矢量的运算法则

v vv vv v A(BC) (A B)C
推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。
矢量运算法则
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下： z
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
o y
x
(AyBz AzBy )aˆx (AzBx AxBz )aˆy (AxBy AyBx )aˆz
| A|
| A|
| A|
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
vvv A B C (Ax Bx Cx )aˆx (Ay By Cy )aˆy (Az Bz Cz ) aˆz
矢量运算法则
2.减法：换成加法运算
v vvv v
D A B A (B)
逆矢量：Bv
和
v (B)
的模相等，方向相反，互为逆矢量。
法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。
定义：
v A
v B
v C
|
v A ||
v B ||
v C
|
sin
cos
含义： 标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积 。
v vv
h BC v
A
v C
v B
v
vv
D
v
A
AD
v
v
v
B
B
B
v
v C
Bv v v
v
ABC 0
A
推论：
任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。
在直角坐标系中两矢量的减法运算：
vv A B (Ax Bx )aˆx (Ay By )aˆy (Az Bz ) aˆz
矢量运算法则
3.乘法：
（1）标量与矢量的乘积：
v | A |
Ax2 Ay2 Az2
单位矢量： v
aˆ
|
Av A
|
Avx | A|
aˆx
Avy | A|
aˆ y
Avz |A
|
aˆz
cos aˆx cos aˆy cos aˆz 方向角与方向余弦： , ,
z
v Az
v A
v
v Ax
o
Ay
y
x
cos Ax , cos Ay , cos Az
z
v Az
v A
根据矢量加法运算：
vv v v A Ax Ay Az
vo
Ax
x
其中：
v
v
v
Ax Axaˆx , Ay Ayaˆy , Az Azaˆz
v Ay
y
v 所以： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
矢量运算法则
v
矢量： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
模的计算：
两矢量的叉积又可表示为：
v v aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
矢量运算法则
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
v vv (A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
vvv A (B C)
标量，标量三重积。
v vv A (B C)
矢量，矢量三重积。
a. 标量三重积
矢量运算法则
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
v
v
来自百度文库
B
C
v vv C AB
v C
v B
v A
v A
a.满足交换律：
vv vv AB B A
b.满足结合律：
v (A
v B)
v (C
v D)
(
v A
v C)
v (B
v D)
矢量运算法则 在直角坐标系下的矢量表示: 三个方向的单位矢量用 aˆx , aˆy , aˆz 表示。
矢量运算法则
推论1：满足交换律
vv vv A B B A
推论2：满足分配律
v v v vv vv A(B C) A B AC
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
•在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即 aˆx aˆy 0, aˆx aˆz 0, aˆy aˆz 0 aˆx aˆx 1, aˆy aˆy 1, aˆz aˆz 1
有两矢量点积：
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
Ax Bx Ay By Az Bz •结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
矢量运算法则
b.矢量积（叉积）：
aˆc
vv v v
B
A B | A | | B | sin aˆc
•含义：
A
两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量
组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三
者符合右手螺旋法则。
vv vv vv vv 推论1：不服从交换律： A B B A, A B B A
v v v vvvv 推论2：服从分配律： A(B C) A B AC
推论3：不服从结合律：
vv kA k | A | aˆ
k 0 方向不变，大小为|k|倍
k
0
k
0
方向相反，大小为|k|倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积（点积）： vv v v A B | A| | B | cos
v B
v
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，
其结果是一标量。