二次函数综合运用题型

二次函数综合运用题型

二次函数的综合

一、知识整合

解二次函数综合题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意；探究解题思路；正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。

解二次函数综合题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。

二、典型例题

例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线52

-+=bx ax y 交y 轴于点A ，交x 轴于点B(－5,0)和点C(1,0)，过点A 作AD ∥x 轴交抛物线于点D ．

(1)求此抛物线的表达式；

(2)点E 是抛物线上一点，且点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上，求△EAD 的面积； (3)若点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到某一位置时，△ABP 的面积最大，求出此时点P 的坐标和△ABP 的最大面积．

例2.如图，抛物线顶点P(1,4)，与 y 轴交于点 C(0，3)，与 x 轴交于点 A，B．

(1) 求抛物线的解析式．

(2) Q 是抛物线上除点P 外一点，△BCQ 与△BCP 的面积相等，求点 Q 的坐标．

变式：如图，抛物线32

-+=bx ax y 过A(1,0)，B(－3，0)，直线AD 交抛物线于点D ，点D 的横坐标为－2，点P(m ，n)是线段AD 上的动点．

(1)求直线AD 及抛物线的解析式；

(2)过点P 的直线垂直于x 轴，交抛物线于点Q ，求线段PQ 的长度l 与m 的关系式，m 为何值时，PQ 最长？

(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R ，使得P ，Q ，D ，R 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．

三、易错指津

1、二次函数y=x 2﹣2x ﹣3的图象如图所示，若线段AB 在x 轴上，且AB 为23个单位长度，以AB 为边作等边△ABC ，使点C 落在该函数y 轴右侧的图象上，则点C 的坐标为 ．

2、如图，直线y=﹣2

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x+2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点

B 、

C 和点A （﹣1，0）． （1）求该二次函数的关系式；

（2）若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D ，则在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．

四、举一反三

1、如图，直线2y x =+与抛物线2

6y ax bx =++相交于15(,)22

A 和(4,)

B m ，点P 是线段AB 上异于,A B 的动点，过点P 作P

C x ⊥轴，交抛物线于点C . (1)求抛物线的解析式;

(2)是否存在这样的点P ，使线段PC 的长有最大值?若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由;

(3)当PAC ∆为直角三角形时，求点P 的坐标.

2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线2

4y ax bx =++与x 轴的一个交点为(－2,0),与y 轴的交点为C ，对称轴是直线3x =，对称轴与x 轴交于点B . (1)求抛物线的函数表达式;

(2)经过,B C 的直线l 平移后与抛物线交于点M ，与x 轴的交点为N ，当以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M 的坐标.

3、如图，已知抛物线2

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y x bx c =-++的图像经过(1,0),(4,0)A B -两点. (1)求抛物线的解析式;

(2)若(,1)C m m -是抛物线上位于第一象限内的点，D 是线段AB 上的一个动点(不与

,A B 重合)，过点D 分别作//DE BC 交AC 于,//E DF AC 交BC 于F .

①求证:四边形DECF 是矩形;

②连接EF ，线段EF 的长是否存在最小值?若存在，求出EF 的最小值;若不存在，请

说明理由.

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五、专题练习

1、如图，抛物线22

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-+=

bx x y 与x 轴交于A 、

B 两点，与y 轴交于

C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点

D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；

⑶点M(m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM+DM 的值最小时，求m 的值．