Part11 静电场能量及其分布

Topic # 11—静电场能量及其分布 n静电场的能量

n能量分布

1

2

n 电容器类两导体系统

n 能量公式

2

2

e 111 222 q W CU qU C

===

3

n 带电系统的电场能量

n 分析

i) 因静电场，电荷无相对运动，电场能量仅有位能、 没有动能。

ii) W e 的值与建立电场的过程无关，仅取决于带电系 统的最终状态：系统的电荷 q k 、电位j k (k =1,2,¼,n) (Why)

4

n 带电系统的电场能量

n 分析

iii) 在ii)的基础上，设个导体以相同的速率充电，即 在某一瞬间，可记各导体的电荷值为

mq 1 , mq 2 ,…, mq n （

） 1 | 0 | 0

0 = ® = = = t t t m m 所有的电荷都按

相同的比率增长

} ]{ [ } { q

a j = 在该瞬间，各导体的电势值为 m j 1 , m j 2 ,…, m j n

5

n 带电系统的电场能量

n 分析

1

e 11

q j 3

33 q j 2

22 q j 11

mq m j 22

mq m j n

n n q j 33

mq m j n n

mq m j L L

0 :0 t t ® 0 0

t m = = 0

() 1

t t m = = 终时刻

6

n 带电系统的电场能量

n 计算

(d )d()d k k k q mq q m == d (d )d k k k k k A m q m q m

j j =×= 在dt 时间内，外源在k 号导体上充电引起的电荷变化量

电位与电场力作功的关系

j

q W - = 移动(d q) k

的增量电荷，外源须作功

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n 带电系统的电场能量

n 计算

t =0® t = t 0 (全过程)，外源对 k 号导体所作的功

1

=d d k k k k A A m q m

j = òò 1

1

1 0

1

=d 1

2 n

n k k k k k n

k k k A A m q m q j j == = = = åå ò

å

8

n 带电系统的电场能量

n 计算

k k

mq k i

e 1

1

(1)

2 n

k k

k W A q j = == å 上述功将全部转化为能量 存储在电场中

因静电场，电荷无相对运动，电场能量仅 有位能、没有动能

9

n 带电系统的电场能量

n 推广

对于具有面电荷分布的带电导体 d k

k S q S

s = ò ( ) 12 e 1 1 ()

1 d

2 1 d 2 1

d 2 k

k S k

k n n

k k S C n

k k S S S S S W S

S

S j

j s j s sj = = = =+++ = ===== = å ò åò ò L

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n 带电系统的电场能量

n 推广

体电荷分布形态的电荷(体电荷密度为r )

e 11

d d 22 S V

W S V

sj rj =+ òò

11

n 例

例2-12 用场的观点计算平行板电容器中的W e

U

1 2

12

n 例

场的观点

e 1

1 2 n

k k

k W q j = = å

13

n 例 n 已知

I.

设电容器正、负极板的电位分别为j 1 、 j 2

12 U

j j -= II. 设电容器正、负极板所带电荷量分别为q 1 、 q 2

12

q q =-

14

n 例

n 计算

( ) 2

e 1 1122

12 1

2 11 22 1 2 1 2

k k

k W q q q q qU j j j j j = = =+ =- = å

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n 分析

n 将场域按等位面和等通量面（由通量线构成的面） 划分为一系列小区域

n 当分割小到一定程度时，每个小区域内的电场可 近似认为是均匀电场Þ该区域近似为一平行板电

容器

S

d 等位面

等通量面

E

v

16

n 计算

n 平行板电容器

对于极板面积为S 、极板间距为d 的平行板电容器

q S DS

s == d

S d D DS U Q C e e

=

= = D

U Ed d

e

==