开普勒定律的推导及应用
开普勒三定律、万有引力定律的应用（学生用）
应用一：开普勒三定律的应用开普勒行星运动三大定律基本内容： 1、开普勒第一定律(轨道定律)：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
阳处在所有椭圆的一个焦点上。
2、开普勒第二定律(面积定律): 对于每一个行星而言，太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积。
等的时间内扫过相等的面积。
3、开普勒第三定律(周期定律): 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。
的二次方的比值都相等。
实际应用：1、如图所示是行星m 绕恒星M 运动的情况示意图，则下面的说法正确的是 A 、速度最大的点是B 点 B 、速度最小的点是C 点 C 、m 从A 到B 做减速运动做减速运动 D 、m 从B 到A 做减速运动做减速运动2、 哈雷彗星最近出现的时间是1986年，天文学家哈雷预言，这颗彗星将每隔一定时间就会出现，请预算下一次飞近地球是哪一年？提供数据：（1）地球公转接近圆，地球公转接近圆，彗星的运动轨道则是一个非常扁彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆；（2）彗星轨道的半长轴R 1约等于地球轨道半长轴R 2的18倍。
倍。
3、神舟七号沿半径为R 的圆周绕地球运动，其周期为T ，如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A 处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的特殊椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B 点相切，如图所示，如果地球半径为R0，求飞船由A 点返回到地面B 点所需的时间。
点所需的时间。
4、两颗行星的质量分别为m 1和m 2，它们绕太阳运动的轨道半径分别为R 1和R 2，若m 1 = 2m 2 、R 1 = 4R 2，则它们的周期之比T 1：T 2是多少？是多少？5、2007年10月26日33分，嫦娥一号实施了第一次近地点火变轨控制，卫星进入了24小时周期椭圆轨道运动，此时卫星的近地点约为200km ，则卫星的远地点大约为（已知地球的半径为6.4×6.4×10103km ，近地环绕卫星周期约为1.5h ）：A. 4.8×105km B . 3.6×104km 104km C. 7.0×104km D.1.2×D.1.2×105km 105km 8．太阳系八大行星公转轨道可近似看作圆轨道，“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比。
开普勒第二定律推导公式
开普勒第二定律推导公式开普勒第二定律是描述行星运动的定律之一，它是根据开普勒观测到的行星运动规律而得出的。
这个定律告诉我们，行星在其椭圆轨道上的运动速度是不均匀的，它与行星离开太阳的距离有关。
下面我们来推导一下开普勒第二定律的公式。
为了方便推导，我们引入一些符号。
假设行星离太阳的距离为r，行星运动到离太阳r1处时的速度为v1，到离太阳r2处时的速度为v2。
根据开普勒第二定律，我们可以得到以下几个等式：(1) 行星在轨道上的运动速度与其离太阳的距离成反比，即v1/v2=r2/r1；(2) 行星运动的速度与其离太阳的距离的平方成反比，即v1^2/v2^2=r2^2/r1^2。
我们可以通过这两个等式来推导出开普勒第二定律的公式。
首先，我们将(1)式两边平方，得到v1^2/v2^2=(r2/r1)^2。
然后，我们将(2)式代入这个等式中，得到：(r2^2/r1^2)=(r2^2/r1^2)。
这个等式告诉我们，行星在轨道上的运动速度与其离太阳的距离的平方成正比。
换句话说，行星在轨道上的运动速度与其离太阳的距离的平方保持不变。
这就是开普勒第二定律的公式。
通过这个公式，我们可以进一步理解行星在轨道上的运动规律。
当行星离太阳较近时，它的运动速度较快；当行星离太阳较远时，它的运动速度较慢。
这是因为行星在离太阳较近的地方受到的引力较大，需要更快的速度来保持在轨道上；而在离太阳较远的地方，行星受到的引力较小，可以以较慢的速度运动。
开普勒第二定律的公式不仅适用于行星的运动，也适用于其他天体的运动。
例如，卫星绕地球的运动、月球绕地球的运动等都可以用这个公式来描述。
这个公式为我们研究天体运动提供了一个重要的工具，帮助我们更好地理解宇宙的奥秘。
总结一下，开普勒第二定律描述了行星在其椭圆轨道上的运动速度与其离太阳的距离的关系。
根据这个定律，我们可以推导出开普勒第二定律的公式，即行星在轨道上的运动速度与其离太阳的距离的平方保持不变。
开普勒定律万有引力定律教案(教师用)
开普勒定律与万有引力定律教案（教师用）一、教学目标1. 让学生了解开普勒定律的背景和意义，掌握开普勒定律的内容及应用。
2. 引导学生理解万有引力定律的发现过程，掌握万有引力定律的公式及适用范围。
3. 培养学生的观察能力、思考能力和实践能力，提高学生对天文学和物理学知识的兴趣。
二、教学内容1. 开普勒定律：（1）开普勒定律的背景和意义（2）开普勒定律的内容及其推导过程（3）开普勒定律的应用案例2. 万有引力定律：（1）万有引力定律的发现过程（2）万有引力定律的公式及其含义（3）万有引力定律的适用范围和局限性三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）开普勒定律的内容及其应用（2）万有引力定律的公式及其适用范围2. 教学难点：（1）开普勒定律的推导过程（2）万有引力定律的公式推导和理解四、教学方法1. 采用讲授法，讲解开普勒定律和万有引力定律的相关知识。
2. 运用案例分析法，分析开普勒定律的应用案例，加深学生对开普勒定律的理解。
3. 引导学生进行讨论和思考，通过问题解答法帮助学生掌握万有引力定律的公式及其适用范围。
4. 利用多媒体演示和实验，增强学生对知识点的感性认识。
五、教学过程1. 导入新课：简要介绍开普勒定律和万有引力定律在物理学和天文学中的重要性。
2. 讲解开普勒定律：讲解开普勒定律的背景、内容及其推导过程，分析开普勒定律的意义和应用。
3. 讲解万有引力定律：讲解万有引力定律的发现过程，推导万有引力定律的公式，分析其含义和适用范围。
4. 案例分析：分析开普勒定律的应用案例，让学生了解开普勒定律在实际问题中的应用。
5. 课堂讨论：引导学生讨论万有引力定律在实际问题中的应用，解答学生提出的问题。
6. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
7. 总结与展望：总结本节课的主要内容，强调开普勒定律和万有引力定律在物理学和天文学中的地位和作用，激发学生对后续课程的兴趣。
六、教学评价1. 课堂讲解评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问和回答问题的表现，以及学生对开普勒定律和万有引力定律的理解程度。
开普勒第三定律
开普勒第三定律也适用于部分电荷在点电场中运动的情况。因为库仑力与万有引力均遵循“平方反比”规律， 通过类比可知，带电粒子在电场中的椭圆运动也遵循开普勒第三定律。
先构造一个匀速圆周运动的模Fra bibliotek，根据牛顿第二运动定律和库仑定律计算圆周运动周期，再将粒子由静止开 始的直线加速运动当做一个无限“扁”的椭圆运动，用开普勒第三定律计算粒子运动时间。
开普勒第三定律为经典力学的建立、牛顿的万有引力定律的发现，都作出重要的提示。
定律定义
开普勒在《宇宙谐和论》上的原始表述：绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其各自椭圆轨道半长 轴的立方与周期的平方之比是一个常量 。
常见表述：绕同一中心天体的所有行星的轨道的半长轴的三次方（ a³）跟它的公转周期的二次方（T²）的比 值都相等，即， （其中M为中心天体质量，k为开普勒常数，这是一个只与被绕星体有关的常量 ，G为引力常量， 其 2 0 0 6 年 国 际 推 荐 数 值 为 G = 6 . × 1 0 ⁻ ¹ ¹ N · m ²/ k g ²） 不 确 定 度 为 0 . × 1 0 ⁻ ¹ ¹ m ³k g ⁻ ¹ s ⁻ ² 。
用开普勒第三定律解决二体问题时，可将两个质点在相互作用下的运动，可约化为一个质点相对另一个质点 的相对运动，质点的质量需改用约化质量，即，其中，为两质点的质量。
开普勒第三定律也可以表示为：
引入天体质量后可表示为：
其中，为两个相应的行星质量，，为两个相应行星围绕同一恒星运动的周期，，为两个行星围绕同一恒星运 动的平均轨道半径。 通过拓展形式，可以根据绕同一行星的两星体轨道半径估测星体质量，或根据星体质量估 测运行轨道。
由运动总能量，得，则运动周期为 即 其中，，，和是方程的根，它们是椭圆运动的两个转折点，a为轨道半径，G为引力常量，M为中心天体的质 量。
开普勒第二定律近日点速度大于远日点速度推导
开普勒第二定律是描述行星在椭圆轨道上运行时，行星与太阳连线在相等时间内扫过相等面积的定律。
而开普勒第二定律还有一个更深刻的数学推导，即近日点速度大于远日点速度。
我们将从简单的几何图形入手，逐步推导出这一定律。
1. 几何图形的初始认识在探讨开普勒第二定律之前，我们先来了解一下椭圆轨道。
椭圆轨道有两个焦点，其中一个焦点是太阳。
行星的轨道上离太阳最近的点称为近日点，离太阳最远的点称为远日点。
我们可以画出一条连接行星与太阳的直线，并在不同时间点测量这条直线与轨道所围成的面积。
2. 面积与时间的关系根据开普勒第二定律，我们知道在相等的时间内，行星与太阳连线所扫过的面积相等。
假设在相等的时间内，行星在近日点和远日点的位置分别为P1和P2，太阳在焦点处。
那么由于椭圆轨道的性质，我们可以发现P1点所在的扇形面积要大于P2点所在的扇形面积。
3. 近日点速度大于远日点速度的推导由于相等时间内扫过的面积相等，而P1点所在的扇形面积大于P2点所在的扇形面积，P1点对应的线速度必然大于P2点对应的线速度。
这就是开普勒第二定律中近日点速度大于远日点速度的推导过程。
4. 结语通过几何图形的分析和面积与时间的关系，我们得出了近日点速度大于远日点速度的结论。
这一定律的推导深刻而直观，可以帮助我们更好地理解行星在椭圆轨道上的运行规律。
对于我们理解开普勒定律的深度和广度也起到了重要的支持作用。
5. 个人观点从数学角度推导开普勒第二定律，不仅可以增加我们对这一定律的理解深度，也能够帮助我们在科学研究中更准确地应用这一定律。
当然，对于日常生活中对天体运动感兴趣的人来说，这一推导过程也能够增加对天文知识的兴趣和理解。
通过以上的文章撰写，我们深入理解了开普勒第二定律近日点速度大于远日点速度的推导过程，并且对此有了更深入的认识和理解。
希望这篇文章能够对您有所帮助。
开普勒第二定律，也称为面积定律，是描述行星在椭圆轨道上运行时，行星与太阳连线在相等时间内扫过相等面积的定律。
开普勒第三定律在电学中的一个应用及证明
开普勒第三定律在电学中的一个应用及证明开普勒第三定律是物理学中一项重要的定律，它的定义是：“任何物体以规律的恒定速率旋转，它的磁力矩和力矩之间的比率是一个定值”。
在电学中，开普勒第三定律有多种应用，包括电动机、发电机、电场计算等。
本文将介绍其中一个应用，即在计算发电机电场的情况下，开普勒第三定律可以用于证明该电场衰减。
一、开普勒第三定律及其在电学中的应用
1、什么是开普勒第三定律？
开普勒第三定律又被称为开普勒定律，据该定律规定，任何物体以规律的恒定速率旋转，它的磁力矩和力矩之间的比率是一个定值。
2、开普勒第三定律在电学中的应用
开普勒第三定律可以用来计算发电机的电场衰减，也可以用于计算电动机或变压器的工作原理，还可用于计算电流、电压等电学参数之间的关系。
二、在发电机电场的情况下，如何证明该电场衰减的原理
1、首先，可以将该电动机的电压与相对应的磁力矩做对比。
通常情况下，电压V与电机的磁力矩T之间的比率是一定的，而当调节磁力矩
T的大小时，由开普勒第三定律可知，电压V也会相应地衰减。
2、其次，我们可以根据发电机的原理，使用一定操作可以使发电机产生电流，其中包括使用一组磁铁和电流交换，是让发电机把可转换的磁能转换为可见的热量和动能。
在此情况下，发电机的磁力矩也会随着电场的大小而改变，它的变化情况满足开普勒第三定律。
因此，我们可以根据此定律证明发电机的电场随着磁力矩变化而衰减。
三、结论
综上所述，开普勒第三定律可以用于电学领域，在计算发电机电场时尤其有用。
根据开普勒第三定律，我们可以证明发电机电场随着磁力矩变化而衰减，这表明开普勒第三定律在电学中也有重要应用。
开普勒效应的原理与应用
开普勒效应的原理与应用一、什么是开普勒效应？开普勒效应是由德国天文学家约翰内斯·开普勒于17世纪初发现并提出的一项重要天文现象。
该效应描述了行星围绕太阳运动的规律，进一步揭示了行星运动的本质和规律。
二、开普勒效应的原理开普勒效应的原理可以归结为以下两个方面：1.第一定律：行星轨道是椭圆形的，并且太阳位于椭圆的一个焦点上。
–行星在轨道上的运动并非圆形，而是椭圆形。
–太阳位于椭圆的一个焦点上，而不是椭圆的中心。
2.第二定律：行星与太阳之间的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
–行星在轨道上的运动速度是变化的。
–当行星离太阳较远时，行星运动速度较慢；当行星靠近太阳时，运动速度加快。
三、开普勒效应的应用开普勒效应在天文学研究和其他领域中有许多重要的应用，下面列举了其中几个重要的应用：1.行星运动预测–利用开普勒效应的规律，科学家可以预测和计算行星在轨道上的位置和速度。
–这对于天文学家来说非常重要，能够帮助他们精确观测行星的位置和轨迹。
–同时，还可以预测未来的行星位置，并进行后续观测和研究。
2.恒星质量测量–开普勒效应可用于测量恒星和行星之间的相互作用。
–当行星绕恒星运动时，它的引力会对恒星产生扰动，使恒星的位置产生微小的变化。
–通过观测恒星的光谱，并测量其中的频率移动，可以推断出恒星的质量。
3.寻找太阳系外行星–利用开普勒效应的原理，科学家可以探测到太阳系外的行星存在。
–当行星绕绕圆恒星运动时，产生微小的频率变化，这可以通过观测到的星光频谱上的周期性变化来检测。
–这为研究和发现太阳系外行星提供了重要的工具和方法。
4.量子力学研究–开普勒效应的运动规律也在量子力学研究中有着广泛的应用。
–量子力学描述了微观领域的粒子运动行为，其中的波粒二象性也符合开普勒效应的规律。
–通过研究和应用开普勒效应的原理，科学家可以更好地理解量子力学的基本原理和行为。
5.卫星轨道设计–在航天工程中，开普勒效应用于设计和计算卫星的轨道和运动规律。
开普勒定律的推导与应用
开普勒定律的推导与应用开普勒定律是描述行星运动规律的基本定律，它由德国天文学家约翰内斯·开普勒在17世纪初提出。
开普勒的研究奠定了现代天文学的基础，对于我们理解宇宙的运行方式至关重要。
本文将对开普勒定律进行推导，并介绍其在实际应用中的价值。
一、开普勒定律的推导开普勒定律包括三个基本定律，分别是：1. 第一定律：行星绕太阳运行的轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
这个定律的推导基于椭圆几何学。
椭圆是一个离心率小于1的闭合曲线，根据几何性质，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为常数。
我们可以将太阳放在椭圆的一个焦点上，行星绕太阳运行就是沿着这个椭圆轨道进行，第一定律得以成立。
2. 第二定律：在相同的时间内，行星与太阳连线所扫过的面积相等。
第二定律的推导基于行星运动的角动量守恒定律。
行星运动的角动量可以表示为行星与太阳连线的矢量与行星的径向速度矢量的叉乘。
由于角动量守恒，行星在运动过程中的径向速度和距离会相应变化，使得扫过的面积相等。
3. 第三定律：行星绕太阳的轨道时间的平方与半长轴的立方成正比。
第三定律的推导涉及到质心运动和牛顿定律。
我们可以将太阳和行星看作一个质量差异极大的双星系统，双星系统的质心位置不断改变，但质心的运动速度保持不变。
根据质心运动的性质，我们可以得到行星运动的周期与轨道半径的关系，即第三定律。
二、开普勒定律的应用开普勒定律在天文学和航天学等领域有着广泛的应用。
以下列举了几个典型的应用场景：1. 行星运动的预测与观测开普勒定律提供了精确描述行星运动的数学模型，可用于预测和观测行星在未来的位置和运动轨迹。
这对于航天任务的规划、太阳系的研究以及行星的观测都非常重要。
2. 星系结构与演化研究开普勒定律不仅适用于太阳系内的行星运动，也适用于星系内恒星的运动规律。
通过观测和分析星系内恒星的运动，可以研究星系的结构、演化和宇宙学的问题。
3. 太空探测器的轨道设计太空探测器的轨道设计需要精确预测探测器在空间中的位置和速度，开普勒定律提供了准确的模型和计算方法。
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开普勒定律的推导及应用
江苏南京师范大学物科院王勇江苏海安曲塘中学周延怀
随着人类航天技术的飞速发展和我国嫦娥绕月卫星的发射成功，以天体运动为载体的问题将成为今后考查热点。
在现行的高中物理教材中主要引用了开普勒三大定律来描述了天体的运动的规律，这三条定律的主要内容如下：
（1）所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上。
（2）对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
（3）所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值。
至于行星绕太阳的轨道为何是椭圆以及中的常量C与那些量相关并无说明。
为了更深入的理解天体和人造卫星的运行规律，本文将以椭圆的性质为基础从理论上推导开普勒定律。
一、开普勒第一定律
1．地球运行的特点
（1）由于地球始终绕太阳运动，则太阳对地球的万有引力的力矩始终为零，所以地球在运动过程中角动量守恒。
（2）若把太阳与地球当作一个系统，由于万有引力为保守力且无外力作用在这个系统上，所以系统机械能守恒。
2．地球运行轨迹分析
地球在有心力场中作平面运动且万有引力的作用线始终通过太阳，所以建立如图所示的极坐标系，则P点坐标为(r，θ)。
若太阳质量为M，地球质量为m，极径为r时地球运行的运行速度为v。
当地球的运行速度与极径r垂直时，则地球运行过程中的角动量（1）若取无穷远处为引力势能的零参考点，则引力势能，地球在运行过程中的机械能（2）
（1）式代入（2）式得：（3）
由式（3）得：（4）
由式（4）可知，当地球的运行速度与极径r垂直时，地球运行的极径r有两解，由于初始假设地球的运行速度与极径垂直，所以r为地球处在近日点和远日点距太阳的距离。
考
虑到地球的这两个位置在极坐标系中分别相当于和，可把式（4）中
的号改写为更普遍的形式极坐标方程。
则地球的运行轨迹方程为（5）（5）式与圆锥曲线的极坐标方程吻合，其中（p
为决定圆锥曲线的开口），（e为偏心率，决定运行轨迹的形状），所以地球的运行轨迹为圆锥曲线。
由于地球绕太阳运动时E<0，则圆锥曲线的偏心率，所以地球绕太阳运行的轨迹为椭圆。
3．人造星体的变轨
由于运载火箭发射能力的局限，人造星体往往不能直接由火箭送入最终运行的空间轨道，若要使人造星体到达预定的轨道，要在地面跟踪测控网的跟踪测控下，选择合适时机向卫星上的发动机发出点火指令使人造星体的速度增加（机械能增加），进而达到改变卫星运行轨
道的目的。
如图所示最初人造星体直接由火箭送入近地轨道1，此时，偏
心率e=0，人造星体运行的轨迹为圆；当到达A点时，人造星体发动机点火，此时
<E<0，偏心率0<e<1，运行的轨迹为椭圆轨道2；当到达B点时，人造星体发动机再次点火，
当时，偏心率e=0，人造星体将在圆轨道3上运行；当到达B点时人造星发动机再次点火，人造星体将在开口更大的椭圆轨道4上运动，人造星体将离地球越来越远，当地球对它的引力小于其它星体对它的引力时，人造星体将脱离地球的束缚奔向其它星体（如嫦娥一号卫星）。
二、开普勒第二定律
行星绕太阳的轨道为椭圆，若在时刻t行星位于A点，经dt时间后行星位于点B，在
此时间内行星的极径r转过的角度为dθ，则AOB所围的面积（1）（1）式除以dt有（2）
由于角动量（3）
（3）式代入（2）式得
由于L是恒量，所以单位时间内极径所扫过的面积也是恒量。
所以地球在近日点运
行的快，在远地点运行的慢。
如图人造星体从轨道1变化到轨道3的过程中，若点火前后A、B两点的速度分别为V1．V2．V3．V4，则点火前后速度V1<V2，V3<V4；在椭圆轨道3上A、B两点分别为近地点和远地点，则速度V2>V3；由于人造星体在轨道1。
轨道3上做匀速圆周运动，以V1>V4；故V2>V1>V4>V3。
三、开普勒第三定律
行星绕太阳运动椭圆轨道的面积，根据椭圆的性质则椭圆的面积（a为长轴，b为短轴）由于单位时间内极径所扫过的面积
则周期（1）
根据椭圆的性质和开普勒第一定律，半长轴
（2）
（2）式得
（2）式代入（1）式得（3）根据椭圆的性质，椭圆的半短轴，则（4）
式（4）代入（3）式得C，由此式可知绕同一中心天体运行的人造星体轨道半长轴的三次方跟它们的公转周期的二次方的比值由中心天体的质量所决定。
例飞船沿半径为R 的圆周绕地球运动，其周期为T，如图所示如果飞船要返回地面，可在轨道上的某点A将速度降低到适当的数值，从而使飞船沿着地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，求飞船由A 点到B 点所需的时间。
(已知地球半径为R0)
分析：无论飞船是沿圆轨道运行还是沿椭圆轨道运行，飞船都是绕地球运动，所以运行
时间与轨道之间的关系满足C，故有
解得
则飞船由A点到B 点所需的时间为
参考文献：
[1]程守洙，江之永．普通物理学．高等教育出版社，2003
[2]马文蔚物理学．高等教育出版社，2004。