3.1 导数的概念及其运算导学案
导数的概念及其运算专题复习导学案
利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数及简单的复合函数的导数. 利用基本初等函数的导数公式求解复合函数的导数.
【最新考纲展示】
1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义． 1 3．能根据导数的定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝ x的导数． x 4．能利用常见的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
6．过点（－1，0）作抛物线 y x x 1 的切线，则其中一条切线为（ ） （A） 2 x y 2 0 （B） 3x y 3 0 （C） x y 1 0 ） D. （D） x y 1 0
3
考点三 求复合函数的导数 9.求下列函数的导数： y=cos2(x2-x)
10. 已知 f x cos
2
ln x ，求 f ' 1 的值
五、课堂小结：
1.曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线是指 P 为切点，斜率为 k＝f′(x0)的切线，是唯一的 一条切线． 2.曲线 y＝f(x)过点 P(x0，y0)的切线，是指切线经过 P 点．点 P 可以是切点，也可以不是切 点，而且这样的直线可能有多条． 3.求函数的导数的具体方法是 (1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导； (2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导； (3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导． 4.求曲线切线方程的步骤 (1)求出函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处的导数，即曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处切线的斜 率； (2)由点斜式方程求得切线方程为 y－y0＝f′(x0)·(x－x0)． 5.求曲线的切线方程需注意两点 (1)当曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线平行于 y 轴(此时导数不存在)时，切线方程 为 x＝x0； (2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．
导数的计算导学案
导数的计算导学案导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在其中一点的变化速率。
导数的计算方法非常重要，下面将介绍导数的计算导学案。
一、导数的定义根据导数的定义，函数f在点x处的导数可以通过极限的方法得到：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x))/h二、导数的基本计算方法根据导数的定义，我们可以利用一些基本的规则计算导数：1.常数的导数为0若c为常数，则d(c)/dx = 02.幂函数的导数对于幂函数y = x^n（n为正整数），导数为dy/dx = nx^(n-1)例如，y = x^2，则dy/dx = 2x3.指数函数的导数对于指数函数y = a^x（a>0且a≠1），导数为dy/dx = a^x * ln(a)例如，y = e^x，则dy/dx = e^x * ln(e) = e^x4.对数函数的导数对于对数函数y = log_a(x)（a>0且a≠1），导数为dy/dx =(1/ln(a)) * (1/x)特别地，自然对数函数y = ln(x)的导数为dy/dx = 1/x5.三角函数的导数对于三角函数，有以下导数公式：sin(x)的导数为cos(x)cos(x)的导数为-sin(x)tan(x)的导数为sec^2(x)cot(x)的导数为-csc^2(x)sec(x)的导数为sec(x)tan(x)csc(x)的导数为-csc(x)cot(x)6.反三角函数的导数对于反三角函数，有以下导数公式：arcsin(x)的导数为1/√(1-x^2)arccos(x)的导数为-1/√(1-x^2)arctan(x)的导数为1/(1+x^2)7.速度与加速度若y表示物体的位移，t表示时间，则速度v的导数为dy/dt，加速度a的导数为d^2y/dt^2三、导数的基本运算法则导数具有一些基本的运算法则，例如和差法则、积法则和商法则等，它们可以辅助我们计算复合函数的导数。
2022年教学教案 《导数知识的概念与运算》优秀教案
导数知识的概念与运算问题1：导数是如何定义的？导数的几何意义是什么？ 知识诊断：导数的定义：一般的设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，当0x ∆→时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆趋近于常数A ，那么()y f x =在点0x x =处可导，并称常数A 为函数()y f x =在点0x x =处的导数，记作0'()f x 。
导函数：函数()y f x =在区间(,)a b 上任一点都可导，那么()y f x =在各点的导数称为导函数简记为'()f x . 典例分析;例题1：设函数()f x 在0x 处可导，那么xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000等于A ．)('0x fB ．0'()f x -C ．0()f xD ．0()f x - 【解题思路】求函数在某一点的导函数值，由定义直接计算 [解析]0000000()()[()]()limlim ()()x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆-+-∆-'=-=-∆-∆.应选B 【技巧指引】求解此题的关键是变换出定义式00()()lim()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆导数的几何意义：曲线f 〔x 〕在某一点〔x 0，y 0〕处的导数0'()f x 是过点〔x 0，y 0〕的切线的斜率，对应的切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-。
物理意义：假设物体运动方程是s =s 〔t 〕，在点P 〔i 0，s 〔t 0〕〕处导数的意义是t =t 0处的瞬时速度。
注意：曲线f 〔x 〕在某一点〔x 0，y 0〕处的导数不存在，但是曲线在该点不一定没有切线。
而且应明确点〔x 0，y 0〕不一定是切点。
典例分析：的切线方程是例题1：如图，函数)(x f y =的图象在点P 处8+-=x y ，那么)5()5(f f '+= .【解题思路】区分过曲线P 处的切线与过P点的切线的不同，后者的P 点不一定在曲线上. 解析:观察图形,设(5,(5))P f ,过P 点的切线方程为(5)'(5)(5)y f f x -=-即'(5)(5)5'(5)y f x f f =+-，它与8+-=x y 重合,比拟系数知:'(5)1,(5)3f f =-=，故)5()5(f f '+=2例题2：求322+=x y 在点)5,1(P 和)9,2(Q 处的切线方程。
高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.3导数的几何意义导学案新人教B版选修
高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.3
导数的几何意义导学案新人教B版选修
3、1、3 导数的几何意义
一、
【学习目标】
1理解导数的几何意义2学会通过求函数的导数来求函数在某点处的切线斜率与切线方程。
二、
【预习案】
预习教材83-84页并完成下列问题
1、导数的几何意义是
_________________________________________________________ _
2、曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))的切线的斜率等于
_________________________________________总结：
1、导数的定义：
2、求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是：
三、
【课中案】
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程、小结：求曲线的切线方程时，应注意两种“说法”：(1)曲线在点P处的切线方程（一定是以点P为切点）；（2）曲线过点P的切线方程（无论点P是否在曲线上，点P都不一定是切点，此时需设切点坐标）例4 求过点P(1,0)且与曲线f(x)=x3-x相切的直线方程四、
【课后案】
1、已知曲线上一点,则点处的切线斜率为（）
A、4
B、16
C、8
D、
22、曲线在点处的切线方程为（）
A、
B、
C、
D、5、已知曲线C:y=x3(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程。
高中数学《导数的概念》教案导学案
导数的概念教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。
教学重点：导数的概念以及求导数 教学难点：导数的概念 教学过程： 一、导入新课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。
虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。
由此我们引出下面导数的概念。
二、新授课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/注：1.函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。
2.在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0。
3.xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率。
4.导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
因此，如果)(x f y =在点0x可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-。
5.导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ∆无关。
导数及其应用教案
导数及其应用教案一、导数的基本概念导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。
在计算机科学、物理学、经济学等领域，导数都具有广泛的应用。
在微积分中，函数f(x)在点x=a处的导数可以表示为f'(a)，它描述了函数在该点附近的局部行为。
导数可以通过两种方式计算：几何定义和算术定义。
1. 几何定义：导数可以理解为函数图像在某点的斜率，表示为$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$。
2. 算术定义：导数可以理解为函数在某点上的瞬时速度，表示为$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$。
二、导数的性质及计算方法导数具有以下几个重要的性质：1. 导数的可加性：若函数f(x)和g(x)都在某点上可导，那么它们的和f(x)+g(x)也在该点上可导，且导数满足$(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$。
2. 导数的乘法规则：若函数f(x)和g(x)都在某点上可导，那么它们的乘积f(x)g(x)也在该点上可导，且导数满足$(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$。
3. 导数的链式法则：若函数y=f(g(x))可以分解为两个函数f(u)和g(x)，且它们在某点上可导，那么复合函数y也在该点上可导，并且满足$\frac{{dy}}{{dx}}=\frac{{dy}}{{du}}\cdot \frac{{du}}{{dx}}$。
计算导数的方法主要有以下几种：1. 利用基本函数的导数公式进行求导。
2. 利用导数的性质，例如可加性、乘法规则和链式法则，对复杂函数进行求导。
3. 利用导数的几何定义，通过极限的方法进行求导。
三、导数的应用导数在实际问题中有着广泛的应用，以下介绍几个常见的应用领域：1. 最优化问题：导数可以帮助我们找到函数的最大值和最小值。
高中数学教案导数的基本概念与计算
高中数学教案导数的基本概念与计算高中数学教案——导数的基本概念与计算1. 概述高中数学中，导数是一个重要的概念，用于描述函数在某个点上的变化率。
在教学中，理解导数的基本概念以及掌握导数的计算方法是学生掌握微积分的关键。
本教案将通过引入导数的概念、导数的性质以及导数计算法则等内容，帮助学生深入理解导数的基本概念与计算方法。
2. 导数的概念导数可以看作是函数f(x)在某个点x=a的切线斜率，用f'(a)或者dy/dx|_(x=a)表示。
引导学生通过图像、实例等方式感受导数的概念，并了解导数的几何意义和物理意义。
3. 导数的性质在导数的教学中，应当重点突出导数的局部性和增加性。
局部性指导数只与某个特定点附近的函数值相关，而与其他地方无关；增加性表示函数单调递增时，导数的变化情况。
4. 导数计算法则4.1 基本导数法则介绍导数的基本运算法则，如常数倍法则、和差法则、积法则、商法则等。
通过实例演示和练习，使学生掌握这些基本法则的应用。
4.2 常见函数的导数引导学生熟悉常见函数的导数表达式，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
重点讲解这些函数的导数推导过程，并通过例题演示如何计算导数。
4.3 链式法则链式法则用于计算复合函数的导数。
通过引入中间变量和链接函数的概念，帮助学生理解链式法则的运用，并通过练习加深对链式法则的掌握。
4.4 隐函数求导隐函数求导用于计算由给定方程所确定的函数的导数。
介绍利用隐函数求导公式和求导规则进行隐函数求导的方法，并通过实例演示求解过程。
5. 应用题与拓展在导数的教学中，应通过应用题和拓展知识的讲解，帮助学生将导数运用到实际问题中。
包括利用导数求函数的极值、函数的单调性、曲线的凹凸性等应用题的解答。
6. 总结与归纳对导数的基本概念与计算方法进行总结归纳，强调导数在高中数学中的重要性，并和以后学习微积分的知识做关联。
通过本教案的学习，相信学生能够全面理解导数的基本概念与计算方法，并能够熟练运用导数进行函数分析和问题求解。
人教版高中数学选修(1-1)-3.1《导数的概念》导学案
3.1.2 导数的概念课前预习学案预习目标：什么是瞬时速度，瞬时变化率。
怎样求瞬时变化率。
预习内容：1：气球的体积V与半径r之间的关系是()r V=V从0增加到1时，气球的平均膨胀率.2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间t的关系为：2=-++. 求在12h t t t() 4.9 6.510t≤≤这段时间里，运动员的平均速度.3：求2中当t=1时的瞬时速度.提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标1.会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念.2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．学习重难点：1、导数概念的理解；2、导数的求解方法和过程；3、导数符号的灵活运用二、学习过程合作探究探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是新知：1．瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度ts ∆∆当t ∆趋近于0时的 得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim lim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='即000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可以为0 (3)xy ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率(4)导数x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.典型例题例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.例2 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，(1)当t =2，Δt =0.01时，求ts ∆∆. (2)当t =2，Δt =0.001时，求t s ∆∆. (3)求质点M 在t =2时的瞬时速度小结：利用导数的定义求导，步骤为：。
导数 第一课时 导数的概念及运算 导学案-江苏省高邮市第一中学2021届高三数学一轮复习
第一课时 导数的概念及运算【学习目标】 1.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax ＋b))的导数；5.会使用导数公式表. 【预习单】 基础自测1.判断下列结论的正误.(在括号内打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f(x)在x ＝x 0附近的平均变化率.( ) (2)函数f(x)＝sin(-x)的导数f ′(x)＝cos x.( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f(x 0)，再求f ′(x 0).( )(4)曲线y ＝f(x)在某点处的切线与曲线y ＝f(x)过某点的切线意义是相同的.( )2.在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10， 则运动员的速度v ＝____ m/s ，加速度a ＝____ m/s 2.3.曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( )A.x －y －π－1＝0B.2x －y －2π－1＝0C.2x ＋y －2π＋1＝0D.x ＋y －π＋1＝0 4.设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x ，则f ′(0)＝________. 5.曲线y ＝3(x 2＋x)e x 在点(0，0)处的切线方程为________. 知识梳理 1. 导数的概念设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，且x 0∈(a ，b)，若Δx 无限趋近于0时， 比值ΔyΔx ＝ 无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在x ＝x 0处可导， 并称该常数A 为函数f(x)在x ＝x 0处的导数，记作 ．若函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x 的变化而变化，因而是自变量x 的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作 ． 2. 导数的几何意义函数y ＝f(x)在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的 ，过点P 的切线方程为 ． 3. 基本初等函数的导数公式4. 导数的运算法则若f ′(x)，g ′(x)存在，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)·g(x)]′＝ ；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）＝ (g(x)≠0)．5. 复合函数的求导法则(1)一般地，对于两个函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的复合函数，记作y ＝f(g(x))．(2)复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为 ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 【活动单】例1 求下列函数的导数：(1)f(x)＝x 2＋x e x (2)f(x)＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2例 2 已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足关系式f(x)＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f(1)＝________.练习 (1)已知f(x)＝ln 2x －12x ＋1，则f ′(x)＝________.(2)已知函数f(x)的导函数是f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(1)＋ln 1x ，则f(1)＝例3 (1)曲线f(x)＝1－2ln xx在点P(1，f(1))处的切线l 的方程为 (2)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1) (e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________.练习(1)已知曲线S ：y ＝－23x 3＋x 2＋4x 及点P(0，0)，那么过点P 的曲线S 的切线方程为 ．(2)已知函数f(x)＝xlnx ，过点A(－1e 2，0)作函数y ＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为 .例4 (1)已知曲线y ＝ae x＋xln x 在点(1，ae)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( ) A.a ＝e ，b ＝－1 B.a ＝e ，b ＝1 C.a ＝e －1，b ＝1 D.a ＝e －1，b ＝－1(2)若曲线y ＝x 2与y ＝aln x(a ≠0)存在公共切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(0，2e] B.(0，e] C.(－∞，0)∪(0，2e] D.(－∞，0)∪(0，e]【巩固单】1. 函数在某一点的导数是( )A. 在该点的函数的增量与自变量的增量之比B. 一个函数C. 一个常数D. 函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率2. 已知函数f(x)＝axlnx ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x)为f(x)的导函数. 若f ′(1)＝3，则a 的值为 ．3. 若函数f(x)＝log a x 的图像与直线y ＝13x 相切，则a 的值为 .4. (1)已知函数f(x)＝ax ＋bx (a ，b ∈R ，b>0)的图像在点P(1，f(1))处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，且函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，那么b 的最大值为 ．(2)在抛物线f(x)＝12x 2上求一点P ，使点P 到直线 x －y －1＝0的距离最短，则这个最短距离为____． 5.若函数f(x)＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的范围是 . 6. 已知函数f(x)＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)若直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标.7. 已知函数f(x)＝lnx ，g(x)＝12x 2＋mx ＋72(m<0)，直线l 与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切点为(1，f(1))，求m 的值．8. 已知某物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，t ≥3，29＋3（t －3）2，0≤t<3(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)． (1)求该物体在t ∈[3，5]内的平均速度；(2)求该物体的初速度v0；(3)求该物体在t＝1时的瞬时速度．第一课时导数的概念及运算【学习目标】 1.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax ＋b))的导数；5.会使用导数公式表.【预习单】基础自测1.判断下列结论的正误.(在括号内打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.( )(2)函数f(x)＝sin(-x)的导数f′(x)＝cos x.( )(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).( )(4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的.( )解析(1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错.(2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cos x，(2)错.(3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错.(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.已知函数f(x)＝xx＋2，则函数在x＝－1处的切线方程是( ) A.2x－y＋1＝0 B.x－2y＋2＝0C.2x－y－1＝0D.x＋2y－2＝0解析由f(x)＝xx＋2，得f′(x)＝2（x＋2）2，又f(－1)＝－1，f′(－1)＝2.因此函数在x＝－1处的切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.答案 A3.(多填题)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v＝____ m/s，加速度a＝____ m/s2.解析v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.答案－9.8t＋6.5 －9.84.曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为( )A.x －y －π－1＝0B.2x －y －2π－1＝0C.2x ＋y －2π＋1＝0D.x ＋y －π＋1＝0解析 设y ＝f(x)＝2sin x ＋cos x ，则f ′(x)＝2cos x －sin x ， ∴曲线在点(π，－1)处的切线斜率k ＝f ′(π)＝－2， 故切线方程为y ＋1＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0. 答案 C5.(2019·济宁模拟)设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x ，则f ′(0)＝________. 解析 f ′(x)＝－23－2x －2sin 2x ，所以f ′(0)＝－23. 答案 －236.(2019·全国Ⅰ卷)曲线y ＝3(x 2＋x)e x在点(0，0)处的切线方程为________. 解析 y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x)e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为y ＝3x. 答案 y ＝3x4. 下列说法中正确的判断是__③⑤__． ①f ′(x 0)与[f(x 0)]′表示的意义相同； ②求f ′(x 0)时，可先求f(x 0)再求f ′(x 0)； ③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点； ④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线； ⑤函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2的导数是f(x)＝－1x 2＋1. 【解析】 根据导数概念得③⑤正确． 知识梳理 1. 导数的概念设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，且x 0∈(a ，b)，若Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f(x)在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．若函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x 的变化而变化，因而是自变量x 的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f ′(x)． 2. 导数的几何意义函数y ＝f(x)在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3. 基本初等函数的导数公式4. 导数的运算法则若f ′(x)，g ′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f ′(x)±g ′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）g 2（x ）(g(x)≠0)．5. 复合函数的求导法则(1)一般地，对于两个函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的复合函数，记作y ＝f(g(x))．(2)复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 【活动单】例1 求下列函数的导数： (1)f(x)＝x 2＋x e x ；(2)f(x)＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2； (3)y ＝xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2.解 (1)f ′(x)＝（2x ＋1）e x －（x 2＋x ）e x （e x ）2＝1＋x －x 2e x . (2)由已知f(x)＝x －ln x ＋2x －1x 2.基本初等函数 导函数 f(x)＝C(C 为常数)f ′(x)＝0 f(x)＝x αf ′(x)＝αxα－1f(x)＝sinx f ′(x)＝cosx f(x)＝cosx f ′(x)＝－sinx f(x)＝e x f ′(x)＝e x f(x)＝a x (a>0) f ′(x)＝a x lna f(x)＝lnxf ′(x)＝1x f(x)＝log a x(a>0，且a ≠1)f ′(x)＝1xlna∴f ′(x)＝1－1x －2x 2＋2x 3＝x 3－x 2－2x ＋2x 3. (3)∵y ＝xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12xsin(4x ＋π)＝－12xsin 4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x ＝－12sin 4x －2xcos 4x.例 2 已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足关系式f(x)＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f(1)＝________.解析 因为f(x)＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， ∴f ′(x)＝2x ＋3f ′(2)＋1x .令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，则f ′(2)＝－94. ∴f(1)＝1＋3×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＋0＝－234. 答案 －234练习 (1)(角度1)已知f(x)＝ln 2x －12x ＋1，则f ′(x)＝________.(2)(角度2)(2020·雅礼中学月考)已知函数f(x)的导函数是f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(1)＋ln 1x ，则f(1)＝( ) A.－eB.2C.－2D.e(3)(角度1)(2020·苏南四市联考)已知函数f(x)＝(x 2－a)ln x ，f ′(x)是函数f(x)的导函数，若f ′(1)＝－2，则a ＝________.解析 (1)f ′(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2x －12x ＋1′＝12x －12x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x ＋1′＝2x ＋12x －1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2x －1）′（2x ＋1）－（2x －1）（2x ＋1）′（2x ＋1）2＝44x 2－1.(2)由已知得f ′(x)＝2f ′(1)－1x ，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f(1)＝2f ′(1)＝2.(3)由f(x)＝(x 2－a)ln x ，得f ′(x)＝2xln x ＋x 2－a x . ∴f ′(1)＝1－a ＝－2，解得a ＝3. 答案 (1)44x 2－1 (2)B (3)3例3 (1)(2020·安徽江南十校联考)曲线f(x)＝1－2ln xx 在点P(1，f(1))处的切线l 的方程为( ) A.x ＋y －2＝0B.2x ＋y －3＝0C.3x ＋y ＋2＝0D.3x ＋y －4＝0(2)(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________. 解析 (1)因为f(x)＝1－2ln x x ，所以f ′(x)＝－3＋2ln x x 2. 又f(1)＝1，且f ′(1)＝－3.故所求切线方程为y －1＝－3(x －1)，即3x ＋y －4＝0.(2)设A(m ，n)，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m (x －m). 又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m (m ＋e). 再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1. 故点A 的坐标为(e ，1). 答案 (1)D (2)(e ，1)练习 (1)已知曲线S ：y ＝－23x 3＋x 2＋4x 及点P(0，0)，那么过点P 的曲线S 的切线方程为__y ＝4x 或y ＝358x__．(2)已知函数f(x)＝xlnx ，过点A(－1e 2，0)作函数y ＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为__x ＋y ＋1e 2＝0__．【解析】 (1)设过点P 的切线与曲线S 切于点Q(x 0，y 0)，则过点Q 的曲线S 的切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝－2x 20＋2x 0＋4，又当x 0≠0时，k PQ ＝y 0x 0，∴－2x 2＋2x 0＋4＝y 0x 0. ①∵点Q 在曲线S 上，∴y 0＝－23x 30＋x 20＋4x 0.②将②代入①得－2x 20＋2x 0＋4＝－23x 30＋x 20＋4x 0x 0，化简，得43x 30－x 20＝0，∴x 0＝34或x 0＝0， 当x 0＝34时，则k ＝358，过点P 的切线方程为y ＝358x.当x 0＝0时，则k ＝4，过点P 的切线方程为y ＝4x ，故过点P 的曲线S 的切线方程为y ＝4x 或y＝358x.(2)设切点为T(x 0，y 0)，则k AT ＝f ′(x 0)， ∴x 0lnx 0x 0＋1e 2＝lnx 0＋1，即e 2x 0＋lnx 0＋1＝0. 设h(x)＝e 2x ＋lnx ＋1，则h ′(x)＝e 2＋1x ，当x>0时，h ′(x)>0，∴h(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，∴h(x)＝0最多只有一个根. 又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝e 2×1e 2＋ln 1e 2＋1＝0，∴x 0＝1e 2.由f ′(x 0)＝－1得切线方程是x ＋y ＋1e 2＝0.例4 (1)(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线y ＝ae x＋xln x 在点(1，ae)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( ) A.a ＝e ，b ＝－1 B.a ＝e ，b ＝1 C.a ＝e －1，b ＝1D.a ＝e －1，b ＝－1(2)(2019·南通调研)若曲线y ＝x 2与y ＝aln x(a ≠0)存在公共切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(0，2e]B.(0，e]C.(－∞，0)∪(0，2e]D.(－∞，0)∪(0，e]解析 (1)∵y ′＝ae x＋ln x ＋1，∴k ＝y ′|x ＝1＝ae ＋1， ∴切线方程为y －ae ＝(ae ＋1)(x －1)， 即y ＝(ae ＋1)x －1.又已知切线方程为y ＝2x ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ae ＋1＝2，b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1.(2)设切线在曲线y ＝x 2上的切点坐标为(x 0，x 20)， 则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，切线在y ＝aln x 上的切点为(x 1，aln x 1)， 该切线方程为y ＝ax 1x －a ＋aln x 1 由于两曲线有相同的公切线， 因此ax 1＝2x 0，－x 20＝aln x 1－a ，消去x 0，得a ＝4x 21－4x 21ln x 1，设g(x)＝4x 2－4x 2ln x ，g ′(x)＝4x －8xln x ，得到g(x)在(0，e 12)递增，在(e 12，＋∞)递减，故g(x)最大值为2e. 又x →＋∞时，g(x)→－∞；当x →0时，g(x)→0. 所以a 的取值范围为(－∞，0)∪(0，2e]. 答案 (1)D (2)C 【巩固单】1. 函数在某一点的导数是(C )A. 在该点的函数的增量与自变量的增量之比B. 一个函数C. 一个常数D. 函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率【解析】 选项A ，应该是在该点的函数值的增量与自变量的比的极限，故A 错误．选项B ，由导数的概念可知函数在某一点的导数为一常数，故B 错误，C 正确；选项D ，导数是在这一点到它附近一点之间的瞬时变化率，故D 错误．2. 已知函数f(x)＝axlnx ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x)为f(x)的导函数. 若f ′(1)＝3，则a 的值为__3__．【解析】 ∵f ′(x)＝a(1＋lnx)，∴f ′(1)＝a ＝3.3. 若函数f(x)＝log a x 的图像与直线y ＝13x 相切，则a 的值为(B )A. e e 2B. e 3eC. 5e D. e e4【解析】 设切点(x 0，y 0)，∵f ′(x 0)＝1x 0lna ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝13x 0，y 0＝log a x 0，13＝1x 0lna ，解得x 0＝e ，a ＝e 3e .故选B.4. (1)已知函数f(x)＝ax ＋bx (a ，b ∈R ，b>0)的图像在点P(1，f(1))处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，且函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，那么b 的最大值为__23__．(2)在抛物线f(x)＝12x 2上求一点P ，使点P 到直线 x －y －1＝0的距离最短，则这个最短距离为4．【解析】 (1)函数f(x)的定义域为{x|x ≠0}，f ′(x)＝a －b x 2，由题意知f ′(1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，∴a －b ＝2，∴a ＝b ＋2. 又f ′(x)＝a －bx 2≥0即a ≥b x 2在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，∴a ≥4b ， ∴b ＋2≥4b ，解得b ≤23，即b 的最大值为23.(2)由题知当点P 在与直线x －y －1＝0平行的抛物线的切线上时，点P 到直线的距离最短. ∵f ′(x)＝x ，设点P(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝x 0＝1，∴切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. ∵切点离直线最短，∴最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12－12＝122＝24.5(1)(2020·重庆调研)已知直线y ＝1m 是曲线y ＝xe x 的一条切线，则实数m 的值为( ) A.－1eB.－eC.1eD.e(2)(2020·淄博联考)若函数f(x)＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－6] B.(－∞，－6]∪[2，＋∞) C.[2，＋∞)D.(－∞，－6)∪(2，＋∞)解析 (1)设切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，1m ，由y ＝xe x ，得y ′＝(xe x )′＝e x ＋xe x . 若直线y ＝1m 是曲线y ＝xe x 的一条切线， y ′|x ＝n ＝e n＋ne n＝0，解得n ＝－1， 因此1m ＝ne n＝－1e ，故m ＝－e. (2)直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f(x)上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴f ′(x)＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解， 则a ＝4x ＋1x －2，x>0. 又4x ＋1x ≥24x ·1x ＝4，当仅当x ＝12时取“＝”.∴a ≥4－2＝2. 答案 (1)B (2)C6. 已知函数f(x)＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)若直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f(x)的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线方程． 【解】 (1)由函数f(x)的解析式可知点(2，－6)在曲线y ＝f(x)上，∴f ′(x)＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13， ∴切线的方程为y －(－6)＝13(x －2)， 即y ＝13x －32.(2)(方法1)设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵直线l 过点(0，0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，∴x 0＝－2， ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， f ′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13，故直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．(方法2)设直线l 的方程为y ＝kx ，切点坐标为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0. 又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解得x 0＝－2， ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13，∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵曲线f(x)的某一切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴该切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.故切线方程为y －(－14)＝4(x －1)或y －(－18)＝4(x ＋1)，即y ＝4x －18或y ＝4x －14. 7. 已知函数f(x)＝lnx ，g(x)＝12x 2＋mx ＋72(m<0)，直线l 与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切点为(1，f(1))，则m 等于__－2__． 【解析】 ∵f ′(x)＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f(1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x)＝x ＋m ，设直线l 与g(x)的图像的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m<0，消x 0得m 2－2m －8＝0，解得m ＝－2.【点评】 由导数的定义求函数问题首先要考虑定义域问题，含有参数一般要对参数进行分类讨论．8. 已知某物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，t ≥3，29＋3（t －3）2，0≤t<3 (位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)． (1)求该物体在t ∈[3，5]内的平均速度； (2)求该物体的初速度v 0；(3)求该物体在t ＝1时的瞬时速度．【解】 (1)∵该物体在t ∈[3，5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，该物体在t ∈[3，5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴该物体在t ∈[3，5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)(方法1)求该物体的初速度v 0即求该物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵该物体位移在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝s|t ＝0＋Δt －s|t ＝0Δt ＝29＋3×（0＋Δt －3）2－29－3×（0－3）2Δt＝3Δt －18， 当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt ＝3Δt －18无限趋近于－18，∴该物体的初速度v 0为－18 m/s.(方法2)求该物体的初速度v 0，即求该物体在t ＝0时的瞬时速度，即求该物体在t ＝0时刻的导数．∵s ＝29＋3(t －3)2, ∴s ′＝6t －18，∵s ′(0)＝－18， ∴该物体的初速度v 0为－18 m/s.(3)(方法1)该物体在t ＝1时的瞬时速度即为位移s 在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体的位移在t ＝1附近的平均变化率为ΔsΔt ＝s|t ＝1＋Δt －s|t ＝1Δt＝29＋3×（Δt －2）2－29－3×（1－3）2Δt＝ 3Δt －12，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt ＝3Δt －12无限趋近于 －12，∴该物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.(方法2)该物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数s 在t ＝1处的导数值． ∵s ＝29＋3(t －3)2, ∴s ′＝6t －18，∵s ′(1)＝－12， ∴该物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。
导数的概念及运算(教案)
铭智教育一对一个性化教案学生姓名教师姓名授课日期授课时段课题导数的概念与运算重难点1.导数的概念2.导数的运算3.导数的几何意义教学步骤及教学内知识点梳理1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为f(x2)－f(x1)x2－x1，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，教育要对民族的未来负责教育要对民族的未来负责容切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3． 函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′.4． 基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝__0__ f (x )＝x α (α为实数)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln x f ′(x )＝ 1xf (x )＝tan x f ′(x )＝1cos 2xf (x )＝cot xf ′(x )＝－1sin 2x5. 导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． 6． 复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [难点正本 疑点清源]1． 深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数；(2)函数y ＝f (x )的导函数，是针对某一区间内任意点x 而言的．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内每一教育要对民族的未来负责点x 都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0都对应着一个确定的导数f ′(x 0)．这样就在开区间(a ，b )内构成了一个新函数，就是函数f (x )的导函数f ′(x )．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．2． 曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．1． f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为________．答案 3解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2，∴f ′(－1)＝(－1)2＋2＝3.2. 如图，函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝______. 答案 2解析 如图可知，f (5)＝3，f ′(5)＝－1，因此f (5)＋f ′(5)＝2. 3．已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________. 答案 －2解析 由题意得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)， ∴f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)，∴f ′(2)＝－2.4． 已知点P 在曲线f (x )＝x 4－x 上，曲线在点P 处的切线平行于3x －y ＝0，则点P 的坐标为________．答案 (1,0)解析 由题意知，函数f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线的斜率等于3，即f ′(x 0)＝4x 30－1＝3，∴x 0＝1，将其代入f (x )中可得P (1,0)．5． 曲线f (x )＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________________________．教育要对民族的未来负责答案 y ＝2x ＋1解析 易知点(－1，－1)在曲线上，且f ′(x )＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴切线斜率f ′(－1)＝21＝2.由点斜式得切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.题型一 利用定义求函数的导数例1 利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线与曲线f (x )＝x 3的交点．思维启迪：正确理解导数的定义，理解导数的几何意义是本题的关键． 解 f ′(x 0)＝lim x →x 0f (x )－f (x 0)x －x 0＝lim x →x 0x 3－x 30x －x 0＝lim x →x 0 (x 2＋xx 0＋x 20)＝3x 20.曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为y －x 30＝3x 20·(x －x 0)， 即y ＝3x 20x －2x 30，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3，y ＝3x 20x －2x 30，得(x －x 0)2(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0.若x 0≠0，则交点坐标为(x 0，x 30)，(－2x 0，－8x 30)；若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．探究提高 求函数f (x )的导数步骤： (1)求函数值的增量Δf ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)计算平均变化率Δf Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1； (3)计算导数f ′(x )＝lim Δx →0ΔfΔx. 利用导数的定义，求：(1)f (x )＝1x在x ＝1处的导数；教育要对民族的未来负责(2)f (x )＝1x ＋2的导数．解 (1)∵Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝11＋Δx－1Δx＝1－1＋ΔxΔx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx )Δx 1＋Δx (1＋1＋Δx )＝－ΔxΔx (1＋Δx ＋1＋Δx )＝－11＋Δx ＋1＋Δx ，∴f ′(1)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0－11＋Δx ＋1＋Δx＝－12.(2)∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝1x ＋2＋Δx －1x ＋2Δx＝(x ＋2)－(x ＋2＋Δx )Δx (x ＋2)(x ＋2＋Δx ) ＝－1(x ＋2)(x ＋2＋Δx )， ∴f ′(x )＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0－1(x ＋2)(x ＋2＋Δx )＝－1(x ＋2)2. 题型二 导数的运算 例2 求下列函数的导数：(1)y ＝e x ·ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3； (4)y ＝ln(2x ＋5)．思维启迪：求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导．教育要对民族的未来负责解 (1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x (ln x ＋1x)．(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. (4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ， 因此y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5.探究提高 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．求下列各函数的导数：(1)y ＝11－x ＋11＋x ；(2)y ＝cos 2xsin x ＋cos x ；(3)y ＝(1＋sin x )2； (4)y ＝ln x 2＋1.解 (1)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2.教育要对民族的未来负责(2)∵y ＝cos 2xsin x ＋cos x ＝cos x －sin x ，∴y ′＝－sin x －cos x .(3)设u ＝1＋sin x ，则y ＝(1＋sin x )2， 由y ＝u 2与u ＝1＋sin x 复合而成．因此y ′＝f ′(u )·u ′＝2u ·cos x ＝2cos x (1＋sin x )． (4)y ′＝(lnx 2＋1)′＝1x 2＋1·(x 2＋1)′＝1x 2＋1·12(x 2＋1)－12·(x 2＋1)′＝xx 2＋1. 题型三 导数的几何意义 例3 已知曲线y ＝f (x )＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程．思维启迪：求曲线的切线方程，方法是通过切点坐标，求出切线的斜率，再通过点斜式得切线方程． 解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝f (x )＝13x 3＋43上，且f ′(x )＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为f ′(2)＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝f (x )＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为f ′(x 0)＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，教育要对民族的未来负责∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率为x 20＝1，x 0＝±1. 切点为(－1,1)或⎝⎛⎭⎫1，53， ∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －53＝x －1，即x －y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0.探究提高 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．(2)切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点．已知抛物线y ＝f (x )＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解 ∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴抛物线在点Q (2，－1)处的切线斜率为k ＝f ′(2)＝4a ＋b .∴4a ＋b ＝1.① 又∵点P (1,1)、Q (2，－1)在抛物线上，∴a ＋b ＋c ＝1， ② 4a ＋2b ＋c ＝－1.③联立①②③解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.∴实数a 、b 、c 的值分别为3、－11、9.一审条件挖隐含教育要对民族的未来负责典例：(12分)设函数y ＝x 2－2x ＋2的图像为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图像为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直． (1)求a ，b 之间的关系； (2)求ab 的最大值．C 1与C 2有交点↓(可设C 1与C 2的交点为(x 0，y 0)) 过交点的两切线互相垂直 ↓(切线垂直隐含着斜率间的关系) 两切线的斜率互为负倒数 ↓(导数的几何意义) 利用导数求两切线的斜率： k 1＝2x 0－2，k 2＝－2x 0＋a ↓(等价转换)(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1① ↓(交点(x 0，y 0)适合解析式)⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，即2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0 ② ↓(注意隐含条件方程①②同解) a ＋b ＝52教育要对民族的未来负责↓(消元)ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516 当a ＝54时，ab 最大且最大值为2516.规范解答解 (1)对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，[1分] 对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，[2分] 设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两切线互相垂直． ∴(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1， 即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0① 又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0② 由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.[6分](2)由(1)知：b ＝52－a ，∴ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516.[9分] ∴当a ＝54时，(ab )最大值＝2516.[12分]温馨提醒 审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切入点是两条曲线有交点P (x 0，y 0)，交点处的切线互相垂直，通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.教务处签字：日期：年月日课后评价一、学生对于本次课的评价○特别满意○满意○一般○差二、教师评定1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差作业布置飞.s.5.u.1112百日学案：专题十二飞百1教师留言教师签字：教育要对民族的未来负责家长意见家长签字：日期：年月日教育要对民族的未来负责。
第1课时 导数的概念及其运算(导学案)精华版
第1课时 导数的概念及其运算一、目标要求：1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的概念.3.理解导数的几何意义和物理意义.4.掌握几种常见函数的导数计算公式和导数运算法则.重点：熟练运用导数公式和导数运算法则求函数的导数. 难点：导数概念的理解.二、知识梳理：（P48） 三、主自学习：1.若f (x )=22x 图象上一点(1,2)及附近一点(1+Δx , 2+Δy)，则yx∆∆等于( ) A. 3+2Δx B.4+Δx C.4+2Δx D.3+Δx 2.设函数f (x )可导,则lim(1)(1)3f x f x+∆-∆等于( )A . f ′(1) B. 3f ′(1) C. f ′(1) D. f ′(3)3.（2011·山东卷）曲线y ＝x 3＋11在点P （1,12）处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A.－9 B.－3 C.9 D.154.写出下列函数的导数：（1）y =x 3－6x 2+11x +6，则y ′＝________.； （2）y =x cos x －sin x ，则y ′＝________.； （3）y =log 2x +2a x ,则y ′＝______________.; (4)1xy x =+,则y ′＝________. 5.(2014届珠海一中等六校联考)一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒6.(教材习题改编)f ′(x )是函数f (x )＝x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为 .7.(2014届广东省百所高中高三联考)曲线y ＝x ＋1x 2(x >0)在点(1,2)处的切线方程为 . 1-3CCC 4. (1)3x 2－12x ＋11 (2)－x sin x ；(3)12ln ln 2x a a x + (4)21(1)x + 5.C 6.3 7. 3x ＋y －5＝0四、考点探究:题型一 对导数概念的理解设函数f (x )在x ＝2处可导且f ′(2)＝3，求lim h →0f (2＋2h )－f (2)h的值．若f ′(x 0)＝2，则lim k →0f (x 0－k )－f (x 0)2k的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2题型二 利用导数的定义求导数用导数定义求函数y ＝4x 2的导数．用导数的定义求函数f (x )＝1x的导数．用定义求导的基本步骤：①求函数的增量：Δy ＝f （x ＋Δx ）－f （x ）；②求平均变化率：()()y f x x f x x x∆+∆-=∆∆； ③取极限得导数：0()()'()lim x f x x f x f x x∆→+∆-=∆题型三 导数的基本运算求下列函数的导数：(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (2)y ＝x －sin x 2cos x 2； (3)y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1.求下列函数的导数：(1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)； (2)y ＝cos 2xsin x －cos x； (3)y ＝2x e x ；(4)y ＝3x ln x ； (5)y ＝x2x ＋1.题型四 导数的几何意义()()()()()314.y 1P 2,4;23P 2,4;343.x =+【例4】已知曲线求曲线在点处的切线方程求曲线过点的切线方程求斜率为的曲线的切线方程(1)设曲线y ＝a e x在x ＝0处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.(2)直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.五、课堂检测：1.在平均变化率的定义中,自变量的增量Δx 满足( )A.Δx>0B.Δx<0C.Δx ≠0D.Δx=02.一物体的运动方程是s=3+t 2,则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度为()A.0.41B.3C.4D.4.13.(2010·新课标全国)曲线y=x 3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为( ) A.y=x-1 B.y=-x+1 C.y=2x-2 D.y=-2x+24.已知函数y =f (x )=x 2+1,则在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为（ ）A.0.40B.0.41C.0.43D.0.445. 若曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为2x +y +1=0,则（ ）A.f ′(x 0)>0B.f ′(x 0)=0C.f ′(x 0)<0D.f ′(x 0)不存在6．曲线y ＝x 3的切线中斜率等于1的直线（ ） A ．不存在 B ．存在，有且仅有一条 C ．存在，有且恰有两条 D ．存在，但条数不确定7．设函数f (x )=ax +4,若f ′(1)=2,则a 等于( )A.2B.－2C.3D.不确定8. 曲线y ＝x 2＋3x 在点A （2，10）处的切线的斜率k 是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．79. 已知函数y =f (x )在点(2,1)处的切线与直线3x －y －2=0平行,则y ′|x =2等于（ ）A.－3B.－1C.3D.110. 设函数f (x )=ax 3+3x 2+2,若f ′(－1)=4,试求a 的值.11.曲线f (x )=x 3+x －2在点p 0处的切线平行于直线y =4x －1,求点p 0的坐标。
高中数学导数全章详细教案
高中数学导数全章详细教案一、导数的概念与意义1.1 导数的定义导数表示一个函数在某一点处的变化率，定义如下：$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$1.2 导数的物理意义导数可以表示函数在某一点的切线斜率，也可以表示函数在某一点的速度、加速度等物理量。
1.3 导数的几何意义导数表示函数曲线在某一点的切线斜率，也可以用来描述函数曲线的凹凸性等几何特性。
二、导数的计算方法2.1 导数的基本计算法则- 常数函数的导数为零- 幂函数的导数- 指数函数的导数- 对数函数的导数- 三角函数的导数- 反三角函数的导数2.2 导数的运算法则- 和、差、积函数的导数法则- 商函数的导数法则- 复合函数的导数法则2.3 隐函数求导对含有隐函数的方程两边同时求导，然后解出导数。
2.4 参数方程求导将参数方程表示的函数关系化简为常规函数后再求导。
三、导数的应用3.1 函数的单调性与极值通过导数的符号变化可以判断函数的单调性和极值。
3.2 函数的凹凸性与拐点通过导数的变化可以判断函数的凹凸性和拐点。
3.3 弧长与曲率通过导数可以求解函数曲线的弧长和曲率。
3.4 泰勒公式用导数的信息来近似表示函数的值，通过泰勒公式可以得到较好的近似结果。
四、导数的图像4.1 函数的导数图像通过函数的导数图像可以观察函数的单调性、凹凸性、极值等性质。
4.2 函数曲线的特性通过导数的信息可以画出函数曲线的切线、凹凸性、拐点等特性。
以上是高中数学导数章节的详细教案，希望对学习导数的同学有所帮助。
导数的概念与运算教案
导数的概念与运算教案江苏省海州高级中学 佟成军（222023）一、 教案背景1、面向学生：高中 学科：数学2、课时：13、学生课前准备： （1）记忆导数的概念。
（2）根据课本，自学利用导数的概念进行运算。
二、 教学课题:了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义，能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．通过变式辨析问题的异同，提高对导数的认识，形成导数的一般的应用方法，养成严谨的、辩证的思维习惯。
三、教材分析：了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义，能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．通过变式辨析问题的异同，提高对导数的认识，形成导数的一般的应用方法，养成严谨的、辩证的思维习惯。
【教学目标】 1、知识与技能：（1）了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义．（2）能根据导数定义，求函数y c =，y x =，2y x =，1y x=，y （3）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．2、过程与方法：预习回顾导数的概念、公式、几何意义，对照、比较、归纳解决问题的方法、规律．3、情感态度与价值观：通过变式辨析问题的异同，提高对导数的认识，形成导数的一般的应用方法，养成严谨的、辩证的思维习惯． 【教学重点】导数的运算及导数几何意义的应用． 【教学难点】 导数的切线问题． 【考纲要求】导数的概念（A 级），导数的几何意义（B 级），导数的运算（B 级）． 【考题示例】1、（2007年江苏高考第9题）已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为 （ C ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．322、（2008年江苏高考第8题）直线b x y +=21是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值为 ．ln 21-3、（2009年江苏高考第9题）在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ．(2,15)-y()y f x =()y f x '=1 【考试说明典型题示例】1、（2010年考试说明第59页第16题）设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=． （1）求()f x 的解析式；3()f x x x=-（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =及直线y x =所围成的三角形的面积是一个定值，并求此定值．6设计意图：通过高考题和典型题示例使学生首先感受高考题的考查形式、内容、方法及相应难度，使之明确这部分内容的重点． 【知识梳理】见选修2—2课本第5—27页 1、 导数的概念： 2、 导数的几何意义：3、基本初等函数的导数公式（见学案）4、导数运算法则（见学案）设计意图：使学生能够认识基础的概念在课本上，要重视基础知识的掌握． 6、已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '= ．【自学质疑】 1、函数()f x =00[,]x x x +∆上的平均变化率yx∆=∆ ，在0x x =时的瞬时变化率等于．2、一质点M 的运动方程为21S t =+（位移单位：m ，时间单位：s ），则质点M 在2 s 到2t +∆s 的平均速度st∆=∆ ，质点M 在2 s 时的速度2|t S ='= ．4x +∆m/s ，4 m/s 3、（1）2(log )x '= ；（2）(3)x'= ；（3）(cos )x '-= ； （4）(sin 2)x '= ．4、函数233x y x +=-+在3x =处的导数为 ．23-5、已知函数()y f x =在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= ． 变式：如图，已知函数()y f x =及其导函数()y f x '= 的图象，则在点(1,0)P 处的切线方程_____． 链接：选修课本2—2第26页第12题．（对数学符号、图象语言的准确理解、转化、把握） 6、已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '= ．追问：(1)f '的含义及作用，采用了什么方法（赋值法）？还可以求()f x '，强调把握数学符号． 7、点P 在曲线312y x x =-+上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 ．变式：在函数38y x x =-图象上，其切线倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点个数为 . （导数的几何意义与直线斜率以及倾斜角的关系，关注逆向问题的差异性，注意） 8、设曲线ln(21)y x =-上点到直线230x y -+=距离为d ，则min d = . 变式：设曲线ln(21)y x =-上点到直线270x y --=距离为d ，则min d = . （提示：曲线ln(21)y x =-与直线270x y --=相交，故min 0d =.能够应用数形结合的思想，并注意解题过程的监控）设计意图：使学生能够熟悉概念、公式，变式是为了对照比较问题的异同演变． 【学习过程】例1、求下列函数在0x x =处导数． （1）230()cos sin cos ,3f x x x x x π=⋅+=；（2）20()sin(12cos ),246x x f x x π=--=；（3）0()2x xf x x ==；（4）3202ln (),1x x xf x x x+==．设计意图：使学生熟悉求导公式应用的同时，能够体会解本题时的步骤合理性——应该是先化简，后求导，再代入，即将问题的形式尽可能转化到我们熟悉的形式，能够直接应用形成的公式、结论，不要再去重复课本上已经做过的工作．以期培养学生求简优化的解题意识． （回溯到自学质疑6） 例2、已知曲线31433y x =+． （1）求曲线在点(2,4)P 处的切线方程；（2）求曲线过点(2,4)P 的切线方程； （3）求满足斜率为4的曲线的切线方程．我们所做的都是点在曲线上的题目，若点不在曲线上如何求解？ 变式1：求曲线过点(0,4)R -的切线方程． 变式2：若直线44y x =-与曲线313y x b =+相切，则实数b 的值为_____________.设计意图：原题是点(2,4)P 在曲线上，而变式1中点(0,4)R -不在曲线上.其实无论点是否在曲线上，都要能够意识到：要求切线，先找切点．使学生熟悉导数的几何意义，能够求曲线的不同条件下的切线问题，变式更是为了对照比较后能够更好地理解掌握求切线问题的一般方法及步骤：一般地，若曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线为y kx b =+，则满足00000,(),().y kx b y f x k f x =+⎧⎪=⎨⎪'=⎩即切点处于核心枢纽的地位，是一点三位的.（本题是具体函数的切线问题，可以回溯到自学质疑5及其变式，研究抽象函数的的切线问题，进而再到自学质疑8及其变式，关注导数几何意义的应用）例3、向底面半径与高相等的圆锥形容器中注水，速度为39cm /s π，在水面高度为10cm 时，水面上升的速度为 .变式：若以n 立方厘米/秒的速度向一底面半径为r 厘米，高为h 厘米的倒立圆锥容器内注水，求在注水t 秒时，水面上升的速率． 变式的演绎（一般到特殊）：选修课本2—2第40页第3题． 设计意图：本例是导数的求导公式的应用问题. 【巩固检测】1、已知32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a = ．2、曲线2ln xx x y e e=-在点2x =处的切线斜率为 ．3、过原点作曲线xy e =的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ．4、设点P是曲线32y x =+上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 ．5、已知直线21y x =+与曲线3y x x b =-+相切，则b 的值为 ．6、曲线32y x x =+-在点A 处的切线平行于直线4y x =，则点A 的坐标是 ． 7、设010()sin ,()()f x x f x f x '==，211()(),,()()n n f x f x f x f x +''== ，则2009()f x = . 8、已知函数()()sin cos 2f x f x x π'=+，则()4f π= ．9、水波的半径以50cm/s 的速度向外扩张，当半径为250cm 时，圆面积的膨胀率是 .10、已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为 ． 11、已知函数32()(,)f x x ax b a b =-++∈R ，若曲线[])1,0)((∈=x x f y 在其上任意一点处的切线的斜率均在区间[]1,0内，试求a 的取值范围.12、已知0a >，曲线33y x a =-在11(0)x x x =>处的切线为l . （1）求l 的方程；（2）设l 与x 轴的交点为2(,0)x ，求证：①2x a ≥；②若1x a >，则21x x <.设计意图：巩固本节课所学内容. 【目标反思】设计意图：新课程的理念下，教师不是教教材，而是用教材教，新课程突出了教师在课程建设中的重要作用。
第1课时 导数的概念及其运算(导学案)精华版
2 求曲线过点P 2, 4 的切线方程; 3 求斜率为4的曲线的切线方程.
[分析]求曲线的切线方程的方法是通过切点坐标,求出切线的 斜率,再通过点斜式得切线方程.
1 4 [解] 1 P 2, 4 在曲线y x3 上, 3 3 且y x 2 , 在点P 2, 4 处的切线的斜率k y |x 2 4. 曲线在点P 2, 4 处的切线方程为y 4 4 x 2 , 即4x y 4 0. 1 3 4 2 设曲线y x 3 3 与过点P 2, 4 的切线相切于点 1 3 4 A x0 , x0 , 3 3 2 则切线的斜率k y |x x 0 x 0 .
Δx→0
A. f′(1)
1 C. f′(1) 3
B. 3f′(1)
3x
等于(
)
D. f′(3)
选C.因为f(x)可导，
f (1 x) f (1) lim 所以 x 0 3x 1 f (1 x) f (1) 1 lim g ' (1) x 0 3 x 3
4 切点为 2, 4 或 2, , 3 4 切线方程为y 4 4 x 2 或y 4( x 2), 3 即4x y 4 0或12x 3y 20 0.
(1)设曲线 y＝aex 在 x＝0 处的切线与直线 x＋2y＋1＝0 垂 直，则实数 a＝________. 1 (2)直线 y＝2x＋b 是曲线 y＝ln x(x>0)的一条切线，则实 数 b＝________.
2 1 0,
x 0 1 x 0 2 0, 解得x 0 1或x 0 2,
2
故所求的切线方程为4x y 4 0或x y 2 0.
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§3.1 导数的概念及其运算2014高考会这样考 1.利用导数的几何意义求切线方程；2.考查导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导．复习备考要这样做 1.理解导数的意义，熟练掌握导数公式和求导法则；2.灵活进行复合函数的求导；3.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程．1． 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.2． 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 学&科&(1)定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3． 函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′.4． 基本初等函数的导数公式5. (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． 6． 复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [难点正本 疑点清源]1． 深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数；(2)函数y ＝f (x )的导函数，是针对某一区间内任意点x 而言的．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内每一点x 都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0都对应着一个确定的导数f ′(x 0)．这样就在开区间(a ，b )内构成了一个新函数，就是函数f (x )的导函数f ′(x )．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．2． 曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．1． f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为________．答案 3解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2，∴f ′(－1)＝(－1)2＋2＝3.2. 如图，函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝______. 答案 2解析 如图可知，f (5)＝3，f ′(5)＝－1，因此f (5)＋f ′(5)＝2. 3．已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________. 答案 －2解析 由题意得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)， ∴f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)，∴f ′(2)＝－2.4． 已知点P 在曲线f (x )＝x 4－x 上，曲线在点P 处的切线平行于3x －y ＝0，则点P 的坐标为________． 答案 (1,0)解析 由题意知，函数f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线的斜率等于3，即f ′(x 0)＝4x 30－1＝3，∴x 0＝1，将其代入f (x )中可得P (1,0)．5． 曲线f (x )＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________________________．答案 y ＝2x ＋1解析 易知点(－1，－1)在曲线上，且f ′(x )＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴切线斜率f ′(－1)＝21＝2. 由点斜式得切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.题型一 利用定义求函数的导数例1 利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线与曲线f (x )＝x 3的交点．思维启迪：正确理解导数的定义，理解导数的几何意义是本题的关键．解 f ′(x 0)＝lim x →x 0f (x )－f (x 0)x －x 0＝lim x →x 0x 3－x 30x －x 0＝lim x →x 0(x 2＋xx 0＋x 20)＝3x 20.曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为y －x 30＝3x 20·(x －x 0)， 即y ＝3x 20x －2x 30，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3，y ＝3x 20x －2x 30，得(x －x 0)2(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0.若x 0≠0，则交点坐标为(x 0，x 30)，(－2x 0，－8x 30)；若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．探究提高 求函数f (x )的导数步骤： (1)求函数值的增量Δf ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)计算平均变化率Δf Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1；(3)计算导数f ′(x )＝lim Δx →ΔfΔx. 利用导数的定义，求：(1)f (x )＝1x在x ＝1处的导数； (2)f (x )＝1x ＋2的导数．解 (1)∵Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝11＋Δx －1Δx＝1－1＋ΔxΔx1＋Δx ＝1－(1＋Δx )Δx 1＋Δx (1＋1＋Δx ) ＝－ΔxΔx (1＋Δx ＋1＋Δx )＝－11＋Δx ＋1＋Δx，∴f ′(1)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0－11＋Δx ＋1＋Δx ＝－12.(2)∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝1x ＋2＋Δx －1x ＋2Δx＝(x ＋2)－(x ＋2＋Δx )Δx (x ＋2)(x ＋2＋Δx )＝－1(x ＋2)(x ＋2＋Δx )，∴f ′(x )＝lim Δx →Δy Δx＝lim Δx →－1(x ＋2)(x ＋2＋Δx )＝－1(x ＋2)2. 题型二 导数的运算 例2 求下列函数的导数：(1)y ＝e x ·ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3； (4)y ＝ln(2x ＋5)．思维启迪：求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导． 学科解 (1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x (ln x ＋1x)．(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 Z.xx.k ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. (4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，因此y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. 探究提高 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．求下列各函数的导数：(1)y ＝11－x ＋11＋x ；(2)y ＝cos 2xsin x ＋cos x ；(3)y ＝(1＋sin x )2； (4)y ＝ln x 2＋1.解 (1)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2. (2)∵y ＝cos 2x sin x ＋cos x ＝cos x －sin x ，∴y ′＝－sin x －cos x .(3)设u ＝1＋sin x ，则y ＝(1＋sin x )2， 由y ＝u 2与u ＝1＋sin x 复合而成．因此y ′＝f ′(u )·u ′＝2u ·cos x ＝2cos x (1＋sin x )． (4)y ′＝(lnx 2＋1)′＝1x 2＋1·(x 2＋1)′＝1x 2＋1·12(x 2＋1)－12·(x 2＋1)′＝x x 2＋1. 题型三 导数的几何意义例3 已知曲线y ＝f (x )＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程．思维启迪：求曲线的切线方程，方法是通过切点坐标，求出切线的斜率，再通过点斜式得切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝f (x )＝13x 3＋43上，且f ′(x )＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为f ′(2)＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝f (x )＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为f ′(x 0)＝x 20.∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率为x 20＝1，x 0＝±1. 切点为(－1,1)或⎝⎛⎭⎫1，53， ∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －53＝x －1，即x －y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0.探究提高 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．(2)切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点．已知抛物线y ＝f (x )＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解 ∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴抛物线在点Q (2，－1)处的切线斜率为k ＝f ′(2)＝4a ＋b .∴4a ＋b ＝1.① 又∵点P (1,1)、Q (2，－1)在抛物线上，∴a ＋b ＋c ＝1， ② 4a ＋2b ＋c ＝－1.③联立①②③解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.∴实数a 、b 、c 的值分别为3、－11、9.一审条件挖隐含学*科*网Z*X*X*K]典例：(12分)设函数y ＝x 2－2x ＋2的图像为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图像为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直． (1)求a ，b 之间的关系； (2)求ab 的最大值．C 1与C 2有交点↓(可设C 1与C 2的交点为(x 0，y 0)) 过交点的两切线互相垂直↓(切线垂直隐含着斜率间的关系) Z_xx_k 两切线的斜率互为负倒数 ↓(导数的几何意义) 利用导数求两切线的斜率： k 1＝2x 0－2，k 2＝－2x 0＋a ↓(等价转换)(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1① ↓(交点(x 0，y 0)适合解析式)⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，即2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0 ② ↓(注意隐含条件方程①②同解) a ＋b ＝52↓(消元)ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516 当a ＝54时，ab 最大且最大值为2516.规范解答解 (1)对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，[1分] 对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，[2分] 设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两切线互相垂直． ∴(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1， 即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0① 又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0② 由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.[6分](2)由(1)知：b ＝52－a ，∴ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516.[9分] ∴当a ＝54时，(ab )最大值＝2516.[12分]温馨提醒 审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切入点是两条曲线有交点P (x 0，y 0)，交点处的切线互相垂直，通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.方法与技巧 ZXXK]1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意f ′(x 0)与(f (x 0))′是不一样的，f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值，不一定为0；而(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误． 失误与防范1．利用导数定义求导数时，要注意到x 与Δx 的区别，这里的x 是常量，Δx 是变量． 2．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．3．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．4．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0 答案 B解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2. 2． 已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( )A ．e 2B ．e C. D ．ln 2 答案 B解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1， 由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.3． 若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0答案 A解析 切线l 的斜率k ＝4，设y ＝x 4的切点的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝4x 30＝4，∴x 0＝1，∴切点为(1,1)，即y －1＝4(x －1)，整理得l 的方程为4x －y －3＝0. 4． (2011·大纲全国)曲线y ＝f (x )＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23D ．1答案 A解析 ∵f ′(x )＝－2e －2x ， k ＝f ′(0)＝－2e 0＝－2， ∴切线方程为y －2＝－2(x －0)，即y ＝－2x ＋2.如图，∵y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点坐标为(23，23)，y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标为(1,0)，∴S ＝12×1×23＝13.二、填空题(每小题5分，共15分) Z §xx §k 5． 若以曲线y ＝13x 3＋bx 2＋4x ＋c (c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b 的取值范围为__________． 答案 [－2,2]解析 y ′＝x 2＋2bx ＋4，∵y ′≥0恒成立， ∴Δ＝4b 2－16≤0，∴－2≤b ≤2.6． 设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝________. 答案 － 2解析 因为f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ， 所以f ′(x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2cos x －sin x ， 所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝f ′⎝⎛⎭⎫π2cos π2－sin π2， 即f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ， 故f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 7． 已知函数f (x )，g (x )满足f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(x )＝1，则函数y ＝f (x )＋2g (x )的图像在x ＝5处的切线方程为____________． 答案 5x －16y ＋3＝0 解析 由y ＝f (x )＋2g (x )＝h (x )知y ′＝h ′(x )＝f ′(x )g (x )－(f (x )＋2)g ′(x )g 2(x )，得h ′(5)＝f ′(5)g (5)－(f (5)＋2)g ′(5)g 2(5)＝3×4－(5＋2)×142＝516.又h (5)＝f (5)＋2g (5)＝5＋24＝74，所以切线方程为y －74＝516(x －5)，即5x －16y ＋3＝0. 三、解答题(共22分)8． (10分)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限． (1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， ∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.9． (12分)已知函数f (x )＝x 在x ＝14处的切线为l ，直线g (x )＝kx ＋94与l 平行，求f (x )的图像上的点到直线g (x )的最短距离． 解 因为f (x )＝x ，所以f ′(x )＝12x . 所以切线l 的斜率为k ＝f ′⎝⎛⎭⎫14＝1，切点为T ⎝⎛⎭⎫14，12.所以切线l 的方程为x －y ＋14＝0. ZXXK]因为切线l 与直线g (x )＝kx ＋94平行，所以k ＝1，即g (x )＝x ＋94.f (x )的图像上的点到直线g (x )＝x ＋94的最短距离为切线l ：x －y ＋14＝0与直线x －y ＋94＝0之间的距离，所以所求最短距离为⎪⎪⎪⎪94－142＝ 2.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分) Z,xx,k 1． 若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的大致图像是( )答案 A解析 ∵f (x )＝x 2＋bx ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b24＋c ， 由f (x )的图像的顶点在第四象限得－b2>0，∴b <0.又f ′(x )＝2x ＋b ，斜率为正，纵截距为负，故选A.2． (2011·湖南)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12B.12C ．－22D.22答案 B解析 ∵y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－(cos x －sin x )sin x(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2.∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为12. 3． 已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，π4 B.⎣⎡⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4D.⎣⎡⎭⎫3π4，π答案 D解析 设曲线在点P 处的切线斜率为k ， 则k ＝y ′＝－4e x(e x ＋1)2＝－4e x ＋1e x ＋2.因为e x >0，所以由基本不等式可得 k ≥－42e x·1ex ＋2＝－1.又k <0，所以－1≤k <0，即－1≤tan α<0. 所以3π4≤α<π.故选D.二、填空题(每小题5分，共15分)4． 若函数f (x )＝－13x 3＋12f ′(1)x 2－f ′(2)x ＋5，则曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线l 的方程为________． 答案 x －y ＋5＝0解析 f ′(x )＝－x 2＋f ′(1)·x －f ′(2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋f ′(1)－f ′(2)f ′(2)＝－4＋2f ′(1)－f ′(2)， ∴f ′(2)＝－1，f ′(1)＝1.∴f (x )＝－13x 3＋12x 2＋x ＋5，f ′(x )＝－x 2＋x ＋1.∴f ′(0)＝1，f (0)＝5.∴曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x ＋5.5. 已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________． 答案 x －y －2＝0解析 根据导数的几何意义及图像可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)， 所以切线方程为x －y －2＝0.6． 曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1，x ∈[1,2]上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫32，134解析 设P (x 0，x 20＋1)，x ∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 20＋1)＝2x 0(x －x 0)，令y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1＝g (x )，由g (1)＋g (2)＝2(x 20＋1)＋2x 0(1－x 0＋2－x 0)， 得S 普通梯形＝g (1)＋g (2)2×1＝－x 20＋3x 0＋1 ＝－⎝⎛⎭⎫x 0－322＋134， 所以当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，134时，S 普通梯形最大． 三、解答题7． (13分)设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.。