数的整除教师版
数的整除教师版
一、常见数字的整除判定方法1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2.一个位数数字和能被3一个数各位数数字和能被93.114.被7、性质c 整除．即如果c ︱a ，c ︱(a ±b )．性质整除，那么a 也能被c 整除．即如果b ∣a ，c ∣a ．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a 能被数b 与数c 的积整除，那么a 也能被b 或c 整除．即如果bc ∣a ，那么b ∣a ，c ∣a ．性质4如果数a 能被数b 整除，也能被数c 整除，且数b 和数c 互质，那么a 一定能被b知识精讲数的整除与c 的乘积整除．即如果b ∣a ，c ∣a ，且(b ，c )=1，那么bc ∣a ．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4)∣12．性质5如果数a 能被数b 整除，那么am 也能被bm 整除．如果b ｜a ，那么bm ｜am （m 为非0整数）；性质6如果数a 能被数b 整除，且数c 能被数d 整除，那么ac 也能被bd 整除．如果b ｜a ，且d ｜c ，那么bd ｜ac ；当两个整数a 和(0)b b ≠，a 被b 除的余数为0a ，也把a 叫作b 的倍数，b 叫作a 的约数；如果a 被b b 不【例1】某数被13除，商是9【例23个数字之和是多少？7311++=+□□，92|+□，7=□；()()7313|+-+=+□□，8=□；8923=，所以737393736=-=□，6=□；3个数字之和是78621++=。
【例3】在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数.⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确；⑵一共有多少种满足条件的填法？【解析】 一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即4+□+3+2+□是9的倍数，而4+3+2=9,所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数．⑴依次填入3、6，因为4+3+3+2+6=18是9的倍数，所以43326是9的倍数；⑵经过分析容易得到两个方框内经典例题的数的和是9的倍数，如果和是9,那么可以是（9,0）；（8,1）；（7,2）；（6,3）；（5,4）；（4,5）；（3,6）；（2,7）；（1,8）；（0,9），共10种情况，还有（0,0）和（9,9），所以一共有12种不同的填法．【例4】一位后勤人员买了72本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧去两个数字.帐本是这样的：72本笔记本，共□67.9□元(□为被烧掉的数字)，请把□处数字补上，并求笔记本的单价.【解析】8|79□，【例5】【解析】6，8中之一。
六年级同步第1讲：整数和整除-教师版
六年级同步第1讲：整数和整除-教师版1 / 1整数和整除是六年级数学上学期第⼀章第⼀节内容，主要对整数的分类和整除的概念进⾏讲解，重点是整除的概念理解，难点是整除条件的归纳总结．通过这节课的学习⼀⽅⾯为我们后期学习公因数和公倍数提供依据，另⼀⽅⾯也为后⾯学习有理数奠定基础．1、整数的意义和分类（1）⾃然数：零和正整数统称为⾃然数；（2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数．正整数⾃然数整数零负整数整数和整除知识结构模块⼀：整数的意义和分类知识精讲内容分析2 / 2【例1】判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确）．（1）最⼩的⾃然数是1 ；（2）最⼩的整数是0；（3）⾮负整数是⾃然数；（4）有最⼤的正整数，但没有最⼩的负整数；（5）有最⼩的正整数，但没有最⼤的负整数．【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×．【例2】把下列各数放⼊相应的圈内：15，－1，－0.2，0，－63，0.7，13，－0.2323…，35．整数⾃然数正整数负整数【例3】（1）试说说正整数、负整数、零、⾃然数、整数之间的关系；（2）试⽐较正整数、负整数、零的⼤⼩；（3）试⽐较负整数、⾃然数的⼤⼩．【难度】★★【答案】（1）整数包括正整数、零、负整数；⾃然数包括正整数和零；（2）正整数⼤于0，负整数⼩于0，正整数⼤于负整数；（3）⾃然数⼤于负整数；【解析】略；例题解析3 / 3【例4】五个连续的⾃然数，已知中间数是a ，那么其余四个数分别是______、______、______、______．若这五个连续⾃然数的和是20，试求这五个数．【答案】2112a a a a --++、、、．这五个数是：2、3、4、5、6．【例5】有三个⾃然数，其和是13，将它们分别填⼊下式的三个括号中，满⾜等式要求：()()()152-=÷=+，试求这三个⾃然数．【难度】★★★【答案】3，10，0．【解析】设这三个数分别为1k +，5k ，2k -；则15213k k k +++-= 解得：2k =∴这三个数是3，10，0．【总结】本题主要是对题⽬中条件的理解，同⼀个数可以⽤不同的形式去表⽰．1、整除的意义整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数⽽余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a ．【例6】⽼师问：“当 4.5a =时，0.9b =时，a 能被b 整除吗？”⼀个同学回答：“因为商是5，是整数，所以a 能被b 整除．” 你认为对吗？【例7】下列各组数中，如果第⼀个数能被第⼆个数整除，请在下⾯的（）内打“√”，不能整除的打“×”．18和9（） 15和30（） 0．4和4（） 14和6（）17和35（）9和0．5（）例题解析知识精讲模块⼆：整除的意义【答案】横向：√×××××师⽣总结1、整除的条件是什么？2、“a能整除b”与“a能被b整除”的区别是什么？【例8】已知下列除法算式：57÷7=8……1；21÷7=3；22÷0.2=110；22÷5=4.4；0÷3=0；2÷4=0.5．（1）表⽰能除尽的算式有哪⼏个？（2）哪些算式中可以说被除数能被除数整除？【难度】★【答案】（1）21÷7=3；22÷0.2=110；22÷5=4.4；0÷3=0；2÷4=0.5．（2）21÷7=3；0÷3=0．【解析】除尽只要求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；【总结】本题主要考查整除和除尽的区【例9】把表⽰下列算式的序号填⼊适当的空格内．（1）30÷10；（2）7÷25；（3）35÷0．1；（4）18÷3；（5）0．4÷2；（6）3．9÷0．3；（7）27÷9；（8）16÷4．除数能整除被除数的：________________________________________；能够除尽的：________________________________________________．【难度】★★【答案】除数能整除被除数的：（1）（4）（7）（8）；能够除尽的：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）【解析】除尽只要求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；【总结】本题主要考查整除和除尽的区别．4 / 45 / 5【例10】若两个整数a 、b (a b >)都能被整数 c 整除，它们的和、差、积也能被 c 整除吗？为什么？【难度】★★【答案】能，原因略；【解析】设a mc =，b nc =（m n 、是整数，且m n ≠）；则：()a b m n c +=+； ()a b m n c -=-； ab mnc =；∴它们的和、差、积也能被 c 整除．【总结】本题主要是对整除的概念的考查及运⽤．【例11】⼀个两位数，能被5整除，其个位数字减⼗位数字的差是正整数中最⼩的偶数，求这个两位数．【答案】35【例12】15⽀铅笔分给⼏个学⽣，每⼈发的⼀样多且不⽌1⽀，并且正好分完，可以分给⼏个⼈？每⼈⼏⽀？有⼏种分法？【答案】两种分法：（1）3个⼈，每⼈5⽀；（2）5个⼈，每⼈3⽀．【例13】2015年的教师节是星期四，⽼师们可以好好庆祝⼀下⾃⼰的节⽇了，同学们，明年呢？我们能否不查⽇历，就能知道2016年的教师节是星期⼏呢？【难度】★★★【答案】星期六【解析】2016是闰年，故2016年的⼆⽉有29天，2015年的教师节与2016年的教师节间隔366天，则：3667522÷= ，∴2016年的教师节是星期四后⾯两天，是星期六．【例14】学校有10个兴趣⼩组，各组的⼈数如下表：⼀天下午，学校同时举办语⽂写作和英语听⼒两个讲座，已知有9个⼩组去听讲座，组别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ⼈数 3116810124138师⽣总结1、整除与除尽有什么相同点？2、除与除尽有什么不同点？6 / 6其中听英语讲座的⼈数是听语⽂讲座⼈数的6倍，还剩下⼀个⼩组在教室⾥讨论问题，这⼀组是第⼏组？【难度】★★★【答案】第6组【解析】设听语⽂讲座的⼈数为x ，那么听英语讲座的⼈数为6x ，则在教室⾥的⼀组⼈数为(827)x -⼈；由已知得：382713x ≤-≤，且827x -为整数．解得：6291177x ≤≤．因为x 为整数，所以x 的取值为10或者11．当10x =时，82712x -=，第6组；当11x =时，8275x -=（舍）；∴留在教师的是第6组．【总结】本题主要考查如何利⽤整除解决实际问题．1、因数和倍数的意义整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（也称为约数）．【例15】有⼀个算式6379÷=，则可以说______能被______整除，也可以说______能整除______，还可以说______和______是______的因数，______是______和______的倍数．【答案】63，7，7，63，7，9，63，63，7，9；【例16】分别写出12、19和36的因数，再分别写出这三个数的倍数（倍数只需从⼩到⼤依次写3个）．【难度】★【答案】12的因数：1，2，3，4，6，12；倍数是：12，24，36……例题解析知识精讲模块三：因数和倍数的意义7 / 719的因数：1，19；倍数是：19，38，57……36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36；倍数是：36，72，108……【例17】在圈内填写满⾜条件的数：【难度】★【答案】18的因数：1，2，3，6，9，18； 27的因数：1，3，9，27；既是18的因数⼜是27的因数：1，3，9【例18】下列各数中是否含有相同的因数，若含有请指出．（1）6和9；（2）27和51．【难度】★★【答案】（1）含有相同的因数：1和3；（2）含有相同的因数：1和3．【例19】从⼩到⼤依次写出10个2的倍数：_____________________________________；从⼩到⼤依次写出10个3的倍数：_____________________________________；其中__________________________既是2的倍数，⼜是3的倍数．【答案】2，4，6，8，10，12，14，16，18，20； 3，6，9，12，15，18，21，24，27，30； 6，12，18，24，30；【例20】已知：235A =??，335B =??，则A 和B 相同的因数有哪些？【答案】1，3，5，15．【例21】⼀个正整数只有2个因数⽽且这个数⽐10⼩，这个数可以是多少？【答案】2，3，5，7【例22】两个2位数的积是216，这两个数的和是多少？【答案】30【解析】∵2162223331218==?，∴这两个数是12和18，和是30．18的因数27的因数既是18的因数⼜是27的因数【总结】本题主要是对因数的概念的综合运⽤．【例23】1到100之间，因数个数是奇数的⾃然数有哪些？【难度】★★【答案】1，4，9，16，25，36，49，64，81，100【解析】因数是奇数的数是平⽅数，1－100之间的平⽅数是1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；【总结】当⼀个正整数是平⽅数时，它的因数个数是奇数个．【例24】李明去⼉童乐园玩，⼉童乐园是1路车和13路车的始发站，1路车每5分钟发车⼀次，13路车每6分钟发车⼀次．现在这两路车同时发车以后，⾄少再经过多少分钟⼜同时发车？【答案】15分钟【例25】⽤16块⾯积是1平⽅厘⽶的正⽅形，可以拼成多少种形状不同的长⽅形？它的长和宽分别是多少厘⽶？【答案】三种：（1）16，1；（2）8，2；（3）4，4．师⽣总结1、求⼀个整数的因数的⽅法有哪些？2、求⼀个整数的倍数的⽅法有哪些？3、⼀个正整数的最⼩的因数和最⼤的因数是什么？4、⼀个正整数最⼩的倍数是什么？【例26】⼀筐苹果，2个⼀拿或3个⼀拿或4个⼀拿或5个⼀拿都正好拿完没有余数，问这筐苹果最少有多少个？【难度】★★★【答案】608 / 8【解析】通过枚举法会发现2、3、4、5的最⼩的倍数是60，所以⾄少再经过30分钟⼜同时发车．【例27】⼩明有⼀本共126张纸的记事本，他依次将每张纸的正反两⾯编页码，即由第1页⼀直编到252页．如果从这本记事本中撕下31张纸，并将它们的页码相加，和是否可能等于2010？【解析】31张纸的所有页码中，共31个奇数和31个偶数相加，答案是奇数，不可能是2010．另：拓展来看，每⼀张纸的页码和：1+2=3，3+4=7，5+6=11，……共同点：加上1后都是4的倍数，整体考虑，32页纸的页码和+31应是4的倍数，但2010+31不能被4整除，所以是不可能的．【总结】奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数．【例28】我们知道，每个正整数都有因数，对于⼀个正整数a，我们把⼩于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把⼀个正整数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”．如10的“完美指标”是4(125)105++÷=．⼀个正整数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是7(124)88++÷=，10的“完美指标”是45，因为78⽐45更接近1，所以我们说8⽐10完美．根据上述材料，回答下⾯问题：（1）5的“完美指标”是____________；（2）6的“完美指标”是____________；（3）9的“完美指标”是____________．（4）试找出⽐20⼤，⽐30⼩的正整数中，最“完美”的数．【难度】★★★【答案】（）；（）；（）；（4）28；【解析】（1）5的“完美指标”：15；（2）6的“完美指标”是：12316++=（3）9的“完美指标”是：134 99+=；（4）素数的“完美指标”为1n，不够完美；9 / 910 / 10合数的真因数较⼩，完美指标也会⽐较⼩，不够完美；所以验证24和28的完美指标：24的“完美指标”是：123468123242++++++=；28的“完美指标”是124714128++++=；∴28是⽐20⼤，⽐30⼩的正整数中，最“完美”的数．【总结】本题主要是考查学⽣的理解能⼒，通过对题⽬中新的概念的理解，利⽤概念去解决新的问题．1、能被2整除的数能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数；能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数． 2、能被5整除的数能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数． 3、能同时被2、5整除的数能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．【例29】已知：11，15，32，56，19，123，312，566，787，哪些是奇数？哪些是偶数？【难度】★【答案】奇数：11，15，19，123，787；偶数：32，56，312，566．【例30】已知：17，25，70，98，105，370，952，其中能被5整除的数有_____________．【难度】★【答案】25，70，105，370．【例31】在圈内写出满⾜条件的数：12，25，40，75，80，94，105，210，354，465，760．例题解析知识精讲模块四：能被2、5整除的数能被2整除的数能被5整除的数能同时被2和5整除的数11 / 11【难度】★【答案】能被2整除的数：12，40，80，94，210，354，760；能被5整除的数：25，40，75，80，105，210，465，760；能同时被2和5整除的数：40， 80，210，760．【例32】三个连续的偶数的和是54，则其中最⼩的⼀个是______．【难度】★★【答案】16【例33】请判断下列算式的结果是偶数还是奇数，偶数则打“√”，奇数则打“×”．86-（） 86+（） 86?（） 96-（） 96+（） 96?（） 157-（）157+（）157?（）【答案】横向：√√√ ××√ √√×【例34】12399910001001++++++的和是奇数还是偶数？请说明理由．【答案】奇数【例35】⽤0、1、2、3这四个数字排成⼀个四位数，要使这个数有因数2，有⼏种不同的排法？要使这个数能被5整除，有⼏种不同的排法？【难度】★★★【答案】有因数2： 10种；有因数5： 6种．【解析】有因数2，则个位数字是2或0，则有1230，1320，2130，2310，3120，3210，1032， 1302，3012，3102，共10种；有因数5，则个位数字是0，则有1230，1320，2130，2310，3120，3210，共6种；【总结】本题主要考查如何利⽤能同时被2和5整除的数的特征来进⾏数字的排列组合．师⽣总结1、奇数偶数的运算性质有哪些？【例36】下⾯的乘式的积中，末尾有多少个0？．1232930【难度】★★★【答案】7个【解析】每⼀个因数中所含的因数是5和2的个数，决定结果中0的个数；将1－30中的数分解素因数，有7个5和多于7个2，结果中有7个0．【总结】本题是⼀道⽐较综合的题⽬，主要考查学⽣对所学知识的综合运⽤能⼒．随堂检测【习题1】先把下列各数放⼊正确的圈内，然后把这些数按照从⼩到⼤的顺序排列，并说明其中最⼩的正整数，最⼩的⾃然数，最⼤的负整数分别是哪个？－1，2，－0.3……，15，－0.7，0，3.83，0.3，1，4.732732……，－8，10．整数⾃然数正整数负整数【难度】★【答案】整数：－1，2，15，0，1，－8，10；⾃然数：2，15，0，1，10；正整数：2，15，1，10；负整数：－1，－8；从⼩到⼤排序为：－8，－1，－0.7，－0.3，0，0.3，1，2，3.83，4.732732……，10，15；其中最⼩的正整数是1，最⼩的⾃然数是0，最⼤的负整数是－1．【习题2】⼀个三位数46，能被2整除时，中最⼤填______；能被5整除时，中最⼩填______．【答案】8，012 / 12【习题3】判断题：(1)若2÷=，则n⼀定能整除m．（）m n(2)整数a的最⼤因数正好等于整数b的最⼩倍数，则a⼀定⼤于b．（）(3) 因为6.370.9÷=，所以6.3是7的倍数．（）(4) 因为整数7421中包含了数字2，所以7421⼀定能被2整除．（）【难度】★★【答案】× × × ×【习题4】已知2357A=，那么A的全部因数的个数是( ）A．10个B．12个C．14个D．16个【难度】★★【答案】D【解析】本⾝和1：2个；任意⼀个数：4个；任意两数乘积：6个；任意三个数乘积：4个；2+4+6+4=16个．【总结】本题主要考查如何去根据乘积的形式去求⼀个正整数的所有因数．【习题5】⼀个正整数既是48的因数，⼜是3的倍数，这个数可以是多少？【难度】★★【答案】3，6，12，24，48【解析】48的因数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48，其中是3的倍数的是3，6，12，24，48．【总结】本题主要考查因数和倍数的概念．【习题6】如果()n表⽰n的全部因数的和，如(4)1247-==++=，则(18)(21) _________．【难度】★★★【答案】7【解析】∵（18）=1+2+3+6+9+18=39，（21）=1+3+7+21=32，∴（18）－（21）=7．【总结】本题主要考查学⽣的理解能⼒，通过对()n的理解完成相关的计算．【习题7】⽤0、2、5、8这四个数字组成的四位数中，能被2整除的数有多少个？13 / 13【难度】★★★【答案】10个【解析】能被2整除的数个位数字是0，2，4，6，8，所以有2580，2850，5280，5820，8250，8520，5082，5802，8052，8502，共10个．【总结】本题主要考查如何利⽤能被2整除的数的特征来进⾏数字的排列组合．【习题8】先把⼀个数的末位⾮零的数字割去，并在上位加上所割去数的4倍，然后再将和数的末位数割去，并在上位加上所割去数的4倍，这样继续下去，直到能够很容易看出和数是不是13的倍数为⽌．若是13的倍数，则这个数就是13的倍数．试判断下列各数，哪些是13的倍数？（写出具体过程）（1）9062；（2）12805；（3）158506．【难度】★★★【答案】（2）12805是13的倍数【解析】（1）9062：906+8=914，91+16=107，10+28=38，不是13的倍数；（2）12805：1280+20=1300，是13的倍数，故12805是13的倍数；（3）158506：15850+24=15874，1587+16=1603，160+12=172，17+8=25，不是13的倍数；【总结】本题主要考查对13的倍数的概念的理解及运⽤．课后作业【作业1】是否存在最⼩的的正整数，负整数，⾃然数；是否存在最⼤的正整数，负整数，⾃然数？如果有，请写出是哪个数．【难度】★【答案】最⼩的正整数是1，最⼩的负整数不存在，最⼩的⾃然数是0，不存在最⼤的正整数，最⼤的负整数是－1，不存在最⼤的⾃然数．【作业2】78的因数有哪些？把其中的奇数和偶数分别填⼊相应的圈内．14 / 1415 / 15奇数偶数【难度】★★【答案】奇数有1，3，13，39，偶数有2，6，26，78．【作业3】求26以内能被5整除的所有数的和．【难度】★★【答案】75【作业4】在⿊板上，先写出三个⾃然数1、3、5，然后任意擦去其中的⼀个，换成所剩两个数的和．照这样进⾏100次后，⿊板上留下的三个数中有⼏个奇数？它们的乘积是奇数还是偶数？【难度】★★【答案】三个数中有两个奇数，乘积为偶数．【解析】第⼀次擦除，变为奇奇偶，第⼆次分为两种情况：（1）擦掉奇数，变为奇奇偶，（2）擦除偶数，变为奇奇偶；之后⼀直保持为奇奇偶，所以100次后也为奇奇偶，乘积为偶数．【总结】本题⼀⽅⾯考查学⽣对题意的理解，另⼀⽅⾯考查奇数与偶数相乘的特征．【作业5】求1000以内能同时被3、5整除的数中，最⼤的奇数与最⼩的偶数的和．【难度】★★★【答案】1005【解析】1000以内能被3、5同时整除的数是15的倍数，最⼩的偶数是30，最⼤的奇数是975，和为1050．【作业6】⼀个⼤于1的⾃然数a ，只有两个因数，那么3a 有⼏个因数？【难度】★★★【答案】当3a ≠时，3a 有4个因数；当3a =时，3a 有3个因数．【解析】3133a a a =?=?，由已知得：1a ≠，3a a ≠ ∴当3a ≠时，3a 有4个因数：1，3，a ，3a ；当3a =时，3a 有3个因数：1，3，3a ；．【总结】本题主要是考查如何根据题⽬中的条件去求⼀个正整数的因数．【作业7】张阿姨是公共汽车售票员，她的票夹上有5⾓、1元、1元5⾓三种车票，她习惯把钱都放在车厢售票员位置的⼩桌上，这样就可以随时算出有没有差错．有⼀次她数了数桌上的硬币，是36枚1⾓．她对司机说：“我今天我肯定出了差错了”，你知道为什么吗？【难度】★★★【答案】略【解析】票价有三种，5⾓、1元、1元5⾓，都是5的倍数，但是36不是5的倍数．【作业8】凡⼀个数的奇位数字的和同它的偶位数字的和相减（⼤的和减去⼩的和），所得的差是0或是11的倍数时，这个数就是11的倍数．下列各数，哪些是11的倍数？(1)64273 (2)208549 (3)77360822【难度】★★★【答案】（1）、（2）、（3）都是11的倍数【解析】（1）64273：（6+2+3）－（7+4）=0，是11的倍数；（2）208549：（2+8+4）－（0+5+9）=0，是11的倍数；（3）77360822：（7+6+8+2）－（7+3+0+2）=11，是11的倍数；∴（1）、（2）、（3）都是11的倍数．【总结】本题主要考查对13的倍数的概念的理解及运⽤．16 / 16。
数的整除(教师)
课前准备：数的整除一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；二、整除判断方法：1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
例题讲解：能被2、3、5整除的数的典型例题例1．在下面的□里填数字，使这个数既能被5整除，又能被3整除．50□0；2□□5；11□2□．例2．从0、4、5、7四个数中，任意选三个数组成同时能被2、3、5整除的三位数．例3．在方框里填上适当的数使它能同时被2、3整除．415□例4．如果12345□□能被234整除，问□□应为哪两个数字？例:5：一个班50个学生，老师要学生1-50报数，然后要求报的数能被2整除的学生向后转，然后要求报的数能被3整除的同学向后转，再要报的数能被5整除的同学向后转，最后面向老师站着的学生有多少个？提示：最终面向老师站着的学生包括1.一次都没有转的学生 2。
高中数学数字整除问题教案
高中数学数字整除问题教案
教学目标：
1. 掌握整除的概念和判定方法。
2. 训练学生分析问题并运用整除性质进行解题。
3. 提高学生数学推理和逻辑思维能力。
教学重点：
1. 整除的定义和性质。
2. 数学问题中的整除运用。
教学难点：
1. 理解和掌握整除的应用。
2. 运用整除性质解决复杂问题。
教学准备：
1. 教师准备相关教学资料和教学案例。
2. 学生准备好纸笔进行课堂练习。
教学过程：
一、导入：
教师通过引导学生回顾整除的定义和判定方法，提出本节课要讨论整除问题，并引入相关实际问题。
二、讲解：
1. 整除的定义和性质：通过案例或实例讲解整除的概念和性质，引导学生理解整除乘法法则和整除性质。
2. 数学问题中的整除运用：通过实际问题讲解如何运用整除性质解决问题。
三、练习：
教师出示一些数字整除问题，让学生进行思考和运用整除性质解题，并进行课堂讲解和订正。
四、作业：
布置相关数字整除问题作业，让学生巩固所学知识。
五、总结：
通过课堂讨论和总结，引导学生理解整除的重要性和应用，并巩固整个内容。
教学延伸：
教师可以结合实际生活中的整除问题，引导学生思考和解决，提高学生数学推理和应用能力。
清华龙校五年级9月10日扩招考辅第三讲数的整除与周期教师版 (1)
7. 五位数 3A07B 是 275 的倍数，求这个五位数.
解答：31075
8. 小马虎买了 72 支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辩认，总价数字也不全，只能认 出：□11.4□（□表示不明数字）.你能帮助小马虎找出不明数字吗？ 解答：811.44
9. 黑珠、白珠共 101 颗，穿成一串，排列如下图。这串珠子中，最后一颗珠子应该是_____色的,这种颜
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清华龙校数学教研组
2011-07-13
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数的整除与周期
姓名：
【例 7】 已知一个五位数□691□能被 55 整除,所有符合题意的五位数是_____. 解答：96910 或 46915 五位数能被 55 整除,即此五位数既能被 5 整除,又能被 11 整除.所以 B=0 或 5.当 B=0 时,能被 11 整除,所以 (A+9+0)-(6+1)=A+2 能被 11 整除,因此 A=9；当 B=5 时,同样可求出 A=4.所以,所求的五位数是 96910 或 46915.
作业：
1. 一个数去除以 123，所得商为四十多，且有余数，那么这个数最大为
。
答案：6149
2. 任取一个四位数乘 3456，用 A 表示其积的各位数字之和，用 B 表示 A 的各位数字之和，那么 B 是 ______________。 答案：9
3. 已知整数1a2a3a4a5a 能被 11 整除，求所有满足这个条件的整数.
【例 2】 在“25□79 这个数的□内填上一个数字,使这个数能被 11 整除,方格内应填_____. 解答： 1 这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是 0 或是 11 的倍数,那么这个数能被 11 整除.偶数位上数字和 是 5+7=12,因而,奇数位上数字和 2+□+9 应等于 12,□内应填 12-2-9=1.
专题01 数的整除(专项培优训练)(教师版)
专题01 数的整除（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.68一．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）1．（2分）（2020秋•浦东新区期末）能同时被2和5整除的最小两位数是 10 ．解：能被2整除的整数的尾数可为0，2，4，6，8；能被5整除的整数的尾数可为0，5；∴能同时被2和5整除的最小的两位数是10．故答案为：10．2．（2分）（2021秋•宝山区校级月考）能被2、3、5同时整除的最小的三位数是 120 ，最小的四位数是 1020 ．解：因为2、3、5的最小公倍数是2×3×5＝30，而100÷30＝3……10，1000÷30＝33……10，所以30×4＝120，30×34＝1020，即能被2、3、5同时整除的最小的三位数是120，最小的四位数是1020．故答案为：120，1020．3．（2分）（2019秋•徐汇区校级月考）写出一个能被7整除的最小偶数（正数） 14 ．解：7×2＝14，14为能被7整除的最小偶数．故答案为：14．4．（2分）（2019秋•嘉定区期中）将4、5、0这三个数排成一个三位数，能被5整除最大的是 540 ．解：因为将4、5、0这三个数排成一个三位数，可能是450，540，所以能被5整除最大的是540．故答案为：540．5．（2分）（2021秋•长宁区校级期中）能同时被2，3，5整除的最大三位数是 990 ．解：能被5整除的数的个位数字是5或0，能被2整除的数的尾数是0，2，4，6，8，所以这个三位数的个位数为0，因为数990中，9+9+0＝18，18是3的倍数，所以最大三位数是990，故答案为：990．6．（2分）（2022秋•徐汇区期末）既能被2整除，又能被5整除的最小正整数是 10 ．解：根据能被2，5整除的数的特征可知，既能被2整数，又能被5整除的最小正整数是：10．故答案为：10．7．（2分）（2020秋•浦东新区期中）两个合数的最大公因数是3，最小公倍数是30，则这两个数分别是： 6和15 ．解：30×3＝90，因为90＝6×15，所以这两个数分别为6和15；故答案为：6和15．8．（2分）（2014秋•浦东新区期中）商店开展有奖购物活动，一等奖的中奖号码是一个三位数，百位上的数字是最小的素数，十位上的数字是最小的自然数，个位数字上是最小的合数，这个一等奖的中奖号码是 204 ．解：最小的素数是2，最小的自然数是0，最小的合数是4，∵一等奖的中奖号码是一个三位数，百位上的数字是最小的素数，十位上的数字是最小的自然数，个位数字上是最小的合数，∴这个一等奖的中奖号码是 204；故答案为：204．9．（2分）（2021秋•嘉定区期末）一个长方形的周长为30厘米，且长和宽都是素数，这个长方形的面积是 26 平方厘米．解：长和宽的和是：30÷2＝15（厘米），∵15＝2+13，∴长方形的面积为13×2＝26（平方厘米）．故这个长方形的面积是26平方厘米．故答案为：26．10．（2分）（2021秋•金山区期末）如果A＝2×3×3×a，B＝2×2×3×a，且A、B的最小公倍数是180，那么a＝ 5 ．解：由题意得2×3×3×a×2＝180，解得：a＝5．故答案为：5．11．（2分）（2021秋•青浦区校级期末）定义新运算“*”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公因数与最小公倍数的和记为a*b，例如：6*8＝2+24＝26，根据上面的定义运算，12*15＝ 63 ．解：∵12＝2×2×3，15＝3×5，∴12和15的最大公约数是3，最小公倍数是2×3×2×5＝60，所以12*15＝3+60＝63；故答案为：63．12．（2分）（2021秋•宝山区校级月考）一个能被2和3整除的四位数，它的千位上的数是奇数又是合数，它的百位上的数不是素数也不是合数，它十位上的数是最小的素数，个位上的数是 6或0 ．解：∵它的千位上的数是奇数又是合数，∴千位是9，∵它的百位上的数不是素数也不是合数，∴百位是1，∵它十位上的数是最小的素数，∴十位是2，∵又能被2和3整除的四位数，∴个位数字是6或0，故答案为：6或0．二．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）13．（2分）（2022秋•闵行区校级期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）A．25和50B．42和3C．10和4D．9和1.5解：A，50÷25＝2，本选项符合题意；B，，本选项不符合题意；C，，本选项不符合题意；D，，本选项不符合题意；故选：A．14．（2分）（2022秋•徐汇区校级期中）下列说法中，正确的个数有（ ）①32能被4整除；②1.5能被0.5整除；③13能整除13；④0能整除5；⑤25不能被5整除；⑥0.3不能整除24．A．2个B．3个C．4个D．5个解：①32能被4整除，说法正确；②1.5不能被0.5整除，说法错误；③13能整除13，说法正确；④0不能整除5，说法错误；⑤25能被5整除，说法错误；⑥0.3不能整除24，说法正确．说法正确的有3个．故选：B．15．（2分）（2021秋•奉贤区期末）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）A．3.6和1.2B．35和8C．27和3D．13.4和2解：A、3.6和1.2都不是整数，第一个数不能被第二个数整除，故此选项不符合题意；B、∵35÷8＝4…3，∴35不能被8整除，第一个数不能被第二个数整除，故此选项不符合题意；C、∵27÷3＝9，∴27能被3整除，第一个数能被第二个数整除，故此选项符合题意；D、13.4不是整数，第一个数不能被第二个数整除，故此选项不符合题意．故选：C．16．（2分）（2020秋•静安区期末）一个整数既能被6整除，又能被8整除，则它还一定能被（ ）整除．A．10B．12C．16D．18．解：因为6的因数是2和3，8的因数是2和4，所以一个数能被6整除，又能被8整除，所以这个数能被12整除．故选：B．17．（2分）（2022秋•杨浦区期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）A．12和5B．4.5和1.5C．4和28D．36和9A．12÷5＝，不符合题意，故A错误；B．4.5和1.5不是整数，不符合题意，故B错误；C．4÷28＝，不符合题意，故C错误；D．36÷9＝4，符合题意，故D正确；故选：D．18．（2分）（2022秋•闵行区期末）下列说法正确的是（ ）A．因为10÷4＝2.5，所以10是4的倍数B．所有正整数，不是素数就是合数C．2既是偶数又是素数D．比3小的自然数只有1和2解：A．10÷4＝2.5，2.5不是整数，故此选项说法错误；B.1既不是素数也不是合数，此选项说法错误；C．2既是偶数又是素数，说法正确；D．比3小的自然数有0、1、2故选：C．三．简答题（共6小题，满分33分）19．（8分）（2021秋•宝山区校级月考）求下列各组数的最大公因数和最小公倍数：（1）8和9；（2）12和48；（3）13和104；（4）34和51．解：（1）8和9是互质数，互为质数的两个数的最大公因数是1，故8和9的最大公因数是1，互为质数的两个数的最小公倍数是它们的乘积，故8和9的最小公倍数是：8×9＝72：（2）12＝3×2×2和48＝2×2×2×2×3，故12和48的最大公因数是：2×2×3＝12，12和48的最小公倍数是：3×2×2×2×2＝48；（3）13和104＝13×8，故13和104的最大公因数是13，13和104的最小公倍数是：13×8＝104：（4）34＝17×2和51＝3×17，故34和51的最大公因数是17，34和51的最小公倍数是：17×3×2＝102．20．（4分）（2021秋•宝山区校级月考）分解素因数：（1）32；（2）150．解：（1）把32分解素因数：32＝2×2×2×2×2；（2）把150分解素因数：150＝2×5×3×5．21．（3分）（2021秋•长宁区校级期中）用短除法求54与144的最大公因数和最小公倍数．解：如图，用短除法把54和144分解质因数为：∴最大公因数＝2×3×3＝18，最小公倍数＝2×3×3×3×8＝432．22．（6分）（2020秋•浦东新区月考）在下面素数表内的空白处，填上适当的素数．100以内的素数 2 35711 13 17 1923293137 41 43475359 61 677173798389 97 ……解：根据质数的定义（一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，又叫做素数），得：100以内的素数2357111317192329313741434753596167717379838997……故答案为：2；13；17；41；61；97．23．（6分）（2020秋•徐汇区校级期中）在从五个数字0，1，5，6，7中取三个可以拼出的三位数中（直接写出答案）．（1）写出能被9整除的所有三位数；（2）写出能同时被2，5，3整除的所有三位数；（3）写出能被33整除的所有三位数．解：（1）∵5+6+7＝18，18是9倍数，∴由5、6、7组成的三位数能被9整除，∴能被9整除的所有三位数有：567、576、657、675、756、765；（2）∵能同时被2，5，3整除的所有三位数必是30的倍数，∴本位数的个位为0，各个数位数字和是3的倍数，∴由0、1、5或0、5、7两组数字组成的个位为0的三位数才能被2，5，3整除，∴能同时被2，5，3整除的所有三位数的：150、510、570、750；（3）∵被33整除，∴各个数位数字和能被3整除；奇数位上的数字与偶数位上的数字之差能被11整除，∴能被33整除的所有三位数为：165、561．24．（6分）（2019秋•浦东新区期中）两百年前，德国数学家哥德巴赫发现：任何一个不小于6的偶数都可以写成两个奇素数（既是奇数又是素数）之和，简称：“l+1“．如6＝3+3，12＝5+7等等．众多数学家用很多偶数进行检验，都说明是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没找到一个反例．这就是世界上著名的哥德巴赫猜想．你能检验一下这个伟大的猜想吗？请把偶数42写成两个奇素数之和.42＝ 7 + 35 ，或者42＝ 13 + 29 ．你是否有更大的发现：把42写成4个奇素数之和？42＝ 3 + 7 + 15 + 17 ．解：根据题意得：42＝7+35或42＝13+29；42＝3+7+15+17（答案不唯一）；故答案为：7，35；13，29；3，7，15，17．四．解答题（共6小题，满分31分）25．（4分）（2022秋•松江区期中）一张长36厘米，宽20厘米的长方形纸片，把它裁成大小相等的正方形小纸片而没有剩余，裁出的正方形纸片最少有多少张？解：∵36＝2×2×3×3，20＝2×2×5，∴36、20的最大公因数为：2×2＝4，∴36×20÷（4×4）＝720÷16＝45（张），答：裁出的正方形纸片最少有45张．26．（4分）（2022秋•嘉定区期中）有三根绳子，分别长36米，54米，63米，现在要将它们裁成长度相等的短绳且没有剩余，每根短绳最长可以是几米？这样的短绳有几根？解：∵36＝2×3×2×3，54＝2×3×3×3，63＝3×3×7，∴36，54，63的最大公因数是9，4+6+7＝17，答：每根短绳最长可以是9米，这样的短绳有17根．27．（4分）（2022秋•闵行区校级期中）从运动场的一端到另一端全长100米，从一端起到另一端止每隔4米插一面小红旗．现在要改成每隔5米插一面小红旗，有多少面小红旗不用移动？解：5和4的最小公倍数是20，∴100÷20+1＝5+1＝6（面）．答：有6面小红旗不用移动．28．（6分）（2022秋•宝山区期中）如果两个相邻的奇数都是素数，就说它们是一组孪生素数．如11和13就是一组孪生素数，（1）请你举出除此之外的两组孪生素数；（2）如果三个相邻的奇数都是素数，就说它们是“三胞胎素数”，请写出一组“三胞胎素数”．（本题只需直接写出答案）解：（1）3和5是一组孪生素数，5和7是一组孪生素数；（2）3、5、7是“三胞胎素数”．29．（5分）（2021秋•宝山区校级月考）有两列公交车，宝山6路每30分钟发一次车，宝山8路每25分钟发一次车．请问：一位公交指挥员从早晨6点30分同时发车后，直到下午4点，这两班车在哪些时刻同时发车？解：，根据题意可得：30和25的最小公倍数是150，150÷60＝2.5，即两个半小时，∴从早晨6点30分同时发车后，再同时发车时间为9点，11点半，14点，∴两班车在上午9点，11点半，下午2点同时发车．30．（8分）（2022秋•徐汇区校级期中）“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是驰名中外的中国古代问题之一，它是我国古代的一本著名的数学名书《孙子算经》中的一道题目，人们把它称为“韩信点兵”．这道题目可以译为：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合条件的最小的数？这就是外国人所称的“中国剩余定理”，是数学史上极有名的问题．表示的具体解法是：先分别求出能被5和7整除而被3除余1的数（70），能被3和7整除而被5除余1的数（21），能被3和5整除而被7除余1的数（15），然后用被3、5、7除所得的余数（即2、3、2）分别去乘这三个数，再相加，也就是70×2+21×3+15×2＝233．最后从233中减去3、5、7的最小公倍数105，如果得出的差还是比105大，就再减去105，一直到得数比105小为止．233﹣105×2＝23．这就是适合条件的最小的数．同学们，你能不能用这样的方法来解答下面的题目呢？或许你有更好的办法！一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小自然数．解：能被6和7整除而被5除余1的数（126），能被5和7整除而被6除余1的数（175），能被5和6整除而被7除余1的数（120），126×3+175×4+120×1＝378+700+120＝1198．1198﹣210×5＝1198﹣1050＝148．答：适合条件的最小自然数是148。
数的整除数学教案
数的整除数学教案
标题：小学五年级数学——数的整除
一、教学目标：
1. 理解并掌握数的整除的基本概念。
2. 掌握被除数、除数、商的概念，以及它们之间的关系。
3. 能够熟练进行整数的整除运算，并能解决相关的实际问题。
二、教学重点与难点：
重点：理解数的整除概念，掌握整除的性质。
难点：理解和应用整除的性质。
三、教学过程：
（一）导入新课
通过生活中的例子引入整除的概念，例如分苹果、分糖果等。
（二）新知讲解
1. 整除的概念：如果a除以b（b不等于0），得到的商是整数，而且没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
2. 被除数、除数、商的概念：在除法算式中，a÷b=c，a叫做被除数，b叫做除数，c叫做商。
（三）例题解析
通过具体的例题，让学生了解如何判断一个数能否被另一个数整除，以及如何进行整除运算。
（四）课堂练习
设计一些练习题，让学生自己动手做，以此来巩固所学知识。
（五）归纳总结
回顾本节课的主要内容，强调整除的概念和性质，引导学生总结学习经验。
（六）作业布置
布置一些与整除有关的习题，让学生在课后进行自我检测和巩固。
四、教学反思：
对于学生在课堂上的反应和理解情况进行反思，以便于调整教学方法和策略。
第一讲数的整除(教师版)
第一讲数的整除（教师版）奥数特训四年级下册教材91、在一条公路上，每隔100千米有一个仓库（如图），共有五个仓库。
一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有50吨货物，其余两个仓库是空的。
现在想将所有的货物集中存放在一个仓库里。
如果每吨货物运输1千米需要0.5元的运费，那么最少要花多少运费才行？2、有89吨货物要甲地运往乙地。
大卡车的载重量是7吨，小卡车的载重量是4吨。
大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是14公升和9公升。
问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需用油多少公升？3、某公司运输队每天有5辆汽车为7个工厂作循环运输任务。
每个工厂需配备的装卸工如图所示。
如果每个工厂固定的装卸工太多，会造成浪费，可让一部分装卸工跟车装卸。
这样，有人跟车，有人固定。
怎样合理安排才能使装卸工人数最少？-1-奥数特训四年级下册教材94、某工地A有20辆卡车。
要把60车渣土从A地运往B，把40车砖从C运到D（工地道路图如图所示）。
问如何调运最省油？5、把16拆成几个互不相同的自然数，使这些自然数的乘积最大。
解：拆成的数不能有1，而2＋3＋4＋5＋6＞16，所以16至多拆成4个互不相同的自然数。
这有两种拆法：16=2＋3＋5＋6=2＋3＋4＋7由于5某6＞4某7，所以拆成2＋3＋5＋62某3某5某6=180.6、把长239米的钢筋截成17米和24米长的钢筋，如何截法最省材料？解：239=17某7＋24某5所以应截成17米的7根，24米的5根。
7、把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字填在九个方框中（每个数字只用一次），使三个三位数相乘的积最大。
□□□某□□□某□□□解：要使乘积最大，这三个三位数也要最大，首位是9、8、7，十位是6、5、4，个位是3、2、1。
又在和一定的情况下，两数差越小则积越大。
所以这三个三位数是941、852、763.8、兄弟俩骑车郊游，弟弟先出发，速度是每分钟行200米，5分钟后，哥哥带一条狗出发，以每分钟250米的速度去追弟弟。
五年级奥数.数论.整除性（A级）.教师版
五年级奥数.数论.整除性（A级）.教师版九进制乔治·兰伯特是美国加利福尼亚州⼀所中学的数学教师，他对数学特别敏感⽽且有极⼤的研究兴趣。
他常年与数字、公式打交道，深感数学的神秘与魅⼒。
他开始注意⼀些巧合的事件，⼒图⽤数学的⽅式来破解巧合。
他发现：法国皇帝拿破仑与纳粹元⾸希特勒相隔⼀个多世纪，但是他们之间有很多数字巧合。
拿破仑1804年执政，希特勒1933年上台，相隔129年。
拿破仑1816年战败，希特勒1945年战败，相隔129年。
拿破仑1809年占领维也纳，希特勒在1938年攻⼈维也纳，也是相隔129年。
拿破仑1812年进攻俄国，希特勒在相隔129年后进攻苏联。
美国第16届总统林肯于1861年任总统，美国第35届总统肯尼迪于1961年任总统，时隔100年。
两⼈同在星期五并在⼥⼈的参与下被刺遇害。
接任肯尼迪和林肯的总统的名字都叫约翰逊。
更巧的是，杀害林肯的凶⼿出⽣于1829年，杀害肯尼迪的凶⼿出⽣于1929年，相隔⼜是100年。
兰伯特被这些数字迷住了，他经常将这些数字翻来覆去地分解组合。
他惊奇地发现，拿破仑和希特勒的巧合数129与林肯和肯尼迪的巧合数100，把它们颠倒过去分别是921和001，⽤921减去129，⽤100减去001，得数都能被9除尽：921-129=792，100-001=99；792+9=88，99÷9=11，结果都有⼀个⼗位和个位都相同的两位数的商。
兰伯特⾮常吃惊，他对9着了迷。
他发现将l 、2、3、4、5、6、7、8、9加在⼀起是45，⽽4+5=9。
他还发现，⽤9乘以任何⼀个数，将所得到的积的各位数字相加，所得到的和总是9。
取任何⼀个数，⽐如说2004，将每位数加起来是2+0+0+4=6，⽤2004减去6结果得到1998，⽽1998÷9=222，能被9除尽。
他还总结出这样⼀个规律：把⼀个⼤数的各位数字相加得到⼀个和，再把这个和的各位数字相加⼜得到⼀个和。
六年级秋季班 (1)-第1讲整数和整除-教师版
整数和整除内容分析整数和整除是六年级数学上学期第一章第一节内容，主要对整数的分类和整除的概念进行讲解，重点是整除的概念理解，难点是整除条件的归纳总结．通过这节课的学习一方面为我们后期学习公因数和公倍数提供依据，另一方面也为下学期学习有理数奠定基础．知识结构模块一：整数和整除的意义知识精讲1、整数的意义和分类（1）自然数：零和正整数统称为自然数；（2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数．2、整除的意义整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a ．例题解析【例1】在12、5.352、0、0.2、30、12.4、9.5、1 这些数中，整数是，自然数是．．【例2】关于18 ÷ 3 = 6 ，下列说法正确的是（）A．18 能整除3 B．3 能被整除18C．18 能被3 整除D．3 不能整除18【例3】下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是．○13 和0.3；○212 和4；○35 和15；○40.2 和0.4；○51.4 和14；○65 和0.1．【例4】下列说法中，正确个数是（）○1 整数包括负数、整数；○2 1 是最小的自然数；○3 a 除以b，商为整数，且余数为0，则a 能被b 乘除；○4 有最大的自然数，而没有最小的自然数；○5 最大的正整数和最大的负整数都不存在．A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个【例5】下面的几对数中，第一个数能除尽第二个数的是．○17 和11；○29 和2538；○32 和5；○415 和5；○513 和91；○62 和0.4；○70.3 和6；○81.5 和2.5．师生总结1、整除与除尽有什么相同点？2、整除与除尽有什么不同点？【例6】有15 位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法？有可能把他们平均分成4 个小组吗？为什么？【例7】一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342 个．小马虎的统计对吗？为什么？【例8】在1~600 这600 个数中，不能被2 整除的数有多少个？不能被3 整除的数有多少个？既不能被 2 整除，又不能被3 整除的数有多少个？模块二：因数和倍数知识精讲1、因数和倍数整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（也称为约数）．注：一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身．例题解析【例9】在9、12、15、30、45、66 有因数2 的是，是3 的倍数的是．【例10】既是23 的倍数，又是23 的因数的数是．【例11】下列说法中不正确的是（）A．1 是任何正整数的因数，任何正整数都是1 的倍数B．偶数的因数不一定是偶数C．奇数的因数一定是奇数D．一个数的最大因数一定小于它的最小倍数【例12】一个正整数所有的因数是1、2、3、6，那么这个数是．【例13】既是3 的倍数，又是30 的因数的数是．（写出所有符合条件的数）【例14】一个数即是10 的倍数，又是100 的因数，且不能被4 整除，这个数是．【例15】已知一个三位数abc ，若两位数bc 能被 4 整除，那么这个三位数就能被 4 整除．这句话对吗？如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例．知识精讲例题解析1、能被 2 整除的数能被 2 整除的数的特征：个位上是 0，2，4，6，8 的整数； 能被 2 整除的整数叫做偶数，不能被 2 整除的整数叫做奇数． 2、奇数偶数的运算性质奇数± 奇数 = 偶数；奇数± 偶数 = 奇数；偶数± 偶数 = 偶数； 奇数⨯ 奇数 = 奇数；奇数⨯ 偶数 = 偶数；偶数⨯ 偶数 = 偶数． 推广结论：（1）奇数个奇数的和为奇数；偶数个奇数的和为偶数；任意有限个偶数的和为偶数； （2）若干个奇数的乘积为奇数，偶数与整数的乘积为偶数； （3）如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个整数都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个整数是偶数； （4）如果两个整数的和（或差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和（或差）是奇数，那么这两个整数的奇偶性不同； （5）两个整数的和与差的奇偶性相同． 3、能被 5 整除的数能被 5 整除的数的特征：个位上是 0 或 5 的整数． 4、能同时被 2、5 整除的数能同时被 2 和 5 整除的数的特征：个位上是 0 的整数．【例16】 两个连续自然数的差是（）A ．奇数B ．偶数C ．奇数或偶数D ．既不是奇数也不是偶数【例17】 9 个连续自然数的积是（“奇”或“偶”）数．模块三：能被 2、5 整除的数【例18】已知一个三位数13x ．（1）若这个三位数能被2 整除，求x；（2）若这个三位数能被5 整除，求x；（3）若这个三位数能同时被 2 和 5 整除，求x．【例19】用0、1、2 三个数字组成的数字不重复的三位数中，偶数有（）个A．4 B．3 C．2 D．1【例20】 5 个连续偶数的和为240，这五个偶数分别是几？【例21】1+ 2 + 3 +⋅⋅⋅+ 2015 + 2016 的结果是奇数还是偶数？请说明理由．【例22】用25、26、27、28、29 这五个数两两相乘，可以得到10 个不同的乘积，问乘积中有多少个偶数？【例23】13 个不同的的自然数之和等于100，其中偶数最多有几个？偶数最少有几个？【例24】有五只杯口朝上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时“翻转”，使其杯口朝下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使五只杯子的杯口全部朝下？为什么？【例25】101⨯102⨯103⨯⋅⋅⋅⨯ 998⨯1000 的结果的末尾有多少个零？【例26】在1，2，3，…，2015，2016 中每个数前面任意添加“+”、“-”号，最终的运算结果是奇数还是偶数？请说明理由．模块四：能被 3、9 整除的数知识精讲1、能被3 整除的数能被 3 整除的数的特征：各个数位上的数字和是 3 的倍数．2、能被9 整除的数能被9 整除的数的特征：各个数位上的数字和是9 的倍数．例题解析【例27】要使三位数2□3 能被3 整除，那么□中可以填的数是；要使三位数2□3 能被9 整除，那么□中可以填的数是．【例28】一个五位数4A97B 能被3 整除，且7B 能被2整除，这样的五位数有个．【例29】从2、4、0、5、8 这五个数字中选出3 个数字组成一个三位数，使得这个三位数同时被2、3 和5 整除，那么这样的三位数有个．【例30】已知一个三位数abc ，试证明：若a +b +c 能被9 整除，则abc 能被9 整除．随堂检测【习题1】下列说法正确的是（）A．一个数至少有两个因数B．个位上是3、6、9 的整数都能被3 整除C．一个数既是2 的倍数又是5 的倍数，那么这个数一定是10 的倍数D．非负整数是正整数【习题2】50 以内的7 的倍数有个．【习题3】一个数的最大因数与最小倍数的和是2014，这个数是．【习题4】下列说法不正确的个数有（）个（1）两个正整数的和或差的奇偶性相同；（2）甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能整除丙数；（3）任何正整数都能被0 整除；（4）m ÷n = 3 ，则n 一定能整除m；（5）三个连续自然数的乘积能被2 整除．A．1 B．2 C．3 D．4【习题5】下列各算式中，满足整除的有个，满足除尽的有个．（1）13 ÷ 5 ；（2）12 ÷ 7 ；（3）2016 ÷ 3 ；（4）0 ÷ 2 ；（5）24 ÷ 6 ；（6）2.5 ÷ 3 ；（7）2.8 ÷1.4 ；（8）8.8 ÷ 2 ．【习题6】能整除18 的数有．【习题7】一个两位数，其中个位上的数字比十位数字大2，且能被5 整除，求所有符合条件的两位数：．【习题8】四位数2A9B 能同时被 3 和 5 整除，写出所有满足条件的四位数【习题9】三个连续的自然数的和一定能被3 整除吗？如果是，请证明；如果不是，请举出反例．【习题10】小明有12 张卡片，其中3 张卡片上面写着1，3 张卡片上面写着3，3 张卡片上面写着5，3 张卡片上面写着7，小明从中选出5 张卡片，它们上面的数字之和可能等于22 吗？如果能，请说明如何选择卡片；如果不能，请说明理由．【作业1】 如果 A 表示一个正整数，它的最小因数是 ，最小倍数是 ．【作业2】 731 最少加上 ，就是 5 的倍数．【作业3】 三位数“15□”是 8 的倍数，那么“□”中能填的数字的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【作业4】 一个奇数要变成偶数，下列方法中可行的方法有个（1）加上(1+ 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + 99 +100) ；（2）减去(1002 ⨯ 3 + 2798⨯ 5) ；（3）乘以 2；（4）除以 2．A ．1B ．2C ．3D ．4【作业5】三个连续的奇数的和是 321，则这三个奇数为【作业6】 小智买一大箱苹果，共有 84 个，要求每次拿出的个数一样多，拿了若干次正好拿完，则小智共有种不同的拿法．（假设不能一次全拿出）【作业7】一个整数的最大因数与最小因数的差为 27，写出这个整数的所有因数： ．课后作业【作业8】1⨯2 + 2⨯3+ 3⨯4 +⋅⋅⋅200⨯ 201+ 201⨯202 的结果是．（填奇数或偶数）【作业9】五位数538AB 能够同时被2、3、5 整除，求A + B 的值．【作业10】油库中有7 桶油，分别是汽油、柴油和机油，每桶油分别重12 千克、13 千克、16 千克、17 千克、22 千克、27 千克和32 千克，已知柴油的总重量是机油的 3 倍，汽油只有一桶，请问7 个桶分别装的是什么油？12 千克：油；13 千克：油；16 千克：油；17 千克：油；22 千克：油；27 千克：油；32 千克：油．。
数的整除及其应用——全面剖析教学案例
数的整除及其应用——全面剖析教学案例。
一、整除的定义与性质整除是指一个整数x能够被另一个整数y整除，也就是x可以被y整除，这时我们将y称为x的因子或除数，将x称为y的倍数或被除数，并用符号y|x表示y整除x。
例如10整除50，我们可以表示为10|50。
接下来我们来看一下整除的一些特性和性质。
1.如果a|b且b|c，则a|c。
2.如果a|b且a|c，则a|(bx+cy)。
3.负整数也可以整除，例如-2可以整除4，我们可以表示为-2|4。
4.如果a|b且a|c，则a|mx+ny，其中m,n为任意整数。
5.如果a,b都是非零整数，则它们的公因数的绝对值的最大值定义为它们的最大公因数gcd(a,b)，它们的公倍数的绝对值的最小值定义为它们的最小公倍数lcm(a,b)。
6.如果a,b都是非零整数，则有gcd(a,b)×lcm(a,b)=|ab|。
需要注意的是，如果一个数能够整除a和b，它不一定就是a和b 的最大公因数，因为最大公因数的值是它们所有公约数中的最大值。
例如，2是6和8的公因数，但6和8的最大公因数是2。
二、整除的应用1.素数分解素数分解是将一个正整数分解成一些素数的积的过程。
对于一个整数n，我们可以将它不断地除以小于等于它的平方根的素数，直到不再能整除为止，那么所得的所有素数就是n的素因子。
例如，将18分解为素数可得18=2×3×3。
素数分解的重要性在于它可以帮助我们求出数的因数、最大公因数、最小公倍数等。
例如，如果我们需要求16和24的最大公因数，可以先分解它们为16=2×2×2×2，24=2×2×2×3，然后找到它们的共有的素因子2，再找到2的最高幂次，得出它们的最大公因数为8。
2.算术基本定理算术基本定理（又称质因数分解定理）是一个重要的定理，它代表着任何一个自然数都可以唯一地表示成若干个质数的乘积。
数的整除(4年级培优)教师版
数的整除具有以下性质：性质一：如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。
性质二：如果两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
（1）如果一个数是偶数，那么这个数就能被2整除；（2）如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数就能被5整除；（3）如果一个数各个数位上的数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除；（4）如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除；（5）如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除；（6）如果一个数各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除；（7）如果一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）能被11整除，那么这个数就能被11整除。
把下面的数填入特定的方框里。
53 36 2 79 175 67 91 13 524 76 245 43 65 42 8能被2整除不能被2整除解析：略出处：网络难度系数：A下面的数，哪些能被4整除？哪些能被9整除？60 189 208 234 336 783 1107 2216解：能被4整除的数：60、208、336、2216特征：末两位能被4整除能被9整除的数：189、234、783、1107特征：各个数位上的数字之和能被9整除出处：五年级培优底稿难度系数：A在下面每个数中□里填上一个数字，使这个数能被3整除，各有几种填法？16□2 5□41 56□3 618□解析：1+6+2=9，而结果刚好是3的倍数，则□里可填0、3、6、9。
共4种填法。
5+4+1=10，要想能被3整除，则□里可填2、5、8。
共3种填法5+6+3=14，要想能被3整除，则□里可填1、4、7.共3种填法。
6+1+8=15，要想能被3整除，则□里可填0、3、6、9.共4种填法。
出处：网络 难度系数：B若九位数2008□2008能够被3整除，则“□”里的数是___________。
2021年上海市六年级数学期末复习-第1章《数的整除》压轴题解题思路解析(教师版)
沪教版六年级上册第1章《数的整除》压轴题解题思路解析模块一：整数和整除的意义例1：一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个．小马虎的统计对吗？为什么？【难度】★★★【答案】不对，因为4不能整除342．【解析】2342=4÷，余数不为0．85......【总结】本题主要考查数的整除在实际问题中的应用．例2.在1~600这600个数中，不能被2整除的数有多少个？不能被3整除的数有多少个？既不能被2整除，又不能被3整除的数有多少个？【难度】★★★【答案】300，400，200【解析】在1~600这600个数中，能被2整数的数有2，4，6，8，．．．．．．600，共有300 个，则不能被2整除的数有600-300=300个；能被3整除的数有3，6，9，12，．．．．．．600，共有200个，则不能被3整除的数有600-200=400个；既能被2整除，又能被3整除的数有6，12，18，．．．．．．600，共有100个．能被2或3整除的数有300+200-100=400个，所以既不能被2整除，又不能被3整除的数有600-400=200个．【总结】本题主要考查整除在数字问题中的应用，注意思考方式的改变．模块二：因数和倍数例3.已知一个三位数abc，若两位数bc能被4整除，那么这个三位数就能被4整除．这句话对吗？如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例．【难度】★★★【答案】正确． 【解析】三位数abc 可以表示为()c b a ++10100，两位数bc 可以表示为c b +10，因为两位数 bc 能被4整除，∴c b +10能被4整除．而()()()410254104100410100÷++=÷++÷=÷++c b a c b a c b a ，没有余数，所以这个三位数 就能被4整除．【总结】本题主要考查整除的概念，注意合理的运算方法的选择以及对于三位数的表示． 模块三：能被2、5整除的数例4.13个不同的的自然数之和等于100，其中偶数最多有几个？偶数最少有几个？【难度】★★★【答案】其中偶数最多有13个；偶数最少有1个．【解析】当偶数有13个时，则其和为偶数，所以其中偶数最多有13个；偶数为0个时， 则这13个数均为奇数，其和定为奇数，不可能为100；偶数为1个时，则有12个奇数，这 13个数字之和为偶数，所以偶数最少有1个．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．例5.有五只杯口朝上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时“翻转”，使其杯口朝下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使五只杯子的杯口全部朝下？为什么？【难度】★★★【答案】不能，理由见解析．【解析】对一只杯口朝上的杯子而言，需要“翻转”奇数次，才能使其杯口朝下，对于五 只杯口朝上的杯子放在桌子上，则需要“翻转”的总次数为5个奇数的和，这个和定为奇 数．而每次将其中四只杯子同时“翻转”，则每轮“翻转”的次数为4次（可以看做4个杯子各“翻转”1次），所以无论你“翻转”多少次，总次数都是4的倍数，定为偶数，不可能为奇数，则不能经过这样有限多次的“翻转”后，使五只杯子的杯口全部朝下．【总结】本题主要是将实际问题转化成奇、偶数的运算性质等问题．⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯的结果的末尾有多少个零？例6.1011021039991000【难度】★★★【答案】225．【解析】只要有因数5和因数2的两个整数相乘，末尾就会出现0．1到1000中5的倍数要少于2 的倍数，其中5的倍数有10005200÷=个，125的倍数有÷=个，25 的倍数有10002540÷=个，625的倍数有1个，而1到100中5的倍数有20个，25的倍数有4个，因此在10001258+++--=个．⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯的结果的末尾中含零的个数为：2004081204225 1011021039991000【总结】两数相乘结果末尾为0，则要求整数的个位为2和个位为5的数相乘即可．例7.在1，2，3，…，2015，2016中每个数前面任意添加“+”、“-”号，最终的运算结果是奇数还是偶数？请说明理由．【难度】★★★【答案】偶数，理由见解析．【解析】2016个数中有1008个奇数，这1008个奇数之和为偶数；2016个数中有1008个偶数，这1008个偶数之和为偶数；偶偶相加为偶数，则2016个数字之和为偶数．每个数前面任意添加“+”、“-”号，与1，2，3，…，2015，2016之和的奇偶性是一样的，所以结果为偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．模块四：能被3、9整除的数例8.从2、4、0、5、8这五个数字中选出3个数字组成一个三位数，使得这个三位数同时被2、3和5整除，那么这样的三位数有______个．【难度】★★★【答案】4．【解析】能同时被2和5整除的数末尾数为0，则有240、420、580、850、250、520、280、820、450、540、480、840，其中能够被3整除的有240、420、450、540、 480、840．【总结】本题主要考查能被2、3、5整除的数的特征．例9.已知一个三位数abc，试证明：若a b c++能被9整除，则abc能被9整除．【难度】★★★【答案】证明见解析．【解析】因为a b c=+（m为正整数），abc=10010++a b c+a9++能被9整除，则可得mcb()()a b a b c=++++，因为b999++能被9整除，所以abc能被9整a999+能被9整除，也a b c除．【总结】本题一方面考查三位数的表示方法，另一方面考查整除的运用．模块五：素数、合数与分解素因数例10.面积是72平方厘米的长方形，它的长和宽的厘米数都是合数，这个长方形的周长可能是多少厘米？【难度】★★★【答案】44厘米或36厘米或34厘米．【解析】9⨯==，=⨯72⨯8126184则①长方形的长为18厘米，宽为4厘米，此时的周长为()44+⨯厘米；1842=②长方形的长为12厘米，宽为6厘米，此时的周长为()36+2=⨯厘米；612③长方形的长为9厘米，宽为8厘米，此时的周长为()34+⨯厘米．82=9【总结】将实际问题转化成数学中的分解素因数来解决．模块六：公因数和最大公因数例11.一块矩形地面，长90米，宽15米，要在它的四周和四角种树，每两棵树之间的距离相等，则最少要种______棵树．【难度】★★★【答案】14．【解析】每两棵树之间的距离要整除90和15，则为90和15的公因数，题目中问最少种多少棵树，则是求90和15的最大公因数，最大公因数为15．则每两棵树之间距离15米种一棵树，一排种7棵树，两排共种14棵树．【总结】生活实际问题转化为数学中求几个数的最大公因数的问题，只要把它们所有公有素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．例12.一个长方体，它的上面和正面面积之和是209平方分米，长、宽、高都是素数，则这个长方体的表面积是______．【难度】★★★【答案】486平方分米．【解析】长方体的上面的面积等于长×宽，正面的面积等于长×高，则上面和正面面积之和是长×（宽+高），因为长、宽、高都是素数，所以209可以分解成两个素数之积与两个素数之的形式．而19209⨯=，且11不能写成两个素数相加的形式，19可以写成2和17相加的形11式．则长方体的长宽高分别为11、17、2．可求出长方体的表面积为()486+⨯⨯⨯⨯平方分米．+2=1122171711【总结】生活实际问题转化为数学中分解素因数问题．例13.求42897与18644的最大公因数．（拓展：辗转相除法）【难度】★★★【答案】79．【解析】被除数÷除数=商．．．．．．余数，42897÷18644=2．．．．．．5609，18644÷5609=3．．．．．．1817，5609÷1817=3．．．．．．158，1817÷158=11．．．．．．．79，158÷79=2．．．．．．0，所以最大公因数为79．【总结】对于特大数字的最大公因数的求法的问题，可以用辗转相除法来解决． 辗转相除法步骤：设两数为a b 、 ()a b >，求a 和b 最大公因数的步骤如下：用a 除以b ： 得：()110a b q r r ÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥．若10r =，则a 和b 最大公因数为b ；若10r ≠，则再用b 除以1r ， 得：()1220b r q r r ÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥．若20r =，则a 和b 最大公因数为1r ，若20r ≠，则继续用1r 除 以2r ，……如此下去，直到能整除为止．其最后一个非零除数即为a 和b 的最大公因数． 模块七：公倍数与最小公倍数例14.已知四位数20A B 是24的倍数，则A +B 的最大值为多少？【难度】★★★【答案】16．【解析】因为24=2×2×2×3，所以24的倍数一定能被2和3整除．被2整除，个位 B 为0、2、4、6、8，其中最大取8；被3整除，A +2+0+8能被3整除，A 最大取8．此时，8208÷24=342，所以A +B 的最大值为8+8=16．【总结】本题主要考查能被2、3整除的数的特点．例15.动物园的饲养员给三群猴子分花生，如果分给第一群猴子，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群猴子，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可得18粒．已知第一群猴子猴四十几只，那么总共有多少粒花生？共有多少只猴子？【难度】★★★【答案】540粒；45只．【解析】因为如果分给第一群猴子，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群猴子，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可得18粒．所以共有花生粒个数能同时被12、15、18整除．利用短除法求出12、15、18的最小公倍数为180，则共有花生粒个数是180的倍数．因为第一群猴子猴四十几只，所以共有花生粒个数在12×40=480到12×50=600之间．因为在480到600之间，180的倍数有540，则总共有540粒花生，共有540÷12=45只猴子．【总结】可以将实际问题转化成公倍数问题来处理．例16.一个正整数被4除余1，被6除余1，被9除余1，则这个数最小是多少？【难度】★★★【答案】37．【解析】因为一个正整数被4除余1，被6除余1，被9除余1，所以这个数减去1之后能同时被4、6、9整除，短除法可求出4、6、9的最小公倍数为36，则这个是最小为36+1=37．【总结】此类问题可以转化为同余问题来解决．将余数转化成一样的，则可以利用公倍数来解决这个问题了．例17.某校有皮球若干个，如果平均分给10个班，则余下9个；如果平均分给12个班，则余下11个；如果平均分给15个班，则余下14个，学校至少有几个皮球？【难度】★★★【答案】59．【解析】如果平均分给10个班，则余下9个；也可以理解成如果平均分给10个班，则少1 个；如果平均分给12个班，则余下11个；也可以理解成如果平均分给12个班，则少1个；如果平均分给15个班，则余下14个，也可以理解成如果平均分给15个班，则少1个．所以皮球的个数加上1能同时被10、12、15整除，用短除法求出10、12、15的最小公倍数为60，所以皮球的个数为60-1=59个．【总结】此类问题可以转化为同余问题来解决．将余数转化成一样的，则可以利用公倍数来解决这个实际问题了．例18.甲每隔3天去少年宫一次，乙每隔5天去一次，丙每隔7天去一次，如果6月1号，甲乙丙同时去了少年宫，则下次同时去少年宫的日期是哪一天？【难度】★★★【答案】9月14日．【解析】因为甲每隔3天去少年宫一次，乙每隔5天去一次，丙每隔7天去一次，所以下次去少年宫距离上次同时去少年宫的天数能同时被3、5、7整除，短除法可得3、5、7的最小公倍数为105，则经过105天（6月30天，7月31天，8月31天），即9月14日甲、乙、丙同时去少年宫．【总结】本题主要考查利用最小公倍数解决实际问题．。
数的整除教案(优秀8篇)
数的整除教案(优秀8篇)数的整除教案篇一教学要求：使学生初步掌握能被3整除的数的特征，能正确判断一个数能被3整除的数的特征，培养学生抽象、概括的能力。
教学重点：能被3整除的数的特征。
教学难点：会判断一个数能否被3整除。
教学过程：一、创设情境1、能被2、5整除的数有什么特征？2、能同时被2和5整除的数有什么特征？二、揭示课题我们已经知道了能被2、5整除的数的特征，那么能被3整除的数有什么特征呢？现在我们就来学习和研究能被3整除的`数的特征（板书课题）三、探索研究1．小组合作学习---能被3整除的数的特征。
（1）思考并回答：①什么样的数能被3整除？②要想研究能被3整除的数的特征，应该怎样做？（2）做法是：（根据学生说的逐一板书）①②观察：③特征×3（分组讨论，说发现的规律）一个数的各位上的数一三把各位上的数加起来看和有什么特征。
的和能被3整除，这26个数就能被3整除。
394125壹五618721824（3）检验：由学生和老师任意报一个较大的数让学生检验观察它的特征。
如：8057921。
因为：8+0+5+7+9+2+1=323+2=55为能被3整除，所以8057921不能被3整除，8057921÷3=2685940......1。
四、课堂实践1、做教材第55页下面的“做一做”。
2、做练习十二的第5题。
3、做练习十二的第6题。
4、做练习十二的第8题。
①让学生明确这个图所表示的就是判断一个数能否被3整除的顺序和方法。
②让学生按这个顺序和方法判断上面的3个数。
五、课堂小结学生小结今天学习的内容。
六、思考练习做练习十二的第7题。
苏教版数学六年级上册教案能被3整除的数的特征数的整除教案篇二教学目标：1、经历整十数除以一位数的口算和非整十的两位数除以一位数的口算、笔算的探索过程，能口算整十数除以一位数（商为整十数），会笔算两位数除以一位数（首位能整除）。
2、培养学生初步的观察力、动手操作能力和积极参与学习活动的情趣。
4整除部分讲义第4讲（教师版）
【热身题】例1 ：求一对整数b a ,，满足：(1))(b a ab +不能被7整除；（2）777)(b a b a --+能被77整除.【解】777)(b a b a --+=)](5)(3)[(7223355b a b a b a ab b a ab +++++=.))((7222ab b a b a ab +++根据题设要求(1)(2)知，|,)(|72226ab b a ++即.|7223ab b a ++令,7322=++ab b a 即,343)(2=-+ab b a 即19=+b a ，则.343192-=ab 故可令1,18==b a 即合要求.例2.三角形三边长均为质数，证明：其面积不可能为整数.证明：记三角形的三边长度为a 、b 、c因为a 、b 、c 均为质数所以a 、b 、c 有以下两种情况：①a=b=c=2 ②a 、b 、c 均为奇数根据海伦公式而公式里的p 为半周长（周长的一半）：对于情况①,有S △=√3,S △不为整数对于情况②,有,因为p=(a+b+c)/2不为整数,所以S △不为整数 所以不存在三边长均为质数而面积取值为整数的三角形第四讲 素数及唯一分解定理大于1的整数n 总有两个不同的正约数：1和n ．若n 仅有这两个正约数（称为n 没有真约数），则称n 为素数（或质数）．若n 有真约数，即n 可表示为a b ⋅的形式（这里a 、b 为大于1的整数），则称n 为合数．于是，正整数被分成三类，数1单独作一类，素数类及合数类．素数在正整数中特别重要，我们常用字母p 表示素数．由定义易得出下面的基本结论： ①大于1的整数必有素约数．②设p 是素数，n 是任意一个整数，则或者p 整除n ，或者p 与n 互素．事实上，p 与n 的最大公约数()p n ，必整除p ，故由素数的定义推知，或者()1p n =，，或者()p n p =，，即或者p 与n 互素，或者p n ∣．③设p 是素数，a 、b 为整数．若p ab ∣，则a 、b 中至少有一个数被p 整除．特别地可以推出，若素数p 整除(1)n a n ≥，则p a ∣．④素数有无穷多个．思考：如何证明素数有无穷多个？（提示：用反证法，假设素数只有有限多个，为12k p p p ，，，，考虑数121k N p p p =+ ，利用性质⑶．①）⑤每个大于1的正整数都可以分解为有限个素数的积；并且，若不计素因数在乘积中的次序，这样的分解是唯一的．将n 的素因数分解中的相同的素因子收集在一起，可知每个大于1的正整数n 可惟一的表示为1212k a a a k n p p p = ，其中12k p p p ，，，是互不相同的素数，12k a a a ，，，是正整数，这称为n 的标准分解．⑥n 的全部正约数为1212k b b b k p p p ，其中i b 是满足0(12)i i b a i k = ，，，≤≤的任意整数．由此易知，若记()n τ为n 的正约数的个数，()n σ为n 的正约数之和，则有12()(1)(1)(1)k n a a a τ=+++ ，121111212111()111k a a a k k p p p n p p p σ+++---=⋅--- ．例子：写出不超过100的所有的素数。
小学数学六年级《数的整除》教案
数的整除第1课时教案一、情境导入（5分钟）1、师：同学们，丁丁的爸爸在自己的电脑上设置了一组密码：第一个数字是10以内既是合数又是奇数的数；第二个数字既有约数3，又是6的倍数；第三个数字是10以内最大的质数；第四个数字既不是质数，又不是合数；第五个数字是10以内既是质数又是偶数的数。
谁能破译密码，并说明你是怎样破译的？（可以作成图片，或课件。
）生：密码是96712。
因为10以内既是合数又是奇数的数是9；既有约数3，又是6的倍数的数是6；10以内最大质数是7；既不是质数又不是合数的是1；10以内既是质数又是偶数的数是2；所以我破译的密码是它。
师：同学们真聪明！在破译密码的过程中，我们应用了“数的整除”这个单元的许多知识，除质数、合数、奇数、偶数、倍数、约数这几个概念外，我们还学过哪些概念？生1：有公约数、公倍数、最大公约数、最小公倍数。
生2：还有整除、互质数、因数、质因数。
生3：还有能被2、3、5整除数的特征。
生4：还有“1”既不是质数又不是合数。
2、计算接力棒。
我们传递计算接力棒：从第一个小朋友开始向后传递。
哪位小朋友丢了接力棒下课后要为同学们唱支歌，好不好？教师题卡一个一个出示（或课件展示）7600÷400= 780÷13= 640÷80= 1480÷80=90÷15= 48÷4= 640÷16= 39÷3=48÷16=56÷14= 24÷8= 560÷80=96÷24= 40÷20= 6000÷40= 1000÷25=8100÷300= 7600÷200=7600÷400= 980÷14=（题目简单，气氛热烈，学生很高兴做这个计算接力棒游戏）我们做的这些题目都是数的整除题，今天我们来进一步学习数的整除。
第4讲 数的整除单元复习(教师版)
第4讲 数的整除单元复习【学习目标】数的整除是建立在整数的四则运算的基础上的，通过本章的学习，学生需要理解整除的意义，理清因数与倍数、奇数与偶数、素数与合数、公因数与公倍数的概念，掌握求最大公因数和最小公倍数的算理和方法，难点是利用最大公因数和最小公倍数解决实际问题．目的在于，通过丰富的实例，体验数学与日常生活的密切联系，感受如何运用数学的思维方式去观察、分析并解决生活中的问题，从而增强应用数学的意识，体会数学与生活的联系，了解数学的价值，增进对数学的理解．【基础知识】1.⎧⎫⎪⎬⎨⎭⎪⎩正整数自然数整数零负整数； 2.整除：整数a 除以整数b ，若除得的商是整数且余数为零. 即称：a 能被b 整除；或b 能整除a. 整除的条件：..⎫⎧⎪⎨⎬⎪⎩⎭除数、被除数都是整数；三整一零商是整数且余数为零 整除与除尽的关系.⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩整除：被除数、除数、商整数，且余数为零；区别除尽：被除数、除数、商是整数，没有余数.联系：整除是除尽都是不一定的特殊形式3.因数与倍数：整数a 能被整数b 整除，a 就叫b 的倍数，b 就叫a 的因数（约数）.因数与倍数的特征：⎧⎪⎨⎪⎩因数与倍数互相依存；一个整数的因数中最小因数为1，最大因数为它本身一个整数的倍数中最小的倍数是它本身，无最大倍数.4.能被2整除的数2468.⎧⎨⎩偶数(2n)；(否则是奇数(2n-1))特征：个位上是0，，，，， 能5整除的数的特征：个位上数字是0，5；能同时被2、5整除的数：个位上数字是0.*能被3整除的数：一个整数的各个数位上数字之和能被3整除，这个整数就能被3整除.*能同时被2、3和5整除的数：个位数是0，且各个数位上数字之和能被3整除5.111.⎧⎪⎨⎪⎩：只有因数；正整数素数：只有和两个因数；合数：除了和以外还有别的因一个它本身它数本身6. ⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎩素因数：每个合数都可写成的形式，其中每个素数 都是这个合数的，叫这个合数合几个素数积因数式的素因数；数分解素因数分解素因数：把一个合数用表示.方法：短除法；树枝分解法；口算法素因数相乘的；机算法.形7. ⎧⎪→→⎨⎪⎩公有的因数最大的 定义:几个数，叫这几个数的公因数；其中公因数最大公因数叫这几个数的最大公因数；求法：枚举法；分解素因数法；短除. 一个法8. 1⎧⎨⎩公因数1不一互素：指两个整数只有.这两个整数是素数.区别素数：只有和它本身因数；定两个9. 1.⎧⎪⎪⎪⎪⎪→→→→⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩定义：几个整数的，叫它们的公倍数；其中叫它们的最小公倍数；公倍数最小公倍数一般方法：倍数公倍数最小公倍数；2.分解素因数法；最小公倍数的求法 3.短除法.4.特殊情况：两个数互素；两个连续的公有的倍数最小的 个正整数. 一 10.重要结论：1.a b ab a b a b ⎧⎨⎩若是的因数，则它们的最大公因数为，最小公倍数为；若与互素，则它们的最大公因数为，最小公倍数为 【考点剖析】考点一：整数和整除的意义例1．（浦东南片十六校2020期末1）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）A. 5和20；B. 7和2；C. 34和17；D. 1.2和3.【答案】C ；【解析】解：A 、20能被5整除，故A 不符合题意；B 、没有整除关系，故B 不符合题意；C 、34能被17整除，故C 符合题意；D 、1.2不是整数，故D 不符合题意；因此答案选C.例2．（2019上南中学10月考2）在数18，-24，0，2.5，34，2005，3.14，-10中，整数有（ ） A. 2个； B. 3个； C. 4个； D. 5个.【答案】D ；【解析】解：在上述数中，其中整数有18，-24，0，2005，-10共5个，故答案选D.考点二：因数与倍数例1．（2019晋元附校测试2）14的因数有__________.【答案】1、2、7、14；【解析】解：14的因数有1、2、7、14.例2．（2019浦东上南东10月考17）如果用[]a 表示a 的全部因数的和，如[]1263216=+++=，那么[][]=-818________【答案】24；【解析】解：因为[]a 表示a 的全部因数的和，故[18]=1+2+3+6+9+18=39，[8]=1+2+4+8=15，所以[18]-[8]=39-15=24.考点三：：能被2，5整除的数例1．（奉贤2019期中10）正整数中，能同时被2和5整除的最大两位数是 .【答案】90；【解析】解：正整数中，能同时被2和5整除的最大两位数是90.例2．（青教院附中2019期中18）如图，用灰白色正方形瓷砖铺设地面，则第n 个图案中白色瓷砖数为 块.【答案】32n +;【解析】解：第1个图案中白色瓷砖数为3+2块，第2个图案中白色瓷砖数为32+2⨯块，第3个图案中白色瓷砖数为33+2⨯块，…，第n 个图案中 白色瓷砖数为3n+2块.考点四：素数、合数与分解素因数例1．（2019建平西校10月考3）下列说法正确的是（ ）A.奇数都是素数;B.素数都是奇数；C.合数不都是偶数;D.偶数都是合数.【答案】C ；【解析】解：A 、奇数不一定是素数，如9等，故A 错误；B 、素数不一定是奇数，如2，故B 错误；C 、合数不都是偶数，正确；D 、偶数不一定是合数，如2，故D 错误；因此答案选C.例2．（2019徐教院附中10月考7）最小的素数是_____，最小的合数是____.【答案】2, 4;【解析】解：最小的素数为2，最小的合数为4.例3．（闵行区2020期末7）把18分解素因数，那么18= .【答案】233⨯⨯；【解析】解：把18分解素因数为18=233⨯⨯.考点五：公因数与最大公因数例1．（嘉定区2020期末1）3和24的最大公因数是_________.【答案】3；【解析】解：3和24的最大公因数是3.例2．（2019浦东四署10月考12）甲数=2×2×3，乙数=2×3×3×5，甲数与乙数的最大公因数是 .【答案】6;【解析】解：因为甲数=2×2×3，乙数=2×3×3×5，所以甲数与乙数的最大公因数为：2×3=6.考点六：公倍数与最小公倍数例1．（奉贤2019期中9）如果A=2×3×7，B=3×5×7，那么A 和B 的最小公倍数是 .【答案】210；【解析】解：因为A=2×3×7，B=3×5×7，那么A 和B 的最小公倍数是3×7×2×5=210.例2． （2019徐教院附中10月考16）已知532⨯⨯=A 、732⨯⨯=B ，则B A 、的最小公倍数是____，最大公因数是_____.【答案】210, 6;【解析】解：因为235A =⨯⨯、237B =⨯⨯，则A 、B A 、的最小公倍数是2×3×5×7=210，最大公因数是2×3=6.例3．（2019建平西校10月考26）一筐苹果80多个，每次拿4个，每次拿5个,都恰好多1个，这筐苹果共有多少个?【答案】81；【解析】解：设这筐苹果拿掉一个后，总数能4和5整除，故是20的倍数，根据题意总数为80+1=81个.【真题演练】一、选择题1.（2019闵行实验西校10月考1）下面各组数中，第一个数能整除第二个数的是（ ）A ．14和7； B.2.5和5； C.9和18； D.0.4和8.【答案】C;【解析】解：A 、14能被7整除，不符合题意；B 、2.5不是整数，不符合题意；C 、9能整除18，符合题意，故C 正确；D 、0.4不是整数，故D 不符合题意；因此答案选C.2.（2019上南中学10月考1）下列关于“1”的叙述不正确的是（ ）A.1是最小的自然数；B.1既不是素数，也不是合数；C.1是奇数；D.1能整除任何一个正整数.【答案】A ；【解析】解：A 、最小的自然数为0，故A 错误；B 、1既不是素数，也不是合数，故B 正确；C 、1是奇数，故C 正确；D 、1能整除任何一个正整数，故D 正确；因此答案选A.3.（浦东南片2019期中2）36的全部因数的个数有（ ）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个【答案】D ；【解析】解：36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，一共9个；因此答案选D.4.（川沙中学南校2019期末1）把66分解素因数是（ ）A.6612311=⨯⨯⨯；B. 66611=⨯；C. 662311=⨯⨯；D. 231166⨯⨯=.【答案】C ；【解析】解：把66分解素因数是：662311=⨯⨯，故答案选C.5. （奉贤2019期中4）下列说法正确的是（ ）①14能被42整除；②正整数一定是自然数；③12的因数有1、2、3、4、6、12共6个；④如果两个数互素，那么这两个数不能是合数.A.1个；B. 2个；C. 3个；D. 4个.【答案】B ；【解析】解：14能整除42，故①错误；正整数一定是自然数，故②正确；12的因数有1、2、3、4、6、12共6个，故③正确；如果两个数互素，那么这两个数可以是合数，如15与16互素，但15与16均是合数，故④错误；因此正确的命题个数为2个；故答案选B.6.（2019大同初中10月考1）下列关于1的描述中，错误的是（ ）(A)1既不是素数，也不是合数 (B)1是最小的正整数(C)1除以任何数等于这个数本身 (D)任何一个奇数加上1都是偶数【答案】C ；【解析】解：1既不是素数，也不是合数，故A 正确；1是最小的正整数，故B 正确；1除以任何数等于这个数本身，错误, 故C 符合题意；任何一个奇数加上1都是偶数，故D 正确；因此答案选C.7.（闵行区2020期末1）整数16与24的最大公因数是（ ）A. 2；B. 4；C. 8；D.48.【答案】C ；【解析】解：因为162222,242223=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，所以它们的最大公因数为2×2×2=8.8.（2019徐教院附中10月考5）b a 、都是正整数，如果b a 3=，那么b a 、的最小公倍数是（ ）、A ab 3 、B a 、C b 、D ab 【答案】B;【解析】解：因为a=3b ，故a 、b 的最小公倍数为a ，因此答案选B.9. （川沙中学南校2019期末6）如果n 表示一个大于1的整数，那么下列四个选项中，一定表示合数的是（ ）A.n+2；B.n-2；C.2n ；D.2n . 【答案】C ；【解析】解：因为n 表示一个大于1的整数，故2n 表示大于2的偶数，故2n 一定是合数，故答案选C.二、填空题10.(2019南模初中10月考1) 最小的自然数是 .【答案】0；【解析】解：最小的自然数为0.11.（2019大同初中10月考7）4.8÷3＝1.6， 填“能”或“不能”)说3能整除4.8【答案】不能；【解析】解：因为4.8，1.6都是小数，不是整数，故不能说3能整除4.8.12.（2019晋元附校测试10）有一个数，它既是a 的倍数，又是a 的因数，这个数是__________.【答案】a ；【解析】解：既是a 的倍数，又是a 的因数，则这个数就是它本身a.13.（2019松江九亭10月考1）写出既能被2整除又能被5整除的最小的两位__________.【答案】10；【解析】解：既能被2整除又能被5整除的数，个位数为0，因此最小的两位数为10.14.（2019中国中学10月考6）三位数75□能同时被2、3整除，那么□可以是 。
六年级奥数-整除和位值原理(教师版)
第九讲整除和位值原理整除问题整除是我们很早接触的一个概念，对于它的性质我们也比较熟悉，不过它在题目表现出来的很大的灵活性和很强的技巧性，仍然是值得我们不断学习和思考的．下面我们先回顾一下相关知识：1.整除的概念b ，如果a÷b=c，即整数a除以整数b，得到的商是整数c且a，b，c为整数，且0没有余数，那么称作n能被b整除，或者是说b能整除a，记作；否则，称为a不能被b整除，或是说b不能整除n．如果整数a能够被整数b整除，则a叫做b的倍数，b叫做a 的约数．2.整除的基本性质①如果a，b都能够被c整除，那么它们的和与差也能够被c整除．即：如果，那么②如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a．即：如果，那么③如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a．即：如果④如果b，c都能够整除，且b与c互质，那么b与c的乘积能整除a．即：3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0，2，4，6，8；②能被3(或9)整除的数的特征：各位的数字之和能够被3(或9)整除；③能被4(或25)整除的数的特征：末两位数能够被4(或25)整除；④能被5整除的数的特征：个位数字是0或5；⑤能被7(或11、13)整除的数的特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之⑥差能够被7(或1、11、13)整除；⑦能被8(或125)整除的数的特征：末三位数能够被8(或125)整除；⑧能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能够被11整除．4.位值原理同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。
也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。
例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。
这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
用阿拉伯数字和位值原理，可以表示出一切整数。
例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6。
数的整除之四大判断法综合运用一教师版
---数的整除之四大判断法综合运用(一）.教师版————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ﻩ5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用（一）教学目标1.了解整除的性质;2.运用整除的性质解题；3.整除性质的综合运用.知识点拨一、常见数字的整除判定方法1.一个数的末位能被２或5整除,这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被４或2５整除,这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或１25整除，这个数就能被８或1２5整除;2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被９整除，这个数就能被９整除；３．如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被1１整除，那么这个数能被１1整除．4．如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、1１或1３整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数(如果有偶数位则拆出的数都有两个数字,如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数)的和是9９的倍数,这个数一定是9９的倍数。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立．)二、整除性质性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除.即如果c︱ａ, c︱ｂ，那么c︱(a±b)．性质2 如果数ａ能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被ｃ整除．即如果ｂ∣a,c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出:性质3如果数ａ能被数b与数ｃ的积整除，那么ａ也能被ｂ或ｃ整除.即如果bｃ∣a，那么b∣a，c∣a.性质4如果数ａ能被数b整除,也能被数c整除，且数b和数c互质,那么a一定能被ｂ与c的乘积整除.即如果ｂ∣ａ，c∣ａ,且（b，c)=1,那么bc∣a．例如:如果3∣１2,4∣12,且(3,4)=1，那么（３×4) ∣1２．性质5 如果数a能被数b整除，那么ａm也能被bm整除.如果b|a,那么bｍ|am(m为非0整数)；性质6如果数a能被数ｂ整除,且数c能被数d整除,那么aｃ也能被bd整除．如果ｂ｜a，且ｄ|c，那么ｂd｜aｃ;例题精讲模块一、2、5系列【例 1】975935972⨯⨯⨯□,要使这个连乘积的最后４个数字都是０,那么在方框内最小应填什么数？【考点】整除之2、5系列【难度】2星【题型】填空【解析】积的最后4个数字都是0,说明乘数里至少有4个因数2和4个因数5.9755539=⨯，=⨯⨯,9355187 97222243=⨯⨯,共有3个5,２个2，所以方框内至少是22520⨯⨯=．【答案】22520⨯⨯=【例 2】从５0到100的这５1个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0?【考点】整除之２、5系列【难度】4星【题型】解答【解析】首先，50、60、7０、80、９０、100中共有７个0．其次，55、6５、85、95和任意偶数相乘都可以产生一个0,而75乘以偶数可以产生2个0，50中的因数5乘以偶数又可以产生1个0,所以一共有742114+++=个0．【答案】14个连续的0【例 3】把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起,如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少?【考点】整除之2、５系列【难度】4星【题型】解答【解析】乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对２和5乘积末尾就有一个零．由于相邻两个自然数中必定有一个是2的倍数,而相邻5个数中才有一个５的倍数，所以我们只要观察因数5的个数就可以了．551=⨯，……,=⨯，3056=⨯，1553=⨯，2555=⨯，2054=⨯,1052发现只有25、50、75、10０、……这样的数中才会出现多个因数5，乘到55时共出现11213+=个因数5，所以至少应当写到55。
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数的整除、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除;2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除•4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】(以上规律仅在十进制数中成立•)二、整除性质性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除•即如果c| a,c I b，那么c | (a±b).性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除.即如果b I a,c I b,那么c I a.用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除.即如果bc I a,那性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除.即如果 b I a, c I a,且（b, c）=1，那么be I a.例如：如果 3 I 12, 4 I 12,且（3, 4）=1，那么（3 冶）I 12.性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除.如果 b | a，那么bm | am （m 为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除.如果b |a，且d | c，那么bd | ac;当两个整数a和b（b 0）, a被b除的余数为0时（商为整数），则称a被b整除或b整除a，也把a叫作b的倍数，b叫作a的约数；如果a被b除所得的余数不为0 ,则称a不能被b整除，或b 不整除a .【例1】某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于____________【分析】9 13 8 125【例2】173口是一个四位数。
数学老师说：我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9、11、8整除。
”问：数学老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？【分析】因为9|173口，所以9|1 7 3 □口11 , 9口 2 , □ 7 ；因为11|173^，所以11| □ 7 3 1 □ 3 , □ 8 ;因为8|173口，所以8|73口，因为739 8 92L L 3，所以73^ 739 3 736 , □ 6 ;所以数学老师在方框中先后填入的3个数字之和是7 8 6 21。
【例3】在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4口32［是 9的倍数•⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确；⑵一共有多少种满足条件的填法？【解析】一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即 4 □ 3 2 □是9的倍数，而4 3 2 9,所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数•⑴依次填入3、6，因为4 3 3 2 6 18是9的倍数，所以43326是9的倍数；⑵经过分析容易得到两个方框内的数的和是9的倍数，如果和是9,那么可以是（9,0）；（8,1）；（7,2）；（6,3）；（5,4）；（4,5）；（3,6）；（2,7）；（1,8）；（0,9），共10种情况，还有（0,0）和（9,9），所以一共有12种不同的填法.【例4】一位后勤人员买了72 本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧去两个数字•帐本是这样的：72本笔记本，共口67.9□元（□为被烧掉的数字），请把□处数字补上，并求笔记本的单价•【解析】把口67.9□元作为整数679□分•既然是72本笔记本的总线数，那就一定能被72整除，又因为72 8 9 , （8, 9）1•所以8| 口679口9| 口679□. 8| 679□，根据能被8整除的数的特征，8 |79 □通过计算个位的口2.又9| 口6792，根据能被9整除的数的特征，9| （□ 6 7 9 2），显然前面的口应是3•所以这笔帐笔记本的单价是：367.92 72 5.11 （元）•【例5】在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、 5 整除，且使这个数值尽可能的小。
【解析】方法一：设补上数字后的六位数是865abc，因为这个六位数能分别被3、4、5整除，所以它应满足以下三个条件：第一：数字和（8 6 5 a b c）是3的倍数；第二：末两位数字组成的两位数bc是4的倍数；第三：末位数字c是0或5。
由以上条件，4| bc，且c只能取0或5,又Q能被4整除的数的个位数不可能是5, ••• c只能取0,因而b只能取0,2, 4, 6, 8中之一。
又Q3| 865ab0，且（8+6+5）除以3 余1, • a b除以3 余2。
为满足题意数值尽可能小”，只需取a 0 , b 2。
•要求的六位数是865020。
方法二：利用试除法，由于要求最小数，用865000进行试除分别被3、4、5整除，就是被60 整除，865000 60 14416L 40 ,所以865000 20 865020能被60整除•••要求的六位数是865020。
【例6】要使15abc6能被36整除，而且所得的商最小，那么a,b,c分别是多少？【解析】分解为互质的几个数的乘积，36 4 9分别考虑所以^6能被4整除，从而c只可能是1 , 3 , 5 , 7 , 9.要使商最小，a,b应尽可能小，先取a 0 ,又1 5 6 a b c 12 b c,所以3 b c是9的倍数所以b 1 , c 5时，取得最小值.【例7】一个六位数A2008B能被72整除，那么A的值为多少？【分析】72 8 9，所以，如果A2008B能被8整除，那么B的值为0或8，而各位数数字之和为9的倍数，当B的值为0或8时，所对应的A的值为8或9 （0被排除）【例8】已知一个五位数V691W能被55整除，那么符合题意的五位数是几?【分析】设这个五位数是A691B ,能被55整除，因为55 5 11，这个五位数既能被5整除又能被11整除，所以B只能等于0或5。
当B 0时，A6910能被11整除，A 9 0 6 1 11, A 9，即96910能被55整除。
当B 5时，A6915能被11整除，A 9 5 6 1 11 , A 11 7 4，即46915能被55整除。
所求五位数是96910或46915。
【例9】牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上。
但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞，上面只剩下’67^8□”，其中方框表示被烧出的洞。
牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元。
请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？【分析】设这45名工人的总工资是67A8B元；因为每名工人的工资都一样，并且都是整数元；所以45|67A8B ；因为45 5 9 ；所以5|67A8B 且9 | 67A8B ；因为5|67A8B，所以5| B，B 0 或5 ；因为9| 67A8B，所以9| 6 7 A 8 B A B 21，9| A B 3 ；当B 0 时，9|A B 3 A 0 3 A 3，A 6 ；当B 5 时，9|A B 3 A 5 3 A 8，A 1 ；这45名工人的总工资有可能是67680或67185元。
【例10】已知两个三位数abc与def的和abc def能被37整除，试说明：六位数abcdef也能被37整除.【解析】abcdef abc 1000 def abc 999 (abc def)，因为999 能被37 整除，所以abc 999能被37整除，而(abc def)也能被37整除，所以其和也能被37整除,即abcdef能被37整除.【例11】若4b 2c d 32，试问abcd能否被8整除？请说明理由.【解析】由能被8整除的特征知，只要后三位数能被8整除即可.bcd 100b 10c d，有bcd (4b 2c d) 96b 8c 8(12b c)能被8 整除，而4b 2c d 32 也能被8 整除，所以abcd能被8整除.【例12】20092009L *0fi909能被11整除，那么，n的最小值为多少？n 个2009【解析】20494009L 24P09中奇位数减偶位数的差为(9 2) n 9 7n 9，当n 5时,n个2009(7n 9)是11的倍数，所以n的最小值是5.【例13】试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如: 1236为原序数,那么它对应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数.)【解析】设原序数为abcd，则反序数为dcba，则abcd + dcba (1000a 100b 10c d) (1000d 100c 10b a)1001a 110b 110c 1001d11(91a 10b 10c 91d)，因为等式的右边能被11整除，所以abcd dcba能被11整除【例14】试说明一个两位数，如果将个位数字和十位数字对调后得到一个新的两位数，则新数与原数的差一定能被9整除.【解析】设原来的两位数为ab ，则新的两位数为ba ba —ab (10b a) (10a b) 9(b a).因为9(b a)能被9整除，所以他们的差能被9整除.【例15】一个六位数abcdef，如果满足 4 abcdef fabcde，则称abcdef为迎春数”如4 102564 410256,则102564就是迎春数”请你求出所有迎春数”的总和•【解析】方法一：显然，f不小于4,原等式变形为 4 (abcde 10 f) 100000 f abcde 化简得abcde 2564f，当 f 4 时，abcde 10256，于是abcdef 为102564 .同理.f 5 , 6,7 8, 9,可以得到abcdef 为128205, 153846, 179487, 205128, 230769.所有的和是999999.方法二：显然，f不小于4,若f 4 , e为4 f末尾数字，所以e 6 ；de为4亦的末2位，所以d 5 ;cde为4 def的末3位，所以c 2;bcde为4 cdef的末4位，所以b 0 ;abcdef为4 bcdef的末5位，所以a 1 ；于是abcdef 为102564.同理.f 5 , 6,7,8, 9,可以得到abcdef 为128205, 153846, 179487, 205128,230769.所有的和是999999.【习题1】要使1232能被5整除，至少要加上（ ）。
A 8 BOC 5【习题2】被3和7除都余1的最小三位奇数是 （ ）。