第6章 位移法

10.69
11.73
10.94
16.08
3.19 1.96m (b)弯矩图（kN.m）
12.7
16.62
14.14
12.16
13.38
14.66 (c)剪力图（kN）
7.84
图 6.5
作连续梁的弯矩图和剪力图，见图6.5b、c。
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
例6-2 用位移法求图 6.6a所示刚架的杆端
第6章
位移法
东南大学-结构力学课程组制作

位移法产生的背景
6.1 引 言
◆ 20 世纪初,钢筋混凝土结构逐渐用于工程结构,并出现了刚架结
构。以位移为基本未知量的计算方法逐渐发展 1914 转角位移法 1932 力矩分配法 30～50年代 渐近法
◆ 20 世纪 50 年代电子计算机出现，结构力学进入新阶段
等截面直杆ab, 抗弯刚度 EI, 跨长 l, 受直接荷载作用称 a 端为近端, b 端为远端

近端弯矩为Mab, 剪力为FQab , 转角为θa, 侧移为Δa
远端弯矩为Mba, 剪力为FQba , 转角为θb, 侧移为Δb
Fp
图6.2 所示为杆端力/力矩和位移/转角的正方向
a
a
EI,l
b
b FQba Mba
/
(b)
// M/ba
FQba
/
b
FQab
//

(c)
// FQba
两端只有相对线位移δ＝Δb－Δa 而无转角，无直接荷载
杆端弯矩为M''ab、M''ba， 剪力为F''Qab、F''Qba
6.2 等截面直杆的转角位移方程
两端没有转角和位移， 只有直接荷载作用
F F 杆端弯矩为 Mab 、 Mba ,
结构分析的矩阵法等数值方法获得迅速发展 随后，在非线性分析、非弹性分析、结构抗震分析等方面 都取得了进展
6.1 引 言

来自百度文库
位移法普遍适用于各种不同类型的静定或超静定结
构，更适合于编制大型通用分析程序

力法适用于存在多余力的超静定结构，
不适用于没有多余力的静定结构，
位移法对静定和超静定结构同样有效！
0 2m
30kN
7.2kN/m 1 2 2m
20kN
3 2m
2 4m (a)荷载图
1.5
3
3m
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
(3) 利用转角位移方程（6.2），写出结点 1 和结点 2 相关 杆件的近端弯矩，并按力矩平衡条件建立基本方程。
F 结点1： M 10 4i11 M 10 121 15
Mab
a
EI,l
b (b)
(6.5)
Qab F
修正固端弯矩按下式计算：
l F M M FQba 2 l F F F M ba M ba FQba 2
F ab F ab
图 6.4
(6.6)
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
用位移法计算连续梁和无侧移刚架的步骤: 确定基本未知量。根据变形连续性,每个内部刚结点只有 一个未知转角 , 固定支座处转角为零 , 铰支座处的转角和滑 移支座处的线位移均不作为基本未知量； 计算荷载作用下的固端弯矩； 利用转角位移方程写出每个内结点相关构件的近端弯矩
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
（3）建立位移法方程
结点1： F M12 4i21 2i22 M12 41 22 112 M14 4 1.51 61
F M10 i11 M10 1 90
(e) (f)
结点 1 的力矩平衡方程：

位移法基本方程可直接用转角位移方程建立，操作
简便！
6.1 引 言
位移法是 “渐近法”（第 7 章）和 “矩阵位移
法”（第 9 章）的基础。
对于很多问题，用位移法比力法省事。
P
力法, 9 个基本未知量 位移法, 1 个基本未知量
6.2 等截面直杆的转角位移方程
6.2.1 转角位移方程通式
转角 1 和 2 也只是相对值而不是实际值。但由转角位移方程 （6.2）可知，这并不影响求出杆端内力的实际值。
将已求得的 1 和 2 代回式（a）和（c）,得各杆的杆端弯
矩：
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
17.15
M 10 10.69kN m M 12 10.69kN m M 21 11.73kN m M 23 11.73kN m M 01 17.15kN m M 32 10.94kN m
(b) (c)
M 21 M 23 0 由结点2 的力矩平衡条件
，有
41 142 4.8
(d)
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
(4) 联立求解方程 (b) 与 (d) , 得
1 0.359 2 0.445
注意：由于给定的 i 是各杆线刚度的相对值，故求得的结点
（e）
（f）
∴
M ab 6i Mba
此式同样可用力法导出
6.2 等截面直杆的转角位移方程
相应的杆端剪
FQab 12i FQba

l
(g)
b a 在上两式中， ，称为杆件的侧移角（弦转角）。 l l

将式( c )、( d ) 和 ( f ) 、( g ) 代入 ( a ) 得：
（ c）
EI 其中 i ,称为杆的线刚度。杆端剪力为: l 6i FQba ( a b ) FQab l
??
式（c）也可用力法导出（§5. 5，支座位移问题）
6.2 等截面直杆的转角位移方程 M
Mab
Mab
//
// 2 M/ba l
//
a

a
// 2 M/ba l
上式称为等截面直杆的转角位移方程，反映杆端力与杆 端位移间的关系。其中固端弯矩和剪力与跨间荷载有关，称 为载常数。常用荷载下的载常数见表 6.1。
6.2 等截面直杆的转角位移方程
6.2.2 转角位移方程的简化
转角位移方程 (6.2) 适用于两端均为刚结点的一般形式, 对
于下列两种特殊情况,方程形式可以简化。
Mab
F
a
Fp
b
M/ba
F
剪力为 FQFab 、 FQFba , 称为荷载作用下的固端弯矩 和固端剪力
FQab
F
F
(d)
FQba
F
图 6.2
根据 叠加原理 和力与位移的正负号规定，有:
' " F M ab M ab M ab M ab ' " F M ba M ba M ba M ba ' " F FQab FQ F F ab Qab Qab ' " F FQba FQ F F ba Qba Qba
0
1
60kN 1
21kN/m
1
150kN.m 2
1.5
1
3
弯矩，作弯矩图。
已知各杆线刚度：梁 为1，柱为1.5。 （2）固端弯矩为
F 01
2m 2m 4
1.5
5m
5
8m (a)荷载图
4m
2m
2。 解：（1）基本未知量为 1 、
3 1 F M Pl 90kN m M Pl 30kN m 10 8 8 1 F F M 12 21 64 112kN m M 21 112kN m 12 F M 23 50kN m
算式,并根据结点力矩平衡条件建立位移法基本方程。
从平衡方程解得结点转角,再代回已列出的杆端弯矩算式, 求出所有杆端弯矩,进而绘制内力图。
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
例6-1 用位移法求图6.5a 所示连续梁的杆端弯矩, 并绘制弯 EI i 矩图和剪力图。圆圈内数字表示各杆线刚度 l 的相对值。
(1) 远端铰接 (图6.4a)。简化为:
M ab 3i( a ) M FQab 3i F ( a ) FQab l
F ab
Mab
a
EI,l
b
(6.3)
Qab F
(a)
F 其中修正的固端弯矩 M ab
F 和固端剪力 F Qab
按下式确定：
M
（4）由（f）、（h）解得：
1 3.07755 2 5.92653
将1和 2 的已知值回代，得各杆端弯矩：
M 10 93.078 kN m M 12 111.543 kN m M 14 18.465 kN m M 21 94.450 kN m M 23 67.780 kN m M 25 26.670 kN m
F ab
F FQab
1 F M M ba 2 3 F F FQab M ba 2l
F ab
(6.4)
6.2 等截面直杆的转角位移方程
(2) 远端滑移 (图6.4b)。简化为:
F M ab i a M ab F M ba i a M ba
1 、 2。 解：(1) 基本未知量：
F M 01 F M 10 F M 12 F M 21 F M 23 F M 32
(2) 按表6.1 求固端弯矩：
1 Pl 15kN m 8 1 Pl 15kN m 8 1 ql 2 9.6kN m 12 1 2 ql 9.6kN m 12 2 Pab 2 14.4kN m l 2 Pa b 2 9.6kN m l
（ a）
6.2 等截面直杆的转角位移方程
对图6.2b 所示受杆端弯矩的简支梁, 用单位荷载法易得:
l M ba l M ab a 3EI 6 EI l M ab l M ba a 3EI 6 EI
（b）
解得
2i (2 a b ) M ab 2i (2b a ) M ba
(a) F M 12 4i21 2i2 2 M 12 81 4 2 9.6
由结点1的力矩平衡条件 M 10 M 12 0 ，有
201 4 2 5.4
F 结点2： M 21 4i2 2 2i21 M 21 41 8 2 9.6 F M 23 4i3 2 M 23 6 2 14.4
// ba /
b
// M/ba



l
l
b
图 6.3
b a 的情况， 图6. 2c 所示两端固定梁发生相对侧移 图 6.3
等价于图6. 3 所示悬臂梁，在 b 端受力偶
2 M ba l
M ab 和集中力 Mba
同时作用。由材力公式得：
l 2 l 2 2M ba M ba M ba l3 ( ) 3EI l 2 EI 6 EI
F M ab i (4 a 2b 6 ) M ab F M ba i (4b 2 a 6 ) M ba 6i F FQab ( a b 2 ) FQab ( 6.2 ) l 6i F FQba (b a 2 ) FQba l
111 22 22
M 23 M 25
结点2： M 21 4 2 21 112
3 2 50 3 1.5 2 4.5 2
(g) (h)
结点 2 的力矩平衡方程：
21 11.5 2 62
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
a

a
Mab FQab
b
b
注意力和位移的 方向规定
(a)
6.2 等截面直杆的转角位移方程
将杆的受力变形状况分解为三个部分: 两端只有转角θa 和θb
Mab
a
/
而无侧移，无直接荷载
杆端弯矩为M'ab、M'ba,
Mab
//
a b
b
/ M/ba
剪力为F'Qab、F'Qba a
Qab F
111.54 93.08 67.78 72.59 94.45
18.47 65 26.92 9.23
26.67 77.41 (b)弯矩图（kN.m）
小 结
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
有几个未知结点位移就建立几个平衡方程；