计量经济学课件-第四章
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ei2 f X j 2 X j evi j 1, 2 k
ln e
2 i
ln
2
ln X ji vi
• 戈里瑟(Gleiser)检验
ei 0 1 X ih vi
h可取1，2，1/2，－1，－1/2
• 一般而言，对于大样本情况，选择上述五种形 式可以得到较为满意的结果，对于小样本，只 能作为了解异方差某些信息的一种手段。
X 'X
1
X ' X
wk.baidu.com1
• 此处
n n 2 ' q j q ' ' i 1ei x i x i j 1 1 i j 1 x i ei ei j x i j x i j ei jei x i nk q 1
Yi b0 b1 X i U i
模型除异方差外，满足经典假定 检验步骤：将样本从小到大排列后去掉中间四分之 一的样本单位，组成由较小观测值和较大观测值构成 2 的两个子样本，分别回归，记残差平方和为 e12i , e2i
• 构造F统计量
F
e
2 2i
e
2
2 1i
nc 2 2 ~ F n c 2, n c 2 2 nc 2 2 2
b ( X ' X )1 X ' Y ( X ' X )1 X '( Xb U ) b ( X ' X )1 X 'U
由于U的均值为0，因此 估计量的方差为：
E b b
不影响无偏性
var(b) E[(b b)(b b) '] E[( X ' X ) 1 X 'UU ' X ( X ' X ) 1 ] ( X ' X ) 1 X ' E[UU '] X ( X ' X ) 1
Yi b0 b1 X1i bX 2i U i
• 建立如下辅助回归方程
2 ei2 0 1 X 1i 2 X 2i 3 X 12i 4 X 2i 5 X 1i X 2i Vi
• 原假设：
构造统计量
u2 u2
i
nR 2 ~ 2 (k )
y e log( y ) log( y ) log y
• （2） HAC（Heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance ） 已知：在异方差和序列相关情况下，OLS估计 仍是无偏的，但是不是有效的估计量，我们可 以保持无偏的最小二乘法估计，但是使用某个 矩阵来对无效性进行修正。
• 如图：
~ ei 2 ~ ei 2
X 同方差 递增异方差
X
~ ei 2
~ ei 2
X
递减异方差 复杂型异方差
X
或者观察
X i , Yi
或者残差分布图
• （2）戈德菲尔－夸特检验（ Goldfeld-Quandt） 基本思想：将样本分成大小相等的两个子样本分别 回归，如果模型存在递增或递减异方差，两个残差平 方和比值比较大，可以构造一个统计量检验这个比值。 以下我们检验递增异方差的存在。
~ ~ ~ ~ e' e Y Y
'
~ ~ ~ ' ~ Y Y PY PX b PY PX b
~ ~ Y X b 'Y X b ~ e 'e X b i2 i2
• 如果原假设 u u 成立，不存在异方差，则F统计量会比较小， 反之比较大，当 F F , 拒绝原假设，存在异方差。
2
i
• 为保证 检验效果，需要大样本。一次检验一个解释变量。 思考：如何检验递减异方差？
• （3）White检验 可以检验U与多个解释变量之间的异方差、较 复杂形式的异方差。 检验思想：构造残差平方对于解释变量的一个 包容性较强的异方差形式，检验其在统计上是 否显著成立，如果成立，说明异方差存在并且 可以知道异方差的形式。 检验过程：
思考：多元模型是否同样以此方法修正？
• 运用WLS的难点：如何估计异方差的形 式？
• 附注：经验方法－对数变化 利用序列的对数值取代原值进行回归， 通常可以降低异方差性的影响。因为： （1）对数变化使测定变量值的尺度缩小， 将两个数值间原来10倍的差异缩小到2倍 的差异 （2）经过对数变换后的线性模型，残差 表示为相对误差，而相对误差差异较小
异方差的类型： 异方差是U的方差随着解释变量的变动而变 动，其关系大致分为： U的方差随解释变量的增大而增大 递增 异方差 U的方差随解释变量的增大而减少 递减 异方差 U的方差与解释变量之间的复杂关系 复杂 异方差
• 计量经济分析中的异方差问题 使用截面数据的时候容易出现异方差问题， 因为在不同样本点上除解释变量外其它因素差 异很大，时间序列相对来说差异要小。
如：收入支出模型，不同收入水平的家庭，影响 支出的家庭内部及外部环境可能不同，支出的 随机变动就会有差异。
再如：生产函数模型，不同样本企业的内外部 环境差异导致影响产出的随机因素存在差异。
• 2、异方差OLS估计的后果 对于存在异方差问题的模型，采用OLS估计会有何不利 结果？ (1) 估计量无偏，但是非有效。
PY PXb PU
• 令
Y PY , X PX ,U PU
~
~
~
• 则原模型的估计等价于对以下模型的估计：
Y X b U
该模型的误差项具有等方差和无序列相关性质
~ ~ E U U ' E PUU ' P ' PE UU ' P ' u2 PP ' u2 I n
bi
t bi S
（3）预测精度降低 为什么？
• 3、异方差的检验 各种异方差检验的基本思路：异方差的概念是 U的方差随着X的变动有规律地变动，因此， 建立U的方差和X的回归方程进行检验，如果 两者之间的回归关系显著的化，可以认定异方 差的存在。由于U的方差不可观测，一般先利 用OLS估计模型，用残差替代U进行检验。常 用检验方法包括： （1）图示法 X i , ei2 散点图的规律 观察
2 ( X ' X ) 1 X '( U ) X ( X ' X ) 1
显然与不存在异方差时的方差是不同的，可能高于或低 于不存在异方差时的方差，有效性丧失。
（2）系数显著性检验失效
因为 , 系数显著性检验是建立在正确估计 参数及估计量的方差基础之上，如果出现异方 差，估计量及其方差出现偏误（偏大或偏小）， t 检验失效。
n 1 1 n 2 ' X ' X i 1ei xi xi X ' X nk
• 此处n为样本观测值个数，K是解释变量个数， e是OLS残差。
• 第二种：Heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance ，HAC Ccovariances (Newey-West， 1987) • White描述的协方差矩阵，需要假定回归方程的残差是 序列不相关的。Newey和West提出另外一个更加一般 的协方差矩阵。该协方差矩阵可以保证同时存在未知 形式的异方差和自相关时，估计是一致的。该矩阵是
4、异方差的修正 两种方法： WLS：适用于异方差形式已知情形 HAC：适用于异方差形式未知情形 （1）WLS方法（Weighted Least Square，加权最 小二乘法） WLS是GLS（Generalized Least Square)的特例。 那么，什么是GLS？
• 对于模型
Y Xb U
一般地，如果
Var U i 2 f X i
Yi b0 1 f Xi b1 Xi Ui
则修正模型为：
f Xi Var
f Xi
f Xi
Ui2 2 f X i E 2 f X f Xi f Xi i Ui
如果原假设成立，统计量的取值如何？
2 2 ，拒绝原假设，存在异方差
怀特检验可以分别对包含交叉项和不包含交叉项的辅 助方程进行回归
• （4）试验检验法 检验思路：假设异方差的可能形式，再进行回 归检验。试验检验法可以考虑更为多样复杂的 异方差形式，但是工作量比较大。比较常用的 检验有： 帕克(Park)检验
2 b ~ N (b,( X ' X )1 X '(U ) X ( X ' X )1 )
当U的协方差矩阵 未知时，可以运用从最小 二乘法估计得到的估计残差，来代替原来的具 有异方差的协方差矩阵，记为 ，即对 的 估计。那么 b 还是可用的估计量。
2 U
2 U
• 有两种构造的方法：White和Newey-West 第一种：Heteroskedasticity Consistent Covariances (White，1980) • 当存在未知形式的异方差时，Eviews提供了 White协方差矩阵以替代OLS的协方差矩阵。
其中Eviews按照Newey和West的建议，将q设定为
除
12 12 1n 2 2n 2 2 21 2 E[UU '] U U I 2 n2 n n1
外，其它假定满足
若 是正定矩阵，存在一个非奇异矩阵P，满足
I P ' P
，如果模型做修改后的误差项方差为 I ，就可 以转化为经典模型。 对原模型做如下修改：用P左乘模型的两边
b
~
当 （WLS)
I
当
时，GLS=OLS
12 0 0 0 0 2 0 0 n
时，即为加权最小二乘估计
• 加权最小二乘估计是利用加权残差平方和最小 标准得到参数估计量
12 2 2 2 n 12 22 1 n2
~ Y X b ' P ' P Y
• WLS的简易实现 Y b b X U 如：
i 0 1 i
i
Var U i 2 X i2
Yi U 1 b0 b1 i Xi Xi Xi U Var i Xi Ui2 E 2 Xi 2 X i2 2 2 Xi
~
~
~
因此可以采用普通最小二乘估计
1 1 1 b X ' X X 'Y X ' P ' PX X ' P ' PY X ' X X ' 1Y ~ ~ ~ 1 ~ ~
•
称为广义最小二乘估计量（Generalized Least Square,GLS) 问题：证明在异方差和序列相关的情况下， GLS是优良估计量。计算广义最小二乘估计量 的分布（均值、方差）
第四章 放宽经典假定的模型
一、异方差性
• 1、异方差的概念（ Heteroskedasticity）
2 如果 Var U i u ，或者
12 0 0 2 E[UU ' ] U 0 0 2 0 0 n
即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数， 而是互不相同，存在异方差问题的模型为异方差模型。
ln e
2 i
ln
2
ln X ji vi
• 戈里瑟(Gleiser)检验
ei 0 1 X ih vi
h可取1，2，1/2，－1，－1/2
• 一般而言，对于大样本情况，选择上述五种形 式可以得到较为满意的结果，对于小样本，只 能作为了解异方差某些信息的一种手段。
X 'X
1
X ' X
wk.baidu.com1
• 此处
n n 2 ' q j q ' ' i 1ei x i x i j 1 1 i j 1 x i ei ei j x i j x i j ei jei x i nk q 1
Yi b0 b1 X i U i
模型除异方差外，满足经典假定 检验步骤：将样本从小到大排列后去掉中间四分之 一的样本单位，组成由较小观测值和较大观测值构成 2 的两个子样本，分别回归，记残差平方和为 e12i , e2i
• 构造F统计量
F
e
2 2i
e
2
2 1i
nc 2 2 ~ F n c 2, n c 2 2 nc 2 2 2
b ( X ' X )1 X ' Y ( X ' X )1 X '( Xb U ) b ( X ' X )1 X 'U
由于U的均值为0，因此 估计量的方差为：
E b b
不影响无偏性
var(b) E[(b b)(b b) '] E[( X ' X ) 1 X 'UU ' X ( X ' X ) 1 ] ( X ' X ) 1 X ' E[UU '] X ( X ' X ) 1
Yi b0 b1 X1i bX 2i U i
• 建立如下辅助回归方程
2 ei2 0 1 X 1i 2 X 2i 3 X 12i 4 X 2i 5 X 1i X 2i Vi
• 原假设：
构造统计量
u2 u2
i
nR 2 ~ 2 (k )
y e log( y ) log( y ) log y
• （2） HAC（Heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance ） 已知：在异方差和序列相关情况下，OLS估计 仍是无偏的，但是不是有效的估计量，我们可 以保持无偏的最小二乘法估计，但是使用某个 矩阵来对无效性进行修正。
• 如图：
~ ei 2 ~ ei 2
X 同方差 递增异方差
X
~ ei 2
~ ei 2
X
递减异方差 复杂型异方差
X
或者观察
X i , Yi
或者残差分布图
• （2）戈德菲尔－夸特检验（ Goldfeld-Quandt） 基本思想：将样本分成大小相等的两个子样本分别 回归，如果模型存在递增或递减异方差，两个残差平 方和比值比较大，可以构造一个统计量检验这个比值。 以下我们检验递增异方差的存在。
~ ~ ~ ~ e' e Y Y
'
~ ~ ~ ' ~ Y Y PY PX b PY PX b
~ ~ Y X b 'Y X b ~ e 'e X b i2 i2
• 如果原假设 u u 成立，不存在异方差，则F统计量会比较小， 反之比较大，当 F F , 拒绝原假设，存在异方差。
2
i
• 为保证 检验效果，需要大样本。一次检验一个解释变量。 思考：如何检验递减异方差？
• （3）White检验 可以检验U与多个解释变量之间的异方差、较 复杂形式的异方差。 检验思想：构造残差平方对于解释变量的一个 包容性较强的异方差形式，检验其在统计上是 否显著成立，如果成立，说明异方差存在并且 可以知道异方差的形式。 检验过程：
思考：多元模型是否同样以此方法修正？
• 运用WLS的难点：如何估计异方差的形 式？
• 附注：经验方法－对数变化 利用序列的对数值取代原值进行回归， 通常可以降低异方差性的影响。因为： （1）对数变化使测定变量值的尺度缩小， 将两个数值间原来10倍的差异缩小到2倍 的差异 （2）经过对数变换后的线性模型，残差 表示为相对误差，而相对误差差异较小
异方差的类型： 异方差是U的方差随着解释变量的变动而变 动，其关系大致分为： U的方差随解释变量的增大而增大 递增 异方差 U的方差随解释变量的增大而减少 递减 异方差 U的方差与解释变量之间的复杂关系 复杂 异方差
• 计量经济分析中的异方差问题 使用截面数据的时候容易出现异方差问题， 因为在不同样本点上除解释变量外其它因素差 异很大，时间序列相对来说差异要小。
如：收入支出模型，不同收入水平的家庭，影响 支出的家庭内部及外部环境可能不同，支出的 随机变动就会有差异。
再如：生产函数模型，不同样本企业的内外部 环境差异导致影响产出的随机因素存在差异。
• 2、异方差OLS估计的后果 对于存在异方差问题的模型，采用OLS估计会有何不利 结果？ (1) 估计量无偏，但是非有效。
PY PXb PU
• 令
Y PY , X PX ,U PU
~
~
~
• 则原模型的估计等价于对以下模型的估计：
Y X b U
该模型的误差项具有等方差和无序列相关性质
~ ~ E U U ' E PUU ' P ' PE UU ' P ' u2 PP ' u2 I n
bi
t bi S
（3）预测精度降低 为什么？
• 3、异方差的检验 各种异方差检验的基本思路：异方差的概念是 U的方差随着X的变动有规律地变动，因此， 建立U的方差和X的回归方程进行检验，如果 两者之间的回归关系显著的化，可以认定异方 差的存在。由于U的方差不可观测，一般先利 用OLS估计模型，用残差替代U进行检验。常 用检验方法包括： （1）图示法 X i , ei2 散点图的规律 观察
2 ( X ' X ) 1 X '( U ) X ( X ' X ) 1
显然与不存在异方差时的方差是不同的，可能高于或低 于不存在异方差时的方差，有效性丧失。
（2）系数显著性检验失效
因为 , 系数显著性检验是建立在正确估计 参数及估计量的方差基础之上，如果出现异方 差，估计量及其方差出现偏误（偏大或偏小）， t 检验失效。
n 1 1 n 2 ' X ' X i 1ei xi xi X ' X nk
• 此处n为样本观测值个数，K是解释变量个数， e是OLS残差。
• 第二种：Heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance ，HAC Ccovariances (Newey-West， 1987) • White描述的协方差矩阵，需要假定回归方程的残差是 序列不相关的。Newey和West提出另外一个更加一般 的协方差矩阵。该协方差矩阵可以保证同时存在未知 形式的异方差和自相关时，估计是一致的。该矩阵是
4、异方差的修正 两种方法： WLS：适用于异方差形式已知情形 HAC：适用于异方差形式未知情形 （1）WLS方法（Weighted Least Square，加权最 小二乘法） WLS是GLS（Generalized Least Square)的特例。 那么，什么是GLS？
• 对于模型
Y Xb U
一般地，如果
Var U i 2 f X i
Yi b0 1 f Xi b1 Xi Ui
则修正模型为：
f Xi Var
f Xi
f Xi
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如果原假设成立，统计量的取值如何？
2 2 ，拒绝原假设，存在异方差
怀特检验可以分别对包含交叉项和不包含交叉项的辅 助方程进行回归
• （4）试验检验法 检验思路：假设异方差的可能形式，再进行回 归检验。试验检验法可以考虑更为多样复杂的 异方差形式，但是工作量比较大。比较常用的 检验有： 帕克(Park)检验
2 b ~ N (b,( X ' X )1 X '(U ) X ( X ' X )1 )
当U的协方差矩阵 未知时，可以运用从最小 二乘法估计得到的估计残差，来代替原来的具 有异方差的协方差矩阵，记为 ，即对 的 估计。那么 b 还是可用的估计量。
2 U
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• 有两种构造的方法：White和Newey-West 第一种：Heteroskedasticity Consistent Covariances (White，1980) • 当存在未知形式的异方差时，Eviews提供了 White协方差矩阵以替代OLS的协方差矩阵。
其中Eviews按照Newey和West的建议，将q设定为
除
12 12 1n 2 2n 2 2 21 2 E[UU '] U U I 2 n2 n n1
外，其它假定满足
若 是正定矩阵，存在一个非奇异矩阵P，满足
I P ' P
，如果模型做修改后的误差项方差为 I ，就可 以转化为经典模型。 对原模型做如下修改：用P左乘模型的两边
b
~
当 （WLS)
I
当
时，GLS=OLS
12 0 0 0 0 2 0 0 n
时，即为加权最小二乘估计
• 加权最小二乘估计是利用加权残差平方和最小 标准得到参数估计量
12 2 2 2 n 12 22 1 n2
~ Y X b ' P ' P Y
• WLS的简易实现 Y b b X U 如：
i 0 1 i
i
Var U i 2 X i2
Yi U 1 b0 b1 i Xi Xi Xi U Var i Xi Ui2 E 2 Xi 2 X i2 2 2 Xi
~
~
~
因此可以采用普通最小二乘估计
1 1 1 b X ' X X 'Y X ' P ' PX X ' P ' PY X ' X X ' 1Y ~ ~ ~ 1 ~ ~
•
称为广义最小二乘估计量（Generalized Least Square,GLS) 问题：证明在异方差和序列相关的情况下， GLS是优良估计量。计算广义最小二乘估计量 的分布（均值、方差）
第四章 放宽经典假定的模型
一、异方差性
• 1、异方差的概念（ Heteroskedasticity）
2 如果 Var U i u ，或者
12 0 0 2 E[UU ' ] U 0 0 2 0 0 n
即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数， 而是互不相同，存在异方差问题的模型为异方差模型。