共形映射-分式线性映射
第6章共形映射
105第6章 保角映射6.1 分式线性映射导数的几何意义是保角映射的理论基础.6-1 映射2w z =在i z =-处的伸缩率k 与旋转角α是（ ）. （A ）π1,2k α==（B ）π2,2k α==- （C ）π1,2k α==- （D ）π2,2k α== 解 i i π||2,Arg ()|.2z z k w f z α=-=-''====- 选（B ）.平移变换加伸缩反射得相似图形，相似比即||w '.6-2 在映射1w z=下，将|1|1z -<映射为（ ）.（A ）右半平面0u > （B ）下半平面0v < （C ）半平面12u > （D ）12v <- 解1 221i i x y w u v z x y -===++ 2222,xyu v x y x y -==++ 而 2|1|1z -<，即222x y x +<，故 221.2x u x y=>+ 选（C ）. 解2 1w z=是分式线性变换，具有保圆性.而|1|1z -=，将0z =变到,2w z =∞=变到1,1i 2w z ==+变到1i 2w +=，故1w z =将圆变为直线12u =，而圆心1z =变到112w =>，故1w z=将|1|1z -<变为半平面12u >. （C ）. 6-3 映射1w z=将Im()1z >的区域映射为（ ）.（A ）Im()1w < （B ）Re()1w < （C ）圆2211()22u v ++< （D ）2211()22u v ++>解 由1w z =的保圆性，知1w z=将1y =映射为直线或圆，由z =∞映射为0,1i z =+，映射为1i,1i 2w z -==-+映为1i2--知，将Im()1z =映射为w 平面上的圆： 2211()22u v ++=图6-1而2i z =映射为11i 2i 2=-.故1w z=将Im()1z >映射为圆内. 选（C ）1066-4 求将圆||2z <映射到右半平面，且(0)1,arg (0)π/2w w '==的分式线性映射.解 令ax b w z b +=+，则2()ab b w z b -'=+.由πarg (0)2w '=，可令 21(0)i ab b a w b b--'===，得1i a b =+，于是 (1i)b z bw z b++=+.由于圆||2z =应映射为虚轴，故又令(2)i w =得22i 2i i b b b ++=+，解得2(1i)2i 1+ib --== 于是 22i2iw z -+=+（这时圆上点2i z =-映射为∞点，故满足所求）. 6-5 求把上半平面Im()0z >映射成单位圆||1w <的分式线性映射，且满足条件（1）()0,(1)1w i w =-=； （2）1(0)1,().2w w i ==解 （1）令z iw cz d-=+ 1i(1)1w c d---==-+，即1i c d --=-+ 令z =∞时，i w =-，得i c =，1d =-，于是得到一个满足要求的映射ii 1z w z -=- （2）由(0)1w =，可令az bw z b+=+ 更令()1w ∞=-，得1a =-，更由1(i)2w =得2(i )i b b -+=+故3i b =-，从而3i3iz w z --=- 要求||1z =时||1w =，故取212z w z λ-=-时，||1,λλ=也可写作i e θ只要定θ即可. 6-6 求将上半平面映射为单位圆||1w <的分式线性变换.解 设az b w cz d +=+，将I m ()0z >映射为||1w <，则它将b z a =-映为圆心0w =.而将b z a -=-映为∞，记,b b a aαα-=-=-，而有d c α-=，故变换为.a z w c z αα-=- 由于0z =变到||1w =上一点，即||1a c =，记i e acθ=， 则 i e z w z θαα-=-（其中Im()0α>）. θ是待定实数.1076-7 求把上半平面Im()0z >映射成单位圆||1w <的分式线性映射，并满足条件：（1）(i)0;(1)1f f =-=； （2）(i)0,arg (i)0f f '==； （3）(1)1,(i)f f =解 （1）设i i e i z w z θ-=+，于是i 1i e 11i θ--=-+即i πe i()2θθ= 所求映射为 i i+iz w z -=. （2）设映射为i ie +iz w z θ-= i 22i()e (+i)w z z θ'=故πi()21π(i)e ,22w θθ-'=-=所求映射为 ii iz w z -=+ （3）设i e z w z θαα-=- 由(1)1w =得i i e (1)1(i )(i )θθαααα-=--=-令x iy α=+，上两式相比得)(1)()(1)i αααα--=-- （1）取共轭)(1)()(1)i αααα--=--上两式两边相乘得225|(1)i ||(1)i |x y x y -+-=-++解得 2231x y y +=- （2） 将（1）式乘开，比较实部与虚部可得1)(1)1)x y -= （3）及221)()1)1)x y x y +=+ （4） 将（2）代入（4），消去22x y +后解得：2,3y x ==， 于是i 21ie θ==12i)3=108 所求映射w =.6-8 求将单位圆||1z <映射为单位圆||1w <的分式线性映射.解 设所求的分式线性变换把||1z <内的点α映射为0w =，那么，它将1α即与α关于||1z =的对称点映射为∞，故所求的映射为1/1z z w z z ααλλααα--==-+-+ 设1z =对应于||1w =上某点，则有11||||1αλαλαα-==-，故i e θλα= 即 i e (||1,1z w zθααθα-=<-是实数） 这时 i 21()e (1)w z z θααα-'=-i 1()e 1w θααα'=-故θ是z α=点变换时的旋转角 同样，将z 平面上||1z <映射为w 平面上||1w >的分式线性变换是 i e (||1,1z w zθααθα-=>-是实数） 6-9 求将右半平面Re()0z >映射为单位圆||1w <的分式线性映射.解1 设z bw z dλ+=+，它将z b =-映为0w =点，而将z d =-映为w =∞点.记a b =-，则Re()0α>，由对称性，()d α-=-.因此，z w z αλα-=+，且|(0)|||||1w αλλα-===，故i e θλ=得 i e (Re()0,z w z θααθα-=>+是实数）. 解2 由6-13题，先作旋转i z ζ=，将右半平面旋转为上半平面，于是将Im()0ζ>变为||1w <的映射是（见6-13题）i e (Im()0)w θζββζβ-=>- 故 i i i i e e i i z z w z z θθββββ-+==-+ 记 i βα=-，则i (i )ββα=-=而Re()0α>i e z w z θαα-=+与解1的结果同. 利用0w =与w =∞两点是关于两个同心圆皆对称的点而有保对称性.从而知12,z z 皆是实数，及对二圆都有对称性，从而解出1z 和2z . 6-10 求一分式线性映射，把由||9z >与|8|16z -<所确定的区域映射为w 平面上的同心圆环：||1w <与||w r > (01).r <<解 本题关键在设12()0,()w z w z ==∞，由于0、∞关于两个同心圆||1w =与||w r =皆对称；故1z 与2z 应同时与|3|9z -=及|8|16z -=皆对称.从而知12,z z 应在此二圆圆心的联线上，109即1z 与2z 皆是实数，且有221212(3)(3)9,(8)(8)16z z z z --=--=即 212123()99z z z z -+=- 2212128()168z z z z -+=- 得121224,0z z z z +=-=，取120,24z z ==-.则 24zw z λ=+ 由于0z =在|3|9z -<内部，故此映射将|3|9z -=映为||w r =，而将|8|16z -=映为||1w =即 i i 2816e ,e 24zz w z ϕθ=+=+ 取1224,0z z =-=，则24z w zλ+= 这时，由124z =-在|8|16z ->内，而0w =在||w r <内，故此映射将|8|16z -=映为||w r =而将|3|9z -=映为||1w =，即令i 39e z ϕ=+便应有i i 279e |||| 1.3+9e w ϕϕλ+==故i 11||,e 33θλλ==所求映射为i 24e 3z w zθ+=. 6.2 几个初等函数所构成的映射按要求一步一步变，注意每一步的要求.6-11 试将由||1z <及|1|1z -<所确定的区域保角地映射为上半平面. 解 如图6.2，我们采取如下步骤作映射.图6.2(1)作分式线性映射，使12映射于原点，而12映射为w =∞点.110 即1ζ=（2）令321ζζ=，则映射成不含2ζ的负实半轴的全平面，22π4π.ϕ≤<（3）令1/232ζζ=，则映射为下半平面.（4）令3w ζ=-，则映射为上半平面，故此映射为3/2w =-6-12 试将由Im()1,||2z z ><所确定的区域保角地映射为上半平面. 解 如图6.3，分以下步骤： （1）将弓形域映射为角形域1ζ=（2）321ζζ=映射为下半平面. （3）2w ζ=-，即为所求也就是3w =-图6.36-13 求把单位圆外部||1z >，且沿虚轴1y >有割痕的域映射为上半平面的一个保角映射.解 分以下步骤：（1）作分式线性映射，将单位圆外部映射为半平面，并使割痕转到实轴，即1i+iz z ζ-=（2）平方且反射，使割痕到22i (1,0),i z z ζ-⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭（3）平移后开方得122(1)w ζ=+111即 1/22i 1i z w z ⎡⎤-⎛⎫=-⎢⎥⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦为所求映射.6-14 将图6.4z 平面中阴影部分所示区域，即由Re()1,||1z z >->所确定区域映射为上半平面.解 分以下步骤：（1）作分式线性映射111z z ζ-=+，则所给域映射为10Re()1ζ<<； （2）旋转伸长，即令21πi ζζ=，得条形域20Im()πζ<<；（3）作指数映射i e w ϕ=即得上半平面.即映射为1i π1ez z w -+=图6.46-15 将如图6.5所示的z 平面区域，即由||2,|1|1z z <->所确定的区域，映射为上半平面.解 （1）作分式线性变换：12zz ζ=-，将|1|1z -=映射为1Re()0ζ=，而将||2z =映射为11Re()2ζ.由此，将已知域映射为带状域.（2）旋转伸缩：212πi ζζ=.映射为20Im()πζ<<（3）取指数函数的映射2e w ζ=便是本题所求，即2πi2ez z w -=.112图6.56-16 将沿虚轴有割痕从0z =至2i z =的上半平面，保角地映射为上半平面.解 （1）将上半平面映射为全平面后并平移，使割痕位于实轴的10ζ=至14ζ=处.214z ζ=+.（2）开方使割痕好似被展平在实轴的(2,2)-上：121w ζ=.即 21/2(4)w z =+.（见图6.7）图6.66-17 图6.7所示的z 平面上单位圆||1z <中有割痕：沿实轴从0z =至1z =的区域，试将其保角地映射为半平面.解（1）开方将圆映射为半圆，割痕仍在x 轴上：121z ζ=； （2）作分式线性映射，将半圆映射为1/4平面：12111ζζζ+=-+； （3）平方22w ζ=即2.w =113图6.76-18 将图6.8所示，由πRe()0,0Im()2z z ><<确定的z 平面上的区域，保角映射为上半平面.解 （1）将其旋转伸缩于第4象限：12z ζ=-（2）取指数函数：12e ζζ=将1ζ中的区域映射为半圆域：222||e 1,Arg 0x ζπζ-=<<< （3）作分式线性映射：23211ζζζ-=+ 将半圆映射为1/4平面.（4）令23w ζ=即为所求的映射，即22e 1e .e 1z z --⎛⎫-= ⎪+⎝⎭图6.86-19 求把实轴上有割痕：112x ≤<的单位圆||1z <映射为||1w <的一个映射.解 （1）令112112z z ζ-=-，使割痕在10Re()1ζ≤<上；114 （2）作2ζ （3）再作23211ζζζ+=-，将半圆映射为3()ζ的I 象限部分； （4）作243ζζ=，便将此映射为上半平面； （5）最后将上半平面映为单位圆：（见图6.9）44i i w ζζ-=+经归纳223422224322i i [(1)/(1)]i i i [(1)/(1)]i w ζζζζζζζζ--+--===+++-+==图6.96-20 求把半带形域ππRe(),Im()022z z -<<>，映为上半平面Im()0w >的映射()w f z =，使π()1,(0)0.2f f ±=±=解 （1）作旋转与平移：1πi i 2z ζ=+，使之映为1ζ平面的半带形域：110Im()π,Re()0.ζζ<<<（2）作指数映射：12e ζζ=，将之映为2ζ平面上的半圆域：22||1,Im()0;ζζ<>（3）作分式线性映射：23211ζζζ+=-，将半圆域映为3ζ平面第1象限；（4）243ζζ=，将之映为4ζ的上半平面，只是未满足π()12f ±=±及(0)0f =的条件；（5）由上半平面映为上半平面，且∞映为1,0-点映为1及1-映为0.即得：4411w ζζ+=-（见图6.10）归纳222223222232211111121111wζζζζζζζζ⎛⎫++ ⎪-++⎝⎭===--⎛⎫+- ⎪-⎝⎭1111ππ(i i)i i22211e e e e e222ez zζζζ-++-+++=-=-=-i ie esin2z zz-+==，为所求的映射.图6.10115。
分式线性映射
3、保对称点性
定理 设点 z1 , z2 关于圆周 C 对称，则在分式线性映射下，它们
P150 定理 6.7
的象点 w1 , w2 也关于象曲线 C 对称。
Γ
O C
z1
z2
Γ
w2
O C
w1
Γ
Γ
22
四、唯一决定分式线性映射的条件
分析
az b 分式线性映射 w 中含有四个常数 a , b , c , d . cz d
w 1 z 是单位圆周对称映射与实轴对称映射的复合。 1 w1 z z
w1
w
11
三、分式线性映射的几种特性
1. 保形性 定理 分式线性映射在扩充复平面上是共形映射。
P146 定理6.5
注意 该定理不仅从理论上确保了分式线性映射是共形映射， 而且其中的保角性在分式线性映射的构造中非常实用。 2. 保圆性
4
5
6
二、分式线性映射的分解
3. 相似映射
w r z , ( r 为正数 )
i i 令 z | z | e , 则有 w r | z | e .
其特点是保持点的辐角不变， 但模扩大(或缩小)r 倍。 它将曲线或者区域相似地扩大(或缩小)r 倍。
7
二、分式线性映射的分解
4. 反演(或倒数)映射
(w)
例 已知区域 D { z : | z | 1 , Im z 0 } , 求一分式线性映射，将区域 D 映射
~ Γ
Γ
1
2
~ C
zi 例 求区域 D {z :| z 1 | 2 , | z 1 | 2 }在映射 w zi
下的像区域。 P148 例6.7 解 首先作一个简单的定性分析 (1) 区域 D 的边界 C1 和 C 2 是圆弧段， 且 C1 和 C 2 的交角为 90 度； (2) 由于所给的映射为分式线性映射， 因此具有保圆性与保角性； (3) 由于 i 被映射为 , i 被映射为 0，因此圆弧 C1 和 C 2 被映射为从原点出发且相互垂直的两条射线。
分式线性映射
代入z平面圆方程得其象曲线方程 代入 平面圆方程得其象曲线方程: 平面圆方程得其象曲线方程
d ( u 2 + v 2 ) + bu − cv + a = 0.
所以此映射在扩充复平面上具有保圆性. 所以此映射在扩充复平面上具有保圆性
3) 分式线性映射
az + b w = f (z) = (ad − bc ≠ 0) cz + d 1 因为映射由 w = , w = az + b (a ≠ 0) 复合而成 . z 定理二 分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射 定理二 分式线性映射将扩充 平面上的圆周映射
(1) w = z + b ,
( 2) w = az ,
αζ + β 对w= 的研究可化为对以上映 射的研究 . γζ + δ
1 ( 3) w = . z
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见 令w平面与 平面重合 为方便起见, 平面与z平面重合 为方便起见 平面与 平面重合)
1. w = z + b 平移映射
r 在此映射下 , z沿向量 b (即复数 b所表示的向量 )
的方向平移一段距离 b 后, 就得到w.
(z) ≡ (w)
w
b
o
z
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见 令w平面与 平面重合 为方便起见, 平面与z平面重合 为方便起见 平面与 平面重合)
1. w = z + b 平移映射
r 在此映射下 , z沿向量 b (即复数 b所表示的向量 )
变换的复合 .
思考题答案
1 z1 = z + i , z2 = , z3 = −( 3 + 4i ) z2 , w = z3 − 3i . z1
3分式线性映射资料
C
P . . o
r
OP : OT OT : OP
OP OP OT 2 r 2
13
1 1 i 设 z re , 则有 w1 e , z r
i
1 i w w1 e , r
从而 w1 z 1. 故可知: z与w1是关于单位园周z 1的对称点
33
四、分式线性映射的确定
az b 分式线性映射w (ad bc 0) cz d
含有三个独立的常数, 只需给定三个条件就能决定一个分式线性映射. 定理4
在 z 平面上任意给定三个相异的点 z1 , z2 , z3 ,
在 w 平面上也任意给定三个相异的点 w1 , w2 , w3 ,
i
1 ( 3) w rz , (4) w . z
由于前三种函数可以构 成整式线性映射, 因此分式线性映射可以 分解为整式线性映射 1 与w 的复合. z
7
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见, 令w平面与z平面重合)
1. w z b 平移映射 在此映射下, z沿向量 b (即复数 b所表示的向量)
C的像曲线的一对对称点 .
即：分式线性映射具有保对称性
32
是过w 1与w 2的任意一个圆，则其原 像 证明：设 Γ
C是过z 1与z2的圆，由z 1与z2关于C对称，有C与 C
正交，即过w 1与w 2任意圆 正交，由保角性Γ与 Γ
与Γ正交，因此对称.
az b 例4 求一分式线性映射 w 将单位圆内部 cz d 变为上半平面.
1 1 当z , 令 , u , 则有u ( ) z w b a
1 ( )在 0解析, 并且 (0) 0,因此映 a 射u ( )在 0是保形的, 并且 0时，
§3 分式线性映射
装订线§3分式线性映射((分式线性映射是共形映射中比较简单的但又很重要的一类映射))1、定义：由分式线性函数az bwcz d+=+(,,,a b c d为复常数且0ad bc-≠) ……(6.4)构成的映射，称为分式线性映射。
注意：任何分式线性映射总可以分解成下面函数的复合：w z b=+，0iw zeθ=，(0)w rz r=>,1wz=因为：当0c=时,(6.4)式变为az b a bw zd d d+==+ ,可以看做(0)w rz r=>和w z b=+的复合.当0c≠时，(6.4)式变为()az b c az b ad ad acz ad bc ad a bc adw+++-++--====+它可以看作w z b=+，(0)w rz r=>,1wz=参与的复合。
((由于任何分式线性映射总可以分解成上述四个函数的复合，所以只须对这四种映射进行讨论，就可以了解分式线性映射的特点))(1)平移映射：w z b=+, ( b为复数) ((从z,b的实部和虚部解释,也可以用向量的平行四边形法则解释))装订线同样将曲线C进行旋转θ角度。
(3)相似映射：(0)w rz r=>(4)反演映射：1wz=当点z在单位圆外部时，此时||1z>，故||1w<,即w位于单位圆内部。
当点z在单位圆内部时，此时||1z<，故||1w>,即w位于单位圆外部。
所以反演映射的特点是：将单位圆内部映射到单位圆外部，将单位圆外部映射到单位圆内部。
规定：反演映射1wz=将0z=映射成w=∞,将z=∞映射成0w=。
2、分式线性映射的性质1）保形性装订线定理6.5 分式线性函数在扩充复平面上是共形映射。
也就是说，分式线性函数在扩充复平面上既是保角的，也具有伸缩率不变性。
2）保圆性约定：直线是作为圆的一个特例，即直线是半径为无限的圆。
定理6.6 在扩充复平面上，分式线性映射能把圆变成圆。
复变函数第十五讲
第十五讲《§2分式线性映射》 §2分式线性映射 一、分式线性映射定义分式线性映射是共形映射中比较简单但很重要的一类映射，它的一般形式：w az b cz dad bc =++-≠()0其中a b c d ,,,均为常数。
ad bc -≠0是为了保证映射的保角性成立而限定的。
否则dw dz ad bccz d =-+()2将有dwdz=0，这时w ≡常数，它将整个z 平面映射成w 上的一个点。
将z 解出，即得逆映射：z dz bcw aa d bc =-+----≠,(()())0 分式线性映射的逆映射也是分式线性映射。
容易知道两个分式线性映射的复合仍是分式线性映射。
任何一个分式线性映射都能分解成一些简单分式线性的复合。
设w z =++-≠αξβγδαδβγ()0用除法可以把它化为w z =-++()βαδγγδαγ1令 ξγξδξξ1211=+=,，那么w A B A B =+ξ2,(,为常数）由此可见，一个一般的分式线性映射是由下列三种分式线性映射复合而成：), ); ).1111111w z b w az w z=+== 现在来讨论这三种映射。
为了方便，我们暂且将w 平面与z 平面重合。
)1w z b =+。
这是一个平移映射。
因为复数相加可以化成向量相加，所以在映射w z b =+之下，z 沿向量b （即复数b 所表示的方向）的方向平行移动一段距离b 后，就得到w 。
),110w az a =≠。
这是一个旋转与伸长（或缩短）映射。
事实上，设z re a e i i ==θαλ,，那么w r e i =+λθα()。
因此，把z 先旋转一个角度α，再将z 伸长（或缩短）到a=λ倍后得到w （图6.6）.)1111w z=，这个映射可以分解为 w zw w 111==,为了用几何方法从z 作出w ，首先给出关于一已知圆周的对称点的概念。
定义 设C 为以原点为心，r 为半径的圆周。
复变函数理论中的共形映射及其性质
复变函数理论中的共形映射及其性质复变函数理论是数学中的一个重要分支，研究复平面上的复数函数。
复变函数理论的一个重要概念是共形映射。
共形映射是指保持角度不变的映射关系。
本文将讨论复变函数理论中的共形映射及其性质。
一、共形映射的定义共形映射是指保持角度不变的映射关系。
设f(z)是一个定义在复平面上的复变函数，如果对于平面上任意两条非平行的曲线，这两条曲线在映射f下的对应曲线的切线之间的夹角等于原曲线对应切线的夹角，那么称f(z)是一个共形映射。
二、共形映射的性质1. 保角性质：共形映射保持角度不变。
设z1和z2是复平面上任意两点，w1=f(z1)和w2=f(z2)是它们的映射点，如果z1、z2、w1和w2在同一条直线上，那么它们的夹角相等。
2. 保距性质：共形映射保持距离不变。
设z1和z2是复平面上任意两点，w1=f(z1)和w2=f(z2)是它们的映射点，那么z1和z2之间的距离等于w1和w2之间的距离。
3. 保边界性质：共形映射保持边界不变。
若一个区域的边界曲线在共形映射下映射到另一个区域，那么映射后的曲线仍然是原来区域的边界曲线。
4. 保圆性质：共形映射将圆映射为圆。
具体来说，若一个圆在共形映射下映射为另一个曲线，那么映射后的曲线仍然是圆。
三、常见的共形映射复平面上的共形映射有很多种，下面介绍几种常见的共形映射：1. 线性变换：线性变换是一类共形映射，表达形式为f(z)=az+b，其中a和b是复数，a≠0。
线性变换可以将直线映射为直线或者圆。
2. 幂函数：幂函数是一种共形映射，表达形式为f(z)=z^n，其中n是整数。
幂函数可以将圆映射为圆或者直线。
3. 分式线性变换：分式线性变换是另一类共形映射，表达形式为f(z)=(az+b)/(cz+d)，其中a、b、c和d是复数，ad-bc≠0。
分式线性变换可以将圆、直线或者半平面映射为圆、直线或者半平面。
四、应用领域共形映射在物理学、工程学以及计算机图形学等领域有广泛的应用。
第六章 共形映射
ห้องสมุดไป่ตู้
z2
由z1 z 2关于圆对称点的定义得 : z1 - z 0 z 2 - z 0 = R
2
∴ Z 在C上.而Γ的切线是C的半径. 半径与C正交. ∴ Γ与C正交
正 交
2
充 : 圆Γ过z1、 2且与C正交,则连z1、 2的直线为 z z
Γ的特殊情况(半径为≦)必与C正交.且必过z0 .
Γ与C于交点z处正交,因此C的半径z 0 z就是Γ的切线. ∴ z1 - z 0 z 2 - z 0 = R 2故 : z1.z 2是关于圆C的一对对称点.
2).伸缩率不变性.即过z 0的任一条曲线 的伸缩率均为 f (z 0 ) 与其形状及方向无关.
2.共形映射的概念
定义 : 设w = f(z)在z 0的邻域内是一一的, 在z 0保角和伸缩率不变性.称w = f(z) 在z 0是共形的.若在D内每一点是共形 的.称w = f(z)是D内的共形映射.
p
p与p对称。
1.保角性
1 w= 在扩充复平面上是一一对应的 z
z 1 w 1
z 1 w 1
z 1 w 1 argz = argw = -
1 1 =－ 2 z ≠0 w = 称为反演变换.w z z z ≠≦ → w ≠0 . 除去 z = 0 、 = ≦ 外处处共形 z
1 1 2 w A 2 B 1
分解为三种:
1 1) w z b ,2) w az ,3) w z
1) 平 移 w z b 因复数相加可化为矢量相加
2) 旋 伸 w az a 0这是一个旋转与伸长(缩短)映射
定理二 : 若w = f(z)在z 0解析,且f (z 0 )≠0, 则映射w = f(z)在z 0是共形的,且Argf (z 0 ) 表示映射在z 0的转动角. f (z 0 ) 表示伸缩率
第2节 分式线性映射
复变函数
2. w=az
这是一个旋转与伸长（或缩短)的映射。
事实上，设z re i ei , 那么w rei( ) .
(z)=(w) w
因此，把z先旋转一个角度a，
再将 |z| 伸长(或缩短）到
z
|a|= 倍后， 就得到w 右图. o
10
2019/10/9
前页 后页 返回
线性映射。
5
2019/10/9
前页 后页 返回
复变函数 二、 分式线性映射的分解
设有线性映射 w ( 0) 把它化为
( ) ( )
w
( ) 1
6
2019/10/9
复变函数
3. w=1\z
先讨论 圆C的一对对称点。
T
如果有两点p 和p'满足关系式 r
op op r 2 那么我们就称这 O P
P
两点为关于圆周C的对称点。此外，我们规定，
无穷远点的对称点是圆心O 。
11
2019/10/9
前页 后页 返回
复变函数
将映射w 1 z
分解为w1
16
2019/10/9
前页 后页 返回
复变函数
这表明z'. 在C上，而Γ的切线就是C的半径， 因此Γ与C正交。
(充分性) 设是经过z1 z2 且与C正交的任一圆周， 那么连接z1与z2 的直线作为 的特殊情形。
（半径为无穷大的圆）必与C正交， 因此必过z0 。
又因 与C于交点z’处正交，因此C的半径z0 z' 就是 的切线。
反演映射
8
2019/10/9
共形映射-分式线性映射
w f (z)
C
w0 Argf (z0 )
O
O
C : z z(t), t ,
:w(t) f (z(t)), t ,
t : C
t :
z0 z(t0 ), z(t0 ) 0
w0 w(t0 ) f (z(t0 ))
w(t0 ) f (z0 )z(t0 ) 0 Argw(t0 ) Argf (z0 ) Argz(t0 )
2.分式线性映射的保角性
Def. 两条曲线在的夹角定义为这两条曲线在映射w 1
下的像曲线在原点的夹角,且方向相同.
z
Thm. 分式线性映射在扩充复平面上处处保角. Proof .只要验证w az b(a 0)与w 1的保角性. z
(1) w az b(a 0)的保角性
Review
(对数留数定理) f 在简单正向闭曲线C上解析且
非零, 在C内部除有限个极点外处处解析,则
1 f (z)
2i C
dz N ( f ,C) P( f ,C). f (z)
对数留数的几何意义
1
2 i
C
f (z) dz f (z)
1
2
C Argf
(z)
绕原点的圈数
C1
:
1 z1 (t
)
与C2
:
1 z2 (t)
在
0的夹角.
1, 2在w 的夹角等于映射
与2
:
1 az2 (t)
b
在
0的夹角.
1 w
下1
:
1 az1 (t )
第6章 共形映射
构成的映射，称为分式线性映射。 1.三种基本的分式线性映射 (1)ω=a+b (b为复数)：平移变换。 (2)ω=az (a≠0复数)：是一个旋转与伸长(或缩短) 的变换。 1 (3) w 反演变换。 z 对于任何分式线性映射总可以分解为这三种基本 az b a b w ( z ) 的分式线性映射的复合：当C=0时， d d a az b a bc ad 当C≠0时，w
公式(6.3.2)在构造区域间的保形映射时 非常有用，其特点是把过z1与z2的弧映射成过 原点的直线，而这正是我们在构造共形映射时 常用的手法，其中k可由其它条件确定，如果 是作为中间步骤，则R直接设为1。
§4 几个初等函数构成的共形映射
1.幂函数ω=zn (n≥2为自然数)
函数ω=zn将角形域
射为角形域 0 0 。
推论6.3.1 如果zk或ωk中有一个为∞， 则只须将对应点公式中含有∞的项换为1。
推论6.3.2 设ω=f (z)是一分式线性映射， 且有f (z1)=ω1以及f (z2)=ω2，则它可表示为：
特别地，当ω1=0，ω2=∞时有
wk z z1 z z22 (6.3.2)
2.共形映射的概念
定义6.1.2 对于定义在区域D内的映射ω=f (z)。 如果它在D内任意一点具有保角性和伸缩率不变性， 则称ω=f (z)是第一类保角映射；如果它在D内任意 一点保持曲线的交角的大小不变但方向相反和伸缩 率不变，则称ω=f (z)是第二类保角映射。 定理6.1.1 设函数ω=f (z)是区域D内解析， 且 f ( z) 0 ,则它所构成的映射是第一类保角映射。
因此有
f ( z0 ) lim
w z
z 0
(3)旋转角不变性与保角性
第五节 分式线性映射
1 的两条曲线在原点的交角, 则可以认为w 在z 0也是共 z 1 形的,因此反演变换w 在扩充复平面是共形映射. z 结论：平移, 旋转, 伸缩，反演在扩充复平面是共形映射。
w az可由旋转和伸缩复合得 到, 假定a re i , 则 w re z , 用z1 e z , w rz1可复合得到w az.
的任一圆周K '都与 '正交.设K '的原像为K ,由性质2知它 是z平面的圆周通过点 z1与z2 ,因z1与z2 关于圆周对称, 故 由引理知K与正交, 又因分式线性映射具有 保角性, 故它 们的像K 与 也正交, 再由引理知w1和w2 关于 对称.
' ' '
把性质3说成分式线性映射具有 保对称性.
反之, 形如(4.10)的分式线性映射必将上 半平面 Im( z ) 0 映成单位圆 w 1.这是因为当z取实数时, 有
z i z we e 1. z z 即把实轴映射成w 1.又因上半平面中的 z 映射成
i
w 0, 所以(4.10)必将 Im( z ) 0映射成 w 1. 据上所论, 把上半平面映射成单位 圆的映射必是具
例3 : 求将上半平面Im( z ) 0映成单位圆 w 1 的分式线性映射.
[解 ] 如果把上半平面看 成是半径为无穷大的圆 域, 那末实轴就相当于圆域 的
图7-19
边界圆周.因为分式线性映射具有 保圆性,因此它必能将 上半平面Im( z ) 0映射成单位圆 w 1.由于上半平面总 有一点z 要映成单位圆周 w 1的圆心w 0、 实轴要 映成单位圆周 , 而z 与z 是关于实轴的一对对称 点, z 0与z 是与之对应的关于圆周w 1的一对对称点, 所以根据分式线性映射 具有保对称点不变的性 质知, z
第六章 共形映射
例 试求在映射 w = z 下, z 平面上的直线 y x 及 x 1
2
的像曲线.在这两条曲线的交点处 w z 2 是否具有保角性 ? 旋转角、伸缩率是多少 ?
解:令 w= u iv, z x iy
则 w= z 变为: u iv ( x iy) x y 2xyi
East china university of science and technology
因此，分式线性映射可分解为
(1) w kz h 1 ( 2) w z
( k 0) 称为线性映射 .
称为反演映射。
华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案
East china university of science and technology
取极限 :
s i ( ) e s r
| f ( z0 ) | lim z s
称为曲线在 z0点的伸缩率(导数模的几何意义)。
华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案
East china university of science and technology
y x 与 x 1的交点为 z0 1 i,
i dw 2 z z 1i 2(1 i ) 2 2e 4 0 0 dz z0 1i
2
映射 w= z 在交点 z0 1 i 处是保角的,且旋转角为 , 4 伸缩率为2 2 ,z0 的像 w0 =2i。
华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案
l
v
w f (z)
w0
z0
z
C
o
C : z z(t ), t : w f ( z(t )), t
第6章 共形映射
经过w f (z)把C映射为w平面上的光滑曲线 C,其方程为
w w(t) f z(t), t0 t T0 ,
且w0 f z(t0 ). 由于w(t0 ) f (z0 )z(t0 ) 0,因此在w平面上，
第六章 共形映射
§6.1 共形映射 §6.2 分式线性变换 §6.3 确定分式线性变换的条件 §6.4 几个初等函数所构成的映射
这一章我们将研究解析函数映射的几何性质. 我们
知道, 在几何上复变函数w f (z) 可以看作是把 z 平面
上的点集 D 变到 w 平面上的点集D 的映射. 本章我们将
（1）若在映射 w f (z)的作用下，过点 z0的任意两条光滑 曲线的夹角的大小与旋 转方向都是保持不变的 ，则称这 种映射在 z0处是保角的 .
比如平移变换 w z 就是一个很简单的保角 映射.
函数w z不是保角映射 . 事实上，前面我们介绍 过它是 关于实轴的对称映射， 在图中我们把 z平面与w平面重 合在一起，映射把点 z0映射到关于实轴对称的 点z0 . 过
C1：w w1(t ) f z1(t ), t0 t T0 , C2：w w2 (t ) f z2 (t ), t0 t T0 .
那么Arg w1 (t0 ) Arg z1 (t0 ) Arg f (z0 ) Arg w2 (t0 ) Arg z2 (t0 ), 即Arg z2 (t0 ) Arg z1 (t0 ) Arg w2 (t0 ) Arg w1 (t0 ).
z z0 来近似描述它 . （2）若极限 lim w w0 存在且不等于零，则这 个极限
zz0 z z0 称为映射w f (z)在z0处的伸缩率；并称 w f (z)在z0 处具有伸缩率的不变性 .
(优选)第四节分式线性映射
1 z2
0, 所定两条伸向无穷远点的曲线在无穷远
点的交角等于它们由反演映射w 1 所映成的过原点w 0 z
的两条曲线在原点的交角,则可以认为w 1 在z 0也是共 z
形的,因此反演变换w 1 在扩充复平面是共形映射,根据 z
这样的约定,平移、 旋转、 伸缩在扩充复平面是共形映射
伸缩), w
z3
a c
(平移)由它们的复合得到分式线性映射
(4.1).另一方面, 直接计算可知, 两个分式线性映射的复合
仍是分式线性映射.
例如, 设
w
a1 c1
b1 d1
, (a1d1
b1c1
0),
a2z b2 c2z d2
,(a2d2
b2c2
0),
把后式代入前式,复合后得 w az b .
的逆映射为 z dw b , cw a
因(d )(a) bc ad bc 0,所以(4.5)是分式线性映射. 把性质1说成分式线性映射具有保角性.
性质2 分式线性映射(4.1)把扩充z平面的圆周映为扩 充w平面的圆周.
这一性质包含下述四种情况 : 1)把z平面的通常圆周 映为w平面的通常圆周.2)把z平面的通常圆周映为w 平面的直线.3)把z平面的直线映为w平面的圆周.4) 把z平面的直线映为w平面的直线. 把性质2说成分式线性映射具有保圆性.
w az可由旋转和伸缩复合得到,假定a rei ,则
w rei z,用z1 ei z, w rz1可复合得到w az.
w az b称为整线性映射,它可由旋转、 伸缩和
平移复合得到.
现在我们证明: 一般的分式线性映射(4.1)可由平移、 旋转、 伸缩和反演四个基本映射复合得到.
若c 0则d 0,否则ad bc 0,这时
第六章6.3分式线性映射
三、分式线性映射的几种特性
3、保对称点性
定理 设点 z1, z2关于圆周 C 对称，则在分式线性映射下，它们
P150 定理
的象点 w1, w2也关于象曲线 C 对称。
6.7
O z1 C
z2 Γ Γ
O w1 C
Γ w2 Γ
21
四、唯一决定分式线性映射的条件
分析 分式线性映射 w az b 中含有四个常数 a , b , c , d . cz d
6.3 则称 A 和 B 是关于圆周 C 对称的。
自然地，规定圆心 O 与无穷远点关于该圆周对称。
7
二、分式线性映射的分解
4. 反演(或倒数)映射
w
1 z
令 z | z |ei ,
则有
w
到
单位圆外(或内)，且辐角反号。
结论
w
1 z
是单位圆周对称映射与实轴对称映射的复合。
zi
解
方法一 分解为四种简单映射
πi
w 2 2e 2
1
.
zi
1
πi
z zi
平移
z1
z1 倒数
z2
e 2 z2
旋转
z3
2z3 相似
z4
z4 2 平移
w
i
πi
e 2 z2
旋转
2i
zi 平移
2z3 相似 1
1 z1
倒数
z4 2 平移
2i 1
12
例 求直线 C {z : Imz 1} 在映射 w 2z 下的像曲线。 zi
P146 定理6.5
注意 该定理不仅从理论上确保了分式线性映射是共形映射，
而且其中的保角性在分式线性映射的构造中非常实用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2)伸缩率不变性.即通过z0的任意一条光滑曲线的 伸缩率与曲线的形状和方向无关,均为 f (z0 ) .
3.共形映射
Def. 若函数w f (z)在z0的邻域内是一一映射,在z0具有 保角性和伸缩率不变性,则称映射w f (z)在z0是共形的. 若映射w f (z)在区域D中每一点都是共形的,则称f 在区 域D中是共形的.
(z)
(w)
z0
w f (z)
C
w0 Argf (z0 )
O
O
Argf (z0 ) Argw(t0 ) Argz(t0 ) Argf (z0 )的几何意义:
曲线C经过w f (z)映射后在z0的转动角 转动角不变性:
转动角的大小与方向与曲线C的形状与方向无关
Ck : z zk (t), t ,t : Ck , k 1, 2.
Remark.
ad
bc
0
w(z)
ad bc (cz d )2
0
w(z)
const.
此时w az b 将整个复平面映射成一个点,不是共形映射.
cz d
Property. (ad bc 0)
(1)分式线性映射是可逆映射,其逆映射仍为分式线性映射.
(2)两个分式线性映射的复合映射仍为分式线性映射.
w az b , ad bc 0. cz d
Case1.c 0 w az b . dd
Case2.c 0 w bc ad 1 a . c cz d c
Remark.分式线性映射是由以下三中特殊映射复合而成的. (1)w az(a 0), (2)w z b, (3)w 1 . z
Review
(对数留数定理) f 在简单正向闭曲线C上解析且
非零, 在C内部除有限个极点外处处解析,则
1 f (z)
2i C
dz N ( f ,C) P( f ,C). f (z)
对数留数的几何意义
1
2 i
C
f (z) dz f (z)
1
2
C Argf
(z)
绕原点的圈数
应用Rouche定理研究函数零点的分布
第6章 共形映射
§1. 共形映射
1.平面曲线的切向量
有向曲线C : z z(t) x(t) iy(t), t ,
t增加与曲线正向一致
切向量:
z(t0
)
lim
t 0
z(t0
t) t
z(t0
)
x(t0 ) iy(t0 ).
z0 z1(t0 ) z2 (t0 ), z1(t0 ) 0, z2 (t0 ) 0
k:
w
wk (t)
f (zk (t)),
t
,t
:
k
,
k
1, 2.
w0 w1(t0 ) w2 (t0 ) f (z0 )
Argw1(t0 ) Argz1(t0 ) Argw2 (t0 ) Argz2 (t0 ) Argf (z0 )
:w(t) f (z(t)), t ,t :
w0 w(t0 ) f (z(t0 )), w w0 ei , w w0
f (z) f (z0 ) z z0
w w0 z z0
ei
rei
s
s ei( ) r
w f (z)
C
w0 Argf (z0 )
O
O
C : z z(t), t ,
:w(t) f (z(t)), t ,
t : C
t :
z0 z(t0 ), z(t0 ) 0
w0 w(t0 ) f (z(t0 ))
w(t0 ) f (z0 )z(t0 ) 0 Argw(t0 ) Argf (z0 ) Argz(t0 )
z0 C
w f (z) w0 f (z0 )
(辐角原理) f 在简单正向闭曲线C上及C内解析,
在C上非零,则N (
f
,C)
1
2
C Argf
(z).
(Rouche定理) f (z)与g(z)在简单正向闭曲线C上 及C内解析,在C上满足 f (z) g(z) ,则
N( f g,C) N( f ,C), 即f (z) g(z)与f (z)在C内部的零点个数相同.
w f (z)在z0解析, f (z0 ) 0
w f (z)在z0是共形的
Argf
(z0 )为w
f
( z )在z0的转动角
f
z)在z0的伸缩率
§2.分式线性映射(Mobius映射)
1.分式线性映射及其分解
w az b , ad bc 0. cz d
lim
zz0
r
lim 1 lim
zz0 s
zz0 s
f (z0 ) .
f (z0 ) 的几何意义: 经过映射w f (z)后,过z0的任意 曲线C在z0的伸缩率, 它与C的形状与方向无关.
Thm. 函数w f (z)在区域D中解析, z0 D, f (z0 ) 0,则 映射w f (z)在z0具有如下性质:
曲线C在z(t0 )处正向切向量的辐角为 Arg z(t0 ).
物理解释: t: 时间, z(t): 位移,
z(t0): 即时速度, z(t0) : 速率
2.解析函数导数的几何意义
w f (z)在D中解析,z0 D, f (z0 ) 0
I) Argf (z0 )
(z)
(w)
z0
保角性 : Argw2 (t0 ) Argw1(t0 ) Argz2 (t0 ) Argz1(t0 )
(z)
(w)
C2 w f (z)
2
z0 C1
w0
O
O
1
II) f (z0) 的几何意义 C : z z(t), t ,t : C z0 z(t0 ), z z0 rei , s z z0