第11讲 函数的图象(教师版) 备战2021年新高考数学考点精讲与达标测试

第11讲 函数的图象

思维导图

知识梳理

1．利用描点法作函数的图象 其基本步骤是列表、描点、连线．

首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．

其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换

(2)对称变换

①y ＝f (x )――→关于x 轴对称

y ＝－f (x )． ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )．

④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称

y ＝log a x (x ＞0)． (3)翻折变换

①y ＝f (x )――→保留x 轴及上方图象

将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|． ②y ＝f (x )

――→保留y 轴及右边图象，并作其

关于y 轴对称的图象

y ＝f (|x |)．

(4)伸缩变换 ①y ＝f (x )

a ＞1，横坐标缩短为原来的1

a

倍，纵坐标不变

0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1

a 倍，纵坐标不变

→y ＝f (ax )．

②y ＝f (x )

a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变

0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变→y ＝af (x )．

题型归纳题型1 作函数的图象

【例1-1】（2019秋•海淀区校级期中）已知函数21,1(),1121,1x f x x x x x <-⎧⎪

=-⎨⎪->⎩

．

（Ⅰ）画出函数()y f x =的图象； （Ⅱ）若1

()

4

f x ，求x 的取值范围； （Ⅲ）直接写出()y f x =的值域．

【分析】（Ⅰ）根据分段函数的表达式，直接进行作图即可； （Ⅱ）结合分段函数的表达式，分别进行求解； （Ⅲ）由图象结合函数值域的定义进行求解． 【解答】解：（Ⅰ）函数()y f x =的图象如图； （Ⅱ）当1x <-时，满足1

()

4

f x ，

当11x -，由1()4f x 得214x ，得12x 或12

x -，

此时1

12

x --

或112x ， 当1x >时，1

()4

f x 恒成立， 综上得12x

或12

x -， 即x 的取值范围是得12x

或1

2

x -； （Ⅲ）由图象知()0f x ，即()y f x =的值域是[0，)+∞．

【跟踪训练1-1】（2019秋•石河子校级月考）已知函数22||1y x x =--． （1）作出函数的图象；

（2）由图象写出函数的单调区间．

【分析】（1）由函数22

2

21,

2||121,

x x x y x x x x x ⎧--=--=⎨+-<⎩．分别画出0x 和0x <时的图象即可； （2）根据函数的图象，写出单调区间即可． 【解答】解：（1）函数22

2

21,

2||121,

x x x y x x x x x ⎧--=--=⎨+-<⎩． 当0x 时，2(1)2y x =--； 当0x <时，(1)2y x =+-． 故图象如图所示；

（2）函数的增区间为：(1-，0]，(1,)+∞； 减区间为：(-∞，1]-，(0，1]．

【名师指导】

作函数图象的两种常用方法

1．直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．

2．图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．

题型2 函数图象的识辨 【例2-1】（2020•天津）函数241

x

y x =

+的图象大致为( ) A ． B ．

C ．

D ．

【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断． 【解答】解：函数241

x

y x =

+的定义域为实数集R ，关于原点对称，

函数24()1x y f x x ==

+，则24()()1

x

f x f x x -=-=-+，则函数()y f x =为奇函数，故排除C ，D ， 当0x >是，()0y f x =>，故排除B ， 故选：A ．

【例2-2】（2020春•通州区期末）已知函数()f x 的图象如图所示，那么该函数可能为( )

A ．()||lnx f x x =

B ．||()ln x f x x

= C ．1

,0()(1),0

x x x x f x e x e x -⎧>⎪

=⎨⎪+<⎩

D ．2

2

,0()(),0lnx

x x f x ln x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩

【分析】由图可知，函数()f x 为奇函数，结合函数奇偶性的概念可排除选项A 和C ；对比B 和D 选项，发现当(0,1)x ∈时，两个函数对应的函数值的正负性恰好相反，利用对数函数的图象，验证后即可得解． 【解答】解：由图可知，函数()f x 为奇函数，而选项A 和C 中对应的函数是非奇非偶函数，于是排除选项A 和C ；

当(0,1)x ∈时，从图象可知，()0f x <，而对于选项D ，0lnx <，20x >，所以()0f x >，与图象不符，排除选项D ． 故选：B ．

【例2-3】（2020•乐山模拟）已知角θ的始边与x 的非负半轴重合，与圆22:4C x y +=相交于点A ，终边与圆C 相交于点B ，点B 在x 轴上的射影为点C ，ABC ∆的面积为()S θ，则函数()S θ的图象大致是( )

A ．

B ．