第六章 交通流体理论

图2 信号交叉口的波型时距
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2 信号交叉口交通波分析
状态A、B和D持续到t2时刻， 信号又变为绿色，等候在停 车线处的车队开始启动并通 过交叉口。于是又形成了一 个新的流量状态C。当停车 线处的交通流从零增加到饱 和流时，静止波ωDB终止了， 但却形成了两种新的交通波 ωDC和ωBC。
图2 信号交叉口的波型时距
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uw<0，意味着：
q2 q1 0 k2 k1 0
或
q2 q1 0 k 2 k1 0

前一种情况交通流从高流量、低密度、较高速度 进入低流量、高密度、较低速度状态。由于此时 交通波向后运动，所以上游交通流状态将受到影 响而变差。 后一种情况交通流从高密度、低流量、低速度状 态进入到低密度、高流量、高速度状态。由于交 通波向后运动，将对上游交通状况有所改善，如 前方阻碍解除时会出现这种状况。 13
第六讲 交通流体理论
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第一节 概述

1955年，英国学者莱特希尔（Lighthill） 和惠特汉（Whitham）将交通流比拟为一 种流体，研究了在车流密度高的情况下的 交通流规律，提出了流体动力学模拟理论。

Richads也提出了类似的交通流理论。
这种描述交通流的一阶连续介质模型，被 称为LW理论或LWR理论。
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交通流从高流量、低密度、高速度区进入到低流 量、高密度、低速度区， 波速为负，为后退波。 交通流从低流量、高密度、低速度区进入到高流 量、低密度、高速度区， 波速为正，为前进波。 停车波或启动波都是后退波 。



交通波动理论可用于分析车流拥挤-消散过程。
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第四节交通波理论应用
——信号交叉口车辆集结与消散分析

交叉口排队长度: 排队车辆数:
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绿灯信号亮时,等候车辆开始启动,车流量由零增加到设施 的最大流量(通行能力)qm,其相应的密度为k,速度为v。此 时形成一启动波(后退波),其波速为：

假定在t3-t2时间内(图2),波ωBC与ωAC均不发生变化,且 qm>qA,则波ωBC追上波ωAB后产生新的前进波ωAC,其大 小为：
[q (q q)]t [k (k k )]x
或：
k q 0 t x
取极限可得：
又： 故：
k q 0 t x
上式表明，当车流量随距离而降低时，车 流密度则随时间而增大。
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如果路段上有交通的产生或离去，那么守恒方程 采用如下更一般的形式：
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图2 信号交叉口的波型时距
图3 流量-密度(q-k)曲线
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3 信号交叉口车辆的集结与消散

设一邻近交通信号的单车道,入口交通量为qA,密度为kA, 红灯信号时间为tr,绿灯时间为tg。
遇红色信号灯时,车辆开始在停车线前停止,车流密度达到 最大密度(即阻塞密度kj),一后退波向尾部传播,其波速:
13.3
20.0 30.0 46.7 80.0 180 -
20.0
30.0 45.0 70.0 120 270 -
26.7
40.0 60.0 93.0 160 360 33
0.8
0.9 1.0
6.2
4.6 2.7
讨论

从表2可看到,随着入口车辆到达率的增加,交叉口排队长度也随之增加, 消散时间也就变长,且递增的速度很快,这与实际情况是吻合的。
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交通流与流体流的比拟
物理特性 连续体
离散元素 变 动 量 量 质量m 速度v 压力p mv P=cmt
流体动力学系统 单向不可压缩流体
分子
交通流系统 单车道不可压缩车流
车辆 密度k 速度u 流量q ku q=ku
状态方程 连续性方程 运动方程
m (mv) 0 t x dv c 2 m 0 dt m x

4、停车波和启动波

应用格林希尔治线性模型分析 交通波模型。
已知格林希尔治线性模型的表达式为:
ui u f (1 ki / k j )

为了便于推导，密度标准化，令：
i ki / k j
uw [k1u f (1 1 ) k2u f (1 2 )] k1 k2
uw u f [1 (1 2 )]
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1 交通波的生成
wAB
qB qA q kB k A k
图1 交通流状态
若ωAB>0，则为前进波；若ωAB=0，则为静止波；若ωAB<0，则为后退波。
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2 信号交叉口交通波分析
从时间t0到t1时刻，信号为 绿色，其交通流状态如图2 中A域。在t1时刻，信号变 为红色，到达车辆将在停车 线前停止，并集结成一密集 的车队。状态A一分为三， 变成了状态A、D和B，并 在停车线处形成了3个交通 波，即前进波ωAD、静止波 ωDB和后退波ωAB。
q k g ( x, t ) x t

其中，g ( x, t ) 是指车辆的产生（离去）率（每单位 长度、每单位时间内车辆的产生或离去数）。
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第三节交通波动理论
1、交通流回波现象
交通车流和一般的流体一样，当道路具有瓶颈形 式路段，车流发生紊乱拥挤现象，会产生一种与车流 方向相反的波，好像声波碰到障碍物时的反射一样， 阻止车流前进，降低车速。
后一种情况表示交通流从高流量、高密度、低速度区进入 低流量、低密度、高速度区，下游交通状态变好，但因交 通波向前运动，并不改善上游交通状态，如当交通流从一 条6车道的主干道分入两条4车道的支路时会出现这种状况。
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uw=0的情形，此时只有q2-q1=0 。 这是一种流量相同、速度和密度不同的两种交通 流状态的转换。 当交通流量不大，道路由多车道变为少车道或反 之，都会出现这种状态。或者交通流停止运行状 态，如信号交叉口遇红灯时。 此时的交通波发生在瓶颈处，既不前移，也不后 退。
上式关于k取微分求极值,得:
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令x=kJ/kA,x≥1,于是有kA=kJ/x, 因此有:


令 则有

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车队消散的时间:
车队消散时间与 波速无关,仅与红 灯时间及车辆到 达率有关。当p=1 时,T为无穷大,将 造成堵车现象。
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算例：

假定车辆平均长度d=6.0m,交通阻塞时单车道车辆间的平 均距离y=2.04m，通过交叉口时车辆间的最小平均车头时 距hm=2.0s, 则平均车头间距ha及阻塞密度kj为:
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uw>0，意味着：
q2 q1 0 k 2 k1 0
或
q2 q1 0 k2 k1 0

前一种情况表示交通流从低流量、低密度、高速度区进入 到高流量、高密度、低速度区，但两种交通流界面向下游 运动，即高密度区并未向上游扩展。例如，当两条4车道 支路汇集到一条6车道主路时会出现这种状况。
图2 信号交叉口的波型时距
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2 信号交叉口交通波分析
在t5时刻，红色信号灯亮， 第二个信号周期开始，交叉 口上游的交通波模式又周而 复始，而下游产生的交通波 ωAD在t6时刻与波ωAC相交， 形成了新的交通波ωCD，波 ωAC和ωAD则终止了。如此 下去，只要交通需求和信号 时间规律保持不变，交通波 模式将在每个信号周期中周 而复始地运行。
ha=d+y=6.0+2.04=8.04m； kj=1000/ha=1000/8.04=124veh/km


最大流量为: q=3600/hm=3600/2.0=1800veh/h 取∆p=0.1,在0<p≤1范围内,由牛顿迭代法解算式可得x的数 值解(x有两个解,取其大值),再代入上述相应计算式可得红 灯时间分别为20s、30s和40s时的相应解,参见表1和表2。
p
0.1 0.2 0.3
x
kA
L（m）
20
8.1 16.4 25.0
N（veh）
20
1 2 3
Td（s）
20
2.2 5.0 8.6
30
12.2 24.6 37.5
40
16.2 32.9 50.0
30
2 3 5
40
2 4 6
30
3.3 7.5 12.8
40
4.4 10.0 17.1
132. 0.93 54.3 2.28 31.2 3.98 20.5 6.04 14.6 8.52 10.8 11.5 8.1 15.2 20.0 26.8 45.6
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3、车流波速方程

假设一条路上有两个相邻的不同交通流密度区域， 由交通流量守恒可知，在时间t内通过界面S的车 数N可以表示如下：
N ur1k1t ur 2k2t

(u1 uw )k1 (u2 uw )k2
其中 u u u r1 1 w 因此
ur 2 u2 uw
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起动波

当车辆起动时， k1= kj ，即η1 =1
u2 u f (1 2 )
u2 2 1 ( ) uf
uw u f [1 (2 1)] u f 2 (u f u2 )

由于刚刚起动车速u2很小，同uf相比可忽略不记。 因此，排队等待车辆从一开始起动，就产生了 起动波，该波以接近uf 的速度向后传播。
du du 2 k k( ) 0 dt dk x 3
k (ku) 0 t x
第二节 车流连续性方程

假设车辆顺次通过断面1和断面2的时间间 隔为Δt，间距为Δx。车流在断面1的流入量 为q，密度为k。车流在断面2的流出量为 q+Δq，密度为k-Δk。