概率统计试题5

《概率论与数理统计》试卷（A ）

注：可能用到的数据

()()()()()()()()()()()0.050.0250.050.050.0250.0252

2

2

2

0.9750.9750.0250.0251.645,

1.96,

4 2.3138,

5 2.0150,

00

4 2.7764,

5 2.5706, 1.6450.95, 1.960.975

6 1.237,

7 1.1.690,

614.449,

716.013

z z t t t t χχχχ====Φ===Φ=Φ=====

一、填空题（每小题4分，共40分）

1．设3/1)()(==B P A P ，()1/2P A B = ，则()|P A B = 3/4 2．设随机变量X 的概率密度为

()⎩

⎨⎧<<=其他,01

0,2x x x f

Y 表示对X 的三次独立重复观察试验中事件{}2/1≤X 出现的次数，则{}==2Y P 9/64

3．设随机变量()()0,~2

>σ

σμN X ，且二次方程042

=++X y y 无实根

的概率为

12

，则=μ 4

4．设随机变量1X 与2X 有相同的分布，其分布律为

{}114

i P X =-=

， {}102

i P X ==

， {}114

i P X ==

， 1,2i =

且满足1}0{21==X X P ，则==}{21X X P 0

5．已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，令1232

-+=X X Y ，则Y

的数学期望()E Y = 1532

-+λλ

6．设随机变量X 的数学期望()μ=X E ，方差()2

σ=X D ，则由切比雪夫

不等式，有{}≤≥-σμ3X P 1/9

7．设121,,,,+n n X X X X 是来自正态总体()2

,σ

μN 的样本，记

∑

==

n

i i X n

X 1

1， ()

∑=--=

n

i i

X

X n S 1

2

21

1

，则统计量

1n X S

μ

+-服从___t____分布，

自由度为 n-1

8．已知总体X 的概率密度为

()1,

01()0,x x f x θθ⎧+<<=⎨

⎩

其他

1θ>-

设n X X X ,,,21 为X 的样本，则参数θ的矩估计量为ˆθ= ˆθ=

211X X

--

9．设随机变量X 的分布函数为

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥<≤-+-<=1,111,16

7

51,0)(x x x x x F

则==}1{2

X

P ____ 3/8_

10．随机变量X 在区间[]1,2-上服从均匀分布，随机变量

1,00,

01,0

X Y X X >⎧⎪==⎨⎪-<⎩

则Y 的方差()D Y = 8/9

二 、（10分）设有来自A 、B 、C 三个地区考生报名表各10份、15份和25份，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份，今随机地抽取一份报名表。

1．求抽到的是女生报名表的概率；

2．若已知抽到的是女生报名表，求该表来自A 地区的概率。 解：分别用123,,A A A 表示随机的抽取一份报名表来自A 、B 、C 三个地区W 表示随机抽取一份报名表盖报名表为女生的报名表。则 1. 由全概率公式：

3

1

3173113 ()(|) ()105

1510

52

10

i i i P W P W A P A ==

=

+

+

=

∑

--------5分

2．由Bayes 公式：

1131

(W |)1

1052. (|)3()

510

P A P A W P W =

== --------------5分

三、（10分）设随机变量X 和Y 相互独立同分布，且{}1,

1,2,33P X i i ===。

令 ),,max(Y X U =),min(Y X V =。

1．求),(V U 的联合分布律及边缘分布律；

2．判断U 与V 是否相互独立，并说明理由。

解:1)X,Y

----------------5分

U 的边缘分布列：

V 的边缘分布列为

2） P(U=2,V=1)=0,P(U=2)P(V=1)0≠由于而 所以 U,V 不独立。-------------5分

四、（10分）已知随机变量),(Y X 在区域{}2

2

(,)|1D x y x y =+≤上服从均匀分

布。

1．证明X 与Y 不相互独立； 2．证明X 与Y 不相关。 解

2

2

1

1) , (,)0

||1||1()()0

()()(,), ,2

21X x

y

X Y f x y else

x y f y f y Y else

else

f x f y f x y X Y X Y πππ+≤=

≤≤=

=

≠----------------⎧⎪

⎨⎪⎩⎧⎧⎨⎨⎩

⎩

的联合密度函数为：当 因为所以不独立。5分

,

2

2

1-1

1-1

1

2

2) 0,1

1

()0

(,)-0 0,x y X Y E X x E Y E X Y xyd xd y x yd y d x C O V X Y E X Y E X E Y X Y π

ππ

ρ+≤====

=

=∴==⇒=⇒⎰

⎰⎰

⎰

⎰

由对称性：不相关。----5分

五、（10分）某仪器由n 个电子元件组成，每个电子元件的寿命服从[]0,1000上的均匀分布（单位：h ），当有20%的元件烧坏时，仪器便报废。求为使该仪器的寿命超过100 h 的概率不低于0.95，n 至少为多大？ 解 i X 表示第i 个电子元件的寿命，{100}i i A X =≥

()1000

100

100

1()0.91000

i P A f

x dx dx ∞

=

=

=⎰

⎰

。

设Y 表示n 个事件()1,2,,i A i n = 中发生的个数，则

()~,0.9Y b n 。----------5分

令{}0.8P Y n

≥P =≥

10.9533⎛⎫

⎛≈-Φ-=Φ≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

查表得

1.6453

≥，25n ⇒≥ -5分