数学九年级上学期《一元二次方程》单元检测卷(带答案)
九年级上学期数学《一元二次方程》单元综合检测题(含答案)
解得：k≤1．
∵k是二次项系数不能为0,k≠0,即k≤1且k≠0．
∵k为非负整数,
∴k=1．
故选B．
[点睛]考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
7.如果关于x的一元二次方程x2+2x+6﹣B=0有两个相等的实数根x1=x2=k,则直线y=kx+B必定经过的象限是（ ）
A.m＜ B.m C.m= D.m=
6.已知关于x的一元二次方程 有实数根,若k为非负整数,则k等于（ ）
A.0B.1C.0,1D.2
7.如果关于x的一元二次方程x2+2x+6﹣B=0有两个相等的实数根x1=x2=k,则直线y=kx+B必定经过的象限是（ ）
A.一、二、三B.一、二、四C.二、三、四D.一、三、四
当A=B时,△=（-6）2-4×（n-1）=0,解得n=10,
所以n为10．
点睛：一元二次方程Ax2+Bx+C=0（A≠0）的根与△=B2-4A C有如下关系：当△＞0时,方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时,方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时,方程无实数根．
17.若关于x的方程x2+2x+k﹣1=0的一个根是0,则k=_____．
C. D.
[答案]B
[解析]
设场地的长为x米,则宽为（x﹣12）米,根据面积可列方程,
x（x﹣12）=210,
故选B．
5.如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根,那么实数m的取值为（ ）
A. m＜ B. m C. m= D. m=
数学九年级上学期《一元二次方程》单元测试题(含答案)
九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷[考试时间:90分钟分数:100分]一、选择题1.方程:① x2−13x =1，② 2x2−5xy+y2=0，③ 7x2+1=0，④ y22=0中，一元二次方程是( )．A . ①和②B . ②和③C . ③和④D . ①和③2.将一元二次方程x2−8x−5=0化成(x+a)2=b(A ，B 为常数)的形式，则A ，B 的值分别是( )A . -4，21B . -4，11C . 4，21D . -8，693.把一元二次方程(x+3)2＝x(3x﹣1)化成一般形式，正确的是( )A . 2x2﹣7x﹣9＝0B . 2x2﹣5x﹣9＝0C . 4x2+7x+9＝0D . 2x2﹣6x﹣10＝04.m、n是方程x2−2019x+2020=0的两根，(m2−2020m+2020)⋅(n2−2020n+2020)的值是( )A . 2017B . 2018C . 2019D . 20205.已知x=1是一元二次方程(m−2)x2+4x−m2=0的一个根，则m的值为( )A . -1或2B . -1C . 2D . 06.x=1是关于x的一元二次方程(a−2)x2−(a2+1)x+5=0的一个根，则A =( )A . -1B . 2C . -1或2D . 不存在7.若关于x的方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则另一个根为()A . ﹣3B . ﹣1C . 1D . 38.已知x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2的值为()A . 1B . 2C . 3D . 49.关于x的一元二次方程x2-4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为( )A . 74 B . 75C . 76D . 010.受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程( )A . 300(1－x)2＝260B . 300(1－x2)＝260C . 300(1－2x)＝260D . 300(1＋x)2＝260二、填空题11.将方程x(x﹣2)＝x+3化成一般形式后，二次项系数为________.12.若m是方程2x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2m﹣4m2的值为________.13.当x=________时，代数式x2−x与x-1的值相等.14.将一元二次方程ax2+bx+c=0，化为(x−m)2= b2−4ac4a2，则m为________．15.抛物线y=2x2+2(k−1)x−k( k为常数)与x轴交点的个数是________．16.已知x1，x2是关于的一元二次方程x2﹣3x+A ＝0的两个实数根，x12﹣3x1x2+x22＝4，则A ＝________.17.若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+2=0的一个根是-1，则另一个根是________．18.已知实数m、n满足x2−7x+2=0，则nm +mn的值________.三、计算题19.解方程:(1)2(x-2)²=18.(2)2x(x+3)-x-3=0四、解答题20.已知关于x的一元二次方程kx2－(2k＋1)x＋k＋3= 0有解，求k的取值范围.21.定理:若x1、x2是关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两实根，则有x1+x2=−m，x1x2=n，请用这一定理解决问题:已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2−2(k+1)x+k2+2=0的两实根，且(x1+1)(x2+1)=8，求k的值.22.如图，在宽为20m，长为27m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为450 ，求道路的宽．23.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9.•如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的两位数.24.根据扬州市某风景区的旅游信息，A 公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元.A 公司参加这次旅游的员工有多少人？扬州市某风景区旅游信息表答案与解析一、选择题1.解:① x2−13x=1不是一元二次方程;② 2x2−5xy+y2=0不是一元二次方程;③ 7x2+1=0是一元二次方程;④ y22=0是一元二次方程．综上:一元二次方程是③和④故答案为:C ．根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐一判断即可．2.解: x2−8x−5=0移项得x2−8x=5，配方得x2−8x+42=5+16，即(x−4)2=21，∴A =-4，B =21．故答案为:A根据配方法步骤解题即可．3.解:由原方程，得x2+6x+9＝3x2﹣x，即2x2﹣7x﹣9＝0，故答案为:A .方程左边利用完全平方公式将原方程的左边展开，右边按照整式乘法展开，然后通过合并同类项将原方程化为一般形式.4.解:∵m，n是方程x2−2019x+2020=0的两根，代入得:∴m2−2019m+2020=0,n2−2019n+2020=0∴m2−2019m=−2020,n2−2019n=−2020代入得:∴(m2−2020m+2020)(n2−2020n+2020)= (m2−2019m−m+2020)(n2−2019n−n+2020)将m2−2019m=−2020,n2−2019n=−2020代入得:(m2−2020m+2020)(n2−2020n+2020)= mn根据韦达定理: mn=ca =20201=2020故答案为:D将m，n代入方程得到m2−2019m+2020=0,n2−2019n+2020=0从而得出m2−2019m=−2020,n2−2019n=−2020，再代入即可求解.5.解:把x=1代入(m−2)x2+4x−m2=0得:m－2+4－m2=0，－m2+m+2=0，解得:m1=2，m2=﹣1∵(m−2)x2+4x−m2=0是一元二次方程，∴m－2≠0，∴m≠2，∴m=−1，故答案为:B .首先把x=1代入(m−2)x2+4x−m2=0，解方程可得m1=2，m2=-1，再结合一元二次方程定义可得m 的值6.解:把x=1代入方程得:−a2+a+2=0解得a=−1或a=2又由于原方程二次项系数不为0即A -2≠0，所以A ≠2所以A =-1故答案为:A把x=1代入方程，解关于A 的一元二次方程，a=−1或a=2，因为原方程A -2≠0，所以a=−1．7.解:设方程另一个根为x1，∴x1+(﹣1)＝2，解得x1＝3．故答案为:D ．设方程另一个根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+(-1)=2，解此方程即可．8.解:∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，则原式＝﹣1﹣(﹣3)＝﹣1+3＝2.故答案为:B .根据韦一元二次方程根与系数的关系，由x1+x2＝−ba =﹣1，x1x2＝ca=﹣3，代入计算可得.9. ∵ x 1 +x 2＝4，则x 1 +3x 2＝5，得x 1 +x 2+2 x 2＝5，2 x 2=5-4=1，x 2= 12,代入原方程得: (12)2−4×12+m=0,m=74故答案为A根据二次方程根与系数的关系求出两根之和，再代入求x2,把x2代入原方程即可求出m.10.由题意可得，元月份为300万元，2月份为300(1-x)，3月份为300(1-x)2=260故答案为:A根据平均降低率与月份的关系可列出方程。
九年级上册数学《一元二次方程》单元检测卷附答案
人教版数学九年级上学期《一元二次方程》单元测试【考试时间：90分钟分数：120分】一、选择题1.一元二次方程的解是（）A. x1=0,x2=1B. x=0C. x=2D. x1=0,x2=22.关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3,则（）A. b＝1,c＝﹣6B. b＝﹣1,c＝﹣6C. b＝5,c＝﹣6D. b＝﹣1,c＝63.将方程化为一元二次方程的一般形式,其中二次项系数为,一次项系数、常数项分别是（）A. -8、-10B. -8、10C. 8、-10D. 8、104.用配方法解方程,配方的结果是（）A. B. C. D.5.已知是方程的一个根,则的值是（）A. 1B. 2C. -2D. -16.关于的一元二次方程的两根应为（）A. B. , C. D.7.为执行“两免一补“政策,某市年投入教育经费万元,预计年投入万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为,那么下面列出的方程正确的是（）A. B. C. D.8.关于的一元二次方程,当时的解为（）A. B. C. D. 无实数解9.已知代数式3﹣x与﹣x2+3x的值互为相反数,则x的值是（）A. ﹣1或3B. 1或﹣3C. 1或3D. ﹣1和﹣310.如图,在中,,,,点P从点A开始沿AC边向点C以的速度匀速移动,同时另一点Q由C点开始以的速度沿着射线CB匀速移动,当的面积等于运动时间为A. 5秒B. 20秒C. 5秒或20秒D. 不确定二、填空题11.方程的解为________．12.关于的一元二次方程无实数根,则的最小整数值是________．13.已知,且,则________．14.若一元二次方程的两个实数根分别是2、,则＝．15.关于的一元二次方程总有实数根,则的取值范围是________．16.已知α、β方程x2＋2x-5=0的两根,则α2+αβ+3α+β的值是_______．17.对于任意实数k,关于x的方程x2﹣2（k+1）x﹣k2+2k﹣1=0的根的情况为．18.某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91．设每个支干长出x 个小分支,则可得方程为_______________．19.在长宽高为10cm、8cm的矩形纸片中央挖掉一个矩形,得到一个四边等宽的矩形方框,如果挖掉部分的面积为24cm2,则方框的边宽是_________．20.如图,在长为米,宽为米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分）,余下的部分种上小草．要使草坪的面积为平方米,则道路的宽为________米．三、解答题21.解方程：（1）．22. 有一幅长20 cm、宽16 cm的照片,现要为这幅照片配一个四条边宽度相同的相框,且相框边所占面积为照片面积的二分之一,求相框边宽．23.已知关于的一元二次方程有两个实数根．试求的取值范围；若此方程的两个实数根、,满足,试求的值．24.(10分) 如图,小明把一张边长为厘米的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子,（1）如果要求长方体盒子的底面面积为,求剪去的小正方形边长为多少？（2）长方体盒子的侧面积是否可能为？为什么？25.某商场一种商品的进价为每件元,售价为每件元．每天可以销售件,为尽快减少库存,商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元,求两次下降的百分率；（2）经调查,若该商品每降价元,每天可多销售件,那么每天要想获得元的利润,每件应降价多少元？26.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80m2？27. （本题满分10分）在某市组织的大型商业演出活动中,对团体购买门票实行优惠,决定在原定票价基础上每张降价80元,这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数,现在只花费了4800元．（1）求每张门票原定的票价；（2）根据实际情况,活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施,原定票价经过连续二次降价后降为324元,求平均每次降价的百分率．答案与解析一、选择题1.一元二次方程的解是（）A. x1=0,x2=1B. x=0C. x=2D. x1=0,x2=2【答案】D【解析】【分析】先把方程直接开平方得到x-1=±1,再求x的值即可.【详解】∵∴x−1=±1,∴x1=0,x2=2.故选：D.【点睛】考查一元二次方程的解法—直接开方法,熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.2.关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3,则（）A. b＝1,c＝﹣6B. b＝﹣1,c＝﹣6C. b＝5,c＝﹣6D. b＝﹣1,c＝6【答案】A【解析】【分析】根据根与系数的关系得到2+（-3）=-b,2×（-3）=c,然后可分别计算出b、c的值．【详解】解：根据题意得2+（-3）=-b,2×（-3）=c,解得b=1,c=-6．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1,x2,则x1+x2=-,x1•x2=．3.将方程化为一元二次方程的一般形式,其中二次项系数为,一次项系数、常数项分别是（）A. -8、-10B. -8、10C. 8、-10D. 8、10【答案】A【解析】【分析】一元二次方程（是常数且a≠0）的分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【详解】化为一元二次方程的一般形式其中二次项系数为1,一次项系数、常数项分别是故选：A.【点睛】考查一元二次方程的一般形式,一元二次方程（是常数且a≠0）的分别是二次项系数、一次项系数、常数项．4.用配方法解方程,配方的结果是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把常数项5移项后,应该在左右两边同时加上一次项系数-6的一半的平方．【详解】把方程的常数项移到等号的右边,得到,方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得到配方得.故选:D.【点睛】本题考查了配方法,解题的关键是注意：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．5.已知是方程的一个根,则的值是（）A. 1B. 2C. -2D. -1【答案】A【解析】【分析】由一元二次方程的解的定义,将x=1代入已知方程列出关于b的新方程,通过解新方程来求b的值即可．【详解】根据题意,得即b−1=0,解得,b=1.故选：A.【点睛】此题考查了一元二次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.6.关于的一元二次方程的两根应为（）A. B. , C. D.【答案】B【解析】【分析】先把方程化为一般式,再计算判别式的值,然后利用求根公式解方程即可．【详解】x2−3ax+a2=0,△=(−3a)2−4××a2=a2,x=.所以x1=a,x2= a.故答案选B.【点睛】本题考查了解一元二次方程,解题的关键是根据公式法解一元二次方程.7.为执行“两免一补“政策,某市年投入教育经费万元,预计年投入万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为,那么下面列出的方程正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】这两年投入教育经费的年平均增长率为x,根据某市2008年投入教育经费4900万元,预计2010年投入6400万元可列方程．【详解】这两年投入教育经费的年平均增长率为x,.故选：B.【点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程,读懂题目,找出题目中的等量关系是解题的关键.8.关于的一元二次方程,当时的解为（）A. B. C. D. 无实数解【答案】D【解析】【分析】首先把常数k移到方程右边,再两边直接开平方,因为-k＜0,故方程无实数解．【详解】移项得：∵k>0,∴−k<0,∴无实数解,故选：D.【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程,关键是掌握把所含未知数的项移到等号的左边,把常数项移项等号的右边,化成x2=a（a≥0）的形式,利用数的开方直接求解．9.已知代数式3﹣x与﹣x2+3x的值互为相反数,则x的值是（）A. ﹣1或3B. 1或﹣3C. 1或3D. ﹣1和﹣3【答案】A【解析】试题分析：由于代数式3﹣x与﹣x2+3x的值互为相反数,则（3﹣x）+（﹣x2+3x）=0,整理得,x2﹣2x﹣3=0,根据方程系数的特点,应用因式分解法解答．∵代数式3﹣x与﹣x2+3x的值互为相反数,∴（3﹣x）+（﹣x2+3x）=0, 即（3﹣x）﹣x（x﹣3）=0, 即（x﹣3）（x+1）=0,解得,x1=3,x2=﹣1．考点：解一元二次方程-因式分解法．10.如图,在中,,,,点P从点A开始沿AC边向点C以的速度匀速移动,同时另一点Q由C点开始以的速度沿着射线CB匀速移动,当的面积等于运动时间为A. 5秒B. 20秒C. 5秒或20秒D. 不确定【答案】C【解析】【分析】根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．【详解】由题意得：AP=2t,CQ=3t,∴PC=50﹣2t,∴•PC•CQ=300,∴•（50﹣2t）•3t=300,解得：t=20或5,∴t=20s 或5s时,△PCQ的面积为300m2．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,三角形的面积公式等知识,解题的关键是把问题转化为方程,属于基础题,中考常考题型．二、填空题11.方程的解为________．【答案】【解析】【分析】找出方程中a,b,c的值,代入求根公式即可求出解．【详解】这里a=5,b=﹣2,c=﹣11．∵△=4+220=224,∴x==．故答案为：x=．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法,熟练掌握求根公式是解答本题的关键．12.关于的一元二次方程无实数根,则的最小整数值是________．【答案】2【解析】【分析】根据方程没有实数根结合根的判别式可得出△=88-48k<0,解不等式即可得出k的取值范围,取期内的最小整数即可得出结论．【详解】2k−1≠0,即时,∵关于x的一元二次方程没有实数根,∴解得：∴k的最小整数值为2；故答案为：2.【点睛】考查一元二次方程根的判别式,当时,方程有两个不相等的实数根.当时,方程有两个相等的实数根.当时,方程没有实数根.13.已知,且,则________．【答案】或1.【解析】【分析】分解因式后求出分别代入求出即可．【详解】(7x−5y)(x−y)=0,7x−5y=0,x−y=0,∵xy≠0,当时,当x=y时,故答案为：或1.【点睛】考查解一元二次方程-因式分解法,熟练掌握十字相乘法是解题的关键.14.若一元二次方程的两个实数根分别是2、,则＝．【答案】1．【解析】试题分析：∵一元二次方程的两个实数根分别是2、b,∴2+b=a+1,∴a﹣b=2﹣1=1．故答案为：1．考点：根与系数的关系．15.关于的一元二次方程总有实数根,则的取值范围是________．【答案】且k≠1.【解析】【分析】由方程为一元二次方程可得知k-1≠0；由方程总有实数根可得出根的判别式△≥0,解关于k的一元一次不等式即可得出结论．【详解】∵是一元二次方程,∴k−1≠0,即k≠1；若要方程总有实数根,只要即可,解得：故答案为：且k≠1.【点睛】考查一元二次方程根的判别式,当时,方程有两个不相等的实数根.当时,方程有两个相等的实数根.当时,方程没有实数根.16.已知α、β方程x2＋2x-5=0的两根,则α2+αβ+3α+β的值是_______．【答案】-2．【解析】试题分析：欲求α2+αβ+3α+β的值,先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式,代入数值计算即可．试题解析：∵α,β是方程x2+2x-5=0的两个实数根,∴α+β=-2,又∵α2+αβ+3α+β=α（α+β）+2α+（α+β）,∴α2+αβ+3α+β=-2α+2α-2=-2．考点：1.根与系数的关系；2.一元二次方程的解．17.对于任意实数k,关于x的方程x2﹣2（k+1）x﹣k2+2k﹣1=0的根的情况为．【答案】有两个不相等的实数根【解析】试题分析：首先确定a=1,b=﹣2（k+1）,c=﹣k2+2k﹣1,然后求出△=b2﹣4ac的值,进而作出判断．解：∵a=1,b=﹣2（k+1）,c=﹣k2+2k﹣1,∴△=b2﹣4ac=[﹣2（k+1）]2﹣4×1×（﹣k2+2k﹣1）=8+8k2＞0∴此方程有两个不相等的实数根,故答案为有两个不相等的实数根．考点：根的判别式．18.某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91．设每个支干长出x 个小分支,则可得方程为_______________．【答案】x2+x+1=91．【解析】试题分析：由题意设每个支干长出x个小分支,每个小分支又长出x个分支,则又长出个分支,则共有+x+1个分支,即可列方程得：+x+1=91．故答案为：+x+1=91．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．19.在长宽高为10cm、8cm的矩形纸片中央挖掉一个矩形,得到一个四边等宽的矩形方框,如果挖掉部分的面积为24cm2,则方框的边宽是_________．【答案】2cm．【解析】试题解析：设所留的宽度是x米,那么矩形方框的长和宽就应该是（10-2x）米,（8-2x）米．可得出方程为：（10-2x）（8-2x）=24解得：x1=2,x2=-7（不符合题意舍去）故方框的边宽是是2cm．考点：一元二次方程的应用20.如图,在长为米,宽为米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分）,余下的部分种上小草．要使草坪的面积为平方米,则道路的宽为________米．【答案】【解析】试题解析：把道路进行平移,可得草坪面积为一个矩形,长为32-x,宽为20-x,∴可列方程为：（32-x）（20-x）=540．考点：由实际问题抽象出一元二次方程三、解答题21.解方程：（1）．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用配方法解方程；（2）先把方程化为一般式,然后利用因式分解法解方程．【详解】(1),所以(2)(x−5)(x+2)=0,x−5=0或x+2=0,所以【点睛】考查一元二次方程的解法,熟练掌握直接开方法,配方法,公式法以及因式分解法是解题的关键. 22. 有一幅长20 cm、宽16cm的照片,现要为这幅照片配一个四条边宽度相同的相框,且相框边所占面积为照片面积的二分之一,求相框边宽．【答案】2cm【解析】试题分析：根据题意设相框边的宽度为x cm,可知长变为（20+2x）cm,宽为（16+2x）cm,可根据相框边所占面积为照片面积的二分之一可列方程解答.试题解析：设相框边的宽度为x cm,则可列方程：(20＋2x)(16＋2x)＝×20×16,解得x1＝2,x2＝－20(舍去)．答：相框边的宽度为2 cm.考点：一元二次方程的应用23.已知关于的一元二次方程有两个实数根．试求的取值范围；若此方程的两个实数根、,满足,试求的值．【答案】; ．【解析】【分析】(1)根据方程有两个实数根可以得到△≥0,从而求得k的取值范围；(2)利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k的值即可．【详解】∵方程有实数根,∴,解得．由根与系数关系知：,又,化简代入得,解得,经检验是方程的根且使原方程有实数根,∴．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0,a,b,c为常数）的根的判别式△=b2-4ac,根与系数的关系,熟知△的取值与方程根的情况是解题的关键.24.(10分) 如图,小明把一张边长为厘米的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子,（1）如果要求长方体盒子的底面面积为,求剪去的小正方形边长为多少？（2）长方体盒子的侧面积是否可能为？为什么？【答案】（1）剪去的小正方形边长为；（2）长方体盒子的侧面积不可能为．【解析】【分析】（1）等量关系为：（10-2×剪去正方形的边长）2=81,把相关数值代入即可求解．（2）利用长方体盒子的侧面积为60cm2,求出一元二次方程根的情况即可．【详解】(1)设剪去的正方形的边长为xcm.解得∵10−2×x>0,∴x=0.5,答：剪去的小正方形边长为0.5cm；（2）设剪去的正方形的边长为．,整理可得：,,∴此方程没有实数根,∴长方体盒子的侧面积不可能为．【点睛】考查一元二次方程的应用,读懂题目,找出题目中的等量关系是解题的关键.25.某商场一种商品的进价为每件元,售价为每件元．每天可以销售件,为尽快减少库存,商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元,求两次下降的百分率；（2）经调查,若该商品每降价元,每天可多销售件,那么每天要想获得元的利润,每件应降价多少元？【答案】（1）两次下降的百分率为10%；（2）要使每月销售这种商品的利润达到510元,且更有利于减少库存,则商品应降价2.5元．【解析】试题分析：（1）设每次降价的百分率为x,（1﹣x）2为两次降价的百分率,40降至32.4就是方程的平衡条件,列出方程求解即可；（2）设每天要想获得510元的利润,且更有利于减少库存,则每件商品应降价y元,由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可试题解析：（1）设每次降价的百分率为x．40×（1﹣x）2=32.4x=10%或190%（190%不符合题意,舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元,两次下降的百分率10%；（2）设每天要想获得512元的利润,且更有利于减少库存,则每件商品应降价y元,由题意,得（40﹣30﹣y）（+48）=512,解得y1=y2=2∵有利于减少库存,∴y=2．答：每件商品应降价2元．考点：一元二次方程的应用26.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80m2？【答案】10,8．【解析】试题分析：可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m,可以得出平行于墙的一边的长为m,由题意得出方程求出边长的值．试题解析：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m,可以得出平行于墙的一边的长为m,由题意得化简,得,解得：当时,（舍去）,当时,,答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．考点：一元二次方程的应用题．【此处有视频,请去附件查看】27. （本题满分10分）在某市组织的大型商业演出活动中,对团体购买门票实行优惠,决定在原定票价基础上每张降价80元,这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数,现在只花费了4800元．（1）求每张门票原定的票价；（2）根据实际情况,活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施,原定票价经过连续二次降价后降为324元,求平均每次降价的百分率．【答案】（1）400（2）10%．【解析】试题分析：（1）设每张门票的原定票价为x元,则现在每张门票的票价为（x-80）元,根据“按原定票价需花费6000元购买的门票张数,现在只花费了4800元”建立方程,解方程即可；（2）设平均每次降价的百分率为y,根据“原定票价经过连续二次降价后降为324元”建立方程,解方程即可．试题解析：（1）设每张门票的原定票价为x元,则现在每张门票的票价为（x-80）元,根据题意得,解得x=400．经检验,x=400是原方程的根．答：每张门票的原定票价为400元；（2）设平均每次降价的百分率为y,根据题意得400（1-y）2=324,解得：y1=0.1,y2=1.9（不合题意,舍去）．答：平均每次降价10%．考点：1.一元二次方程的应用；2.分式方程的应用．。
九年级上册数学《一元二次方程》单元测试题(含答案)
【解析】
【分析】设经过x秒钟，△PBQ的面积等于16平方厘米，根据点P从B点开始沿BA边向点A以1cm/s的速度移动，点Q从B沿BC→CA以1cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．
【详解】
由勾股定理得 ,
设x秒后△PBQ的面积等于16,依题意有
①当t≤6时, ,
解得 , (负值舍去);
人教版数学九年级上学期
《一元二次方程》单元测试
（满分120分，考试用时120分钟）
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.已知关于x的方程:(1)ax2+bx+c=0;(2)x2-4x=8+x2;(3)1+(x-1)
(x+1)=0;(4)(k2+1)x2+kx+1=0中,一元二次方程的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
x2+6x+5=0
（x+5）（x+1）=0
x1=-1，x2=-5
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题关键.
4.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
（1）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
（2）要想平均每天销售这种童装盈利1800元，有可能吗？
（3）要想平均每天销售这种童装获利达最大，则每件童装应降价多少元？每天的获利是多少元？
参考答案
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.已知关于x的方程:(1)ax2+bx+c=0;(2)x2-4x=8+x2;(3)1+(x-1)
九年级上册数学《一元二次方程》单元检测卷带答案
九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷(满分120分,考试用时120分钟)一、选择题1．将一元二次方程2316x x +=化为一般式后,二次项系数和一次项系数分别为( )A ．3,-6B ．3,6C ．3,1D ． 23,6x x -2．解一元二次方程x 2＋4x －1＝0,配方正确的是( )A ．()223x +=B ．()223x -=C ．()225x +=D ．()225x -= 3．关于x 的方程x 2﹣3x +k ＝0的一个根是2,则常数k 的值为( )A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣24．定义：如果一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 满足0a b c ++=,那么我们称这个方程为“凤凰”方程． 已知20(a 0)++=≠ax bx c 是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是( )． A ．a c = B ．a b = C ．a b = D ．a b c == 5．若关于x 的一元二次方程22(1)5320m x x m m -++-+=有一个根为0,则m 的值( ) A ．0 B ．1或2 C ．1 D ．26．若关于x 的一元二次方程(A ＋1)x 2＋x ＋A 2－1＝0的一个解是x ＝0,则A 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．07．某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是13,则每个支干长出( )A ．2根小分支B ．3根小分支C ．4根小分支D ．5根小分支8．关于x 的方程(m +n )x 2+mn 2-(m -n )x =0(m +n ≠0)的二次项系数与一次项系数的和为12,差为2,则常数项为( )A ．18B ．12C ．116D ．149．方程(x +1)2＝0的根是( )A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝x 2＝﹣1C ．x 1＝﹣1,x 2＝1D ．无实根10．若代数式2x 6x 5-+的值是12,则x 的值为( )A ．7或-1B ．1或-5C ．-1或-5D ．不能确定 11．将一元二次方程2230x x --=用配方法化成()2()0x h k k +=≥的形式为( )A ．2 (1)4x -=B ．2(1)1x -=C ．2 (1)4x +=D ．2 (1)1x +=12．如果关于x 的一元二次方程(m ﹣3)x 2+3x +m 2﹣9＝0有一个解是0,那么m 的值是( )A ．﹣3B ．3C ．±3D ．0或﹣3二、填空题13．若方程2234mx x x +-=是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是_____.14．在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为A *B ＝A 2﹣B 2,根据这个规则,方程(x +2)*5＝0的解为_____． 15．若方程2410x x -+=的两根12,x x ,则122(1)x x x 的值为__________．16．已知1x =是一元二次方程220x mx +-=的一根,则该方程的另一个根为_________．三、解答题17．已知：已知关于x 的方程220x mx m ++-=(1)求证：不论m 为何值,方程总有两个不相等的实数根.(2)若该方程的一个根为1,求m 的值及方程的另一个根.18．据统计某市农村2013年人均纯收入是10000元,预计2015年人均纯收入可达到12100元． ()1试求该市农村这两年人均纯收入的平均增长率；() 2按此增长速度2016年该市农村人均纯收入可达到多少元？19．选择适当方法解下列方程：(1)2510x x -+=(用配方法)； (2)()()2322x x x -=-；(3)2250x --=；(4)()()22231y y +=-.20．已知关于x 的方程()()22110m x m x m --++=． ()1m 为何值时,此方程是一元一次方程？()2m 为何值时,此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 21．先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题．求代数式y 2+4y+8的最小值．解：y 2+4y+8=y 2+4y+4+4=(y+2)2+4∵(y+2)2≥0,∴(y+2)2+4≥4∴y 2+4y+8的最小值是4．(1)求代数式m 2+m+1的最小值；(2)求代数式4﹣x 2+2x 的最大值．22．一玩具城以49元/个的价格购进某种玩具进行销售,并预计当售价为50元/个时,每天能售出50个玩具,且在一定范围内,当每个玩具的售价平均每提高0.5元时,每天就会少售出3个玩具()1若玩具售价不超过60元/个,每天售出玩具总成本不高于686元,预计每个玩具售价的取值范围； ()2在实际销售中,玩具城以()1中每个玩具的最低售价及相应的销量为基础,进一步调整了销售方案,将每个玩具的售价提高了%a ,从而每天的销售量降低了2%a ,当每天的销售利润为147元时,求a 的值．23．某林场计划修一条长750m ,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为21.6m ,上口宽比渠深多2m ,渠底比渠深多0.4m()1渠道的上口宽与渠底宽各是多少？()2如果计划每天挖土348m ,需要多少天才能把这条渠道挖完？24．阅读第(1)题的解题过程,再解答第(2)题：(1)例：解方程x 2﹣|x |﹣2＝0．解：当x ≥0时,原方程可化为x 2﹣x ﹣2＝0．解得：x 1＝2,x 2＝﹣1(不合题意．舍去)当x ＜0时,原方程可化为x 2+x ﹣2＝0．解得：x 1＝﹣2,x 2＝1(不合题意．舍去)∴原方程的解是x 1＝2,x 1＝﹣2．(2)请参照上例例题的解法,解方程x 2﹣x |x ﹣1|﹣1＝0．参考答案一、选择题1．将一元二次方程化为一般式后,二次项系数和一次项系数分别为( )A ．3,-6B ．3,6C ．3,1D ．[答案]A[解析][分析]一元二次方程的一般形式是：A x 2+B x+C =0(A ,B ,C 是常数且A ≠0)特别要注意A ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中A x 2叫二次项,B x 叫一次项,C 是常数项．其中A ,B ,C 分别叫二次项系数,一次项系数,常数项．[详解]解化成一元二次方程一般形式是,则它的二次项系数是3,一次项系数是-6． 故选A ．[点评]此题主要考查了一元二次方程的一般形式,关键把握要确定一次项系数,首先要把方程化成一般形式． 2316x x +=23,6x x -2316x x +=23-610x x +=2．解一元二次方程x 2＋4x －1＝0,配方正确的是( )A ．B ．C ．D ． [答案]C[解析][分析]根据一元二次方程的配方法即可求出答案．[详解]∵x 2+4x-1=0,∴x 2+4x+4=5,∴(x+2)2=5,故选：C ．[点评]此题考查一元二次方程,解题关键是熟练运用一元二次方程的解法．3．关于x 的方程x 2﹣3x +k ＝0的一个根是2,则常数k 的值为( )A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣2 [答案]B[解析][分析]根据一元二次方程的解的定义,把x=2代入得4-6+k=0,然后解关于k 的方程即可.[详解]把x=2代入得,4-6+k=0,解得k=2.故答案为：B . ()223x +=()223x -=()225x +=()225x -=2x -3x+k=02x -3x+k=0[点评]本题主要考查了一元二次方程的解,掌握一元二次方程的定义,把已知代入方程,列出关于k 的新方程,通过解新方程来求k 的值是解题的关键.4．定义：如果一元二次方程满足,那么我们称这个方程为“凤凰”方程． 已知是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是( )．A ．B ．C ．D ．[答案]A[解析] [分析]因为方程有两个相等的实数根,所以根的判别式△=B 2-4A C =0,又A +B +C =0,即B =-A -C ,代入B 2-4AC =0得(-A -C )2-4A C =0,化简即可得到A 与C 的关系．[详解]∵一元二次方程A x 2+B x+C =0(A ≠0)有两个相等的实数根∴△=B 2−4A C =0,又A +B +C =0,即B =−A −C ,代入B 2−4A C =0得(−A −C )2−4A C =0,即(A +C )2−4A C =A 2+2A C +C 2−4A C =A 2−2A C +C 2=(A −C )2=0,∴A =C故选：A[点评]本题考查了一元二次方程根的判别式的应用,根据方程根的情况确定方程中字母系数之间的关系． 5．若关于的一元二次方程有一个根为0,则的值( )A ．0B ．1或2C ．1D ．2[答案]D 20(a 0)++=≠ax bx c 0a b c ++=20(a 0)++=≠ax bx c a c =a b =a b =a b c ==x 22(1)5320m x x m m -++-+=m[解析][分析]把x=0代入已知方程得到关于m 的一元二次方程,通过解方程求得m 的值；注意二次项系数不为零,即m-1≠0．[详解]解：根据题意,将x=0代入方程,得：m 2-3m+2=0,解得：m=1或m=2,又m-1≠0,即m≠1,∴m=2,故选：D ．[点评]本题考查了一元二次方程的解定义和一元二次方程的定义．注意：本题中所求得的m 的值必须满足：m-1≠0这一条件．6．若关于x 的一元二次方程(A ＋1)x 2＋x ＋A 2－1＝0的一个解是x ＝0,则A 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0[答案]A[解析][分析]方程的根即方程的解,就是能使方程两边相等的未知数的值,利用方程解的定义就可以得到关于A 的方程,从而求得A 的值,且(A ＋1)x 2＋x ＋A 2－1＝0为一元二次方程,即．[详解]把x=0代入方程得到：A 2－1＝0解得：A =±1． (A ＋1)x 2＋x ＋A 2－1＝0为一元二次方程 即．+10a ≠-1a ≠∴+10a ≠-1a ≠综上所述A =1.故选：A ．[点评]此题考查一元二次方程的解,解题关键在于掌握一元二次方程的求解方法.7．某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是13,则每个支干长出()A ．2根小分支B ．3根小分支C ．4根小分支D ．5根小分支[答案]B[解析][分析]先设每个支干长出x个分支,则每个分支又长出x个小分支,x个分支共长出x2个小分支；再根据主干有1个,分支有x个,小分支有x2个,列出方程；然后根据一元二次方程的解法求出符合题意的x的值即可. [详解]设每个支干长出x个分支,根据题意得1+x+x•x=13,整理得x2+x-12=0,解得x1=3,x2=-4(不符合题意舍去),即每个支干长出3个分支.故应选B .[点评]此题考查了一元二次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解．8．关于x 的方程(m +n )x 2+-(m -n )x =0(m +n ≠0)的二次项系数与一次项系数的和为,差为2,则常数项为( )A ．B ．C ．D ． [答案]A[解析][分析]二次项系数与一次项系数的和为,差为2列方程组求出m 、n 的值,然后可求出常数项. [详解]由题意得 , 解之得, ∴. 故选A .[点评]本题考查了一元二次方程的定义,方程的两边都是整式,只含有一个未知数,并且整理后未知数的最高次数都是2,像这样的方程叫做一元二次方程.对于一元二次方程A x 2+B x +C =0(A ≠0),其中A 是二次项系数,B 是一次项系数,C 是常数项.本题也考查了二元一次方程组的解法. mn 21218121161412()()()()122m n m n m n m n ⎧+--=⎪⎨⎪++-=⎩114m n =⎧⎪⎨=⎪⎩1114=228mn ⨯=9．方程(x +1)2＝0的根是( )A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝x 2＝﹣1C ．x 1＝﹣1,x 2＝1D ．无实根[答案]B[解析][分析]根据平方根的意义,利用直接开平方法即可进行求解.[详解](x +1)2＝0,解: x +1=0,所以x 1＝x 2＝﹣1,故选B .[点评]本题主要考查一元二次方程的解法,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的解法.10．若代数式的值是,则的值为( )A ．7或-1B ．1或-5C ．-1或-5D ．不能确定 [答案]A[解析][分析]首先把方程化为一般形式x 2-6x+5-12=0,即x 2-6x-7=0,用因式分解法求解．[详解]2x 6x 5-+12x 26512,x x -+=265120,x x -+-=2670,x x --=∴解得：故选:A .[点评]考查一元二次方程的解法,掌握一元二次方程的解法是解题的关键.11．将一元二次方程用配方法化成的形式为( ) A ．B ．C ．D ．[答案]A[解析] [分析]先移项得,x 2-2x=3,然后在方程的左右两边同时加上1,即可化成(x+h)2=k 的形式．[详解]移项,得x 2-2x=3,配方,得x 2-2x+1=3+1,即(x-1)2=4．故选A ．[点评]本题考查了配方法的应用,将一元二次方程x 2-2x-3=0用配方法化成(x+h)2=k (k≥0)的形式,其关键步骤就是移项后,在方程的左右两边加上一次项系数一半的平方．12．如果关于x 的一元二次方程(m ﹣3)x 2+3x +m 2﹣9＝0有一个解是0,那么m 的值是( ) A ．﹣3B ．3C ．±3D ．0或﹣3[答案]A ()()710,x x -+=70,x -=10,x +=127, 1.x x ==-2230x x --=()2()0x h k k +=≥2 (1)4x -=2(1)1x -=2 (1)4x +=2 (1)1x +=[解析][分析]把X=0代入方程(m-3)x +3x+m -9=0中,解关于m 的一元二次方程,注意m 的取值不能使原方程对二次项系数为0[详解]把x=0代入方程(m-3)x +3X+m -9=0中得：m -9=0解得m=-3或3当m=3时,原方程二次项系数m-3=0,舍去,故选A[点评]此题主要考查一元二次方程的定义,难度不大二、填空题13．若方程是关于的一元二次方程,则的取值范围是_____.[答案][解析][分析]将原方程化为一般式,根据一元二次方程中,二次项系数不能为零求解即可.[详解]原方程可化为：, ∵方程是关于的一元二次方程,∴,即,故答案为：.[点评]本题考查了一元二次方程的定义,掌握二次项系数不能为零这一点是解题关键.222222234mx x x +-=x m 1m ≠()21340m x x -+-=2234mx x x +-=x 10m -≠1m ≠1m ≠14．在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为A *B ＝A 2﹣B 2,根据这个规则,方程(x +2)*5＝0的解为_____．[答案]3或-7[解析]据题意得,∵(x+2)*5=(x+2)2-52∴x 2+4x-21=0,∴(x-3)(x+7)=0,∴x=3或x=-7．15．若方程的两根,则的值为__________．[答案]5[解析][分析]根据根与系数的关系求出,代入即可求解．[详解]∵是方程的两根∴=-=4,==1 ∴===4+1=5,故答案为：5．[点评]此题主要考查根与系数的关系,解题的关键是熟知=-,=的运用． 16．已知是一元二次方程的一根,则该方程的另一个根为_________．[答案]-2[解析][分析]由于该方程的一次项系数是未知数,所以求方程的另一解根据根与系数的关系进行计算即可．[详解]2410x x -+=12,x x 122(1)x x x 12x x +12x x ⋅12,x x 2410x x -+=12x x +b a 12x x ⋅c a122(1)x x x 1122x x x x ++1212x x x x ++12x x +b a 12x x ⋅c a1x =220x mx +-=设方程的另一根为x 1,由根与系数的关系可得：1×x 1=－2, ∴x 1=－2.故答案为：－2.[点评]本题考查一元二次方程根与系数的关系,明确根与系数的关系是解题的关键.三、解答题17．已知：已知关于的方程(1)求证：不论为何值,方程总有两个不相等的实数根.(2)若该方程的一个根为1,求的值及方程的另一个根.[答案](1)见解析；(2),方程的另一个根是. [解析][分析](1)由方程的各系数 结合根的判别式可得出△>0,由此即可得出结论(2)将x=1代入原方程,得出关于m 的一元一次方程,解方程求出m 的值,将其代入原方程得出关于x 的一元二次方程,结合根与系数的关系得出方程的另一个解.[详解]解：(1)证明：∵在关于x 的方程中, ,所以不论为何值,方程总有两个不相等的实数根；(2)将x=1代入方程中得出：1+m+m-2=0解得：, x 220x mx m ++-=m m 12m =32-220x mx m ++-=()()22412240m m m =-⨯⨯-=-+>m 1m 2=∴原方程为： ∴ ∵∴ ∴,方程的另一个根是. [点评]本题考查的知识点是根的判别式以及根与系数的关系,熟记每个公式是解题的关键.18．据统计某市农村年人均纯收入是元,预计年人均纯收入可达到元． 试求该市农村这两年人均纯收入的平均增长率；按此增长速度年该市农村人均纯收入可达到多少元？[答案](1)；年该市农村人均纯收入可达到元．[解析][详解](1)设该市农村这两年人均纯收入的平均增长率为x,根据题意得：10000(1+x)2=12100,解得：x=0.1或x=﹣2.1(舍去),故该市农村这两年人均纯收入的平均增长率为；(元),答：年该市农村人均纯收入可达到元．[点评]本题主要考查一元二次方程的应用,解此题的关键在于先设出未知数x,再根据题意列出方程求解即可. 213022x x +-=1212b x x a +=-=-11x =232x =-12m =32-201310000201512100()1() 220161?0%()220161331010%()()212100110%13310⨯+=20161331019．选择适当方法解下列方程：(1)(用配方法)；(2)；(3)； (4). [答案](1),；(2),；(3),；(4),．[解析][分析][详解]解：,移项得：,配方得：,即,∴,∴,；,移项,得 ,,或, 2510x x -+=()()2322x x x -=-2250x --=()()22231y y +=-152x +=252x =12x =23x=1x=22x =132y =214y =-()21510x x -+=251x x -=-225255144x x -+=-+2521()24x -=52x -=152x=252x =()()223(2)2x x x -=-()23(2)20x x x ---=()()2360x x x ---=20x -=260x -=,；; , ∵,,∴,∴, ∴,； ; ．,,或,,． [点评]掌握一元二次方程的求根方法是解题的关键.20．已知关于的方程． 为何值时,此方程是一元一次方程？为何值时,此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．[答案](1)时,此方程是一元一次方程；(2)．一元二次方程的二次项系数、一次项系数,常数项．;[解析]12x =23x =()23250x --=2a=b =-5c =-()842548=-⨯⨯-=x ==12x =22x =()224(2)(31)y y +=-()231y y +=±-231y y +=-()231y y +=--132y =214y =-x ()()22110m x m x m --++=()1m ()2m 1m =1m ≠±21m -()1m -+m试题分析：(1)根据一元一次方程的定义可得=0,且m+1≠0,解得m 的值；(2)根据一元二次方程的定义可得≠0,可得m 的取值范围,然后写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．试题解析：解：(1)=0,且m+1≠0,解得m=1,答：当m=1时,此方程是一元一次方程；(2)≠0,解得m≠±1,答：当m≠±1时,此方程是一元二次方程,其二次项系数为,一次项系数为-(m+1),常数项为m ． 考点：一元一次方程的定义；一元二次方程的定义．21．先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题．求代数式y 2+4y+8的最小值．解：y 2+4y+8=y 2+4y+4+4=(y+2)2+4∵(y+2)2≥0,∴(y+2)2+4≥4∴y 2+4y+8的最小值是4．(1)求代数式m 2+m+1的最小值；(2)求代数式4﹣x 2+2x 的最大值．[答案](1)；(2)5． [解析][分析](1)根据题中的解法即可得到答案；(2)同理(1).[详解] 21m -21m -21m -21m -21m -34(1)m 2+m+1=m 2+m++=(m+)2+≥, 则m 2+m+1的最小值是； (2)4﹣x 2+2x=﹣x 2+2x ﹣1+5=﹣(x ﹣1)2+5≤5,则4﹣x 2+2x 的最大值是5．[点评]本题主要考查了配方法与偶次方的非负性,解此题的关键在于利用配方法得到完全平方式,再利用非负数的性质即可得解.22．一玩具城以元/个的价格购进某种玩具进行销售,并预计当售价为元/个时,每天能售出个玩具,且在一定范围内,当每个玩具的售价平均每提高元时,每天就会少售出个玩具若玩具售价不超过元/个,每天售出玩具总成本不高于元,预计每个玩具售价的取值范围； 在实际销售中,玩具城以中每个玩具的最低售价及相应的销量为基础,进一步调整了销售方案,将每个玩具的售价提高了,从而每天的销售量降低了,当每天的销售利润为元时,求的值．[答案]预计每个玩具售价的取值范围是； 或．[解析][分析]根据题意列不等式组即可得到结论；; 由知最低销售价为元/个,对应销售量为,根据题意列方程即可得到结论． [详解] 解：每个玩具售价元/个,根据题意得, 解得：, 1434123434344950500.53()160686()2()1%a 2%a 147a ()15660x ≤≤()225a =12.5a =()1()2()1565650503140.5--⨯=个()1x 6050495036860.5x x ≤⎧⎪-⎨⎛⎫-⨯≤ ⎪⎪⎝⎭⎩5660x ≤≤答：预计每个玩具售价的取值范围是；由知最低销售价为元/个,对应销售量为, 由题意得：,令,整理得：,解得：,, ∴或．[点评]考查一元二次方程的应用,解决问题的关键是读懂题意,根据题意列出方程和不等式进行求解即可. 23．某林场计划修一条长,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为,上口宽比渠深多,渠底比渠深多渠道的上口宽与渠底宽各是多少？如果计划每天挖土,需要多少天才能把这条渠道挖完？[答案]渠道的上口与渠底宽各是米和米; 需要天才能把这条渠道的土挖完．[解析][分析](1)设渠道深x 米,则上口的宽度是(x+2)米,渠底宽(x+0.4)米,根据断面面积为1.6平方米,列出方程,求解即可；(2)根据渠道的长为750米,求出渠道的体积,再根据每天挖土48立方米,即可求出需要的天数．[详解]设渠道深米,则上口的宽度是米,渠底宽米,根据题意得：, 5660x ≤≤()2()1565650503140.5--⨯=个()()561%491412%147a a ⎡⎤+-⨯⨯-=⎣⎦%t a =2321210t t -==114t =218t =25a =12.5a =750m 21.6m 2m 0.4m ()1()2348m ()1 2.8 1.2()225()1x ()2x +()0.4x +()()120.4 1.62x x x ⎡⎤+++=⎣⎦解得：(舍去),,则渠道的上口宽是：(米),渠底宽是(米)；答：渠道的上口与渠底宽各是米和米;∵渠道的长为米,∴渠道的体积为(立方米),∵每天挖土立方米,∴需要的天数是：(天),答：需要天才能把这条渠道的土挖完．[点评]考查了一元二次方程的应用,解题的关键是读懂题目,设出未知数,找出等量关系,列方程求解. 24．阅读第(1)题的解题过程,再解答第(2)题：(1)例：解方程x 2﹣|x |﹣2＝0．解：当x ≥0时,原方程可化为x 2﹣x ﹣2＝0．解得：x 1＝2,x 2＝﹣1(不合题意．舍去)当x ＜0时,原方程可化为x 2+x ﹣2＝0．解得：x 1＝﹣2,x 2＝1(不合题意．舍去)∴原方程的解是x 1＝2,x 1＝﹣2．(2)请参照上例例题的解法,解方程x 2﹣x |x ﹣1|﹣1＝0．[答案]x 1＝﹣0.5,x 2＝1[解析]12x =-20.8x =0.82 2.8+=0.80.4 1.2+= 2.8 1.2()2750750 1.61200⨯=4812004825÷=25[分析]解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．方程中|x﹣1|的值有两个,所以就要分情况讨论,然后去掉绝对值．一种是当x ﹣1≥0时,求解；另一种情况是当x﹣1＜0时,求解．[详解]解：当x﹣1≥0,即x≥1时,原方程可化为x2﹣x(x﹣1)﹣1＝0即x﹣1＝0,解得x＝1当x﹣1＜0,即x＜1时,原方程可化为x2﹣x(1﹣x)﹣1＝0即2x2﹣x﹣1＝0,解得x1＝﹣0.5,x2＝1(不合题意．舍去)∴原方程的解为x1＝﹣0.5,x2＝1[点评]本题考查了解一元二次方程的应用,易出错的地方是要分情况而解,所以学生容易出现漏解的现象．。
数学九年级上学期《一元二次方程》单元综合检测附答案
（x+ ）2= ，…第三步
x+ = （B2﹣4A C＞0），…第四步
x= ，…第五步
嘉淇的解法从第步开始出现错误；事实上，当B2﹣4A C＞0时，方程Ax2+Bx+C=0（A≠O）的求根公式是．
用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．
21.已知关于x的方程3x2–(A–3)x–A=0(A>0)．
（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．
23.关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根 ．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根 满足｜x1｜+｜x2｜=x1·x2，求k的值．
16.如图，邻边不等的矩形花圃A B C D，它的一边A D利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则A B的长度是m（可利用的围墙长度超过6m）．
[答案]1或2
[解析]
[分析]
设垂直墙的篱笆的长为x，那么平行墙的篱笆长为（6-2x），（6-2x）和x就是鸡场的长和宽．然后用面积做等量关系可列方程求解．
24.某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．
(1)降价前商场每月销售该商品 利润是多少元？
(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
数学九年级上学期《一元二次方程》单元综合检测题(含答案)
九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷[考试时间：90分钟 满分：120分]一．选择题1．（2020•顺平县一模）关于x 的一元二次方程2104ax x -+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A ．0a >B ．1a >-C ．1a <D ．1a <且0a ≠2．（2020•安徽二模）某企业因生产转型，二月份产值比一月份下降了20%，转型成功后产值呈现良好上升势头，四月份比一月份增长15.2%，若三、四、五月份的增长率相同，则五月份与一月份相比增长的百分数约为( ) A ．32%B ．34%C ．36%D ．38%3．（2020•安徽一模）某地区2007年投入教育经费2500万元，预计2009年投入3600万元．则这两年投入教育经费的年平均增长率为( ) A ．10%B ．20%C ．25%D ．40%4．（2019春•鲤城区校级期末）已知一元二次方程2()0(0)a x m n a ++=≠的两根分别为3-，1，则方程2(2)0(0)a x m n a +-+=≠的两根分别为( ) A ．1，5B ．1-，3C ．3-，1D ．1-，55．（2018•鞍山）若关于x 的一元二次方程210kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是( ) A ．14k >且0k ≠ B ．14k <且0k ≠ C ．14k且0k ≠ D ．14k <6．（2018秋•高阳县期末）我市某楼盘准备以每平方9000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方7290元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是( ) A ．8%B ．9%C ．10%D ．11%7．（2018秋•老河口市期末）关于x 的一元二次方程225320x x m m ++-+=有一根为0，则另一根等于() A ．1B ．2C ．1或2D ．5-8．（2019秋•丰南区期中）关于x 的一元二次方程2(1)410m x x ---=总有实数根，则m 的取值范围( ) A ．5m 且1m ≠B ．3m -且1m ≠C ．3m -D ．3m >-且1m ≠二．填空题9．（2020•成都）关于x 的一元二次方程232402x x m -+-=有实数根，则实数m 的取值范围是 ． 10．（2020•浙江自主招生）关于x 的方程22(31)220x k x k k -+++=，若等腰三角形ABC ∆一边长为6a =，另两边长b ，c 为方程两个根，则ABC ∆的周长为 ． 11．（2019秋•皇姑区期末）设α、β是方程2202020x x +-=的两根，则22(20201)(20202)ααββ+-++= ．12．（2020春•文登区期中）已知关于x 的一元二次方程22(21)20x k x k +++-=的两根1x 和2x ，且21121222x x x x x -+=，则k 的值是 ．13．（2020春•雨花区校级月考）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程27120x x -+=的一个根，则此三角形的周长是 ．14．（2002•内江）如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足221m m -=，221n n -=，那么代数式222441999m n n +-+= ．15．（2013•锦江区模拟）已知a 是方程2201310x x -+=一个根，求22201320121a a a -++的值为 ． 16．（2009春•丽水期末）已知a ，b 是方程2(2)10x m x +++=的两根，则22(1)(1)a ma b mb ++++的值为 ． 三．解答题17．（2020•西城区校级三模）关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m +++-=有两个实数根．（1）求m 的取值范围；（2）写出一个m 的值，使得该方程有两个不相等的实数根，并求此时方程的根． 18．（2020春•玄武区期末）解一元二次方程： （1）2210x x +-=； （2）2(3)26x x -=-．19．（2020春•高邮市期末）为了满足市场上的口罩需求，某厂购进A 、B 两种口罩生产设备若干台，已知购买A 种口罩生产设备共花费360万元，购买B 种口罩生产设备共花费480万元．购买的两种设备数量相同，且两种口罩生产设备的单价和为140万元． （1）求A 、B 两种口罩生产设备的单价；（2）已知该厂每生产一盒口罩需要各种成本40元，如果按照每盒50元的价格进行销售，每天可以售出500盒．后来经过市场调查发现，若每盒口罩涨价1元，则口罩的销量每天减少20盒，要保证每天销售口罩盈利6000元，且规避过高涨价风险，则每盒口罩可涨价多少元?20．（2019秋•浉河区期末）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同 （1）求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元?21．（2020春•潜山市期末）一家水果店以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤． （1）若将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是多少斤（用含x 的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出260斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元?22．（2020•师宗县一模）已知关于x 的一元二次方程：21(21)4()02x k x k -++-=． （1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰ABC ∆的一边长4a =，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个实数根，求ABC ∆的周长． 23．（2020•郫都区模拟）某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件，通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件． （1）请你帮店主设计一种方案，使每天的利润为700元． （2）将售价定为多少元时，能使这天利润最大?最大利润是多少元?24．（2019秋•覃塘区期中）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品．若每件商品的售价为x 元，则可卖出(35010)x -件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120%．若该商店计划从这批商品中获取400元利润（不计其他成本），问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少?25．（2019秋•慈利县期中）如图，在矩形ABCD 中，10AB cm =，8AD cm =，点P 从点A 出发沿AB 以2/cm s 的速度向点终点B 运动，同时点Q 从点B 出发沿BC 以1/cm s 的速度向点终点C 运动，它们到达终点后停止运动．（1）几秒后，点P 、D 的距离是点P 、Q 的距离的2倍； （2）几秒后，DPQ ∆的面积是224cm ．26．（2019秋•青羊区校级期中）已知：如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，5AB cm =，7BC cm =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1/cm s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2/cm s 的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．（1）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么几秒后，PBQ ∆的面积等于24cm ? （2）在（1）中，PQB ∆的面积能否等于27cm ?请说明理由．答案与解析一．选择题1．（2020•顺平县一模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．且[解答]解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且△，解得：且． 故选：．2．（2020•安徽二模）某企业因生产转型，二月份产值比一月份下降了，转型成功后产值呈现良好上升势头，四月份比一月份增长，若三、四、五月份的增长率相同，则五月份与一月份相比增长的百分数约为 A ．B ．C ．D ．[解答]解：设一月份产值为，从三月份开始，每月的增长率为， 由题意得，解得，（不合题意，舍去）所以．故选：．3．（2020•安徽一模）某地区2007年投入教育经费2500万元，预计2009年投入3600万元．则这两年投入教育经费的年平均增长率为 A ．B ．C ．D ．[解答]解：设增长率为，根据题意得， 解得：，（舍去），答：这两年投入教育经费的年平均增长百分率是． 故选：．x 2104ax x -+=a ()0a >1a >-1a <1a <0a ≠x 2104ax x -+=0a ∴≠2214(1)4104b ac a a =-=--⨯⨯=->1a <0a ≠D 20%15.2%()32%34%36%38%a x 2(120%)(1)(115.2%)a x a-+=+10.220%x ==2 2.2x =-(115.2%) 1.2100%38%a aa +⨯-⨯≈D ()10%20%25%40%x 22500(1)3600x +=10.220%x ==2 2.2x =-20%B4．（2019春•鲤城区校级期末）已知一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为 A ．1，5B ．，3C ．，1D ．，5[解答]解：一元二次方程的两根分别为，1，方程中或，解得：或3， 即方程的两根分别为和3，故选：．5．（2018•鞍山）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 A ．且 B ．且 C ．且 D ． [解答]解：关于的一元二次方程有实数根，且△，解得：且．故选：．6．（2018秋•高阳县期末）我市某楼盘准备以每平方9000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方7290元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是 A ．B ．C ．D ．[解答]解：设平均每次下调的百分率为， 由题意，得，解得：，（舍去）．答：平均每次下调的百分率为． 故选：．2()0(0)a x m n a ++=≠3-2(2)0(0)a x m n a +-+=≠()1-3-1-2()0(0)a x m n a ++=≠3-∴2(2)0(0)a x m n a +-+=≠23x -=-21x -=1x =-2(2)0(0)a x m n a +-+=≠1-B x 210kx x -+=k ()14k >0k ≠14k <0k ≠14k0k ≠14k <x 210kx x -+=0k ∴≠2(1)40k =--14k0k ≠C ()8%9%10%11%x 29000(1)7290x -=10.1x =2 1.9x =10%C7．（2018秋•老河口市期末）关于的一元二次方程有一根为0，则另一根等于A ．1B ．2C ．1或2D ．[解答]解：设方程的另一个根是， 则由根与系数的关系得：， 解得：， 故选：．8．（2019秋•丰南区期中）关于的一元二次方程总有实数根，则的取值范围A ．且B ．且C ．D ．且[解答]解：关于的一元二次方程总有实数根，且△，即，解得．的取值范围为且．故选：． 二．填空题9．（2020•成都）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是 ．[解答]解：关于的一元二次方程有实数根， △，解得：， 故答案为：．10．（2020•浙江自主招生）关于的方程，若等腰三角形一边长为，另两边长，为方程两个根，则的周长为 16或22 ． [解答]解：根据题意得△，所以，则，，当时，解得，则、的长为2，而，不合题意舍去；x 225320x x m m ++-+=()5-a 05a +=-5a =-D x 2(1)410m x x ---=m ()5m 1m ≠3m -1m ≠3m -3m >-1m ≠x 2(1)410m x x ---=10m ∴-≠0164(1)(1)0m -+⨯-3m -m ∴3m -1m ≠B x 232402x x m -+-=m 72m x 232402x x m -+-=∴23(4)42()1681202m m =--⨯⨯-=-+72m72m x 22(31)220x k x k k -+++=ABC ∆6a =b c ABC ∆222(31)4(22)(1)0k k k k =+-+=-31(1)21k k x +±-=⨯11x k =+22x k =12k k +=1k =b c 226+<当时，解得，则，此时三角形的周长为； 当时，解得，则，此时三角形的周长为． 综上所述，的周长为16或22． 故答案为16或22．11．（2019秋•皇姑区期末）设、是方程的两根，则4 ．[解答]解：、是方程的两根，，，．故答案为4．12．（2020春•文登区期中）已知关于的一元二次方程的两根和，且，则的值是 或 ．[解答]解：，， ，，或．①如果，那么，将代入，16k +=5k =210k =661022++=26k =3k =14k +=66416++=ABC ∆αβ2202020x x +-=22(20201)(20202)ααββ+-++=αβ2202020x x +-=2202020αα∴+-=2202020ββ+-=220202αα∴+=220202ββ+=22(20201)(20202)ααββ∴+-++(21)(22)4=-+=x 22(21)20x k x k +++-=1x 2x 21121222x x x x x -+=k 2-94-21121222x x x x x -+=211212220x x x x x -+-=1121(2)(2)0x x x x ---=112(2)()0x x x --=120x ∴-=120x x -=120x -=12x =2x =22(21)20x k x k +++-=得，整理，得，解得； ②如果，则△．解得：．所以的值为或． 故答案为：或．13．（2020春•雨花区校级月考）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是 14 ．[解答]解：解方程得：或4，当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行； 当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为， 故答案为：14．14．（2002•内江）如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式 2013 ．[解答]解：由题意可知：，是两个不相等的实数，且满足，，所以，是两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：，又，，则242(21)20k k +++-=2440k k ++=2k =-120x x -=22(21)4(2)0k k =+--=94k =-k 2-94-2-94-27120x x -+=27120x x -+=3x =336+=44614++=m n 221m m -=221n n -=222441999m n n +-+=m n 221m m -=221n n -=m n 2210x x --=2m n +=221m m =+221n n =+222441999m n n +-+2(21)4(21)41999m n n =+++-+．故填空答案：2013．15．（2013•锦江区模拟）已知是方程一个根，求的值为 2012 ． [解答]解：是方程的一个根，， ，原式．故答案为：2012．16．（2009春•丽水期末）已知，是方程的两根，则的值为 4 ．[解答]解：，是方程的两根， ，，，，，，．三．解答题17．（2020•西城区校级三模）关于的一元二次方程有两个实数根．（1）求的取值范围；（2）写出一个的值，使得该方程有两个不相等的实数根，并求此时方程的根．4284419994()2005m n n m n =+++-+=++4220052013=⨯+=a 2201310x x -+=22201320121a a a -++a 2201310x x -+=2201310a a ∴-+=220131a a ∴=-∴201312013120121201311a a a a a =--+=+--+211a a +=-2013111a a -+=-20131=-2012=ab 2(2)10x m x +++=22(1)(1)a ma b mb ++++a b 2(2)10x m x +++=(2)a b m ∴+=-+1ab =2(2)10a m a +++=2(2)10b m b +++=21(2)a m a∴+=-+21(2)b m b+=-+22(1)(1)[(2)][(2)](2)(2)4414a ma b mb m a ma m b mb a b ab ∴++++=-++-++=--==⨯=x 22(21)10x m x m +++-=m m[解答]解：（1）关于的一元二次方程有两个实数根，，解得：， 即的取值范围是； （2）由（1）知：当时，方程有两个不相等的实数根， 取， 则方程为，解得：，，即当时，方程的解是，．18．（2020春•玄武区期末）解一元二次方程：（1）；（2）．[解答]解（1），，，，，（2），，，，，x 22(21)10x m x m +++-=2224(21)4(1)450b ac m m m ∴-=+--=+54m -m 54m -54m >-∴1m =230x x +=13x =-20x =1m =13x =-20x =2210x x +-=2(3)26x x -=-2210x x +-=221x x ∴+=22111x x ∴++=+2(1)2x ∴+=1x ∴+=11x ∴=-21x =-2(3)26x x -=-(3)2(3)0x x ∴---=(3)(32)0x x ∴---=30x ∴-=320x --=，．19．（2020春•高邮市期末）为了满足市场上的口罩需求，某厂购进、两种口罩生产设备若干台，已知购买种口罩生产设备共花费360万元，购买种口罩生产设备共花费480万元．购买的两种设备数量相同，且两种口罩生产设备的单价和为140万元．（1）求、两种口罩生产设备的单价；（2）已知该厂每生产一盒口罩需要各种成本40元，如果按照每盒50元的价格进行销售，每天可以售出500盒．后来经过市场调查发现，若每盒口罩涨价1元，则口罩的销量每天减少20盒，要保证每天销售口罩盈利6000元，且规避过高涨价风险，则每盒口罩可涨价多少元?[解答]解：（1）设种口罩生产设备的单价为万元，则种口罩生产设备的单价为万元，依题意有， 解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，则．答：种口罩生产设备的单价为60万元，则种口罩生产设备的单价为80万元；（2）设每盒口罩可涨价元，依题意有，解得，（舍去）．故每盒口罩可涨价5元．20．（2019秋•浉河区期末）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同（1）求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元?[解答]解：（1）设每次下降的百分率为，根据题意，得：，解得：（舍或，13x ∴=25x =A B A B A B A x B (140)x -360480140x x=-60x =60x =1401406080x -=-=A B m (5040)(50020)6000m m -+-=15m =210m =a 250(1)32a -=1.8a =)0.2a =答：每次下降的百分率为；（2）设每千克应涨价元，由题意，得，整理，得，解得：，，因为要尽快减少库存，所以符合题意．答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．21．（2020春•潜山市期末）一家水果店以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．（1）若将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是多少斤（用含的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出260斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元?[解答]解：（1）将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是（斤；（2）根据题意得：， 解得：，，当时，销售量是；当时，销售量是（斤．每天至少售出260斤，．答：水果店需将每斤的售价降低1元．22．（2020•师宗县一模）已知关于的一元二次方程：．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 20%x (10)(50020)6000x x +-=215500x x -+=15x =210x =5x =x x x 100201002000.1x x +⨯=+)(42)(100200)300x x --+=112x =21x =12x =11002002002602+⨯=<1x =100200300+=)1x ∴=x 21(21)4()02x k x k -++-=ABC ∆4a =b c ABC ∆[解答]（1）证明：△，无论取什么实数值，，△，无论取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：，，， ，恰好是这个方程的两个实数根，设，，当、为腰，则，即，解得，此时三角形的周长； 当、为腰时，，此时，故此种情况不存在．综上所述，的周长为10．23．（2020•郫都区模拟）某商店将进货价为8元件的商品按10元件售出，每天可售200件，通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．（1）请你帮店主设计一种方案，使每天的利润为700元．（2）将售价定为多少元时，能使这天利润最大?最大利润是多少元?[解答]解：（1）设涨价元，，解得，，此时的售价为或，答：售价为13元或15元时，每天的利润可得到700元；（2）利润为：，21(21)414()2k k =+-⨯⨯-24129k k =-+2(23)k =-k 2(23)0k -∴0∴k 21(23)2k k x +±-=121x k ∴=-22x =b c 21b k =-2c =a b 4a b ==214k -=52k =44210=++=b c 2b c ==b c a +=ABC ∆//x (108)(20020)700x x +-⨯-=13x =25x =∴10313+=10515+=22(108)(20020)2016040020(4)720x x x x x +-⨯-=-++=--+，当涨价4元时即售价为14元时，利润最大，为720元．24．（2019秋•覃塘区期中）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品．若每件商品的售价为元，则可卖出件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的．若该商店计划从这批商品中获取400元利润（不计其他成本），问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少?[解答]解：根据题意，得整理，得解得，因为，即售价不能超过25.2元，所以不合题意，应舍去．故，从而卖出件，答：需要卖出100件商品，每件售价是25元．25．（2019秋•慈利县期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点终点运动，同时点从点出发沿以的速度向点终点运动，它们到达终点后停止运动．（1）几秒后，点、的距离是点、的距离的2倍；（2）几秒后，的面积是．[解答]解：（1）设秒后点、的距离是点、距离的2倍，，四边形是矩形，，，，， 20a =-∴x (35010)x -120%(21)(350)400x x --=2567750x x -+=125x =231x =21120%25.2⨯=31x =25x =3501025100-⨯=ABCD 10AB cm =8AD cm =P A AB 2/cm s B Q B BC 1/cm s C P D P Q DPQ ∆224cm t P D P Q 2PD PQ ∴=ABCD 90A B ∴∠=∠=︒222PD AP AD ∴=+222PQ BP BQ =+24PD =2PQ， 解得：，；时，，答：3秒后，点、的距离是点、的距离的2倍；（2）设秒后的面积是， 则，整理得解得，答：4秒后，的面积是．26．（2019秋•青羊区校级期中）已知：如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．（1）如果、分别从、同时出发，那么几秒后，的面积等于?（2）在（1）中，的面积能否等于?请说明理由．22228(2)4[(102)]t t t ∴+=-+13t =27t =7t =1020t -<3t ∴=P D P Q x DPQ ∆224cm 11182(102)(8)108024222x x x x ⨯⨯+-+-⨯=-28160x x -+=124x x ==DPQ ∆224cm ABC ∆90B ∠=︒5AB cm =7BC cm =P AAB B 1/cm s Q B BC C 2/cm s P Q A B PBQ ∆24cm PQB ∆27cm[解答]解：（1）设经过秒以后面积为，根据题意得，整理得：，解得：或（舍去）．答：1秒后的面积等于；（2）仿（1）得．整理，得，因为，所以，此方程无解．所以的面积不可能等于． x PBQ ∆24cm 1(5)242x x -⨯=2540x x -+=1x =4x =PBQ ∆24cm 1(5)272x x -=2570x x -+=2425280b ac -=-<PBQ ∆27cm。
九年级上册数学《一元二次方程》单元综合检测题(含答案)
人教版数学九年级上学期《一元二次方程》单元测试（满分120分，考试用时120分钟）一、单选题（共10题；共30分）1.方程x2－2x＝0的解为( )A. x1＝0，x2＝2B. x1＝0，x2＝－2C. x1＝x2＝1D. x＝22.设x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3=0的两根，则x1+x2的值是（）A. 2B. ﹣2C.D. ﹣3.用因式分解法解一元二次方程时，原方程可化为（）A. B. C. D.4.某商品原价为180元,连续两次提价x%后售价为300元,下列所列方程正确的是( )A. 180(1+x%)=300B. 180(1+x%)2=300C. 180(1-x%)=300D. 180(1-x%)2=3005.用配方法解方程x2﹣8x+3=0，下列变形正确的是（）A. （x+4）2=13B. （x﹣4）2=19C. （x﹣4）2=13D. （x+4）2=196.一元二次方程（k﹣2）x2+kx+2=0（k≠2）的根的情况是（）A. 该方程有两个不相等的实数根B. 该方程有两个相等的实数根C. 该方程有实数根D. 该方程没有实数根7.以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）A. y2+5y－6=0B. y2+5y＋6=0C. y2－5y＋6=0D. y2－5y－6=08.若一个关于x的一元二次方程的两个根分别是数据2，4，5，4，3，5，5的众数和中位数，则这个方程是（）A. x2﹣7x+12=0B. x2+7x+12=0C. x2﹣9x+20=0D. x2+9x+20=09.设a是方程x2+2x﹣2=0的一个实数根，则2a2+4a+2016的值为（）A. 2016B. 2018C. 2020D. 202110.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8 cm，底边BC长10 cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D，G分别在AB，AC上，则四边形DEFG的最大面积为( )A. 40 cm2B. 20 cm2C. 25 cm2D. 10 cm2二、填空题（共10题；共30分）11.已知两个数的差为3，它们的平方和等于65，设较小的数为x，则可列出方程________．12.一元二次方程x2﹣4x+4=0的解是________．13.若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n=______．14.已知x1,x2是方程x2-4x+2=0的两根，求：(x1-x2)2=_____________．15.一元二次方程x2+5x﹣6=0的两根和是________．16.若关于x的一元二次方程的两个根x1，x2满足x1+x2=3，x1x2=2，则这个方程是_____．（写出一个符合要求的方程）17.关于x的方程kx2﹣4x﹣4=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为________．18.（3分）已知关于x的方程有两个实数根，则实数a的取值范围是．19.设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______.20.已知a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于．三、解答题（共8题；共60分）21.解下列方程（1）2x2-x=0（2）x2-4x=422.已知关于x的方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0.(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简再求值).23.在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a＝5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．24.给定关于的二次函数，学生甲：当时，抛物线与轴只有一个交点，因此当抛物线与轴只有一个交点时，的值为3；学生乙：如果抛物线在轴上方，那么该抛物线的最低点一定在第二象限；请判断学生甲、乙的观点是否正确，并说明你的理由.25.阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：，消去y化简得：2x2﹣7x+6=0，∵△=49﹣48＞0，∴x1=_____，x2=_______，∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？26.某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？27.“低碳生活，绿色出行”,2017年1月,某公司向深圳市场新投放共享单车640辆.（1）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆.请问该公司4月份在深圳市新投放共享单车多少辆？（2）考虑到自行车市场需求不断增加,某商城准备用不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，已知A型的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆.假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？28.如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB 方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x 秒，△PBQ的面积为y（cm2）.（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求△PBQ的面积的最大值.参考答案一、单选题（共10题；共30分）1.方程x2－2x＝0的解为()A. x1＝0，x2＝2B. x1＝0，x2＝－2C. x1＝x2＝1D. x＝2【答案】A【解析】分析：利用因式分解法解方程即可．详解：x（x-2）=0，x=0或x-2=0，所以x1=0，x2=2．故选A．点睛：本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．2.设x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3=0的两根，则x1+x2的值是（）A. 2B. ﹣2C.D. ﹣【答案】A【解析】试题解析：∵，是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系得：+=2故选A.3.用因式分解法解一元二次方程时，原方程可化为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由x(x−3)=x−3，x(x−3)−(x−3)=0，(x−3）(x−1)=0，故选B.4.某商品原价为180元,连续两次提价x%后售价为300元,下列所列方程正确的是( )A. 180(1+x%)=300B. 180(1+x%)2=300C. 180(1-x%)=300D. 180(1-x%)2=300【答案】B【解析】试题解析：当商品第一次提价x%时,其售价为180+180x%=180(1+x%),当商品第二次提价x%后,其售价为180(1+x%)+180(1+x%)x%=180(1+x%)2.∴180(1+x%)2=300.故选B.5.用配方法解方程x2﹣8x+3=0，下列变形正确的是（）A. （x+4）2=13B. （x﹣4）2=19C. （x﹣4）2=13D. （x+4）2=19【答案】C【解析】解：x2﹣8x=﹣3，x2﹣8x+16=13，（x﹣4）2=13．故选C．6.一元二次方程（k﹣2）x2+kx+2=0（k≠2）的根的情况是（）A. 该方程有两个不相等的实数根B. 该方程有两个相等的实数根C. 该方程有实数根D. 该方程没有实数根【答案】C【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式,即可得出△=(k-4)≥0,由此即可得出该方程有实数根,此题得解.【详解】解:在方程（k﹣2）x2+kx+2=0（k≠2）中,A=k-42(k-2)=k-8k+16=(k-4)≥0，.该方程有实数根.所以C选项是正确的.【点睛】本题主要考查一元二次方程由根的判别式判别根的情况.7.以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）A. y2+5y－6=0B. y2+5y＋6=0C. y2－5y＋6=0D. y2－5y－6=0【答案】B【解析】【分析】先设α、β是方程x2＋2x－3＝0的两个根,根据根与系数的关系可求α+β、αβ,再根据根与系数的关系易求与的值,进而可求二次项系数为1的方程.【详解】解:设α、β是方程x2＋2x－3＝0的两个根,那么α+β=-2,αβ=-3,=-2-3=-5, =-2x(-3)=6,若a=1,则b=5,c=6,所求方程是y2+5y+6=0.所以B选项是正确的.【点睛】此题主要考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.8.若一个关于x的一元二次方程的两个根分别是数据2，4，5，4，3，5，5的众数和中位数，则这个方程是（）A. x2﹣7x+12=0B. x2+7x+12=0C. x2﹣9x+20=0D. x2+9x+20=0【答案】C【解析】【分析】将已知数据从小到大顺序排列:2,3,4,4,5,5,5;根据众数和中位数的定义求出众数和中位数,再根据根与系数的关系造出方程即可.【详解】解:将已知数据从小到大顺序排列,得:2,3,4,4,5,5,5;共7个数据,处于中间的数据是第4个数据4,出现最多的数据是5,因此,这组数据的中位数是4,众数是5,以4,5为根的一元二次方程是x2-9x+20=0,所以C选项是正确的.【点睛】本题主要考查了众数,中位数的概念,根与系数的关系,掌握众数和中位数的求法是解题的关键.9.设a是方程x2+2x﹣2=0的一个实数根，则2a2+4a+2016的值为（）A. 2016B. 2018C. 2020D. 2021【答案】C【解析】【分析】首先由已知可得a2+2a-2=0,即a2+2a=2.然后化简代数式,注意整体代入,从而求得代数式的值.【详解】解:把x=a代入得到a2+2a-2=0,则a2+2a=2.又2a2+4a=2(a2+2a),把a2+2a=2代入2a2+4a+2016=2(a2+2a)+2016=22+2016=2020所以C选项是正确的.【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及整体代入计算整式的值.10.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8 cm，底边BC长10 cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D，G分别在AB，AC上，则四边形DEFG的最大面积为( )A. 40 cm2B. 20 cm2C. 25 cm2D. 10 cm2【答案】B【解析】【分析】设矩形DEFG的宽DE=x，根据相似三角形对应高的比等于相似比列式求出DG，再根据矩形的面积列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答即可．【详解】如图所示：设矩形DEFG的宽DE=x，则AM=AH-HM=8-x，∵矩形的对边DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，∴，即，解得DG=（8-x），四边形DEFG的面积=（8-x）x=-（x2-8x+16）+20=-（x-4）2+20，所以，当x=4，即DE=4时，四边形DEFG最大面积为20cm2．故选：B．【点睛】考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形的对应高的比等于相似比用矩形DEFG的宽表示出长是解题的关键．二、填空题（共10题；共30分）11.已知两个数的差为3，它们的平方和等于65，设较小的数为x，则可列出方程________．【答案】【解析】由较小的数为x可知较大的数为x+3，故它们的平方和为x2+(x+3)2再根据它们的平方和是65可得x2+(x+3)2=65，故答案为：x2+(x+3)2=65.12.一元二次方程x2﹣4x+4=0的解是________．【答案】x1=x2=2【解析】【分析】根据配方法即可解方程.【详解】解：x2﹣4x+4=0（x-2）2=0∴x1=x2=2【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程,属于简单题,选择配方法是解题关键.13.若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n=______．【答案】-2【解析】试题分析：把x=1代入+3mx+n=0得：1+3m+n=0，3m+n=﹣1，∴6m+2n=2（3m+n）=2×(－1)=﹣2考点：整体思想求代数式的值.14.已知x1,x2是方程x2-4x+2=0的两根，求：(x1-x2)2=_____________．【答案】8【解析】【分析】易得到两根之和与两根之积的具体数值，利用(x1-x2)2=（x1+x2)2-4x1x2代入相应的数值进行计算即可得.【详解】∵x1，x2是方程x2-4x+2=0的两根，∴x1+x2=4，x1x2=2，∴(x1-x2)2=（x1+x2)2-4x1x2=42-4×2=8，故答案为：8.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是把所求的代数式整理成与根与系数有关的形式．15.一元二次方程x2+5x﹣6=0的两根和是________．【答案】-5【解析】试题分析：设x1、x2为一元二次方程x2+5x﹣6=0的两根，则由根与系数的关系得：x1+x2=-=﹣5．考点：根与系数的关系16.若关于x的一元二次方程的两个根x1，x2满足x1+x2=3，x1x2=2，则这个方程是_____．（写出一个符合要求的方程）【答案】答案不唯一，如【解析】分析：根据根与系数的关系得到满足条件的方程可为x2-3x+2=0．详解：∵x1+x2=3，x1x2=2，∴以x1，x2为根的一元二次方程x2-3x+2=0．故选答案不唯一，如．点睛：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=．17.关于x的方程kx2﹣4x﹣4=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为________．【答案】1【解析】试题解析：∵关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，∴k≠0且△＞0，即（-2）2-4×k×（-1）＞0，解得k＞-1且k≠0．∴k的取值范围为k＞-1且k≠0．故k的最小整数值为1.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．18.（3分）已知关于x的方程有两个实数根，则实数a的取值范围是．【答案】a≤1．【解析】试题分析：∵方程有两个实数根，∴△=4﹣4a≥0，解得：a≤1，故答案为：a≤1．考点：根的判别式．19.设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______.【答案】5【解析】试题分析：根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案．∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，∴m+n=﹣2，∵m是原方程的根，∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7，∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5考点：根与系数的关系20.已知a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于．【答案】-1【解析】分析：欲求（a-b）（a+b-2）+ab的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：∵a、b是一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根，∴ab=-1，a+b=2，∴（a-b）（a+b-2）+ab=（a-b）（2-2）+ab，=0+ab，=-1，故答案为：-1．三、解答题（共8题；共60分）21.解下列方程（1）2x2-x=0（2）x2-4x=4【答案】（1）x1=0，x2=；（2）x1=2+2，x2=2-2.【解析】【分析】（1）结合提取公因式法分解因式解方程；（2）利用配方法求出方程的根即可．【详解】（1）解：2x2-x=0，x(2x-1)=0，x=0或2x-1=0，则x1=0,x2=.（2）解：方程两边同时+4，得x2-4x+4=4+4，（x-2）2=8,x-2=±2 ，则x1=2+2,x2=2-2.【点睛】此题主要考查了配方法以及因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．22.已知关于x的方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0.(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简再求值).【答案】（1）证明见解析；（2）5.【解析】试题分析:（1）找出a，b及c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于0，即可得证．（2）把x=0代入方程即可求m的值，然后化简代数式再将m的值代入所求的代数式并求值即可．试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m（m+1）=0．∴△=（2m+1）2-4m（m+1）=1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x=0是此方程的一个根，∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，∴m=0或m=-1，∵（2m-1）2+（3+m）（3-m）+7m-5=4m2-4m+1+9-m2+7m-5=3m2+3m+5，把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5；把m=-1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1-3+5=5．考点：1.根的判别式；2.一元二次方程的解．23.在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a＝5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．【答案】△ABC的周长是12．【解析】试题分析：若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=0，据此可求出b的值；进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．试题解析：∵关于x的方程有两个相等的实数根，∴△=，即；解得，（舍去）；①当a为底，b为腰时，则2+2＜5，构不成三角形，此种情况不成立；②当b为底，a为腰时，则5﹣2＜5＜5+2，能够构成三角形；此时△ABC的周长为：5+5+2=12；故△ABC的周长是12．考点：1．根与系数的关系；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质．24.给定关于的二次函数，学生甲：当时，抛物线与轴只有一个交点，因此当抛物线与轴只有一个交点时，的值为3；学生乙：如果抛物线在轴上方，那么该抛物线的最低点一定在第二象限；请判断学生甲、乙的观点是否正确，并说明你的理由.【答案】甲错误，乙正确【解析】试题分析：甲的观点是错误的，乙的观点是正确的．分别求出抛物线y=2x2+（6-2m）x+3-m与x轴只有一个交点时m的值以及抛物线在x轴上方时该抛物线的最低点的位置即可．试题解析：甲的观点是错误的.理由如下：当抛物线与轴只有一个交点时即：解得或即或时抛物线与轴只有一个交点乙的观点是正确的理由如下：当抛物线在轴上方时，由上可得即：∴而对于开口向上的抛物线最低点为其顶点顶点的横坐标为，且抛物线在轴上方，即抛物线的最低点在第二象限【点睛】本题考查了抛物线和x轴交点问题以及和二次函数有关的性质，求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．25.阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：，消去y化简得：2x2﹣7x+6=0，∵△=49﹣48＞0，∴x1=_____，x2=_______，∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？【答案】（1）2，；（2）不存在，理由见解析；（3）（m+n）2-8mn≥0，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接利用求根公式计算即可；（2）参照（1）中的解法解题即可；（3）解法同上，利用根的判别式列不等关系可求m，n满足的条件．试题解析：（1）由上可知（x-2）（2x-3）=0，∴x1=2，x2=.（2）不存在，理由如下：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得，消去y化简，得2x2-3x+2=0.∵△=9-16＜0，∴不存在矩形B.（3）（m+n）2-8mn≥0，理由如下设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得，消去y化简，得2x2-（m+n）x+mn=0.△=（m+n）2-8mn≥0，即（m+n）2-8mn≥0时，满足要求的矩形B存在．考点：一元二次方程的应用．26.某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？【答案】人行道的宽度为2米【解析】设人行道的宽度为x米，则矩形绿地的长度为：，宽度为：8-2x，根据两块绿地的面积之和为60 平方米，列方程求解.解：根据题意，得．整理得．解得，．∵不符合题意，舍去，．答：人行通道的宽度是2米．“点睛”本题考查了一元二次方程法应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系.27.“低碳生活，绿色出行”,2017年1月,某公司向深圳市场新投放共享单车640辆.（1）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆.请问该公司4月份在深圳市新投放共享单车多少辆？（2）考虑到自行车市场需求不断增加,某商城准备用不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，已知A型的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆.假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？【答案】（1）新投放的共享单车1250辆；（2）为使利润最大，该商城应购进60辆A型车和40辆B型车. 【解析】【分析】（1）设平均增长率为x，根据1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆列出方程，再求解即可；（2）设购进A型车y辆，则购进B型车100-y辆，根据不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，列出不等式，求出y的取值范围，然后求出利润W的表达式，根据一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设平均增长率为x，根据题意得：640=1000;解得：x=0.25=25%或x=-2.25(舍去）；∴四月份的销量为：1000（1+25%）=1250（辆）；答：新投放的共享单车1250辆.（2）解：设购进A型车y辆，则购进B型车100-y辆；根据题意可得：500y+1000(100-y)≤70000;解得：y≥60;∴利润W=（700-500）y+(1300-1000)(100-y)=200y+300(100-y)=-100y+30000∵-100＜0,∴W随着x的增大而减小；∴当y=60时，利润最大=-100×60+30000=2400（元）；答：为使利润最大，该商城应购进60辆A型车和40辆B型车.【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次不等式和一次函数的应用，解题关键是读懂题意，根据题意列出方程或不等式．28.如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB 方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x 秒，△PBQ的面积为y（cm2）.（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求△PBQ的面积的最大值.【答案】(1) y=－x2＋9x（0<x≤4）(2)20【解析】解：（1）∵，PB=AB－AP=18－2x，BQ=x，∴y=（18－2x）x，即y=－x2＋9x（0<x≤4）.（2）由（1）知：y=－x2＋9x=.∵当0<x≤时，y随x的增大而增大，而0<x≤4，∴当x=4时，.∴△PBQ的最大面积是20cm2.（1）分别表示出PB、BQ的长，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解. （2）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答.。
九年级上学期数学《一元二次方程》单元测试题含答案
x (7-x)=6，
解得x=3或4，故该直角三角形两个直角边分别为3和4，
利用勾股定理可得斜边长为: ，
故斜边为5.
[点睛]本题利用三角形面积公式和勾股定理考察了一元二次方程的应用.
9.三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60=0一个实数根，则该三角形的面积是()
∴k+2≠0且△=(-3)2-4(k+2)•1≥0，
解得:k≤ 且k≠-2，
故选C．
[点睛]本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式是解此题的关键．
8.直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为()．
A. B. 5C. D. 7
[答案]B
[解析]
[分析]
设一条直角边为x，则另一条直角边为7-x，利用三角形面积公式可得: x (7-x)=6.
故选D．
[点睛]本题考查了一元二次方程 解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3.已知x=A是方程x2﹣3x﹣5=0的根，则代数式4﹣2A2+6A的值为()
A.6B.9C.14D.﹣6
[答案]D
[解析]
[分析]
利用一元二次方程解的定义得到A2-3A=5，再把4-2A2+6A变形为4-2(A2-3A)，然后利用整体代入的方法计算即可．
A. k＜ 且k≠﹣2B. k≤ C. k≤ 且k≠﹣2D. k≥
8.直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为()．
A B.5C. D.7
9.三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60=0一个实数根，则该三角形的面积是()
数学九年级上学期《一元二次方程》单元测试卷附答案
九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷[考试时间：90分钟 满分：120分]一．选择题（共12小题）1．下列方程：①5x 2＝2y ；②2x （x +3）＝x 2﹣5；③0322=++x x ；④﹣x 2+5x ＝0；⑤3132++xx ；⑥mx 2+n x ＝0．其中是一元二次方程的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．一元二次方程2（x 2﹣1）﹣3x ＝0的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（ ）A ．1,﹣1,﹣3B ．1,﹣3,﹣1C ．2,﹣3,﹣1D ．2,﹣3,﹣23．下列语句中正确的是（ ）A ．方程x 2＝x 只有一个解x ＝1B ．方程x 2+1＝0没有解C ．对于任何实数m ,（m ﹣2）x 2+m x +2＝0是一元二次方程D ．x 2+4＝0不是一元二次方程4．若代数式x 2﹣2x ﹣3的值等于0,则x 的值是（ ）A ．3或﹣1B ．1或﹣3C ．﹣1D ．35．用配方法解一元二次方程m 2﹣6m +8＝0,结果是下列配方正确的是（ ）A ．（m ﹣3）2＝1B ．（m +3）2＝1C ．（m ﹣3）2＝﹣8D ．（m +3）2＝96．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +k ＝0的一个根是1,则另一个根是（ ）A ．5B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣77．若关于一元二次方程x 2+2x +k +2＝0的两个根相等,则k 的取值范围是（ ）A ．1B ．1或﹣1C ．﹣1D ．28．下列一元二次方程最适合用分解因式法来解的是（ ）A ．（x +1）（x ﹣3）＝2B ．2（x ﹣2）2＝x 2﹣4C ．x 2+3x ﹣1＝0D ．5（2﹣x ）2＝39．下列方程中,两实数根之和等于2的方程是（ ）A ．x 2+2x ﹣3＝0B ．x 2﹣2x +3＝0C ．2x 2﹣2x ﹣3＝0D ．3x 2﹣6x +1＝010．某种药品经过两次降价由原来的每盒12.5元降到每盒8元,如果2次降价的百分率相同,设每次降价的百分率为x ,可列出的方程为（ ）A ．12.5（1+x ）2＝8B ．12.5（1﹣x ）2＝8C ．12.5（1﹣2x ）＝8D ．8（1+x ）2＝12.5 11．商场销售某种商品,四月份销售了若干件,共获利6万元,五月份把这种商品的单价降低了1元,但销售量比四月份增长了2万件,从而获得的利润比四月份多了2万元,求调价前每件商品的利润是多少元？设调价前每件商品的利润是x 元,则可列方程是（ ）A ．()26261+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x B ．()6261=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x C ．()26261+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x D ．()6261=⎪⎭⎫⎝⎛-+x x 12．当x 为何值时,此代数式x 2+14+6x 有最小值（ ）A ．0B ．﹣3C ．3D ．不确定二．填空题（共4小题）13．方程()05112=+---mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 ．14．若（A 2+B 2）（A 2+B 2﹣2）﹣24＝0,则A 2+B 2＝ ．15．如图,在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路,使剩余面积是原矩形面积的一半,具体尺寸如图所示．求小路的宽是多少？设小路的宽是x m ,根据题意可列方程为 ．第15题16．一个菱形的边长是方程x 2﹣7x +10＝0的一个根,其中一条对角线长为6,则该菱形的面积为 ．三．解答题（共8小题）17．用合适的方法解方程（1）（x +2）2﹣25＝0 （2）x 2+4x ﹣5＝0（3）x 2﹣5x +6＝0 （4）2x 2﹣7x +3＝0．18．当m 为何值时,一元二次方程x 2+（2m ﹣3）x +（m 2﹣3）＝0没有实数根？有实数根？19．A ,B ,C 是△A B C 的三边长,且关于x 的方程B （x 2﹣1）﹣2A x +C （x 2+1）＝0有两个相等的实根,求证：这个三角形是直角三角形．20．已知x 1,x 2是一元二次方程x 2﹣2x +k +2＝0的两个实数根．（1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ,使得等式21121-=+k x x 成立？如果存在,请求出k 的值；如果不存在,请说明理由．21．用配方法求：（1）3x2﹣4x+8的最小值；（2）﹣2x2+4x﹣1的最大值．22．设x1,x2是一元二次方程3x2﹣x﹣4＝0的两个根,不解方程,求下列代数式的值．（1）（x1+5）（x2+5）；（2）x12x2+x1x22．23．大名童装平均每天可售出20件,每件盈利40元．因新冠肺炎影响,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价4元,那么平均每天就可多售出8件．如果要盈利1200元,那每件降价多少元？24．合肥长江180艺术街区进行绿化改造,用一段长40m的篱笆和长15m的墙A B ,围城一个矩形的花园,设平行于墙的一边D E的长为x m；（1）如图1,如果矩形花园的一边靠墙A B ,另三边由篱笆C D EF围成,当花园面积为150m2时,求x的值；（2）如图2,如果矩形花园的一边由墙A B 和一节篱笆B F构成,另三边由篱笆A D EF围成,当花园面积是150m2时,求B F的长．答案与解析一．选择题（共12小题）1．下列方程：①5x 2＝2y ；②2x （x +3）＝x 2﹣5；③；④﹣x 2+5x ＝0；⑤；⑥mx 2+n x ＝0．其中是一元二次方程的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[分析]本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案．[解答]解：①5x 2＝2y ,方程含有两个未知数,故错误；②2x （x +3）＝x 2﹣5,符合一元二次方程的定义,正确；③,符合一元二次方程的定义,正确；④﹣x 2+5x ＝0,符合一元二次方程的定义,正确； ⑤,不是整式方程,故错误； ⑥mx 2+nx ＝0,方程二次项系数可能为0,故错误．故选：C ．2．一元二次方程2（x 2﹣1）﹣3x ＝0的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（ ）0322=++x x 3132++xx 0322=++x x 3132++xxA ．1,﹣1,﹣3B ．1,﹣3,﹣1C ．2,﹣3,﹣1D ．2,﹣3,﹣2[分析]首先将一元二次方程化为一般形式,然后确定二次项系数、一次项系数、常数项即可．[解答]解：2（x2﹣1）﹣3x＝0化为一般形式得2x2﹣3x﹣2＝0,二次项系数、一次项系数、常数项依次是2,﹣3,﹣2,故选：D ．3．下列语句中正确的是（）A ．方程x2＝x只有一个解x＝1B ．方程x2+1＝0没有解C ．对于任何实数m,（m﹣2）x2+m x+2＝0是一元二次方程D ．x2+4＝0不是一元二次方程[分析]对于方程x2＝x和x2+1＝0分别解方程即可判断A 与B 是否正确；一元二次方程中二次项系数不能为0,所以m﹣2≠0,即m≠2；判定一个方程是否为一元二次方程,只要二次项系数不为0即可．[解答]解：A 、方程x2＝x的解还可以是0；B 、x2＝﹣1,∵任何数的平方一定大于或等于0,∴方程x2+1＝0没有解；C 、当m＝2时,（m﹣2）x2+m x+2＝0中m﹣2＝0,原方程不是一元二次方程；D 、x2+4＝0是一元二次方程；故选：B ．4．若代数式x2﹣2x﹣3的值等于0,则x的值是（）A ．3或﹣1B ．1或﹣3C ．﹣1D ．3[分析]根据题意得到x2﹣2x﹣3＝0,利用因式分解法解方程即可．[解答]解：依题意得：x2﹣2x﹣3＝0,整理,得（x﹣3）（x+1）＝0,解得x1＝3,x2＝﹣1．故选：A ．5．用配方法解一元二次方程m2﹣6m+8＝0,结果是下列配方正确的是（）A ．（m﹣3）2＝1B ．（m+3）2＝1C ．（m﹣3）2＝﹣8D ．（m+3）2＝9[分析]移项,配方,即可得出选项．[解答]解：m2﹣6m+8＝0,m2﹣6m＝﹣8,m2﹣6m+9＝﹣8+9,（m﹣3）2＝1,故选：A ．6．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一个根是1,则另一个根是（）A ．5B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣7[分析]设方程x2﹣6x+k＝0的两根为α、β,由根与系数的关系可得出α+β＝6,结合α＝1即可求出β值．[解答]解：设方程x2﹣6x+k＝0的两根为α、β,则有：α+β＝6,∵α＝1,∴β＝6﹣1＝5．故选：A ．7．若关于一元二次方程x2+2x+k+2＝0的两个根相等,则k的取值范围是（）A ．1B ．1或﹣1C ．﹣1D ．2[分析]根据判别式的意义得到△＝22﹣4（k+2）＝0,然后解一次方程即可．[解答]解：根据题意得△＝22﹣4（k+2）＝0,解得k＝﹣1．故选：C ．8．下列一元二次方程最适合用分解因式法来解的是（）A ．（x+1）（x﹣3）＝2B ．2（x﹣2）2＝x2﹣4C ．x2+3x﹣1＝0D ．5（2﹣x）2＝3[分析]先观察每个方程的特点,根据方程的特点逐个判断即可．[解答]解：A 、不适合用分解因式解方程,故本选项错误；B 、最适合用分解因式解方程,故本选项正确；C 、不适合用分解因式解方程,故本选项错误；D 、不适合用分解因式解方程,故本选项错误；故选：B ．9．下列方程中,两实数根之和等于2的方程是（）A ．x2+2x﹣3＝0B ．x2﹣2x+3＝0C ．2x2﹣2x﹣3＝0D ．3x2﹣6x+1＝0[分析]根据根与系数的关系对A 、C 、D 进行判断；根据判别式的意义对B 进行判断．[解答]解：A 、两实数根之和等于﹣2,所以A 选项错误；B 、△＝（﹣2）2﹣4×3＝﹣8＜0,方程没有实数根,所以B 选项错误；C 、两实数根之和等于1,所以C 选项错误；D 、两实数根之和等于﹣2,所以D 选项正确．故选：D ．10．某种药品经过两次降价由原来的每盒12.5元降到每盒8元,如果2次降价的百分率相同,设每次降价的百分率为x ,可列出的方程为（ ）A ．12.5（1+x ）2＝8B ．12.5（1﹣x ）2＝8C ．12.5（1﹣2x ）＝8D ．8（1+x ）2＝12.5 [分析]设该药品平均每次降价的百分率为x ,根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率）,则第一次降价后的价格是12.5（1﹣x ）,第二次后的价格是12.5（1﹣x ）2,据此即可列方程求解．[解答]解：根据题意得：12.5（1﹣x ）2＝8．故选：B ．11．商场销售某种商品,四月份销售了若干件,共获利6万元,五月份把这种商品的单价降低了1元,但销售量比四月份增长了2万件,从而获得的利润比四月份多了2万元,求调价前每件商品的利润是多少元？设调价前每件商品的利润是x 元,则可列方程是（ ）A ．B ．C ．D ． [分析]如果设调价前每件商品的利润是x 元,那么四月份的销量为,五月份的单件的利润为（x ﹣1）元,根据题意可列出方程． [解答]解：根据题意,四月份的销量为, 五月份的单件的利润为（x ﹣1）元,可得出方程为． 故选：A ．12．当x 为何值时,此代数式x 2+14+6x 有最小值（ ）()26261+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ()6261=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ()26261+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x ()6261=⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x 6x6()26261+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x xA ．0B ．﹣3C ．3D ．不确定[分析]运用配方法变形x 2+14+6x ＝（x +3）2+5；得出（x +3）2+5最小时,即（x +3）2＝0,然后得出答案．[解答]解：∵x 2+14+6x ＝x 2+6x +9+5＝（x +3）2+5,∴当x +3＝0时,（x +3）2+5最小,∴x ＝﹣3时,代数式x 2+14+6x 有最小值．故选：B ．二．填空题（共4小题）13．方程是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 m ＝± ．[分析]根据一元二次方程的定义可得m 2﹣1＝2,且m ﹣1≠0,再解即可．[解答]解：由题意得：m 2﹣1＝2,且m ﹣1≠0,解得：,故答案为：．14．若（A 2+B 2）（A 2+B 2﹣2）﹣24＝0,则A 2+B 2＝ 6 ．[分析]把A 2+B 2视为一个整体,设A 2+B 2＝y ,则（A 2+B 2）（A 2+B 2﹣2）﹣24＝0可化为：y 2﹣2y ﹣24＝0,解出y 的值即可,[解答]解：设A 2+B 2＝y ,则原方程可化为：y 2﹣2y ﹣24＝0,解之得：y 1＝6,y 2＝﹣4,∴A 2+B 2＝6,故答案为6．15．如图,在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路,使剩余面积是原矩形面积的一半,具体尺寸如图所示．求小路的宽是多少？设小路的宽是x m ,根据题意可列方程为 ． ()05112=+---mx x m m 3±=m 3±=m[分析]把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边,则剩下的种植花草部分是一个长方形,根据长方形的面积公式列方程求解即可．[解答]解：设道路的宽应为x 米,由题意有（30﹣x ）（20﹣x ）＝×30×20． 故答案为：（30﹣x ）（20﹣x ）＝×30×20． 16．一个菱形的边长是方程x 2﹣7x +10＝0的一个根,其中一条对角线长为6,则该菱形的面积为 24 ．[分析]利用因式分解法解方程得到x 1＝2,x 2＝5,再根据菱形的性质得到菱形的边长为5,利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线长,然后根据菱形的面积公式计算．[解答]解：x 2﹣7x +10＝0,（x ﹣2）（x ﹣5）＝0,x ﹣2＝0或x ﹣5＝0,∴x 1＝2,x 2＝5,∵菱形一条对角线长为6,∴菱形的边长为5,∵菱形的另一条对角线长＝,∴菱形的面积＝×6×8＝24． 三．解答题（共8小题）17．解方程（1）（x +2）2﹣25＝0 （2）x 2+4x ﹣5＝02121835222=-21（3）x2﹣5x+6＝0 （4）2x2﹣7x+3＝0．[分析]（1）先变形得到（x+2）2＝25,然后利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法解方程；（3）利用因式分解法解方程；（4）利用因式分解法解方程．[解答]解：（1）（x+2）2＝25, x+2＝±5,所以x1＝﹣7,x2＝3；（2）解：（x+5）（x﹣1）＝0, x+5＝0或x﹣1＝0,所以x1＝﹣5,x2＝1；（3）解：（x﹣2）（x﹣3）＝0, x﹣2＝0或x﹣3＝0,所以x1＝2,x2＝3；（4）解：（2x﹣1）（x﹣3）＝0, 2x﹣1＝0或x﹣3＝0,所以x1＝,x2＝3．2118．当m 为何值时,一元二次方程x 2+（2m ﹣3）x +（m 2﹣3）＝0没有实数根？有实数根？[分析]先计算出△,△＝（2m ﹣3）2﹣4（m 2﹣3）＝﹣12m +21．当△＜0,即﹣12m +21＜0,原方程没有实数根,解不等式得到m 的范围；当△≥0,即﹣12m +21≥0,原方程有实数根,解不等式得到m 的范围．[解答]解：△＝（2m ﹣3）2﹣4（m 2﹣3）＝﹣12m +21,当△＜0,即﹣12m +21＜0,原方程没有实数根,解不等式﹣12m +21＜0得,m ＞； 当△≥0,即﹣12m +21≥0,原方程有实数根,解不等式﹣12m +21≥0得,m ≤． 所以当m ＞时,一元二次方程x 2+（2m ﹣3）x +（m 2﹣3）＝0没有实数根； 当m ≤时,一元二次方程x 2+（2m ﹣3）x +（m 2﹣3）＝0有实数根． 19．A ,B ,C 是△A B C 的三边长,且关于x 的方程B （x 2﹣1）﹣2A x +C （x 2+1）＝0有两个相等的实根,求证：这个三角形是直角三角形．[分析]先将原方程化为一元二次方程的一般形式,然后根据根的判别式△＝B 2﹣4A C ＝0证明．[解答]证明：由原方程,得（B +C ）x 2﹣2A x ﹣B +C ＝0,∵关于x 的方程B （x 2﹣1）﹣2A x +C （x 2+1）＝0有两个相等的实根,∴△＝4A 2﹣4（B +C ）（﹣B +C ）＝0,即A 2﹣C 2+B 2＝0,∴A 2+B 2＝C 2,∴这个三角形是直角三角形．20．已知x 1,x 2是一元二次方程x 2﹣2x +k +2＝0的两个实数根．47474747（1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ,使得等式成立？如果存在,请求出k 的值；如果不存在,请说明理由． [分析]（1）根据方程的系数结合△≥0,即可得出关于k 的一元一次不等式,解之即可得出k 的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x 1+x 2＝2,x 1x 2＝k +2,结合,即可得出关于k 的方程,解之即可得出k 值,再结合（1）即可得出结论． [解答]解：（1）∵一元二次方程x 2﹣2x +k +2＝0有两个实数根,∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k +2）≥0,解得：k ≤﹣1．（2）∵x 1,x 2是一元二次方程x 2﹣2x +k +2＝0的两个实数根,∴x 1+x 2＝2,x 1x 2＝k +2．∵, ∴, ∴k 2﹣6＝0,解得：k 1＝﹣,k 2＝．又∵k ≤﹣1, ∴k ＝﹣．∴存在这样的k 值,使得等式成立,k 值为﹣． 21121-=+k x x 21121-=+k x x 21121-=+k x x 2221212-=+=+k k x x x x 66621121-=+k x x 621．用配方法求：（1）3x 2﹣4x +8的最小值；（2）﹣2x 2+4x ﹣1的最大值．[分析]（1）先提取二次项系数,再配方,根据任何数的完全平方一定是非负数即可求解；（2）把原式根据配方法化成：﹣2x 2+4x ﹣1＝﹣2（x ﹣1）2+1即可得出最大值．[解答]解：（1）3x 2﹣4x +8所以3x 2﹣4x +8的最小值是． （2）﹣2x 2+4x ﹣1＝﹣2（x 2﹣2x +1）+2﹣1＝﹣2（x ﹣1）2+1所以﹣2x 2+4x ﹣1的最大值是1．22．设x 1,x 2是一元二次方程3x 2﹣x ﹣4＝0的两个根,不解方程,求下列代数式的值．（1）（x 1+5）（x 2+5）；（2）x 12x 2+x 1x 22．[分析]根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝,x 1x 2＝﹣, （1）利用多项式乘法得到原式＝x 1x 2+5（x 1+x 2）+25,然后利用整体代入的方法计算；（2）利用因式分解得到原式＝x 1x 2（x 1+x 2）,然后利用整体代入的方法计算．3203233439434322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x 3203134[解答]解：根据题意得x 1+x 2＝,x 1x 2＝﹣, （1）原式＝x 1x 2+5（x 1+x 2）+25＝﹣+5×+25＝； （2）原式＝x 1x 2（x 1+x 2）＝﹣×＝﹣． 23．大名童装平均每天可售出20件,每件盈利40元．因新冠肺炎影响,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价4元,那么平均每天就可多售出8件．如果要盈利1200元,那每件降价多少元？[分析]设每件降价x 元,则平均每天可售出件,根据总利润＝每件童装获得的利润×销售数量,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其较大值即可得出结论．[解答]解：设每件降价x 元,则平均每天可售出件, 依题意,得：（40﹣x ）＝1200, 整理,得：x 2﹣30x +200＝0,解得：x 1＝10,x 2＝20．又∵要尽量减少库存,∴x ＝20．答：每件降价20元．24．合肥长江180艺术街区进行绿化改造,用一段长40m 的篱笆和长15m 的墙A B ,围城一个矩形的花园,设平行于墙的一边D E 的长为xm ；（1）如图1,如果矩形花园的一边靠墙A B ,另三边由篱笆C D EF 围成,当花园面积为150m 2时,求x 的值；31343431376343194⎪⎭⎫ ⎝⎛+4820x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4820x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4820x（2）如图2,如果矩形花园的一边由墙A B 和一节篱笆B F 构成,另三边由篱笆A D EF 围成,当花园面积是150m 2时,求B F 的长．[分析]（1）设平行于墙的一边D E 的长为xm ,则C D 的长为m ,利用矩形的面积公式即可得出关于x 的一元二次方程,解之取小于15的值即可得出结论；（2）设B F 的长为y ,利用矩形的面积公式即可得出关于y 的一元二次方程,解之即可求出结论． [解答]解：（1）由题意得：（40﹣x ）x ＝150； 解得：x 1＝10,x 2＝30,∵30＞15∴x ＝30舍去,∴x ＝10m ；答：x 的值为10m ；（2）设B F ＝y ；则（25﹣y ）（y +15）＝150； 解得y 1＝15,y 2＝﹣5（舍去）,答：B F 的长为15m ．240x -2121。
九年级上册数学《一元二次方程》单元检测带答案
九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷（满分120分，考试用时120分钟）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．若（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则（）A ．m＝±2B ．m＝2C ．m＝﹣2D ．m≠±22．将一元二次方程2x2+7＝9x化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A ．2，9B ．2，7C ．2，﹣9D ．2x2，﹣9x 3．已知一元二次方程2x2+3x﹣B ＝0的一个根是1，则B ＝（）A ．3B ．0C ．1D ．54．以x＝为根的一元二次方程可能是（）A ．x2+B x+C ＝0 B ．x2+B x﹣C ＝0 C ．x2﹣B x+C ＝0D ．x2﹣B x﹣C ＝0 5．用配方法解方程2x2﹣8x﹣3＝0时，原方程可变形为（）A ．（x﹣2）2＝﹣B ．（x﹣2）2＝C ．（x+2）2＝7D ．（x﹣2）2＝7 6．关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定7．已知（x2+y2）（x2+y2﹣4）＝5，则x2+y2的值为（）A ．1B ．﹣1或5C ．5D ．1或﹣58．有一只鸡患了禽流感，经过两轮传染后共有625只鸡患了禽流感，每轮传染中平均一只鸡传染（）只鸡．A ．22B ．24C ．25D ．269．已知P＝m﹣1，Q＝m2﹣m（m为任意实数），则P与Q的大小关系为（）A ．P＞QB ．P＝QC ．P＜QD ．不能确定10．若整数A 使得关于x的一元二次方程（A +2）x2+2A x+A ﹣1＝0有实数根，且关于x 的不等式组有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数A 的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．下列方程中，①7x2+6＝3x；②＝7；③x2﹣x＝0；④2x2﹣5y＝0；⑤﹣x2＝0中是一元二次方程的有．12．把一元二次方程x（x+1）＝4（x﹣1）+2化为一般形式为．13．方程（2x﹣5）2＝9的解是．14．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2020的值为．15．关于x的一元二次方程A x2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则A 的取值范围是．16．五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135C m2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 C m2．17．已知一元二次方程2x2+B x+C ＝0的两个实数根为﹣1，3，则B +C ＝．18．如果关于x的一元二次方程A x2+B x+C ＝0有两个实数根，其中一个根为另一个根的，则称这样的方程为“半根方程”．例如方程x2﹣6x+8＝0的根为的x1＝2，x2＝4，则x1＝x2，则称方程x2﹣6x+8＝0为“半根方程”．若方程A x2+B x+C ＝0是“半根方程”，且点P（A ，B ）是函数y＝x图象上的一动点，则的值为．三．解答题（共8小题，满分58分）19．（8分）解下列一元二次方程：（1）x2﹣2x﹣1＝0；（2）3x（2x+3）＝4x+6．20．（6分）已知△A B C 的三边长为A 、B 、C 且关于x的方程A （1﹣x2）+2B x+C （1+x2）＝0有两个相等的实数根，请判断△A B C 的形状并加以说明．21．（6分）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．求进馆人次的月平均增长率．22．（6分）一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数．23．（7分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．24．（8分）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？25．（8分）适逢中高考期间，某文具店平均每天可卖出30支2B 铅笔，卖出1支铅笔的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出10支铅笔，为了使每天获取的利润更多，该文具店决定把零售单价下降x元（0＜x＜1）．（1）当x为多少时，才能使该文具店每天卖2B 铅笔获取的利润为40元？（2）该文具店每天卖2B 铅笔获取的利润可以达到50元吗？如果能，请求出，如果不能，请说明理由．26．（9分）先阅读下面的内容，再解决问题：问题：对于形如x2+2A x+A 2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+A ）2的形式．但对于二次三项式x2+2A x﹣3A 2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2A x﹣3A 2中先加上一项A 2，使它与x2+2A x成为一个完全平方式，再减去A 2，整个式子的值不变，于是有：x2+2A x﹣3A 2＝（x2+2A x+A 2）﹣A 2﹣3A 2＝（x+A ）2﹣4A 2＝（x+A ）2﹣（2A ）2＝（x+3A ）（x﹣A ）像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：（1）分解因式：A 2﹣8A +15＝；（2）若△A B C 的三边长是A ，B ，C ，且满足A 2+B 2﹣14A ﹣8B +65＝0，C 边的长为奇数，求△A B C 的周长的最小值；（3）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值？并求出这个最大值．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：∵（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，∴|m|＝2，且m+2≠0，解得：m＝2，故选：B ．2．解：2x2+7＝9x化成一元二次方程一般形式是2x2﹣9x+7＝0，则它的二次项系数是2，一次项系数是﹣9．故选：C ．3．解：把x＝1代入2x2+3x﹣B ＝0，得2+3﹣B ＝0．解得B ＝5．故选：D ．4．解：由题意可知：二次项系数为1，一次项系数为﹣B ，常数项为C ，故选：C ．5．解：∵2x2﹣8x﹣3＝0，∴2x2﹣8x＝3，则x2﹣4x＝，∴x2﹣4x+4＝+4，即（x﹣2）2＝，故选：B ．6．解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）＝k2﹣6k+9﹣4+4k＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A ．7．解：设x2+y2＝m，则由题意得：m（m﹣4）＝5∴（m﹣5）（m+1）＝0∴m＝5或m＝﹣1（舍）∴x2+y2＝5故选：C ．8．解：设每轮传染中平均一只鸡传染x只，则第一轮后有x+1知鸡感染，第二轮后有x（x+1）+x+1只鸡感染，由题意得：x（x+1）+x+1＝625，即：x1＝24，x2＝﹣26（不符合题意舍去）．故选：B ．9．解：∵Q﹣P＝m2﹣m﹣m+1＝m2﹣m+1＝（m﹣）2+≥＞0∴Q＞P，故选：C ．10．解：∵整数A 使得关于x的一元二次方程（A +2）x2+2A x+A ﹣1＝0有实数根，∴△＝（2A ）2﹣4（A +2）（A ﹣1）≥0且A +2≠0，解得：A ≤2且A ≠﹣2，∵关于x的不等式组有解且最多有6个整数解，∴解不等式组得：A ＜x≤3，∴A 可以为2，1，0，﹣1，﹣3，共5个，故选：C ．二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．解：①③⑤是一元二次方程，②是分式方程，④是二元二次方程，故答案为：①③⑤．12．解：x2+x＝4x﹣4+2，x2﹣3x+2＝0，故答案为：x2﹣3x+2＝0．13．解：∵（2x﹣5）2＝9，∴x＝4或1，故答案为：x＝4或114．解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1，∴原式＝3（2m2﹣3m）+2020＝2023．故答案为：2023．15．解：∵方程A x2+3x﹣2＝0是一元二次方程，∴A ≠0，∵原方程有两个不相等的实数根，∴△＝9+8A ＞0，解得：A ，综上可知：A 且A ≠0，故答案为：A 且A ≠0．16．解：设小长方形的长为xC m，宽为xC m，根据题意得：（x+2×x）•x＝135，解得：x＝9或x＝﹣9（舍去），则x＝3．所以3×3＝9（C m2）．故答案为：9．17．解：根据题意得﹣1+3＝﹣，﹣1×3＝，解得B ＝﹣4，C ＝﹣6，所以B +C ＝﹣4﹣6＝﹣10．故答案为﹣10．18．解：不妨设方程A x2+B x+C ＝0的两根分别为x1，x2，且x1＝x2，∵点P（A ，B ）是函数y＝x图象上的一动点，∴B ＝ A ，∴方程化为A x2+ A x+C ＝0，∴由韦达定理得：x1+x2＝x2＝﹣＝﹣．∴x2＝﹣，x1x2＝＝＝××6＝．故答案为：．三．解答题（共8小题，满分58分）19．解：（1）∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，则x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，∴x﹣1＝，∴x＝1；（2）∵3x（2x+3）＝2（2x+3），∴3x（2x+3）﹣2（2x+3）＝0，∴（2x+3）（3x﹣2）＝0，则2x+3＝0或3x﹣2＝0，解得x＝﹣或x＝．20．解：△A B C 是直角三角形．方程整理得（C ﹣A ）x2+2B x+（C +A ）＝0；由方程有两个相等的实数根知△＝4B 2﹣4（C +A ）（C ﹣A ）＝4（B 2﹣C 2+A 2）＝0，∴B 2+A 2＝C 2，∴△A B C 是直角三角形．21．解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：128+128（1+x）+128（1+x）2＝608化简得：4x2+12x﹣7＝0∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）答：进馆人次的月平均增长率为50%．22．解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（9﹣x），依题意，得：x2+（9﹣x）2＝45，整理，得：x2﹣9x+18＝0，解得：x1＝3，x2＝6．当x＝3时，这个两位数为63；当x＝6时，这个两位数为36．答：这个两位数为36或63．23．解：（1）根据题意得：△＝（2m）2﹣4（m2+m）＞0，解得：m＜0．∴m的取值范围是m＜0．（2）根据题意得：x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，∵x12+x22＝12，∴﹣2x1x2＝12，∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，∴解得：m1＝﹣2，m2＝3（不合题意，舍去），∴m的值是﹣2．24．解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，依题意，得：1+x+x（1+x）＝169，解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均每个人传染了12个人．（2）169×（1+12）＝2197（人）．答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．25．解：（2）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝40，整理得：10x2﹣7x+1＝0，解得：x1＝0.2，x2＝0.5．答：当x为0.2或0.5时，才能使该文具店每天卖2B 铅笔获取的利润为40元．（2）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝50，整理得：10x2﹣7x+2＝0，△＝B 2﹣4A C ＝（﹣7）2﹣4×10×2＝﹣31＜0．答：该文具店每天卖2B 铅笔获取的利润不可以达到50元．26．解：（1）A 2﹣8A +15＝（A 2﹣8A +16）﹣1＝（A ﹣4）2﹣12＝（A ﹣3）（A ﹣5）；故答案为：（A ﹣3）（A ﹣5）；（2）∵A 2+B 2﹣14A ﹣8B +65＝0，∴（A 2﹣14A +49）+（B 2﹣8B +16）＝0，∴（A ﹣7）2+（B ﹣4）2＝0，∴A ﹣7＝0，B ﹣4＝0，解得，A ＝7，B ＝4，∵△A B C 的三边长是A ，B ，C ，∴3＜C ＜11，又∵C 边的长为奇数，∴C ＝5，7，9，当A ＝7，B ＝4，C ＝5时，△A B C 的周长最小，最小值是：7+4+5＝16；（3）﹣2x2﹣4x+3，＝﹣2（x2+2x+1﹣1）+3，＝﹣2（x+1）2+5，∴当x＝﹣1时，多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值，最大值是5．。
数学九年级上学期《一元二次方程》单元检测卷带答案
解：2x2-12x+14=2（x2-6x）+14=2（x2-6x+32-32）+14
=2[（x-3）2-9]+14=2（x-3）2-18+14=2（x-3）2-4．
∵无论x取何实数，总有（x-3）2≥0，∴2（x-3）2-4≥-4．
（1）求这两年该市推行绿色建筑面积的年平均增长率；
（2）2017年该市计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米．如果2017年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2017年该市能否完成计划目标.
22.已知关于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=|m|．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不等 实数根；
12.把方程2x2﹣1=x（x+3）化成一般形式是_________.
[答案]x2﹣3x﹣1=0
[解析]
2x2﹣1=x（x+3），
2x2﹣1=x2+3x，
则2x2﹣x2﹣3x﹣1=0，
故x2﹣3x﹣1=0，
故答案为x2﹣3x﹣1=0．
13.若一元二次方程Ax2﹣Bx﹣2017=0有一根为x=﹣1，则A+B=_____．
A. B.
C. D.
[答案]A
[解析]
详解]∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为 x（x﹣1），
∴共比赛了45场，
∴ x（x﹣1）=45，
故选A．
7.给出一种运算：对于函数 ，规定 .例如：若函数 ，则 已知函数 ，则方程 的根是( )
A. B.
C. D.
[答案]B
[解析]
试题解析：由函数 得n=3，则y′= ，∴ ， ，∴x=±2，故选B．
九年级上册数学《一元二次方程》单元检测题含答案
人教版数学九年级上学期《一元二次方程》单元测试(满分120分,考试用时120分钟)一．选择题(共10小题)1.若关于x的方程是一元二次方程,则( )A. B. C. D.2.方程﹣5x2=1的一次项系数是( )A. 3B. 1C. ﹣1D. 03.已知x＝1是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解,则m的值是( )A. ﹣3B. 3C. 0D. 0或34.一元二次方程x2﹣4＝0的解是( )A. x1＝2,x2＝﹣2B. x＝﹣2C. x＝2D. x1＝2,x2＝05.用配方法解下列方程,其中应在方程左右两边同时加上4的是( )A. x2﹣2x＝5B. x2+4x＝5C. 2x2﹣4x＝5D. 4x2+4x＝56.x=是下列哪个一元二次方程的根( )A. 3x2+5x+1=0B. 3x2﹣5x+1=0C. 3x2﹣5x﹣1=0D. 3x2+5x﹣1=07.方程x(x+2)＝0的解是( )A. x＝0B. x＝2C. x＝0或x＝2D. x＝0或x＝﹣28.已知方程x2+3x﹣4=0的解是x1=1,x2=﹣4,则方程(2x+3)2+3(2x+3)﹣4=0的解是( )A. x1=﹣1,x2=﹣3.5B. x1=1,x2=﹣3.5C. x1=1,x2=3.5D. x1=﹣1,x2=3.59.关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣(m﹣1)＝0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是( )A. m＞0且m≠1B. m＞0C. m≥0且m≠1D. m≥010.某市从2018年开始大力发展旅游产业．据统计,该市2018年旅游收入约为2亿元．预计2020年旅游收入约达到2.88亿元,设该市旅游收入的年平均增长率为x,下面所列方程正确的是( )A. 2(1+x)2＝2.88B. 2x2＝2.88C. 2(1+x%)2＝2.88D. 2(1+x)+2(1+x)2＝2.88二．填空题(共8小题)11.m是方程2x2+3x﹣1＝0的根,则式子4m2+6m+2018的值为_____．12.方程(n﹣3)x|n|﹣1+3x+3n＝0 是关于x 的一元二次方程,n＝_____．13.如果关于x的一元二次方程(k+2)x2﹣3x+1＝0有实数根,那么k的取值范围是_____．14.如果一元二次方程x2﹣4x+k＝0经配方后,得(x﹣2)2＝1,那么k＝_____．15.2018﹣2019赛季中国男子篮球职业联赛(CBA),继续采用双循环制(每两队之间都进行两场比赛),总比赛场数为380场．求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x支,则可列方程为_____．16.用长为14的铁丝围成一个面积是12的矩形,这个矩形相邻的两边长分别是_____．17.设a、b是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根,则a2+3a+b＝_____．18.已知﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根,则方程的另一个根是_____三．解答题(共7小题)19.选择适当方法解下列方程(1)(3x﹣1)2＝(x﹣1)2(2)3x(x﹣1)＝2﹣2x20.已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根,若mn2﹣4n+m＝6,求m的值．21.当m为何值时,关于x的方程为一元二次方程,并求这个一元二次方程的解．22.已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1=0．(1)当m=0时,求方程的实数根．(2)若方程有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围．23.某种服装平均每天可销售20件,每件盈利44元,若每件降价1元,每天可多售5件,若设每件降价x元．(1)根据题意,填表：每件利润(元) 销售量(件) 利润(元)降价前44 20 880降价后①②(2)若每天盈利1600元,则每件应降价多少元？24.某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t,三月份的总产量为720t,若平均每月的增长率相同．(1)第一季度平均每月的增长率；(2)如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同,请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？25.商场某种商品平均每天可销售30 件,每件盈利50 元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施．经调査发现,每件商品每降价 1 元,商场平均每天可多售出 2 件．(1)若某天该商品每件降价3 元,当天可获利多少元？(2)设每件商品降价x 元,则商场日销售量增加件,每件商品,盈利元(用含x 的代数式表示)；(3)在上述销售正常情况下,每件商品降价多少元时,商场日盈利可达到2000 元？参考答案一．选择题(共10小题)1.若关于x的方程是一元二次方程,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义求解,即只含有一个未知数,且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方程(二次项系数不为0).【详解】由一元二次方程的定义可得a-2≠0,可解出a≠2.故答案为A【点睛】一元二次方程的概念是考点,关键点是二次项系数不为0.2.方程﹣5x2=1的一次项系数是( )A. 3B. 1C. ﹣1D. 0【答案】D【解析】【分析】方程整理为一般形式,找出一次项系数即可．【详解】方程整理得：-5x2-1=0,则一次项系数为0,故选D．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式,一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c 是常数项．其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项．3.已知x＝1是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解,则m的值是( )A. ﹣3B. 3C. 0D. 0或3【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义把x=1代入x2+mx+2=0得到关于m的方程,然后解关于m的方程即可．【详解】解：把x=1代入方程x2+mx+2=0得1+m+2=0,解得m=-3.故选A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程解的定义.4.一元二次方程x2﹣4＝0的解是( )A. x1＝2,x2＝﹣2B. x＝﹣2C. x＝2D. x1＝2,x2＝0【答案】A【解析】试题解析：x2－4=0x2=4两边开方得：x=±2故选A．考点：解一元二次方程-直接开平方法．5.用配方法解下列方程,其中应在方程左右两边同时加上4的是( )A. x2﹣2x＝5B. x2+4x＝5C. 2x2﹣4x＝5D. 4x2+4x＝5【答案】B【解析】【分析】配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【详解】A、因为本方程的一次项系数是-2,所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；B、因为本方程的一次项系数是4,所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方4；故本选项正确；C、将该方程的二次项系数化为x 2 -2x= ,所以本方程的一次项系数是-2,所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；D、将该方程的二次项系数化为x 2 +x= ,所以本方程的一次项系数是1,所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方；故本选项错误；故选B．【点睛】本题考查的知识点是配方法解一元二次方程,解题关键是注意选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数．6.x=是下列哪个一元二次方程的根( )A. 3x2+5x+1=0B. 3x2﹣5x+1=0C. 3x2﹣5x﹣1=0D. 3x2+5x﹣1=0【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的求根公式进行求解.【详解】一元二次方程的求根公式是,对四个选项一一代入求根公式,正确的是 D.所以答案选D.【点睛】本题的解题关键是掌握一元二次方程求根公式.7.方程x(x+2)＝0的解是( )A. x＝0B. x＝2C. x＝0或x＝2D. x＝0或x＝﹣2【答案】D【解析】【分析】原方程化为x=0或x+2=0,后解一次方程即可．【详解】由题意,得：x=0或x+2=0,解得x=0或x=-2；故选D．【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程-因式分解法,解题关键是熟记解一元二次方程的方法．8.已知方程x2+3x﹣4=0的解是x1=1,x2=﹣4,则方程(2x+3)2+3(2x+3)﹣4=0的解是( )A. x1=﹣1,x2=﹣3.5B. x1=1,x2=﹣3.5C. x1=1,x2=3.5D. x1=﹣1,x2=3.5【答案】A【解析】∵x2+3x﹣4=0的解是x1=1,x2=﹣4,(2x+3)2+3(2x+3)﹣4=0,∴2x+3=1或2x+3=-4,∴x1=-1,x2=-3.5,故选A.9.关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣(m﹣1)＝0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是( )A. m＞0且m≠1B. m＞0C. m≥0且m≠1D. m≥0【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的系数结合根的判别式△＞0,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出实数m的取值范围．【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣(m﹣1)=0有两个不相等的实数根,∴△=(﹣2)2﹣4×1×[﹣(m﹣1)]=4m＞0,∴m＞0．故选B．【点睛】本题考查了根的判别式,牢记“当△＞0时,方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．10.某市从2018年开始大力发展旅游产业．据统计,该市2018年旅游收入约为2亿元．预计2020年旅游收入约达到2.88亿元,设该市旅游收入的年平均增长率为x,下面所列方程正确的是( )A. 2(1+x)2＝2.88B. 2x2＝2.88C. 2(1+x%)2＝2.88D. 2(1+x)+2(1+x)2＝2.88【答案】A【解析】【分析】设该市旅游收入的年平均增长率为x,根据该市2018年旅游收入及2020年旅游预计收入,即可得出关于x的一元二次方程,即可得出结论．【详解】设该市旅游收入的年平均增长率为x,根据题意得：2(1+x)2=2.88故选A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键．二．填空题(共8小题)11.m是方程2x2+3x﹣1＝0的根,则式子4m2+6m+2018的值为_____．【答案】2020【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义,将x=m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．【详解】把x=m代入2x2+3x﹣1=0,得：2m2+3m﹣1=0,则2m2+3m=1．所以4m2+6m+2018=2(2m2+3m)+2018=2+2018=2020．故答案为：2020．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．12.方程(n﹣3)x|n|﹣1+3x+3n＝0 是关于x 的一元二次方程,n＝_____．【答案】-3【解析】分析：根据一元二次方程的定义求出n的值即可得出答案．详解：∵是关于x的一元二次方程,∴|n|-1=2,n-3≠0,解得：n=-3,故答案为：-3．点睛：本题考查一元二次方程的定义,属于基础题,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程；同时注意掌握一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0),在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项．其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项．13.如果关于x的一元二次方程(k+2)x2﹣3x+1＝0有实数根,那么k的取值范围是_____．【答案】k≤且k≠﹣2【解析】【分析】因为一元二次方程有实数根,所以△≥0且k+2≠0,得关于k的不等式,求解即可．【详解】∵关于x的一元二次方程(k+2)x2﹣3x+1=0有实数根,∴△≥0且k+2≠0,即(﹣3)2﹣4(k+2)×1≥0且k+2≠0,整理得：﹣4k≥﹣1且k+2≠0,∴k且k≠﹣2．故答案为：k且k≠﹣2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式．解决本题的关键是能正确计算根的判别式．本题易忽略二次项系数不为0．14.如果一元二次方程x2﹣4x+k＝0经配方后,得(x﹣2)2＝1,那么k＝_____．【答案】3【解析】【分析】先移项得到x2﹣4x=﹣k,再把方程两边加上4得到(x﹣2)2=4﹣k,从而得到4﹣k=1,然后解关于k的方程即可．【详解】x2﹣4x=﹣k,x2﹣4x+4=4﹣k,(x﹣2)2=4﹣k,所以4﹣k=1,解得：k=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法．15.2018﹣2019赛季中国男子篮球职业联赛(CBA),继续采用双循环制(每两队之间都进行两场比赛),总比赛场数为380场．求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x支,则可列方程为_____．【答案】x(x﹣1)＝380【解析】【分析】设参赛队伍有x支,根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场比赛,共要比赛380场,可列出方程．【详解】设参赛队伍有x支,根据题意得：x(x﹣1)=380故答案为：x(x﹣1)=380．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．16.用长为14的铁丝围成一个面积是12的矩形,这个矩形相邻的两边长分别是_____．【答案】4,3【解析】【分析】设矩形的长为x,则宽为(7﹣x),根据矩形的面积公式,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论．【详解】设矩形的长为x,则宽为(7﹣x),根据题意得：x(7﹣x)=12解得：x1=4,x2=﹣3(舍去)．当x=4时,∴7﹣x=3．故答案为：4,3．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键．17.设a、b是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根,则a2+3a+b＝_____．【答案】5【解析】【分析】根据根与系数的关系可知a+b=﹣2,又知a是方程的根,所以可得a2+2a﹣7=0,最后可将a2+3a+b变成a2+2a+a+b,即可得到答案．【详解】∵设a、b是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根,∴a+b=﹣2．∵a是原方程的根,∴a2+2a﹣7=0,即a2+2a=7,∴a2+3a+b=a2+2a+a+b=7﹣2=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了根与系数的关系,解题的关键是把a2+3a+b转化为a2+2a+a+b的形式,结合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答．18.已知﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根,则方程的另一个根是_____【答案】7．【解析】【分析】设另一个根为t,根据根与系数的关系得到3+t=4,然后解一次方程即可．【详解】设另一个根为t,根据题意得3+t=4,解得t=1,则方程的另一个根为1．故答案为：1．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=-,x1x2=．三．解答题(共7小题)19.选择适当方法解下列方程(1)(3x﹣1)2＝(x﹣1)2(2)3x(x﹣1)＝2﹣2x【答案】(1)x1＝0,x2＝；(2)x1＝1,x2＝﹣．【解析】【分析】(1)将等号左边的式子移动到等号右边,然后根据平方差公式进行因式分解,再进行解一元一次方程即可求解,(2) 将等号左边的式子移动到等号右边,然后根据提公因式法进行因式分解,再进行解一元一次方程即可求解,【详解】(1)3x﹣1＝±(x﹣1),即3x﹣1＝x﹣1或3x﹣1＝﹣(x﹣1),所以x1＝0,x2＝；(2)3x(x﹣1)+2(x﹣1)＝0,(x﹣1)(3x+2)＝0,x﹣1＝0或3x+2＝0,所以x1＝1,x2＝﹣．【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的方法.20.已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根,若mn2﹣4n+m＝6,求m的值．【答案】1【解析】【分析】把x=n代入方程求出mn2-4n的值,代入已知等式求出m的值即可．【详解】依题意,得．∴．∵,∴．∴．【点睛】此题考查了一元二次方程的解,以及一元二次方程的定义,熟练掌握运算法则是解本题的关键．21.当m为何值时,关于x的方程为一元二次方程,并求这个一元二次方程的解．【答案】m=﹣2,x1=0,x2=2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义,得到关于m的一元二次方程和关于m的不等式,解之即可得到m的值,代入原方程解一元二次方程即可．【详解】根据题意得：解得：m=﹣2．即原方程为：﹣4x2+8x=0,解得：x1=0,x2=2．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义,正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．22.已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1=0．(1)当m=0时,求方程的实数根．(2)若方程有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围．【答案】(1)x1＝,x2＝(2)m＜【解析】【分析】(1)令m=0,用公式法求出一元二次方程的根即可；(2)根据方程有两个不相等的实数根,计算根的判别式得关于m的不等式,求解不等式即可．【详解】(1)当m=0时,方程为x2+x﹣1=0．△=12﹣4×1×(﹣1)=5＞0,∴x,∴x1,x2．(2)∵方程有两个不相等的实数根,∴△＞0,即12﹣4×1×(m﹣1)=1﹣4m+4=5﹣4m＞0,∴m．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、根的判别式．一元二次方程根的判别式△=b2﹣4ac．23.某种服装平均每天可销售20件,每件盈利44元,若每件降价1元,每天可多售5件,若设每件降价x元．(1)根据题意,填表：每件利润(元) 销售量(件) 利润(元)降价前44 20 880降价后①②(2)若每天盈利1600元,则每件应降价多少元？【答案】(1)见解析(2)降价4元或36元【解析】【分析】(1)根据题意确定出降价后的利润与销售量,以及利润即可；(2)根据盈利的钱数,确定出应降的价即可．【详解】(1)根据题意,填表：(2)根据题意得：(44﹣x)(20+5x)=1600整理得：(x﹣4)(x﹣36)=0解得：x=4或x=36．答：每件应降价4元或36元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,弄清题中的等量关系是解答本题的关键．24.某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t,三月份的总产量为720t,若平均每月的增长率相同．(1)第一季度平均每月的增长率；(2)如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同,请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？【答案】(1)20%(2)能【解析】【分析】(1)设第一季度平均每月的增长率为x,根据该厂一月份及三月份的总产量,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论；(2)根据五月份的总产量=三月份的总产量×(1+增长率)2,即可求出今年五月份的总产量,再与1000进行比较即可得出结论．【详解】(1)设第一季度平均每月的增长率为x,根据题意得：500(1+x)2=720解得：x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(舍去)．答：第一季度平均每月的增长率为20%．(2)720×(1+20%)2=1036.8(t)．∵1036.8＞1000,∴该厂今年5月份总产量能突破1000t．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是：(1)找准等量关系,正确列出一元二次方程；(2)根据数量关系,求出今年五月份的总产量．25.商场某种商品平均每天可销售30 件,每件盈利50 元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施．经调査发现,每件商品每降价 1 元,商场平均每天可多售出 2 件．(1)若某天该商品每件降价3 元,当天可获利多少元？(2)设每件商品降价x 元,则商场日销售量增加件,每件商品,盈利元(用含x 的代数式表示)；(3)在上述销售正常情况下,每件商品降价多少元时,商场日盈利可达到2000 元？【答案】(1)若某天该商品每件降价3元,当天可获利1692元；(2)2x；50﹣x．(3)每件商品降价25元时,商场日盈利可达到2000元．【解析】【分析】(1)根据“盈利=单件利润×销售数量”即可得出结论；(2)根据“每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元,即可找出日销售量增加的件数,再根据原来没见盈利50元,即可得出降价后的每件盈利额；(3)根据“盈利=单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程,解之即可得出x的值,再根据尽快减少库存即可确定x的值．【详解】(1)当天盈利：(50-3)×(30+2×3)=1692(元)．答：若某天该商品每件降价3元,当天可获利1692元．(2)∵每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件,∴设每件商品降价x元,则商场日销售量增加2x件,每件商品,盈利(50-x)元．故答案为：2x；50-x．(3)根据题意,得：(50-x)×(30+2x)=2000,整理,得：x2-35x+250=0,解得：x1=10,x2=25,∵商城要尽快减少库存,∴x=25．答：每件商品降价25元时,商场日盈利可达到2000元．【点睛】考查了一元二次方程的应用,解题的关键是根据题意找出数量关系列出一元二次方程(或算式)．。
数学九年级上册《一元二次方程》单元检测卷(含答案)
人教版数学九年级上学期《一元二次方程》单元测试【考试时间：90分钟分数：100分】一．选择题（每题3分,共30分）1．若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数解,则k的取值范围是（）A．k≥5 B．k≥5且k≠1 C．k≤5且k≠1 D．k≤52．下列方程中,是关于x的一元二次方程的是（）A．+x＝3 B．x2+2x﹣3＝0C．4x+3＝x D．x2+x+1＝x2﹣2x3．设a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根,则（a﹣1）（b﹣1）的值为（）A．﹣2018 B．2018 C．2020 D．20224．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a,b为常数）的形式,则a,b的值分别是（）A．﹣4,21 B．﹣4,11 C．4,21 D．﹣8,695．如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为600平方米,则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米,则根据题意,列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝6006．设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1,x2,则x1+x2的值为（）A．3 B．﹣C．D．﹣27．有种传染病蔓延极快,据统计,在某城市人群密集区,每人一天能传染若干人,现有一人患有此病,开始两天共有225人患上此病,平均每天一人传染了多少人？（）A．14 B．15 C．16 D．258．如图,△ABC中,∠C＝90,AB＝10cm,AC＝8cm,点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动,点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动,若P、Q分别同时从A,B出发,（）秒后四边形APQB是△ABC面积的．A．2 B．4.5 C．8 D．79．若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根,则﹣a3+2a+2020的值为（）A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣201910．在一次同学聚会上,每人都向其他人赠送了一份小礼品,共互送110份小礼品,如果参加聚会的同学有x名．根据题意列出的方程是（）A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110C．2x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110×2二．填空题（每题4分,共20分）11．若实数a,b满足,则a的取值范围是．12．某村种的水稻前年平均每公顷产7 200kg,今年平均每公顷产8 450kg．设这两年该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x,根据题意,所列方程为．13．三角形的两边长分别为4和7,第三边的长是方程x2﹣8x+12＝0的解,则这个三角形的周长是．14．已知x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根,则代数式a2+b2+2ab的值是．15．若实数a,b满足a2+a﹣1＝0,b2+b﹣1＝0,则＝．三．解答题（每题10分,共50分）16．用合适的方法解方程：（1）（2t+3）2＝3（2t+3）（2）（2x﹣1）2＝9（x﹣2）2（3）2x2＝5x﹣1 （4）x2+4x﹣5＝017．设a、b、c是等腰△ABC的三条边,关于x的方程x2+2x+2c﹣a＝0有两个相等的实数根,且a、b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根,求m的值．18．（1）一个长方形纸片的长减少3cm,宽增加2cm,就成为一个正方形纸片,并且长方形纸片周长的3倍比正方形纸片周长的2倍多30cm．这个长方形纸片的长、宽各是多少？（2）小明同学想用（1）中得到的正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为30cm2的长方形纸片,使它的长宽之比为3：2．请问小明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．19．某超市销售一种饮料,平均每天可售出100箱,每箱利润120元．天气渐热,为了扩大销售,增加利润,超市准备适当降价．据测算,若每箱饮料每降价1元,每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况,请解答以下问题：（1）当每箱饮料降价20元时,这种饮料每天销售获利多少元？（2）在要求每箱饮料获利大于80元的情况下,要使每天销售饮料获利14400元,问每箱应降价多少元？20．如图,在△ABC中,∠B＝90°,AB＝5cm,BC＝7cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P,Q分别从A,B同时出发那么几秒后,PQ的长度等于cm？（2）在（1）中,△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．答案与解析一．选择题1．解：①当该方程是关于x的一元一次方程时,k﹣1＝0即k＝1,此时x＝﹣,符合题意；②当该方程是关于x的一元二次方程时,k﹣1≠0即k≠1,此时△＝16﹣4（k﹣1）≥0．解得k≤5；综上所述,k的取值范围是k≤5．故选：D．2．解：A、因为方程是分式方程,不是整式方程,所以方程不是一元二次方程,故本选项不符合题意；B、是一元二次方程,故本选项符合题意；C、因为方程是一元一次方程,所以方程不是一元二次方程,故本选项不符合题意；D、因为方程是一元一次方程,所以方程不是一元二次方程,故本选项不符合题意；故选：B．3．解：∵a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根,∴a+b＝﹣1,ab＝﹣2020,则原式＝ab﹣a﹣b+1＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2020+1+1＝﹣2018．故选：A．4．解：∵x2﹣8x﹣5＝0,∴x2﹣8x＝5,则x2﹣8x+16＝5+16,即（x﹣4）2＝21,∴a＝﹣4,b＝21,故选：A．5．解：依题意,得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．故选：C．6．解：由x2﹣3x+2＝0可知,其二次项系数a＝1,一次项系数b＝﹣3,由根与系数的关系：x1+x2＝﹣＝﹣＝3．故选：A．7．解：设平均每天一人传染了x人, 根据题意得：1+x+x（1+x）＝225,（1+x ）2＝225,解得：x 1＝14,x 2＝﹣16（舍去）．答：平均每天一人传染了14人．故选：A ．8．解：∵△ABC 中,∠C ＝90°,∴△ABC 是直角三角形,由勾股定理,得BC ＝＝6．设t 秒后四边形APQB 是△ABC 面积的,则t 秒后,CQ ＝BC ﹣BQ ＝6﹣t ,PC ＝AC ﹣AP ＝8﹣2t ．根据题意,知S △PCQ ＝S △ABC , ∴CQ ×PC ＝×AC ×BC , 即（6﹣t ）（8﹣2t ）＝××8×6,解得t ＝2或t ＝8（舍去）．故选：A ．9．解：∵a 是方程x 2﹣x ﹣1＝0的一个根,∴a 2﹣a ﹣1＝0,∴a 2﹣1＝a ,﹣a 2+a ＝﹣1,∴﹣a 3+2a +2020＝﹣a （a 2﹣1）+a +2020＝﹣a 2+a +2020＝2019．故选：C ．10．解：设参加聚会的有x 名学生,根据题意得：x （x ﹣1）＝110,故选：B ．二．填空题（共5小题）11．解：因为b 是实数,所以关于b 的一元二次方程,≥0,解得a ≤﹣2或a ≥4．故答案为a≤﹣2或a≥4．12．解：设这两年该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x,根据题意得：7200（1+x）2＝8450,故答案为：7200（1+x）2＝8450．13．解：x2﹣8x+12＝0,（x﹣2）（x﹣6）＝0,解得：x1＝2,x2＝6,若x＝2,即第三边为2,4+2＝6＜7,不能构成三角形,舍去；当x＝6时,这个三角形周长为4+7+6＝17,故答案为：17．14．解：x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根, ∴1+a+b＝0,即a+b＝﹣1,∴a2+b2+2ab＝（a+b）2＝1．故答案是：1．15．解：若a≠b,∵实数a,b满足a2+a﹣1＝0,b2+b﹣1＝0,∴a、b看作方程x2+x﹣1＝0的两个根,∴a+b＝﹣1,ab＝﹣1,则＝＝＝＝﹣3．若a＝b,则原式＝2．故答案为：2或﹣3三．解答题（共5小题）16．解：（1）（2t+3）2＝3（2t+3）（2t+3）2﹣3（2t+3）＝0（2t+3）（2t+3﹣3）＝0∴2t+3＝0或2t＝0∴t1＝﹣,t2＝0．（2）（2x﹣1）2＝9（x﹣2）2（2x﹣1）2﹣9（x﹣2）2＝0（2x﹣1+3x﹣6）（2x﹣1﹣3x+6）＝0 5x﹣7＝0或﹣x+5＝0∴x1＝,x2＝5．（3）2x2＝5x﹣1 2x2﹣5x+1＝0x＝∴x1＝,x2＝．（4）x2+4x﹣5＝0 （x﹣1）（x+5）＝0x 1＝1,x2＝﹣5．或者x2+4x+4＝9（x+2）2＝±3∴x+2＝3或x+2＝﹣3∴x1＝1,x2＝﹣5．17．解：∵方程x2+2x+2c﹣a＝0 有两个相等的实数根, ∴△＝0,即：4b﹣4×（2c﹣a）＝0,∴a+b﹣2c＝0,即a+b＝2c,∵a、b、c是等腰△ABC的三条边,∴a＝b＝c．∵a、b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根,∴方程x2+mx﹣3m＝0有两个相等的实数根,∴m2﹣4×（﹣3m）＝0,解得m＝﹣12或m＝0（舍去）．18．解：（1）设长方形的长为xcm,宽为ycm,则,解得．答：这个长方形的长是9cm、宽是4cm；（2）小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．设裁出的长为3acm ,宽为2acm ,则3a •2a ＝30,解得a ＝,∴裁出的长为3cm ,宽为2cm ,∵3＞6, ∴小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．19．解：（1）每箱应降价x 元,依据题意得总获利为：（120﹣x ）（100+2x ）, 当x ＝20时,（120﹣x ）（100+2x ）＝100×140＝14000元；（2）要使每天销售饮料获利14400元,每箱应降价x 元,依据题意列方程得, （120﹣x ）（100+2x ）＝14400,整理得x 2﹣70x +1200＝0,解得x 1＝30,x 2＝40；∵要求每箱饮料获利大于80元,∴x ＝30答：每箱应降价30元,可使每天销售饮料获利14400元．20．（1）设x 秒后,PQ ＝2BP ＝5﹣x BQ ＝2x∵BP 2+BQ 2＝PQ 2∴（5﹣x ）2+（2x ）2＝（2）2解得：x 1＝3,x 2＝﹣1（舍去）∴3秒后,PQ 的长度等于2； （2）△PQB 的面积不能等于7cm 2,原因如下：设t 秒后,PB ＝5﹣t QB ＝2t又∵S △PQB ＝×BP ×QB ＝7×（5﹣t ）×2t ＝7∴t 2﹣5t +7＝0△＝52﹣4×1×7＝25﹣28＝﹣3＜0∴方程没有实数根∴△PQB的面积不能等于7cm2．。
数学九年级上册《一元二次方程》单元检测(附答案)
人教版数学九年级上学期《一元二次方程》单元测试考试时间：100分钟；总分：120分一、单选题（每小题3分，共30分)1．（2019·临邑县实验中学初三期中）方程()223x x =-化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）A ．1、2、-3B ．1、2、-6C ．1、-2、6D ．1、2、62．（2019·南山第二外国语学校集团海德学校初三期中）若关于 x 的一元二次方程中 20ax bx c ++= 有一个根是-1，则下列结论正确的是（ ）A ．1a b c ++=B ．0a b c -+=C ．0a b c ++=D ．1a b c -+=-3．（2019·厦门市第五中学初三期中）方程：x 2﹣25=0的解是（ ）A ．x=5B ．x=﹣5C ．x 1=﹣5，x 2=5D ．x=±254．（2019·湖北初三期中）方程（m ﹣2）x |m |+3mx +1＝0是关于x 的一元二次方程，则（ ）A.m ＝±2B.m ＝2C.m ＝﹣2D.m ≠±2 5．（2017全国初三课时练习）方程 229(1)4(1)0x x +--= 正确解法是（ ）A ．直接开方得 3(1)2(1)x x +=-B ．化为一般形式 21350x +=C ．分解因式得 [][]3(1)2(1)3(1)2(1)0x x x x ++-+--=D ．直接得 x+1=0或 x-1=06．（2019·山东初三期中）已知关于的一元二次方程21(2)02m x x -++=有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为 （ ）A.52m ＜B.52m ＞C.52m ＜且2m ≠D.52m ＞且2m ≠ 7．（2019·广东初三期中）已知α、β满足α＋β＝5，αβ＝6，则以α、β为根的一元二次方程（ ） A ．x 2＋5x ＋6＝0 B ．x 2－5x ＋6＝0C ．x 2－5x －6＝0D ．x 2＋5x －6＝08．（2019·江苏东绛实验学校初三期中）过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x 名同学，列方程为（ ） A.()113802x x -= B.x （x ﹣1）=380C.2x （x ﹣1）=380D.x （x +1）=380 9．（2019·湖南初三期中）如图，在宽度为20 m ，长为32 m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m 2 ， 求道路的宽．如果设小路宽为x m ，根据题意，所列方程正确的是（ ）A.（20+x ）（32+x ）=540B.（20﹣x ）（32﹣x ）=100C.（20﹣x ）（32﹣x ）=540D.（20-2x ）（32﹣2x ）=54010．（2019·黑龙江省哈尔滨市第一五六中学初三期中）某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）A.50（1+x ）²=182B.50+50（1+x ）+50（1+x ）²=182C.50（1+2x ）=182D.50+50（1+x ）+50（1+2x ）²=182二、填空题（每小题4分，共24分)11．（2018全国初三期末）把方程3x （x ﹣2）=4（x+1）化为一元二次方程的一般形式是_______； 12．（2019·江苏初三期中）已知(m −3)x 2 −3x + 1 = 0是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是______． 13．（2019·湖北初三期中）关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．14．（2019·江西省宜春实验中学初三期中）已知a 、b 为方程x 2+4x+2=0的两实根，则a 3+14b+50=_______． 15．（2019·上海市市八初级中学初二月考）已知方程220x kx +-=的一个根是1，则另一个根是_________. 16．（2019·江苏初三期中）方程（x -1）（x +2）=0的两根分别为________．三、解答题一（每小题6分，共18分)17．（2019·青浦区华新中学初二月考）解方程：3x 2﹣6x+1=0(用配方法)18．（2019·河南省实验中学初三月考）已知关于x 的一元二次方程22(1)(2)0x m x m m ---+=.（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若2x =-是此方程的一个根，求方程的另一个根.19．已知关于x 的方程2(1)2(1)0k x k x k +--+=有两个实数根1x ，2x .（1）求k 的取值范围；（2）若12122x x x x +=+，求k 的值.四、解答题二（每小题7分，共21分)20．（2019·湖南初三月考）先化简，再求值：32111m m m m +⎛⎫--÷ ⎪++⎝⎭，其中m 满足方程260m m --=． 21．（2019·上海初二期中）解方程：（1）（x-1）（x+3）=5（2）x 2+x-3=0（公式法）22．（2019·农安县前岗乡初级中学初三月考）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．(1)若每件衬衫降价4元，商场每天可盈利多少元?(2)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?五、解答题三（每小题9分，共27分)23．（2019·河南初三月考）已知：如图所示．在△ABC 中，∠B =90°，AB =5cm ，BC =7cm ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1c m/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2c m/s 的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动．（1）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于4cm 2?（2）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于5cm ?（3）在（1）中，△PQB 的面积能否等于7cm 2?说明理由．24．（2019·上海民办浦东交中初级中学初二月考）阅读材料：用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1就有最小值1，即3a2+1≥1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为-3a2≤0，所以-3a2+1有最大值1，即-3a2+1≤1，只有在a=0时，才能得到这个式子的最大值1．（1）当x=___时，代数式3（x+3）2+4有最小____（填写大或小）值为____．（2）当x=_____时，代数式-2x2+4x+3有最大____（填写大或小）值为____.（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大?最大面积是多少?25．（2019·江苏初三期中）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数a，都有a2≥0成立，所以，当a=0时，a2有最小值0．（应用）：（1）代数式（x-1）2有最小值时，x=___1；（2）代数式m2+3的最小值是____3；（探究）：求代数式n2+4n+9的最小值，小明是这样做的：n2+4n+9=n2+4n+4+5=（n+2）2+5∴当n=-2时，代数式n2+4n+9有最小值，最小值为5．请你参照小明的方法，求代数式a2-6a-3的最小值，并求此时a的值．（拓展）：（3）代数式m2+n2-8m+2n+17=0，求m+n的值．（4）若y=-4t2+12t+6，直接写出y的取值范围．参考答案一、单选题（每小题3分，共30分)1．（2019·临邑县实验中学初三期中）方程()223x x =-化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）A ．1、2、-3B ．1、2、-6C ．1、-2、6D ．1、2、6【答案】C【解析】首先将方程()223x x =-化为一般形式: 2260x x -+=,然后根据此一般形式,即可求得答案. 【详解】解:方程()223x x =-化成一般形式是2260x x -+=, ∴二次项系数为1,一次项系数为-2,常数项为6.所以C 选项是正确的.【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式.注意一元二次方程的一般形式是:ax 2+bx+c=0(a,b,c 是常数且a≠0),其中a,b,c 分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.2．（2019·南山第二外国语学校集团海德学校初三期中）若关于 x 的一元二次方程中 20ax bx c ++= 有一个根是-1，则下列结论正确的是（ ）A ．1a b c ++=B ．0a b c -+=C ．0a b c ++=D ．1a b c -+=-【答案】B【解析】把x=-1代入已知方程可以求得a-b+c=0．【详解】依题意，得x=-1满足关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0，则a-b+c=0．故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．3．（2019·厦门市第五中学初三期中）方程：x 2﹣25=0的解是（ ）A ．x=5B ．x=﹣5C ．x 1=﹣5，x 2=5D ．x=±25【答案】C【解析】利用直接开平方法解方程即可．【详解】移项得：x 2=25，∴x 1=﹣5，x 2=5．故选C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x 2=p 或（nx +m ）2=p （p ≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．4．（2019·湖北初三期中）方程（m ﹣2）x |m |+3mx +1＝0是关于x 的一元二次方程，则（ ）A.m ＝±2B.m ＝2C.m ＝﹣2D.m ≠±2【答案】C【解析】根据一元二次方程的定义即可得．【详解】解：∵方程（m ﹣2）x |m |+3mx +1＝0是关于x 的一元二次方程，∴|m |＝2，且m ﹣2≠0．解得：m ＝﹣2．故选：C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．5．（2017·全国初三课时练习）方程 229(1)4(1)0x x +--= 正确解法是（ ） A ．直接开方得 3(1)2(1)x x +=-B ．化为一般形式 21350x +=C ．分解因式得 [][]3(1)2(1)3(1)2(1)0x x x x ++-+--=D ．直接得 x+1=0或 x-1=0【答案】C【解析】A ：直接开平方应得到两个方程：3（x+1）=2（x-1）和3（x+1）=-2（x-1），所以A 不正确； B ：化成一般形式应是：5x 2+26x+5=0；所以B 不正确；C ：方程左边满足平方差形式，可以用平方差公式因式分解为：[3（x+1）+2（x-1）][3（x+1）-2（x-1）]=0，所以C 正确．D ：两个完全平方的差为0，不能直接得到两个式子分别是0，只有两个完全平方的和是0，才能直接得到两个式子分别是0，所以D 不对．故选：C ．点睛：本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，根据题目的结构特点，用平方差公式因式分解．6．（2019·山东初三期中）已知关于的一元二次方程21(2)02m x x -++=有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为 （ ）A.52m ＜B.52m ＞C.52m ＜且2m ≠D.52m ＞且2m ≠ 【答案】D【解析】∵关于x 的一元二次方程21(2)02m x x -++=有两个不等的实数根， ∴220{12(2)0m m -≠∆=--＞ 解得：52m <且2m ≠ 故选C.7．（2019·广东初三期中）已知α、β满足α＋β＝5，αβ＝6，则以α、β为根的一元二次方程（ ） A ．x 2＋5x ＋6＝0 B ．x 2－5x ＋6＝0C ．x 2－5x －6＝0D ．x 2＋5x －6＝0【答案】B【解析】分析： α 、β为一元二次方程的两根，且α、β满足α+ β=5、αβ=6．所以这个方程的系数应满足两根之和是b a - =5，两根之积是c a=6 ，当二次项系数为”1”时，可直接确定一次项系数、常数项． 本题解析：∵所求一元二次方程的两根是α、β，且α、β满足α+ β=5、αβ=6. ∴这个方程的系数应满足两根之和是b a -=5，两根之积是c a =6. 当二次项系数a=1时，一次项系数b=−5，常数项c=6.故选B8．（2019·江苏东绛实验学校初三期中）过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x 名同学，列方程为（ ）A.()113802x x -=B.x （x ﹣1）=380C.2x （x ﹣1）=380D.x （x +1）=380 【答案】B【解析】设该班级共有同学x 名，每个人要发（x-1）条短信，根据题意可得等量关系：人数×每个人所发的短信数量=总短信数量．【详解】设全班有x 名同学，由题意得：x（x-1）=380，故选：B．【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．9．（2019·湖南初三期中）如图，在宽度为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽．如果设小路宽为x m，根据题意，所列方程正确的是（）A.（20+x）（32+x）=540B.（20﹣x）（32﹣x）=100C.（20﹣x）（32﹣x）=540D.（20-2x）（32﹣2x）=540【答案】C【解析】把白色部分经过平移合并成长为32-x，宽为20-x的小长方形，再根据小长方形的面积等于草坪的面积建立等式.【详解】白色部分经过平移合并成长为32-x，宽为20-x的小长方形则小长方形的面积为（20﹣x）（32﹣x）由小长方形的面积等于草坪的面积可得：（20﹣x）（32﹣x）=540故答案为：C.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键在于把白色部分的图形平行合并成一个小长方形. 10．（2019·黑龙江省哈尔滨市第一五六中学初三期中）某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A.50（1+x）²=182B.50+50（1+x）+50（1+x）²=182C.50（1+2x）=182D.50+50（1+x）+50（1+2x）²=182【答案】B【解析】设二、三月份平均每月的增长率为x，根据某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产182万个，可列出方程．【详解】解：设二、三月份平均每月的增长率为x，则二月份生产零件50（1+x）个，三月份生产零件50（1+x）2个，则得：50+50（1+x）+50（1+x）2=182．故选：B．【点睛】本题考查理解题意的能力，关键设出增长率，表示出每个月的生产量，以一季度的产量做为等量关系列出方程．二、填空题（每小题4分，共24分)11．（2018·全国初三期末）把方程3x（x﹣2）=4（x+1）化为一元二次方程的一般形式是_______；【答案】3x2-10x-4=0．【解析】先把一元二次方程3x（x﹣2）=4（x+1）的各项相乘，再按二次项，一次项，常数项的顺序进行排列即可．解：∵一元二次方程3x（x﹣2）=4（x+1）可化为3x2-6x-4x--4=0，∴化为一元二次方程的一般形式为3x2-10x-4=0．12．（2019·江苏初三期中）已知(m−3)x2−3x + 1 = 0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是______．【答案】m≠3【解析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【详解】由题意，得m-3≠0．解得m≠3，故答案为：m≠3．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．13．（2019·湖北初三期中）关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．【答案】k＜1．【解析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=2241k 0-⨯⨯>，解得：k 1<，故答案为：k 1<.【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k 的一元一次不等式．熟知”在一元二次方程()2ax bx c 0a 0++=≠中，若方程有两个不相等的实数根，则△=2b 4ac 0->“是解答本题的关键.14．（2019·江西省宜春实验中学初三期中）已知a 、b 为方程x 2+4x+2=0的两实根，则a 3+14b+50=_______．【答案】2【解析】试题解析：∵a 、b 为方程x 2+4x+2=0的两实根，∴a+b=-4，a•b=2，a 2+4a+2=0，∴a 2=-4a-2，∴a 3+14b+50=a （-4a-2）+14b+50=-4a 2-2a+14b+50=-4（a 2+4a+2）+14a+14b+50+8=14（a+b ）+58=14×（-4）+58=2．15．（2019·上海市市八初级中学初二月考）已知方程220x kx +-=的一个根是1，则另一个根是_________.【答案】2-【解析】直接利用根与系数的关系求出另外一根即可，【详解】解：设方程的另一根为2x ，根据根与系数的关系得：212x ⋅=-，∴22x =-，故答案为2-.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程中根与系数的关系是解题的关键. 16．（2019·江苏初三期中）方程（x -1）（x +2）=0的两根分别为________．【答案】121,2x x ==-【解析】根据A·B=0，则A 、B 中至少有一个为0，化为一元一次方程即可解出方程. 【详解】解：（x -1）（x +2）=0x -1=0或x +2=0解得：121,2x x ==-【点睛】此题考查的是一元二次方程的解法，根据A·B=0，则A 、B 中至少一个为0，掌握将一元二次方程化为一元一次方程的方法是解决此题的关键.三、解答题一（每小题6分，共18分)17．（2019·青浦区华新中学初二月考）解方程：3x 2﹣6x+1=0(用配方法)【答案】x 1，x 2=1 【解析】试题分析：先移项，再将二次项系数化为1，然后配方解出x 即可.试题解析：3x 2－6x ＋1=0,移项，得3x 2－6x =－1，二次项系数化为1，得x 2－2x =－13， 配方，得x 2－2x +12=－13+12，即（x －1）2=23， 解得，x －1=±3，即x 1，x 2=1. 点睛：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）解出未知数.18．（2019·河南省实验中学初三月考）已知关于x 的一元二次方程22(1)(2)0x m x m m ---+=.（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若2x =-是此方程的一个根，求方程的另一个根.【答案】（1）证明见解析；（2）方程的另一个根为0或4．【解析】（1）根据根的判别式求出△的值，再进行判断即可；（2）先把x=-2代入方程，然后解关于m 的一元二次方程，即可求出m 的值．【详解】（1）证明：()()222141284m m m m ∆=---⨯⨯-+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 20m ≥2840m ∴+>，即>0∆，∴方程总有两个不相等的实数根．（2）当2x =-时，原方程为()()44120m m m +--+=，即2 20m m -=，解得：10m =，22m =.设方程的另一根为1x ，当0m =时，有120x -=，解得：10x =；当2m =时，有128x -=，解得：14x =（将m 代入方程，解方程得到亦可）综上所述：当=-2x 是此方程的一个根时，方程的另一个根为0或4．【点睛】此题考查一元二次方程的根的判别式，解题关键在于利用方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．19．已知关于x 的方程2(1)2(1)0k x k x k +--+=有两个实数根1x ，2x .（1）求k 的取值范围；（2）若12122x x x x +=+，求k 的值.【答案】（1）13k ≤且k 1≠-；（2）4-. 【解析】（1）方程有两个实数根，则0k+10≥≠△，，解出即可；（2）根据根与系数的关系，求出1212x x x x +，的值，解出即可.【详解】解：（1）方程有两个实数根，则0k+10≥≠△，，即[]2=2(1)4(1)0k+10k k k ---+≥≠△，，解得：13k ≤且k 1≠-； （2）()()12211k b x x a k -+=-=+，121c k x x a k ==+，则()()21211k k k k -=+++，解得：4k =-，143-＜， 则k 的值为4-.【点睛】本题是对一元二次方程的综合考查，熟练掌握一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系是解决本题的关键.四、解答题二（每小题7分，共21分)20．（2019·湖南初三月考）先化简，再求值：32111m m m m +⎛⎫--÷ ⎪++⎝⎭，其中m 满足方程260m m --=． 【答案】1【解析】根据分式的运算法则先化简分式．再解一元二次方程求出m ，代入化简后的式子，注意代入时原分式要有意义，m 不等于-1和-2. 【详解】原式213112m m m m --+=⋅++ (2)(2)112m m m m m +-+=⋅++ 2m =-解方程260m m --=得：3m =或2m =-20m +≠2m ∴≠-当3m =时，原式321=-=【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，注意代入分式中字母的值必须使分式必须有意义.21．（2019·上海初二期中）解方程：（1）（x-1）（x+3）=5（2）x 2+x-3=0（公式法）【答案】（1）x 1=-4，x 2=2；（2）x 1x 2． 【解析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；（2）利用求根公式解方程．【详解】（1）x 2+2x-8=0，（x+4）（x-2）=0，所以x 1=-4，x 2=2；（2）△=12-4×1×（-3）=13，，所以x 1x 2． 【点睛】此题考查解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握运算法则.22．（2019·农安县前岗乡初级中学初三月考）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．(1)若每件衬衫降价4元，商场每天可盈利多少元?(2)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?【答案】（1）1008；（2）20【解析】（1）降价4元时，根据题意分别求出单件利润和销量，再根据销售利润问题的等量关系：单件利润×销量=总利润，可求出总利润；（2）设降价x 元，然后根据题意找出单件利润和销量的表达式，再根据销售利润问题的等量关系：单件利润×销量=总利润，列出方程求解，最后根据题意舍去不符合题意的解.【详解】（1）降价4元时，每件盈利为40-4=36元，销量为10204=285+⨯件， ∴总盈利36×28=1008元.（2）设降价x 元，由题意得()104020=12005x x ⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭化简得2302000x x -+=，解得1=10x ，2=20x ，要尽量减少库存，则取=20x ，所以平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元.【点睛】本题考查一元二次方程的应用：销售利润问题，根据等量关系建立方程是解题的关键.五、解答题三（每小题9分，共27分)23．（2019·河南初三月考）已知：如图所示．在△ABC 中，∠B =90°，AB =5cm ，BC =7cm ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1c m/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2c m/s 的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动．（1）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于4cm 2?（2）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于5cm ?（3）在（1）中，△PQB 的面积能否等于7cm 2?说明理由．【答案】（1）1；（2）2；（3）不能．【解析】（1）设P 、Q 分别从A 、B 两点出发，x 秒后，AP=xcm ，PB=（5-x ）cm ，BQ=2xcm 则△PBQ 的面积等于12×2x （5-x ），令该式等于4，列出方程求出符合题意的解； （2）利用勾股定理列出方程求解即可；（3）看△PBQ 的面积能否等于7cm 2，只需令12×2x （5-x ）=7，化简该方程后，判断该方程的△与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．【详解】设t 秒后，则：AP =tcm ，BP =（5﹣t ）cm ；BQ =2tcm ．（1）S △PBQ =BP ×BQ ，即1(5)242x x -⨯=，解得：t =1或4．（t =4秒不合题意，舍去） 故：1秒后，△PBQ 的面积等于4cm 2．（2）PQ =5，则PQ 2=25=BP 2+BQ 2，即25=（5﹣t ）2+（2t ）2，t =0（舍）或2．故2秒后，PQ 的长度为5cm ．（3）令S △PQB =7，即：BP ×2BQ =7，1(5)272x x -=，整理得：t 2﹣5t +7=0． 由于b 2﹣4ac =25﹣28=﹣3＜0，则方程没有实数根．所以，在（1）中，△PQB 的面积不等于7cm 2．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．24．（2019·上海民办浦东交中初级中学初二月考）阅读材料：用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1就有最小值1，即3a2+1≥1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为-3a2≤0，所以-3a2+1有最大值1，即-3a2+1≤1，只有在a=0时，才能得到这个式子的最大值1．（1）当x=___时，代数式3（x+3）2+4有最小____（填写大或小）值为____．（2）当x=_____时，代数式-2x2+4x+3有最大____（填写大或小）值为____.（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大?最大面积是多少?【答案】（1）-3，小，4；（2）1，大，5；（3）当边长为4米时，花园面积最大为32m2．【解析】（1）由完全平方式的最小值为0，得到x=-3时，代数式的最小值为4；（2）将代数式前两项提取-2，配方为完全平方式，根据完全平方式的最小值为0，即可得到代数式的最大值及此时x的值；（3）设垂直于墙的一边长为xm，根据总长度为16m，表示出平行于墙的一边为（16-2x）m，表示出花园的面积，整理后配方，利用完全平方式的最小值为0，即可得到面积的最大值及此时x的值．【详解】（1）∵（x+3）2≥0，∴当x=-3时，（x+3）2的最小值为0，则当x=-3时，代数式3（x+3）2+4的最小值为4；（2）代数式-2x2+4x+3=-2（x-1）2+5，则当x=1时，代数式-2x2+4x+3的最大值为5；（3）设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（16-2x）m，∴花园的面积为x（16-2x）=-2x2+16x=-2（x2-8x+16）+32=-2（x-4）2+32，则当边长为4米时，花园面积最大为32m2．【点睛】此题考查配方法的应用，解题关键在于要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．25．（2019·江苏初三期中）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数a，都有a2≥0成立，所以，当a=0时，a2有最小值0．（应用）：（1）代数式（x-1）2有最小值时，x=___1；（2）代数式m2+3的最小值是____3；（探究）：求代数式n2+4n+9的最小值，小明是这样做的：n2+4n+9=n2+4n+4+5=（n+2）2+5∴当n=-2时，代数式n2+4n+9有最小值，最小值为5．请你参照小明的方法，求代数式a2-6a-3的最小值，并求此时a的值．（拓展）：（3）代数式m2+n2-8m+2n+17=0，求m+n的值．（4）若y=-4t2+12t+6，直接写出y的取值范围．【答案】（1）1；（2）3；（3）3；（4）y≤15.【解析】（1）由（x-1）2≥0可得x=1时，取得最小值0；（2）由m2≥0知m2+3≥3可得答案；（3）将方程变形为（m-4）2+（n+1）2=0，由非负数性质求得m、n的值即可得；（4）由y=-4t2+12t+6=-4（t-32）2+15知-4（t-32）2+15≤15，从而得出答案．【详解】（1）代数式（x-1）2有最小值时，x=1，故答案为：1；（2）代数式m2+3的最小值是在m=0时，最小值为3，故答案为：3．（3）∵m2+n2-8m+2n+17=0，∴（m-4）2+（n+1）2=0，则m=4、n=-1，∴m+n=3；（4）y=-4t2+12t+6=-4（t2-3t）+6=-4（t2-3t+94-94）+6=-4（t-32）2+15，∵（t-32）2≥0，∴-4（t-32）2≤0，则-4（t-32）2+15≤15，即y≤15．【点睛】此题考查配方法的应用，完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的性质进行解答．。
九年级上册数学《一元二次方程》单元检测(含答案)
C.300(1+2x)=363D.300(1﹣x)2=363
【答案】B
【解析】
【分析】
本题为增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),如果设绿化面积平均每年的增长率为x,根据题意即可列出方程．
【详解】设绿化面积平均每年的增长率为x,根据题意得：
3.已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2,则另一实数根及m的值分别为()
A.4,﹣2B.﹣4,﹣2C.4,2D.﹣4,2
【答案】D
【解析】
试题分析：由根与系数的关系式得： , =﹣2,解得： =﹣4,m=2,则另一实数根及m的值分别为﹣4,2,故选D．
考点：根与系数 关系．
4.已知x为实数,且满足(x2＋3x)2＋2(x2＋3x)－3=0,那么x2＋3x的值为()
17.三角形的每条边的长都是方程 的根,则三角形的周长是．
18.已知a,b,c是△ABC的三边长,若方程(a－c)x2＋2bx＋a＋c=0有两个相等的实数根,则△ABC是__________三角形
三、解答题(共66分)
19.用适当的方法解下列方程：
(1)(x＋1)(x－2)=x＋1; (2) x2－4x=4 .
26.要在一块长52m,宽48m的矩形绿地上,修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案．
(1)求小亮设计方案ຫໍສະໝຸດ 甬路的宽度x；(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积(友情提示：小颖设计方案中的与小亮设计方案中的取值相同)
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.一元二次方程x2－8x－1=0配方后为()
数学九年级上学期《一元二次方程》单元检测卷附答案
九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷(满分120分,考试用时120分钟)一、选择题(每小题3分,共36分)1、若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根,则一次函数y kx b =+的大致图象可能是DC BA OO O Ox yxyx yyx2.股票每天的涨、跌幅均不超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再张,叫做涨停；当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停.已知一支股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价,若这两天此股票股价的平均增长率为x ,则x 满足的方程是 A . 1011)1(2=+x B . 910)1(2=+x C . 101121=+x D . 91021=+x 3、根据下列表格中代数式c bx ax ++2与x 的对应值,判断方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根x的大致范围是( )x6.17 6.18 6.19 6.20 c bx ax ++2－0.03－0.010.020.06A ．6< x <6.17B ．6.17< x <6.18C ．6.18< x <6.19D ．6.19< x <6.20 4.已知2是关于x 的方程x 2﹣2mx +3m =0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形A B C 的两条边长,则三角形A B C 的周长为( ) A ． 10 B ． 14C ． 10或14D ． 8或105．已知分别是三角形的三边长,则一元二次方程的根的情况是( )A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根6、方程9733322=-+-+x x x x 的全体实数根之积为( )A 、60B 、60-C 、10D 、10- 7、若方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 是关于x 的一元二次方程,则必有( )．A ．A =B =C B ．一根为1 C ．一根为－1D ．以上都不对8、我们解一元二次方程3x 2﹣6x =0时,可以运用因式分解法,将此方程化为3x (x ﹣2)=0,从而得到两个一元一次方程：3x =0或x ﹣2=0,进而得到原方程的解为x 1=0,x 2=2．这种解法体现的数学思想是( ) A . 转化思想 B . 函数思想 C . 数形结合思想 D . 公理化思想9、定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=,那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知20(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ． a b c ==10、小刚在解关于x 的方程A x 2+B x +C =0(A ≠0)时,只抄对了A =1,B =4,解出其中一个根是x =–1．他核对时发现所抄的C 比原方程的C 值小2,则原方程的根的情况是A ．不存在实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有一个根是x =–1D ．有两个相等的实数根11、有两个一元二次方程：M ：20ax bx c ++=,N ：20cx bx a ++=,其中0a c +=,以下列四个结论中,错误的是( )A 、如果方程M 有两个不相等的实数根,那么方程N 也有两个不相等的实数根； B 、如果方程M 有两根符号相同,那么方程N 的两根符号也相同； C 、如果5是方程M 的一个根,那么15是方程N 的一个根； D 、如果方程M 和方程N 有一个相同的根,那么这个根必是1x =. 12、已知实数m ,n 满足020092=-+m m ,()102009112-≠=--mn n n ,则1n m-=( ). A 、12009 B 、2009 C 、－2009 D 、12009- 二、填空题(每小题3分,共18分)13．如图,在一块长12m,宽8m 的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积77m 2,设道路的宽为x m,则根据题意,可列方程为__________．14、等腰三角形三边长分别为2a b 、、,且a b 、是关于x 的一元二次方程2610x x n -+-=的两根,则n 的值为 ．15、对于实数A ,B ,定义运算“﹡”：A ﹡B =()()22a ab a b ab b a b ⎧-≥⎪⎨-⎪⎩＜．例如4﹡2,因为4＞2,所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x 1,x 2是一元二次方程x 2﹣5x+6=0的两个根,则x 1﹡x 2=16、已知关于x 的方程02=++c bx ax 的两根分别为3-和1,则方程02=++a cx bx 的两根为 . 17、如果m ,n 是两个不相等的实数,且满足m 2﹣m =3,n 2﹣n =3,那么代数式2n 2﹣mn +2m +2020= ． 18、如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法,正确的是________．(写出所有正确说法的序号)．①方程220x x --=是倍根方程；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程,则22450m mn n ++=； ③2pq =,则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程；④若方程20ax bx c ++=是倍根方程,且,则方程20ax bx c ++=的一个根为54． 三、解答题(共46分)19.(6分)如图,四边形 A C D E 是证明勾股定理时用到的一个图形,A 、B 、C 是 Rt ∆A B C 和 Rt ∆B ED 的边长,已知2=AE c ,这时我们把关于 x 的形如220++=ax cx b 二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：(1)写出一个“勾系一元二次方程”；(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”220ax cx b的一++= ++=ax cx b,必有实数根；(3)若x=-1是“勾系一元二次方程” 220个根,且四边形A C D E的周长是62,求∆A B C 的面积．20、(8分)某网店准备销售一种多功能旅行背包,计划从厂家以每个120元的价格进货．(1)经过市场调查发现,当每个背包的售价为140元时,月均销量为980个,售价每增长10元,月均销量就相应减少30个,若使这种背包的月均销量不低于800个,每个背包售价应不高于多少元？(2)在实际销售过程中,由于原材料涨价和生产成本增加的原因,每个背包的进价为150元,而每个背包的售价比(1)中最高售价减少了A %(A ＞0),月均销量比(1)中最低月均销量800个增加了5A %,结果该店销售该背包的月均利润达到了40000元,求在实际销售过程中每个背包售价为多少元？21、(8分)阅读下面例题的解答过程,体会、理解其方法,并借鉴该例题的解法解方程. 例：解方程2110x x ---=解：(1)当10x -≥即1x ≥时．11x x -=-,原方程化为2(1)10x x ---=,即20x x -=,解得1201x x ==，．∵1x ≥,故0x =舍去,1x =是原方程的解 (2)当10x -<即1x <时．1(1)x x -=--,原方程化为2(1)10x x +--=,即220x x +-=,解得1212x x ==-，．∵1x <,故1x =舍去,2x =-是原方程的解． 综上所述,原方程的解为1212x x ==-，. 解方程：22240x x ++-=22. (8分)关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +k ＝0有实数根．(1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m ﹣1)x 2+x +m ﹣3＝0与方程x 2﹣3x +k ＝0有一个相同的根,求此时m 的值．23．(8分)阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为x=A 的形式．求解二元一次方程组,把它转化为一元一次方程来解；类似的,求解三元一次方程组,把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程,把它转化为整式方程来解,由于“去分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想--转化,把未知转化为已知．用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程．例如,一元三次方程x 3+x 2-2x=0,可以通过因式分解把它转化为x(x 2+x-2)=0,解方程x=0和x 2+x-2=0,可得方程x 3+x 2-2x=0的解． (1)问题：方程x 3+x 2-2x=0的解是x 1=0,x 2= ,x 3= ； (2)拓展：用“转化”思想求方程23x x +=的解；(3)应用：如图,已知矩形草坪A B C D 的长A D =8m ,宽A B =3m ,小华把一根长为10m 的绳子的一端固定在点B ,沿草坪边沿B A ,A D 走到点P 处,把长绳PB 段拉直并固定在点P ,然后沿草坪边沿PD 、D C 走到点C 处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在点C ．求A P 的长．24．(8分)实际问题：某商场为鼓励消费,设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额,每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数),一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券,奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会,小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1,2,3,…,n (n 为整数,且3n ≥)这n 个整数中任取()1a a n <<个整数,这a 个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略,先从最简单的情形入手,再逐次递进,从中找出解决问题的方法．探究一：(1)从1,2,3这3个整数中任取2个整数,这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表①所取的2个整数1,21,3,2,3如表①,所取的2个整数之和可以为3,4,5,也就是从3到5的连续整数,其中最小是3,最大是5,所以共有3种不同的结果．(2)从1,2,3,4这4个整数中任取2个整数,这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表②如表②,所取的2个整数之和可以为3,4,5,6,7,也就是从3到7的连续整数,其中最小是3,最大是7,所以共有5种不同的结果．(3)从1,2,3,4,5这5个整数中任取2个整数,这2个整数之和共有______种不同的结果． (4)从1,2,3,…,n (n 为整数,且3n ≥)这n 个整数中任取2个整数,这2个整数之和共有______种不同的结果．探究二：(1)从1,2,3,4这4个整数中任取3个整数,这3个整数之和共有___ 种不同的结果． (2)从1,2,3,…,n (n 为整数,且4n ≥)这n 个整数中任取3个整数,这3个整数之和共有______种不同的结果．探究三：从1,2,3,…,n (n 为整数,且5n ≥)这n 个整数中任取4个整数,这4个整数之和共有______种不同的结果．归纳结论：从1,2,3,…,n (n 为整数,且3n ≥)这n 个整数中任取()1a a n <<个整数,这a 个整数之和共有______种不同的结果． 问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数),一次任意抽取5张奖券,共有______种不同的优惠金额． 拓展延伸：(1)从1,2,3,…,36这36个整数中任取多少个整数,使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？(写出解答过程)(2)从3,4,5,…,3n +(n 为整数,且2n ≥)这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数,这a 个整数之和共有______种不同的结果．参考答案一、选择题(每小题3分,共36分)1、若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根,则一次函数y kx b =+的大致图象可能是DC BA[答案]B[分析]根据一元二次方程x 2﹣2x +kB +1=0有两个不相等的实数根, 得到判别式大于0,求出kB 的符号,对各个图象进行判断即可． [解析]∵x 2﹣2x +kB +1=0有两个不相等的实数根, ∴△=4﹣4(kB +1)＞0,解得kB ＜0,A ．k ＞0,B ＞0,即kB ＞0,故A 不正确；B ．k ＞0,B ＜0,即kB ＜0,故B 正确；C ．k ＜0,B ＜0,即kB ＞0,故C 不正确；D ．k ＞0,B =0,即kB =0,故D 不正确； 故选：B ．[考点]根的判别式；一次函数的图象．.[点评]本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象,一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△＜0⇔方程没有实数根．2.股票每天的涨、跌幅均不超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再张,叫做涨停；当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停.已知一支股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价,若这两天此股票股价的平均增长率为x ,则x 满足的方程是 A . 1011)1(2=+x B . 910)1(2=+x C . 101121=+x D . 91021=+x [答案]B[分析]我们可以将整个原价假设为1(如果你觉得不放心,也可以假设为a 或m 等与现有字母不冲突的任何字母),那么跌停后的价格就是0.9.之后两天中的第一天,是在0.9的基础上增加了x ,那么就是到了)1(9.0x +；接下去要注意的是：虽然第二天增长率同样为x ,但是起步价变了,已经不是0.9,而是前一天收市之后的)1(9.0x +,它是在)1(9.0x +的基础上增加到了)1(x +倍(请注意增加和增加到的区别),因此,现在的股价是)1()]1(9.0[x x +⋅+,也就是2)1(9.0x +.[解析]跌停后,股价为0.9,连续两天按照x 的增长率增长后,股价为2)1(9.0x +,根据题意,得方程1)1(9.02=+x ,那么正确选项为B .[考点]本题考查了增长率的概念和方程的基本性质[点评]首先必须要分清楚增加(或减少)的这一部分的量和原来的基础“1”有没有关系？ 其次,这个基础“1”前后是否发生了变化.3、根据下列表格中代数式c bx ax ++2与x 的对应值,判断方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根x的大致范围是( )A ．6< x <6.17B ．6.17< x <6.18C ．6.18< x <6.19D ．6.19< x <6.20 [答案]C[解析]当6.18< x <6.19时,2ax bx c ++的值由负连续变化到正, 说明在6.18< x <6.19范围内一定有一个x 的值,使20ax bx c ++=, 即是方程20ax bx c ++=的一个解.故选C . [考点]利用夹逼法求近似解4.已知2是关于x 的方程x 2﹣2mx +3m =0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形A B C 的两条边长,则三角形A B C 的周长为( ) A ． 10 B ． 14C ． 10或14D ． 8或10[答案]B[分析]先将x =2代入x 2﹣2mx +3m =0,求出m =4,则方程即为x 2﹣8x +12=0, 利用因式分解法求出方程的根x 1=2,x 2=6,分两种情况： ①当6是腰时,2是等边；②当6是底边时,2是腰进行讨论． 注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验． [解析]∵2是关于x 的方程x 2﹣2mx +3m =0的一个根,∴22﹣4m +3m =0,m =4,∴x 2﹣8x +12=0,解得x 1=2,x 2=6． ①当6是腰时,2是等边,此时周长=6+6+2=14； ②当6是底边时,2是腰,2+2＜6,不能构成三角形． 所以它的周长是14．故选B ．[考点]解一元二次方程－因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形性质． [点评]此题主要考查了一元二次方程的解,解一元二次方程﹣因式分解法,三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质,注意求出三角形的三边后,要用三边关系定理检验． 5．已知分别是三角形的三边长,则一元二次方程的根的情况是( )A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根 [答案]A 解析：因为又因为分别是三角形的三边长,所以所以所以方程没有实数根.故答案选A[考点]一元二次方程根的判别式. 6、方程9733322=-+-+x x x x 的全体实数根之积为( ) A 、60 B 、60- C 、10 D 、10- [答案]A[分析]设y x x =-+732,原方程化成23=-yy ,再整理成整式方程求解即可. [解析]设y x x =-+732,则23=-yy ∴0322=--y y ,解得11-=y ,32=y 当11-=y 时,1732-=-+x x ,解得2333±-=x 当32=y 时,3732=-+x x ,解得2=x 或5- ∴()605223332333=-⨯⨯--⨯+- [考点]换元法解分式方程.[点评]本题考查了用换元法解分式方程,解次题的关键是把732-+x x 看成一个整体来计算,即换元法思想.7、若方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 是关于x 的一元二次方程,则必有( )．A ．A =B =C B ．一根为1 C ．一根为－1D ．以上都不对[答案]B ．[解析]A 、当A =B =C 时,A -B =0,B -C =0,则式子不是方程,故错误；B 、把x =1代入方程的左边：A -B +B -C +C -A =0．方程成立,所以x =1是方程(A -B )x 2+(B -C )x +(C -A )=0的解；C 、把x =-1代入方程的左边：A -B +C -B +C -A =2(C -B )=0不一定成立,故选项错误；故选B ．[考点]一元二次方程的解8、我们解一元二次方程3x 2﹣6x =0时,可以运用因式分解法,将此方程化为3x (x ﹣2)=0,从而得到两个一元一次方程：3x =0或x ﹣2=0,进而得到原方程的解为x 1=0,x 2=2．这种解法体现的数学思想是( )A . 转化思想B . 函数思想C . 数形结合思想D . 公理化思想[答案]A[解析]我们解一元二次方程3x 2-6x =0时,可以运用因式分解法,将此方程化为3x (x -2)=0,从而得到两个一元一次方程：3x =0或x -2=0,进而得到原方程的解为x 1=0,x 2=2．这种解法体现的数学思想是转化思想.(即将我们不熟悉的一元二次方程转化为熟悉的一元一次方程),故选A ．[考点]数学思想9、定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=,那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知20(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ． a b c == [答案]B ． [分析]由条件可知A +B +C =0,再根据方程根的判别式得到到B 2-4A C =0,整理可得出结论．[解析]由条件可知A +B +C =0,所以B =-(A +C ),又因为方程有两个相等的实数根,所以△=0,即B 2-4A C =0,所以(A +C )2-4A C =0,整理可得(A -C )2=0,所以A =C ,故选B ．[考点]根的判别式[点评]本题主要考查一元二次方程判别式与根的情况的判定,由条件到到知A +B +C =0和B 2-4A C =0是解题的关键．10、小刚在解关于x 的方程A x 2+B x +C =0(A ≠0)时,只抄对了A =1,B =4,解出其中一个根是x =–1．他核对时发现所抄的C 比原方程的C 值小2,则原方程的根的情况是A ．不存在实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有一个根是x =–1D ．有两个相等的实数根[答案]A[解析]∵小刚在解关于x 的方程A x 2+B x +C =0(A ≠0)时,只抄对了A =1,B =4,解出其中一个根是x =–1,∴(–1)2–4+C =0,解得：C =3,故原方程中C =5,则B 2–4A C =16–4×1×5=–4<0,则原方程的根的情况是不存在实数根．故选A ．[点睛]此题主要考查了根的判别式,正确得出C 的值是解题关键．11、有两个一元二次方程：M ：20ax bx c ++=,N ：20cx bx a ++=,其中0a c +=,以下列四个结论中,错误的是( )A 、如果方程M 有两个不相等的实数根,那么方程N 也有两个不相等的实数根；B 、如果方程M 有两根符号相同,那么方程N 的两根符号也相同；C 、如果5是方程M 的一个根,那么15是方程N 的一个根； D 、如果方程M 和方程N 有一个相同的根,那么这个根必是1x =.[答案]D .[解析]根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系对各选项逐一分析作出判断：A 、∵M 有两个不相等的实数根,∴△＞0,即240b ac ->.∴此时N 的判别式△＝240b ac ->,故它也有两个不相等的实数根.B 、∵M 的两根符号相同：即120c x x a⋅=>,∴N 的两根之积＝a c ＞0,故N 两个根也是同号的. C 、如果5是M 的一个根,则有：2550a b c ++=①,我们只需要考虑将15代入N 方程看是否成立,代入得：110255c b a ++=②,比较①与②,可知②式是由①式两边同时除以25得到,故②式成立. D 、比较方程M 与N 可得：将M －N 得到： ()2a c x a c -=-,∴1x =±. 故可知,它们如果有根相同的根可是1或1-.故选D .[考点]一元二次方程根的判别式和根与系数的关系.12、已知实数m ,n 满足020092=-+m m ,()102009112-≠=--mn n n ,则1n m -=( ). A 、12009 B 、2009 C 、－2009 D 、12009- [考点]一元二次方程根与系数的关系.[分析]根据题意：由020092=-+m m 得：011120092=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛m m ；由02009112=--n n 得：()()0120092=--+-n n ,又因为1-≠mn ,即n m -≠1,因此可以把m1,n -作为一元二次方程0120092=-+x x 的两根,由根与系数的关系得：200911-=-n m . [解析]∵020092=-+m m ,02009112=--n n ∴011120092=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛m m ,()()0120092=--+-n n ∵1-≠mn ∴n m -≠1 ∴把m 1,n -作为一元二次方程0120092=-+x x 的两根 ∴()2009111-=-+=-n m n m [点评]本题考查的是用构造一元二次方程,利用根与系数的关系解答问题,本题的关键是利用已知进行变形是关键所在,不要忽视了1-≠mn 这个条件隐含的题意.二、填空题(每小题3分,共18分)13．如图,在一块长12m,宽8m 的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积77m 2,设道路的宽为x m,则根据题意,可列方程为__________．[答案](12–x )(8–x )=77[解析]∵道路的宽应为x 米,∴由题意得,(12–x )(8–x )=77,故答案为：(12–x )(8–x )=77．[点睛]此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．14、等腰三角形三边长分别为2a b 、、,且a b 、是关于x 的一元二次方程2610x x n -+-=的两根,则n 的值为 ．[答案]10.[解析]由题意可知,等腰三角形有两种情况:当A , B 为腰时,A =B ,由一元二次方程根与系数的关系,可得A +B =6 ,所以A =B =3,A B =9=n -1, 解得n =10;当2为腰时,A =2 (或B =2),此时2+B =6 (或A +2=6),解得B =4 (A =4),这时三边为2, 2, 4,不符合三角形三边关系,故不合题意.所以n 只能为10.故选B[考点]1.等腰三角形,2.一元二次方程根与系数的关系.15、对于实数A ,B ,定义运算“﹡”：A ﹡B =()()22a ab a b ab b a b ⎧-≥⎪⎨-⎪⎩＜．例如4﹡2,因为4＞2,所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x 1,x 2是一元二次方程x 2﹣5x+6=0的两个根,则x 1﹡x 2=[答案]3或﹣3[分析]首先解方程x 2﹣5x+6=0,再根据A ﹡B =()()22a ab a b ab b a b ⎧-≥⎪⎨-⎪⎩＜,求出x 1﹡x 2的值即可． [解析]∵x 1,x 2是一元二次方程x 2﹣5x+6=0的两个根,∴(x ﹣3)(x ﹣2)=0,解得：x=3或2,①当x 1=3,x 2=2时,x 1﹡x 2=32﹣3×2=3；②当x 1=2,x 2=3时,x 1﹡x 2=3×2﹣32=﹣3．故答案为：3或﹣3．[考点]解一元二次方程-因式分解法．[点评]此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题,根据已知进行分类讨论是解题关键．16、已知关于x 的方程02=++c bx ax 的两根分别为3-和1,则方程02=++a cx bx 的两根为 .[答案]211=x ,12=x [分析]因为方程的两个根为3-和1,所以方程可以方程因式为()()013=-+x x a ,用含A 的式子表示B 和C ,代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根.[解析]∵02=++c bx ax 的两根为3-和1 ∴()()013=-+x x a整理得：0322=-+a ax ax ∴a b 2=,a c 3-=把B ,C 代入方程02=++a cx bx ,得：0322=+-a ax ax()()0112=--x x a ∴211=x ,12=x [考点]解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解．[点评]本题考查的是用因式分解法解一元二次方程,把方程的两根代入方程,整理后用含A 的式子表示B 和C ,然后把B ,C 代入后面的方程,用因式分解法可以求出方程的根.17、如果m ,n 是两个不相等的实数,且满足m 2﹣m =3,n 2﹣n =3,那么代数式2n 2﹣mn +2m +2020= ．[答案]2031[分析]由于m ,n 是两个不相等的实数,且满足m 2﹣m =3,n 2﹣n =3,可知m ,n 是x 2﹣x ﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m +n =2,mn =﹣3,又n 2=n +3,利用它们可以化简2n 2﹣mn +2m +2020=2(n +3)﹣mn +2m +2020=2n +6﹣mn +2m +2020=2(m +n )﹣mn +2026,然后就可以求出所求的代数式的值．[解析]由题意可知：m ,n 是两个不相等的实数,且满足m 2﹣m =3,n 2﹣n =3,所以m ,n 是x 2﹣x ﹣3=0的两个不相等的实数根,则根据根与系数的关系可知：m +n =1,mn =﹣3,又n 2=n +3,则2n 2﹣mn +2m +2020=2(n +3)﹣mn +2m +2020=2n +6﹣mn +2m +2020=2(m +n )﹣mn +2026=2×1﹣(﹣3)+2026=2+3+2026=2031．故答案为：2031．[考点]根与系数的关系．.[点评]本题考查一元二次方程根与系数的关系,解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数,然后利用根与系数的关系式求值．18、如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法,正确的是________．(写出所有正确说法的序号)．①方程220x x --=是倍根方程；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程,则22450m mn n ++=；③2pq =,则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程；④若方程20ax bx c ++=是倍根方程,且5b a =-,则方程20ax bx c ++=的一个根为54． [答案]②③．[解析]研究一元二次方程20ax bx c ++=是倍根方程的一般性结论,设其中一根为t ,则另一个根为2t ,因此222()(2)32ax bx c a x t x t ax atx t a ++=--=-+, 所以有2902b ac -=；我们记292K b ac =-,即0K =时,方程20ax bx c ++=为倍根方程； 下面我们根据此结论来解决问题： 对于①, 29102K b ac =-=,因此本选项错误； 对于②,2(2)20mx n m x n +--=,而29K (2)(2)02n m m n =---=, ∴22450m mn n ++=,因此本选项正确； 对于③,显然2pq =,而29K 302pq =-=,因此本选项正确； 对于④,由倍根方程的结论知2902b ac -=,又5b a =-,从而有509c a =,所以方程变为：250509ax ax a -+=,∴2945500x x -+=,∴1103x =,253x =,因此本选项错误． 故答案为：②③．[考点]1．新定义；2．根与系数的关系．三、解答题(共46分)19.(6分)如图,四边形 A C D E 是证明勾股定理时用到的一个图形,A 、B 、C 是 Rt ∆A B C 和 Rt ∆B ED 的边长,已知2=AE c ,这时我们把关于 x 的形如220++=ax cx b 二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：(1)写出一个“勾系一元二次方程”；(2)求证：关于 x 的“勾系一元二次方程”220++=ax cx b ,必有实数根；(3)若 x = -1是“勾系一元二次方程” 220++=ax cx b 的一个根,且四边形 A C D E 的周长是2,求∆A B C 的面积．[答案](1)235240x x++=(答案不唯一)(2)见解析(3)1.[分析](1)直接找一组勾股数代入方程即可；(2)根据根的判别式即可求解；(3)根据方程的解代入求出A ,B ,C 的关系,再根据完全平方公式的变形进行求解.[解析](1)当A =3,B =4,C =5时,勾系一元二次方程为235240x x++=；(2)依题意得△=(2c)2-4A B =2C 2-4A B ,∵A 2+B 2=C 2,∴2C 2-4A B =2(A 2+B 2)-4A B =2(A -B )2≥0,即△≥0,故方程必有实数根；(3)把x=-1代入得A +B =2C ；∵四边形A C D E 的周长是62,即2(A +B )+ 2C =62,故得到C =2,∴A 2+B 2=4,A +B =22∵(A +B )2= A 2+B 2+2A B ∴A B =2,故∆A B C 的面积为12A B =1.[点睛]此题主要考查一元二次方程的应用,解题的关键是熟知勾股定理、根的判别式及完全平方公式的应用.20、(8分)某网店准备销售一种多功能旅行背包,计划从厂家以每个120元的价格进货．(1)经过市场调查发现,当每个背包的售价为140元时,月均销量为980个,售价每增长10元,月均销量就相应减少30个,若使这种背包的月均销量不低于800个,每个背包售价应不高于多少元？(2)在实际销售过程中,由于原材料涨价和生产成本增加的原因,每个背包的进价为150元,而每个背包的售价比(1)中最高售价减少了A %(A ＞0),月均销量比(1)中最低月均销量800个增加了5A %,结果该店销售该背包的月均利润达到了40000元,求在实际销售过程中每个背包售价为多少元？[答案](1) 200元;(2) 190元[分析](1)设每个售价应为x元,根据月销量=980-30×14010x-,结合月销量不低于800个,即可得出关于x的一元一次不等式；(2)根据总利润=每个利润×销售数量,即可得出关于A 的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论．[解析](1)设使背包的月销量不低于800个,每个售价是x 元,980﹣30×14010x -≥800,解得x ≤200, 故要使背包的月销量不低于800个,每个售价应不高于200元．(2)由题意可得：[200(1﹣A %)﹣150]•800(1+5A %)＝40000,整理,得：A %﹣20 (A %)2＝0, 解得：A 1＝5,A 2＝0(不合题意,舍去)．故200(1﹣A %)＝190(元)答：在实际销售过程中每个背包售价为190元．…[点睛]本题考查了一元一次不等式、一元二次方程在实际问题中的应用---销售利润问题,解题关键是利润问题中数量关系,根据题目给出的条件,找出合适的不等关系和等量关系,列出不等式和方程,再求解．21、(8分)阅读下面例题的解答过程,体会、理解其方法,并借鉴该例题的解法解方程.例：解方程2110x x ---=解：(1)当10x -≥即1x ≥时．11x x -=-,原方程化为2(1)10x x ---=,即20x x -=,解得1201x x ==，． ∵1x ≥,故0x =舍去,1x =是原方程的解(2)当10x -<即1x <时．1(1)x x -=--,原方程化为2(1)10x x +--=,即220x x +-=,解得1212x x ==-，． ∵1x <,故1x =舍去,2x =-是原方程的解．综上所述,原方程的解为1212x x ==-，.解方程：22240x x ++-=[分析]把22240x x ++-=中的绝对值去号求解,分别讨论即可.[解析](1)当20x +≥即2x ≥-时．22x x +=+,原方程化为22(2)40x x ++-=,即220x x +=,解得1202x x ==-，. ∵2x ≥-,故1202x x ==-，是原方程的解.(2)当20x +<即2x <-时．2(2)x x +=-+,原方程化为22(2)40x x -+-=,即2280x x --=,解得1242x x ==-，. ∵2x <-,故1242x x ==-，不是原方程的解.综上所述,原方程的解为1202x x ==-，.[考点]绝对值,解一元二次方程.22. (8分)关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +k ＝0有实数根．(1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m ﹣1)x 2+x +m ﹣3＝0与方程x 2﹣3x +k ＝0有一个相同的根,求此时m 的值．[分析](1)利用判别式的意义得到△＝(﹣3)2﹣4k ≥0,然后解不等式即可；‘(2)利用(1)中的结论得到k 的最大整数为2,解方程x 2﹣3x +2＝0解得x 1＝1,x 2＝2,把x ＝1和x ＝2分别代入一元二次方程(m ﹣1)x 2+x +m ﹣3＝0求出对应的m ,同时满足m ﹣1≠0．[解答]解：(1)根据题意得△＝(﹣3)2﹣4k ≥0,解得k ≤；(2)k 的最大整数为2,方程x 2﹣3x +k ＝0变形为x 2﹣3x +2＝0,解得x 1＝1,x 2＝2,∵一元二次方程(m ﹣1)x 2+x +m ﹣3＝0与方程x 2﹣3x +k ＝0有一个相同的根,∴当x ＝1时,m ﹣1+1+m ﹣3＝0,解得m ＝；当x ＝2时,4(m ﹣1)+2+m ﹣3＝0,解得m ＝1,而m ﹣1≠0,∴m 的值为．[点评]本题考查了根的判别式：一元二次方程A x 2+B x +C ＝0(A ≠0)的根与△＝B 2﹣4A C 有如下关系：当△＞0时,方程有两个不相等的实数根；当△＝0时,方程有两个相等的实数根；当△＜0时,方程无实数根．23．(8分)阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为x=A 的形式．求解二元一次方程组,把它转化为一元一次方程来解；类似的,求解三元一次方程组,把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程,把它转化为整式方程来解,由于“去分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想--转化,把未知转化为已知．用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程．例如,一元三次方程x 3+x 2-2x=0,可以通过因式分解把它转化为x(x 2+x-2)=0,解方程x=0和x 2+x-2=0,可得方程x 3+x 2-2x=0的解．。
九年级上学期数学《一元二次方程》单元综合测试卷含答案
C.(50﹣x)(20+2x)＝1200D.(90﹣x)(20+2x)＝1200
[答案]A
[解析]
试题分析：总利润=单件利润×数量；单件利润=90－50－x,数量=20+2x,则（40－x）（20+2x）=1200．
考点：一元二次方程的应用
二、填空题（共10题；共30分）
11.方程 -4x+C=0有两个不相等的实数根,则C的取值范围是________．
[答案]C＜4.
[解析]
试题分析：利用方程有两个不相等的实数根时△＞0,建立关于C的不等式,求出C的取值范围即可．由题意得△= ﹣4A C=16﹣4C＞0,解得C＜4.
故答案为C＜4．
考点：根的判别式．
[点睛]二次项系数不为0是易错点.
9.某种商品原价是120元,经两次降价后的价格是100元,求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为 ,可列方程为（）
A.120（1－x）2="100"B.100（1－x）2=120
C.100（1＋x）2=120D.120（1＋x）2=100
[答案]A
[解析]
A.2B.4C.5D.6
6.已知一元二次方程2x2+x﹣5=0的两根分别是x1,x2,则x12+x22的值是（ ）
A. B.- C.- D.
7.有下列关于x的方程：①Ax2+Bx+C=0,②3x（x﹣4）=0,③x2+y﹣3=0,④ +x=2,⑤x3﹣3x+8=0,⑥ x2﹣5x+7=0,⑦（x﹣2）（x+5）=x2﹣1．其中是一元二次方程的有（ ）
九年级上学期数学《一元二次方程》单元测试卷(含答案)
九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷[考试时间：90分钟分数：120分]一、填空题(每题3分,共18分)1. 把一元二次方程3x(x－2)＝4化成一般形式是________________．2. 一元二次方程6x2－12x＝0的解是__________．3. 已知x1＝3是关于x的一元二次方程x2－4x＋C ＝0的一个根,则方程的另一个根x2＝__．4. 若关于x的方程x2－6x＋C ＝0有两个相等的实数根,则C 的值为________．5. 波音公司生产某种型号飞机,7月份的月产量为50台,由于改进了生产技术,计划9月份生产飞机98台,那么8,9月份飞机生产量平均每月的增长率是________．6. 有一个两位数,它的十位上的数字比个位上的数字小2,十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数,则这个两位数是________．二、选择题(每题4分,共28分)7. 下列方程是一元二次方程的是( )A . 9x＋2＝0B . z2＋x＝1C . 3x2－8＝0D . ＋x2＝08. 用配方法解方程x2＋10x＋9＝0,配方后可得( )A . (x＋5)2＝16B . (x＋5)2＝1C . (x＋10)2＝91D . (x＋10)2＝1099. 方程(x－1)(x＋2)＝0的根是( )A . x1＝1,x2＝－2B . x1＝－1,x2＝2C . x1＝－1,x2＝－2D . x1＝1,x2＝210. 一元二次方程4x2－2x＋＝0的根的情况是( )A . 有两个不相等的实数根B . 有两个相等的实数根C . 没有实数根D . 无法判断11. 已知m是方程x2－2x－1＝0的一个根,则代数式2m2－4m＋2018的值为( )A . 2020B . 2019C . 2018D . 201712. 若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0有两个不相等的正实数根,则m的取值范围是( )A . m>B . m>且m≠2C . －<m<2D . <m<213. 如图,在△A B C 中,A C ＝50 C m,B C ＝40 C m,∠C ＝90°,点P从点A 开始沿A C 边向点C 以2 C m/s 的速度匀速运动,同时另一点Q由点C 开始以3 C m/s的速度沿着C B 向点B 匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动,则当△PC Q的面积等于300 C m2时,运动时间为( )A . 5 sB . 20 sC . 5 s或20 sD . 不确定三、解答题(共54分)14. 解下列方程：(1)3x2－5x＋2＝0；(2)(7x＋3)2＝2(7x＋3)；(3)t2－t－＝0；(4)(y＋1)(y－1)＝2y－1.15. 某超市如果将进货价为每个40元的商品按每个50元销售,那么就能卖出500个,但如果这种商品每个涨价1元,那么其销售量就减少10个．若你是超市的经理,为了赚得8000元的利润,你认为售价(售价不能超过进价的160%)应定为多少？这时应进货多少个？16. 如图,在宽为40 m,长为64 m的矩形地面上,修筑三条同样宽的道路,每条道路均与矩形地面的一条边平行,余下的部分作为耕地,要使得耕地的面积为2418 m2,则道路的宽应为多少？17. 求证：不论m为何实数,关于x的一元二次方程x2＋(4m＋1)x＋2m－1＝0总有实数根．18. 如图,△A B C 中,∠C ＝90°,A C ＝8 C m,B C ＝4 C m,一动点P从点C 出发沿着C B 方向以1 C m/s的速度运动,另一动点Q从点A 出发沿着A C 方向以2 C m/s的速度运动,P,Q两点同时出发,运动时间为t s.(1)当t为何值时,△PC Q的面积是△A B C 面积的？(2)△PC Q的面积能否为△A B C 面积的？若能,求出t的值；若不能,请说明理由．答案与解析一、填空题(每题3分,共18分)1. 把一元二次方程3x(x－2)＝4化成一般形式是________________．[答案]3x2－6x－4＝0[解析]试题解析：x(x-2)=3,x2-2x=3,x2-2x-3=0．2. 一元二次方程6x2－12x＝0的解是__________．[答案]x1＝0,x2＝2[解析]分析：根据因式分解法解一元二次方程,把方程化为A B =0的形式即可求解.详解：6x2－12x＝06x(x-2)=0解得x1＝0,x2＝2故答案为：x1＝0,x2＝2.点睛：此题考查了解一元二次方程-因式分解法,熟练掌握各自的解法是解本题的关键．3. 已知x1＝3是关于x的一元二次方程x2－4x＋C ＝0的一个根,则方程的另一个根x2＝__．[答案]1[解析]解：设方程另一根为A ,则A +3=4,解得：A =1,故答案为：1．4. 若关于x的方程x2－6x＋C ＝0有两个相等的实数根,则C 的值为________．[答案]9[解析]试题解析：有题意可得：解得：故答案为：5. 波音公司生产某种型号飞机,7月份的月产量为50台,由于改进了生产技术,计划9月份生产飞机98台,那么8,9月份飞机生产量平均每月的增长率是________．[答案]40%[解析]解：设8、9月飞机生产量平均每月的增长率是x,由题意得,,解得：x=0.4或x=-2.4(不合题意舍去),即8、9月飞机生产量平均每月的增长率是40%．故答案为：40%．点睛：本题考查了一元二次方程的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程求解．6. 有一个两位数,它的十位上的数字比个位上的数字小2,十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数,则这个两位数是________．[答案]24[解析]分析：分析题目可以知道,本题存在了两个等量关系,即：个位上的数字-十位上的数字=2；十位上的数字×个位上的数字×3=这个两位数的值,根据这两个等量关系,列方程求解．详解：设个位数字为x,则十位上的数字是(x-2),根据题意得3x(x-2)=10(x-2)+x,整理,得3x2-17x+20=0,即(x-4)(3x-5)=0,解得 x1=4,x2=(不合题意,舍去),则x-2=4-2=2,答：这两位数是24．故答案为：24．点睛：解决此类问题的关键在于找出,题目中所提到的等量关系,得出方程求解,注意用字母表示数的正确方法．二、选择题(每题4分,共28分)7. 下列方程是一元二次方程的是( )A . 9x＋2＝0B . z2＋x＝1C . 3x2－8＝0D . ＋x2＝0[答案]C[解析]分析：根据一元二次方程的概念,只含有一个未知数(一元),并且未知数项的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程.标准形式为：A x²+B x+C =0(A ≠0).详解：A 是一元一次方程,不正确；B 是二元二次方程,故不正确；C 是一元二次方程,故正确；D 是分式方程,故不正确.故选：C .点睛：一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程,即等号两边都是整式,方程中如果有分母；且未知数在分母上,那么这个方程就是分式方程,不是一元二次方程,方程中如果有根号,且未知数在根号内,那么这个方程也不是一元二次方程(是无理方程).②只含有一个未知数；③未知数项的最高次数是2.8. 用配方法解方程x2＋10x＋9＝0,配方后可得( )A . (x＋5)2＝16B . (x＋5)2＝1C . (x＋10)2＝91D . (x＋10)2＝109[答案]A[解析]9. 方程(x－1)(x＋2)＝0的根是( )A . x1＝1,x2＝－2B . x1＝－1,x2＝2C . x1＝－1,x2＝－2D . x1＝1,x2＝2[答案]A[解析]分析：根据乘法的意义,可由A B =0的条件解方程即可.详解：∵(x－1)(x＋2)＝0∴x-1=0或x+2=0解得x1＝1,x2＝－2故选：A .点睛：此题主要考查了因式分解法解一元二次方程,关键是利用A B =0的性质进行解题.10. 一元二次方程4x2－2x＋＝0的根的情况是( )A . 有两个不相等的实数根B . 有两个相等的实数根C . 没有实数根D . 无法判断[答案]B[解析]∵在方程中,,∴△=,∴原方程有两个相等的实数根.故选B .11. 已知m是方程x2－2x－1＝0的一个根,则代数式2m2－4m＋2018的值为( )A . 2020B . 2019C . 2018D . 2017[答案]A[解析]分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求m2-2m的值,即可求出答案．解答：解：∵把x=m代入方程x2－2x－1＝0可得：m2-2m-1=0,∴m2-2m=1,∴2m2-4m+2018=2×1+2018=2020,故选：A ．点评：本题考查了一元二次方程的解的应用,关键是把m2-2m当成一个整体．利用了整体的思想．12. 若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0有两个不相等的正实数根,则m的取值范围是( )A . m>B . m>且m≠2C . －<m<2D . <m<2[答案]D[解析]试题分析：根据题意得且△=,解得且,学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．视频13. 如图,在△A B C 中,A C ＝50 C m,B C ＝40 C m,∠C ＝90°,点P从点A 开始沿A C 边向点C 以2 C m/s 的速度匀速运动,同时另一点Q由点C 开始以3 C m/s的速度沿着C B 向点B 匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动,则当△PC Q的面积等于300 C m2时,运动时间为( )A . 5 sB . 20 sC . 5 s或20 sD . 不确定[答案]A[解析]分析：设x秒后,△P C Q的面积等于300 C m2,根据路程=速度×时间,可用时间x表示出C P和C Q 的长,然后根据直角三角形的面积公式,得出方程,求出未知数,然后看看解是否符合题意,将不合题意的舍去,即可得出时间的值．详解：设x秒后,△P C Q的面积等于300 C m2,有：(50-2x)×3x=300,∴x2-25x+100=0,∴x1=5,x2=20．当x=20s时,C Q=3x=3×20=60＞B C =40,即x=20s不合题意,舍去．答：5秒后,△P C Q的面积等于300 C m2．故选：A .点睛：此题主要考查了一元二次方程的应用,对于面积问题应熟记各种图形的面积公式,然后根据题意列出方程求出是解题关键．三、解答题(共54分)14. 解下列方程：(1)3x2－5x＋2＝0；(2)(7x＋3)2＝2(7x＋3)；(3)t2－t－＝0；(4)(y＋1)(y－1)＝2y－1.[答案](1)∴x1＝1,x2＝；(2)x1＝－,x2＝－；(3)t1＝,t2＝－；(4)y1＝0,y2＝2.[解析]分析：(1)根据方程的特点,利用公式法解一元二次方程即可；(2)把7x+3看做一个整体,先移项,再根据因式分解法解一元二次方程即可；(3)根据方程的特点,利用公式法解一元二次方程即可；(4)先把方程化为一般式,然后根据因式分解法解方程即可.详解：(1)∵A ＝3,B ＝－5,C ＝2,∴B 2－4A C ＝(－5)2－4×3×2＝1,∴x＝＝＝,∴x1＝1,x2＝.(2)移项,得(7x＋3)2－2(7x＋3)＝0.因式分解,得(7x＋3)(7x＋1)＝0.∴7x＋3＝0或7x＋1＝0.∴x1＝－,x2＝－.(3)∵A ＝1,B ＝－,C ＝－,∴B 2－4A C ＝(－)2－4×1×＝12,∴t＝＝,∴t1＝,t2＝－.(4)原方程可化为y2－2y＝0,即y(y－2)＝0,∴y1＝0,y2＝2.点睛：此题考查了解一元二次方程-因式分解法,熟练掌握各种一元二次方程的解法是解本题的关键．[答案]售价应定为每个60元,这时应进货400个．[解析]试题分析：设此商品的单价为(50+x)元,则每个商品的利润是[(50+x)－40]元,销售数量为(500-l0x)个．总利润=单件的利润×销售数量列方程,根据售价不能超过进价的160%决定x值的取舍．试题解析：解：设此商品的单价为(50+x)元,则每个商品的利润是[(50+x)－40]元,销售数量为(500-l0x)个．由题意得,[(50+x)－40](500－l0x)="8" 000,整理得x2－40x－300=0．解得x1=10,x2=30,∵商品售价不能超过进价的160%,∴取x=10．这时应进货500 -l0x=400(个)．故售价定为60元,这时应进货400个．考点：一元二次方程的应用．16. 如图,在宽为40 m,长为64 m的矩形地面上,修筑三条同样宽的道路,每条道路均与矩形地面的一条边平行,余下的部分作为耕地,要使得耕地的面积为2418 m2,则道路的宽应为多少？[答案]道路的宽应为1 m.[解析]分析：根据题意,设道路的宽为xm,根据矩形的面积找到等量关系,列方程求解即可.详解：解：设道路的宽应为x m,则(64－2x)(40－x)＝2418,整理,得x2－72x＋71＝0,解得x1＝1,x2＝71(不合题意,舍去)．答：道路的宽应为1 m.点睛：此题主要考查了一元二次方程几何问题中的应用,分清矩形的特点,确定矩形的面积是解题关键,注意解出来的结果要符合实际情况.17. 求证：不论m为何实数,关于x的一元二次方程x2＋(4m＋1)x＋2m－1＝0总有实数根．[答案]证明见解析.[解析]分析：根据方程的系数,结合一元二次方程根的判别式,即可得出△=B 2-4A C ＞0,解之即可得出结论. 详解：证明：Δ＝B 2－4A C ＝(4m＋1)2－4(2m－1)＝16m2＋5＞0,∴不论m为何实数,方程总有实数根．点睛：此题主要考查了一元二次方程根的判别式,熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键. 当△=B 2-4A C ＞0时,方程有两个不相等的实数根；当△=B 2-4A C =0时,方程有两个相等的实数根；当△=B 2-4A C ＜0时,方程没有实数根.18. 如图,△A B C 中,∠C ＝90°,A C ＝8 C m,B C ＝4 C m,一动点P从点C 出发沿着C B 方向以1 C m/s的速度运动,另一动点Q从点A 出发沿着A C 方向以2 C m/s的速度运动,P,Q两点同时出发,运动时间为t s.(1)当t为何值时,△PC Q的面积是△A B C 面积的？(2)△PC Q的面积能否为△A B C 面积的？若能,求出t的值；若不能,请说明理由．[答案](1)当t＝2时,△PC Q的面积为△A B C 面积的；(2)PC Q的面积不可能是△A B C 面积的[解析]试题分析：(1)根据三角形的面积公式可以得出面积为,的面积为,由题意列出方程解答即可；(2)由等量关系列方程求出的值,但方程无解．试题解析：(1),,解得(2)当时,∴此方程没有实数根,∴的面积不可能是面积的一半．考点：一元二次方程的应用．。
九年级上学期数学《一元二次方程》单元综合检测含答案
（满分120分，考试用时120分钟）
一、选择题（本题共计10小题，每题3分 ，共计30分 ）
1.如果关于x 方程（m﹣3） ﹣x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A.±3B.3C.﹣3D.都不对
2.关于x的方程x2﹣3x+k＝0的一个根是2，则常数k的值为（ ）
D、方程x（x+2）（x-3）=0的实数根是x=0或x=-2或x=3，共3个．故本选项正确；
故选D．
[点睛]本题考查了解一元二次方程的方法，一元二次方程的一般形式．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式Ax2+Bx+C=0（A≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中Ax2叫做二次项，A叫做二次项系数；Bx叫做一次项；C叫做常数项．一次项系数B和常数项C可取任意实数，二次项系数A是不等于0的实数，这是因为当A=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
16.已知 ， 分别是一元二次方程 的两个实数根，则 ________．
17.已知关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则 ________．
18.若把代数式 化为 形式，其中 ， 为常数，则 ___．
19.把关于 的方程 配方成为 的形式，得___．
20.要给一幅长 ，宽 的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占的面积为照片面积的四分之一，设镜框边的宽度为 ，则依据题意，列出的方程是：_____．
[详解]把x=2代入 得，4-6+k=0，
解得k=2.
故答案为B.
[点睛]本题主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的定义，把已知代入方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值是解题的关键.
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九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷(满分120分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)1.若方程(m-1)x2+5x+m=0是关于x的一元二次方程,则m的取值不可能的是( )A . m>1B . m<1C . m=1D . m=02.已知x=2是关于x的一元二次方程A x2-3B x-5=0的一个根,则4A -6B +6的值是( )A . 1B . 6C . 11D . 123.某服装原价为200元,连续两次涨价A %后,售价为242元,则A 的值为( )A . 10B . 9C . 5D . 124.将方程3x2+6x-1=0配方,变形正确的是( )A . (3x+1)2-1=0B . (3x+1)2-2=0C . 3(x+1)2-4=0D . 3(x+1)2-1=05.用因式分解法把方程6x(x-7)=7-x分解成两个一次方程,正确的是( )A . x-7=0,6x-1=0B . 6x=0,x-7=0C . 6x+1=0,x-7=0D . 6x=7,x-7=7-x6.若一元二次方程(1-2k)x2+12x-10=0有实数根,则k的最大整数值为( )A . 1B . 2C . -1D . 07.x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若x12+x1x2+x22=2k2恰成立，则k的值为( )A . ﹣1B . 或﹣1C .D . ﹣或18.在一幅长80C m，宽50C m的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400C m2，设金色纸边的宽为xC m，那么x满足的方程是( )A . x2+130x﹣1400=0B . x2+65x﹣350=0C . x2﹣130x﹣1400=0D . x2﹣65x﹣350=09.如图，在▱A B C D 中，A E⊥B C 于E，A E=EB =EC =A ，且A 是一元二次方程x2＋2x－3=0的根，则▱A B C D 的周长为( )A . 4＋2B . 12＋6C . 2＋2D . 2＋或12＋610.如图，在长70m，宽40 m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分)，要使观赏路面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是()A . (40－x)(70－x)＝350B . (40－2x)(70－3x)＝2450C . (40－2x)(70－3x)＝350D . (40－x)(70－x)＝2450二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.若关于x的一元二次方程4x2-2A x-A x-2A -6=0常数项为4,则一次项系数______.12.已知(A -1)x2-5x+3=0是一个关于x的一元二次方程,则不等式3A +6>0的解集_______.13.已知A ，B ，C 分别是三角形的三边，则方程(A +B )x2+2C x+(A +B )=0的根的情况是_____．14.已知实数x满足(x2-x)2-4(x2-x)-12=0，则代数式x2-x+1的值为▲三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.已知关于x的方程(m2－1)x2＋(m－1)x－2＝0.(1)当m为何值时，该方程为一元二次方程？(2)当m为何值时，该方程为一元一次方程？16.解方程(1):2x2－4x－5＝0.(公式法) (2) x2－4x＋1＝0.(配方法)(3)(y－1)2＋2y(1－y)＝0.(因式分解法)四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.已知关于x的方程x2﹣2(k+1)x+k2=0有两个实数根x1、x2．(1)求k的取值范围;(2)若x1+x2=3x1x2﹣6，求k的值．18.汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2015年盈利1500万元，到2017年盈利2160万元，且从2015年到2017年，每年盈利的年增长率相同．(1)该公司2016年盈利多少万元？(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2018年盈利多少万元？五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.阅读以下材料,解答问题:例:设y=x2+6x-1,求y的最小值.解:y=x2+6x-1=x2+2·3·x+32-32-1=(x+3)2-10,∵(x+3)2≥0,∴(x+3)2-10≥-10即y的最小值是-10.问题:(1)设y=x2-4x+5,求y的最小值.(2)已知:A 2+2A +B 2-4B +5=0,求A B 的值.20.已知:关于x的方程x2﹣(k+2)x+2k=0(1)求证:无论k取任何实数值，方程总有实数根;(2)若等腰三角形A B C 的一边长A =1，另两边长B ，C 恰好是这个方程的两个根，求△A B C 的周长．六、(本题满分12分)21.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价5元,商场平均每天可多售出10件.求:(1)若商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利多少元?(2)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?(3)要使商场平均每天盈利1600元,可能吗?请说明理由.七、(本题满分12分)22.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0.(1)判断方程根的情况;(2)若方程的两根x1,x2满足(x1-1)(x2-1)=5,求k值;(3)若△A B C 的两边A B ,A C 的长是方程的两根,第三边B C 的长为5,①则k为何值时,△A B C 是以B C 为斜边的直角三角形?②k为何值时,△A B C 是等腰三角形,并求出△A B C 的周长.八、(本题满分14分)23.合肥市某学校搬迁,教师和学生的寝室数量在增加,若该校今年准备建造三类不同的寝室,分别为单人间(供一个人住宿),双人间(供两个人住宿),四人间(供四个人住宿).因实际需要,单人间的数量在20至30之间(包括20和30),且四人间的数量是双人间的5倍.(1)若2015年学校寝室数为64个,2017年建成后寝室数为121个,求2015至2017年的平均增长率;(2)若建成后的寝室可供600人住宿,求单人间的数量;(3)若该校今年建造三类不同的寝室的总数为180个,则该校的寝室建成后最多可供多少师生住宿?参考答案一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)1.若方程(m-1)x2+5x+m=0是关于x的一元二次方程,则m的取值不可能的是( )A . m>1B . m<1C . m=1D . m=0[答案]C[解析][分析]根据一元二次方程的定义列式求出m的值，即可进行选择．[详解]∵(m−1)x2＋5x＋m＝0是关于x的一元二次方程，∴m−1≠0，解得m≠1，∴说法m＞1、m＜1、m＝0都是可以的，说法m＝1错误．故选:C ．[点睛]本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是A x2＋B x＋C ＝0(且A ≠0)．特别要注意A ≠0的条件．2.已知x=2是关于x的一元二次方程A x2-3B x-5=0的一个根,则4A -6B +6的值是( )A . 1B . 6C . 11D . 12[答案]C[解析][分析]把x＝2代入方程即可求得4A −6B 的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．[详解]∵x＝2是关于x的一元二次方程A x2−3B x−5＝0的一个根，∴4A −6B −5＝0，∴4A −6B ＝5，∴4A −6B ＋6＝5＋6＝11，即4A −6B ＋6＝11．故选:C ．[点睛]本题考查了一元二次方程的解．解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析．3.某服装原价为200元,连续两次涨价A %后,售价为242元,则A 的值为( )A . 10B . 9C . 5D . 12[答案]A[解析][分析]本题中原价为200元，第一次涨价后价格变为200(1＋A %)元，第二次在200(1＋A %)元的基础之上又涨A %，变为200(1＋A %)(1＋A %)即200(1＋A %)2元，从而可列出方程，进而求解．[详解]由题意得:200(1＋A %)2＝242，整理得(1＋A %)2＝1.21，解之得A %＝0.1＝10%或A %＝−2.1(舍去)．故A ＝10．故选:A ．[点睛]此类题目旨在考查增长率的定义，要注意增长的基数，另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．4.将方程3x2+6x-1=0配方,变形正确的是( )A . (3x+1)2-1=0B . (3x+1)2-2=0C . 3(x+1)2-4=0D . 3(x+1)2-1=0[答案]C[解析][分析]首先把二次项系数化为1，然后进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．[详解]∵3x2＋6x−1＝0∴3(x2＋2x)−1＝0∴3(x2＋2x＋1−1)−1＝0∴3(x2＋2x＋1)−3−1＝0∴3(x＋1)2−4＝0故选:C ．[点睛]先把二次项的系数化为1，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5.用因式分解法把方程6x(x-7)=7-x分解成两个一次方程,正确的是( )A . x-7=0,6x-1=0B . 6x=0,x-7=0C . 6x+1=0,x-7=0D . 6x=7,x-7=7-x[答案]C[解析][分析]先移项，再提公因式就可以求出结论.[详解]移项，得6x(x-7)+(x-7)=0，提公因式，得，(6x+1)(x−7)＝0，∴6x+1＝0或x−7＝0故选:C .[点睛]本题考查了运用平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，提公因式法分解因式及“十字”相乘法分解因式的方法解一元二次方程的运用，解答时灵活运用分解因式的方法是关键．6.若一元二次方程(1-2k)x2+12x-10=0有实数根,则k的最大整数值为( )A . 1B . 2C . -1D . 0[答案]B[解析][分析]由方程根的情况可求得k的取值范围，再求其最大整数即可．[详解]∵一元二次方程(1−2k)x2＋12x−10＝0有实数根，∴△≥0且1−2k≠0，即122−4(1−2k)×(−10)≥0且1−2k≠0，解得k≤2.3且k≠0.5，∴k的最大整数值为2，故选:B ．[点睛]本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．7.x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若x12+x1x2+x22=2k2恰成立，则k的值为( )A . ﹣1B . 或﹣1C .D . ﹣或1[答案]A[解析]分析:根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，再根据x12+x1x2+x22=(x1+x2)2﹣x1x2把已知条件代入，即可求得k的值．详解:根据根与系数的关系，得:x1+x2=﹣1，x1x2=k．又x12+x1x2+x22=2k2，则(x1+x2)2﹣x1x2=2k2，即1﹣k=2k2，解得:k=﹣1或．当k=时，△=1﹣2＜0，方程没有实数根，应舍去，∴取k=﹣1．故选A ．点睛:注意:利用根与系数的关系求得的字母的值一定要代入原方程，看方程是否有实数根．8.在一幅长80C m，宽50C m的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400C m2，设金色纸边的宽为xC m，那么x满足的方程是( )A . x2+130x﹣1400=0B . x2+65x﹣350=0C . x2﹣130x﹣1400=0D . x2﹣65x﹣350=0[答案]B[解析]试题分析:根据题意可得:挂图的长为(80+2x)C m，宽为(50+2x)C m，根据题意可得:(80+2x)(50+2x)=5400，化简得:+65x－350=0.考点:一元二次方程的应用9.如图，在▱A B C D 中，A E⊥B C 于E，A E=EB =EC =A ，且A 是一元二次方程x2＋2x－3=0的根，则▱A B C D 的周长为( )A . 4＋2B . 12＋6C . 2＋2D . 2＋或12＋6[答案]A[解析]先解方程求得A ，再根据勾股定理求得A B ，从而计算出□A B C D 的周长即可．解:∵A 是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，∴A 2+2A ﹣3=0，即(A ﹣1)(A +3)=0，解得，A =1或A =﹣3(不合题意，舍去)．∴A E=EB =EC =A =1．在Rt△A B E中，A B =，∴B C =EB +EC =2，∴□A B C D 的周长═2(A B +B C )=2(+2)=4+2．故选A ．10.如图，在长70m，宽40 m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分)，要使观赏路面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是()A . (40－x)(70－x)＝350B . (40－2x)(70－3x)＝2450C . (40－2x)(70－3x)＝350D . (40－x)(70－x)＝2450[答案]B[解析]试题解析:由题意可得，(40-2x)(70-3x)=40×70×(1-)，整理，得(40-2x)(70-3x)=2450，故选B ．二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.若关于x的一元二次方程4x2-2A x-A x-2A -6=0常数项为4,则一次项系数______.[答案]15[解析][分析]根据常数项是不含x的项，可得关于A 的方程，根据解方程，可得A 的值，可得一次项系数．[详解]由题意，得−2A −6＝4，解得A ＝−5．一次项的系数为−2A −A ＝−3A ＝−3×(−5)＝15，故答案为:15．[点睛]本题考查了一元二次方程的一般形式，利用常数项为零得出关于A 的方程是解题关键．12.已知(A -1)x2-5x+3=0是一个关于x的一元二次方程,则不等式3A +6>0的解集_______.[答案]A >-2且A ≠1[解析][分析](A −1)x2−5x＋3＝0是一个关于x的一元二次方程，所以(A −1)x2是二次项A −1≠0，解得A ≠1;解得不等式3A ＋6＞0，则A ＞−2，从而得到其解集是A ＞−2且A ≠1．[详解]∵(A −1)x2−5x＋3＝0是一个关于x的一元二次方程，∴(A −1)x2是二次项A −1≠0，∴A ≠1，∵不等式3A ＋6＞0，∴A ＞−2，∴不等式3A ＋6＞0的解集是A ＞−2且A ≠1．[点睛]要确定二次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．确定A ≠1，结合不等式3A ＋6＞0求出A 的解集．一元二次方程的一般形式是:A x2＋B x＋C ＝0(A ，B ，C 是常数且A ≠0)特别要注意A ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中A x2叫二次项，B x叫一次项，C 是常数项．其中A ，B ，C 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．13.已知A ，B ，C 分别是三角形的三边，则方程(A +B )x2+2C x+(A +B )=0的根的情况是_____．[答案]方程没有实数根．[解析]解:△=(2C )2﹣4(A +B )(A +B )=4C 2﹣4(A +B )2=4(C +A +B )(C ﹣A ﹣B )．∵A ，B ，C 分别是三角形的三边，∴A +B ＞C ，∴C +A +B ＞0，C ﹣A ﹣B ＜0，∴△＜0，则方程没有实数根．14.已知实数x满足(x2-x)2-4(x2-x)-12=0，则代数式x2-x+1的值为▲[答案]7[解析]设x2-x=m，则原方程可化为:m2-4m-12=0，解得m=-2，m=6;当m=-2时，x2-x=-2，即x2-x+2=0，△=1-8＜0，原方程没有实数根，故m=-2不合题意，舍去;当m=6时，x2-x=6，即x2-x-6=0，△=1+24＞0，故m的值为6;∴x2-x+1=m+1=7三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.已知关于x的方程(m2－1)x2＋(m－1)x－2＝0.(1)当m为何值时，该方程为一元二次方程？(2)当m为何值时，该方程为一元一次方程？[答案](1)当m≠±1时，该方程为一元二次方程(2)当m＝－1时，该方程为一元一次方程．[解析][分析](1)根据一元二次方程的定义得到:m2-1≠0，由此可以求得m的值;(2)由一元一次方程的定义得到:m2-1=0，且m-1≠0，由此可以求得m的值.[详解](1)∵关于x的方程(m2－1)x2＋(m－1)x－2＝0为一元二次方程，∴m2－1≠0，解得m≠±1，即当m≠±1时，该方程为一元二次方程;(2)∵关于x的方程(m2－1)x2＋(m－1)x－2＝0为一元一次方程，∴m2－1＝0，且m－1≠0，解得m＝－1，即当m＝－1时，该方程为一元一次方程．[点睛]本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义．熟知一元一次方程的未知数的系数不等于零，一元二次方程的二次项系数不等于零是解题的关键．16.解方程(1):2x2－4x－5＝0.(公式法) (2) x2－4x＋1＝0.(配方法)(3)(y－1)2＋2y(1－y)＝0.(因式分解法)[答案](1)x=;(2)x=; (3)y=[解析]分析: (1)先找A ，B ，C ，再求△，根据根的判别式判断方程根的情况，再代入公式计算即可;(2)先移项，再方程两边同加上一次项系数一般半的平方，再直接开平方即可;(3)先变形，再提公因式，得出两个一元一次方程求解即可．详解:(1):2x2－4x－5＝0.∵A =2，B =−4，C =−5，B ²−4AC =(−4) ²−4×2×(−5)=56>0.∴x==.∴x₁=,x₂=.(2) x2－4x＋1＝0.x²−4x+4=4−1,即(x−2) ²=3.∴x₁=2+,x₂=2−.(3)∵(y−1) ²+2y(1−y)=0，∴(y−1) ²−2y(y−1)=0.∴(y−1)(y−1−2y)=0.∴y−1=0或y−1−2y=0.∴y₁=1,y₂=−1.点睛: 本题考查了解一元二次方程-因式分解法:先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).也考查了配方法和公式法解一元二次方程.四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.已知关于x的方程x2﹣2(k+1)x+k2=0有两个实数根x1、x2．(1)求k的取值范围;(2)若x1+x2=3x1x2﹣6，求k的值．[答案](1)k≥﹣(2)k=2[解析]试题分析:(1)、根据方程有两个实数根，从而得出△=，得出k的取值范围;(2)、根据韦达定理得出两根之和和两根之积，然后代入代数式求出k的值，然后根据k的取值范围得出答案.试题解析:(1)∵方程x2﹣2(k+1)x+k2=0有两个实数根x1，x2，∴△≥0，即4(k+1)2﹣4×1×k2≥0，解得k≥﹣，∴k的取值范围为k≥﹣;(2)∵方程x2﹣2(k+1)x+k2=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=2(k+1)，x1x2=k2，∵x1+x2=3x1x2﹣6，∴2(k+1)=3k2﹣6，即3k2﹣2k﹣8=0，∴k1=2，k2=﹣，∵k≥﹣，∴k=2．18.汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2015年盈利1500万元，到2017年盈利2160万元，且从2015年到2017年，每年盈利的年增长率相同．(1)该公司2016年盈利多少万元？(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2018年盈利多少万元？[答案](1)2016年该公司盈利1800万元(2)预计2008年该公司盈利2592万元[解析]试题分析:(1)设每年盈利的年增长率为x，根据相等关系是“2017年盈利=2015年盈利×(1+每年盈利的年增长率)2”，列出方程并解方程求得增长率，再由“2016年盈利=2015年盈利×每年盈利的年增长率”计算出2016年盈利即可;(2)由“2018年盈利=2017年盈利×每年盈利的年增长率”计算出2018年盈利即可．试题解析:(1)设每年盈利的年增长率为x，根据题意得1500(1+x)2=2160解得x1=0.2，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)∴1500(1+x)=1500(1+0.2)=1800答:2016年该公司盈利1800万元．(2)2160(1+0.2)=2592答:预计2008年该公司盈利2592万元五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.阅读以下材料,解答问题:例:设y=x2+6x-1,求y的最小值.解:y=x2+6x-1=x2+2·3·x+32-32-1=(x+3)2-10,∵(x+3)2≥0,∴(x+3)2-10≥-10即y的最小值是-10.问题:(1)设y=x2-4x+5,求y的最小值.(2)已知:A 2+2A +B 2-4B +5=0,求A B 的值.[答案](1) y的最小值是1;(2) -2.[解析][分析](1)先把要求的式子进行变形，得出y＝(x−2)2＋1，再根据(x−2)2≥0，即可求出y的最小值;(2)先把A 2＋2A ＋B 2−4B ＋5＝0变形为(A ＋1)2＋(B −2)2＝0，再根据(A ＋1)2≥0，(B −2)2≥0，求出A 与B 的值，然后代入计算即可．[详解](1)∵y=x2-4x+，∴y=x2-4x+4+1=(x-2)2+1.∵(x-2)2≥0，∴(x-2)2+1≥1，即y的最小值是1;(2)∵A 2+2A +B 2-4B +5=0，∴A 2+2A +1+B 2-4B +4=0，∴(A +1)2+(B -2)2=0，∵(A +1)2≥0，(B -2)2≥0，∴A +1=0，B -2=0，∴A =-1，B =2，∴A B =-1×2=-2.[点睛]此题考查了配方法的应用，关键是通过配方对要求的式子进行变形，再根据完全平方式的性质求值．20.已知:关于x的方程x2﹣(k+2)x+2k=0(1)求证:无论k取任何实数值，方程总有实数根;(2)若等腰三角形A B C 的一边长A =1，另两边长B ，C 恰好是这个方程的两个根，求△A B C 的周长．[答案](1)无论取任何实数值，方程总有实数根;(2)△A B C 的周长为5．[解析]试题分析:(1)先计算出△=(k+2)2﹣4•2k=(k﹣2)2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况;(2)分类讨论:当B =C 时，△=0，则k=2，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长;当B =A =1或C =A =1时，把x=1代入方程解出k=1，再解此时的一元二次方程，然后根据三角形三边的关系进行判断．试题解析:(1)△=(k+2)2﹣4•2k=(k﹣2)2，∵(k﹣2)2≥0，即△≥0，∴无论取任何实数值，方程总有实数根;(2)当B =C 时，△=(k﹣2)2=0，则k=2，方程化为x2﹣4x+4=0，解得x1=x2=2，∴△A B C 的周长=2+2+1=5;当B =A =1或C =A =1时，把x=1代入方程得1﹣(k+2)+2k=0，解得k=1，方程化为x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，不符合三角形三边的关系，此情况舍去，∴△A B C 的周长为5．[考点]根的判别式;根与系数的关系;三角形三边关系;等腰三角形的性质．视频六、(本题满分12分)21.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价5元,商场平均每天可多售出10件.求:(1)若商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利多少元?(2)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?(3)要使商场平均每天盈利1600元,可能吗?请说明理由.[答案](1)商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利1008元;(2)每件衬衫应降价20元;(3)不可能.理由见解析.[解析][分析](1)根据题意得到每天的销售量，然后由销售量×每件盈利进行解答;(2)利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可;(3)同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以．[详解](1)×(40-4)=1008(元).答:商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利1008元.(2)设每件衬衫应降价x元，根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200，整理，得x2-30x+200=0，解得x1=10，x2=20，∵要尽量减少库存，∴x=20.答:每件衬衫应降价20元.(3)不可能.理由如下:令(40-x)(20+2x)=1600，整理得x2-30x+400=0，∵Δ=900-4×400<0，∴商场平均每天不可能盈利1600元.[点睛]此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系:平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键．七、(本题满分12分)22.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0.(1)判断方程根的情况;(2)若方程的两根x1,x2满足(x1-1)(x2-1)=5,求k值;(3)若△A B C 的两边A B ,A C 的长是方程的两根,第三边B C 的长为5,①则k为何值时,△A B C 是以B C 为斜边的直角三角形?②k为何值时,△A B C 是等腰三角形,并求出△A B C 的周长.[答案](1) 见解析;(2) k=;(3) 当k=3时,△A B C 是等腰三角形,此时△A B C 的周长为14;当k=4时,△A B C 是等腰三角形,此时△A B C 的周长为16.[解析][分析](1)根据方程的系数结合根的判别式即可得出△＝1＞0，由此即可得出方程有两个不相等的实数根;(2)根据根与系数的关系进行解答;(3)利用分解因式法可求出x1＝k＋1，x2＝k＋2．①不妨设A B ＝k＋1，A C ＝k＋2，根据B C ＝5利用勾股定理即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值;②根据(1)结论可得出A B ≠A C ，由此可找出△A B C 是等腰三角形分两种情况，分A B ＝B C 、A C ＝B C 两种情况考虑，根据两边相等找出关于k的一元一次方程，解方程求出k值，进而可得出三角形的三边长，再根据三角形的周长公式即可得出结论[详解](1)∵在方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0中，Δ=B 2-4A C =[-(2k+3)]2-4(k2+3k+2)=1>0，∴方程有两个不相等的实数根;(2)∵x1+x2=2k+3，x1·x2=k2+3k+2，∴由(x1-1)(x2-1)=5，得x1·x2-(x1+x2)+1=5，即k2+3k+2-2k-3+1=5，整理得k2+k-5=0，解得k=;(3)∵x2-(2k+3)x+k2+3k+2=(x-k-1)(x-k-2)=0，∴x1=k+1，x2=k+2.①不妨设A B =k+1，A C =k+2，∴斜边B C =5时，有A B 2+A C 2=B C 2，即(k+1)2+(k+2)2=25，解得k1=2，k2=-5(舍去)，∴当k=2时，△A B C 是直角三角形;②∵A B =k+1，A C =k+2，B C =5，由(1)知A B ≠A C ，故有两种情况:(Ⅰ)当A C =B C =5时，k+2=5，∴k=3，A B =3+1=4，∵4，5，5满足任意两边之和大于第三边，∴此时△A B C 的周长为4+5+5=14;(Ⅱ)当A B =B C =5时，k+1=5，∴k=4，A C =k+2=6，∵6，5，5满足任意两边之和大于第三边，∴此时△A B C 的周长为6+5+5=16.综上可知，当k=3时，△A B C 是等腰三角形，此时△A B C 的周长为14;当k=4时，△A B C 是等腰三角形，此时△A B C 的周长为16.[点睛]本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及等腰三角形的判定，熟练掌握“当根的判别式△＞0时，方程有两个不等实数根．”是解题的关键．八、(本题满分14分)23.合肥市某学校搬迁,教师和学生的寝室数量在增加,若该校今年准备建造三类不同的寝室,分别为单人间(供一个人住宿),双人间(供两个人住宿),四人间(供四个人住宿).因实际需要,单人间的数量在20至30之间(包括20和30),且四人间的数量是双人间的5倍.(1)若2015年学校寝室数为64个,2017年建成后寝室数为121个,求2015至2017年的平均增长率;(2)若建成后的寝室可供600人住宿,求单人间的数量;(3)若该校今年建造三类不同的寝室的总数为180个,则该校的寝室建成后最多可供多少师生住宿?[答案](1) 2015至2017年的平均增长率为37.5%;(2)单人间的数量是28间;(3)该校的寝室建成后最多可供596名师生住宿.[解析][分析](1)可设2015至2017年的平均增长率是x，根据等量关系:2015年学校寝室数×(1＋平均增长率)2＝2017年学校寝室数，列出方程求解即可;(2)设双人间的数量为y间，则四人间的数量为5y间，根据不等量关系:单人间的数量在20至于30之间(包括20和30)，列出不等式，再根据整数的性质即可求解;(3)由于四人间的数量是双人间的5倍，可知四人间和双人间的数量是5＋1＝6的倍数，找到150～160间6的最大倍数，再进一步求出双人间和四人间的数量，以及单人间的数量，从而求解．[详解](1)设2015至2017年的平均增长率是x，依题意有64(1+x)2=121，解得x1=0.375，x2=-2.375.故2015至2017年的平均增长率为37.5%;(2)设双人间的数量为y间，则四人间的数量为5y间，依题意有20≤600-2y-4×5y≤30，解得25≤y≤26，∵y为整数，∴y=26，600-2y-4×5y=600-52-520=28.故单人间的数量是28间;(3)由于四人间的数量是双人间的5倍，则四人间和双人间的数量是5+1=6的倍数，双人间与四人间总数量在150~160之间.∵150~160间6的最大倍数是156，∴双人间156÷6=26(间)，四人间的数量26×5=130(间)，单人间180-156=24(间)，24+26×2+130×4=596(名).答:该校的寝室建成后最多可供596名师生住宿.[点睛]本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．。