平面解析几何中几种求最值的方法
解析几何中的定点、定值与最值问题解法揭秘
定值 问题 ，通过特殊探索法不但能够确定出定点、定 值 ，还可 以为我们提供解题 的线索．
例 １ 已知抛物线 ｙ＝ｐ （ ＞ ）问 ： ． ￣Ｚｘｐ Ｏ ， 在轴 的正半 轴
上是否存在一点 。 使得过 Ｍ点 的抛 物线 的任 意一 条 弦 Ｐ 都有 Ｐ０ ２ （ １尸 Ｄ为坐标原点 ）请说明理 由． ＝ ？
题 ．从 而找到解决 问题 的突破 Ｅ． ，有许 多定 点 、 １ 另外
直线 Ａ Ｐ的方程 为 ， ｊ （＋）令 ｘ ２ ／ ， ｙ ， ＝ ｘ ２， ＝ 、 ２ 则 ＝
高中 ２１ ０ ２年第 ’嬲
数攀有数
，
ｘｏ ｚ ＋ ５
即 Ｅ２ （
，
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蔚 ・ ＝华 （
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１ １
明若满 足题设条 件 的点 存在 ， 其坐标 只能是 （ ，
参数表示 ， 然后计算出所需结果与该参数无关 ： 也可 将变动元 素置于特殊状态下 探求 出定点 、定值 ，然 后给 以证 明． 注意的是 ，解 析几何 中的定 点 、定 值得
值问题与一般几何证明不同 ．它 的结论中没有确定 的
二
分析 ： 这是一道 与探索性相结合的定点 问题 ． 过 通 阅读题意我们发现几个关 键词 ：正半轴 ” “ “ ，任意一 条 弦” 抛物线 ｙ＝ｐ （＞ ） ， ＝Ｚｘ ｐ ０ 的开 口向右 ， 先假设 满足 题 设 条件的点 存在 ， 并求 出 的坐标 ， 然后证 明过 点的任意一条直 弦 ＰＰ 都有 ／ＰＯ ２ 也就是先 证 ｌ２ － ，Ｐ＝＂ Ｉ Ｔ，
ｘ ＃－
０ ， ＰＰ是过点 （ ０ 的任意一条弦 ， ）设 Ｉ ２ ２ ） ｐ， 其斜率为 ｋ ， 则 Ｐ 的 方 程 为 ｙ ｋ（ 一 ） 代 入 ＝ ｐ ＝ ， ｚ 得 Ｊ 一 】 ｝
高中数学平面解析几何的常见题型及解答方法
高中数学平面解析几何的常见题型及解答方法在高中数学学习中，平面解析几何是一个重要的内容，也是考试中的重点。
平面解析几何主要研究平面上的点、直线、圆等几何图形的性质和关系，通过坐标系和代数方法进行分析和解决问题。
下面我们将介绍一些常见的平面解析几何题型及解答方法，希望能给同学们提供一些帮助。
一、直线方程的求解直线方程的求解是平面解析几何中的基础内容。
常见的题型有已知直线上的两点，求直线方程；已知直线的斜率和一点，求直线方程等。
这里我们以已知直线上的两点，求直线方程为例进行说明。
例如，已知直线上的两点为A(2,3)和B(4,5)，求直线方程。
解题思路：设直线的方程为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
根据已知条件，我们可以列出方程组：3 = 2k + b5 = 4k + b解方程组，得到k和b的值，从而得到直线方程。
解题步骤：1.将方程组改写为矩阵形式：| 2 1 | | k | | 3 || 4 1 | | b | = | 5 |2.利用矩阵的逆运算，求出k和b的值。
3.将k和b的值代入直线方程y = kx + b，即可得到直线方程。
通过这个例子，我们可以看到求解直线方程的方法是通过已知条件列方程组，然后通过矩阵运算求解出未知数的值，最后将值代入直线方程得到结果。
二、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是平面解析几何中的一个重要内容。
常见的题型有直线与圆的切线问题、直线与圆的交点问题等。
这里我们以直线与圆的切线问题为例进行说明。
例如，已知圆的方程为x^2 + y^2 = 4，直线的方程为y = 2x - 1，求直线与圆的切点坐标。
解题思路：首先，我们需要确定直线与圆是否有交点。
当直线与圆有交点时，我们可以通过求解方程组得到交点坐标。
当直线与圆没有交点时，我们需要判断直线与圆的位置关系，进而确定是否有切点。
解题步骤：1.将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
2.求解二次方程，得到x的值。
解析几何求解技巧
解析几何求解技巧解析几何是高等数学的重要分支之一，它主要研究几何图形的性质和相关问题的解法。
解析几何的求解技巧是解决几何问题的关键，下面将介绍几种常用的解析几何求解技巧。
一、坐标法：坐标法是解析几何中最常见的求解技巧。
它利用坐标系和坐标代数的方法，通过确定几何图形上的点的坐标，将几何问题转化为代数方程的求解问题。
具体的求解步骤可以概括为：1. 建立坐标系。
根据题目所给条件，确定适当的坐标系，并选择合适的单位长度。
2. 确定几何图形上的点的坐标。
根据题目所给条件，推导出几何图形上点的坐标关系。
可以运用平面几何中的基本性质和定理，通过代数方法求解。
3. 转化为代数方程。
根据几何图形的性质和定理，将几何问题转化为代数方程的求解问题。
这一步骤需要灵活应用代数方程的解法技巧。
4. 求解代数方程。
根据所得的代数方程，运用代数解法将方程求解。
5. 检验结果。
将求得的解代入原方程中，验证是否满足题目所给条件。
如果满足，即为几何问题的解；如果不满足，需重新检查求解过程。
二、向量法：向量法是解析几何中另一种常用的求解技巧。
它运用向量的概念和运算，通过向量的相等、垂直、平行等性质，推导出几何图形和问题的解法。
具体的求解步骤可以概括为：1. 确定坐标系和向量的表示。
建立适当的坐标系，确定向量的表示方法。
常用的表示方法有坐标表示法、定点表示法和参数表示法等。
2. 利用向量的性质和运算推导条件。
根据题目所给条件，利用向量的性质和运算，推导出几何图形上的条件和关系。
3. 利用向量之间的关系求解。
根据所得的几何图形上的条件，利用向量的关系，运用向量的加减、数量积、向量积等运算进行求解。
4. 检验结果。
将求得的解代入原方程中，验证是否满足题目所给条件。
如果满足，即为几何问题的解；如果不满足，需重新检查求解过程。
三、分析法：分析法是解析几何中辅助性的求解技巧。
它通过对几何图形的分析，将几何问题转化为具有明确几何意义的问题，并通过几何性质和定理的应用，求解问题。
解析几何十一种方法
解析几何11种方法解析几何是数学的一个重要分支，它使用代数方法来研究几何对象。
以下是11种解析几何的方法：1.坐标法：这是解析几何中最基本的方法，通过引入坐标系，将几何问题转化为代数问题，进而通过代数运算解决几何问题。
2.参数法：当某些几何量（如距离、角度等）不容易直接求出时，可以引入参数，将问题转化为参数的求解问题。
3.向量法：向量是解析几何中的重要工具，它可以表示点、方向、速度等几何概念，通过向量的运算可以方便地解决许多几何问题。
4.极坐标法：在平面几何中，除了直角坐标系外，还可以使用极坐标系。
通过极坐标，可以方便地表示点和线的方程，并解决相关问题。
5.复数法：复数在解析几何中也有广泛应用，例如在解决圆的方程时，可以通过复数的方法简化计算。
6.三角法：在解析几何中，三角函数是重要的工具，它可以用来表示角度、长度等几何量，并解决相关问题。
7.面积法：在解决几何问题时，有时可以通过计算面积来找到解决方案，例如在解决三角形问题时。
8.解析法：通过解析几何的方法，可以将几何问题转化为代数问题，进而通过代数运算解决几何问题。
9.代数法：代数法是解析几何中的一种重要方法，通过代数运算和代数方程的求解，可以解决许多几何问题。
10.对称法：在解析几何中，有时可以通过观察图形的对称性来找到解决方案，例如在解决关于对称点、对称线的问题时。
11.数形结合法：数形结合是解析几何中的一种重要思想，通过将代数与几何相结合，可以更方便地解决许多问题。
以上就是解析几何的11种方法。
需要注意的是，每种方法都有其适用的范围和局限性，需要根据具体的问题选择合适的方法来解决。
高考解析几何常见题型
1、最值问题：:设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF的最大值和最小值; （Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.:已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．求四边形ABCD 的面积的最小值．:已知椭圆C :2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值. 设F 是抛物线G :x 2=4y 的焦点.（Ⅰ）过点P （0，-4）作抛物线G 的切线，求切线方程：（Ⅱ）设A 、B 为势物线G 上异于原点的两点，且满足0·=FB FA ,延长AF 、BF 分别交抛物线G 于点C ,D ，求四边形ABCD 面积的最小值.2、存在性问题：已知向量()OA = ，O 是坐标原点，动点M 满足：6OM OA OM OA ++-= ①求点M 的轨迹C 的方程②是否存在直线()P 0,2l 过点与轨迹C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由。
在平面直角坐标系中，已知A 1（−3，0）、A 2（3，0）、P （x ，y ）、M （92-x ，0），若实数λ使向量P A 1、λ、P A 2满足λ2·()2=A 1·A 2（Ⅰ）求P 点的轨迹方程，并判断P 点的轨迹是怎样的曲线；（Ⅱ）当λ=33时，过点A 1且斜率为1的直线与（Ⅰ）中的曲线相交的另一点为B ，能否在直线x =−9上找一点C ，使△A 1BC 为正三角形．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在第二象限、半径为的圆C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． (1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ + 与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由3、取值范围问题：已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3(（Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.如图，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4，0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |+|F 2B |=10，椭圆上不同的两点A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)满足条件：|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列.(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC 中点的横坐标；(3)设弦AC 的垂直平分线的方程为y =kx +m ，求m 的取值范围.4、定值问题：已知直线l 过椭圆E:2222x y +=的右焦点F ，且与E 相交于,P Q 两点.① 设1()2OR OP OQ =+ （O 为原点），求点R 的轨迹方程；②若直线l 的倾斜角为060，证明11||||PF QF +为定值. 已知动点M 到两个定点12(3,0),(3,0)F F -的距离之和为10，A 、B 是动点M 轨迹C 上的任意两点. （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）若原点O 满足条件AO OB λ= ，点P 是C 上不与A 、B 重合的一点，如果PA 、PB 的斜率都存在，问PA PBk k ⋅是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由。
解析几何中范围和最值问题的解法研究
．
ｌ Ｏ
’ 、
由 Ｄ在 ＡＢ上 ， ￣ ＇ ｌ ｆ Ｘ ｏ ＋２ ｋ ｘ ｏ ＝２ ， 得 知 一
所 以 一 一 １ ０
，
题意 Ｙ ， Ｙ ２ 不 同时为 ０ ，
’
． ．
上述条件等价 于 Ｙ 一 ２ ∞ｚ ； 一ｚ ； ∞（ １ ＋ ） （ ｚ ｌ ｚ ≠ｚ ２ ， ． ． 上述条件等价 于 ｚ １ ＋ ２ － － ０ ．
设 ＡＢ的中点 Ｎ 的坐标为（ Ｘ ｏ ， ｙ ｏ ） ， 则
Ｘ ｏ 一
】 ，
（ ｘｌ 十 ２ ） 一 一百 ， Ｙ ｏ 一 一 Ｘ Ｏ 十 ｍ・
．
、
］
】
．
由Ｎ Ｅ ｌ ， 得 志＋ 一 一 寺＋ ６ ， 于 是６ 一 素＋ 优 ・
・
。 ＞一１
．
３ ２ ． ６ ＞ 熹一 １ 一 ，
。
间 的等量关 系实现 变量之 间的相互 转化 ， 从 而构造 关于 未知变量 的不等式 ， 即可求变量 的取值 范围或最 值．
这就是说 ， 可 以用 函数 的观点 、 方程 的观点 、 不 等式
的方程 分别 为 ｚ＋２ ｙ ＝２ ， 一尼 ｚ ） ．
即得 ｚ 在 Ｙ轴 上截距 的取值 范围是（ ， ＋。 。 ） ．
评析 ： 第（ ２ ） 题解 法 的 实质 是 建立 关 于纵截 距 ｂ的
函数 ， 从 而将 问题 转 化 为 求 函数 的值 域 ．
即相 应变量之间的等量关系与不等量关系． 若将 变量间的等量关系看 成 函数 关系 ， 则 可 以将 等 量关 系式转换成 函数关系式 ， 然后 可 以用求 函数 的值 域
一
、
故 ＝－ －Ｘ ｌ －
《解几》中最值问题的求法
解三：利用椭圆的参数方程求解 ） （ 设椭圆上 高中数学《 平面解析几何》以下简称（ 几》 的 ； 程 ： ：ｓ０ ：５ ３ ） （ 懈 ） 参锄 为１ ３ｎ则 Ａｃ ｓ ， ！ ｉ ｖ （ｓ ｉ 。 中的最值问题是《 考纲》 要求学生掌握的一个 比较 Ｂ ｃ ａ，ｉ ，‘ Ｉ８ （ｏ ｓａ） ｌ ＝ ５ ｓ ３ｎ 满足条件的点为尸２ｏＱ√ ｎｚ， （ｃｓ ，３ｉｏ 则有目 ｓ ） 标函 繁难的问题 ， 此类问题由于难点比较集中， 对学生 ｓ ＝ ＋ ＝ ８ｅ １ ８ Ａ × ｌ］ ×１ Ｉ ｙ Ｙ 数： ４ｏａ ３ｉ￣１。 ｌ ＝ ｃ ＋（ ｃ ） 朋ｌ ｓ ｓ 一 ｎ 的能力要求比较高， 学生往往感到解这类题疑难 ３处理幻 盘 芍 讲习题； 几》中的最值问题主 （ 獬 １（ｎ ｌ ％１ ２ｓ ａｌ ｓ ） ］ ＋ｉ 。 ｉ ｎ 重重。下面就这一问题求解时教师需要处理好的 要是考查学生的综合应用能力，这类问题由于难 由椭圆的参数方程离心角的几何意义： 峨 点 比 ｓ 几个方面写出， 以供磋商。 较集中， 导致学生往往难以完整作答 ， 因而教 １处理好解题思想 ： 几》是一门几何代数 １］ ａＩ］ ａ『 ２ｉａ— ｉ 日 又’ ｋ， 师在选讲 习题时可 以分步 （ ） ， （ 獬 ２ｓ ｓ Ｂ ［ ｚ ｓ ｎｌ ｋ （ｎ ＋ ｉ ＝１ｓ ｉ ｎ ｎ ｎ Ｍ＝ 题 设问 将问题难点 ３ｉ ￣ ｓｎａ Ｙ Ａ ３ ｉ ｏＢ ｓｎ ｔ 学科 ， 几何问题用代数方法来求解。 即 给定平面上 Ｙ Ｂ 分散， 步步深入 ， 让学生在解答过程中能够拾阶而 ＋— ——一 — ＋ — ５ｃ ｓ— ４ Ｘ ——’— ｏ ａ￣＋ ４ 一 —ｃｏ ａ — ４ ５ ｓ— ｘ ￣ ４ ＋ 的一条曲线，根据所建立的坐标系不同及所选择 ｅ Ａ 上， 逐步（ ） 题 获得解答。 例如在求解例 ２ 前可先提 ｓ ｚ ｓ ￣ ｌ５ｓ （ ｎ ｎ 的参量不同，—条曲线对应的方程可以有三种不 即 ； ３ｉａ ＝ ３ｉａ ，１ ｎ 一。 ） ｉ 一 出下面问题让学生求解。 ５ｃ ＋ ５Ｃ ｏｓ ４ ＯＳ ｎ ＋ ４ 一 一 同的形式 ：普通方程；． ａ ｂ 参数方程；极坐标方程 。 。 ３ 求函数 ｙ ｃ ＋ （ｎ —） ． １ ＝４ ｓｘ ３ｉ １ ｏ ｓ ｘ 钧最大值。 ４ ｓ ｅ－ｓ ａ ＝ ｓ ％ 一 ａ ＝ （ｉ ｎａ ｉ ） ｝＿ ｎ ｍ ａ － Ｄ， ￣ａ 因而 ， 懈 几》 解答（ 中的最值问题 ， 以考虑三种不 可 ３ 求函数 ｙ Ｉ ＋ｓ ， （ ） ． ２ ： ＿ ｉ ∈ ０ 的最小 ｎ ， ｓｎ ｉ ｘ Ｚ △ 啦 ２ ｓ ｎ ｎ） １， ｎ （ａ １ ｉ ｎ ｌ ） 同的解题思想 ： １ 。利用普通方程求解 ； ２ 。利用参 ｓ ＝１ ｌ （ 一 口＜ ５ △Ｂｍｘ ５ 值。 数方程求解 ； ３ 。利用极坐标方程求解 。 解四（用 坐 方 求 考 更 般睛 ： 极 标 程 解）虑 一 莉 ４处理好解题方法 ： 学阶段学习， 中 求函数的 即椭 ＞０ ， 例 １过椭圆 ｃ ． ＋—－ ： ： ｙ ：１的左焦点 Ｆ 作 形 ， 圆方程为： ＋ ：１ ＞ｂ ） 。 设 Ａｐ，） ｐ，＋７ （ｂ ＜丌 （ ， 日 ａ ０＜ （ ｒ ｚ ｚ ） 最值方法灵活多样，常用的主要方法有 １ 。 利用二 ）０ ： 贝有 直线交椭圆于 Ａ 两点， 以右焦点 Ｆ 和 ＡＢ ， Ｂ 求 ，为 次函数求最值法；。 ２利用二次方程根的判别式法； 顶点的三角形 Ａ Ｆ 的面积的最大值。 Ｂ 啦＝ 幽 Ｓ ｆ＝÷ ２ｌ ３ 利用三角函数有界性法 ；。 五 ＋ ａｅ ｌ １ Ｉ ０ ￣ ｉ ５ ｓ ＋ 。 Ａ ｉ ｎ ４ 利用不等式法；。 ５利 解一 ：利用普通方程求解 ） （ 设直线 Ａ Ｂ方程： 用 函数的单调性法 ；。 ６ 数形结合法（ 包括根 的分布 去 ｌ ｓ（一） （Ａ Ｂｓ ０ Ｉ ｌ 丌 ＝ＣＰ ＋Ｐ）ｎ ｌ ｉ Ｂ ｎ ｉ ｙ （ ＋４ 不妨设 ｋ＞０则 ： ＝ｋｘ ）（ ） 法） ｏ ； 利用定 比分点定义法 ；。 ７ ８利用求反函数定 ｅ ｐ ＋ － ｚ－ － － ｒ－ ）ｉ Ｔ ｘ ｓ ｎ０＝ 义域法 ； 利用 （ ９ 。 两点的斜率公式） 直线的斜率或 Ｃ：ｘ ＋２ ｙ ９ ５ ＝ ９ ５ 。 ’ 截距有范围 ； ￣ 法 ｌ 利用导数求函数最值法等。 Ｏ ２ｅ ｎ ： ｃｐ ｉＯ ｓ ＝ 垄翌 ＜ ： ＋ ２ ｘｌ ｋ 一 ９ ５ ６。 ｘ２ ＝ ０ （ ） ５ Ａ １ ｅ ＋— ｎ ０ － ２ ｅｓ ２ ２ｉ 卜 ｎ ｓ 一 ４ －ｚｚ 口 ２（ ｅｅ １ ） 解（ ）利用二次函数求最值法） １（
63第九章 平面解析几何 高考专题突破五 第1课时 范围、最值问题
第1课时 范围、最值问题
内容索引
NEIRONGSUOYIN
题型分类 深度剖析 课时作业
1 题型分类 深度剖析
PART ONE
师生共研
题型一 范围问题
例 1 (2016·天津)设椭圆ax22＋y32＝1(a> 3)的右焦点为 F，右顶点为 A.已知|O1F|＋ |O1A|＝|F3Ae|，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率.
3
2 4
y02 4x0
3
2.
因为 x20＋y420＝1(－1≤x0<0)，
所以 y20－4x0＝－4x20－4x0＋4∈[4,5]，
所以△PAB 面积的取值范围是6 2，15410.
多维探究
题型二 最值问题
命题点1 利用三角函数有界性求最值
例2 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，
A.[4,5]
√B.[7,8]
C.[6,7]
D.[5,6]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
16.已知椭圆 C1： mx＋2 4－yn2＝1 与双曲线 C2：xm2＋yn2＝1 有相同的焦点， 求椭圆 C1 的离心率 e1 的取值范围.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
跟踪训练1 (2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C： y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上. (1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
证明 设 P(x0，y0)，A41y21，y1，B41y22，y2. 因为PA，PB的中点在抛物线上， 所以 y1，y2 为方程y＋2y02＝4·14y22＋x0， 即 y2－2y0y＋8x0－y20＝0 的两个不同的实根. 所以y1＋y2＝2y0，所以PM垂直于y轴.
高中数学：几何最值问题求法
高中数学：几何最值问题求法最值问题是平面解析几何中的一个既典型又综合的问题．求最值常见的方法有两种：代数法和几何法．若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．若题目条件和结论能明显体现某种函数关系，则可先建立目标函数，再求函数的最值，这就是代数法．一、几何法利用平面几何性质求解最值问题，这种解法若运用得当，往往显得非常简洁明快．例1、已知P（x,y）是圆上的一点，求的最大值与最小值。
分析：，于是问题就可以转化为在以A（2，0）为圆心，以为半径的圆上求点P，使它与原点连线的斜率为最大或最小。
由示意图可知，当OP与此圆相切时，其斜率达到最大值或最小值。
由OA=2，AP1=AP2=，且AP1⊥OP1，AP2⊥OP2，OP1=OP2=1，且∠AOP1=∠AOP2=60°，得。
二、代数法用代数法求最值常用的方法有以下几种：1、利用判别式法求最值、利用此法求最值时，必须同时求得变量的范围，因为方程有解，Δ≥0所指的是在（）范围内方程有解，这一点应切记．例2、（同例1）分析：设，将y=kx代入圆方程得。
x为实数，方程有解，，解得，故。
即。
2、利用二次函数性质求最值．用此法求最值时，必须注意变量的取值范围．例3、已知椭圆及点P（0，5），求点P到椭圆上点的距离的最大值与最小值．分析：以（0，5）为圆心，若内切于椭圆的圆半径为r1，则r1为点P到椭圆上点的距离的最小值；若外切于椭圆的圆半径为r2，则r2为点P到椭圆上点的距离的最大值．因，故点P（0，5）在椭圆内部．设以（0，5）为圆心的圆方程为，与椭圆方程联立消去x2，得。
当时，，即；当y=7时，，即。
注：这里将距离的最大值、最小值的探求转化为半径r的函数，利用函数的性质求得定义域内的最大值、最小值．值得注意的是因为r的定义域的限制，这里不适合利用判别式法．3、利用基本不等式求最值．利用基本不等式求最值时，必须注意应用基本不等式的条件，特别要注意等号的条件以及“和”（或“积”）是不是常数，若连续应用不等式，那么要特别注意同时取等号的条件是否存在．若存在，有最值；若不存在，无最值．例4、过点A（1，4）作一直线，它在两坐标轴上的截距都为正数，且其和为最小，求这条直线的方程．分析：可用截距式设所求直线方程为。
高中数学必备解析几何中的平面直线方程求解技巧
高中数学必备解析几何中的平面直线方程求解技巧解析几何是高中数学中的重要一部分，其中求解平面直线方程是一个基础而且实用的技巧。
本文将介绍几种常见的方法，帮助读者掌握平面直线方程求解技巧。
一、点斜式点斜式是求解平面直线方程最常用的方法之一。
它的基本思想是通过已知直线上的一点和直线的斜率来确定直线方程。
考虑一个已知直线L，假设通过直线上一点P(x₁, y₁)，且直线L的斜率为k。
我们可以使用点斜式方程y - y₁ = k(x - x₁)来求解直线L的方程。
该方法简单直观，适用于已知一点和斜率的情况。
对于其他情况，我们可以通过已知两点求斜率，然后套用点斜式方程来求解直线方程。
二、截距式截距式是另一种常用的求解平面直线方程的方法。
它的基本思想是通过直线在坐标轴上的截距来确定直线方程。
考虑一个已知直线L，假设它与x轴相交于点A(a, 0)，与y轴相交于点B(0, b)。
我们可以使用截距式方程x/a + y/b = 1来求解直线L的方程。
该方法适用于已知直线在坐标轴上的截距的情况。
如果我们已知直线通过两点，则可以利用截距公式推导出直线的截距，并进而求解直线方程。
三、法线式法线式是一种特殊的直线方程形式，它的基本思想是通过已知直线上一点P(x₁, y₁)以及直线的法线斜率来确定直线方程。
考虑一个已知直线L，假设通过直线上一点P(x₁, y₁)，且直线的法线斜率为k。
我们可以使用法线式方程y - y₁ = -1/k(x - x₁)来求解直线L的方程。
法线式方程的求解方法类似于点斜式，只是斜率取其相反数的倒数。
通过已知点和法线斜率，我们可以轻松地求解直线方程。
四、两直线交点式当我们在解析几何中遇到两条直线相交且已知交点坐标时，可以使用两直线交点式来求解直线方程。
设已知直线L₁过点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，直线L₂过点C(x₃,y₃)和D(x₄, y₄)。
我们可以使用两直线交点式(y - y₁)/(x - x₁) = (y₃ -y₄)/(x₃ - x₄)来求解直线方程。
高中数学解题方法系列：解析几何中常见的最值求法
高中数学解题方法系列：解析几何中常见的最值求法最值问题是数学高考的热点，也是解析几何综合问题的重要内容之一。
圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点，它融解析几何、函数、不等式等知识为一体，是综合试题考查的核心，对解题者有着相当高的能力要求，但其解法仍然有章可循，有法可依。
解析几何求最值常见类型之一是直接根据题意，利用几何关系或代数特征的几何意义求最值。
另一种类型是先根据条件列出所求目标的函数关系式，转化为前一类型或根据函数关系式的特征选用函数法、不等式法等求出它的最值。
本文从几个例子介绍解析几何最值问题的几种常见类型和方法。
一、结合“几何意义”求最值（一）两线段距离的最值问题这是圆锥曲线最值问题的基本方法，根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等问题来解。
例如：已知点F1，F2是双曲线的左右焦点，点A（1，4），P是双曲线右支上动点，则│PF1│+│PA│的最小值是多少。
解析：根据双曲线的定义，建立点A，P与两焦点之间的关系，发现两点之间线段最短。
即│PF1│+│PA│=│PF1│-│PF2│+│PA│+│PF2│=2a+│PA│+│PF2│≥4+│AF2│=9。
（二）特定代数式的最值问题因为一些数学概念如斜率、截距、两点距离等有特别的代数结构特征，可以根据这些表达式特征把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、直线的截距或直线的斜率等问题来解。
例如：已知实数x，y满足方程x2-6x+y2+6=0。
求①的最大值；②y-x最小值；③x2+（y+2）2的最小值。
解析：①因为的几何意义是圆x2-6x+y2+6=0上的点（x，y）与定点（-1，0）连线的斜率，由数形结合算得最大值为。
②令y-x=b的几何意义是与圆x2-6x+y2+6=0有交点的平行直线系y=x+b在y轴上的截距，数形结合算得最小值为-3-。
③x2+（y+2）2的几何意义是圆x2-6x+y2+6=0上的点到定点（0，-2）的距离，数形结合算得最小值是-。
平面解析几何的计算方法
平面解析几何的计算方法在数学学科中，解析几何是研究平面或空间中点、线、面等几何对象的位置、相互关系和运动规律的一门学科。
平面解析几何是解析几何的一个重要分支，主要研究平面中点、直线、圆等几何对象的性质和计算方法。
本文将介绍平面解析几何的计算方法，包括点与直线的位置关系、直线的方程以及直线与圆的交点计算方法等内容。
一、点与直线的位置关系在平面解析几何中，研究点与直线的位置关系是一个基础问题。
对于给定的平面上的点P(x1, y1)和直线L：ax+by+c=0，可以通过以下方法判断点与直线的位置关系：1. 计算点到直线的距离直线L的一般方程为ax+by+c=0，根据点到直线的距离公式，点P(x1, y1)到直线L的距离d可以表示为：d = |ax1 + by1 + c| / √(a^2 + b^2)2. 判断点在直线的上方或下方根据直线的一般方程ax+by+c=0，将点P(x1, y1)的坐标代入方程中，计算出该值，如果结果大于0，则点P在直线的上方；如果结果小于0，则点P在直线的下方。
3. 判断点在直线的左侧或右侧根据直线的一般方程ax+by+c=0，将点P(x1, y1)的坐标代入方程中，计算出该值，如果结果大于0，则点P在直线的左侧；如果结果小于0，则点P在直线的右侧。
二、直线的方程在平面解析几何中，直线的方程有多种表示形式，常用的有一般方程、点斜式和斜截式。
1. 一般方程直线的一般方程为ax+by+c=0，其中a、b、c为常数，a和b不同时为0。
根据给定的直线上的两个点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，通过这两点构成的直线的一般方程可以表示为：(x1 - x2)y + (y2 - y1)x + (x2y1 - x1y2) = 02. 点斜式直线的点斜式为y - y1 = k(x - x1)，其中(x1, y1)为直线上的一点，k为直线的斜率。
根据给定的直线上的一点P(x1, y1)和直线的斜率k，可以得到直线的点斜式。
破解高中数学中的平面解析几何问题的解题技巧
破解高中数学中的平面解析几何问题的解题技巧解析几何是高中数学的一部分，也是较难掌握的数学分支之一。
在解析几何中，平面解析几何问题是其中的重要组成部分。
为了帮助同学们更好地掌握平面解析几何的解题技巧，本文将介绍一些实用的方法和技巧。
一、建立坐标系在解决平面解析几何问题之前，首先要建立坐标系。
选择一个合适的坐标系有助于简化解题过程，减少冗余计算。
通常，我们可以选择直角坐标系或极坐标系，具体选择取决于问题的特点。
对于直角坐标系，可以将问题中涉及到的点坐标表示为(x, y)的形式，从而将几何问题转化为代数问题。
对于极坐标系，可以通过引入极坐标参数来分析问题，有时候更具优势。
建立坐标系之后，我们就可以根据题目的要求选择合适的方法来解决问题了。
二、利用性质和定理在平面解析几何中，有许多性质和定理可以应用于解题过程中。
熟练掌握这些定理和性质是解决问题的关键。
1. 距离公式：根据两点的坐标，可以用距离公式计算它们之间的距离。
对于直角坐标系，距离公式为：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)。
对于极坐标系，距离公式为：d = √(r1² + r2² - 2r1r2cos(θ2 - θ1))。
2. 中点公式：根据两点的坐标，可以求得它们连线的中点坐标。
对于直角坐标系，中点公式为：(x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)。
3. 斜率公式：根据两点的坐标，可以求得它们连线的斜率。
对于直角坐标系，斜率公式为：斜率k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
但需要注意的是，当(x2 - x1)为0时，斜率不存在或为无穷大。
4. 直线方程：利用点斜式或两点式可以得到直线的方程。
点斜式：y - y1 = k(x - x1)；两点式：(y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
5. 圆的方程：根据圆心和半径的坐标可以得到圆的方程。
解析几何中的一些最值问题
OCCUPATION2011 7162解析几何中的一些最值问题文/王海滔最值问题遍及中学数学的代数、三角、立体几何及解析几何等学科内的各个分支，在生产实践当中广泛应用，解析几何中的最值问题也是历届各类考试的热点。
如何利用相关的数学方法，运用数形结合的思想解决这类问题，来提高学生分析问题和解决问题的能力，为进一步学好高等数学中的最值问题打下基础，是中学数学复习中不可忽视的问题。
下面，笔者结合具体的例子，对解析几何中的最值问题介绍几种解答方法。
一、利用对称性求最值（动点在直线上）动点在直线上求最值，解决的办法是把折线问题转化成直线问题，利用平面内两点间直线段最短的公理，或利用两点间距离公式求出线段长的最值。
【例1】已知点P 在x 轴上运动，A (-2，2），B （1，3）（1）则│P A │+│PB │的最小值为多少？分析：作出A 点关于x 轴的对称点A'(-2，2），那么│P A │+│PB │=│P A'│+│PB │，利用三角形两边之和大于第三边，可得：│P A'│+│PB │≥│A'B │，当且仅当A'，P ，B 三点共线时取得最小值│A'B（2）则│PB │-│P A 分析：此题不用找对称点，利用三角形两边之差小于第三边，只要延长BA 交x 轴于P ，│PB │-│PA │此时得到的最大值为│BA小结：当动点在直线上时，（1）求线段长之和的最小值时，若定点是异侧，则两定点距离即为最小值。
若是同侧，作对称点即可解决。
（2）求线段长之差的最大值时，若定点是同侧，则两定点距离即为最大值。
若是异侧，就利用对称性，转化到同侧，也可解决。
二、利用圆锥曲线的定义求最值（动点在圆锥曲线上）动点在圆锥曲线上求最值，解决方法是先利用圆锥曲线定义对所求的问题进行转化，再利用平面内两点间直线段最短的公理，或利用点到直线的距离为垂线段最短，求出最值。
【例2】已知F 是抛物线y 2=4x 的焦点，A （４，２），点P 是该抛物线上的一个动点，试求│PF │+│P A │的最小值为______。
解析几何中的最值问题
x6 是动点（x, y）与 定点(6,12)两点连 线的斜率
x y 36 （x 0）
2 2
y
P(6,12)
o
A(0,6)
x
解法小结：数形结合法
y 12 1 、 已知实数x, y满足 x 36 y 0, 则 3 x6 6 4 的最大值为 _______, 2 x y的最大值为 ________ 。
x
x y 例3.设实数x，y满足 1 16 9 12 2 ， 则3x 4 y的最大值是 ______
12 2 . 最小值是 _______
2
2
y
O
x
解1 ：换元法。 设x 4 cos , y 3 sin , 则
知识迁移
若将椭圆换成 双曲线、抛物线 又如何进行换元 呢？
3x 4 y 12(cos sin )
方法：数形结合法
Q1
| AF 1 | 16
7,
.
Y
.
F
O
. .
A
| QF | 。
X
F1
总结规律：延长线段AF1(F1为另一焦点）与 椭圆的交点Q就是所求的点。AQ过另一焦点F1！
Q
例3备
知识迁移
x2 y2 1的右焦点，P是其上一点，定点B(2,1). 变 F是 25 9 17 式 5 | PB | | PQ | 4 题 则 | PB | | PF | 的最小值 _______; 4 37 10 37 最大值 10 | PB | | PF | 的最小值 ________, _______
几何法、换元法
3 表示点P (cos , sin )与A( ,2)连线斜率的一半. 2 3 2 2 即圆x y 1上点与A( ,2)连线斜率的一半. 2 y A 3 设切线方程y 2 k ( x ), 2 圆心O(0,0）到切线的距离等于半径1 可解得 k 12 2 21 , k 12 2 21 O 5 5 x
解析几何中求距离最值问题的方法与策略
解析几何中求距离最值问题的方法与策略作者：洪其强来源：《广东教育·高中》2013年第10期关于解析几何中的距离的最值问题，是我们在高考复习中经常遇到的一种题型，它有时以函数最值的形式出现，有时直接以解析几何题的形式出现，对于这种题型的处理方法，如果得当，就会达到事半功倍的效果.本文以几个例题来谈谈有关这种题型的最佳解决方法.一、直线上一点到两已知点的距离的最值问题1. 同侧求差取最大，直接连接找交点.例1. 设有两点P（3，x）、Q（2，y），其中x+y=2，且x、 y∈R+，求P、Q到原点O的距离之差的最大值，并求取得最大值时的x和y 的值.分析：由题意可知=|OP|-|OQ|= - = - ，即在x轴上求一点M（x，0），使它到点A（0，3）和点B（2，2）距离的差取得最大值 .又A、B两点都在x轴的同侧，为此，连接AB并延长使之交x轴于一点，易证该点即是所求的点M，从而AB的长就是所求的最大值.解析：由分析易得|OP|-|OQ|的最大值为|AB|= ，此时直线AB的方程为y=- x+3.令y=0得x=6即所求的x=6，y=-4.2. 异侧求差取最大，找出对称直接连.例2. 在直线l∶3x-y-1=0上求一点M使它到点A（4，1）和点B（0，4）的距离的差最大.分析：由题意可知A、B两点分别在直线l的两侧，故设B（0，4）点关于直线l∶3x-y-1=0的对称点为B′，易求得B′（3，3），连接AB′并延长交于l一点，易证该点即是所求的点M.解析：由分析易得|MA|-|MB|的最大值为|AB′|= ，此时直线AB′的方程为y=-2x+9.由3x-y-1=0，y=-2x+9？圯x=2，y=5，故所求M点为（2，5）.3. 异侧求和取最小，直接连接找交点.例3. 求函数f（x）= + 的最小值.分析： f（x）= += + 表示动点P（x，0）到定点A（-3，3），B（5，-1）的距离之和，而A、B两点分别位于x轴的上下两侧，由此连接AB交x轴于一点，易证该点即是所求的P点.解析：由题意及分析易得直线AB的方程为y=- x+ ，令y=0得x=3即所求的P点为（3，0）.4. 同侧求和取最小，找出对称直接连.例4. 在直线l∶x-y+9=0上任取一点P，又知M（-3，0），N（3，0），试问P点在何处时|PM|+|PN|取得最小值？解析：由题意可知M（-3，0），N（3，0）在直线l同侧，要使|PM|+|PN|取得最小值.设M（-3，0）点关于直线l∶x-y+9=0的对称点为M′，易求得M′（-9，6），连接M′N并延长交l于一点，易证该点即是所求的点P. 又直线M′N的方程为y=- x+ ，即x+2y-3=0.由x-y+9=0，x+2y-3=0，得x=-5，y=4，即所求P点位置为（-5，4）.点评：由上可知，上述问题可用如下口诀给予解决：同侧求差取最大，直接连接找交点；异侧求差取最大，找出对称直接连；异侧求和取最小，直接连接找交点；同侧求和取最小，找出对称直接连.二、利用数形结合求距离的最值问题例5. 设m≥1，求坐标平面上两点A（m+ ，m-），B（1，0）之间距离的最小值.分析：此题若直接用距离公式求解，比较麻烦. 如果从轨迹图形入手，最简捷.先将动点的轨迹求出来，将动点与定点的距离最值问题转化为定点与轨迹上的点的距离的最值问题.解析：A不是动点吗？那么A的轨迹是什么？这是十分自然的联想，由x=m+ ，y=m- 可知，A点的轨迹方程为x2-y2=4，绘出如上图所示的双曲线的一支，立即可以看出，|AB|的最小值为1 .三、将两个动点转化为只有一个动点例6. 如图，设P为圆（x-3）2+y2=1上的动点，Q为抛物线y2=x上的动点，求|PQ|的最小值.分析：利用圆上动点到圆心的距离等于常数的特点，将圆的动点转化为圆心定点，从而两个动点的距离最值问题，就转化为一个动点到一个定点的距离的最值问题.本题P，Q两点都是动点，如果设这两个点的坐标来求，显然非常困难. 这就需要把这两个变量转化为一个变量来处理. P点在圆上运动，但P点到圆心M（3，0）的距离是定值，利用这个定值来解决.解析：设Q（y2，y），则|QM|2=（y2-3）2+y2=y4-5y2+9=（y2- ）2+ ≥ .取等号当且仅当y=± .故|PQ|的最小值为 -1.四、利用圆锥曲线的定义将折线段转化为直线段来求距离的最值问题例7. 已知椭圆 + =1内有一点P（1，-1），F为椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M，使得|MP|+2|MF|取得最小值.分析：利用圆锥曲线的定义将折线段转化为直线段来求最值.解析：a2=4，b2=3，c2=1即F（1，0）. 由M向右准线作垂线，垂足为N，则 = = .即|MN|=2|MF|.故|MP|+2|MF|=|MP|+|MN|.显然当M，P，N共线时，|MP|+|MN|最小，由 + =1，得x=±，因为x>0，所以M（，-1）.（作者单位：贵州省龙里中学）责任编校徐国坚。
解析几何最值问题
对于旋转体等特殊图形，可利用相应公式和不等式求解； 对于一般图形，可通过变量替换和不等式等方法转化为更 易处理的问题。
条件面积（体积）最值
在给定条件下求平面图形或空间图形的面积（体积）最值， 常结合不等式和等式约束条件进行求解。
05
典型案例分析
平面曲线最值问题案例
案例一
01
求点到直线的最短距离
案例二
02
求两圆之间的最短距离
案例三
03
求椭圆上一点到直线的最大距离
空间曲线最值问题案例
案例一
求空间一点到直线的最短距离
案例二
求空间一点到平面的最短距离
案例三
求空间两异面直线之间的最短距离
曲面最值问题案例
案例一
求曲面上一点到平面的最短距离
案例二
求曲面上两点之间的最短距离
案例三
求曲面上的最值点坐标
06
总结与展望
研究成果总结
解析几何最值问题的基本理论和 方法的梳理和归纳，包括最值问 题的定义、性质、求解方法等。
针对不同类型的解析几何最值问 题，提出了相应的求解策略和方 法，如线性规划、二次规划、动
态规划等。
通过实例分析和数值计算，验证 了所提方法的有效性和实用性， 为解决实际问题提供了有力支持。
THANKS
感谢观看
04
解析几何在最值问题中的应用
曲线与曲面的最值问题
曲线上的最值点
通过求导找到曲线的极值点，比 较各极值点和端点的函数值来确
定最值。
曲面的最值点
对于二元函数表示的曲面，分别 求偏导数并令其为零，解方程组 得到可能的极值点，进一步判断
最值。
条件极值
在给定条件下求曲线或曲面的最 值，常用拉格朗日乘数法。
运用两点间的距离公式求最值
运用两点间的距离公式求最值-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1运用两点间的距离公式求最值两点间的距离公式是平面解析几何中最基本的公式．根据题设条件，构设点的坐标，利用两点间的距离公式，数与形相结合，可以使一些代数问题得到直观、形象、简捷、合理的解答．现就两点间的距离公式在求最值中的应用举例说明．一、求函数的最值例１求函数224131026y x x x x=-++-+的最小值．分析：本题含有两个根式，切不可把两个无理式的最小值的和作为函数y的最小值，因为这两个根式各自的最小值是在不同的x处取得的．如果从代数的角度考虑，其解答将会比较繁琐，仔细观察式子的结构，改变式子的表示形式：2222(2)(03)(5)(01)y x x=-+-+-++，易联想到两点间的距离公式，从而将代数问题转化为几何问题来解决．解：如图1，在平面直角坐标系内，设点Ｍ（2，3），(51)N-，，(0)P x，．则2222(2)(03)(5)(01)y x x=-+-+-++MP PN MN=+≥22(52)(13)5=-+--=即y≥5（其中等号在Ｍ，Ｐ，Ｎ三点共线时成立），∴min 5y=．评注：此题若用纯代数知识求解，则比较麻烦，但联想到利用两点间的距离公式，就会茅塞顿开．例2 求函数22222222()(1)(1)(1)(1)f x y x y x y x y x y=++-+++-+-+-，的最小值．分析：式子中出现了四个根式、两个变量，且根式中皆为平方和的形式，联想两点间的距离公式，则可简化解答过程．解：如图2，()f x y，表示在平面直角坐标系中的动点()P x y，到定点(00)A，，(10)B，，(01)C，，(11)D，的距离之和．而APD△中，PA PD AD+≥，当且仅当点P在线段AD上时等号成立；CPB△中，PC PB BC+≥，当且仅当点P在线段BC上时等号成立，所以PA PD PC PB AD BC ++++=≥Ｐ为AD 与BC 的交点时， f（x ，y ）取得最小值，此时点P 的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭． 二、求距离的平方和的最值例3 已知点(21)A ，，(22)B ，，点00()P x y ，满足y =2x ，求22PA PB +取得最小值时点P 的坐标．分析：利用两点间距离公式将22PA PB +表示为()f x y ，的形式，再消元得一个关于x （或y ）的二次函数，最后求值．解：由已知点00()P x y ，满足002y x =，结合两点间的距离公式，得 2222220000(2)(1)(2)(2)PA PB x y x y +=-+-+-+-220000288265x x y y =-++-+2200002888625x x x x =-++-⨯+200102013x x =-+ 2010(1)3x =-+，当01x =时，22PA PB +取得最小值3，此时点P 的坐标为（1，2）．评注：对于几何中的平方和的最值问题，常是先由两点间的距离公式建立二元函数()f x y ，，然后通过消元转化为关于x （或y ）的函数f （x ）（或f （y ）），再求解． 一般地，对于根式内能化成两个完全平方式之和的问题，均可借助于两点间的距离公式，利用数形结合的思想来解决，这也是这类题型解法的创新之处．以上仅介绍了两点间的距离公式在求最值中的应用，而两点间的距离公式的应用是十分广泛的，随着学习的深入，它在其他方面的应用将会逐渐展现求函数的最值1．已知P (－2, －2), Q (0, 1), R (2, m )，若|PR |+|RQ |最小，则m 的值为（A ）21 （B ）0 （C ）－1 （D ）－34 2．已知A (8, 6), B (2, －2)，在直线3x －y +2=0上有点P ，可使|PA |+|PB |最小，则点P 坐标为（A ）(2, 0) （B ）(－4, －10) （C ）(－10, －4) （D ）(0, 2)3．已知点A (1, 3), B (5, －2)，在x 轴上取点P ，使||PA |－|PB ||最大，则点P 坐标为 .4．函数y 的最小值为 .5求函数y＝x2－2x＋2＋x2－4x＋8的最小值．。
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解题方法与技巧
平面解析几何中几种求最值的方法
） 甘肃会宁县第二中学 （ ７ ３ ０ ７ ０ ０ 吴国顺
一般先根据条件中 解平面解析几何中的最 值 问 题 ， 然后根据函数关系式的 列出的所求目标函数的关系 式 ， 特征选用判别式法 、 不等式的 性 质 以 及 数 形 结 合 等 方 法 求出它的最大值和最小值 ． 一、 判别式法求最值 数学解题中判别式是一 种 重 要 的 角 色 ， 当解析几何 判别式就能发挥其特殊 的量可转化为二次方程问题 时 ， 作用 ． 【 】 例１ 过 点 Ｍ（ １， ２） 如 图 １， ， 、 作直线 Ｌ Ｌ 与 ｘ 轴 ｙ 轴 的 正 半 轴 当 △Ａ 的交点为 Ａ 、 Ｂ． Ｏ Ｂ 的 面 积Ｓ 为最小值时 ， 求直线 Ｌ 的方程 ． 解： 设直线 Ｌ 的方程为ｙ－２＝ ）， 则 Ａ、 ｋ（ ｘ－１ Ｂ 的坐标分别为（ １ ２ ） １ （ － ， ０， ０， ２－ ｋ） ． Ｓ△ＡＯＢ ＝ （ ２－ ｋ ２ 图１
Ｏ Ａ x Ｌ Ｂ y （ 1,2） Ｍ
９ １ ２ 即得所求点 Ｍ （ ， ） ． ５ ５ 三、 应用圆锥曲线的定义及性质求最值 圆锥曲线 的 定 义 刻 画 了 动 点 与 定 点 （ 或 定 直 线） 距 应 用 这 些 定 量 关 系， 可以将动态问 离之 间 的 定 量 关 系， 题置于静态来考虑 ， 使问题迅速获解 ． 【 例 ３】 Ｐ 是抛物 如 图 ３， 线ｙ２ ＝ｘ 上 的 点 ， Ｆ 是该抛物线 的焦点 ， 求点 Ｐ 到Ｆ 与点Ｐ 到 ） 距离之和的最小值 ． Ａ（ ３， －１ 解： Ｌ 为抛 物 线 ｙ２ ＝ｘ 的 准 线． 作Ａ 交抛物线于 Ｂ⊥Ｌ 于 Ｂ ， 点 Ｐ， Ｐ ′是 抛 物 线 上 非 Ｐ 的 任 过 Ｐ 一 点， ′作 Ｐ ′ Ｂ ′垂 直 Ｌ 于 由抛物线 的 定 义 及 几 何 知 识 Ｂ ′．
２ ２ ） 求当 －３ ＋（ ｙ－４） ＝４ 上 的 点 ， ２ ２ 取值最小时点 ＡＭ ｜＋｜ ＢＭ Ｍ ｜ ｜
y
Ｍ -1 1 Ａ Ｏ Ｂ
图４
的坐标 ． 解： 如图 ２， 在 △ＭＡ Ｂ 中， ＭＯ 为中线 ， 由平面几何知识得
２ ２ ２ ＡＭ｜ ＋｜ ＢＭ｜ ＝２｜ ＯＭ｜ ｜
x
即ｋ ＝ ｋ ｘ， ｘ－ｙ＝０， ３ ｋ－３ ｜ 由圆心 Ｃ（ 到切线距离等于半径２得 ｜ ３， ３） ２ ｋ ＋１ 槡 ＝２， ９±２ １ ４， 槡 得 ｋ＝ ５ ∴ ９＋２ １ ４， ｙ 的最大值为 槡 最小值为ｋ ｋ ＝ ＝ ｘ ５
９－２ １ ４ 槡 ． ５ （ 责任编辑 金 铃 ）
３ ６
中学教学参考 （ 中旬 ）２ ０ １ ２． ６ 总第 １ ２ ５期
Ｌ y
-
1 4
Ｆ Ｏ Ｐ Ａ x
Ｂ Ｂ′ Ｐ′
图３
２ ， ２ （ （ ） 得ｋ ＋ ２ ｋ） １－ ） Ｓ－４ ｋ＋４＝０． ｋ ２ ） （ ， 由 Δ＝ （ 舍 此时 △Ａ Ｏ Ｂ 的最小面积为Ｓ＝４．
２ 由ｋ ＋４ ｋ＋４＝０ 得 ｋ＝－２，
图２
２ ２ ＋２ Ｏ Ｂ ＯＭ ｜ ｜ ＝２ ｜ ｜ ＋２． ２ ２ 也同时 ∴ 当 ＯＭ 达 到 最 小 值 时 ， ＡＭ｜ ＋｜ ＢＭ｜ ｜
因此点 Ｏ 与圆心（ 的连线与圆的交点 达到最小值 ， ３， ４） 坐标即为所求点 Ｍ 的坐标 ． ４ 烄 ｙ＝ ｘ， ３ 烅 ２ ２ （ ） ） ｘ －３ ＋（ ＝４， ｙ－４ 烆 解得 ｘ＝ ９， １ ２ ｙ＝ ． ５ ５
Ａ Ｂ Ａ Ｐ Ｐ Ｂ Ａ Ｐ Ｐ Ｆ Ａ Ｐ ′ Ｐ ′ Ｆ｜ ｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜， ｜ ｜＋｜ 易证｜ ＝｜ Ａ Ｐ ′ Ｐ ′ Ｂ ′ Ａ Ｂ Ａ Ｐ ′ Ｐ ′ Ｂ ′ ｜＋｜ ｜， ｜＜｜ ｜＋｜ ｜，
∴｜ Ａ Ｂ Ａ Ｐ ′ Ｐ ′ Ｆ ｜＜｜ ｜＋｜ ｜， ∴｜ Ａ Ｂ ｜为点 Ｐ 到 Ｆ 与 点 Ｐ 到 Ａ 距 离 之 和 的 最 小 值， Ａ Ｂ － ｜ ｜＝３－ （ １） １ ３ ＝ ． ４ ４ 四、 数形结合求最值 数形结合是重要的数学思想 ， 应用数形结合求最 值， 能使问题十分简捷地得到解决 ． 【 】 例４ 已 知 点 Ｐ（ ｘ， 如 图 ４， ２ ２ ） 在 圆 ｘ ＋ｙ －６ ｘ－６ ４＝０ ｙ ｙ＋１ 上， 求 ｙ 的最大值和最小值 ． ｘ 解 ：ｙ 表 示 图 上 的 点 Ｐ 与 原 ｘ 点连线的 斜 率 ， 显然 Ｐ Ｏ 与圆相切 设切线方程ｙ 时斜率最 大 或 最 小 ，
Ｏ y Ｃ Ｐ x
（ ） ， 故所求直线 Ｌ 的方程为ｙ－２＝－２ ｘ－１ 即２ ｘ＋ｙ－４＝０． 二、 应用平面几何知识求最值 把平面解析 几 何 中 的 最 值 问 题 转 化 为 平 面 几 何 中 能 充 分 利 用 平 面 几 何 技 巧 性 强， 运算量小 的最 值 问 题， 的特点 ． 【 例 ２】 平面上有两 如 图 ２， 、 ， 点 Ａ（ －１， ０） Ｂ（ １， ０） Ｍ 为圆（ ｘ