高等数学课件D9_3方向导数与梯度

当 l 0 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值： f G max l
这说明 G :
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方向：f 变化率最大的方向
模:
f 的最大变化率之值
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1. 定义 向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient), 记作 grad f , 即
显然在原点即不可导也就自然不可微也。
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例1. 求函数 3) 的方向导数 .
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
解: 向量 l 的方向余弦为
u l
P
2 2x yz 14
3 x y 14
2
f f f f cos cos cos l x y z
y
P ·
o
1 2
x
60 17
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例3. 设 n (4 x , 6 y , 2 z )
P
2(2 , 3 , 1) 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处指向外侧的法向量, 求函 数 在点P 处沿方向 n 的方向导数。 2 3 1 , cos , cos 解: 方向余弦 cos 14 14 14 u 6x 6 而 2 2 P x P z 6x 8 y 14 同理得
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可微二元函数 f ( x, y ) , 在点 P( x, y ) 处沿方向 l (方向角
为, ) 的方向导数为
f f ( x x, y y ) f ( x, y ) lim l 0
y
l
P
f x ( x, y ) cos f y ( x, y ) cos
0
P
P( x, y, z )
lim
f
f ( x x, y y, z z ) f ( x, y, z ) 记作 f lim l 0

lim
f ( P) f ( P)
0

f 则称 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. l
第三节
第九章
方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度 三、物理意义
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一、方向导数
P( x x, y y, z z )
l
定义: 若函数 f ( x, y, z ) 在点 P( x, y, z ) 处
沿方向 l (方向角为 , , ) 存在下列极限:
q 4 r
r 0
q 4 r
r 0 E 2
这说明场强: 垂直于等位面, 且指向电位减少的方向.
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内容小结
1. 方向导数
• 三元函数
在点
沿方向 l (方向角
为 , , ) 的方向导数为 f f f f cos cos cos l x y z
f, f, f x y z
同样可定义二元函数 在点 P( x, y ) 处的梯度
说明:
函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
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2. 梯度的几何意义
z f ( x, y ) 在 xoy 面上的投 对函数 z f ( x, y) , 曲线 z C * 影 L : f ( x, y ) C 称为函数 f 的等值线（等量线） .
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 提示: 则
1 2
. (96考研)
{cos , cos , cos }
ln( x 1)
ln(1 y 1)
2
1 2
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三、物理意义
数量场 (数性函数)
函数
场
如: 温度场, 电位场等 向量场(矢性函数)
(物理量的分布)
如: 力场,速度场等
可微函数 f (P) (势) 梯度场 grad f ( P) (向量场)
注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.
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(x) 2 (y ) 2 0 z z 1. lim lim 0 l 0
z x y 在(0, 0)的任意方向导数都存在且相等；
2 2
x (x) 2 (0) 2 0 z 而 lim lim 不存在！ x 0 x 0 x x ( 0,0) x
f f ( x x, y) f ( x, y ) . lim x 0 x x
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方向导数与可微之间的关系：
考察上半圆锥z x 2 y 2 在(0, 0)处的方向导数和
可微性, 依据方向导数的定义，有
则L*上点P 处的法向量为
( fx , f y )
与grad f
P
P
grad f
f c1
P
P
垂直的方向就是
o x ( 设 c1 c2 c3 )
f ( x, y) c的切向量 f {1, y} {1, x } fy
而沿此方向的方向导数为0. P点的切线方向，
同样, 对应函数
• 二元函数 3. 关系 在点 处的梯度为
grad f ( f x ( x, y ) , f y ( x, y ))
• 可微 方向导数存在 偏导数存在
f grad f l 0 梯度在方向 l 上的投影. • l
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补充题 1. 函数
• 二元函数 在点 沿方向 l (方向角为
, )的方向导数为
f f f cos cos l x y
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2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
f ,f ,f grad f x y z
例6. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点 q 处所产生的电位为 u ( r x 2 y 2 z 2 ), 试证 4 r q grad u E (场强 E r 0) 4π ε r 2 证: 利用例4的结果 grad f (r ) f (r ) r 0
grad u
z f ( x, y ) 空间曲线 称为等高线。 z C z 如：z (cos x)(cos y )e
x2 y2 4
o
等高线 等值线
y
x
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设 z f ( x, y)在c1 , c2 , c3处的等高线， 如图所示 : y f c3 设 f x , f y 不同时为零 , f c2
(1) grad (C u ) C grad u
(3) grad ( u v ) u grad v v grad u u v grad u u grad v (4) grad ( ) v v2
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例4 国家大剧院的屋顶为椭球面 表面光滑无摩擦，在无风的雨天，雨水落在上面向下 流，求雨滴下滑曲线的方程。
z
半平面
o
x
o
y
x
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例 求 的方向导数。
在原点
处沿非零矢量
解 用定义计算：
·
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f f x ( x, y ) cos f y ( x, y ) cos l
特别:
有等值面(等量面)
当各偏导数不同时为零时, 其上 点P处的法向量为 grad f
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P.
f ( x, y) c的法向量 1 } {1, f y } {1, y fx
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综上所述： 函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) , 指向函数增大的方向. 3. 梯度的基本运算公式

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u n
P
1 11 6 2 8 3 14 1 14 7
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二、梯度
f f f f cos cos cos 方向导数公式 l x y z f f f 令向量 G x , y , z f 0 l (cos , cos , cos )
处的梯度 解: 则
在点
2 (1, 2 , 2) 9
(92考研)
注意 x , y , z 具有轮换对称性
2 (1, 2 , 2) 9
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u ln(x y 2 z 2 ) 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A 2. 函数
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定理: 若函数 f ( x, y, z ) 在点 P( x, y, z ) 处可微 , 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有 f f f f l cos cos cos l x y z
分析
由于重力作用，雨水会wk.baidu.com着z变化最快方向
也就是沿着与z的方向导数取得最大值的方向 流下， 流下，从平面 向运行。 解
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上看即沿着平行于函数z的梯度方
与待求投
影曲线的切矢量
平行， 空间曲线为：
得平面投影曲线 方程
z
o
y
x
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例2. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线
相切且朝 x 增大方向的方向导数. 解:将已知曲线用参数方程表示为 x x y x2 1 它在点 P 的切向量为 (1, 2 x) x 2 (1, 4) 1 4 cos , cos 17 17
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例5.
处矢径 r 的模 , 试证
证:
x f (r ) f (r ) 2 2 2 r x y z
x
f (r ) y f (r ) z f (r ) , f (r ) y r z r f (r ) f (r ) f (r ) grad f (r ) j k i z P y z x r 1 f (r ) ( x i y j z k ) o r y 1 x (r ) r f (r ) r 0 f r 2013-8-8 高等数学课件
f f • 当 l 与 x 轴同向 0 , 时, 有 2 l x f f • 当 l 与 x 轴反向 , 时, 有 2 l x 思考：第二个结果为什么是负的？

f f ( x x, y y ) f ( x, y ) lim l 0

P
证明: 由函数 f ( x, y, z ) 在点 P 可微 , 得 f f f f x y z o ( ) x y z
P( x, y, z )

故

o ( )
f f f f f lim cos cos cos l 0 x y z