2016春作业实验(1)常微分方程
常微分方程第一、二、三次作业参考答案
1、给定一阶微分方程2dyx dx=： （1） 求出它的通解；解：由原式变形得：2dy xdx =.两边同时积分得2y x C =+.（2） 求通过点（2，3）的特解；解：将点（2,3）代入题（1）所求的得通解可得：1C =-即通过点（2,3）的特解为：21y x =-.（3） 求出与直线23y x =+相切的解；解：依题意联立方程组：223y x Cy x ⎧=+⎨=+⎩故有：2230x x C --+=。
由相切的条件可知：0∆=，即2(2)4(3)0C --⨯-+=解得4C =故24y x =+为所求。
（4） 求出满足条件33ydx =⎰的解。
解：将 2y x C =+代入330dy =⎰，可得2C =-故22y x =-为所求。
2、求下列方程的解。
１）3x y dydx-= 2）233331dy x y dx x y -+=--解：依题意联立方程组：23303310x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ 解得：2x =，73y =。
则令2X x =-，73Y y =-。
故原式可变成：2333dY x ydX x y-=-. 令Yu X =，则dy Xdu udx =+，即有 233263u dxdu u u x-=-+.两边同时积分，可得122(263)||u u C X --+= .将732y u x -=-，2X x =-代入上式可得： 12227()614323|2|2(2)y y C x x x -⎛⎫- ⎪--+=- ⎪-- ⎪⎝⎭.即上式为所求。
3、求解下列方程:1)24dyxy x dx+=. 解：由原式变形得：22dyxdx y=-. 两边同时积分得：12ln |2|y x C --=+. 即上式为原方程的解。
2)()x dyx y e dx-=. 解：先求其对应的齐次方程的通解： ()0dyx y dx -=. 进一步变形得：1dy dx y=.两边同时积分得：x y ce =.利用常数变异法，令()x y c x e =是原方程的通解。
常微分方程数值解实验
有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无 法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程 数值解方面，MATLAB具有丰富的函数，我们将其统称为solver，其一般 格式为：
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如果微 分方程 由一个 或多个 高阶常微分方程给出，要得到该方程的数值解,可以将方程转换成一阶 常微分方程组。假设高阶常微分方程的一般形式为y( n) = f ( t, y, yʹ, ⋯,y( n - 1) )，而且函数y(t)的各阶导数初值为y(0)，yʹ(0) ,…, y( n - 1) (0)可以选 择一组变量令: x1= y, x2 = yʹ,…, xn = y( n - 1) ,我们就可以把原高阶常微 分方程转换成下面的一阶常微分方程组形式： 而且初值x1(0)=y(0),x2(0)=yʹ(0),…，xn(0)=(0)。 转换以后就可以求原 高阶常微分方程的数值解了。 例2 求微分方程，,的数值解。 对方程进行变换,选择变量 (1) 建立自定义函数 用edit命令建立自定义函数名为f.m,内容为: function y =f(t,x) y=[x(2);x(3);-t^2*x(2)*x(1)^2-t*x(1)*x(3)+exp(t*x(1))]; (2)调用对微分方程数值解ode45函数求解 用edit命令建立一个命令文件f2. m,内容为: >>x0=[2;0;0]; >>[t,y] =ode45(’f’,[0,10],x0);plot(t,y); >>figure; >>plot3(y(:,1),y(:,2), y(:,3))得
常微分方程作业
常微分⽅程作业安顺市镇宁县六马中学教师：韦应俭第⼀部分⼀、常微分⽅程的概念含有⾃变量、函数及其导数的关系式. ⼆、⼀阶微分⽅程的初等解法（1）变量分离⽅程形如：)()(y x f dydxρ=的⽅程，称为变量分离⽅程，这⾥)(),(y x f ρ分别是y x ,的连续函数.（2）可化为分离变量⽅程的⽅程的三种形式①)(xy f dy dx yx =?；②)(x y g dy dx =；③)(222111xc x b x a x c x b x a f dy dx++++= （3）贝努⼒⽅程n y x g y x dydx)()(+=ρ（4）⼀阶线性⽅程)()(x g y x dxdy+=ρ（5）Riccaiti ⽅程)()()(2x r y x g y x dxdy++=ρ（6）形如0),(),(=+dy y x N dx y x M 的⽅程①若0=??-??xNy M ，则⽅程式恰当的通解是0)(.0)1(12=-+==+-+dy x y ydx dc dy y yx dx y ②若Mx Ny M -??-??只含有y ，则原⽅程有积分因⼦.=-??-??dx Mxn y m e y )(µ，即0),()(),()(=+dy y x N y dx y x M y µµ是恰当的③若NxN y M ??-??只含y ，则?=??-??dy n xny m e y )(µ，即0),()(),()(=+dy y x N x dx y x M x µµ是恰当的④若MN xN y M -??-??,只含)(y x +，则?=++-??-??)()(y x d M N xny m e y x µ⑤若xMyN x N y M -??-??，只含有)(xy ，则?==??-)()(xy d xM yN x n y m e xy µ三、⼀阶微分⽅程的解的存在定理（1）研究的⽬的（2）解存在但不唯⼀的例⼦10,100)(22<≤<≤≤=-=?-=?=c x c x c x y c x y y dx dy其中（3）解的存在性定理⼀阶显⽰⽅程：),(y x f dxdy=……)1.3( 初值问题：==00)(),(y x y y x f dx dy ……)2.3(定理)1.1.3(存在唯⼀性定理如果)1.3(的),(y x f 在R ：b y y a x x ≤-≤-||,||00上满⾜：（1）在R 上连续（2）在R 上关于y 满⾜lipshit 条件，则初值问题)2.3(在区间h x x ≤-||0上上存在唯⼀解.其中),(y x f 对y 满⾜lipshit 条件是指，0>?L 常数,对R 中?两点),(),,.(1210y x y x 均有不等式成⽴：|||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤-.20k y x y x f M mba h ∈=),(|),(|max ),,min( ⼏何解释：线段场定义)1.3(中的),(y x f 在2R k ∈内有定义，对R 中?点),(y x ，以),(y x 为中⼼，作⼀单位线段),(y x f k =，称为在点),(y x 的浅素。
常微分方程数值解实验
多步法，Gear’s反向
数值积分，精度中等
若ode45失效时，
可尝试使用
ode23s
刚性
一步法，2阶Rosebrock算法，
低精度。
当精度较低时，
计算时间比ode15s短
odefx为显式常微分方程 中的 ，t为求解区间，要获得问题在其他指定点 上的解，则令t=[t0,t1,t2,…]（要求 单调），y0初始条件。
MATLAB 中有几个专门用于求解常微分方程的函数,它们的设计思想基于Runge-Kutta方法,基本设计思想为：从改进的欧拉方法比欧拉方法精度高的缘由着手,如果在区间[ x1, xi+1]多取几个点的斜率值,然后求取平均值,则可以构造出精度更高的计算方法。 这些函数主要包括：ode45、ode23、ode15s、ode113、ode23s、ode23t、ode23tb. 其中最常用的是函数ode45,该函数采用变步长四阶五阶Runge-Kutta法求数值解,并采用自适应变步长的求解方法。ode23采用二阶三阶Runge-Kutta法求数值解,与ode45类似,只是精度低一些。ode15s用来求刚性方程组。
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常微分方程实验报告
常微分方程实验报告《常微分方程》综合性实验实验报告实验班级05应数（3）学生姓名江晓荣学生学号200530770314指导老师方平华南农业大学理学院应用数学系实验微分方程在数学建模中的应用及数值解的求法一、实验目的1．了解常微分方程的基本概念。
2．常微分方程的解了解析解和数值解。
3．学习、掌握MA TLAB 软件有关求解常微分方程的解析解和数值解的有关命令。
4. 掌握微分方程在数学建模中的应用。
二、实验内容1．用MA TLAB 函数dsolve 符号求解常微分方程的通解和特解。
2．用MA TLAB 软件数值求解常微分方程。
三、实验准备1．用MA TLAB 求常微分方程的解析解的命令用MA TLAB 函数dsolve 求常微分方程()(,,,,,,)0n F x y y y y y ''''''= （7.1）的通解的主要调用格式如下：S=dsolve('eqn', 'var')其中输入的量eqn 是改用符号方程表示的常微分方程(,,,2,)0F x y Dy D y Dny = ，导数用D 表示，2阶导数用D2表示，以此类推。
var 表示自变量，默认的自变量为t 。
输出量S 是常微分方程的解析通解。
如果给定常微分方程（7.1）的初始条件()00010(),(),,()n n y x a y x a y x a '=== ，则求方程（7.1）的特解的主要调用格式如下：S=dsolve('eqn', 'condition1 ',…'conditonn ','var')其中输入量eqn ，var 的含义如上，condition1,…conditonn 是初始条件。
输出量S 是常微分方程的特解。
2．常微分方程的数值解法除常系数线性微分方程可用特征根法求解、少数特殊方程可用初等积分法求解外，大部分微分方程无解析解，应用中主要依靠数值解法。
电大《常微分方程》形成想考核作业参考答案.资料讲解
常微分方程第一、二、三次作业参考答案1、给定一阶微分方程2dyx dx=： （1） 求出它的通解；解：由原式变形得：2dy xdx =.两边同时积分得2y x C =+.（2） 求通过点（2，3）的特解；解：将点（2,3）代入题（1）所求的得通解可得：1C =-即通过点（2,3）的特解为：21y x =-.（3） 求出与直线23y x =+相切的解；解：依题意联立方程组：223y x Cy x ⎧=+⎨=+⎩故有：2230x x C --+=。
由相切的条件可知：0∆=，即2(2)4(3)0C --⨯-+=解得4C =故24y x =+为所求。
（4） 求出满足条件33ydx =⎰的解。
解：将2y x C =+代入330dy =⎰，可得2C =-故22y x =-为所求。
2、求下列方程的解。
１）3x y dydx-= 2）233331dy x y dx x y -+=-- 解：依题意联立方程组：23303310x y x y -+=⎧⎨-+=⎩解得：2x =，73y =。
则令2X x =-，73Y y =-。
故原式可变成：2333dY x y dX x y-=-. 令Yu X =，则dy Xdu udx =+，即有 233263u dxdu u u x-=-+. 两边同时积分，可得122(263)||u u C X --+= .将732y u x -=-，2X x =-代入上式可得： 12227()614323|2|2(2)y y C x x x -⎛⎫- ⎪--+=- ⎪-- ⎪⎝⎭.即上式为所求。
3、求解下列方程:1)24dyxy x dx+=. 解：由原式变形得：22dyxdx y=-. 两边同时积分得：12ln |2|y x C --=+. 即上式为原方程的解。
2)()x dyx y e dx-=. 解：先求其对应的齐次方程的通解：()0dyx y dx -=. 进一步变形得：1dy dx y=. 两边同时积分得：x y ce =.利用常数变异法，令()xy c x e =是原方程的通解。
数学实验——常微分方程数值解
实验4 常微分方程数值解分1 黄浩 43一、实验目的1.掌握用MATLAB软件求微分方程初值问题数值解的方法；2.通过实例学习用微分方程模型解决简化的实际问题；3.了解欧拉方法和龙格-库塔方法的基本思想和计算公式，及稳定性等概念。
二、实验内容1.《数学实验》第一版（问题2）问题叙述：小型火箭初始重量为1400kg，其中包括1080kg燃料。
火箭竖直向上发射时燃料燃烧率为18kg/s，由此产生32000N的推力，火箭引擎在燃烧用尽时关闭。
设火箭上升时空气阻力正比于速度的平方，比例系数为0.4kg/m，求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点时的高度和加速度，并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。
模型转换及实验过程：（一）从发射到引擎关闭设火箭总质量为m，上升高度为h，瞬时速度为v，瞬时加速度为a，由燃料燃烧时间t=60s，可列如下的方程组：t∈[0,60]−9.8因此，上述方程为二元常微分方程组，选择t为自变量，h和v为因变量进行分析。
初值条件：h(0)=0 ,v(0)=0对上述模型，使用ode45()函数求数值解（程序见四.1、四.2），结果如下：由上表可知，引擎关闭瞬间，火箭的高度为12189.78m，速度为267.26m/s，加速度为0.9170m/s2，火箭至此已飞行60s而高度、速度、加速度随时间的变化曲线如下：(二)从引擎关闭到最高点设引擎关闭时，t1=0，由上一问的结果可知，h(0)=12189.78m，v(0)= 267.26m/s，m=320kg，则可列二元常微分方程组如下：9.8因此，可选择t1为自变量，h、v为因变量进行分析（程序见四.3、四.4），实验结果如下：由上表可知，当t1∈[11,12]时，v(t1)有零点，即该区间内某时刻火箭达到最高点。
再进行更细致的实验（程序略），设步长为0.01，观察该区间内v(t1)的零点，如下表所示：可以看出，当t1=11.30s，即总时间t=71.30s时，火箭达到最高点，高度为13115.36m，加速度为-9.8m/s2。
16秋华师《常微分方程》在线作业
B. y=x^2
C. y=e^(3x)
D. y=e^(2x)
正确答案：
9.按照微分方程通解定义，y''=sinx的通解是（）。
A. -sinx+C1x+C2
B. -sinx+C1+C2
C. sinx+C1x+C2
D. sinx+C1x+C2
正确答案：
10.方程组dY/dx=F(x,Y),x∈R,Y∈R^n的任何一个解的图象是（）维空间中的一条积分曲线.
B. dy/dx=k(x-a)(b-y)(k,a,b是常数)
C. dy/dx-siny=x
D. y'+xy=y^2*e^x
正确答案：
8.方程dy/dx=(1-y^2)(1/2)的常数解有（）。
A. y=1
B. y=-1
C. y=0
D. y为所有正数
正确答案：
9.方程y''+4y'+4y=0的基本解组有（）
C. s=-(1/2)g*t^2
D. s=1/2g*t^2
正确答案：
20.微分方程y'-y=0满足初始条件y(0)=1的特解为（）。
A. e^x
B. e^x-1
C. e^x+1
D. 2-e^x
正确答案：
华师《常微分方程》在线作业
二、多选题（共10道试题，共20分。）
1.下列哪些不可以作为变量可分离方程M(x)N(y)dx+p(x)q(y)dy=0的积分因子？（）
A. e^(2x)与2e^(2x)
B. e^(-2x)与xe^(-2x)
计算方法 15 龙格库塔-常微分方程
以上公式就是三阶龙格-库塔公式
计算方法（2016/2017 第一学期）
西南科技大学
制造科学与工程学院
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四阶龙格-库塔公式
四阶龙格-库塔公式：
h yn1 yn 6 ( k1 2k2 2k3 k4 ) k1 f ( xn , yn ) h hk1 ) k2 f ( xn , yn 2 2 h hk2 k3 f ( xn 2 , yn 2 ) k4 f ( xn h, yn hk3 )
以上公式就是四阶龙格-库塔公式
也称作经典龙格-库塔公式
计算方法（2016/2017 第一学期） 西南科技大学 制造科学与工程学院
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高阶龙格-库塔公式
高阶龙格-库塔公式：
yn1 yn h( λ1k1 λ2 k2 λ3 k3 λm km ) k1 f ( xn , yn ) k2 f ( xn 2 h, yn 21hk1 ) k3 f ( xn 3 h, yn 31hk1 32 hk2 ) km f ( xn m h, yn m1hk1 m ( m 1) hkm 1 ) i (i 2,, m) 和 ij (i 2,, m; 其中 i (i 1,, m)，
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龙格-库塔公式
由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度
主要受解函数的光滑性影响。
对于光滑性不好的解，最好采用低阶算法来求解，
而将步长 h 取小。
计算方法（2016/2017 第一学期）
西南科技大学
制造科学与工程学院
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例题
例：利用四阶龙格-库塔方法求解微分方程的
华师16秋《常微分方程》在线作业
一、单选题（共 20 道试题，共 60 分。
）V 1. 微分方程y''+y=sinx的一个特解具有形式（）。
. y*=sinx. y*=osx. y*=x(sinx+osx). y*=osx+sinx标准答案：2. y'''+sinxy'-x=osx的通解中应含（）个独立常数。
. 1. 2. 3. 4标准答案：3. 微分方程xyy''+x(y')^3-y^4-y'=0的阶数是（）。
. 3. 4. 5. 2标准答案：4. 微分方程y'''-x^2y''-x^5=1的通解中应含的独立常数的个数为（）。
. 3. 5. 4. 2标准答案：5. 过点(1,3)且切线斜率为2x的曲线方程y=y(x)应满足的关系是（）。
. y'=2x. y''=2x. y'=2x,y(1)=3. y''=2x,y(1)=3标准答案：6. 方程y/x=3y(2/3)过点(0,0)有（）．. 无数个解. 只有一个解. 只有两个解. 只有三个解标准答案：7. 方程y'-2y=0的通解是（）。
. y=sinx. y=4^(2x). y=^(2x). y=^x标准答案：8. 下列函数中，是微分方程y''-7y'+12y=0的解（）。
. y=x^3. y=x^2. y=^(3x). y=^(2x)标准答案：9. 按照微分方程通解定义，y''=sinx的通解是（）。
. -sinx+1x+2. -sinx+1+2. sinx+1x+2. sinx+1x+2标准答案：10. 方程组Y/x=F(x,Y),x∈R,Y∈R^n的任何一个解的图象是（）维空间中的一条积分曲线.. n. n+1. n-1. n-2标准答案：11. 下列函数中，哪个是微分方程y-2xx=0的解（）。
数学实验基础 实验报告(1)常微分方程
实验一 常微分方程1. 分别用Euler 法和ode45解下列常微分方程并与解析解比较： (1) ,(0)1,13y x y y x '=+=<<Euler 法：function [t,y]=euler(Fun,tspan,y0,h) t=tspan(1):h:tspan(2); y(1)=y0;for i=1:length(t)-1y(i+1)=y(i)+h.*feval(Fun,t(i),y(i)); end t=t'; y=y';function f=Fun(x,y) % 常微分方程的右端函数 f=x+y;>> [x,y]=euler('Fun',[0,3],1,0.1)>> [x,y] ans =0 1.0000 0.1000 1.1000 0.2000 1.2200 0.3000 1.3620 0.4000 1.5282 0.5000 1.7210 0.6000 1.9431 0.7000 2.1974 0.8000 2.4872 0.9000 2.8159 1.0000 3.1875 1.1000 3.6062 1.2000 4.0769 1.3000 4.6045 1.4000 5.1950 1.5000 5.8545 1.6000 6.5899 1.7000 7.4089 1.8000 8.3198 1.9000 9.3318 2.0000 10.4550 2.1000 11.7005 2.2000 13.0805 2.3000 14.6086 2.4000 16.2995 2.5000 18.1694 2.6000 20.2364 2.7000 22.5200 2.8000 25.0420 2.9000 27.8262 3.0000 30.8988ode45：>> [x,y]=ode45('Fun',[0,3],1) ans =0 1.0000 0.0502 1.0528 0.1005 1.1109 0.1507 1.17460.2010 1.2442 0.2760 1.3596 0.3510 1.4899 0.4260 1.63610.5010 1.7996 0.5760 1.9817 0.6510 2.1838 0.7260 2.4074实验一 常微分方程0.8010 2.6544 0.8760 2.9264 0.9510 3.2254 1.0260 3.55351.1010 3.9131 1.1760 4.3065 1.2510 4.7364 1.3260 5.20561.4010 5.7172 1.4760 6.2744 1.5510 6.8810 1.6260 7.54061.7010 8.2574 1.7760 9.0359 1.8510 9.8808 1.9260 10.79742.0010 11.7912 2.0760 12.8683 2.1510 14.0351 2.2260 15.29862.3010 16.6664 2.3760 18.1466 2.4510 19.7478 2.5260 21.47962.6010 23.3522 2.6760 25.3764 2.7510 27.5641 2.8260 29.92812.9010 32.4820 2.9257 33.3694 2.9505 34.2796 2.9752 35.21343.0000 36.1711解析解：>> y=dsolve('Dy=x+y','y(0)=1','x') y =2*exp(x) - x - 1(2) 20.01()2sin(),(0)0,(0)1,05y y y t y y t ''''-+===<< Euler 法：实验一常微分方程function f=Fun(t,y)% 常微分方程的右端函数f=[y(2);0.01*y(2)^2-2*y(1)+sin(t)];>> [t,y]=euler('Fun',[0,5],[0,1],0.2)ode45：>> [t,y]=ode45('Fun',[0,5],[0,1])t =0 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0005 0.0007 0.0010 0.0012 0.00250.0037 0.0050 0.0062 0.0125 0.0188 0.0251 0.0313 0.0627 0.0941 0.12550.1569 0.2819 0.4069 0.5319 0.6569 0.7819 0.9069 1.0319 1.1569 1.28191.4069 1.5319 1.6569 1.7819 1.90692.0319 2.1569 2.2819 2.4069 2.53192.6569 2.7819 2.90693.0319 3.1569 3.2819 3.4069 3.5319 3.6569 3.78193.90694.0319 4.1569 4.2819 4.4069 4.5319 4.6569 4.7427 4.8285 4.91425.0000y =0 1.0000 0.0001 1.0000 0.0001 1.0000 0.0002 1.0000 0.0002 1.00000.0005 1.0000 0.0007 1.0000 0.0010 1.0000 0.0012 1.0000 0.0025 1.00000.0037 1.0000 0.0050 1.0000 0.0062 1.0000 0.0125 1.0000 0.0188 1.00000.0251 0.9999 0.0313 0.9998 0.0627 0.9987 0.0941 0.9965 0.1253 0.99340.1564 0.9893 0.2786 0.9632 0.3966 0.9220 0.5085 0.8662 0.6126 0.79670.7072 0.7146 0.7908 0.6210 0.8620 0.5176 0.9198 0.4058 0.9632 0.28760.9915 0.1647 1.0043 0.0392 1.0013 -0.0869 0.9826 -0.2117 0.9485 -0.33310.8996 -0.4490 0.8365 -0.5578 0.7605 -0.6577 0.6725 -0.7471 0.5742 -0.8246实验一 常微分方程0.4669 -0.8889 0.3525 -0.9393 0.2327 -0.9748 0.1095 -0.9950 -0.0154 -0.9996-0.1398 -0.9887 -0.2619 -0.9624 -0.3798 -0.9212 -0.4916 -0.8657 -0.5957 -0.7970-0.6904 -0.7161 -0.7742 -0.6242 -0.8460 -0.5228 -0.9046 -0.4134 -0.9491 -0.2978-0.9789 -0.1777 -0.9934 -0.0549 -0.9945 0.0300 -0.9883 0.1146 -0.9748 0.1985-0.9543 0.28092. 求一通过原点的曲线，它在(,)x y 处的切线斜率等于22,0 1.57.x y x +<<若x 上限增为1.58，1.60会发生什么？function f=Fun(x,y) % 常微分方程的右端函数 f=2*x+y.^2;>> [x,y]=ode45('Fun',[0,1.57],0) x =0 0.0393 0.0785 0.1178 0.1570 0.1963 0.2355 0.2748 0.3140 0.3533 0.3925 0.4318 0.4710 0.5103 0.5495 0.5888 0.6280 0.6673 0.7065 0.7458 0.7850 0.8243 0.8635 0.9028 0.9420 0.9813 1.0205 1.0598 1.0990 1.1383 1.1775 1.2168 1.2560 1.2953 1.3345 1.3738 1.4130 1.4248 1.4367 1.4485 1.4604 1.4722 1.4840 1.4959 1.5077 1.5140 1.5203 1.5265 1.5328 1.5376 1.5424 1.5472 1.5519 1.5543 1.5567 1.5591 1.5614 1.5631 1.5647 1.5664 1.5681 1.5685 1.5690 1.5695 1.5700 y =实验一 常微分方程0 0.0015 0.0062 0.0139 0.0247 0.0386 0.0556 0.0758 0.09920.1259 0.1559 0.1895 0.2266 0.2675 0.3124 0.3615 0.4152 0.4738 0.5378 0.6076 0.6841 0.7679 0.8601 0.9620 1.0751 1.2014 1.3434 1.5045 1.6892 1.9037 2.1557 2.4577 2.8282 3.3003 3.9056 4.7317 5.9549 6.4431 7.0116 7.6832 8.4902 9.4821 10.7170 12.3090 14.4551 15.9220 17.7080 19.9390 22.8164 25.6450 29.2282 33.9673 40.5910 44.9434 50.3088 57.1229 66.1087 74.3108 84.7123 98.4901 117.7875 124.9206 132.9699 142.1268 152.641500.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6若x 上限增为1.58，1.60,则超出运算的范围，发生溢出。
《常微分方程》练习题库参考答案
华中师范大学网络教育学院 《常微分方程》练习测试题库参考答案一、判断说明题1、在线性齐次方程通解公式中C 是任意常数而在常数变易法中C （x ）是x 的可微函数。
将任意常数C 变成可微函数C （x ），期望它解决线性非齐次方程求解问题，这一方法成功了，称为常数变易法。
2、因p(x)连续，y(x)= y 0exp(-dx x⎰0x p(x))在p(x)连续的区间有意义，而exp(-dx x⎰x p(x))＞0。
如果y 0＝0，推出y(x)=0,如果y(x)≠0,故零解y(x)=0唯一。
3、（1） 它是常微分方程，因为含有未知函数的导数，f,g 为已知函数，y 为一元函数，所建立的等式是已知关系式。
（2） 它是常微分方程，理由同上。
（3） 它不是常 微分方程，因y 是未知函数，y(y(y(x)))也是未知的，所建立的等式不是已知关系式。
4、微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。
因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。
微分方程的解又称为（一个）积分。
5、 把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。
注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。
6、 y `＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y ，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征，就像f(x,y)一样，p,q 分别都能分解成两个因式和乘积。
7、二元函数f(x,y)满足f(rx,ry)=r mf(x,y),r.>0,则称f(x,y)为m 次齐次函数。
m=0则称它为0次齐次函数。
8、如果f(x,y)是0次齐次函数，则y `＝f(x,y)称为齐次方程。
如果p(x,y)和q(x,y)同为m 次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。
常微分方程-习题作业-第二章第三节作业及详细解答
+
2y p
.
对上述方程两边关于 x 求导并化简, 得
p3 − 4y2 2yp2
dp dy
=
p3 − 4y 4y2p
2
,
由此得
dp dy
=
p 2y
或
p3 − 4y2 = 0.
由
dp dy
=
p 2y
得y
=
C1p2,
其中 C1
为任意非零常数.
故
x
=
2C1p
+
1 4C1
,
即y
=
C(x − C)2,
其中
C
=
1 4C1
dx
=
dy p
=
−
1 t2
dt.
积分后可得方程的参数形式的通解为
x
=
1 t
+
C,
y
=
t
+
1 t
,
其中 C 为任意常数. 消去参数后得:
y
=
x+
x
1 −
C
− C.
此外, 当 p = 0 时, 易知 y = ±2 也是方程的解.
(4)
易知 y
=
0 是方程的解.
若
y
=
0,
令p
=
dy dx
,
则
x
=
p2 4y
为任意非零常数,
又
y
=
0 也是方程的解,
故原方程的通
解为 y = C(x − C)2, 其中 C 为任意常数.
由
p3
−
4y2
=
0
得
p
2013春数学实验基础 实验报告(1)常微分方程
实验一 常微分方程1. 分别用Euler 法和ode45解下列常微分方程并与解析解比较： (1)30,1)0(,<<=+='x y y x y编写Euler 法的matlab 函数，命名为euler.mfunction [t,y]=euler(odefun,tspan,y0,h) t=tspan(1):h:tspan(2); y(1)=y0;for i=1:length(t)-1y(i+1)=y(i)+h*feval(odefun,t(i),y(i)); end t=t'; y=y';下面比较三者的差别： % ode45odefun=inline('x+y','x','y'); [x1,y1]=ode45(odefun,[0,3],1); plot(x1,y1,'ko');pause hold on ; % Euler·¨[x2,y2]=euler(odefun,[0,3],1,0.05); plot(x2,y2,'r+');pause hold on ;% 解析解y0=dsolve('Dy=t+y','y(0)=1'); ezplot(y0,[0,3]);pause hold off ;legend('ode45','euler 法','解析解');实验一 常微分方程Euler 法只有一阶精度，所以实际应用效率比较差，而ode45的效果比较好，很接近真实值。
(2) 20.01()2sin(),(0)0,(0)1,05y y y t y y t ''''-+===<<先写M 文件ex1_2fun.mfunction f=ex1_2fun(t,y) f(1)=y(2);f(2)=0.01*y(2).^2-2*y(1)+sin(t); f=f(:); % ode45[t1,y1]=ode45(@ex1_2fun,[0,5],[0;1]); plot(t1,y1(:,1),'ko');% 解析解s=dsolve('D2y-0.01*(Dy)^2+2*y=sin(t)','y(0)=0','Dy(0)=1','t')s =[ empty sym ]%由此可知该微分方程无解析解2. 求一通过原点的曲线，它在(,)x y 处的切线斜率等于22,0 1.57.x y x +<<若x 上限增为1.58，1.60会发生什么？odefun=inline('2*x+y^2','x','y'); subplot(1,4,1);[x1,y1]=ode45(odefun,[0,1.57],0); plot(x1,y1,'r*'); title('上限1.57'); subplot(1,4,2);[x2,y2]=ode45(odefun,[0,1.58],0); plot(x2,y2,'bo'); title('上限1.58');实验一 常微分方程subplot(1,4,3);[x3,y3]=ode45(odefun,[0,1.6],0); plot(x3,y3,'k'); title('上限1.60'); subplot(1,4,4);plot(x1,y1,'r*');hold on ; plot(x2,y2,'bo');hold on ; plot(x3,y3,'k');hold off ;legend('上限1.57','上限1.58','上限1.60');上限1.5713上限1.5814上限1.6014结论：随着x 上界的增加，解趋于无穷大。
常微分方程作业
单选题第1题 (2) 分设有四个常微分方程：(i) , (ii),(iii) , (iv) .A、非线性方程有一个;B、非线性方程有两个;C、非线性方程有三个;D、非线性方程有四个.第2题 (2) 分是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A、.B、.C、.D、.第3题 (2) 分是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A、AB、BC、CD、D第4题 (2) 分设和是方程组的两个基解矩阵,则A. 存在某个常数方阵C使得, 其中;B. 存在某个常数方阵C使得, 其中;C. 存在某个常数方阵C使得, 其中;D. 存在某个常数方阵C使得, 其中.A、.B、.C、.D、.第5题 (2) 分设有四个常微分方程：(i) , (ii),(iii) , (iv) .A、线性方程有一个;B、线性方程有两个;C、线性方程有三个;D、线性方程有四个.第6题 (2) 分微分方程是( ).A、n阶变系数非齐次线性常微分方程;B、n阶变系数齐次线性常微分方程;C、n阶常系数非齐次线性常微分方程;D、n阶常系数齐次线性常微分方程.第7题 (2) 分微分方程的一个解是( ).A. ,B. ,C. ,D..A、.B、.C、.D、.第8题 (2) 分设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则A. 的朗斯基行列式一定是正的;B. 的朗斯基行列式一定是负的;C. 的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零;D. 的朗斯基行列式恒不为零.A、AB、BC、CD、D第9题 (2) 分满足初始条件和方程组的解为( ).A. ;B. ;C. ;D. .A、.B、.C、.D、.第10题 (2) 分已知是某一三阶齐次线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ).A. ;B. ;C. ;D. .A、AB、BC、CD、D第11题 (2) 分初值问题, 的第二次近似解可以写为( ).＋A. 6;B. ;C. ;D. +.A、.B、.C、.D、.第12题 (2) 分下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个.(i) , (ii) , (iii) , (iv).A、1B、2C、3D、4第13题 (2) 分可将一阶方程化为变量分离方程的变换为A. ； B. ； C. ； D..A、.B、.C、.D、.第14题 (2) 分可将六阶方程化为二阶方程的变换是( ).A.;B. ;C.;D..A、.B、.C、.D、.第15题 (2) 分设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是A. B.C. D.A、.B、.C、.D、.多选题第16题 (5) 分以下利用参数法求解一阶隐方程的过程中, 下划线所指出的那些步骤中, 哪些是不能省略的:解答：引入参数(A)，则原方程可以写为, 将此方程两边对x求导(B), 可得:, 或(C).这是一个关于p和x的方程, 且是未知函数p的导数可以解出的一阶常微分方程, 进而还是变量分离型方程. 因此我们将这个方程分离变量:.(D)两边积分并求出积分可以得到（C是任意常数）:,因此, 将此式和参数的表达式联立, 即得原方程的参数形式解: (E).A、.B、.C、.D、.E、.第17题 (5) 分以下是一阶微分方程的求解过程, 请说明下划线所指出那些步骤中, 哪些是可以省略的:解答：记, 则(A),注意到(B)，因此方程不是恰当方程(C). 可以计算, 因而方程有只与x 有关的积分因子，并且该积分因子可以求出为：.将该积分因子乘在原方程的两端：(D), 分项组合为,或可整理为(E), 最后得到原方程的通解.A、AB、BC、CD、DE、E第18题 (5) 分如下求解三阶常系数线性方程的过程中, 下划线所指出的部分哪些计算有错误或叙述有错误:解答：(i) 先求对应齐方程的通解：对应齐方程的特征方程及特征根分别为(A), , , .故对应齐方程的通解为(B).(ii) 因为有特征根非零(C), 故应设原方程的特解有形如, 这里a,b是待定常数.代入原方程可得.利用对应系数相等便得到代数方程组:.由此可解得(D), 故.(iii) 原方程的通解可以表示为(E).A、.B、.C、.D、.E、.第19题 (5) 分求解方程时, 以下的解题步骤中不能省略的有哪几步:A. 因为,B. 所以原方程是恰当方程;C. 将方程中的重新分项组合,D. 凑出全微分：,E. 得到通解：.A、AB、BC、CD、DE、E第20题 (5) 分利用降阶法求解二阶方程的过程中, 下划线所指出的那些步骤中, 哪些是关键性的:解答：这是不显含自变量的二阶方程, 因此可以用第二种降阶法。
常微分方程习题 (1)
习题 2.51. 求解下列方程的解（1） ysinx+dxdy cosx=1 解：移项得，dxdy cosx=1-ysinx 两边同除cosx 得dx dy =—x x cos sin y+x cos 1 所以，y=e ⎰x x d cos )(cos 1（⎰x cos 1e ⎰-x x d cos )(cos 1dx+c ）y=cosx(2)cos 1(⎰xdx+c) y=cosx(⎰2sec xdx+c) y=cosx(tanx+c)所以 y=sinx+cosxc 为方程的通解(2)ydx-xdy=x 2ydy解：两边同除x 2得，2xxdy ydx -=ydy 则d （xy -）=d （22y ） 所以，xy y +22=c 为方程的通解。
（3）dxdy =4e -y sinx-1 解：两边同乘以e y 得，e y dx dy=4sinx-e y 所以dxe d y )(=4sinx-e y 令u=e y 得，u x dx du -=sin 4 u=e ⎰-dx 1 (⎰⎰dx xe sin 4dx+c)u=e -x (⎰x xe sin 4dx+c)又因为⎰x xe sin 4dx=4⎰x xde sin =4sinxe x -4⎰x e dsinx=4sinxe x -4⎰x xe cos dx=4sinxe x -4 ⎰x xde cos =4sinxe x -4e x cosx+4⎰x e d （cosx ）=4sinxe x -4e x cosx-4⎰x xe sin dx所以dx xe x ⎰sin 4=2e x sinx-2e x cosx （分步积分法） 即e y =e -x （2e x sinx-2e x cosx+c ）所以e y =2（sinx-cosx ）+ce -x 为方程的通解。
（4）dx dy =xyx y - 解：分子分母同除x 得，x yxydx dy -=1令u=x y ，则y=ux,由此u dx du x dx dy +=,代入原方程得，x dx du +u=uu -1 化简得，xdx du =uu u -1 当u u ≠0时，du uu u -1=x 1dx （dx x du uu u 1)11=- （dx xdu u u 1)123=-- c x u u+=--ln ln 21 1ln ln 2c u x u++=- )21(ln 2111c y u-+-= 令-c c =121 则c y u +-=ln 211 即c y y x +-=ln 21，2)ln 21(c y y x +-= 即x=y （-2)ln 21c y + 经验证，y=0也是方程的解。
常微分方程第三版课后习题答案(1)
常微分方程第三版课后习题答案常微分方程习题2.11.,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：3解：原式可化为：12．解15．16．解：，这是齐次方程，令17.解：原方程化为令方程组则有令当当另外19.已知f(x).解：设f(x)=y,则原方程化为两边求导得20.求具有性质x(t+s)=的函数x(t),已知x’(0)存在。
解：令t=s=0x(0)==若x(0)0得x=-1矛盾。
所以x(0)=0.x’(t)=)两边积分得a r c t gx(t)=x’(0)t+c所以x(t)=t g[x’(0)t+c]当t=0时x(0)=0故c=0所以x(t)=t g[x’(0)t]习题2.2求下列方程的解1．=解：y=e(e)=e[-e()+c]=c e-()是原方程的解。
2．+3x=e解：原方程可化为：=-3x+e所以：x=e(e e)=e(e+c)=c e+e是原方程的解。
3．=-s+解：s=e(e)=e()=e()=是原方程的解。
4．，n为常数.解：原方程可化为：是原方程的解.5．+=解：原方程可化为：=-()=是原方程的解. 6．解：=+令则=u因此：=（*）将带入（*）中得：是原方程的解.13这是n=-1时的伯努利方程。
两边同除以，令P(x)=Q(x)=-1由一阶线性方程的求解公式=14两边同乘以令这是n=2时的伯努利方程。
两边同除以令P（x）=Q(x)=由一阶线性方程的求解公式==15这是n=3时的伯努利方程。
两边同除以令=P(y)=-2y Q(y)=由一阶线性方程的求解公式==16y=+P(x)=1Q(x)=由一阶线性方程的求解公式==c=1y=17设函数(t)于∞<t<∞上连续，(0)存在且满足关系式(t+s)=(t)(s)试求此函数。
令t=s=0得(0+0)=(0)(0)即(0)=故或（1）当时即∞,∞)(2)当时====于是变量分离得积分由于，即t=0时1=c=1故20.试证：（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为，其中为任意常数.（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.证明：（2.28）（2.3）（1）设，是（2.28）的任意两个解则（1）（2）（1）-（2）得即是满足方程（2.3）所以，命题成立。
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1. 分别用Euler 法和ode45解下列常微分方程并与解析解比较：
(1) ,(0)1, 03y x y y x '=+=<<
function [ t,y ] = euler(f,ts,y0,h)
t=ts(1):h:ts(2);
y(1)=y0;
for i=1:length(t)-1
y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i));
end
t=t';
y=y';
end
f=(t,y)t+y;
[t1,y1]=euler(f,[0,3],1,0.05);
[t2,y2]=ode45(f,[0,3],1);
plot(t1,y1,'.-',t2,y2,'ro')
hold on
y3=dsolve('Dy=x+y','y(0)=1','x')
ezplot(y3,[0,3])
hold off
legend('euler','ode45','解析解');
（2）22()5()3()45,(0)2,(0)1, 02t
x t x t x t e x x t ''''--===<<
f=(t,x)[2*x(2);5*x(2)+3*x(1)+45*exp(2*t)];
[t1,y1]=ode45(f,[0,2],[2,1]);
plot(t1,y1)
2. 求一通过原点的曲线，它在(,)x y 处的切线斜率等于2
2,0 1.57.x y x +<<若x 上限增为1.58，1.60会发生什么？
function dy = odefun_2(x,y)
dy=2*x+y^2;
dy=dy(:);
end
[t1,y]=ode45('odefun_2',[0,1.58],0) plot(t1,y);
[t2,y]=ode45('odefun_2',[0,1.60],0) plot(t2,y);
3. 求解刚性方程组：
11212
1221000.25999.750.5,(0)1,050.999.751000.250.5,(0)1,y y y y x y y y y '=-++=⎧<<⎨'=-+=-⎩
function Dy=fun(t,y)
Dy=zeros(2,1);
Dy(1)=-1000.25*y(1)+999.75*y(2)+0.5;
Dy(2)=999.75*y(1)-1000.25*y(2)+0.5;
[t,y]=ode15s('fun',[0,5],[1,-1]); plot(t,y(:,1),'o',t,y(:,2),'k-','LineWidth',2);
4. (广告效应) 某公司生产一种耐用消费品，市场占有率为5%时开始做广告，一段时间的市场跟踪调查后，该公司发现：单位时间购买人口百分比的相对增长率与当时还没有买的百分比成正比，且估得此比例系数为0.5。
(1) 建立该问题的数学模型，并将解析解和数值解，并作以比较；
y’=0.5(1-y)
y=desolve('Dy=0.5-0.5*y','y(0)=0.05')
odefun=(t,y)0.5-0.5*y;
[t1,y1]=ode45(odefun,[0,10],0.05);
t2=0:0.1:10;
y2=1-(19*exp(-t2/2))/20;
plot(t1,y1,'o',t2,y2,'k');
(2)厂家问：要做多少时间广告，可使市场购买率达到80%？
1-（19*exp(-t/2)）/20=0.8
5. (肿瘤生长) 肿瘤大小V生长的速率与V的a次方成正比，其中a为形状参数，0≤a≤1;而其比例系数K随时间减小，减小速率又与当时的K值成正比，比例系数为环境参数b。
设某肿瘤参数a=1, b=0.1, K的初始值为2，V的初始值为1。
问
(1)此肿瘤生长不会超过多大？
k’=-bk,v’=k*v^a,得k’=-0.1k,v’=kv,且k(0)=2,v(0)=1,
[k,v]=dsolve('Dk=-0.1*k','Dv=k*v','k(0)=2','v(0)=1','t');
t=0:0.1:100;
v=exp(20)*exp(-20*exp(-t/10));
plot(t,v);
(2)过多长时间肿瘤大小翻一倍？
exp(20)*exp(-20*exp(-t/10))=2
(3)何时肿瘤生长速率由递增转为递减？
v’与v的关系为v’=2*exp(20-t/10)*exp(-20*exp(-t/10));
t1=0:0.1:100;
v1=2*exp(20-20-t1/10).*exp(-20*exp(-t1/10)); plot(t1,v1)
6. (生态系统的振荡现象)第一次世界大战中，因为战争很少捕鱼，按理战后应能捕到更多的鱼才是。
可是大战后，在地中海却捕不到鲨鱼，因而渔民大惑不解。
令x1为鱼饵的数量，x2为鲨鱼的数量，t为时间。
常微分方程组为
式中a1, a2, b1, b2都是正常数。
第一式鱼饵x1的增长速度大体上与x1成正比，即按a1x1比率增加, 而被鲨鱼吃掉的部分按b1x1x2的比率减少；第二式中鲨鱼的增长速度由于生存竞争的自然死亡或互相咬食按a2x2的比率减少，但又根据鱼饵的量的变化按b1x1x2的比率增加。
对a1=3, b1=2, a2=2.5, b2=1, x1(0)=x2(0)=1求解。
画出解曲线图和相轨线图，可以观察
到鱼饵和鲨鱼数量的周期振荡现象。
代入a1=3, b1=2, a2=2.5, b2=1, x1(0)=x2(0)=1，x1’=3x1-2x1x2, x2’=-2.5x2+x1x2; function Dx=fun(t,x)
Dx=zeros(2,1);
Dx(1)=x(1)-2*x(1)*x(2);
Dx(2)=-2.5*x(2)+x(1)*x(2);
f=f(:);
[t,x]=ode15s('fun',[0,10],[1,1]); plot(t,x);。