量子物理之一维无限深势阱中的粒子的波函数
方势阱中束缚态粒子的归一化波函数
可得到
ｆＡ—Ｂ＋Ｃ
ｌ以走１一一Ｂｉ志２＋Ｃｊ正２
ＢＰ一珏２４＋Ｃｅ珏２“：＝Ｄｅ一’１４
【一Ｂｉ愚２ｅ１‘矿＋ｃｉ志２Ｐ抽２４一一Ｄ志ｌＰ—１４
ｆＡ—Ｂ—Ｃ—Ｏ
整理得
髓毒簟２篇ｉ兰冀三一。 Ｉ已～’２“Ｂ＋Ｐ矗２。ｃ—Ｐ。ｌ“Ｄ—ｏ
①一
【一ｉ是２Ｐ一‘ｚ４Ｂ＋ｉ志２Ｐ墙２“ｃ＋走ｌｅ—ｌ“Ｄ—ｏ
方程组①是关于Ａ、Ｂ、ｃ、Ｄ 的一次齐次方程组，它有不全为零的解的条件是
ｆＣＰ一２。＝Ｂｃｏｓ是ｌ口
即１鼬ｓ如一防印
可求＝∥２。ｃ。ｓ是１日Ｂ矿矿，ｚ＜一口
则各区域的波函数可写为：｛缈ｚ＝Ｂｃｏｓ是－丁，ｌＴｌ≤ｎ １９。＝矿ｚ“ｃｏｓ是。日Ｂｅ一‘ｚ。，ｚ＞ｄ
由波函数的归一化条件Ｉ Ｉ妒Ｉ ２ｄ丁一１，即有：
ｆ一一：、上；ｚＰｚ＾ｚ“ｃ。ｓ２是。日Ｐ２Ｉｚ。（１ｊｒ—｝一ｊ“一。上；２ｃ。ｓ２是－ｊ’ｃｌｊｒ—｝一Ｊ。上；２Ｐ２‘２“ｃ。ｓ２是。日Ｐ一２‘２。ｄｊｌ＝＝１
程，并未给出它们的归一化波函数．本文完整地求出了一维有限深对称和不对称势阱中的归一
化波函数，所得结果在势趋于无穷大时与无限深势阱中的波函数完全一致．
关键词：有限深势阱；无限深势阱；归一化波函数
中图分类号：０４１３．１
文献标识码：Ａ
文章编号：１００３—８０７８（２００４）０３一００３８一０７
Ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｗａＶｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ｂＯｕｎｄ ｉｎ ｏｎｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｓｑｕａｒｅ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｗｅｌｌｓ
万方数据
第３期
尹建武，等：一维方势阱中束缚态粒子的归一化波函数
·３９·
一
一Ｅ９，０≤丁≤口
一维对称无限深方势阱的波函数表达式
一维对称无限深方势阱的波函数表达式在量子力学中，一维对称无限深方势阱是一种经典的势阱模型，它在研究粒子在受限空间内的运动和能级结构等方面有很好的应用。
对于一维对称无限深方势阱来说，波函数的表达式是非常重要的，它可以帮助我们理解粒子在势阱内的行为以及计算其能级。
1. 势阱模型的基本假设一维对称无限深方势阱模型假设了以下几点：势阱的宽度为a，势阱内部的势能为0，而在势阱外部势能为无穷大，这意味着粒子在势阱内运动自由，在势阱外不能存在。
这是一个理想化的模型，但对于研究粒子在受限空间内的行为却是非常有用的。
2. 薛定谔方程的求解根据薛定谔方程，我们可以求解一维对称无限深方势阱中的波函数。
薛定谔方程的一般形式为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² + V(x)Ψ = EΨ其中，ħ是普朗克常数，m是粒子的质量，V(x)是势能函数，Ψ是波函数，E是能量。
对于无限深方势阱来说，势能函数V(x)在势阱内为0，在势阱外为无穷大，因此薛定谔方程可以简化为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² = EΨ4. 波函数的边界条件在一维对称无限深方势阱中，波函数的边界条件非常明确，因为势能在势阱外为无穷大，粒子无法透过势垒逃逸出去，故波函数在势阱外为0。
而在势阱内部，波函数要满足Ψ(0) = Ψ(a) = 0，这是因为势阱的边界为0。
5. 波函数的表达式根据边界条件，我们可以求解出一维对称无限深方势阱中的波函数表达式。
在势阱内部，波函数的一般形式为：Ψ(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)其中，A和B是待定系数，k是波数，根据波函数的边界条件，我们可以求解出波函数的具体形式。
在势阱内部，波函数的波数k为：k = sqrt(2mE) / ħ对于一维对称无限深方势阱，能级是分立的，即E = n²π²ħ² / (2ma²)，其中n为正整数。
量子物理之一维无限深势阱中的粒子的波函数
如图所示，有一质量为m的粒子 在一维势阱中运动，势函数为
V(x)
0 (0 x a) (x 0或x a)
由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维
无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。
[解析]由于势能曲线与时间无关，所以属于定态问题。 ∞
由于波函数是连续的，在x = 0处有ψ(0) = 0，所以B = 0。
{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数
如图所示，有一质量为m的粒子 在一维势阱中运动，势函数为
V(x)
0 (0 x a) (x 0或x a)
由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维
无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。ψ(x) = Asinkx
在x = a处也有ψ(a) = 0，所以Asinka = 0， ∞
∞
由于A不恒为零，所以ka = nπ。
k只能取不连续的值，用kn表示，则 kn = nπ/a (n = 1，2，3，…) n称为量子数。
可 得
En
kn2h 2 2m
π2h 2 2ma2
n2
(n = 1，2，3，…)O
要使问题有解，粒子的能量只能取分立的值，
或者说能量是量子化的，En称为能量的本征值。
n能=量1最状低态的称状为态基，态最，低也能就量是为粒子E1
2h 2 2ma2
h2 8ma2
x a 其他态称
为激发态， E2称为第 一激发态。
{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数
ψ(x) = Asinkx，
En
kn2h 2 2m
π2h 2 2ma2
∞
由于势阱无限高，粒子不能运动到势阱之外，
大学物理 第16章量子力学基本原理-例题及练习题
∴ n = 2,6,10...... 时概率密度最大
nhπ 6 × 10 = =1时 (3) n=1时： E = =1 2mL L
2 2 2 2 2 −38
A 例题3 例题3 设粒子沿 x 方向运动，其波函数为 ψ ( x ) = 方向运动， 1 + ix
( n = 1,2,3,...)
E n=4
p2 E = 2m p= nπh nh 2 mE = = a 2a
n=3 n=2 n=1
h 2a λ= = p n
二者是一致的。 二者是一致的。
( n = 1, 2, 3,...)
o a
x
例题2 粒子质量为m, 在宽度为L的一维无限 的一维无限深势 例题2 P516例1：粒子质量为m, 在宽度为 的一维无限深势 中运动，试求( 粒子在0 阱中运动，试求(1)粒子在0≤x≤L/4区间出现的概率。并 ≤ / 区间出现的概率。 求粒子处于n=1 状态的概率。 在哪些量子态上， 求粒子处于 1和n=∞状态的概率。(2)在哪些量子态上， 状态的概率 (2)在哪些量子态上 Ｌ/4处的概率密度最大？(3)求n=1时粒子的能量 补充 。 /4处的概率密度最大 (3)求 =1时粒子的能量(补充 处的概率密度最大？ =1时粒子的能量 补充)。 2 nπ x 由题得： 解:(1) 由题得： 概率密度 |ψ | = sin
2 2 2 2 0
2
2
2
2
0
0
k
0
2
2
2 k
0
k
k
k
0
h ∴λ = = p
hc 2E m c + E
2 k 0
量子物理习题解答
量子物理习题解答习题17—1 用频率为1ν的单色光照射某一金属时，测得光电子的最大初动能为E k 1；用频率为2ν的单色光照射另一种金属时，测得光电子的最大初动能为E k 2。
那么［ ］(A) 1ν一定大于2ν。
(B) 1ν一定小于2ν。
(C) 1ν一定等于2ν。
(D) 1ν可能大于也可能小于2ν。
解：根据光电效应方程，光电子的最大初动能为 A h E k -=ν由此式可以看出，E k 不仅与入射光的频率ν有关，而且与金属的逸出功A 有关，因此我们无法判断题给的两种情况下光电子的最大初动能谁大谁小，从而也就无法判断两种情况下入射光的频率的大小关系，所以应该选择答案(D)。
习题17—2 根据玻尔的理论，氢原子中电子在n =5的轨道上的角动量与在第一激发态的角动量之比为［ ］(A) 5/2。
(B) 5/3。
(C) 5/4。
(D) 5。
解：根据玻尔的理论，氢原子中电子的轨道上角动量满足n L = n =1，2，3……所以L 与量子数n 成正比。
又因为“第一激发态”相应的量子数为n =2，因此应该选择答案(A )。
习题17—3 根据玻尔的理论，巴耳末线系中谱线最小波长与最大波长之比为［ ］(A) 5/9。
(B) 4/9。
(C) 7/9。
(D) 2/9。
解：由巴耳末系的里德佰公式⎪⎭⎫⎝⎛-==221211~n R H λν n =3，4，5，…… 可知对应于最大波长m ax λ，n =3；对应于最小波长min λ，n =∞。
因此有 H H R R 53631211122max =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-λ； HH R R 421112min =⎪⎭⎫⎝⎛=-λ 所以953654max min =⨯=λ最后我们选择答案(A)。
习题17—4 根据玻尔的理论，氢原子中电子在n =4的轨道上运动的动能与在基态的轨道上运动的动能之比为［ ］(A) 1/4。
(B) 1/8。
(C) 1/16。
(D) 1/32。
6-波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
P. 18 / 33 .
即：对非自由粒子
d 2
dx 2
8 2m
h2 (E
E p )
0
称为一维定态薛定谔方程。
三维定态薛定谔方程：
2
8 2m
h2
(E
E p )
0
其中， 2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
称为拉普拉斯算符。
薛定谔 (Erwin Schrödinger， 1887-1961) 奥 地利著名理论 物理学家，量 子力学的重要奠基人，同 时在固体比热、统计热力 学、原子光谱及镭的放射 性等方面的研究都有很大 成就。1933年与物理学家 狄拉克共同荣获诺贝尔物 理学奖。薛定谔还是现代 分子生物学的奠基人。
量子物作理者：杨§茂波田函数Of薛fic定eX谔p方版程 一维无限深势阱
P. 19 / 33 .
三、一维无限深势阱
设：一粒子被约束在 (o, a) 一维空间，其势能函数为
0 (0 x a)
E p ( x 0或 x a)
ψ(x) (0 x a)
0 (x 0或 x a)
概率密度w ＝|Ψ ( x, y, z, t ) |2 粒子在 dv 空间出现的概率： dG = |Ψ ( x, y, z, t ) |2dv
量子物作理者：杨§茂波田函数Off薛ic定eX谔p 方版程 一维无限深势阱
P. 8 / 33 .
若粒子只出现在一维空间，则其在 x～x+dx 空间出
现的概率为： dG = wdx = |Ψ ( x, t ) |2dx
d 2
dx 2
( i2
量子力学 一维无限深势阱
５５§2.6一维无限深势阱（Potential Well ）(理想模型)重点：一维无限深势阱中粒子运动的求解难点：对结果的理解实际模型：金属中电子的运动，不计电子间的相互碰撞，也不考虑周期排列的金属离子对它们的作用。
一、写出本征问题 势场为：⎩⎨⎧≥∞<=a x ,a x ,0)x (U 区域I（阱内，a x <）方程为： )x (E )x (dx d 2I I 222ψ=ψμ−h (1) 区域II、III（阱外，a x ≥）方程为： )x (E )x ()U dxd 2()III (II )III (II 0222ψ=ψ+μ−h (2) 其中∞=0U 。
波函数的边界条件是：)a ()a (II I ψ=ψ，)a ()a (III I −ψ=−ψ (3)二、求解本征方程 我们令2E 2h μ=α， 20)E U (2'h−μ=α (4) 则：)x (E )x (dx d 2I I 222ψ=ψμ−h 的解为: x i x i I Be Ae )x (αα−+=ψ a x <(5)５６ )x (E )x ()U dx d 2()III (II )III (II 0222ψ=ψ+μ−h 的解为:x 'x'II e 'B e 'A )x (αα−+=ψ a x ≥ (6)x 'x 'III e ''B e ''A )x (αα−+=ψ a x −≤ (7) 由(6)-(7)式和波函数的有限性知: 0'B ,0''A ==，即：x 'II e 'A )x (α−=ψ a x ≥x 'III e ''B )x (α=ψ a x −≤又由于∞=0U ，则：∞=−μ=α20)E U (2'h于是：0)x ()x (III II =ψ=ψ (8) 而)a ()a (II I ψ=ψ，)a ()a (III I −ψ=−ψ；x i xi I Be Ae )x (αα−+=ψ则：⎩⎨⎧=+=+α−ααα−0Be Ae 0Be Ae a i a i ai a i (9)于是A、B 不能全为零的充分必要条件为： 0e e e e a i a i ai ai =α−ααα−， 即：0)a 2sin(=α 解之得：a 2n π=α，,....2,1,0n ±±= (10)将其代入到⎩⎨⎧=+=+α−ααα−0Be Ae 0Be Ae a i a i a i ai ，得：0Be Ae 2/in 2/in =+ππ−即:B )1(A 1n +−=代入x i x i I Be Ae )x (αα−+=ψ中，得：５７ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=π=π=ψ,..5,3,1n ,x a 2n cos D ,...6,4,2n ,x a 2n sin C )x (I a x < (11)其中0n =，()0x =Ψ为平凡解，无意义；,...2,1n −−=不给出新的解。
一维无限深方势阱中粒子动量概率分布引出的问题
一维无限深方势阱中粒子动量概率分布引出的问题在量子力学中，无限深方势阱问题是一个简化理想化的问题。
无限正方形势阱是有限大小的正方形势阱。
井内电势为0，井外电势无穷大。
在阱中，粒子可以不受任何力地自由移动。
但是阱壁无限高，粒子完全被约束在阱里。
通过 schr\ddot{o}dinger 方程的解答，明确地呈现出某些量子行为，这些量子行为与实验的结果相符合，然而，与经典力学的理论预测有很大的冲突。
特别令人注目的是，这些量子行为是自然地从边界条件产生的，而非人为勉强添加产生的。
这解答干净利落地展示出，任何类似波的物理系统，自然地会产生量子行为；无限深方势阱问题的粒子的量子行为包括：1.能量的量子化:粒子量子态的本征函数，伴随的能量不是任意的，而只是离散能级谱中的一个能级。
2.基态能量:一个粒子允许的最小能级，称为基态能量，不为零。
3.节点:与经典力学相反，薛定谔方程预言了节点的存在。
这意味着在陷阱的某个地方，发现粒子的概率为零。
这个问题再简单，也能因为能完整分析其薛定谔方程，而导致对量子力学更深入的理解。
其实这个问题也很重要。
无限深正方形势阱问题可以用来模拟许多真实的物理系统，例如直的极细纳米线中导电电子的量子行为。
为了简化问题，本文从一维问题出发，讨论了粒子只在一维空间中运动的问题。
一个粒子束缚于一维无限深方势阱内，阱宽为 l 。
势阱内位势为0，势阱外位势为无限大。
粒子只能移动于束缚的方向（ x 方向）。
一维无限深方势阱的本征函数 \psi_{n} 于本征值 e_{n} 分别为\psi_{n}=\sqrt{\frac{2}{l}}sin(\frac{n\pi x}{l})e_{n}=\frac{n^2 h^2}{8ml^2}其中， n 是正值的整数， h 是普朗克常数， m 是粒子质量。
一维不含时薛定谔方程可以表达为-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+v(x)\psi(x)= e\psi(x)其中， \psi(x) 是复值的、不含时的波函数， v(x) 是跟位置有关的位势， e 是正值的能量。
量子力学解答(3章)
后
ˆ ψ ( x, t ) = −ih ( p (t ) = (ψ ( x, t ), p
案
网
=
3 x 0 −iωt 3 x 0 iωt 3 e + e = x 0 cos ωt 4 2 4 2 2 2
3 1 d 3 d 1 ψ 0 ( x)e −iωt / 2 + ψ 1 ( x)e −i 3ωt / 2 , ψ 0 ( x)e −iωt / 2 + ψ 1 ( x)e −i 3ωt / 2 ) 2 2 dx 2 dx 2
a −a
1 32a π π x cos x sin xdx = 2a a a 9π 2
所以，有
x (t ) =
E − E1 1 32a −i ( E2 − E1 ) t / h 32a [e + e i ( E2 − E1 ) t / h ] = cos 2 t 2 2 2 9π h 9π
3-2 粒子在一维无限深势阱（0<x<a）中运动，已知初始波函数，ψ ( x,0) = cx(a − x) ，c为 归一化常数，请确定c，并计算各能量本征值(En)的测量概率以及 E , ΔE. 解:
ψ n ( x) =
3π
ww
∴ψ ( x,0) = 2 =
于是：
1
sin 2 x = 2
e iϕ − e − iϕ 2 2 ) = 2i 3π 2 3 1 (
w.
3
1 inϕ e 2π
kh
1 2π (2 − e i 2ϕ − e −i 2ϕ )
=
由E =
课
后
2 1 1 − 3 2π 6
2
答
ψ ( x, t ) =
课
后
一粒子在一维无限深势阱中动量在基态平均值
一、背景介绍量子力学是描述微观世界的理论体系，它与经典力学有着本质的区别。
在量子力学中，粒子的性质通常通过波函数来描述，而不再是经典力学中的位置和动量。
一维无限深势阱是量子力学中简单而重要的模型之一，它可以帮助我们理解粒子在有限范围内运动的行为。
二、基态与概率分布在一维无限深势阱中，粒子的波函数必须满足边界条件，因此只能存在离散的能量本征态，即量子力学中的基态、一级激发态、二级激发态等。
基态对应能量最低的状态，它的波函数形式通常为正弦函数。
具体来说，一维无限深势阱中粒子的基态波函数为：\[\Psi(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)\]其中，L为无限深势阱的长度。
基态波函数的平均动量可以通过其动量算符的期望值来计算。
动量算符为\(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\)，基态波函数的平均动量可以表示为：\[\langle p \rangle = \int_{-L/2}^{L/2}\Psi^*(x)\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\Psi(x)dx\]通过对波函数进行数值计算，我们可以得到基态波函数中动量的平均值。
三、动量平均值的物理解释在一维无限深势阱中，粒子受到势阱的束缚，因此其动量不会是一个确定的值，而是存在一定的不确定性。
基态波函数中动量的平均值表征了粒子运动的一种特定方式。
从物理学角度来看，动量的平均值可以被解释为粒子在基态波函数对应的空间范围内运动的动量加权平均值。
由于基态波函数对应的是粒子能量最低的状态，因此动量的平均值也会相对较小。
四、动量平均值的计算结果经过数值计算，我们可以得到一维无限深势阱中基态波函数的动量平均值。
以长度L为1为例进行计算，基态波函数的动量平均值为0。
这意味着，在基态下，粒子的运动状态呈现出较小的动量。
一维定态问题无限深方势阱
u(x)
2
=
2
sin 2
nπ
a a
0
x, ,
0≤ x≤a x < 0,or, x > a
n = 1, 2,3,
概率分布不均匀，存在概率为零的节点。 但：概率分布不随时间变化！
§2.4 一维定态问题–无限深方势阱
结论：
(3) 束缚在势阱中的粒子的能量是量子化的
=E
E=n
π2 2
2ma2
n2 ,
平均值
∫ = E
+∞
ψ
−∞
*
(r
,
t
)
−
2
2m
∇2
+V
(r,t) ψ
(r , t )dτ
总能能算符：
Hˆ
=−
2
∇2
+V
(r,t)
pˆ 2 =
+V (r,t)
2m
2m
称为粒子的哈密顿算符。
§2.5 力学量的平均值、算符表示—平均值
含时薛定谔方程：
i
∂ψ
∂t
=
−
2
2m
∇2
+ V (r,t) ψ
(1) 粒子的位置 r
例如：一维无限深方势阱
粒子的位置是不确定的，取值在[0, a]之间。 但粒子的概率分布是确定的，是
u(x)
2
=
2 sin2 nπ a a 0
x, ,
0≤ x≤a x < 0,or, x > a
n = 1, 2,3,
所以，可以得到粒子位置的平均值 (假设粒子处在基态 n =1 态)：
2
∇2 2m
+ V (r,t)ψ
量子物理2_Schroedinger方程及其应用(无限深势阱 隧道效应)
W | | 2 波函数的模的平方| (r , t ) | 描述微观粒子在t时刻出现
2 *
在 r 处的概率。
［注意］： (1) 波函数本身没有直接的物理意义，只有它的模的 平方才有物理意义。（与经典波不同！） (2) 由于波函数反映的是概率(有归一化问题)， ( r , t ) 与 C ( r , t )描述同一微观状态!(与经典波也不同!）
Erwin Schrö dinger Nobel Laureates in Physics 1933, share with P.A.M. Dirac
一、波函数 1. 引入 (不是证明！） 例以：一维经典波动表达式：
y( x, t ) A cos[2 ( t x / )]
或写成复数形式：
y( x, t ) Aei 2 ( t x / )
对自由粒子，代入de Broglie关系：
则一维自由粒子的波函数（通常用 表示波函数）：
h/ p
E/h
( x, t ) Aei 2 ( Et xp ) / h
其中A 为常数。对三维自由粒子情形，
Schrö dinger在提出描述微观粒子运动的方程时，并没 有对波函数的含义作出阐述，导致了Einstein 与Bohr学
派在波函数的不确定性（波函数乘以常数描述同一状 态）的争辩。Einstein认为这一不确定性来源于一些我 们还未知的原因，存在隐参量；隐参量学说（后来被 英国D.Bohm发展）至今尚未得到实验的验证。而物理 学界现已普遍接受了Born对波函数的统计诠释。
波函数满足：归一化条件， 标准条件。 ②微观粒子状态的变化遵循薛定谔方程。
薛定谔方程是否正确，这要由实验验证。可将 薛定谔方程用于某量子系统，进行分析并作出逻辑 推断，再对这种推断进行实验验证。
量子力学3
V ( x) ,
x 0, x a
V (x)
粒子在势阱内受力为零，势能为零。 在阱外势能为无穷大，在阱壁上受 极大的斥力。称为一维无限深势阱。 其定态薛定谔方程：
2 d 2 ( x ) V ( x ) ( x ) E ( x ) 2 2m dx
o
a
x
波函数 薛定谔方程 在阱外粒子势能为无穷大，满足：
nx ( x ) A sin( ), a
由归一化条件
n 1,2,3,
A 2 a
0
a
n x A sin ( )dx 1 a
2
波函数 薛定谔方程
量子物理学基础
一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数： n ( x) 0, x 0, x a
nx n ( x) A sin( ), n 1,2,3, 0 x a a E 称 n为量子数； n (x ) 为本征态； n 为本征能量。 讨论
波函数 薛定谔方程 二、薛定谔方程 1、薛定谔方程建立应满足的条件
量子物理学基础
（1）波函数应满足含有时间微商的微分方程 （2）要建立的方程是线性的，即如果1 、2是方 程的解，则1 和2的线性叠加 a1+b2 也 应是方程的解。（量子力学态的叠加原理） （3）这个方程的系数不应含有状态参量（动量、 能量等） （4）经典力学中自由粒子动量与能量的关系（非 相对论关系）E=p2/2m在量子力学中仍成立。
2
2 x 2
p
2
( x , t ) 而i E ( x , t ) 一维自由运动粒子的薛定谔方程 t
i 0 2 2m x t
2 2
波函数 薛定谔方程
一维无限深势阱
2008.5
25
对奇宇称态则不同，只当
2 2 mV0a2 / 22 2 / 4
即
V0a2
2h2
2m
，或
V0
2h2
2ma2
时
才可能出现最低的奇宇称能级。
2008.5
26
3、束缚态与分立谱的讨论
由以上分析可知，束缚态能量是分立的。
相应动量也是分立的。 这是在束缚态边界条件下求解定态方程的结果。
En
π 22 2ma 2
n2
(n 1,2,3, )
2008.5
8
❖ 由波函数的归一性质定常数 B
a
(x) *(x)dx 1
0
a
B2sin 2kxdx 1
0
得
B 2 a
本征函数
n(x)
2 sin nπ x aa
( n 1,2,3,)
这组函数构成本征函数系。
2008.5
9
⑥定态波函数
n
n
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16
写出分区定态方程 在阱外(经典禁介区)
d2 dx 2
1
2m 2
(V0
E) 1
0
(1)
令
方程(1)变为
其解为
2m(V0 E)
(2)
1'' 21 0
1 ~ ex
都是方程的解？
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17
考虑到束缚态边界条件：| x | 时 0，有
Be
x
1(x)
Aex
A, B为待定常数.
0时， ' ' 0，
取极小值 向上弯曲
0时， ' ' 0，
取极大值 向下弯曲（见右图）
量子物理第3讲——薛定谔方程 定态薛定谔方程 一维无限深势阱 一维有限高势垒
3
六、薛定谔方程
1、薛定谔方程
自由粒子 的波函数
(r,
t)
i
0e
( EtPr )
,
可以看出：
E (r,t) i (r,t),
t
P
x
(r,
t
)
i
x
(r,
t
),
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
y
(r,
t
)
i
y
(r,
t
),
2 2m
2
V
(r)
(r,
t)
i
t
(r,
t)
分离变量法：设 (r,t) (r) f (t)
i
则：
f (t)
df (t) dt
1 (r)
2 2m
2
V
(r)
(r)
7
i f (t)
df (t) dt
1 (r )
电子，当 E 1eV , V 0 2eV ,
o
a 2 A时 , T 0.51;
o
a 5A时 , T 0.006
制作扫描隧穿显微镜 ( STM )
15
STM下硅表面结构重现 16
利用STM搬迁原子为电子造的“量子围栏” 17
例：质量为 m的粒子处于一维
对称势场
V (x)
0 , 0 x L;
V
(
x)
V0
,
x 0, x
大学物理教程12.4 一维无限深势阱中的粒子
解 由波函数可知，粒子处在宽度为L的势阱中，将波 函数代入薛定谔方程
（1）当n=1时，对应基态的能量为 E1 2 2mL 25 E5 5 E1 2 2mL
2
第12章 量子力学基础
2
当n=5时为第4激发态，对应的能量为
2
12.4 一维无限深势阱中的粒子
（2）波函数的模平方即粒子的几率密度为
12.4 一维无限深势阱中的粒子
步骤： 确定粒子的哈密顿量；
在全空间写出粒子的能量本征方程； 利用波函数的自然条件确定确定能量本征值 和波函数。
处理的问题：
势阱中的粒子——粒子被束缚在某势场中；
势垒对粒子的散射——自由粒子入射到某势 场中。
第12章 量子力学基础
12.4 一维无限深势阱中的粒子
0
V=0
∞
L
该方程的解只能是： x
e ( x) 0
（2）
无限深方势阱
波函数在阱壁上的连续条件、本征能量
i (0) e (0) 0 i ( L) e ( L) 0
（3） （4）
第12章 量子力学基础
12.4 一维无限深势阱中的粒子
Φi ( x) C sin(kx ) i (0) e (0) 0
( x)dx
( x) dx 1
2
( x) dx 1
2
C
2 L
定态波函数为
2 nπ sin x, ( x) L L 0,
第12章 量子力学基础
0xL 0 x, x L
12.4 一维无限深势阱中的粒子
量子力学01一维无限深方势阱中的粒子
定态方程
2 2 [ V (r )] E (r ) E E (r ) 2m
V ( r ) 不显含t时的形式，是我们后
面讨论大多数物理问题的情况，为 方便，通常将略去 E (r ) 中的下标E。
4
简短回顾（3）
力学量算符
动量算符
动能算符
ˆ i p
2 1
e
a 2 x 2 / 2
E1 3 / 2 1 ( x) 2a axea x 1/ 4 E2 5 / 2 2 ( x)
1
0
/2
2 2
n
0
x
1/ 4
a 2 2 a 2 x 2 / 2 (2a x 1)e 2
20
四、方势垒的反射与透射(1)
经典粒子
2 ˆ T 2 , 2m
2 2 2 2 2 2 2 x y z
2 2 ˆ T ˆ V 哈密顿算符 H V (r ) 2m ˆ 能量算符 E i t
角动量算符
ˆ ˆ l r p ir
18
三、一维谐振子(4)
2
4、能量本征态（1） n d / 2 H n ( ) (1) n e e , n 0,1,2, . 因为 ( ) Ae H ( ) ， n d A 要根据 ( )的归一化条件确定，即 其中， * 2 2 ( ) ( ) d | A | H ( ) e d 1 n 1, m n n 由于 H m ( )H n ( )e d 2 n! mn mn 0, m n 得到 A An [a /( 2n n!)]1 2 a m 能量本征态 a x / 2
量子力学中一维无限深势阱问题两种解题方法的比较
量子力学中一维无限深势阱问题两种解题方法的比较单淑萍;蔡荔清【摘要】In this paper, we get the ground state energy of the electron in one dimensional infinite deep potential well within two different methods. First, using the wave function continuity characteristics, we derive the ground state energy of the electron according to the boundary conditions. Then, we obtain the expected values of the energy by using opera-tor average value method. The results show that we get the same conclusionby using two methods. Finally, the two methods are compared in others.%本文给出了量子力学一维无限深势阱中求解自由电子基态能量的两种解题方法，法一：利用波函数具有连续性的特点，根据边界条件求解；法二：根据求算符平均值的方法求解，求出能量的期待值。
通过求解我们得到两种解题方法所得的结论一致，并对两种解题方法进行了对比。
【期刊名称】《内蒙古民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】3页(P504-506)【关键词】量子力学;问题;方法;比较【作者】单淑萍;蔡荔清【作者单位】福建省龙岩学院物理与机电工程学院，福建龙岩 364012;福建省龙岩学院物理与机电工程学院，福建龙岩 364012【正文语种】中文【中图分类】O413.1《量子力学》是现代物理学最重要的分支学科，是物理学专业必修的“四大力学”之一.量子力学是将物质的波动性与粒子性统一起来的动力学理论，反映了微观粒子的运动规律.在这门课程的教学过程中，一些教师根据自己的实践教学过程提出了一系列的教学改革方案.邹艳〔1〕根据创新型应用人才培养的实际问题，结合量子力学的课程特点，介绍了在教学内容、教学方法和教学手段等方面所做的一些有益的改革尝试；廖文虎〔2〕等从教学内容、教学方法、教学模式以及教学手段等方面探讨了高等量子力学课程的教学改革，并给出该课程的建设措施以及建设成效；李丽〔3〕等从量子力学课程的性质和特点出发，通过采取研究型教学方式，科研促教学等措施，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的创新思维；韩萍〔4〕等结合量子力学的课程特点，通过讨论式教学，与学科前沿知识密切结合等措施对量子力学在教学方法方面进行了教学改革.平时多见的教改论文一般都是教师根据自己的实践教学对教学过程提出的一系列的改革方案，但对于在教学解题过程中采用不同方法的比较的文章并不多见.本文是对量子力学中一维无限深势阱问题的两种解题方法进行比较，建立了物理模型，并给出了两种解题方法的详细解题过程，并对之加以比较.在微观领域中，有一些反映某一类微观现象共同特征的微观的理想模型，如：谐振子模型、势阱模型、势垒模型等.在教学过程中，穿插这部分知识，使学生对相关内容有更透彻的理解.量子力学中一维无限深势阱的基本概念和基本理论，包括在一维空间中运动的粒子的势能在不同区域内的取值及与其相应的定态薛定谔方程的形式等.考虑一个被限制在宽度为L无限高势垒的一维无限深势阱中的电子，它的势能在一定区域内为零，而在此区域外势能为无穷大，即求体系的基态能量.法一：忽略电子-声子之间的相互作用，在阱内体系所满足的定态薛定谔方程为在阱外（||z＞a）体系所满足的定态薛定谔方程为由⑴知，⑶式中的势能U→∞,根据波函数应该满足的连续性和有限性条件，只有当ψ=0时，⑶式才成立，所以有这是解方程⑵时需要用到的边界条件.为了使问题简化，引入⑵式简化为它的解为根据波函数ψ的连续性，由⑷知将⑺式代入式⑹，得由此得到A和B不能同时为零，否则ψ处处为零，没意义.所以我们得到两组解：由⑼式可求得结合（5）式和（7）式，得到体系的能量为当n=1时，得到体系的基态能量：以上是量子力学教材中〔6〕求解一维无限深势阱中自由电子的能量的解题方法.接下来我们再用另外一种方法求解相同的问题.法二：我们仍然选择同样的模型，在不加任何外场的情况下，在阱内电子做自由运动，体系的哈密顿量表示为在阱内U(z)=0，选择体系的尝试波函数为其中|0〉是零声子态，φn(z)描述无限深势阱中电子沿z方向运动的波函数，其表示为其中则体系的能量的期望值为：当n=1时，电子的基态能量为由以上推导我们可以看出，两种解题方法所得到的结论一致.法一的解题过程利用到了波函数的连续性，进而应用边界条件求解问题；法二是根据算符求平均值法求解.从以上推导过程我们还可以看出，对于求解一维无限深势阱中自由电子基态能量问题，法二计算过程较简单，但法二用到了体系的尝试波函数，而波函数是根据法一中的边界条件求得的，所以只有在系统的尝试波函数已知的情况下，才能利用法二解题.如果考虑电子-声子之间的相互作用〔6〕，即使对体系加上外场，如果在已知体系尝试波函数的情况下，根据法二也能求解此体系的基态能量，而根据法一求解比较困难.〔1〕邹艳.“量子力学”教学改革的探索与实践〔J〕.高等理科教育，2009（3）：118-120.〔2〕廖文虎.高等量子力学课程教学改革与建设措施研究〔J〕.中国西部科技，2012（11）：89.〔3〕李丽.工科专业量子力学教学改革〔J〕.科技创新导报，2011（30）：164-165.〔4〕韩萍.量子力学课程教学改革与实践〔J〕.渤海大学学报，2010（4）：350-352.〔5〕周世勋.量子力学教程（第二版）〔M〕.北京高等教育出版.〔6〕单淑萍.电场对量子阱中弱耦合磁极化子性质的影响〔J〕.内蒙古民族大学学报，2007，22（1）：5-8.。
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在x = a处也有ψ(a) = 0，所以Asinka = 0， ∞
∞
由于A不恒为零，所以ka = nπ。
k只能取不连续的值，用kn表示，则 kn = nπ/a (n = 1，2，3，…) n称为量子数。
可 得
En
kn2h 2 2m
π2h 2 2ma2
n2
(n = 1，2，3，…)O
要使问题有解，粒子的能量只能取分立的值，
0
a
02
a
2
因此
可见：波函数的归一化常数与能级的级
A 2 / a 次无关，与势阱宽度的平方根成比反比。
波函 数为
n (x)
2 sin nπ x aa
概率密 度为
|
n (x)
|2
2 a
sin2
nπ a
x
可见：粒子在势阱中出现 的概率因地而异，在阱壁 处的概率为零；概率密度 分布还随量子数改变。
{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数
如图所示，有一质量为m的粒子 在一维势阱中运动，势函数为
V(x)
0 (0 x a) (x 0或x a)
由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维
无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。
[解析]由于势能曲线与时间无关，所以属于定态问题。 ∞
∞
由于势阱无限高，粒子不能运动到势阱之外，
所以定态波函数ψ(x) = 0 (x > a，x < 0)。
粒子在阱内定戊波函 数的薛定谔方程为
h2 2m
d2
dx2
E
0(0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
≤
x
≤
a)
设 k
2mE / h
方程可 简化为
d2
dx2
k 2
0
O
x a
其通解为ψ(x) = Asinkx + Bcoskx， 波函数为ψ(x) = Asinkx。
当量子数n = 1时，中间出现粒子的概 率密度最大；当量子数n = 2时，有两 个地方出现粒子的概率密度最大。
或者说能量是量子化的，En称为能量的本征值。
n能=量1最状低态的称状为态基，态最，低也能就量是为粒子E1
2h 2 2ma2
h2 8ma2
x a 其他态称
为激发态， E2称为第 一激发态。
{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数
ψ(x) = Asinkx，
En
kn2h 2 2m
π2h 2 2ma2
n2
(n = 1，2，3，…)
能量En对应 的波函数为
n (x) Asin kn x
Asin nπ x a
(0 ≤ x ≤ a)
不同的能级 具有不同的 波函数。
根据归一化条件 可得
| n |2 dx 1
A2 a sin2 nπ xdx A2 a 1 (1 cos 2n x)dx A2 a 1
这些结果与经典力学根本 不同，按照经典力学的观 点，粒子在势阱内各处出 现的概率应该相等。
能级个 数不妨 取4。
一维无限深势阱中粒子的波函数是正弦函数。 在两壁处，波函数恒为零。
量子数n也是波腹的个数， 波腹之间有n - 1个波节。
粒子的波函数的模方就是概 率密度，其高度表示能级。
在两壁处，概率密度恒为零， 表示此处不会出现粒子。
由于波函数是连续的，在x = 0处有ψ(0) = 0，所以B = 0。
{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数
如图所示，有一质量为m的粒子 在一维势阱中运动，势函数为
V(x)
0 (0 x a) (x 0或x a)
由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维
无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。ψ(x) = Asinkx