3.1 导数的概念及其运算导学案

§3.1 导数的概念及其运算

2014高考会这样考 1.利用导数的几何意义求切线方程；2.考查导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导．

复习备考要这样做 1.理解导数的意义，熟练掌握导数公式和求导法则；2.灵活进行复合函数的求导；3.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程．

1． 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率

函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平

均变化率可表示为Δy

Δx

.

2． 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 学&科&

(1)定义

称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →

f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 Δy

Δx 为函数y ＝f (x )在x

＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx →

Δy

Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx

. (2)几何意义

函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3． 函数f (x )的导函数

称函数f ′(x )＝lim Δx →

f (x ＋Δx )－f (x )

Δx

为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′.

4． 基本初等函数的导数公式

5. (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡

⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )

g 2(x )

(g (x )≠0)． 6． 复合函数的导数

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [难点正本 疑点清源]

1． 深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系

(1)函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数；

(2)函数y ＝f (x )的导函数，是针对某一区间内任意点x 而言的．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内每一点x 都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0都对应着一个确定的导数f ′(x 0)．这样就在开区间(a ，b )内构成了一个新函数，就是函数f (x )的导函数f ′(x )．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．

2． 曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系

(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．

(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不

是切点，而且这样的直线可能有多条．

1． f ′(x )是函数f (x )＝1

3

x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为________．

答案 3

解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2，∴f ′(－1)＝(－1)2＋2＝3.

2. 如图，函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则

f (5)＋f ′(5)＝______. 答案 2

解析 如图可知，f (5)＝3，f ′(5)＝－1，因此f (5)＋f ′(5)＝2. 3．已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________. 答案 －2

解析 由题意得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)， ∴f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)，∴f ′(2)＝－2.

4． 已知点P 在曲线f (x )＝x 4－x 上，曲线在点P 处的切线平行于3x －y ＝0，则点P 的坐标

为________． 答案 (1,0)

解析 由题意知，函数f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线的斜率等于3，即f ′(x 0)＝4x 3

0－1＝3，

∴x 0＝1，将其代入f (x )中可得P (1,0)．

5． 曲线f (x )＝x x ＋2

在点(－1，－1)处的切线方程为________________________．

答案 y ＝2x ＋1

解析 易知点(－1，－1)在曲线上，且f ′(x )＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2

(x ＋2)

2

，∴切线斜率f ′(－1)＝21

＝2. 由点斜式得切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.

题型一 利用定义求函数的导数

例1 利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切

线与曲线f (x )＝x 3的交点．

思维启迪：正确理解导数的定义，理解导数的几何意义是本题的关键．

解 f ′(x 0)＝lim x →x 0

f (x )－f (x 0)x －x 0

＝lim x →x 0

x 3－x 30x －x 0

＝lim x →x 0

(x 2＋xx 0＋x 20)＝3x 2

0.

曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为

y －x 30＝3x 20·

(x －x 0)， 即y ＝3x 20x －2x 30，由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝x 3，y ＝3x 20x －2x 3

0，

得(x －x 0)2(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0.

若x 0≠0，则交点坐标为(x 0，x 30)，(－2x 0，－8x 3

0)；若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．

探究提高 求函数f (x )的导数步骤： (1)求函数值的增量Δf ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)计算平均变化率Δf Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1；

(3)计算导数f ′(x )＝lim Δx →

Δf

Δx

. 利用导数的定义，求：

(1)f (x )＝

1

x

在x ＝1处的导数； (2)f (x )＝1

x ＋2

的导数．

解 (1)∵Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)

Δx ＝

1

1＋Δx －1Δx

＝1－1＋Δx

Δx

1＋Δx ＝1－(1＋Δx )Δx 1＋Δx (1＋

1＋Δx ) ＝

－Δx

Δx (

1＋Δx ＋1＋Δx )＝

－1

1＋Δx ＋1＋Δx

，