1 x2 x1 x5 5 i 1, ,5 xi 0
用代入法得：
（3）
5 x2 x3 15 1 1 x1 4 x2 x4 3 6 2 1 x5 1 x2 x4 3 6 i 1, ,5 xi 0
相应的目标函数值Z也将随之减少。因此有可能找到一个 新的基本可行解，使其目标函数值有所改善。即进行基变 换，换一个与它相邻的基。再注意到 x1 前的系数－2比 x2
前的系数－1小，即
故应让
x1 每增加一个单位对Z的贡献比x2 大。
x1 从非基变量转为基变量，称为进基。又因为基
变量只能有三个，因此必须从原有的基变量 x3 ,
1 3 15 4 min , , 5 1/ 3 2 / 3 2
12
x1 x2 x3
5 0 1 1/ 3 0 2/3 0 1/ 3 5 0 1 1/ 3 0 1 0 1/ 3
1 0 0 1/ 6 0 1/ 6 0 1/ 3
x4 , x5
7
中选一个离开基转为非基变量，称为出基。谁出基？
又因为 x2 仍留作非基变量，故仍有 x2 0
（2）式变为
0 x3 15 x4 24 6 x1 0 x 5 x 0 1 5
x1
x1 5
24 6
24 再让 x1 从零增加，能取得的最大值为 x1 min{ ,5} 4. 6
x2 x2 3 x2 x2 , x3
x3 x3 x3 0
4 1 9
17
解：先将其化为标准形式
min Z 3x1 0x2 x3 0x4 0x5
x1 2 x 1 x1~5 x1 2 x 1 x1~7
此时，
x4
已经从24降到了0，达到了非基的取值，变
成非基变量。从而得到新的可行基{x1 , x3 , x5 } 。 由此得到一个新的基本可行解： X1 (4,0,15,0,1)T
8
此基本可行解对应可行域的顶点(4,0)
目标函数值： Z ( X1) 2 4 8 Z ( X 0 ) 0.
0 主元素 5 2 6 A 1 1 2 1 5 0 1 1/ 3 1 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 15 ×1/6 0 24 24 5 min , 4 6 1 1 5 0 0 Z 2 x1 x2 0x3 0 x4 0 x5 0 0 15 1/ 6 0 4 ×（-1） 0 1 5 11 ×（2） 0 0 0
17 1 1 minZ x4 x5 2 4 2
可行基{ x1 , x2 , x3 }
令非基变量 x 4 , 最优值：
x5为0，得到最优解
17 m ax Z 2
15
7 3 15 X 3 ( , , ,0,0)T 2 2 2
此基本可行解对应可行域的顶点(7 / 2, 3 / 2) 其结果与图解法一致。 总结：①在迭代过程中要保持常数列向量非负，这能保证基 可行解的非负性。最小比值能做到这一点。 ②主元素不能为0。因为行的初等变换不能把0变成1。
2
若LP问题有最优解的话，定在可行域的 某顶点处达到，又，一个顶点对应一个基本 可行解，一个自然的想法是：找出所有的基 本可行解。 因基本可行解的个数有限，通过“枚举法”， 从理论上讲总能找出所有的基本可行解。而 事实上随着m，n的增大，解的个数迅速增大， 致使此路行不通。
3
换一种思路：若从某一基本可行解（今后称 之为初始基本可行解）出发，每次总是寻找 比上一个更“好”的基本可行解，逐步改善， 直至最优。这需要解决以下三个问题： 1.如何找到一个初始的基本可行解。 2.如何判别当前的基本可行解是否已达到了 最优解。 3.若当前解不是最优解，如何去寻找一个改 善了的基本可行解。
工变量取值大于零，目标函数就不可能实现最优。
对此单纯形矩阵作初等行变换，有：
20
1 1 3 1 0 1
1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 M 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 M 0 1 0 0
0 0 1 M
4 1 9 0
17 1 1 minZ x4 x5 2 4 2 5 15 15 x3 + x4 x5 4 2 2 1 1 7 x x4 x5 1 4 2 2 1 3 3 x x x 2 4 5 4 2 2 i 1, ,5 xi 0
（4）
10
代入目标函数得： Z 8
5 x2 x3 15 6x x4 24 1 2 x2 1 1 x5 5 x1 x x2 x2 4 x 0 i 1, ,5 3 i3
这一过程用增广矩阵的行初等变换表示为：
x1 x2 x3 x4 x5 b
x2 x2 3 x2 0
x3 x3 x3
x4 x5
4 1 9
再强行加上人工变量，使其出现单位矩阵：
x2 x3 x2 x3 3 x2 x3 0