第6章 位移法
《结构力学习题集》6-位移法
第六章 位移法一、是非题1、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。
2、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静定的。
3、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。
4、结 构 按 位 移 法 计 算 时 ， 其 典 型 方 程的 数 目 与 结 点 位 移 数 目 相 等 。
5、位移法求解结构内力时如果P M 图为零，则自由项1P R 一定为零。
6、超 静 定 结 构 中 杆 端 弯 矩 只 取 决 于杆 端 位 移 。
7、位 移 法 可 解 超 静 定 结 构 ，也 可 解 静定 结 构 。
8、图示梁之 EI =常数，当两端发生图示角位移时引起梁中点C 之竖直位移为(/)38l θ（向下）。
/2/22l l θθC9、图示梁之EI =常数，固定端A 发生顺时针方向之角位移θ，由此引起铰支端B 之转角（以顺时针方向为正）是 -θ/2 。
10、用位移法可求得图示梁B 端的竖向位移为ql EI 324/。
q l 11、图 示 超 静 定 结 构 ， ϕD 为 D 点 转 角 （顺 时 针 为 正）， 杆 长 均 为 l , i 为 常 数 。
此 结 构 可 写 出 位 移 法 方 程 111202i ql D ϕ+=/。
二、选择题1、位 移 法 中 ，将 铰 接 端 的 角 位 移 、滑 动支 承 端 的 线 位 移 作 为 基 本 未 知 量 ：A. 绝 对 不 可 ；B. 必 须 ；C. 可 以 ，但 不 必 ；D. 一 定 条 件 下 可 以 。
2、AB 杆 变 形 如 图 中 虚 线 所 示 ， 则 A 端的 杆 端 弯 矩 为 ：A.M i i i l AB A B AB =--426ϕϕ∆/ ;B.M i i i l AB A B AB =++426ϕϕ∆/ ;C.M i i i l AB A B AB =-+-426ϕϕ∆/ ;D.M i i i l AB A B AB =--+426ϕϕ∆/。
第六章 位移法
ql 2 8
2）令B结点产生转角 B ( ) 。此时AB、BC杆 类似于B端为固端且产生转角 的单跨超静定梁。 B
9
A A
i i
B
B
i
C i
B 3i B
B
B
3i B
B
EI i l
C
3）杆端弯矩表达式
M BA 3i B M BC ql 2 3i B 8
F l/2 A B EI = 常数 l D l l
结点B只转动一个角度，没有水平和竖向位移。 力 法：六个未知约束力。 位移法：一个未知位移（θB）。
C
F
B
C
B
F
B
B
C
l
l/ 2
l/2
A
l/ 2
l/ 2
三次超静定图示刚架
力
法：三个未知约束力。
位移法：一个未知位移（θB）。
二、 位移法基本思路
（８-6）
位移法典型方程的物理意义：基本结构在荷载和 各结点位移共同作用下，各附加约束中的反力等于零, 反映了原结构的静力平衡条件。
二、位移法典型方程
对于具有n个独立结点位移的的结构,有n个基本 未知量,可建立n个平衡方程，位移法典型方程
r11Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r21Z1 r22 Z 2 r2 n Z n R2 P 0 rn1 Z1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0
r11 r 21 rn1
r12 r1n Z1 R1P 0 Z R 0 r22 r2 n 2 2P rn 2 rnn Z n RnP 0
结构力学：矩阵位移法
2 i2 i
3
k21 k31
=1 k22
k32
若 1 1,2 3 0
P1 P2 p3
k11 k21 k31
kij ---发生 j 1, 其它结点位
移为零位移时在 i结点所需
加的结点力.
k13
k23 k33
=1
结构刚度矩阵性质:对称矩阵
总刚的形成方法 ---“对号入座”
P3
k22112
k222
2 2
结构刚度矩阵中元素的物理意义
k11 k12 k13
k k21
k22
k23
k31 k32 k33
P1 k11 k12 k13 1
P2
k21
k22
k23
2
p3 k31 k32 k33 3
1 P1 1
1 i1 i
k11
=1
k12
P2
2
2
P3
3
k31 0 k32 k221 k33 k222
四.计算杆端力
P k 计算结点位移 Fe ke e 计算杆端力
1 P1 1
1 i1 i
P2
2
2
P3
3
2 i2 i
3
四.计算杆端力
6kN.m 3kN.m 3kN.m
P k 计算结点位移 Fe ke e 计算杆端力
i1 1
i2 2
1
2
1/ 2
3
7/2
3.解方程,求位移 17 /12
变形条件
P1
①
P2
②
P3
F11
F21
F12
F22
单元刚度方程
F1e
k1e11e
第六章位移法
第六章位移法学习目的和要求位移法是超静定结构计算的基本方法之一，许多工程中使用的实用计算方法都是由位移法演变出来的，是本课程的重点内容之一。
本章的基本要求：1.熟练掌握位移法基本未知量和基本结构的确定、位移法典型方程的建立及其物力意义、位移法方程中的系数和自由项的物理意义及其计算、最终弯矩图的绘制。
2.熟记一些常用的形常数和载常数。
3.熟练掌握由弯矩图绘制剪力图和轴力图的方法。
4.掌握利用对称性简化计算。
5.重点掌握荷载荷载作用下的计算，了解其它因素下的计算。
6.位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和写平衡方程法。
要求熟练掌握一种，另一种了解即可。
学习内容位移法的基本概念。
跨超静定梁的形常数、载常数和转角位移方程。
位移法基本未知量和位移法基本结构的确定。
用位移法计算刚架和排架。
利用对称性简化位移法计算。
直接用结点、截面平衡方程建立位移法方程。
§6.1位移法基本概念1、位移法的特点：欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。
超静定结构计算的两大基本方法是力法和位移法。
力法的特点：基本未知量——多余未知力；基本体系——静定结构；基本方程——位移条件（变形协调条件）。
位移法的特点：基本未知量——独立结点位移；（例子86）基本体系——一组单跨超静定梁；（例子87）基本方程——平衡条件。
（例子88）因此，位移法分析中应解决的问题是：①确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。
②确定结构独立的结点位移。
③建立求解结点位移的位移法方程。
下面先看第一个问题：确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。
2、杆端力和杆端位移的正负规定：杆端转角θA 、θB，弦转角β＝Δ/l都以顺时针为正。
杆端弯矩对杆端以顺时针为正，对结点或支座以逆时针为正。
剪力使分离体有顺时针转动趋势时为正，否则为负。
（与材料力学相同）3、等截面直杆的形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力。
如右图两端固定梁，由右端单位转角作用下产生的杆端力，可用力法求解，并令：得到杆端弯矩（即形常数）为：各种情形的形常数都可有力法求出如下表：4、等截面直杆的载常数:仅由跨中荷载引起单跨超静定梁的杆端力称为载常熟，也叫固端力。
第六章位移法
第六章位移法一、几个值得注意的问题1、位移法的适用条件（1）位移法既可以求解超静定结构，也可以求解静定结构；正，顺时针为负。
4柱顶有相同的水平线位移。
(图中的-=50。
B 点以6-1-17 用位移法计算某一结构后，当荷载改变了，这应重新计算位移法基本方程式中的全部系数和自由项。
( )6-1-18 图6-1-5所示结构对称，荷载为反对称,用位移法计算时结点位移基本未知量最少可取为2个。
( )图6-1-56-1-19 位移法典型方程的右端项一定为零。
（)6-1-20 用位移法求解结构内力时如果PR一定为零。
（）M图为零，则自由项1P6-1-21 结构按位移法计算时，其典型方程的数目与结点位移数目相等。
()6-1-22 位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。
( )6-1-23 位移法的基本结构为超静定结构。
( )6-1-24 位移法是以某些结点位移作为基本未知数，先求位移，再据此推求内力的一种结构分析的方法。
（）6-1-26 图6-1-7所示结构的位移法基本体系，其典型方程系数k为20，图中括号内数字为线刚度。
11（）6-1-306-1-31 超静定结构中杆端弯矩只取决于杆端位移。
（）6-1-32 位移法中的固端弯矩是当其基本未知量为零时由外界因素所产生的杆端弯矩。
（）6-1-33 图6-1-12a对称结构可简化为图（b）来计算。
（）6-1-34 位移法中角位移未知量的数目恒等于刚结点数。
（）q，线位移未知量为_______。
图6-2-26-2-3 图6-2-3所示结构位移法基本方程的系数k11= __________EI/l。
A.18；B. 16；C.15；D.17。
A.附加约束i发生Z i=1时在附加约束i上产生的反力或反力矩；B.附加约束i发生Z i=1时在附加约束j上产生的反力或反力矩；C.附加约束j发生Z j=1时在附加约束i上产生的反力或反力矩；D.附加约束j发生Z j=1时在附加约束j上产生的反力或反力矩。
第六章 位移法
r11 Z1
EI
B
2EI iBC iCE 4
r EI 21 C
EI iBA iCD 4
E
M 0
2EI
A 0.5EI
D
M
图
1
r11 3EI
r12
r Z2 2EI 22
E
B
EI C
EI
1.5EI
r12 r21 EI r22 4.5EI
A
D 0.5EI M 2图
R R 30
Z1
R11
7EI l
Z1
实现位移状态可分两步完成：
1）在可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作 用下，附加约束上产生附加约束力； 2）在附加约束上施加外力，使结构发生与原结构一 致的结点位移。
分析：
1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特 征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；
2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约 束上的附加内力应等于0，按此可列出基本方程。
原结构上原本没有附加刚臂，故基本结构附加刚臂 上的约束力矩应为零。即
R1F
ql2 8
7EI R11 l Z1
R11 R1F 0 R11 r11Z1
r11Z1 R1F 0 （a）
Z1
ql 3 56 EI
式（a）称为位移法方程。式
r 中由：项。11它称们为的系方数向；规R1定F称与为Z1自方
A 0.5EI
D
M1图
R R 30
10k1NF·m
26.67 26.67 20kN/m
2F
40kN E
B
C
25
r12 B EI
结构力学(I)-结构静力分析篇6 矩阵位移法
用数字描述体系的位置，单元的属性。
10 / 105
第六章
例如
单元 FP
矩阵位移法
3(5,6)FP
2
1
2
2
结点
1
1(1,2) 单元方向 1
1
2(3,4)
2
1,2,3 ----结构结点编码（总码） (1,2,3) ----结点位移编码
1 2 ----杆端结点编码（局码）
1 2 ----单元编码
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9 / 105
第六章
矩阵位移法
六、结构的离散化工作
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干 个各自独立的单元，单元之间是由结点连接，用 此计算模型模拟原结构的受力和变形特性。 模型和原结构是有差别的，这个差别可以通 过单元的适当选取给予降低。 主要工作：单元的划分；体系的数字化。
直杆体系按自然选取杆件的汇交点、截面的 变化点、支撑点或荷载作用点作为结点，将结构 划分成一系列只在结点相连的单元集合。
EA l e
矩阵位移法
0
6 EI l2 4 EI l
0
12 EI l3 6 EI l2
EA l
0 12l EI 3 6lEI 2 0
12 EI l3 6 EI l2
0 0
EA l
0 12l EI 3
6 EI l2
0 6lEI 2
2 EI l
0 0
0 1 6 EI l2 2 2 EI 3 l 0 4 6lEI 5 2 4 EI 6 l
单元刚度方程
F k
e e
e
第6章位移法
6.1 基本概念
对于一些高次超静定结构，如果采用力 法求解将非常麻烦。于是，人们在力法的基础 上又提出了另一种重要解法—位移法。
位移法是人为地增加约束装置使原结构成 为若干根相对独立的单跨超静定梁，因此位移 法的计算基础并非静定结构，而是单跨的超静 定梁。
2
力法：以超静定结构中的某些多余未知力作为 基本未知量的，并借助变形协调条件求得未知 力后，再计算结构的内力和位移。 位移法：以某些结点位移作为基本未知量，通 过结构的位移与内力之间的物理对应关系（即 所谓的“转角位移方程”）求得内力。
θB
B
C
A
D
（a）原结构
A
D
（b）铰化图
支座刚结点因转 角为零，不是角
位移未知量
A
D
（c）加入附加链杆
A
D
（d）基本未知量
15
例2
D
D
E
E F
D
G
F G
D E
弹性铰接杆 轴向变形不能忽略
EA≠
E
B
C
F G
F G
A
BC
A
BC
A
D
加入2根链杆
EA≠
B
C
A
D
（a）原结构
（b）铰化图
使相邻侧的 截面顺时针 转动为正
（a）杆端位移示意图
（b）杆端内力示意图
7
6.2.1 两端固定梁的转角位移方程
单跨超静定梁的杆端内力由两部分因素组成: 一．由一般荷载及温度变化引起，称为固端内 力，通常用和分别表示固端弯矩和固端剪力； 二．由杆端位移（相当于支座变位）引起的内
力。
8
现以采用力法，取如图示为基本结构求解：
第6 章位移法汇总
1
2 D B
P
A F11 发生位移Δ1 C D B
基本体系
F2P
F12 F21
C
发生位移Δ2 D F22
P
A B
＋
A B
＋
A B
F11 ＋ F12 ＋F1P = 0 F21 ＋ F22 ＋F2P = 0
k11 Δ 1 ＋ k12 Δ 2 ＋F1P = 0 k21 Δ 1 ＋ k22 Δ 2 ＋F2P = 0
附加刚臂
F1P
P
C
A φA
A
P φA
C
A
P
C
L/2
B
F11 A Δ1 = φA
B C
忽略轴向变形和剪切变形的影响， 在微弯状态下，假定受弯直杆两端之 间距离在变形前后保持不变，故结点 A只有转角位移。这就是位移法的基 本未知量。 附加刚臂的作用：只限制结点的转 动不限制结点的线位移。
B
F11 ＋ F1P = 0
1、一个基本未知量（见前面）
k11 Δ1 ＋ F1P = 0 式中：k11 为基本结构在单位位移Δ1=1单独作用时其 附加约束中的约束力矩； F1P 为基本结构在荷载单独作用时其附加约束中 的约束力矩；
2、二个基本未知量 基本未知量：结点C的 转角Δ1和结点D的水平 位移Δ2
F1P C D C
D
C
系数和自由项的物理意义见教材189页（必须理解！）
3、多个基本未知量 k11 Δ 1 ＋ k12 Δ 2 ＋··· ＋ k1n Δ n ＋F1P = 0 k21 Δ 1 ＋ k22 Δ 2 ＋··· ＋ k2n Δ n ＋F2P = 0 ························· kn1 Δ 1 ＋ kn2 Δ 2 ＋··· ＋ knn Δ n ＋FnP = 0 kij 称为刚度影响系数，它的物理意义见教材189页 kij = kji
结构力学课后习题解答：6位移法习题解答
第6章位移法习题解答习题6.1确定用位移法计算习题6.1图所示结构的基本未知量数目，并绘出基本结构。
（除注明者外，其余杆的EI为常数。
）(a) (b) (c) (d)习题6.1图【解】各题基本未知量（取独立未知结点位移为基本未知量）如下：（a）n=4 （b）n=2 （c）n=6 （d）n=8习题6.2是非判断(1)位移法基本未知量的个数与结构的超静定次数无关。
（）(2)位移法可用于求解静定结构的内力。
（）(3)用位移法计算结构由于支座移动引起的内力时，采用与荷载作用时相同的基本结构。
（）(4)位移法只能用于求解连续梁和刚架，不能用于求解桁架。
（）【解】（1）正确。
位移法求解时基本未知量是结构的未知结点位移，与结构是否超静定无关。
（2）正确。
无任何结点位移发生的静定结构内力图可利用载常数直接确定；有结点位移发生的静定结构则可利用位移法的一般步骤计算。
（3）正确。
用位移法计算支座位移引起的内力时，可采用与荷载作用相同的基本结构，自由项可根据形常数和支移值确定。
（4）错误。
只要能够取得杆端力与杆端位移之间的函数关系，位移法就可用于求解任何杆系结构。
习题6.3已知习题6.3图所示刚架的结点B产生转角θB =π/180，试用位移法概念求解所作用外力偶M。
习题 6.3图【解】30i π 。
发生转角θB 时，可直接求得结点B 所连的各杆端弯矩，再由结点B 的平衡条件即可得M 。
习题6.4 若习题6.4图所示结构结点B 向右产生单位位移，试用位移法中剪力分配法的概念求解应施加的力F P 。
习题 6.4图【解】315lEI。
结点B 向右产生单位位移时，横梁所连各柱端剪力之和即为F P 。
习题6.5 已知刚架的弯矩图如习题6.5图所示，各杆EI =常数，杆长l =4m ，试用位移法概念直接计算结点B 的转角θB 。
m习题 6.5图【解】由M 图可知，BC 杆上无外荷载，其杆端弯矩为330BC BC B M i θ==-，由此求得40B EIθ=-。
位移法
增设的附加链杆数目即为结点的独立线位移的个数。
B
C
B
C
A
D
A
D
C B
A
D
C
A
B
D
E
C
FR
2
k211
k222
k2nn
FR 2Βιβλιοθήκη P0g
g
g
FRn kn11 kn22 knnn FRnP 0
kij ：刚度系数（劲度系数）。FRiP ：自由项。
主系数 kii>0，副系数 kij ( i ≠j ) 可正、可负或为零，
3.求解典型方程，得到未知量。
4.按叠加原理绘制弯矩图，再由平衡条件求出杆端剪力 和轴力，作图。
对于具有n个独立结点位移的结构，共有n个基 本未知量，为了控制所以结点的位移需要加入n个附 加约束，根据每一个附加约束上约束反力等于零的条 件，可建立n个方程：
FR1 k111 k122 k1nn FR1P 0
第6章 位移法
§6.1 位移法的基本概念
发展历史：
1864年出现力法，可求解任何超静定结构。
力法：
以多余约束力作为基本未知量，根据位移条件，求 出多余约束力，然后利用叠加原理计算内力。
上世纪初出现了混凝土，出现了高次超静定结 构，用力法解高次超静定问题十分繁琐，于是建立 了位移法。
P
结构力学教案_第6章_位移法
第6章 位移法6.2等截面直杆的转角位移方程一、为什么要研究等截面直杆的转角位移方程1、位移法是以等截面直杆（单跨超静定梁）作为其计算基础的。
2、等截面直杆的杆端力与荷载、杆端位移之间恒具有一定的关系——“转角位移方程 ” 。
3、渐近法中也要用到转角位移方程。
二、杆端力的表示方法和正负号的规定1、弯矩：M AB 表示AB 杆A 端的弯矩。
对杆端而言，顺时针为正，逆时针为负；对结点而言，顺时针为负，逆时针为正。
2、剪力：Q AB 表示AB 杆A 端的剪力。
正负号规定同“材力”。
3、固端弯矩、固端剪力：单跨超静定梁仅由于荷载作用所产生的杆端弯矩称为固端弯矩，相应的剪力称为固端剪力。
用M AB 、M BA 、Q AB 、Q BA 表示。
三、两端固定梁的转角位移方程1、线刚度2、弦转角四、一端为固定、另一端铰支的单跨超静定梁五、一端固定、另一端为滑动支座（定向支承）的单跨超静定梁B AM A B <0M B A >0Q A B >06.1 位移法的基本概念一、解题思路以图（b’）、（c’）（d’）分别代替图（b ）、（c ）、（d ）：二、解题示例φBz 1(a )(b )(c ) (d ) (b’) (c’)(d’)3ql/76.3 基本未知量数目的确定一、基本未知量1、结点角位移2、结点线位移二、基本假设1、小变形假设。
2、不考虑轴力和弯曲内力、弯曲变形之间相互影响。
（采用上述假设后，图示刚架有3个基本未知量。
）三、如何确定基本未知量1、在刚结点处加上刚臂。
2、在结点会发生线位移的方向上加上链杆。
3、附加刚臂与附加链杆数目的总和即为基本未知量数目。
四、确定线位移的方法（1）由两个已知不动点所引出的不共线的两杆交点也是不动点。
2M 1图MP 图M 图A（2）把刚架所有的刚结点（包括固定支座）都改为铰结点，如此体系是一个几何可变体系，则使它变为几何不变体系所需添加的链杆数目即等于原结构的独立线位移数目。
第6章 第1讲 - 位移法、半空间体受重力和均布压力
6-1 位移法、半空间体受重力和均布压力6-2 半空间体在边界上受法向集中力
6-3 应力法
6-4 等截面直杆的扭转
1
第1讲位移法、半空间体受重
力和均布压力
所谓位移法，就是按位移求解的方法，其核
心思想是以位移分量为基本未知函数，需要从基
本方程中消去应变和应力，得到只含位移的基本
方程，并将边界条件全部用位移来表示。
2
接下来，作为例子，我们应用位移法，并结合半逆解法的思想，来求解半空间体受重力和均布压力的问题。
7
设有半空间体，密度为 ，在其表面受均布压力q ，如图所示。
以边界面为xy 平面，z 轴铅直向下，这样，体力分量就是
0, x y z g
f f f 由于水平方向无荷载作用，并且任一铅直平面都是对称面，试假设：
0, 0, ()
u v w w z O
x
z
q
g
采用位移法求解
8
q
q
q
q
q
本节我们首先在直角坐标系中导出了空间问题按位移求解（位移法）的基本方程——拉梅-
纳维方程，给出了位移法的完整表述。
作为例子，我们求解了半空间体受重力和均布压力的问题，采用了半逆解法，即先根据已知信息假设解答的形式，再尝试令其满足所有条件以求得正确解答的方法。
我们最终求得了该问题的位移和应力解答，据此还给出了土力学中侧压力系数的公式。
14。
结构力学第六章位移法
面投影平衡求附加支杆中的反力。
13
16
↓↓↓↓↓↓↓↓
28 30
15kN/m 48kN
15kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
F1
48kN
Δ1 4m 当F1=0
基本体系
30 i
M图 (kN.m)
4m
i Δ1 30 2 i
2m k11 i 4i
Δ1=1
2m
20
15kN/m
F1P 36 20 MP
↓↓↓↓↓↓↓↓
48kN
2i k11 =8i 4i i 3i
3i
D1
M1
+
F1P=－16 20 0
36
F k11D1 F1P 0
M M 1D1 M P 叠加弯矩图
mAB
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
l，EI
l
ql2/2
M1
X1=1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M图
ql 2 mAB 8
mBA 0
8
4、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式：
D M AB 4i A 2i B 6i +mAB l D M BA 2i A 4i B 6i +mBA l
16
§6.5 位移法计算示例
一、连续梁
A
20kN
2kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1）确定基本未知量Δ1=θB ； 15 2）确定位移法基本体系； A 3）建立位移法典型方程；
结构力学[第六章位移法和力矩分配法]课程复习
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第六章位移法和力矩分配法一、基本内容及学习要求本章内容包括：位移法的基本概念，位移法基本未知量的确定，位移法的计算步骤和示例，位移法的典型方程，力矩分配法的基本概念，力矩分配法计算连续梁和无结点线位移刚架，超静定结构的受力分析和变形特点等。
重点是位移法的基本原理及用位移法计算刚架，力矩分配法的基本原理和计算方法。
位移法是解算超静定结构的基本方法之一，力矩分配法是由位移法演变出来的常用渐进解法。
通过本章学习应达到：(1)掌握位移法的基本原理，准确判定位移法的基本未知量。
(2)灵活应用等截面单跨超静定梁的转角位移方程[教材式(5—3)～(5—6)]或表5—1，确定各种外因影响下的杆端弯矩和杆端剪力。
(3)熟练掌握位移法计算超静定梁和刚架的方法及步骤。
对照力法典型方程，加深对位移法典型方程的理解。
(4)掌握力矩分配法的计算原理和步骤，会计算连续梁和无结点线位移刚架。
(5)初步了解超静定结构的受力特点和变形性能。
根据不同结构选择合理的计算方法。
二、学习指导(一)位移法的解题思路§6—l以两跨连续梁为例说明了位移法的解题思路：(1)把超静定结构转化为由单跨超静定梁构成的组合体，用后者代替前者计算。
(2)利用单跨梁已知的转角位移方程，应用变形协调条件，建立结点位移与单跨梁杆端内力问的关系。
(3)根据组合体与原结构受力一致应满足的平衡条件，建立以结点位移为基本未知量的位移法方程。
(4)解方程求出结点位移，进而计算单跨梁的杆端内力。
教材§6—3以示例阐明了位移法的计算步骤和实际应用。
此外，教材§6—4介绍了建立位移法方程的另一途径，即首先选取基本结构，然后根据基本结构受力和变形应与原结构一致的条件建立位移法典型方程，求出其系数和自由项，同样解方程求得结点位移并绘出最后弯矩图。
其实，两种方式本质完全相同，只是建立方程的途径不同而已。
针对图6．1 a所示刚架的计算过程，可做如下扼要对比(表6．1)。
结构力学课件位移法典型方程
6.3 位移法的典型方程
Canonical equations of displacement method
1. 位移法基本方程的建立
两种途径： 典型方程法：将杆端力视为各影响因素单独作用效果的 叠加，由此借助平衡条件建立位移法方程。（讲授）
直接平衡法：直接利用转角位移方程，按照结点或截面 的平衡条件建立位移法方程。（自学）
······ rn1Z1 + r n2Z2 + ···+ rnnZn + RnP = 0
可用矩阵表示为：[r]{Z} +{RP} = {0}
位移法方程的物理意义： 基本结构在荷载和结点位移作用下，附加约束反力等于零。
[r]{Z} +{RP} = {0}
式中： rii 为基本结构仅在单位结点位移Zi =1单独作用时，在附加约束 i 中产生的约束力; rij 为基本结构仅在单位结点位移Zj =1单独作用时，在附加约束 i 中 产生的约束力（i≠j） RiP 为基本结构在荷载单独作用（结点位移都锁住）时，在附加约 束 i 中产生的约束力
EI Z2
FP
EI
EA
l
2EI EI l
l
r21
3i/l
12i/l
12i/l
3i/l
Z2=1
Z1=1 r22
r11
3i
M1
4i
Z1 r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
r12
M2
R2P FP
R1P
MP
0.24FPl
M
0.39FPl 0.13FPl
r11 30i / l 2
10kNm
2EI
第6章 位移法
1、确定杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系 2、确定结构中哪些结点位移作为基本未知量。 3、如何建立求解基本未知量的位移法方程式。
§6–3 无侧移刚架的计算
如果刚架的各结点（不包括支座）只有角位移而没有线位 移，这种刚架叫做无侧移刚架。
连续梁的计算也属于无侧移问题。 BC杆
1．由支座位移求固端弯矩
三种基本杆件 （1）两端固定的梁； （2）一端固定、另一端简支的梁； （3）一端固定、另一端滑动支承的梁。
等截面直杆的形常数和载常数 符号规定：
杆端弯矩:绕结点逆时针为正，绕杆端顺时针为正。
杆端剪力——绕隔离体顺时针转动为正。 结点转角——顺时针为正。 杆两端的相对位移——使杆件产生顺时针转动为正。
附加 刚臂
ql
q
附加 链杆
附加刚臂限制结点角位移，荷载作用下附加刚臂上产
生附加弯矩
附加链杆限制结点线位移，荷载作用下附加链杆上产生 附加集中力
ql
q
由于有附加约束的作用，结构被隔离成几个 单个杆件的集合，由此可对各杆进行杆件分析
如下例：
q B
C
EI . l
EI . l
A B
C
A
B
载常数：单跨超静杆件在荷载等外部因素作用下引 起的杆端内力，常称为固端内力（包括固端弯矩和固 端剪力）。
6.1.3位移法的基本未知量和基本结构
位移法基本概念可知，如结构的每根杆件的杆 端位移已知，即可求出杆件内力。 又由于汇交于刚 结点处各杆端位移相等，且等于结点位移，位移法 把结构的独立结点位移作为基本未知量。结点位移 由结点角位移和结点线位移两部分组成，则基本未 知量由结点角位移和结点线位移两部分组成。同时 位移法引入变形假设： 假设结构变形是微小的；忽 略受弯直杆（件）的轴向变形和剪切变形对结点位 移的影响。
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1
60kN 1
21kN/m
1
150kN.m 2
1.5
1
3
弯矩，作弯矩图。
已知各杆线刚度：梁 为1，柱为1.5。 （2）固端弯矩为
F 01
2m 2m 4
1.5
5m
5
8m (a)荷载图
4m
2m
2。 解：（1）基本未知量为 1 、
3 1 F M Pl 90kN m M Pl 30kN m 10 8 8 1 F F M 12 21 64 112kN m M 21 112kN m 12 F M 23 50kN m
上式称为等截面直杆的转角位移方程，反映杆端力与杆 端位移间的关系。其中固端弯矩和剪力与跨间荷载有关，称 为载常数。常用荷载下的载常数见表 6.1。
6.2 等截面直杆的转角位移方程
6.2.2 转角位移方程的简化
转角位移方程 (6.2) 适用于两端均为刚结点的一般形式, 对
于下列两种特殊情况,方程形式可以简化。
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
（3）建立位移法方程
结点1： F M12 4i21 2i22 M12 41 22 112 M14 4 1.51 61
F M10 i11 M10 1 90
(e) (f)
结点 1 的力矩平衡方程：
0 2m
30kN
7.2kN/m 1 2 2m
20kN
3 2m
2 4m (a)荷载图
1.5
3
3m
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
(3) 利用转角位移方程（6.2），写出结点 1 和结点 2 相关 杆件的近端弯矩，并按力矩平衡条件建立基本方程。
F 结点1： M 10 4i11 M 10 121 15
（ c）
EI 其中 i ,称为杆的线刚度。杆端剪力为: l 6i FQba ( a b ) FQab l
??
式（c）也可用力法导出（§5. 5，支座位移问题）
6.2 等截面直杆的转角位移方程 M
Mab
Mab
//
// 2 M/ba l
//
a
a
// 2 M/ba l
Mab
F
a
Fp
b
M/ba
F
剪力为 FQFab 、 FQFba , 称为荷载作用下的固端弯矩 和固端剪力
FQab
F
F
(d)
FQba
F
图 6.2
根据 叠加原理 和力与位移的正负号规定，有:
' " F M ab M ab M ab M ab ' " F M ba M ba M ba M ba ' " F FQab FQ F F ab Qab Qab ' " F FQba FQ F F ba Qba Qba
（e）
（f）
∴
M ab 6i Mba
此式同样可用力法导出
6.2 等截面直杆的转角位移方程
相应的杆端剪
FQab 12i FQba
(g)
b a 在上两式中， ，称为杆件的侧移角（弦转角）。 l l
将式( c )、( d ) 和 ( f ) 、( g ) 代入 ( a ) 得：
1 、 2。 解：(1) 基本未知量：
F M 01 F M 10 F M 12 F M 21 F M 23 F M 32
(2) 按表6.1 求固端弯矩：
1 Pl 15kN m 8 1 Pl 15kN m 8 1 ql 2 9.6kN m 12 1 2 ql 9.6kN m 12 2 Pab 2 14.4kN m l 2 Pa b 2 9.6kN m l
(1) 远端铰接 (图6.4a)。简化为:
M ab 3i( a ) M FQab 3i F ( a ) FQab l
F ab
Mab
a
EI,l
b
(6.3)
Qab F
(a)
F 其中修正的固端弯矩 M ab
F 和固端剪力 F Qab
按下式确定：
M
F ab
F FQab
1 F M M ba 2 3 F F FQab M ba 2l
F ab
(6.4)
6.2 等截面直杆的转角位移方程
(2) 远端滑移 (图6.4b)。简化为:
F M ab i a M ab F M ba i a M ba
a
a
Mab FQab
b
b
注意力和位移的 方向规定
(a)
6.2 等截面直杆的转角位移方程
将杆的受力变形状况分解为三个部分: 两端只有转角θa 和θb
Mab
a
/
而无侧移，无直接荷载
杆端弯矩为M'ab、M'ba,
Mab
//
a b
b
/ M/ba
剪力为F'Qab、F'Qba a
Qab F
10.69
11.73
10.94
16.08
3.19 1.96m (b)弯矩图（kN.m）
12.7
16.62
14.14
12.16
13.38
14.66 (c)剪力图（kN）
7.84
图 6.5
作连续梁的弯矩图和剪力图，见图6.5b、c。
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
例6-2 用位移法求图 6.6a所示刚架的杆端
F M ab i (4 a 2b 6 ) M ab F M ba i (4b 2 a 6 ) M ba 6i F FQab ( a b 2 ) FQab ( 6.2 ) l 6i F FQba (b a 2 ) FQba l
位移法基本方程可直接用转角位移方程建立，操作
简便！
6.1 引 言
位移法是 “渐近法”（第 7 章）和 “矩阵位移
法”（第 9 章）的基础。
对于很多问题，用位移法比力法省事。
P
力法, 9 个基本未知量 位移法, 1 个基本未知量
6.2 等截面直杆的转角位移方程
6.2.1 转角位移方程通式
（ a）
6.2 等截面直杆的转角位移方程
对图6.2b 所示受杆端弯矩的简支梁, 用单位荷载法易得:
l M ba l M ab a 3EI 6 EI l M ab l M ba a 3EI 6 EI
（b）
解得
2i (2 a b ) M ab 2i (2b a ) M ba
/
(b)
// M/ba
FQba
/
b
FQab
//
(c)
// FQba
两端只有相对线位移δ＝Δb－Δa 而无转角，无直接荷载
杆端弯矩为M''ab、M''ba， 剪力为F''Qab、F''Qba
6.2 等截面直杆的转角位移方程
两端没有转角和位移， 只有直接荷载作用
F F 杆端弯矩为 Mab 、 Mba ,
结构分析的矩阵法等数值方法获得迅速发展 随后，在非线性分析、非弹性分析、结构抗震分析等方面 都取得了进展
6.1 引 言
位移法普遍适用于各种不同类型的静定或超静定结
构，更适合于编制大型通用分析程序
力法适用于存在多余力的超静定结构，
不适用于没有多余力的静定结构，
位移法对静定和超静定结构同样有效！
第6章
位移法
东南大学-结构力学课程组制作
位移法产生的背景
6.1 引 言
◆ 20 世纪初,钢筋混凝土结构逐渐用于工程结构,并出现了刚架结
构。以位移为基本未知量的计算方法逐渐发展 1914 转角位移法 1932 力矩分配法 30～50年代 渐近法
◆ 20 世纪 50 年代电子计算机出现，结构力学进入新阶段
// ba /
b
// M/ba
l
l
b
图 6.3
b a 的情况， 图6. 2c 所示两端固定梁发生相对侧移 图 6.3
等价于图6. 3 所示悬臂梁，在 b 端受力偶
2 M ba l
M ab 和集中力 Mba
同时作用。由材力公式得：
l 2 l 2 2M ba M ba M ba l3 ( ) 3EI l 2 EI 6 EI
111 22 22
M 23 M 25
结点2： M 21 4 2 21 112
3 2 50 3 1.5 2 4.5 2
(g) (h)
结点 2 的力矩平衡方程：
21 11.5 2 62
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
算式,并根据结点力矩平衡条件建立位移法基本方程。
从平衡方程解得结点转角,再代回已列出的杆端弯矩算式, 求出所有杆端弯矩,进而绘制内力图。
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
例6-1 用位移法求图6.5a 所示连续梁的杆端弯矩, 并绘制弯 EI i 矩图和剪力图。圆圈内数字表示各杆线刚度 l 的相对值。
111.54 93.08 67.78 72.59 94.45
18.47 65 26.92 9.23
26.67 77.41 (b)弯矩图（kN.m）