线性空间与线性映射

λa1 + µa1 ②．由 (λ +µ ) ⋅ a = ，λa +µa = λa2 + µa2 即见 (λ +µ ) ⋅ a = λa +µa
λa1 + λb1 λ a + λ b 2 2
λa1 + µa1 λa + µa 2 2
第十一章 线性空间与线性映射
a1 + b1 + c1 ②．由 a + (b + c ) = ,(a + b ) + c = a2 + b2 + c2
a1 + b1 + c1 a + b + c 2 2 2
即见 a + (b + c ) = (a + b ) + c
第十一章 线性空间与线性映射
第十一章 线性空间与线性映射
§ 11. 2
⇐：设存在不全为0的数k1,…, kn ，使得 k1a1 + … + kn an = 0 不妨设k1 ≠ 0(k1,…, kn都一样)，于是
kn k2 k3 a1 = − ⋅ a2 − ⋅ a3 - … − ⋅ an k1 k1 k1
即，a1 可由其余线性表示。 由定理11.2.1，线性相关也可如下定义：
11.2.2 线性相关 给定一组向量a1,…, an ，若其中有一个可由其余线性表示,则称 向量组a1,…, an 线性相关。 你也许试图寻求这一概念的直观解释，建议你不要再找了，因 为没有比这更直白的说法了。你就记住： “线性相关，就是有一个向量可由其余线性表示”。 这个说法易懂，但不便于检验。我们再换个说法。
第十一章 线性空间与线性映射
§ 11. 2
1 例11.2.1．检验e1 = ，e2 = ． 0 e1，e2总是表示这两个向量。
0 2 1 的线性相关性。注意,在R 中,
解：设k1e1 + k2 e2 = 0 (右边为向量0) 即，
1 0 0 k1 + k 2 = 0 1 0
第十一章 线性空间与线性映射
§ 11. 1
VS2： ①．λ ( f + g ) = λf + λg ③． 1 ⋅ f = f
②． ( λ + µ ) f =λ f + µ f ④． 0 ⋅ f = 0
可见，闭区间[a, b]上全体函数的集合，也是一个线性空间。你 可能会说，此处只是把那八条性质罗列了一遍，而没有给什么 “证明”。这是因为这八条性质的成立太显然了，以至于我们不 需要再给出什么证明。 类似地，你可以检验所有n次多项式的集合是一个线性空间。 所有m×n矩阵的集合,按矩阵的加法与数乘,成为一线性空间。 应该指出,R2,R3,一般地Rn,这些空间是线性代数中的常用空间。 向量空间是一个“具有两种运算、八条性质的集合”。在向量 空间中，我们可以作这两种运算，并且只要遵循八条运算规律， 运算就不会出错。
0 1 ， 0
2 3 则向量a = 可由e1，e2线性表示； 0 2 b = 3 不能由e1，e2线性表示。 因为e1，e2的线性组合， 1
其第三分量总是0，不可能是1。
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§ 11. 2
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§ 11. 1
数乘满足下列运算律： VS2： λ (a + b) = λa + λb (λ +µ) a = λa + µa 1⋅ a = a 0⋅a=0 (左边为数0，右边为向量0) VS 是Vector Space 的缩写，VS1可分别读作：向量空间的第一 组性质。类似的可说VS2。 在整个数学中，这种具有线性运算并且满足VS1、VS2八条运 算规律的集合太多了。例如，闭区间[a, b]上的多项式集合，闭区 间[a, b]上所有连续函数构成的集合。 还有后面遇到的R2，R3，Rn，人们把这样的集合叫向量空间,或 线性空间。
第十一章 线性空间与线性映射
通常，人们认为这章内容比较抽象，其实还是很直观的，因为 在二维和三维的情况下，本章的内容都能具体“画出来”。建议 读者在学习这章的时候，用二维和三维空间中的具体例子，想象 概念的几何形象。 11.1 线性空间 11.2 线性空间的基与维数 11.3 线性映射的矩阵表示 11.4 线性映射的零空间与值域
R =
2
x1 x1 , x 2 ∈ R x 2
按照如下定义的加法和数乘： 两向量相加，就是对应分量相加
a1 b1 a1 + b1 a + b = a + b 2 2 2 2
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r
O
图11.1-1
b O
a+b
k
a
a
图11线性空间与线性映射
§ 11. 1
因而在向量空间中，形如 ka + lb 的式子是有意义的，这个式子称为向量a与b的线性组合。人们把 加法与数乘叫线性运算。于是人们也把向量空间叫线性空间。 线性运算具有下述性质： VS1： a+b=b+a (a + b) + c = a + (b + c) a + (- a) = 0 a+0=a
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§ 11. 1
定义 11.1.1： 11.1.1： 给定集合V,在其上定义了加法和数乘两种运算,满足VS1、VS2 八条运算规律,称V为向量空间或线性空间,其中的元素叫向量。 注意，术语“向量空间”和“线性空间”表示一个概念。 例11.1.1．对二元有序数组的集合R2 ．
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§ 11. 2
11.2 线性空间的基与维数 11.2.1 线性组合 给定向量组a1,…, an , b，若存在常数k1,…, kn , 使得 b = k1a1 + … + kn an 称b可由a1,…, an 线性表示，也说b是a1,…, an 的线性组合。
a1 0 1 例如，在R2中，e1 = ，e2 = ，则任一向量 a = ， a2 0 1
x1 x 2 M xn
x1 , x 2 L x n ∈ R
按照“两向量相加，就是对应分量相加”、“数乘向量，就是 数乘向量的各个分量”定义加法与数乘，构成一线性空间。
第十一章 线性空间与线性映射
§ 11. 1
Rn是我们今后使用的基本空间，有必要再提醒你，回顾一下这 里的加法与数乘是怎么规定的。 例11.1.2．检验闭区间[a, b]上，所有连续函数的集合C [a, b]是 ． 一线性空间。 (其中，C是continuous 的第一个字母，符号C [a, b]读作：闭区 间[a, b]上所有连续函数的集合) 解：首先，集合C [a, b]上可定义加法和数乘，即 两个连续函数的和，还是连续函数 连续函数乘一数，还是连续函数 设f, g, h∈ C [a, b] (即函数f, g, h是集合C [a, b]的元素)，则 VS1： ①． f + g = g + f ③． 0 + f = f ②． ( f + g ) + h = f + (g + h) ④． f + (-f ) = 0
§ 11. 1
数乘向量，就是数乘向量的各个分量 a1 k a1 k⋅ = a 2 k a 2 检验R2按照如上定义的加法和数乘，构成一个向量空间 b1 0 a1 c1 解：记 a = ，b = ，c = ，0 = ，则 b2 0 a2 c2 VS1： ①．由 a + b = a1 + b1 ，b + a = b1 + a1 b + a a + b 2 2 2 2 即见 a + b = b + a
第十一章 线性空间与线性映射
§ 11. 1
类似地，我们可检验：所有三元有序数组的集合
3 R = 是一线性空间。
x1 x x , x , x ∈ R 2 1 2 3 x3
一般地，所有n元有序数组的集合
n R =
第十一章 线性空间与线性映射
§ 11. 1
11.1 线性空间 11.1.1 线性空间的概念 在我们的观念中，我们生活于其中的空间，是由点组成的。 在空间中取定一点O，见图11.1-1，则空间中的点与位置向量r， 建立一一对应关系，这样我们的生活空间可以看作是向量空间(本 章中用加粗的字母表示向量)。 空间中的向量,可以相加,也可以乘一数。见图11.1-2、图11.1-3。
第十一章 线性空间与线性映射
第十一章 线性空间与线性映射 线性代数有两个“线性”，一是线性空间，二是线性映射。线 性代数研究线性空间之间的线性映射的性质。 本章包括四节。前两节是关于线性空间的，重点是线性空间、 线性空间的基与维数三个概念；后两节是关于线性映射的。其中 第三节给出线性映射的概念及其矩阵表示，这使得在第十章中 “冒然闯入”的那个“矩形阵列”有了实在的目的。最后一节给 出描述线性映射性质的两个重要概念：线性映射的零空间和值域 空间。
可由e1，e2 线性表示，即
a1 1 0 a = a1 ⋅ 0 + a 2 ⋅ 2 2 a = a1 ⋅ e1 + a2 ⋅ e2
或
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§ 11. 2
在R3中，给出向量组
1 e1 = 0 ，e2 = 0
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§ 11. 2
定理 11.2.1： 11.2.1： 向量组a1,…, an 线性相关的充要条件是： 存在不全为0的数k1,…, kn ，使得 k1a1 + … + kn an = 0 证：⇒：设a1,…, an 线性相关，则有一个向量可由其余线性表 示。不妨设这个向量就是a1, 即存在k2,…, kn ，使得 a1 = k2a2 + … + kn an 于是 - a1 + k2a2 + … + kn an = 0 由于k1 = -1 ≠ 0，因而存在不全为0的数k1,…, kn ，使得 k1a1 + … + kn an = 0