随机变量的特征函数

即若
n 1
N
Y ( ) Xn ( )
n1
则
1.6.3 特征函数与矩函数的关系
矩函数与特征函数之间存在如下关系：
E[
X
]


j
dX ( d
)
| 0
E[ X
n]

(
j)n
d nX ( ) d n
| 0
例3：设随机变量Y服从正态分布 ，用特征函数求随机变量Y的各N阶(m矩Y ,。Y 2)

e

jx
f
X
(
x)dx
随机变量X的第二特征函数定义为特 征函数的对数，即
X ( ) ln X ( )
对二维随机变量，可用类似的方法 定义特征函数
X (1,2)



fX
( x1,
x2 )e j1x1 j2x2dx1dx2
f X (x1, x2 )
1
4 2



X
(1
,
wenku.baidu.com
2
)e

j1x1

j
2
x2
d1d
2
第二特征函数定义为
X (1,2 ) ln X (1,2 )
例1：设随机变量X的概率分布为
P{X 1} p P{X 0} q pq 1
求X的特征函数。
例2：设随机变量X服从标准正态分 布N(0,1)，即
1.6 随机变量的特征函数
1.6.1 特征函数的定义
随机变量X的特征函数就是由X组成
的一个新的随机变量ejwX的数学期望，
即
X ( ) E[e jX ]
离散随机变量和连续随机变量的特 征函数分别表示为
X ( ) E[e jX ] e jxi P{X xi}
i
X () E[e jX ]
例4：求两个数学期望和方差不同且 互相独立的高斯变量X1，X2之和的概 率密度。
fX (x)
1
x2
e2
2
求X的特征函数。
1.6.2 特征函数的性质
性质1： X
(
)
(0)
1
性质2：若Y=aX+b，a和b为常数， Y的特征函数为
Y ( ) e jb X (a )
性质3：互相独立随机变量之和的特
N
征函数等于各Y 随机变量X 特n 征函数之积，