湖南省衡阳市2020届高三下学期第一次联考(一模)数学理科试题 含参考答案
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湖南省衡阳市 2020 届高三下学期第一次联考（一模）
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A =
x
x(
x
+
1)
0
,
B
=
x
1 2x
1 ，则 CB A =（
）
A. (−1,0]
B. (−1,0)
4 3 S = b2 + c2 − a2 ，若 a = 3 ，则 a − c =
．
3
sin A − sin C
15．已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，过点 F 作直线 l 与抛物线分别交于 A，B 两点，若第一
象限的点 M（t，2），满足 OM = 1 (OA + OB) （其中 O 为坐标原点），则 AB =
B. (−2,2)
C. (−, − 2][2,+)
D. (−, − 2) (2,+)
4. 已知 f (x) 是 定义 域为 R 的偶 函数 ，且在 (−,0) 上 单调 递增 ，若 a = f (log 1 3) ，
2
b = f (2−1.2 ) ， c = f ( 1 ) ，则 a、b、c 的大小关系为（ ） 2
A. e −1
B. e + 1
C.1 − e
D.1− 1 e
8.太极图被称为“中华第一图”，从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫等标记物，太极图无
不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼
太极图”。在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组来表示
x2 + y2 4
②线段 CM 的长为 3 ； 2
③异面直线 CM 与 NB1 所成角的正切值为
3； 3
④当三棱锥 D − ANB1 的体积最大时，三棱锥 D − ANB1 外接球表面积是 4 .正确的个数为
（）
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
第Ⅱ卷 本卷包括必考题与选考题两部分，第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．若曲线 y=x2+lnx 在点（1，1）处的切线与直线 x-ay+2=0 平行，则实数 a 的值为 ． 14．在△ABC 中，边 a，b，c 所对的角分别为 A，B，C．△ABC 的面积 S 满足
《缉古算经》等 10 部专著是了解我国古代数学的重要文献. 这 10 部专著中有 5 部产生与魏
晋南北朝时期. 某中学拟从这 10 部专著中选择 2 部作为“数学文化”课外阅读教材则所选 2
部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为（ ）
7
2
4
5
A.
B.
C.
D.
9
9
9
9
1
7.二项式 (mx −1)3(m 0) 展开式的第二项的系数为 − 3 ，则 m exdx 的值为（ ） 0
使
得对任意实数 x，总有 f (x1) f (x) f (x2 ) 成立，则 A x1 + x2 的最小值为（ ）
A.
1010
B.
2020
C.
3030
D.
4040
12.如图，矩形中 ABCD，BC=2AB=2，N 为边 BC 的中点，将△ABN 沿 AN 翻折成 B1AN （ B1 平面 ABCD），M 为线段 B1D 的中点，则在 ABN 翻折过程中，下列命题： ①与平面 B1AN 垂直的直线必与直线 CM 垂直；
C. (−,−1]
D. (−,0]
z 2.复数 z 在复平面内所对应的点的坐标为 (1,1) ，则 的实部与虚部的和是（ ）
z
A. 2
B.0
2
C.
2
D. 2 − 2 i 22
3.若“ x R ，使得 sin x − 3 cos x = a ”为真命题，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. [−2,2]
．
2
3
16 已知 m 为整数，若对任意 x (3,+) ，不等式 ln( x − 3) 1 恒成立，则 m 的最大值为
x
em
．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，） （一）必做题（共 60 分）
17．（本小题满分 12 分）已知 an 为等差数列，前 n 项和为 Sn，a3=9，S9=135．
（参考数据：1.015100 4.432，lg11 1.041）
A. y = 0.04x B. y =1.015x −1
C. y = tan( x −1) 19
D. y = log 11(3x −10)
10.已知 F1，F2 分别为双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0, b
0) 的左、右焦点，过点 F1 与双曲线的一
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）记数列
1
a2n
前
n
项和为
Tn，证明:
1 6
Tn
1 3
18．（本小题满分 12 分）如图，在多面体 ABCDE 中，DE∥AB，AC⊥BC，平面 DAC⊥平 面 ABC，BC=2AC=4，AB=2DE，DA=DC （1）若点 F 为 BC 的中点，证明:EF⊥平面 ABC； （2）若直线 BE 与平面 ABC 所成的角为 60°，求平面 DCE 与平面 ABC 所成的角（锐角） 的余弦值．
条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点 M，若 MF1 MF2 0 ，则该双曲线离心
率的取值范围是（ ）
A. (1, 2)
B. ( 3,+)
C. (1,2)
D. (2,+)
2
11.已知
A
是函数
f
(x)来自百度文库
=
sin( 2020
x
+
6
)
+
cos(2020
x
−
) 3
的最大值，若存在实数
x1,
x2
A. a c b
B. b c a
C. b a c
D. a b c
5.已知向量 a,b 满足： a = 2, b = 2，(a − b) ⊥ a ，则 a 在 b 方向上的投影为（ ）
A. −1
2
B.
2
C. 2
D.1
6.我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、
A = (x, y) x2 + ( y −1)2 1或x2 + ( y +1)2 1 ，设点 (x, y) A ，则 z = x + y 的取值范
x 0
围是（ ）
A.[1− 2,2 2]
B.[−2 2,2 2] C.[−2 2,1+ 2] D.[−2，1+ 2]
9.衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘. 某衡东土菜馆为实现 100 万元年经营利润目标，拟制定员 工的奖励方案：在经营利润超过 6 万元的前提下奖励，且奖金 y（单位：万元）随经营利润 x（单位：万元）的增加二增加，但奖金总数不超过 3 万元，同时奖金不能超过利润的 20%. 下列函数模型中，符合该点要求的是（ ）
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A =
x
x(
x
+
1)
0
,
B
=
x
1 2x
1 ，则 CB A =（
）
A. (−1,0]
B. (−1,0)
4 3 S = b2 + c2 − a2 ，若 a = 3 ，则 a − c =
．
3
sin A − sin C
15．已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，过点 F 作直线 l 与抛物线分别交于 A，B 两点，若第一
象限的点 M（t，2），满足 OM = 1 (OA + OB) （其中 O 为坐标原点），则 AB =
B. (−2,2)
C. (−, − 2][2,+)
D. (−, − 2) (2,+)
4. 已知 f (x) 是 定义 域为 R 的偶 函数 ，且在 (−,0) 上 单调 递增 ，若 a = f (log 1 3) ，
2
b = f (2−1.2 ) ， c = f ( 1 ) ，则 a、b、c 的大小关系为（ ） 2
A. e −1
B. e + 1
C.1 − e
D.1− 1 e
8.太极图被称为“中华第一图”，从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫等标记物，太极图无
不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼
太极图”。在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组来表示
x2 + y2 4
②线段 CM 的长为 3 ； 2
③异面直线 CM 与 NB1 所成角的正切值为
3； 3
④当三棱锥 D − ANB1 的体积最大时，三棱锥 D − ANB1 外接球表面积是 4 .正确的个数为
（）
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
第Ⅱ卷 本卷包括必考题与选考题两部分，第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．若曲线 y=x2+lnx 在点（1，1）处的切线与直线 x-ay+2=0 平行，则实数 a 的值为 ． 14．在△ABC 中，边 a，b，c 所对的角分别为 A，B，C．△ABC 的面积 S 满足
《缉古算经》等 10 部专著是了解我国古代数学的重要文献. 这 10 部专著中有 5 部产生与魏
晋南北朝时期. 某中学拟从这 10 部专著中选择 2 部作为“数学文化”课外阅读教材则所选 2
部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为（ ）
7
2
4
5
A.
B.
C.
D.
9
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9
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1
7.二项式 (mx −1)3(m 0) 展开式的第二项的系数为 − 3 ，则 m exdx 的值为（ ） 0
使
得对任意实数 x，总有 f (x1) f (x) f (x2 ) 成立，则 A x1 + x2 的最小值为（ ）
A.
1010
B.
2020
C.
3030
D.
4040
12.如图，矩形中 ABCD，BC=2AB=2，N 为边 BC 的中点，将△ABN 沿 AN 翻折成 B1AN （ B1 平面 ABCD），M 为线段 B1D 的中点，则在 ABN 翻折过程中，下列命题： ①与平面 B1AN 垂直的直线必与直线 CM 垂直；
C. (−,−1]
D. (−,0]
z 2.复数 z 在复平面内所对应的点的坐标为 (1,1) ，则 的实部与虚部的和是（ ）
z
A. 2
B.0
2
C.
2
D. 2 − 2 i 22
3.若“ x R ，使得 sin x − 3 cos x = a ”为真命题，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. [−2,2]
．
2
3
16 已知 m 为整数，若对任意 x (3,+) ，不等式 ln( x − 3) 1 恒成立，则 m 的最大值为
x
em
．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，） （一）必做题（共 60 分）
17．（本小题满分 12 分）已知 an 为等差数列，前 n 项和为 Sn，a3=9，S9=135．
（参考数据：1.015100 4.432，lg11 1.041）
A. y = 0.04x B. y =1.015x −1
C. y = tan( x −1) 19
D. y = log 11(3x −10)
10.已知 F1，F2 分别为双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0, b
0) 的左、右焦点，过点 F1 与双曲线的一
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）记数列
1
a2n
前
n
项和为
Tn，证明:
1 6
Tn
1 3
18．（本小题满分 12 分）如图，在多面体 ABCDE 中，DE∥AB，AC⊥BC，平面 DAC⊥平 面 ABC，BC=2AC=4，AB=2DE，DA=DC （1）若点 F 为 BC 的中点，证明:EF⊥平面 ABC； （2）若直线 BE 与平面 ABC 所成的角为 60°，求平面 DCE 与平面 ABC 所成的角（锐角） 的余弦值．
条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点 M，若 MF1 MF2 0 ，则该双曲线离心
率的取值范围是（ ）
A. (1, 2)
B. ( 3,+)
C. (1,2)
D. (2,+)
2
11.已知
A
是函数
f
(x)来自百度文库
=
sin( 2020
x
+
6
)
+
cos(2020
x
−
) 3
的最大值，若存在实数
x1,
x2
A. a c b
B. b c a
C. b a c
D. a b c
5.已知向量 a,b 满足： a = 2, b = 2，(a − b) ⊥ a ，则 a 在 b 方向上的投影为（ ）
A. −1
2
B.
2
C. 2
D.1
6.我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、
A = (x, y) x2 + ( y −1)2 1或x2 + ( y +1)2 1 ，设点 (x, y) A ，则 z = x + y 的取值范
x 0
围是（ ）
A.[1− 2,2 2]
B.[−2 2,2 2] C.[−2 2,1+ 2] D.[−2，1+ 2]
9.衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘. 某衡东土菜馆为实现 100 万元年经营利润目标，拟制定员 工的奖励方案：在经营利润超过 6 万元的前提下奖励，且奖金 y（单位：万元）随经营利润 x（单位：万元）的增加二增加，但奖金总数不超过 3 万元，同时奖金不能超过利润的 20%. 下列函数模型中，符合该点要求的是（ ）