工程问题的方程(详解)
人教版七年级上册一元一次方程应用题之工程问题
一元一次方程应用题之工程问题工程问题：工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。
关系式为：①工作量=工作效率×工作时间。
②工作时间=工作效率工作量，③工作效率=工作时间工作量。
工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t ，则工作效率为t1。
常见的相等关系有两种：①如果以工作量作相等关系，部分工作量之和=总工作量。
②如果以时间作相等关系，完成同一工作的时间差=多用的时间。
例题：例1.一水池装有甲、乙、丙三个水管，加、乙是进水管，丙是排水管，甲单独开需10小时注满一池水，乙单独开需6小时注满一池水，丙单独开15小时放完一池水。
现在三管齐开，需多少时间注满水池？例2.一项工程,甲队单独做需要10天完成,乙队单独做需要20天完成,两队同时工作3天后,乙队采用新技术,工作效率提高了25%,自乙队采用新技术后,两队还需要同时工作多少天才能完成这项工程?针对练习：1.某中学的学生自己动手整修操场，如果让初一学生单独工作，需要7.5小时完成；如果让初二学生单独工作，需要5小时完成。
如果让初一、初二学生一起工作1小时，再由初二学生单独完成剩余部分，共需几小时完成？2.一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做10天完成，现在由乙先独做几天后，剩下的部分由甲独做，先后共花12天完成，问乙做了几天？3.整理一批图书，由一个人做要40小时完成。
现计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作。
假设这些人的工作效率相同，具体先安排多少人工作。
4.某车间加工30个零件，甲工人单独做，能按计划完成任务，乙工人单独做能提前一天半完成任务，已知乙工人每天比甲工人多做1个零件，问甲工人每天能做几个零件？原计划几天完成？5.整理一批数据，由一个人做需80小时完成任务。
现在计划由一些人先做2小时，再增加5人做8小时，完成任务这项工作的3/4。
怎样安排参与整理数据的具体人数？行程问题行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。
一元一次方程的应用-工程问题
一元一次方程在工程问题中通常涉及工作效率、工作时间和工作量等概念。根 据题目的具体描述，可以判断出题目的类型，从而明确解题思路。
善于归纳总结，形成自己知识体系
总结一元一次方程在工程问题中的常见应用
例如，工程进度问题、工程合作与分工问题等。通过总结这些常见应用，可以形 成自己的知识体系，更好地掌握解题技巧。
学员自我评价与反思
知识掌握情况
学员应对自己的知识掌握情况进行自我评价，包括是否理解了一元 一次方程在工程问题中的应用，是否能够独立分析并解决问题等。
学习方法与态度
学员应反思自己的学习方法是否得当，是否积极主动参与课堂讨论 和练习，是否善于总结归纳知识点等。
不足之处与改进方向
学员应诚实地反映自己的不足之处，如对某些知识点理解不够深入、 解题速度较慢等，并提出相应的改进方向。
都是未知数或已知数。
02
多个主体完成同一项工作
当有多个主体（如多个工人或多个机器）共同完成同一项工作时，需要
分别计算每个主体完成的工作量，然后将它们相加得到总工作量。
03
工作分配问题
在分配工作时，需要考虑每个主体的能力和效率，以确保工作能够按时
完成。
如何将实际问题转化为一元一次方程
确定未知数和已知数
逻辑思维能力和数学素养。
02 典型工程问题解析
工作效率、时间与总量关系问题
工作效率、时间和总量之间的基本关系
01
工作效率=总量/时间，时间=总量/工作效率，总量=工作效率×
时间。这些关系是解决工程问题的基础。
单一工作量的计算
02
当已知工作效率和时间时，可以直接使用公式计算出完成的总
量。
比较不同工作效率下的完成情况
分式方程的工程问题和路程问题思路
分式方程是高中数学中的一个重要知识点，它在工程问题和路程问题中有着广泛的应用。
通过分式方程，可以解决诸如管道工程、水利工程、交通运输等方面的实际问题。
本文将从工程问题和路程问题两个方面来探讨分式方程的应用思路。
一、工程问题中的分式方程应用1.1 管道工程在管道工程中，经常会遇到液体或气体在管道中流动的问题。
假设一个长为L的管道中有两个孔，已知从第一个孔流出液体的速度为V1，从第二个孔流出液体的速度为V2，要求求出流出液体的总量。
我们可以建立如下的分式方程来解决这个问题：$\frac{x}{V1} + \frac{L-x}{V2} = T$其中，x表示从第一个孔流出液体的时间，L-x表示从第二个孔流出液体的时间，T表示总时间。
通过解这个分式方程，可以求出流出液体的总量。
1.2 水利工程在水利工程中，经常需要计算水库的注水和排水问题。
假设一个水库的注水管每分钟注入水量为A，排水管每分钟排水量为B，如果注水管和排水管同时开启，求出水库的水位变化规律。
我们可以建立如下的分式方程来解决这个问题：$\frac{dV}{dt} = A - B$其中，dV/dt表示水库水位随时间的变化率。
通过解这个分式方程，可以求出水库水位随时间的变化规律。
1.3 其他工程问题除了管道工程和水利工程，分式方程还可以应用于其他工程问题，如风力发电机组的发电功率问题、地基沉降速度问题等。
在解决这些问题时，我们可以根据实际情况建立相应的分式方程，然后通过求解方程得出问题的答案。
二、路程问题中的分式方程应用2.1 交通运输在交通运输中，经常需要计算车辆的行驶时间和行驶距离。
假设一辆车以速度V1从A地出发到B地，再以速度V2从B地返回A地，已知车辆的往返总时间为T，求出车辆的行驶距离。
我们可以建立如下的分式方程来解决这个问题：$\frac{2x}{V1} + \frac{2(L-x)}{V2} = T$其中，x表示车辆往返的时间，L-x表示车辆返回的时间，T表示总时间。
分式方程应用题—工程问题
分式方程应用题—工程问题工程问题：这类问题也涉及三个数量：工作量、工作效率和工作时间。
它们的数量关系是：工作量=工作效率*工作时间。
列分式方程解决实际问题用它的变形公式：工作效率=工作量/工作时间。
特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时，工作效率=1/工作时间。
【类型一】工作量不统一，时间相同的工程问题，以时间为等量关系： 实际效率实际工作量原计划效率原计划工作量 1.某人现在平均每天比原计划多加工33个零件，已知现在加工3300个零件所需的时间和原计划加工2310个零件的时间相同，问现在平均每天加工多少个零件。
2.某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。
3.某化肥厂计划在规定日期内生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，求计划每天生产多少吨化肥？4.A 做90个零件所需要的时间和B 做120个零件所用的时间相同，又知每小时A 、B 两人共做35个机器零件。
求A 、B 每小时各做多少个零件。
【类型二】前后效率不同，时间提前了，以时间为等量关系： 提前的时间实际效率工作量计划效率工作量 - 1、某车间加工1200个零件后，采用新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每时分别加工多少个零件？2.某市为了进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%。
问原计划这项工程用多少个月。
3.某空调厂的装配车间，原计划用若干天组装150台空调，厂家为了使空调提前上市，决定每天多组装3台，这样提前3天超额完成了任务，总共比原计划多组装6台，问原计划每天组装多少台？4.某水泵厂在一定天数内生产4000台水泵，工人为支援四化建设，每天比原计划增产%25，可提前10天完成任务，问原计划日产多少台？5.某车间需加工1500个螺丝，改进操作方法后工作效率是原计划的212倍，所以加工完比原计划少用9小时，求原计划和改进操作方法后每小时各加工多少个螺丝？6.打字员甲的工作效率比乙高%25，甲打2000字所用时间比乙打1800字的时间少5分钟，求甲乙二人每分钟各打多少字？7.现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。
工程问题的方程(详解)
五、工程问题：一般情况下把工作总量看成单位1，公式：工作时间×工作效率=工作总量（单位1）如：一项工程甲队需30天完成任务，则甲每天完成工作量的1/30130，则工作效率为1/30130；如果乙队需要20天完成任务，则甲每天完成工作量的1/20120，则工作效率为1/20120，两人一起可以完成（1/20+1/30）——工作效率之和1、某件文件需要打印，小李独立完成需要6个小时，小王独立完成需要8个小时，如果两人合作的话，需要多少时间可以完成。
设需要x小时两人合作可以完成，（牢记公式：工作效率（包括工作效率之和）×工作时间＝工作总量）则可列方程：（1/6 + 1/8）x＝12、一项工作甲工程队单独施工需要30天才能完成，乙队单独需要20天才能完成。
现在由甲队单独工作5天之后，剩下的工作再由两队合作完成，问他们需要合作多少天？.（分析：甲乙队合作之前，由甲队单独已完成的工作量为5×1/30；甲乙合作之后的工作效率之和为1/30 + 1/20；则可设他们需要合作x天。
）解：设甲、乙两队需要合作x天，可完成剩下的所有工作，根据题意，得：5×1/30 +（1/30 + 1/20）x＝15/30 + 5/60x＝15/60x＝1-5/305/60x＝25/30x＝25/30÷5/60x＝25/30×60/5x＝10（检验：5×1/30 + 10×1/30 + 10×1/20＝1，符合题意。
）答：甲、乙两队需要合作10天，可完成剩下的所有工作.3、一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，两人合作4天后，剩下的部分由乙单独做，需要几天完成？（分析：甲、乙合作4天所完成的工作量为(1/10 + 1/15)×4，若设剩下的部分由乙单独做需要x天完成，则合作之后乙单独完成的工作量为1/15x）答：设剩下的部分由乙单独做需要x天完成，根据题意，得：（1/10 + 1/15）×4 + 1/15x＝15/30×4 + 1/15x＝120/30 + 1/15x＝11/15x＝1-20/301/15x＝10/30x＝10/30÷1/15x＝10/30×15x＝5(检验：1/10×4 + 1/15×4 + 1/15×5＝1符合题意。
5.3实际问题与一元一次方程(6)—— 工程问题 课件-
工作效率
甲
x
乙
＋5
工作时间
10
4
工作总量
10 x
4( x ＋5)
解：依题意，得10 x ＋4( x ＋5)＝370.
解得 x ＝25.所以25＋5＝30(个)．
答：甲每小时加工零件25个，乙每小时加工零件30个．
2. 挖一条长3 000 m的水渠，甲队每天比乙队多挖100 m，一开始
务，在完成一半任务时，受天气降温的影响，每天加工的水果比原计划
少5吨，最后完成全部任务用了10天．问该水果加工基地加工的这批水果
一共有多少吨？
解：设这批水果一共有 x 吨．
由题意，得 ＝5.解得 x ＝120.
−×
答：该水果加工基地加工的这批水果一共有120吨．
例3 一项工作，甲单独做需3小时完成，乙单独做需4小时完成，
4． 课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办
厂需制作一块广告牌，请来两名工人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单
独完成需6天”就停住了．根据以上信息解答下列问题：
(1)两人合作需要 2.4 天完成；
(2)李老师让各位同学补充条件和问题，其中一个同学补充如下：现
由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得到报酬450元，如果按各完成
解得 x ＝
答：每位工人每天可以缝制10套汉服．
3． 一件工作，甲单独做需20小时完成，乙单独做需12小时完成，现
在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合作，剩下的部分需几小时
完成？
4.3.3 用方程解决问题(工程问题)
8( x 2 ) 4x 40 40 解之得： X=2
1
经检验x=2符合实际所求 答：应先安排2人工作4小时。
练一练
某中学的学生自己动手整修操场，如果让初 一学生单独工作，需要7.5小时完成；如果让初二 学生单独完成，需要5小时完成。如果让初一、初 二学生一起工作1小时，再由初二学生单独完成剩 余部分，共需多少时间完成？ 解:设完成这项工作共需x小时，由题意可得：
1 15
1 9
3+x x
1 x 9
例1.一项工程,甲队单独施工15天完成,乙队单独 施工9天完成.现在由甲队先工作3天,剩下的由甲、 乙两队合作,还需要几天可以完成？ 解:设还需要x天才能完成任务,根据题意列方 程得 1 1 (3+x)+ x =1 15 9 解之得 x=4.5
经检验x=4.5符合实际所求
1 甲乙合作 9
x天
1 ( 9
1 + 15 )x
1 + 9 )x=1
例1.一项工程,甲队单独施工15天完成,乙队单独 施工9天完成.现在由甲队先工作3天,剩下的由甲、 乙两队合作,还需要几天可以完成？
解:设还需要x天才能完成任务,根据题意列方 程得 3 1 1 +( + )x=1 15 15 9
解之得 x=4.5 经检验x=4.5符合实际所求 答:甲、乙两个队合作还需要4.5天才能完成任务。
↓
实际问题的 答案
↓
←
检验
数学问题的解 X=a
引例：
1.一项工作甲独做5天完成，乙独做10 天 1 完成，那么甲每天的工作效率是 ， 5 1 乙每天的工作效率是 1 0 ，两人合 1 1 作3天完成的工作量是 ( 5 10) 3 ，此时 1 1 1 ( 剩余的工作量是 5 10) 3 。 2.一项工作甲独做a天完成，乙独做 b 天完 1 成，那么甲每天的工作效率是 ， a 1 乙每天的工作效率是 b ，两人合 1 1 3( ) 作3天完成的工作量是 ，此 a b 1 1 1 3 ( ) 时剩余的工作量是 。 a b
实际问题与一元一次方程(工程与行程问题)
60×
28 60
+60x+80x=448
解得：x=3
答：快车开出3小时后，两车相遇。
例4、A、B两站间的路程为448千米，一列慢车从Ａ站出发，每小 时行驶60千米，一列快车从Ｂ站出发，每小时行驶80千米，问： （３）两车同时、同向而行，如果慢车在前，出发后多长时间快 车追上慢车？
画图分析 快车行驶路程
顺水航行速度= 水流速度 +静水航行速度．
逆水航行速度=静水航行速度－水流速度．
解：设船在静水中的平均速度为x千米/小时，则船顺水的速 度为(x+3)千米/小时，而逆水的速度为(x-3)千米/小时。 则依题意可得： 2（x+3）=2.5（x-3） 解得：x=27
答：该船在静水中的速度为27千米/小时。
工程问题 与
行程问题
一元一次 方程应用
(二)
探究1：工程问题
1.一件工作，若甲单独做2小时完成，那么
1
甲单独做1小时完成全部工作量的2 .
2.一件工作，若甲单独做a小时完成，则甲单独做
1
1小时，完成全部工作量的 a ,m小时完成全部
m
工作量的 a .a小时完成全部工作量的 1 .
3．一件工作，若甲单独做7天完成，乙单
①几小时后两车相遇？ ②若吉普车先开40分钟，那么客车开出多长时间两车相遇？
甲
相 遇
丙 40分钟 乙
分析：若吉普车先出发40分钟(即2/3小时)，则等量 关系为：吉普车先行的路程+吉普车后行路程+客车 的路程＝1500
例1 甲、乙两地相距1 500千米，两辆汽车同时从两地相向而 行，其中吉普车每小时行60千米，是另一辆客车的1.5倍．
工程问题的解题思路一元一次方程
在解决工程问题时，经常会遇到需要运用一元一次方程的情况。
一元一次方程是数学中常见的问题类型，它可以通过代数式来描述一个未知数和一定数值之间的关系。
在工程中，解决一元一次方程问题需要系统性的思考和分析，因此在本文中，我将从浅入深地介绍工程问题中一元一次方程的解题思路，并共享一些个人观点和理解。
1. 了解一元一次方程的基本概念我们需要了解一元一次方程的基本概念。
一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次幂为1的方程。
一般形式可以表示为ax+b=0，其中a和b为已知数，x为未知数。
在工程中，我们经常会遇到类似于“某物体的重量减去5等于10”的问题，这就可以用一元一次方程来表示和解决。
2.分析工程问题并提取关键信息在解决工程问题的一元一次方程时，首先需要将问题分解并提取出关键信息。
一个典型的工程问题可能是“甲乙两人合力拉一根长40m的绳子，甲拉的力是乙的3倍，求甲乙两人各自的拉力是多少？”这个问题中，我们需要提取出“甲拉的力是乙的3倍”这个关键信息，并将其转化为一元一次方程的形式。
这个步骤需要逻辑清晰和思维严谨，以确保问题的关键信息被全面提取。
3.建立一元一次方程一旦关键信息被提取出，我们就可以开始建立一元一次方程了。
以前面提到的问题为例，设甲的拉力为x，乙的拉力为y，则根据“甲拉的力是乙的3倍”这个信息，可以建立方程x=3y。
此时我们就成功地将问题转化为一元一次方程的形式。
4.求解方程并验证结果建立方程后，接下来就是求解方程并验证结果了。
在这个例子中，我们可以将x=3y代入长度40m的绳子的情况下，利用一元一次方程求解出甲、乙两人各自的拉力分别是多少。
还需要验证方程的结果是否符合实际情况，因为有时候方程的解并不一定是合理的。
5.总结与展望在工程问题中，解题思路的关键是要有一定的数学思维和逻辑能力，能够将复杂的工程问题转化为简单的数学形式。
也需要灵活运用一元一次方程的知识，并且结合实际情况，才能做出准确的解答。
七年级一元一次方程：工程问题应用题(答案)
《一元一次方程：工程问题》【基本知识】工程问题：工作量＝工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1解工程问题时，常将工作总量当作整体“1”．基本关系为：工作效率×工作时间=1（工作总量）等量关系：(图示法)工作总量=工作效率×工作时间全部工作量之和=各队工作量之和，各队合作工作效率=各队工作效率之和工作总量不清楚时看成“1”1．工程问题中的三个量及其关系为：工作总量＝工作效率×工作时间=工作总量工作效率工作时间=工作总量工作时间工作效率2．经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．一、【求时间】1、一项工程甲做40天完成，乙做50天完成，现在先由甲做，中途甲有事离去，由乙接着做，共用46天完成．问甲、乙各工作了多少天？【分析】由题意知，甲每天完成全部工作量的140，乙每天完成150，【解】设工程总量为1，设甲工作了x天，则乙工作了（46x-）天，根据题意，得4614050x x-+=．解得16x=，则461630-=（天）．故甲工作了16天，乙工作了30天．答：甲工作16天，乙工作30天．2、一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？【分析】设工程总量为单位1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。
【解】设乙还需x 天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，5365331123)121151(===+⨯+x x 解之得 答：乙还需536天才能完成全部工程。
29、一项工程甲单独做需要10天，乙需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做3天后，甲因事离去，乙参与工作，问还需几天完成？【解】设还需x 天。
3101)3(151121310111511213151101==+++⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x 解得或11、一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？【解】设还需要x 天完成，依题意，得111()41101515x +⨯+= 解得x =5 答：还需要5天完成12、某工作,甲单独干需用15小时完成,乙单独干需用12小时完成,若甲先干1小时、乙又单独干4小时,剩下的工作两人合作,问:再用几小时可全部完成任务?【解】设再用x 小时可全部完成任务1)121151(124151=+++x 解答：x = 4 答：再用4小时可全部完成任务18、某项工作甲单独做4天可完成，乙单独做8天可完成。
一元一次方程-工程问题
3.4(12)--工程问题一．【知识要点】1.工程问题中的三个量及其关系为:工作量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作量÷工作时间工作时间＝工作量÷工作效率完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝12.经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1.二．【经典例题】1.在西部大开发中，基础建设优先发展，甲、乙两队共同承包了一段长6500米的高速公路工程，两队分别从两端施工相向前进，甲队平均每天可完成480米，乙队平均每天比甲队多完成220米，乙队比甲队晚一天开工，乙队开工几天后两队完成全部任务？2. 填空：（1）一件工作，10天完成，工作效率是_____________。
（2）一本书，25天看完，每天看全书的_____________。
（3）一件工作，甲独做20小时完成，m小时完成的工作量是_____________。
（4）一件工作，甲独作5天完成，乙独作7天完成，二人合作_____________天完成。
（5）如果a个工人完成一项工作需要c天，那么（a+b）个工人完成此项工作需天。
3.一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？4.有一个蓄水池,装有甲、乙两个进水管和一个排水管，单独开甲管12小时可把空池注满，单独开乙管16小时可把空池注满，单独开排水管15小时可把满池的水放完，现甲乙两管同时开6小时后关闭乙管，打开排水管，问再过几个小时可把水注满呢？5.一工程原计划要270个工人若干天完成。
现只有200个工人，由于工作效率提高了50％，结果比原计划提前10天完成。
求原计划工作的天数？6.学校图书管理员整理一批图书，由一个人做要80小时完成，现在计划由一部分人先做8小时，再增加2人和他们一起做16小时，完成这项工作。
假设这些人的工作效率相同，具体应该先安排多少人工作8小时?7.某车间原计划13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成任务，而且还多生产60件，设原计划每小时生产x个零件，则所列方程为（）A．13x=12（x+10）+60 B．12（x+10）=13x+60C． D．8．(2020年绵阳期末第11题）某市一项重点工程，甲公司单独完成需3年，乙公司单独完成需6年，现在两公司合作完成整项工程后，该市共付工程款360万元，如果按两公司分别完成工作量的多少分配，则甲公司比乙公司多分得（）A．120万元B．180万元C．200万元D．240万元三．【题库】【A】1.两个班组工人，按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额20％、第二组超额15％完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件。
初中数学 初一 一元一次方程的应用(工程、盈利、储蓄、分配、行程问题)
一元一次方程的工程问题工作总量＝工作时间×工作效率； 工作时间＝工作总量÷工作效率；工作效率＝工作总量÷工作时间 甲的工作量＋乙的工作量＝甲乙合作的工作总量，工程问题常把工作总量看做“1”，解工程问题的关键是先找出单位时间内的工作效率。
例：检修一处住宅的自来水管理，甲单独完成需要14天，乙单独完成需要18天，丙单独完成需12天，前7天由甲，乙合做，但乙中途离开了一段时间，后2天由乙丙合作完成。
问乙中途离开了几天？ 分析：工程问题中，工作总量用1表示。
工作效率指的是单位时间内完成的工作量。
解法一：设乙中途离开了x 天，则乙一共做了（7-x+2）天。
根据题意得解法二：设乙一共工作了x 天，则习题：1、一件工作，甲独作10天完成，乙独作8天完成，两人合作几天完成？2、某工作,甲单独干需用15小时完成,乙单独干需用12小时完成,若甲先干1小时、乙又单独干4小时,剩下的工作两人合作,问:再用几小时可全部完成任务?3、一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？4、修一条路,原计划每天修75米,20天修完,实际每天计划多修32 ,问可以提前几天修完?5、一项工程300人共做, 需要40天,如果要求提前10天完成,问需要增多少人?6、甲、乙两个工程队合做一项工程,乙队单独做一天后,由甲、乙两队合做两天后就完成了全部工程.已知2,问甲、乙两队单独做,各需多少天?甲队单独做所需天数是乙队单独做所需天数的3一元一次方程的分配型问题1、某文艺团体组织了一场义演为“希望工程”募捐，共售出1000张门票，已知成人票每张8元，学生票每张5元，共得票款6950元，成人票和学生票各几张？2、甲、乙两个水池共蓄水50t,甲池用去5t，乙池又注入8t后，甲池的水比乙池的水少3t，问原来甲、乙两个水池各有多少吨水？3、今年哥俩的岁数加起来是55岁。
第09讲 用一元一次方程解决问题(12种题型)(解析版)
第09讲用一元一次方程解决问题（12种题型）一、配套问题配套问题在考试中十分常见，比如合理安排工人生产、按比例选取工程材料、调剂人数或货物等。
解决配套问题的关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。
每套所需各零件的比与生产各零件总数量成反比.二、工程问题工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。
关系式为：①工作量=工作效率×工作时间；②工作时间=，③工作效率=。
工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。
还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。
三. 销售问题销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。
（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润商品成本价×100%（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打6折出售，即按原标价的60%出售．四、比赛积分问题①.获取信息（找出胜、平、负的场数和积分，胜、平、负1场的积分，该队的总积分）②.能用字母表示数（常设胜/平/负的场数为x）③.寻找等量关系胜场数×胜1场的积分＋平局场数×平1场的积分+负场数×负1场的积分＝这个队的总积分五、方案选择问题1.借助方程先求出相等的情况。
2.再考虑什么情况下一种方案比另一种方案好，从而进行决策。
六、数字问题1、多位数的表示方法：①若一个两位数的个位上的数字为a，十位上的数字为b，则这个两位数是10b+a②若一个三位数的个位上的数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，则这个三位数是100c+10b+a③四、五…位数依此类推。
2、连续数的表示方法:①三个连续整数为：n-1，n，n+1（n为整数）②三个连续偶数为：n-2，n，n+2（n为偶数）或2n-2，2n，2n+2（n为整数）③三个连续奇数为：n-2，n，n+2（n为奇数）或2n-1，2n+1，2n+3（n为整数）七、几何问题1.将几何图形赋予了代数元素，便产生了一类新问题，2.解决这类问题时，通常要用到图形的性质以及几何量之间的关系.八、和差倍分问题1.和、差关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.2.倍、分关系：通过关键词语“是几倍、增加几倍、增加到几倍、增加百分之几、增长率……”来体现.3.比例问题：全部数量=各种成分的数量之和.此类题目通常把一份设为x.解题的关键是弄清“倍、分”关系及“和、差”关系.九、分段计费问题分段计费问题解题思路1.明确分段区间2.明确不同区间的计费标准3.分区间讨论计算十. 行程问题1.行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。
工程问题解题方法
工程问题解题方法一、基本工程问题（已知工作效率、工作时间、工作量中的两个量，求第三个量）1. 一项工程，甲队单独做需要10天完成，甲队的工作效率是多少？- 解析：把这项工程的工作量看作单位“1”，根据工作效率 = 工作量÷工作时间，甲队单独做需要10天完成，所以甲队的工作效率是1÷10 = 1/10。
2. 甲的工作效率是1/12，完成一项工程需要12天，这项工程的工作量是多少？- 解析：根据工作量 = 工作效率×工作时间，甲的工作效率是1/12，工作时间是12天，所以工作量 = 1/12×12 = 1。
3. 一项工程的工作量为15，乙队的工作效率为3，乙队完成这项工程需要多少时间？- 解析：根据工作时间 = 工作量÷工作效率，工作量为15，工作效率为3，所以工作时间 = 15÷3 = 5天。
二、合作工程问题（两队或多队合作完成一项工程）4. 甲队单独做一项工程需要15天，乙队单独做需要10天。
两队合作完成这项工程需要多少天？- 解析：把这项工程的工作量看作单位“1”，甲队的工作效率是1÷15 =1/15，乙队的工作效率是1÷10 = 1/10。
两队合作的工作效率是1/15+1/10 = 1/6。
根据工作时间 = 工作量÷工作效率，所以两队合作完成这项工程需要1÷(1/6)=6天。
5. 甲、乙两队合作一项工程，甲队的工作效率是1/8，乙队的工作效率是1/12，两队合作4天完成了这项工程的几分之几？- 解析：甲、乙两队合作的工作效率是1/8 + 1/12 = 5/24。
根据工作量 = 工作效率×工作时间，两队合作4天完成的工作量是5/24×4 = 5/6。
6. 一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要30天完成。
两队合作若干天后，乙队因事离开，甲队又做了5天完成工程。
两队合作了多少天？- 解析：设两队合作了x天。
工程问题方程知识点归纳总结
工程问题方程知识点归纳总结工程问题方程知识点归纳总结一、引言在工程领域中，问题方程是解决各类问题的重要工具。
它们是通过建立数学模型，将工程问题转化为数学方程进行分析和求解的。
掌握好工程问题方程的知识点，对于工程师来说具有重要的意义。
本文将对工程问题方程的基本概念、分类和解法进行归纳总结，帮助读者更好地理解和运用工程问题方程。
二、工程问题方程的基本概念1. 方程的定义：在数学中，方程是指等式中含有未知量的等式，一般表示为"等式=等式"的形式。
2. 变量的含义：在工程问题中，方程中的未知量通常称为变量。
变量可以代表物理量、几何量或其他待求解的量。
3. 工程问题方程的目标：工程问题方程的目标是求解出方程中的未知量，找到符合实际问题的解。
三、工程问题方程的分类1. 代数方程：代数方程是指方程中只包括代数运算的方程，例如线性方程、二次方程、高次方程等。
2. 几何方程：几何方程是指方程中含有几何元素的方程，例如直线方程、曲线方程、平面方程等。
3. 混合方程：混合方程是指方程中既包括代数元素又包括几何元素的方程，例如圆的方程、椭圆的方程、抛物线的方程等。
四、常见工程问题方程解法1. 代数方程的解法：（1）线性方程的解法：对于形如ax + b = 0的方程，解为x = -b/a。
（2）二次方程的解法：对于形如ax^2 + bx + c = 0的方程，根据判别式Δ = b^2 - 4ac的值来分类求解。
a. 当Δ > 0时，方程有两个实数根，可由求根公式x = (-b ± √Δ)/(2a)得到。
b. 当Δ = 0时，方程有一个实数根，可由求根公式x = -b/(2a)得到。
c. 当Δ < 0时，方程无实数根，但可求得两个虚数根。
（3）高次方程的解法：高次方程的解法相对较复杂，可以利用因式分解、配方法、代换等方式求解。
2. 几何方程的解法：（1）直线方程的解法：对于二维空间中的直线，可用点斜式、截距式、两点式等表示。
五下数学方程应用题《工程问题》
五下数学方程应用题《工程问题》1、一个筑路队要筑1680米长的路．已经筑了15天，平均每天筑60米．其余的12天筑完，平均每天筑多少米？解：设平均每天筑x米12x+60×15=168012x+900=168012x=780x=65答：平均每天筑65米．2、某机床厂计划生产零件5280个，开始工作了6天，平均每天生产250个，剩下的要在10天做完，平均每天要生产多少个？解：设平均每天要生产x个，则10x＋250×6＝528010x＋1500＝528010x＝3780x＝378答：平均每天要生产378个。
3、甲乙两个车间要在6天完成1200个零件，甲车间每天加工112个，乙车间应每天加工多少个？解：设乙车间应每天加工x个，则112×6＋6x＝1200672＋6x＝12006x＝528x＝88答：乙车间应每天加工88个。
4、甲乙两个修路队同时从同一个地点向相反方向修路，12天共修路96千米，甲队每天修3千米，乙队每天修多少千米？解：设乙队每天修x千米，则3×12＋12x＝9636＋12x＝9612x＝60x＝5答：乙队每天修5千米。
5、甲乙两个工程队合修一条长1320米的公路，15天可以修完，已知甲队每天修42米，乙队每天修多少米？解：设乙队每天修x米，则（42＋x）×15＝132042＋x＝88x＝46答：乙队每天修46米。
6、修一条长4650米的路，前三天平均每天修550米，剩下的要求5天修完，剩下的平均每天修多少米？解：设平均每天修x米，则5x＋550×3＝46505x＋1650＝46505x＝3000x＝600答：剩下的平均每天修600米。
7、一台打米机上午工作4小时，下午工作2.5小时，下午比上午多打米1.2吨．这台打米机每小时打米多少吨？（用方程解）解：设这台打米机每小时打米x吨，则（4-2.5）x=1.21.5x=1.21.5x÷1.5=1.2÷1.5x=0.8答：这台打米机每小时打米0.8吨．8、农机厂要装配1000台拖拉机，前20天平均每天装14台，后来平均每天增加到18台，剩下的需要几天才能完成？解：设剩下的需要x天才能完成，则20×14＋18x＝1000280＋18x＝100018x＝720x＝40答：剩下的需要40天才能完成。
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五、工程问题：一般情况下把工作总量看成单位1，公式：工作时间×工作效率=工作总量（单位1）
如：一项工程甲队需30天完成任务，则甲每天完成工作量的1/301
30
，则工作
效率为1/301
30
；如果乙队需要20天完成任务，则甲每天完成工作量的1/20
1
20
，
则工作效率为1/201
20
，两人一起可以完成（1/20+1/30）——工作效率之和
1、某件文件需要打印，小李独立完成需要6个小时，小王独立完成需要8个小时，如果两人合作的话，需要多少时间可以完成。
设需要x小时两人合作可以完成，（牢记公式：工作效率（包括工作效率之和）×工作时间＝工作总量）则可列方程：（1/6 + 1/8）x＝1
2、一项工作甲工程队单独施工需要30天才能完成，乙队单独需要20天才能完成。
现在由甲队单独工作5天之后，剩下的工作再由两队合作完成，问他们需要合作多少天？.
（分析：甲乙队合作之前，由甲队单独已完成的工作量为5×1/30；甲乙合作之后的工作效率之和为1/30 + 1/20；则可设他们需要合作x天。
）
解：设甲、乙两队需要合作x天，可完成剩下的所有工作，根据题意，得：
5×1/30 +（1/30 + 1/20）x＝1
5/30 + 5/60x＝1
5/60x＝1-5/30
5/60x＝25/30
x＝25/30÷5/60
x＝25/30×60/5
x＝10
（检验：5×1/30 + 10×1/30 + 10×1/20＝1，符合题意。
）
答：甲、乙两队需要合作10天，可完成剩下的所有工作.
3、一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，两人合作4天后，剩下的部分由乙单独做，需要几天完成？
（分析：甲、乙合作4天所完成的工作量为(1/10 + 1/15)×4，若设剩下的部分由乙单独做需要x天完成，则合作之后乙单独完成的工作量为1/15x）
答：设剩下的部分由乙单独做需要x天完成，根据题意，得：
（1/10 + 1/15）×4 + 1/15x＝1
5/30×4 + 1/15x＝1
20/30 + 1/15x＝1
1/15x＝1-20/30
1/15x＝10/30
x＝10/30÷1/15
x＝10/30×15
x＝5
(检验：1/10×4 + 1/15×4 + 1/15×5＝1符合题意。
)
答：剩下的部分由乙单独做需要5天完成.
4、某工程由甲、乙两队完成，甲队单独完成需16天，乙队单独完成需12天。
如先由甲队做4天，然后两队合做，问再做几天后可完成工程的六分之五？
（分析：工作总量单位为1，这道题涉及到的是总工程的5/6）
解：设两队合做，再做x天后可完成工程的六分之五，根据题意，得：
1/16×4 + (1/16 + 1/12)x＝5/6
4/16 + 7/48x＝5/6
7/48x＝5/6 - 4/16
7/48x＝28/48
x＝28/48÷7/48
x＝28/48×48/7
x＝4
（检验：1/16×4 + 1/16×4 + 1/12×4
＝1/4 + 1/4 + 1/3
＝1/2 + 1/3
＝5/6 符合题意。
）
答：两队合做，再做4天后可完成工程的六分之五.
5.已知某水池有进水管与出水管一根，进水管工作15小时可以将空水池放满，出水管工作24小时可以将满池的水放完；
（1）如果单独打开进水管，每小时可以注入的水占水池的几分之几？
答：单独打开进水管，每小时可以注入的水占水池的1/15。
（2）如果单独打开出水管，每小时可以放出的水占水池的几分之几？
答：单独打开出水管，每小时可以放出的水占水池的1/24。
（3）如果将两管同时打开，每小时的效果如何？如何列式？
（分析：工作效率之和为1/15 – 1/24）
解：设时间为x小时，根据题意，得：
当x＝1时，（1/15–1/24）x＝（1/15–1/24）×1＝8/120–5/120＝3/120＝1/40 答：如果将两管同时打开，每小时池子的进水量为1/40.
（4）对于空的水池，如果进水管先打开2小时，再同时打开两管，问注满水池还需要多少时间？
分析：进水管先打开2小时，注入的水量为1/15×2；再同时打开两管，注入的水量为若设时间为x，则注入水量为（1/15–1/24）x，前后注水量的总和等于注满水池的量（即单位1）.
解：设注满水池还需要x小时，根据题意，得：
1/15×2+（1/15–1/24）x＝1
2/15+1/40x＝1
1/40x＝1-2/15
1/40x＝13/15
x＝13/15÷1/40
x＝13/15×40
x＝104/3
答：注满水池还需要104/3小时。
6.有一个水池，用两个水管注水。
如果单开甲管，2小时30分注满水池，如果单开
乙管，5小时注满水池。
①如果甲、乙两管先同时注水20分钟，然后由乙单独注水。
问还需要多少时间才能把
水池注满？
（分析：本题中涉及到小时与分钟的换算20分钟等于1/3小时，除此之外，同前面几道题的解题思路相同。
）
解：设还需要x小时才能把水池注满，根据题意，得：
（1/2.5 + 1/5）×1/3 + 1/5x＝1
3/5×1/3 + 1/5x＝1
1/5 + 1/5x＝1
1/5x＝1 - 1/5
1/5x＝4/5
x＝4/5÷1/5
x＝4/5×5
x＝4
（检验：1/2.5×1/3 + 1/5×1/3 + 1/5×4
＝2/15 + 1/15 + 4/5
＝3/15 + 4/5
＝1 符合题意。
）
答：还需要4小时才能把水池注满.
②假设在水池下面安装了排水管丙管，单开丙管3小时可以把一满池水放完。
如果三
管同时开放，多少小时才能把一空池注满水？
（分析：三管的工作效率之和＝1/2.5 + 1/5–1/3）
解：设三管同时开放，x小时才能把一空池注满水，根据题意，得：
（1/2.5 + 1/5–1/3）x＝1
（2/5 + 1/5–1/3）x＝1
（3/5–1/3）x＝1
（9/15–5/15）x＝1
4/15x＝1
x＝1÷4/15
x＝1×15/4
x＝15/4（15/4＝3 + 3/4＝3 + 45/60，结论为：3小时45分钟）
∴答案是3小时45分钟
答：三管同时开放，3小时45分钟时才能把这个空池注满水。
7.整理一批图书，由一个人做要40小时完成。
现计划由一部分人先做4小时，再
增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作。
假设这些人的工作效率相同，具体先安排多少人工作。
提示：工作效率×工作时间×工作人数=工作总量（单位1），因此，若第一时间段安排了x个人工作，则第一工作时间段的工作量为1/40×4x；第二工作时间段的工作量为1/40×8(x+2)。
解：先安排了x个人工作，根据题意，得：设1/40×4x + 1/40×8(x+2)＝1
4/40x + 8/40(x+2)＝1
4/40x + 8/40x + 8/40×2＝1
4/40x + 8/40x + 16/40＝1
4/40x + 8/40x＝1 - 16/40
12/40x＝24/40
x＝24/40÷12/40
x＝24/40×40/12
x＝2
答：先安排了2个人工作.。