§3 分式线性映射
共形映射-分式线性映射
(2)伸缩率不变性.即通过z0的任意一条光滑曲线的 伸缩率与曲线的形状和方向无关,均为 f (z0 ) .
3.共形映射
Def. 若函数w f (z)在z0的邻域内是一一映射,在z0具有 保角性和伸缩率不变性,则称映射w f (z)在z0是共形的. 若映射w f (z)在区域D中每一点都是共形的,则称f 在区 域D中是共形的.
(z)
(w)
z0
w f (z)
C
w0 Argf (z0 )
O
O
Argf (z0 ) Argw(t0 ) Argz(t0 ) Argf (z0 )的几何意义:
曲线C经过w f (z)映射后在z0的转动角 转动角不变性:
转动角的大小与方向与曲线C的形状与方向无关
Ck : z zk (t), t ,t : Ck , k 1, 2.
Remark.
ad
bc
0
w(z)
ad bc (cz d )2
0
w(z)
const.
此时w az b 将整个复平面映射成一个点,不是共形映射.
cz d
Property. (ad bc 0)
(1)分式线性映射是可逆映射,其逆映射仍为分式线性映射.
(2)两个分式线性映射的复合映射仍为分式线性映射.
w az b , ad bc 0. cz d
Case1.c 0 w az b . dd
Case2.c 0 w bc ad 1 a . c cz d c
Remark.分式线性映射是由以下三中特殊映射复合而成的. (1)w az(a 0), (2)w z b, (3)w 1 . z
分式线性映射
3、保对称点性
定理 设点 z1 , z2 关于圆周 C 对称，则在分式线性映射下，它们
P150 定理 6.7
的象点 w1 , w2 也关于象曲线 C 对称。
Γ
O C
z1
z2
Γ
w2
O C
w1
Γ
Γ
22
四、唯一决定分式线性映射的条件
分析
az b 分式线性映射 w 中含有四个常数 a , b , c , d . cz d
w 1 z 是单位圆周对称映射与实轴对称映射的复合。 1 w1 z z
w1
w
11
三、分式线性映射的几种特性
1. 保形性 定理 分式线性映射在扩充复平面上是共形映射。
P146 定理6.5
注意 该定理不仅从理论上确保了分式线性映射是共形映射， 而且其中的保角性在分式线性映射的构造中非常实用。 2. 保圆性
4
5
6
二、分式线性映射的分解
3. 相似映射
w r z , ( r 为正数 )
i i 令 z | z | e , 则有 w r | z | e .
其特点是保持点的辐角不变， 但模扩大(或缩小)r 倍。 它将曲线或者区域相似地扩大(或缩小)r 倍。
7
二、分式线性映射的分解
4. 反演(或倒数)映射
(w)
例 已知区域 D { z : | z | 1 , Im z 0 } , 求一分式线性映射，将区域 D 映射
~ Γ
Γ
1
2
~ C
zi 例 求区域 D {z :| z 1 | 2 , | z 1 | 2 }在映射 w zi
下的像区域。 P148 例6.7 解 首先作一个简单的定性分析 (1) 区域 D 的边界 C1 和 C 2 是圆弧段， 且 C1 和 C 2 的交角为 90 度； (2) 由于所给的映射为分式线性映射， 因此具有保圆性与保角性； (3) 由于 i 被映射为 , i 被映射为 0，因此圆弧 C1 和 C 2 被映射为从原点出发且相互垂直的两条射线。
分式线性映射
代入z平面圆方程得其象曲线方程 代入 平面圆方程得其象曲线方程: 平面圆方程得其象曲线方程
d ( u 2 + v 2 ) + bu − cv + a = 0.
所以此映射在扩充复平面上具有保圆性. 所以此映射在扩充复平面上具有保圆性
3) 分式线性映射
az + b w = f (z) = (ad − bc ≠ 0) cz + d 1 因为映射由 w = , w = az + b (a ≠ 0) 复合而成 . z 定理二 分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射 定理二 分式线性映射将扩充 平面上的圆周映射
(1) w = z + b ,
( 2) w = az ,
αζ + β 对w= 的研究可化为对以上映 射的研究 . γζ + δ
1 ( 3) w = . z
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见 令w平面与 平面重合 为方便起见, 平面与z平面重合 为方便起见 平面与 平面重合)
1. w = z + b 平移映射
r 在此映射下 , z沿向量 b (即复数 b所表示的向量 )
的方向平移一段距离 b 后, 就得到w.
(z) ≡ (w)
w
b
o
z
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见 令w平面与 平面重合 为方便起见, 平面与z平面重合 为方便起见 平面与 平面重合)
1. w = z + b 平移映射
r 在此映射下 , z沿向量 b (即复数 b所表示的向量 )
变换的复合 .
思考题答案
1 z1 = z + i , z2 = , z3 = −( 3 + 4i ) z2 , w = z3 − 3i . z1
3分式线性映射资料
C
P . . o
r
OP : OT OT : OP
OP OP OT 2 r 2
13
1 1 i 设 z re , 则有 w1 e , z r
i
1 i w w1 e , r
从而 w1 z 1. 故可知: z与w1是关于单位园周z 1的对称点
33
四、分式线性映射的确定
az b 分式线性映射w (ad bc 0) cz d
含有三个独立的常数, 只需给定三个条件就能决定一个分式线性映射. 定理4
在 z 平面上任意给定三个相异的点 z1 , z2 , z3 ,
在 w 平面上也任意给定三个相异的点 w1 , w2 , w3 ,
i
1 ( 3) w rz , (4) w . z
由于前三种函数可以构 成整式线性映射, 因此分式线性映射可以 分解为整式线性映射 1 与w 的复合. z
7
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见, 令w平面与z平面重合)
1. w z b 平移映射 在此映射下, z沿向量 b (即复数 b所表示的向量)
C的像曲线的一对对称点 .
即：分式线性映射具有保对称性
32
是过w 1与w 2的任意一个圆，则其原 像 证明：设 Γ
C是过z 1与z2的圆，由z 1与z2关于C对称，有C与 C
正交，即过w 1与w 2任意圆 正交，由保角性Γ与 Γ
与Γ正交，因此对称.
az b 例4 求一分式线性映射 w 将单位圆内部 cz d 变为上半平面.
1 1 当z , 令 , u , 则有u ( ) z w b a
1 ( )在 0解析, 并且 (0) 0,因此映 a 射u ( )在 0是保形的, 并且 0时，
-唯一确定分式线性映射的条件
又由保圆性可知 | z | 1 上的点比如 1 被映射成 | w | 1
映射成 O 关于单位圆周的对称点, 因此设所求的分 式线性映射为
w a z z
其中a 为常数。
又由于此分式线性映射将实轴的点映射成单位圆周
上的点，特别将坐标原点 0 映射成点 w(| w | 1), 所以
1 | w || a | | | | a | | |
因此 a ei , 所以所求的分式线性映射为
C gz0
C gz0
L g w0
g w0
L
设 z1,z2 , z3 为 C上相异的三点，在分式线性映射下
他们的像为 L上的相异的三点 w1, w2 , w3 ,我们规定 C, L 正向分别为 z1 z2 z3 , w1 w2 w3 的走向， 他们的法向分别为指向指定的区域，则我们可以用下
又由于 f (i) 4 3i, 且 Re(4 3i) 4 0 所以将上
半平面映射成左半平面 Re w 0.
根据上面的讨论可知：在分式线性映射下 1）当两圆周上没有点映射成无穷远点时，这两圆 周的弧所围成的区域映射成两圆弧所围成的区域。 2）当两圆周中有一个圆周上的点映射成无穷远点时， 两圆周的弧所围成的区域映射成圆弧与直线所围成的 区域。 3）当两圆周的交点的一个映射成无穷远点时，两圆
分式线性映射
yg i
的保角性, 将
4
原区域映射成
argw 1 o
x
3
ig
4
y
1 g
go
x
4
二 两个重要的分式线性映射
1 将上半平面 Im z 0映射成单位圆| w | 1的分式线性映射
设 (Im 0) 为上半平面上任意一定点，在所求
唯一决定分式线性映射的条件课件
05
分式线性映射的习题和解答
习题
题目1
给定两个向量空间V和W，以及从V到W的分式线性映射f，如果存在一个常数k使得对于 所有v∈V，都有f(v)=kv，那么f是线性映射吗？给出证明或反例。
题目2
设f是向量空间V到W的满射分式线性映射，如果对于所有v∈V和标量a，都有f(av)=af(v) ，那么称f是可乘的。证明：如果f是可乘的，那么f是线性的。
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分式线性映射的分类
有理分式线性映射
有理分式线性映射的分母和分子都是多项式的倍数，即$varphi(x) = p(x)/q(x)$，其中$p(x)$和$q(x)$都是多项式。
无理分式线性映射
无理分式线性映射的分母是多项式的倍数，分子不是多项式的倍数，即 $varphi(x) = p(x)/q(x)$，其中$p(x)$是多项式，$q(x)$不是多项式的倍数。
许分母为零。
02 03
线性映射
线性映射是保持向量间线性关系的映射，即满足$varphi(x+y) = varphi(x) + varphi(y)$和$varphi(lambda x) = lambda varphi(x)$的 映射。
分式线性映射
分式线性映射允许分母为零，即允许$varphi(0) = 0$，同时保持向量 间的线性关系。
时。
分式线性映射的展望
探索新的应用领域
随着分式线性映射的发展，可以进一 步探索其在其他领域的应用，例如机 器学习、图像处理、数据分析等。
深入研究映射性质
优化算法和实现
为了提高分式线性映射的效率和精度 ，可以进一步优化相关的算法和实现 方式，例如采用更高效的数值计算方 法、优化软件实现等。
34.分式线性映射的基本性质
0
圆周G圆 对称 . , 则通过z1和z2的直 C对称
1
2
线(半径无穷大的圆)显然与圆C直交.
a b 其中 , ; 如果c 0, 则 d d B w A , zC a bc ad d , C . 所以一般的分式线 其中 A , B 2 c c c
性映射是由下列简单的分式线性映射复合而成: 1 ( 3) w . (1) w z b , ( 2) w az , z
dw bc ad 0, 故w 在 z 0 处是保角 z 0 时, 2 dz c
映射, 即分式线性映射在z=处是保角映射.
总之, 分式线性映射是扩充复平面间的保角映射.
(3) 保圆性
保圆性是指在扩充复平面上将圆周映射为圆周
的性质. 特别地, 将直线看作半径为无穷大的圆周.
cz d 0 时, 已知分式线性映射是保角映射. 而当
d cz d 0 时, 分式线性映射把 z 映射成无穷 c 远点. 下面引入曲线在无穷远点交角的概念.
设C1和C2是z平面上过无穷远点的曲线, 如果 1 C1和C2在反演映射 w 下的像分别为G1和G2, 则 z
G1与G2在原点w=0处的交角称为C1和C2在z=处的 交角.
(z) (w)
这是模变化为r 倍(r >1
时放大, 0<r <1时缩小), 而 辐角不变的映射.
z
w
w
z
o
共形映射-分式线性映射
w f (z)
C
w0 Argf (z0 )
O
O
C : z z(t), t ,
:w(t) f (z(t)), t ,
t : C
t :
z0 z(t0 ), z(t0 ) 0
w0 w(t0 ) f (z(t0 ))
w(t0 ) f (z0 )z(t0 ) 0 Argw(t0 ) Argf (z0 ) Argz(t0 )
2.分式线性映射的保角性
Def. 两条曲线在的夹角定义为这两条曲线在映射w 1
下的像曲线在原点的夹角,且方向相同.
z
Thm. 分式线性映射在扩充复平面上处处保角. Proof .只要验证w az b(a 0)与w 1的保角性. z
(1) w az b(a 0)的保角性
Review
(对数留数定理) f 在简单正向闭曲线C上解析且
非零, 在C内部除有限个极点外处处解析,则
1 f (z)
2i C
dz N ( f ,C) P( f ,C). f (z)
对数留数的几何意义
1
2 i
C
f (z) dz f (z)
1
2
C Argf
(z)
绕原点的圈数
C1
:
1 z1 (t
)
与C2
:
1 z2 (t)
在
0的夹角.
1, 2在w 的夹角等于映射
与2
:
1 az2 (t)
b
在
0的夹角.
1 w
下1
:
1 az1 (t )
第3节 唯一决定分式线性映射的条件
那么z1→z2→z3与 C 依w1→w2→w3 的绕向相同。
所得求分式线性映射为
w 1 1 i = z + 1 1 0 即w = z i
wi 11 z1 1+1
iz 1
15
2019/6/4
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复变函数
例２ 求将单位圆 z 1映射成单位圆 w 1的分 式线性映射.
= 1,2)
5
2019/6/4
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复变函数
w3
wk
=
(z3 zk )(ad bc) , (k (cz3 + d )(czk + d )
=
1,2)
w w1 = (z z1)(ad bc) (cz + d )(cz2 + d ) w w2 (cz + d )(cz1 + d ) (z z2)(ad bc)
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复变函数
2.分式线性映射对圆弧边界区域的映射
Ａ． 当二圆周上没有点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所
围成的区域.
Ｂ． 当二圆周上有一点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与
一直线所围成的区域.
Ｃ． 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时,
所以 w = k 1 a = 1. 1a
又因为 1 a = 1 a ，
所以 k = 1, 即 k = ei .
17
2019/6/4
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复变函数
故所求分式线性映射为:
w = ei z a ( 为任意实数 )
1 az 例３ 中心分别在z = 1与z = 1,半径为 2的二圆弧
分式线性映射及应用
NUDT
§2 分式线性映射
分式线性映射 w az b (ad bc 0)
cz d
总结分式线性映射的性质:
1.保角性
分式线性映射是扩充复平面到扩充复平面的一对一的 保角映射 2.保圆性 分式线性映射将扩充复平面上的圆映成到扩充复平面 上的圆 3.保对称性
设 z1和 z2关于圆 C 对称，分式线性映射 w f (z)将 z1和 z2 映成 w平面上的点 w1 和 w2 ，将圆 C映成 w平面上圆 ， 则w1和 w2关于圆 对称.
§2 分式线性映射
z
. z0. z1
R C
.z2
w.2
C
w az b cz d
w
.w1 .w0
保对称性
proof .z1, z2关于圆C对称由引理可知 : 过z1, z2任一圆C必与圆C正交
又点w1,
w2,圆, 是点z1,
z2及圆C, C经过w
az b cz d
映射之后得到的
再由分式线性映射的保角性可得：经过点w1, w2的任一圆必与圆正交 由引理：w1, w2关于圆对称。
从保角性出发可看出分式线性映射是办不到的.
w z2 提问: w 是z共2 形映射?
在第一象限上是单叶解析函数,即在第一象限是 共形映射.
✓ 但在原点处不是共形的!
NUDT
§4 初等函数的映射性质
1. 幂函数 w za
z-平面
O
w za
zaw
w-平面
a
O
z reiargz , w z a r aeia argz
定理 若函数 f (z)在区域 D 内解析，且 f (z) 0 (z D) ，则 f (z)为区域 D内的共形映射.
分式线性映射及应用
NUDT
§3 唯一决定分式线性映射的条件
j
** 设在 z 平面上任意给定三个相异的点 z
( j 1, 2 , 3 )
，在 w
平面也任意给定三个相异的点w j ( j 1, 2 , 3 ) ，则存在唯一 的分式线性映射，将 z j ( j 1, 2 , 3 ) 依次映射成 w j ( j 1, 2 , 3 ) . 该分式线性映射 w f ( z ) 由下面的方程给出
C
又 z 0 z R , z 1 z 0 z 2 z 0 z 0 z
2
R
2
NUDT
§2 分式线性映射
z
.z
w2
2
.
.
z0
C
.
z1
w
az b cz d
w
. w1 .w 0
R
保对称性
C
proof . z 1 , z 2 关于圆 C 对称由引理可知
NUDT
§2 分式线性映射
3.保对称性
设 z 1 和 z 2关于圆 C 对称，分式线性映射w f ( z ) 将 z 1和 z 2 映成 w 平面上的点 w 1 和 w 2 ，将圆 C 映成 w 平面上圆 ， 则 w 1 和 w 2 关于圆 对称.
.z .
z0 z1
w2
2
w
az b cz d
w
ze
Exercise2.将上半平面映成上半平面的分式线性映射应满足 a , b , c , d R a, ad bc 0 a a a 的条件是 _______________________.
第四节 分式线性映射
1 所以当z在单位圆内 (外 )时w 在单位圆外 z 图7-16 1 (内),当z在上(下 )半平面时w 在下(上 )半 z dw 1 1 平面,当z 0时 2 0, 所以当z 0时反演映射w dz z z 是共形映射, 如果规定两条伸向无穷 远点的曲线在无穷远 1 点的交角等于它们由反 演映射w 所映成的过原点 w0 z
的任一圆周K '都与 '正交.设K '的原像为K ,由性质2知它 是z平面的圆周通过点 z1与z2 ,因z1与z2 关于圆周对称, 故 由引理知K与正交, 又因分式线性映射具有 保角性, 故它 们的像K 与 也正交, 再由引理知w1和w2 关于 对称.
' ' '
把性质3说成分式线性映射具有 保对称性.
今后将把图7 16(a )这样由两圆弧围成的区 域称为" z 二圆域" ,因此根据边界对应原理 ,w k 把二圆域 z 映射为顶点在原点的角 形域.此外还应注意,因为直线段 被看作扩充复平面的圆 弧, 所以诸如半圆内部或半 圆外 部等也是二圆域.
例2 : 中心分别在z 1与z 1, 半径为 2的二圆弧所 zi 围成的区域(图7 17), 在映射w 下映成何区域? zi [解 ] 所设两个圆弧的交
a b a1 b1 a2 b2 c d c d c d 1 1 2 2 因此 ad bc (a1d1 b1c1 )(a2d 2 b2c2 ) 0.
(4.3)
定理1 分式线性映射(4.1)可由平移、 旋转、 伸缩和反 演四种变换复合得到 , 分式线性映射的复合仍 为分式线 性映射.
分式映射
再由 w ' ( i ) > 0先求得
dw dz z+i−z+i = Re ( z + i )2
iθ iθ
z=i
z=i
1 = Re 2i
iθ
1 R i (θ − π2 ) 即 w' ( i ) = Re = e 2i 2
∴θ −
π
2
=0 θ =
π
2
e =i
iθ
z−i 故w = Ri + w0 z+i
在 w平面上也任意给定三个 相异的点 w1 , w 2 , w 3 ⇒ ∃ 唯一的分式线性映射 f ( z ) :
f f : zk ⎯ ⎯→ w k ( k = 1,2,3 )
az + b 证明 设w = (ad − bc ≠ 0), 将z k ( k = 1,2,3)依次 cz + d az k + b → w k ( k = 1,2,3), 即w k = ( k = 1,2,3) cz k + d
例5
中心分别在 z = 1与 z = − 1, 半径为 2的二 z−i 圆弧所围区域 , 在映射 w = 下映成 z+i 什么区域 ?
解
两圆弧的交点为 − i与 i , 且互相正交 , 交点 z=i→w=0 z = −i → w = ∞
∴ 映射后的区域是以原点 为顶点张角为 角形区域 .
(第三象限的点 )
式(1)是三对点所确定的唯一的一个映射。
(1) 点 z 1 , z 2 , z 3 ⎯由 ⎯ ⎯ → 点 w 1， w 2， w 3
$①
②
且 等式两边依次同时变为 0 , ∞ ,1 .
③ 式(1)左端的式子通常称为四
6-3分式线性映射
证 设 w az b (ad bc 0) 将相异点 cz d
zk (k
1,2,3)
依次映射成
wk
azk czk
b d
(k
1,2,3)
所以
w
wk
(z zk )(ad bc) , (cz d )(czk d )
(k 1,2)
w3
wk
(z3 zk )(ad bc) , (cz3 d )(czk d )
分式线性映射的逆映射, 也是分式线性映射.
3) w ( 0) z ( 0) z
w az b ((ad bc ( )( ) 0))
25
例 2 求实轴在映射w 2i 下的像曲线. zi
在实轴上取三点 z , 0, 1 对应像点分别为 w 0, 2, 1 i 像曲线为 w 1 1
26
w
2i
2(
1
ห้องสมุดไป่ตู้
i
)e 2
zi zi
分解映射
z1 z i,
z2
1 z1
,
z3 2z2 ,
i
w z3e 2
因此, 把z转一个角度 0 就得到 w.
(z) (w)
w
0 z
o
9
3. w rz 相似映射 设 z ei 那末 w rei ,
因此，将 z 伸长(缩短)到
z的r倍后, 就得到w.
(z) (w)
w
z o
10
4. w 1 反演映射 z
16复变函数6(2)
角等于p/2.
取C1与正实轴的交点z = 2 -1,对应点是 2 -1-i (1- 2)+i(1- 2) w= = . 2 -1+i 2- 2
此点在第三象限的分角线C1'上. 由保角性知C2映
射为第二象限的分角线C2.
10
映射的角形区如图所示
y i C2' 1 O x O C1' u
v
(w)
(z)
3
由此得
w w1 w3 w2 z z1 z3 z2 . (6.3.1) w w2 w3 w1 z z2 z3 z1
这就是所求的分式线性映射. 如果有另外一 个分式线性映射, 也把z平面上三个相异点z1,z2,z3 依次映射成w平面上的三个相异点w1,w2,w3, 则
1 z 2 1 ij w eij , w e 1 1 z 2 2 11 1 1 z z 22 2 2 1 1 z 2
4 e 3
ij z 1 2
p
2
, 得 0.
w 2i z 2i z2 于是所求映射为 或 w 2(1 i ) . 2 z 2i z 2i
(z) 2i
z2 w 2(1 i) z 2i
(w)
2i
z 2i z 2i
O
( )
w=2(i+)
26
§4 几个初等函数所构成的映射
w 1 1 i z 1 1 0 . w i 1 1 z 0 1 1
化简后即得
z i z i w i iz 1 z i
(6.3.2)
13
注意: 如果选取其他三对不同点,势必也能得出满 足要求的, 但不同于(6.3.3)的分式线性映射. 此可 见, 把上半平面映射成单位圆的分式线性映射不 是唯一的, 而是有无穷多. [解法二] 将上半平面看成半径为无穷大的圆域, 实轴就是圆域的边界圆周. 因为分式线性映射具 有保圆性, 因此它必能将上半平面Im(z)>0映射成 单位圆|w|<1. 由于上半平面总有一点z=l要映成单 位圆周|w|=1的圆心w=0,
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装订线§3分式线性映射((分式线性映射是共形映射中比较简单的但又很重要的一类映射))1、定义：由分式线性函数az bwcz d+=+(,,,a b c d为复常数且0ad bc-≠) ……(6.4)构成的映射，称为分式线性映射。
注意：任何分式线性映射总可以分解成下面函数的复合：w z b=+，0iw zeθ=，(0)w rz r=>,1wz=因为：当0c=时,(6.4)式变为az b a bw zd d d+==+ ,可以看做(0)w rz r=>和w z b=+的复合.当0c≠时，(6.4)式变为()az b c az b ad ad acz ad bc ad a bc adw+++-++--====+它可以看作w z b=+，(0)w rz r=>,1wz=参与的复合。
((由于任何分式线性映射总可以分解成上述四个函数的复合，所以只须对这四种映射进行讨论，就可以了解分式线性映射的特点))(1)平移映射：w z b=+, ( b为复数) ((从z,b的实部和虚部解释,也可以用向量的平行四边形法则解释))装订线同样将曲线C进行旋转θ角度。
(3)相似映射：(0)w rz r=>(4)反演映射：1wz=当点z在单位圆外部时，此时||1z>，故||1w<,即w位于单位圆内部。
当点z在单位圆内部时，此时||1z<，故||1w>,即w位于单位圆外部。
所以反演映射的特点是：将单位圆内部映射到单位圆外部，将单位圆外部映射到单位圆内部。
规定：反演映射1wz=将0z=映射成w=∞,将z=∞映射成0w=。
2、分式线性映射的性质1）保形性装订线定理6.5 分式线性函数在扩充复平面上是共形映射。
也就是说，分式线性函数在扩充复平面上既是保角的，也具有伸缩率不变性。
2）保圆性约定：直线是作为圆的一个特例，即直线是半径为无限的圆。
定理6.6 在扩充复平面上，分式线性映射能把圆变成圆。
((这里的圆包括直线和一般所指的半径为有限的圆周))注意：（1）如何判断分式线性映射将圆映射成圆还是直线呢？在分式线性映射下，当z平面上的圆C上有一点被映射成无穷远点，即这个圆经过无穷远点，那么这条曲线C就被映射成直线。
如果圆C上没有点被映射成无穷远点，那么圆C就被映射成半径为有限的圆。
补充：区域D的边界的方向规定：当一个人沿着区域D的边界行走时，区域D始终在这个人的左手边，那么这个人行走的方向为边界的方向。
例：求实轴在映射2iwz i=+下的像曲线;((由于实轴过无穷远点，所以实轴可以看做是半径为无限大的圆))解：在实轴上取三点：123,0,1z z z=∞==,则对应的三个像点为：1230,2,1w w w i===+.实轴的像经过123,,w w w,且为圆，因此像曲线Γ为|1|1w-=.装订线由于实轴的方向是自左向右，那么它的像曲线Γ的方向如何确定呢？显然，当123,0,1z z z=∞==是沿着实轴的正方向取值的，所以1230,2,1w w w i===+在圆周上的排列顺序就是Γ的方向：即顺时针方向。
或者用下面的方法：当z取上半平面点i时,1w=,因此上半平面被2iwz i=+映射为圆Γ：|1|1w-=的内部。
实轴作为上半平面的边界，上半平面在实轴的左手边，所以圆Γ：|1|1w-=的内部应在圆周|1|1w-=的左手边，这样圆周Γ：|1|1w-=的方向为顺时针方向。
解：（解题思路：考虑区域D的边界在映射w的像，其次再考虑区域D的像）1212,ΓΓ，1Γ方向为从原点指向无穷远点，2Γ的方向为从无穷原点指向原点。
由于C1,C2在z=i处的夹角为090,所以根据分式线性映射的保角性，12,ΓΓ在w=0处的夹角为090。
装订线映射w将z=0映射成w=－1,所以将过,0,z i z z i===-三点的线段AB映射成过0,1,w w w==-=∞的左半实轴。
方向为自右向左。
由于C1和AB的夹角为135度，所以1Γ和左半实轴的夹角为135度。
同样C2和AB的夹角为135度，所以2Γ和左半实轴的夹角为45度。
综合上述讨论，可以画处区域D的像区域。
3）保对称点性定义：设某圆的半径为R，A、B两点再从圆心出发的射线上且2OA OB R⋅=则称A和B是关于圆周对称的。
定理6.7 设12,z z关于圆C对称，则在分式线性映射下，它们的像点12,w w关于C的像曲线Γ对称。
注：圆C可以为直线。
三、惟一决定分式线性映射的条件定理6.8 在z平面上任给三个不同的点123,,z z z,在w平面上也任给三个不同的点1w,2w,3w，则存在惟一的分式线性映射，把123,,z z z分别依次地映射为1w,2w,3w，并且313111232232::w w z zw w z zw w w w z z z z----=----(6.10)推论6.1 如果kz或kw中有一个为∞，则只须将对应点公式中含有∞的项换为1.装订线例：求将2,,2∞-对应地变成1,,i-∞的线性变换。
解：设1232,,2z z z==∞=-,对应的点为1231,,w w i w=-==∞则所求线性变换为313111232232::w w z zw w z zw w w w z z z z----=----即为11222::111w zw i+---=-整理得242zi iwz--=+推论6.2 设()w f z=是一分式线性映射，且有11()f z w=以及22()f z w=，则它可表示为1122w w z zkw w z z--=--(k为复常数)特别地，当120,w w==∞时，有12z zw kz z-=-……(6.11)注意：这个公式能把过12,z z点的弧映射成过原点的直线,即将1z映射成原点，2z映射成∞。
说明：在处理边界由圆周、圆弧、直线、直线段所围成的区域的共形映射问题时，分式线性变换起着十分重要的作用。
例：将区域{:||1,Im0}D z z z=<>映射为第一象限，求映射函数。
解：（解题思路：考虑区域D的边界在映射w的像，其次再考虑区域D的像）装订线区域D的边界为12,C C，其方向如图所示，12,C C是过－1和1的两个弧。
而第一象限的边界为两条射线：实半轴和虚半轴。
这两条射线的交点分别为0和∞。
所以我们可以考虑应用推论6.2，先构造一个分式线性函数使－1变为0，使1变为∞，从而将12,C C映射为从原点出发的两条射线，由公式(6.11)，有111zwz+=-由于1C是沿实轴从－1到1，所以它被映射为负实半轴1Γ，方向为从0到沿负实半轴到∞。
由保角性可知，2C被映射为下半虚轴2Γ，方向为从∞到0。
由于D在12,C C的左方，所以同时在1Γ、2Γ的左方的区域应为第三象限。
即111zwz+=-将区域D映射成1w平面的第三象限。
将第三象限逆时针旋转180度，即得结果：111izw w ezπ+==-四、两个典型区域间的映射装订线这里的两个典型区域是指上半平面和单位圆域；1）z iwz i-=+能将上半平面Im0z>映射为单位圆内部||1w<；它的反函数就将单位圆内部映射成上半平面。
说明：它同时也将下半平面映射为单位圆外部||1w>。
判断方法：当z取上半平面点i时，w的值为单位圆内部||1w<。
2）一般地，0iz zw ez zθ-=-（其中z为上半平面任一点）能将上半平面映射为单位圆内部||1w<。
它的反函数就将单位圆内部映射成上半平面。
说明：上半平面的边界为实轴，被映射为单位圆。
z被映射为0w=，z被映射为∞。
由于z与z关于实轴对称，根据保对称点定理6.7,0w=与w=∞关于单位圆对称。
3) 01iz zw ez zθ-=-（其中z为单位圆||1z<内任一点）把单位圆内部||1z<映射为单位圆内部||1w<。
说明：映射w将单位圆||1z=映射为单位圆||1w=。
z z=被映射为0w=。
1zz=被映射为w=∞。
z z=与1zz=关于单位圆||1z=对称，所以根据保对称点定理6.7，0w=与w=∞关于单位圆||1w=注意：上面三种映射是比较重要的，在将一些其他区域映射成单位圆的内部时，常装订线常先将其映射成上半平面，然后在变为单位圆内部。
例：求一分式线性映射()w f z=，将区域Re0z>映射为区域||2w<,并满足(1),arg(0)2f i fπ'==.解：((分析：我们已经知道上半平面到单位圆内部的映射，而右半平面Re0z>可以通过旋转映射成上半平面。
))21iw e z izπ==:将右半平面Re0z>映射成上半平面。
121iw aw ew aθ-=-：将上半平面映射成单位圆内部2||1w<。
22w w=：将单位圆内部2||1w<映射成||2w<。
所以，()2iiz aw f z eiz aθ-==-将区域Re0z>映射为区域||2w<.因为(1)0f=，有02ii aei aθ-=-，得a i=，从而1()221i iiz i zw f z e eiz i zθθ--===++所以()f z'=24(1)i ezθ+,(0)4if eθ'=又arg(0)2fπ'=，所以θ＝2π从而211()2211i z zw f z e iz zπ--===++。