第二章 单纯形法

相应的目标函数值Z也将随之减少。因此有可能找到一个 新的基本可行解，使其目标函数值有所改善。即进行基变 换，换一个与它相邻的基。再注意到 x1 前的系数－2比 x2
前的系数－1小，即
故应让
x1 每增加一个单位对Z的贡献比x2 大。
x1 从非基变量转为基变量，称为进基。又因为基
变量只能有三个，因此必须从原有的基变量 x3 ,
x4 , x5 不一样。 x4 , x5 称为松弛变量和剩
余变量，是为了将不等式改写为等式而引进的，而改写前后 两个约束是等价的。②人工变量的引入一般来说是前后不等 价的。只有当最优解中，人工变量都取值零时（此时人工 变量实质上就不存在了）才可认为它们是等价的。 处理办法：把人工变量从基变量中赶出来使其变为非基变 量。为此，发明者建议把目标函数作如下处理：
1 3 15 4 min , , 5 1/ 3 2 / 3 2
12
x1 x2 x3
5 0 1 1/ 3 0 2/3 0 1/ 3 5 0 1 1/ 3 0 1 0 1/ 3
1 0 0 1/ 6 0 1/ 6 0 1/ 3
x4 , x5
7
中选一个离开基转为非基变量，称为出基。谁出基？
又因为 x2 仍留作非基变量，故仍有 x2 0
（2）式变为
0 x3 15 x4 24 6 x1 0 x 5 x 0 1 5
x1
x1 5
24 6
24 再让 x1 从零增加，能取得的最大值为 x1 min{ ,5} 4. 6
0 1 0 0
0 0 1 0
1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 0 0 1/ 4 1/ 4 1/ 4 5 / 2 0 3/ 4 3/ 4 1/ 4 3 / 2 0 3 / 4 M 3 / 4 M 1/ 4 3 / 2
1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 0 0 0 0 1/ 3 3 0 3/ 4 3/ 4 1/ 4 3/ 2 0 3 / 2 M 3 / 2 M 1/ 2 3
×3/2
×（-1/3）
×（3）
0 1/ 2 3/ 2 9/2
1 5 / 4 15 / 2 15 / 2 0 1/ 4 1/ 2 7 / 2 0 1/ 4 3/ 2 3/ 2 0 1/ 4 1/ 2 17 / 2 LP问题
14
5 15 15 x3 + x4 x5 4 2 2 1 1 7 x x4 x5 1 4 2 2 1 3 3 x2 x4 x5 4 2 2 i 1, , 5 xi 0
X1 比 从目标函数值明显看出，
将（2）式
X 0 明显地得到了改善。
5 x2 x3 15 x 24 6 x1 2 x2 4 x1 x2 x5 5 i 1, ,5 xi 0
（2）
可行基 {x1 , x3 , x5 } 留在左边，非基变量 x2 ,
按最小非负比值规则：
x1 x2 x3
5 0 1 1/ 3 0 2/3 0 1/ 3
1 0 0 1/ 6 0 1/ 6 0 1/ 3
x4 x5 b
0 15 0 4 1 1 0 8
目标函数系数行
按最小非负比值规则：
1 1 Z 8 x 2 x 4 3 3
2
若LP问题有最优解的话，定在可行域的 某顶点处达到，又，一个顶点对应一个基本 可行解，一个自然的想法是：找出所有的基 本可行解。 因基本可行解的个数有限，通过“枚举法”， 从理论上讲总能找出所有的基本可行解。而 事实上随着m，n的增大，解的个数迅速增大， 致使此路行不通。

3
换一种思路：若从某一基本可行解（今后称 之为初始基本可行解）出发，每次总是寻找 比上一个更“好”的基本可行解，逐步改善， 直至最优。这需要解决以下三个问题： 1.如何找到一个初始的基本可行解。 2.如何判别当前的基本可行解是否已达到了 最优解。 3.若当前解不是最优解，如何去寻找一个改 善了的基本可行解。
工变量取值大于零，目标函数就不可能实现最优。
对此单纯形矩阵作初等行变换，有：
20
1 2 T 0 3
1 1 1 1 3 1 0 1
1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 M 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 M 0 1 0 0
0 0 1 M
4 1 9 0
x2 x2 3 x2 x2 , x3
x3 x3 x3 0
4 1 9
17
解：先将其化为标准形式
min Z 3x1 0x2 x3 0x4 0x5
x1 2 x 1 x1~5 x1 2 x 1 x1~7
x4 x5 b
0 15 0 4 1 1 0 8
×3/2
1 0 0 15 0 1/ 6 0 4 0 1/ 4 3 / 2 3 / 2 0 1/ 3 0 8
×（-5）
×（-1/3）
×（1/3）
13
0 0 1 0 0 1 0 0 所对应的
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min Z 3x1 0x2 x3 0x4 0x5 Mx6 Mx7
x1 2 x 1 x1~5
x2 x3 x2 x3 3 x2 x3 0
x4 x5 x6 x7
4 1 9
其中M为任意大的实数，M称为罚因子。用意：只要人
③主元素不能为负数。因为用行的初等变换把负数变成1会
把常数列中对应的常数变成负数。
16
单纯形的进一步讨论 人工变量法（也称大M法）
针对标准形约束条件的系数矩阵中不含单位矩阵的处理 方法。
例6 用单纯形法求解LP问题
max Z 3x1 x3
x1 2 x 1 x1 ,
17 1 1 minZ x4 x5 2 4 2
可行基{ x1 , x2 , x3 }
令非基变量 x 4 , 最优值：
x5为0，得到最优解
17 m ax Z 2
15
7 3 15 X 3 ( , , ,0,0)T 2 2 2
此基本可行解对应可行域的顶点(7 / 2, 3 / 2) 其结果与图解法一致。 总结：①在迭代过程中要保持常数列向量非负，这能保证基 可行解的非负性。最小比值能做到这一点。 ②主元素不能为0。因为行的初等变换不能把0变成1。
x2 x2 3 x2 0
x3 x3 x3
x4 x5
4 1 9
再强行加上人工变量，使其出现单位矩阵：
x2 x3 x2 x3 3 x2 x3 0
x4 x5 x6 x7
4 1 9
18
但这样处理后：①不易接受。因为 x6 , x7 是强行引进，称为 人工变量。它们与

4
Baidu Nhomakorabea
二、思路解析
定义：如何从一个可行基找另一个可行基？称基变换。
定义：两个基本可行解称为相邻的，如果它们之间仅变换 一个基变量。对应的基称为相邻可行基。
例 LP问题
x1 minZ max 2 x1Z x22 0 x3x 2 0 x4 0 x5
x 15 5x 2 5 x 2 3 6x 6 2 x 1 2 x1 2 x 2 24 x 4 x 2 x1 x 2 5 x1 x1 0,5 1 , 2 , xi xi 0
（4）
10
代入目标函数得： Z 8
5 x2 x3 15 6x x4 24 1 2 x2 1 1 x5 5 x1 x x2 x2 4 x 0 i 1, ,5 3 i3
这一过程用增广矩阵的行初等变换表示为：
x1 x2 x3 x4 x5 b
×－M
×－M
1 1 1 2 0 3 2M 3 4M 3 2 6 6M 3
0 4 ×（-1） 0 1 1 9 ×（-3） 0 10M
×（4M）
0 2 1 1 0 4 0 4M 1
1 1 0 1 0 3 0 3M
此时，
x4
已经从24降到了0，达到了非基的取值，变
成非基变量。从而得到新的可行基{x1 , x3 , x5 } 。 由此得到一个新的基本可行解： X1 (4,0,15,0,1)T
8
此基本可行解对应可行域的顶点(4,0)
目标函数值： Z ( X1) 2 4 8 Z ( X 0 ) 0.
1 1 3 4M
0 3 0 1 1 6 0 6M
×1/6
21
0 0 1 0
0 0 3/ 2 0
0 0 1 1/ 3 0 2/3 0 3
0 0 1 1/ 3 0 1 0 3
1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 0 0 0 0 1/ 3 3 0 1/ 2 1/ 2 1/ 6 1 0 3 / 2 M 3 / 2 M 1/ 2 3
第二章 单纯形法
2.1单纯形法原理
1
一、基础定理 定理1 若线性规划问题存在最优解，则问题的可行域是凸集。 定理2 线性规划问题的基本可行解对应线性规划问题可行域 （凸集）的顶点。 定理3 若线性规划问题最优解存在，则最优解一定在可行域顶
点处取得。
由此可看出，最优解要在基本可行解（可行域顶点）中找。
x4
移到右边
9
15 5 x2 x3 6x 24 2 x2 x4 1 x2 x1 x5 5 i 1, ,5 xi 0
用代入法得：
（3）
5 x2 x3 15 1 1 x1 4 x2 x4 3 6 2 1 x5 1 x2 x4 3 6 i 1, ,5 xi 0
15 24 x5 5
5
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
6x 1 x1 xi 0 5 x2 2 x2 x2 i 1, ,5 x3 x4 x5 15 24 5
当前可行基{
x3 , x4 , x5 }所对应的基本可行解
0 主元素 5 2 6 A 1 1 2 1 5 0 1 1/ 3 1 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 15 ×1/6 0 24 24 5 min , 4 6 1 1 5 0 0 Z 2 x1 x2 0x3 0 x4 0 x5 0 0 15 1/ 6 0 4 ×（-1） 0 1 5 11 ×（2） 0 0 0
17 1 1 minZ x4 x5 2 4 2 5 15 15 x3 + x4 x5 4 2 2 1 1 7 x x4 x5 1 4 2 2 1 3 3 x x x 2 4 5 4 2 2 i 1, ,5 xi 0
(对应可行域的 o(0,0) )
X 0 (0,0,15,24,5)T
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，因此没有利润。
相应地，将
X 0 代入目标函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量
x1 , x2 取值从零增加，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5