第八章复杂应力状态及强度理论

（五）强度条件及刚度条件
1、强度条件
max
MT W


2、刚度条件
M 180 GJ
0 / m
四、弯曲
F
F
纵向对称面
（一）梁的类型
简支梁 A
P B
C
RA l 2 l 2 RB
q
P=qa
外伸梁 A 2a
BD a
RA
RB
悬臂梁 q
l
（二）内力－剪力Q与弯矩M
空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零 平面（二向）应力状态：一个主应力为零 单向应力状态：两个主应力为零
化工机械学
§8－4 应力状态分析
一、解析法
正负号规则：
正应力：拉为正；压为负
切应力：使微元顺时针方向 转动为正；反之为负。
x , y , y均为正值, y为负值, x y , x y
态 4. 掌握拉压与弯曲组合变形的强度计算。 5. 掌握弯曲与扭转组合变形的强度计算。
教学重点
1. 应力状态、强度理论的概念 2. 解析法和图解法分析二向应力 3. 拉压与弯曲组合变形的强度计算。 4. 弯曲与扭转组合变形的强度计算。
教学难点
1. 应力状态、强度理论的概念 2. 解析法和图解法分析二向应力 3. 拉压与弯曲组合变形的强度计算。 4. 弯曲与扭转组合变形的强度计算。
40 30
60
解：（1） 斜面上的应力


x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
2
2
x
cos 2
正应力极值和方向


( x
y )
2

( x
y ) cos 2
2
x sin
2
d d
( x
y ) sin 2 2 x cos 2
设α＝α0 时，上式值为零，即 ( x y )sin 20 2 x cos 20 0
§8－1 基本变形小结 一、拉伸和压缩
P
P
P
P
（一）截面法求内力
m
P
P
n
P
N N′
P
∑Fx=0
P-N=0
N=P
归纳：截，取，代，平
（二）拉伸时内力在横截面上的分布
P
纵向变形 l l l
横向变形 d d'd
σ N
A
l
l
d
=
、
d
低碳钢拉伸时的应力-应变曲线
单元体各个表面上的应力分布可以看成是均匀的， 单元体任一对平行平面上的应力可视为相等。
受拉直杆一点处的应力状态
纯弯曲 梁一点处的应力状态


受扭圆轴一点处的应力状态
3 A
1
三、 主平面、主应力、应力状态的分类
单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面
上的正应力称为主应力，分别用 1, 2, 3 表 示，并且 1 2 3 ，该单元体称为主单元体。
{ 利用三角函数公式
cos2 1 (1 cos 2 )
2
sin2 1 (1 cos 2 )
2
2sin cos sin2
并注意到 x y 化简得


( x
y )
2

( x
y ) cos 2
2
x
sin
2


( x
y ) sin
的角度所对应平面为最大切应力所在的平面，另一个是
最小切应力所在的平面。
最大和最小正应力分别为：
max

(
x

2
y
)2

2 x
min

(
x

2
y
)2

2 x
主平面与剪应力极值所在的平面之间的关系
tg20



2 x x
y
tg21



x 2 x
y
tg20
2
y dy y x
b
（四）梁的挠度和转角
y q
O 挠曲线
A z
A'
挠度y
EJy M (z)dzdz Az B 梁的挠曲线方程
y
q
θ
O
A θz
A'
转角θ：横截面绕中性轴转过的角度。
EJ (z) M (z)dz A 梁的转角方程
梁弯曲时的刚度条件 max [ ] ymax [ y]
（六）强度条件和刚度条件
1、强度条件
max

M max Wx


2、刚度条件
max [ ]
ymax [ y]
化工机械学
五、总结
实际的受力杆件 外力特点
属于哪种变形？ 求支座反力 截面法求内力
受力分析
拉伸 压缩 弯曲 剪切 扭转
线应变 角应变
拉伸 压缩 剪切 弯曲 扭转
根据变形规律， 确定应力分布规律
③
d
2M dx
(x
2
)
q( x ) M图曲线的凹凸向与q(x)符号有关
（三）梁横截面上的正应力
a)同层纤维变形相等(平面截面假设)。 b)各纵向纤维之间互不挤压。 横截面上只有正应力，没有切应力。
（三）梁横截面上的正应力的分布规律
y
y max
max
M max y2dA
yA max
令：Jx
y2dA
A
max

M
ymax Jx
令：J x ymax
Wx
max

M Wx
（四）惯性矩和抗弯截面模量计算公式
Jx
y2dA
A
dA bdy
h
h
Jx

2 h
2
y2dA by2dy
h

bh3 12
h
2
2
bh3
Wx

Jx ymax

12 h
bh2 6
对于同一个点所截取的不同方位的单元体，其相互 垂直面上的正应力之和是一个不变量。
当α＝αo 时，切应力为零 a0 0
结论：正应力为最大或最小所在的平面，是主平面。 所以，主应力就是最大或最小的正应力。
切应力极值和方向


( x
y ) sin
2
2
x
cos 2
d d
G E
2(1 )
（二）挤压及挤压应力
jy

P A jy
A jy

t d 2
挤压强度条件
jy

P A jy
jy
三、扭转
外力偶矩
MT
9.55103 N n
扭矩：扭转轴截面上的内力。其大小等于截面 一侧外力偶矩的代数和。
（一）轴横截面上的切应力
a) 轴向纤维没有拉、压变形，横截面上没有正 应力产生。
α角：
由x 轴正向逆时针转到斜截面外法线时 为正；反之为负。
Fn 0
adA ( xdAcos a) cos a ( xdAcos a)sin a ( ydAsin a) sin a ( ydAsin a) cos a 0
Ft 0
adA ( xdAcos a) sin a ( xdAcos a) cos a ( ydAsin a) cos a ( ydAsin a)sin a 0
( x y ) cos 2 2 x sin 2
设α＝α1 时，上式值为零，即
( x y ) cos 21 2 x sin 21 0
tg21



x 2 x
y
上式有两个解： a1和a1±90，在它们所确定的两个互相
垂直的平面上，切应力取得极值。若 x 0 ，绝对值小
2 P
1 2P
2
N2

P 1Leabharlann kN, 2N2 A

10 103 250 106
40MPa
1
N1

2P

20kN ,1

N1 A

20 103 250 106
80MPa
如图所示，AB为圆钢杆，[σ]=140MPa，BC 为方木杆， [σ]= 50MPa,，若载荷P=40kN， 试求两杆的横截面面积。
铸铁拉伸时的应力-应变曲线
压缩曲线 拉伸曲线 低碳钢拉压时的应力-应变曲线
铸铁拉压时的应力-应变曲线
（三）拉伸时的强度条件
许用应力 jx
n
脆性材料的许用应力 s
ns
脆性材料的许用应力 b
nb
强度条件
max

N A

试求图示杆件横截面上的内力和应力。杆横 截面面积为250mm2，P=10kN。
0.2d 3
2、空心圆轴
D
J

2
2 d
3d

4
2
2
D
2 d
2

(D4
32
d4)
W

J R
d3 (D4
16D
d4)
令d aD
J

D4
32
(1 a4 )

0.1D4 (1 a4 )
W

J R
D3