重积分、重积分习题

三重积分

1．将I=分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下的三次积分，并选择其中一种计算出结果．其中是由曲面z=及z=x+y所围成的闭区域.

分析为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标平面上，由于是由两张曲面及，而由这两个方程所组成的方程组极易消去z，我们把它投影到xoy面上．然后，为在指定的坐标系下计算之，还应该先把的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换即可．

解将投影到xoy平面上，由消去z得 (x+y)=2-(x+y)，或(x+y+2)(x+y-1)=0，于是有 x+y=1．即知，在xoy平面上的投影为圆域D：x+y1 ．

为此在D内任取一点Q(x，y)，过Q作平行于z轴的直线自下而上穿过．穿入时碰到的曲面为，离开时碰到的曲面为(不画图，仅用代数方法也易判断)，这是因为x+y1)

(1) 直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找z的变化范围从而化为三重积分．因此再由D：x+y1，有，于是在直角坐标下，可表示为

:

于是有

I=.

(2) 柱面坐标下

首先把的表面方程用柱面坐标表示，这时z=x+y表示为z= ，z=表示为z=．再由投影区域D为x+y1．故01，0θ2．于是可表示为

：

将所给三重积分中的体积元素用=去替换，有

I===.

(3) 球面坐标下

用球面坐标代换两曲面的方程，得曲面z=x+y变为=；曲面z=变为=．

由在xoy平面上的投影为x+y1知02，下边找的变化范围．

正z轴在内，即内有点P，使与夹角为零，即的下界为零．又曲面z=x+y与xoy平面相

切，故的上界为，于是0

再找的变化范围．

原点在的表面上，故取到最小值为零．

为找的上界，从原点出发作射线穿过，由于的表面由两张曲面所组成，因而的上界随相应的的不同而不同．为此在两曲面的交线上取一点A(0，1，1)，故A所对应的．当时，r的上界由曲面r=所给，故这时r．即r的变化范围为

因此

I=．

由的特点(在xoy平面上的投影为圆域，而本身不是球或球锥)，故采用柱面坐标计算比较简单，这时

I===2=．

小结(1) 计算三重积分时，欲用何种坐标，就要首先把积分区域的表面方程化成用该坐标表示，同时把被积函数中的变量与体积元素替换为该坐标下的形式．

(2) 不要认为当积分区域为球体的一部分就应采用球面坐标．球面坐标所适用的积分区域一般为球，两球面所围的区域，或这两种区域被圆锥所截得的部分．本题是由旋转抛物面与球面所围成的区域，一般是不宜用球面坐标的．

（3）还应注意面积元在不同坐标下的不同形式；并且在直角坐标系中，更应该强调学会使用对称性、奇偶性、切片法、换元法、投影面方程的求法等；

2．计算三重积分，其中是由曲面x+y+z=1及z=所围成的区域．

分析为球面和圆锥面所围成的区域．故从积分区域的特点看，它适宜用球面坐标．同时，被积函数中含有因式x+y+z，故从积分区域与被积函数两方面来看，应选用球面坐标．解在球面坐标下，球面x+y+z=1的方程为r=1，锥面z=的方程为

tan=，即，又z轴的正向穿过故的下界为零，因此0．

将投影到xoy面，由方程组消去z得x+y=．因此0．该锥体的顶点在原点，故r下界为零，由穿线法可知r故0r1.

于是

==

=2．

小结当积分区域为由球面与锥角所围成的球锥体时．若锥题的顶点为原点，且Z

轴正向穿过积分区域，则有0，且r的下界为零，上界由球面的方程所给出．3．计算其中是由xoy平面上的曲线=2x绕x轴旋转而成的曲面与平面x=5所围成的闭区域

分析：投影区域为圆域，再由于积分区域与球体无关，故采用柱面坐标，这时要注意把

y,z用极坐标代换．

还应注意积分区域关于平面y=0,z=0皆对称，且被积函数关于y,z皆为偶函数．因此还应利用积分区域关于坐标平面的对称性与被积函数关于某相应变量的奇偶性先进行化简．解曲线=2x或x=绕x轴旋转得的旋转抛物面方程为x=(),故由抛物面x=()与z=0所围成．

由于被积函数分别是y和z的偶函数，而积分区域关于平面y=0及z=0都对称，因此=4，其中为在第一卦限内的部分

由知，在yoz 平面上的投影为．在yoz平面上的投影为yoz平面上第一象限内的１／４个圆，因此有：

于是 44=

=2=.

小结(1) 当被积函数关于某坐标平面对称，同时被积函数是相应变量的奇或偶函数时，应首先将所给积分化简，其原则为关于平面Z=0对称，f(x,y,z)关于z是奇函数时，积分为零;f(x,y,z)关于z是偶函数时，所求积分为2，其中为被z=0所分的上半个子区域，其余类同．

(2) 对柱面坐标，清楚这是把积分区域投影到哪个平面时就做的相应的柱面坐标变换，如本题，由于我们把投影到yoz平面,就有y=cos,z=sin,x=x．

类似地，对球面坐标也应做相应理解，即穿过的坐标轴如果不是z轴而是x轴或y轴．球面坐标公式x=rsincos,

y=rsinsin,

z=rcos，也应做相应变化．

4．证明当f(z)连续时，=并用此公式计算的值，其中：x

分析积分区域见图3，题目要求把三重积分化成只剩下对z的定积分，我们可以把它看作对该三重积分先计算一个关于x,y的二重积分再计算对z的定积分．显然这种计算方法和我们前边的计算方法是不同的，前边的计算方法(如例1，2)是先将投影到坐标平面 xoy 上得投影区域D，计算时先对z积分再计算在D上的二重积分，比如练习题1在直角坐标下可看作

I=，

即采用“穿线法”，本题欲先计算一个二重积分再计算定积分，应采用为“先二后一”法．亦称“切片法”，即先将投影到z轴上得线段[-1，1]．在(-1，1)上任意点z作一垂直于z 轴的平面截得一平面区域，在每个上作对x,y的二重积分，然后再把这些积分值累加起来，既再对z 从-1到1积分．

解由的表面方程为知，z，既在轴上的投影为线段，在内任取一点z，过z作垂直于z 轴的平面截得一平面区域：．于是的面积为．因此