一次函数反比例函数二次函数

函数

函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数

函数有三种表示形式：

（1）列表法（2）图像法（3）解析式法

一、一次函数与正比例函数：

◆公式：y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)

当b =0时,y=kx+b 即为y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.

◆一次函数与正比例函数的图形与性质

图像：正比例函数：经过原点的一条直线

正比例函数（y=kx）

性质：正比例函数：y=kx （k≠0）

当k>0时, 经过一、三象限，即随着x的增大(或减小)y也增大(或减小)；

当k<0时, 经过二、四象限，即随着x的增大(或减小)y反而减小(或增大)。

一次函数：

当k＞0时，经过一、三象限，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；

当k ＜0时，经过二、四象限，y 随x 的增大(或减小)而减小(或增大).

二、反比例函数

◆ 公式：y =k

x (k 为常数，k ≠0) ◆ 反比例函数的图像与性质

三、二次函数

◆ 公式：y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数a ≠0)

二次函数的图像是一条关于a

b

x 2-

=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 ◆ 抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

◆ 二次函数解析式

二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点

(1)一般一般式：)0,,(2

≠++=a c b a c bx ax y 是常数，

(2)两根当抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴有交点时，即对应二次好方程

02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式

))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式

))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

(3)三顶点 顶点式：)0,,()(2

≠+-=a k h a k h x a y 是常数，

二次函数的最值

二次函数()02

≠++=a c bx ax y 可化为顶点式a b ac a b x a y 4-4222

+

⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+=如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当a

b

x 2-

=时，a

b a

c y 442-=最值

。

如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a

b

2-

是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a

b

2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则

需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当

2x x =时，c bx ax y ++=22

2最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。

二次函数的性质

1、二次函数的性质

2、二次函数)0,,(2

≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：

a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上

a <0时，抛物线开口向下

b a 、与对称轴有关：对称轴为a

b x 2-

=

c 表示抛物线与y 轴的交点坐标()

c ，0

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的ac 4b 2-=∆，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。 当∆>0时，图像与x 轴有两个交点； 当∆=0时，图像与x 轴有一个交点； 当∆<0时，图像与x 轴没有交点。

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 点A 坐标为（x 1，y 1）点B 坐标为（x 2，y 2） 则AB 间的距离，即线段AB 的长度为

()()221221y y x x -+-

2、二次函数图象的平移

① 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ② 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

③平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）

特别记忆--同左上加异右下减

说明①函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右

②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减

练习题：

1.某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为（）

A．20-0.2t B．Q=20-0.2t（t≥0）

C．Q=20-0.2t D．Q=20-0.2t（0≤t≤100）

2.如图，一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2相交于点P，则方程组

3.将直线y=2x向右平移2个单位所得的直线的解析式是（）

A．y=2x+2 B．y=2x-2 C．y=2（x-2）D．y=2（x+2）4

A．第一、二、三象限B．第二、四象限