共形映射-分式线性映射

曲线C在z(t0 )处正向切向量的辐角为 Arg z(t0 ).
物理解释: t: 时间, z(t): 位移,
z(t0): 即时速度, z(t0) : 速率
2.解析函数导数的几何意义
w f (z)在D中解析,z0 D, f (z0 ) 0
I) Argf (z0 )
(z)
(w)
z0
保角性 : Argw2 (t0 ) Argw1(t0 ) Argz2 (t0 ) Argz1(t0 )
(z)
(w)
C2 w f (z)
2
z0 C1
w0
O
O
1
II) f (z0) 的几何意义 C : z z(t), t ,t : C z0 z(t0 ), z z0 rei , s z z0
(1)保角性.即通过z0的任意两条光滑曲线的夹角与经 过映射后所得的两条像曲线的夹角在大小和方向上保持 不变.
(2)伸缩率不变性.即通过z0的任意一条光滑曲线的 伸缩率与曲线的形状和方向无关,均为 f (z0 ) .
3.共形映射
Def. 若函数w f (z)在z0的邻域内是一一映射,在z0具有 保角性和伸缩率不变性,则称映射w f (z)在z0是共形的. 若映射w f (z)在区域D中每一点都是共形的,则称f 在区 域D中是共形的.

lim
zz0
r

lim 1 lim
zz0 s
zz0 s

f (z0 ) .
f (z0 ) 的几何意义: 经过映射w f (z)后,过z0的任意 曲线C在z0的伸缩率, 它与C的形状与方向无关.
Thm. 函数w f (z)在区域D中解析, z0 D, f (z0 ) 0,则 映射w f (z)在z0具有如下性质:
Remark.
ad
bc
0
w(z)

ad bc (cz d )2
0
w(z)
const.
此时w az b 将整个复平面映射成一个点,不是共形映射.
cz d
Property. (ad bc 0)
(1)分式线性映射是可逆映射,其逆映射仍为分式线性映射.
(2)两个分式线性映射的复合映射仍为分式线性映射.
w az b , ad bc 0. cz d
Case1.c 0 w az b . dd
Case2.c 0 w bc ad 1 a . c cz d c
Remark.分式线性映射是由以下三中特殊映射复合而成的. (1)w az(a 0), (2)w z b, (3)w 1 . z
w f (z)

C
w0 Argf (z0 )
O
O
C : z z(t), t ,
:w(t) f (z(t)), t ,
t : C
t :
z0 z(t0 ), z(t0 ) 0
w0 w(t0 ) f (z(t0 ))
w(t0 ) f (z0 )z(t0 ) 0 Argw(t0 ) Argf (z0 ) Argz(t0 )
Review
(对数留数定理) f 在简单正向闭曲线C上解析且
非零, 在C内部除有限个极点外处处解析,则
1 f (z)
2i C
dz N ( f ,C) P( f ,C). f (z)
对数留数的几何意义
1
2 i
C
f (z) dz f (z)
1
2百度文库
C Argf
(z)
绕原点的圈数
z0 C
w f (z) w0 f (z0 )

(辐角原理) f 在简单正向闭曲线C上及C内解析,
在C上非零,则N (
f
,C)

1
2
C Argf
(z).
(Rouche定理) f (z)与g(z)在简单正向闭曲线C上 及C内解析,在C上满足 f (z) g(z) ,则
N( f g,C) N( f ,C), 即f (z) g(z)与f (z)在C内部的零点个数相同.
w f (z)在z0解析, f (z0 ) 0
w f (z)在z0是共形的
Argf
(z0 )为w
f
( z )在z0的转动角

f
(z0 )
为w

f
(z)在z0的伸缩率
§2.分式线性映射(Mobius映射)
1.分式线性映射及其分解
w az b , ad bc 0. cz d
:w(t) f (z(t)), t ,t :
w0 w(t0 ) f (z(t0 )), w w0 ei , w w0
f (z) f (z0 ) z z0

w w0 z z0

ei
rei


s

s ei( ) r
(z)
(w)
z0
w f (z)

C
w0 Argf (z0 )
O
O
Argf (z0 ) Argw(t0 ) Argz(t0 ) Argf (z0 )的几何意义:
曲线C经过w f (z)映射后在z0的转动角 转动角不变性:
转动角的大小与方向与曲线C的形状与方向无关
Ck : z zk (t), t ,t : Ck , k 1, 2.
z0 z1(t0 ) z2 (t0 ), z1(t0 ) 0, z2 (t0 ) 0
k:
w
wk (t)
f (zk (t)),
t

,t
:

k
,
k
1, 2.
w0 w1(t0 ) w2 (t0 ) f (z0 )
Argw1(t0 ) Argz1(t0 ) Argw2 (t0 ) Argz2 (t0 ) Argf (z0 )
应用Rouche定理研究函数零点的分布
第6章 共形映射
§1. 共形映射
1.平面曲线的切向量
有向曲线C : z z(t) x(t) iy(t), t ,
t增加与曲线正向一致
切向量:
z(t0
)

lim
t 0
z(t0

t) t

z(t0
)
x(t0 ) iy(t0 ).