第11讲 函数的图象(教师版) 备战2021年新高考数学考点精讲与达标测试

第11讲 函数的图象思维导图知识梳理1．利用描点法作函数的图象 其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )． ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )．④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (x ＞0)． (3)翻折变换①y ＝f (x )――→保留x 轴及上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|． ②y ＝f (x )――→保留y 轴及右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．(4)伸缩变换 ①y ＝f (x )a ＞1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变→y ＝f (ax )．②y ＝f (x )a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变→y ＝af (x )．题型归纳题型1 作函数的图象【例1-1】（2019秋•海淀区校级期中）已知函数21,1(),1121,1x f x x x x x <-⎧⎪=-⎨⎪->⎩．（Ⅰ）画出函数()y f x =的图象； （Ⅱ）若1()4f x ，求x 的取值范围； （Ⅲ）直接写出()y f x =的值域．【分析】（Ⅰ）根据分段函数的表达式，直接进行作图即可； （Ⅱ）结合分段函数的表达式，分别进行求解； （Ⅲ）由图象结合函数值域的定义进行求解． 【解答】解：（Ⅰ）函数()y f x =的图象如图； （Ⅱ）当1x <-时，满足1()4f x ，当11x -，由1()4f x 得214x ，得12x 或12x -，此时112x --或112x ， 当1x >时，1()4f x 恒成立， 综上得12x或12x -， 即x 的取值范围是得12x或12x -； （Ⅲ）由图象知()0f x ，即()y f x =的值域是[0，)+∞．【跟踪训练1-1】（2019秋•石河子校级月考）已知函数22||1y x x =--． （1）作出函数的图象；（2）由图象写出函数的单调区间．【分析】（1）由函数22221,2||121,x x x y x x x x x ⎧--=--=⎨+-<⎩．分别画出0x 和0x <时的图象即可； （2）根据函数的图象，写出单调区间即可． 【解答】解：（1）函数22221,2||121,x x x y x x x x x ⎧--=--=⎨+-<⎩． 当0x 时，2(1)2y x =--； 当0x <时，(1)2y x =+-． 故图象如图所示；（2）函数的增区间为：(1-，0]，(1,)+∞； 减区间为：(-∞，1]-，(0，1]．【名师指导】作函数图象的两种常用方法1．直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．2．图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．题型2 函数图象的识辨 【例2-1】（2020•天津）函数241xy x =+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断． 【解答】解：函数241xy x =+的定义域为实数集R ，关于原点对称，函数24()1x y f x x ==+，则24()()1xf x f x x -=-=-+，则函数()y f x =为奇函数，故排除C ，D ， 当0x >是，()0y f x =>，故排除B ， 故选：A ．【例2-2】（2020春•通州区期末）已知函数()f x 的图象如图所示，那么该函数可能为( )A ．()||lnx f x x =B ．||()ln x f x x= C ．1,0()(1),0x x x x f x e x e x -⎧>⎪=⎨⎪+<⎩D ．22,0()(),0lnxx x f x ln x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩【分析】由图可知，函数()f x 为奇函数，结合函数奇偶性的概念可排除选项A 和C ；对比B 和D 选项，发现当(0,1)x ∈时，两个函数对应的函数值的正负性恰好相反，利用对数函数的图象，验证后即可得解． 【解答】解：由图可知，函数()f x 为奇函数，而选项A 和C 中对应的函数是非奇非偶函数，于是排除选项A 和C ；当(0,1)x ∈时，从图象可知，()0f x <，而对于选项D ，0lnx <，20x >，所以()0f x >，与图象不符，排除选项D ． 故选：B ．【例2-3】（2020•乐山模拟）已知角θ的始边与x 的非负半轴重合，与圆22:4C x y +=相交于点A ，终边与圆C 相交于点B ，点B 在x 轴上的射影为点C ，ABC ∆的面积为()S θ，则函数()S θ的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【分析】由题可知，点(2,0)A ，点(2cos ,2sin )B θθ，点(2cos ,0)C θ，则11()||||(22cos )2|sin |022S AC BC θθθ=⨯=-，故排除选项C 和D ，又因为当34πθ=时，()2S θ>，排除选项B ，可得所求图象．【解答】解：由题知，点(2,0)A ，点(2cos ,2sin )B θθ，点(2cos ,0)C θ， 则11()||||(22cos )2|sin |022S AC BC θθθ=⨯=-，故排除选项C 和D ，又因为当34πθ=时，1()(222122S θ=⨯+⨯=>，排除选项B ．故选：A ．【跟踪训练2-1】（2019•新课标Ⅲ）函数3222x xx y -=+在[6-，6]的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【分析】由3222x xx y -=+的解析式知该函数为奇函数可排除C ，然后计算4x =时的函数值，根据其值即可排除A ，D ．【解答】解：由32()22x x x y f x -==+在[6-，6]，知332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，()f x ∴是[6-，6]上的奇函数，因此排除C又f （4）1182721=>+，因此排除A ，D ．故选：B ．【跟踪训练2-2】（2020春•湖州期末）已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是( )A ．sin()x x y e e -=+B ．sin()x x y e e -=-C ．cos()x x y e e -=-D ．cos()x x y e e -=+【分析】由函数的奇偶性排除A 与C ，在分析复合函数的单调性排除B ，则答案可求． 【解答】解：令()x x s x e e -=+，该函数的定义域为R ，且()()x x s x e e s x --=+=， ()s x ∴为R 上的偶函数；令()x x t x e e -=-，该函数的定义域为R ，且()()()x x x x t x e e e e t x ---=-=--=-， ()t x ∴为R 上的奇函数，又正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数， 且图中所给出的函数为偶函数，排除A 与C ； 又由图可知，所求函数在[0，1]上为减函数，而B 中内层函数()t x 在[0，1]上为增函数，而外层函数正弦函数在[0，]2π上为增函数，故当x 大于0且在0附近时，B 中函数为增函数，排除B ． 故选：D ．【跟踪训练2-3】（2020•贵港四模）如图，点P 在以2AB =为直径的半圆弧上，点P 沿着BA 运动，记BAP x ∠=．将点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【分析】先根据题意列出函数解析式，再分析图象即可得出答案．【解答】解：()2cos 2sin )4y f x PA PB x x x π==+=+=+，选项D 符合题意， 故选：D ． 【名师指导】识别函数图象的方法技巧函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．题型3 函数图象的应用【例3-1】（2020春•龙凤区校级期末）函数322x y x lg x -=+的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于直线y x =对称D ．关于原点对称【分析】先求出函数的定义域，再计算()y f x =-的表达式，并观察()f x 与()f x -的联系，发现()()f x f x =-，故而得解． 【解答】解：202x x ->+，2x ∴>或2x <-，即函数的定义域为(-∞，2)(2-⋃，)+∞（定义域关于原点对称）， 32()2x y f x x lgx -==+，333222()()()222x x x f x x lg x lg x lg f x x x x --+-∴-=-=-==-+-+， ∴函数()y f x =是偶函数，关于y 轴对称，故选：B ．【例3-2】（2019秋•琼海校级月考）已知定义在R 上的偶函数()y f x =部分图象如图所示，那么不等式()0xf x >的解集为 ．【分析】根据题意，由函数的图象以及奇偶性分析可得()0f x >以及()0f x <的解集，又由0()0()0x xf x f x >⎧>⇒⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩，据此分析可得答案． 【解答】解：根据题意，由()f x 的图象分析可得：在(0,1)和(2,)+∞上，()0f x >，在区间(1,2)上，()0f x <， 又由()f x 为偶函数，则在(1,0)-和(,2)-∞-上，()0f x >，在区间(2,1)--上，()0f x <， 0()0()0x xf x f x >⎧>⇒⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩， 则有01x <<或2x >或21x -<<-，即不等式的解集为{|01x x <<或2x >或21}x -<<-； 故答案为：{|01x x <<或2x >或21}x -<<-．【例3-3】（2019•江苏模拟）已知函数[],0,()(1),0,x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[ 1.2]2-=-，[1.2]1=，[1]1=．若直线(0)y kx k k =+>与函数()f x 的图象恰好有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ．【分析】画图可知()f x 就是周期为1的函数，且在[0，1)上是一直线y x =的对应部分的含左端点，不包右端点的线段，要有三解，只需直线y kx k =+过点(3,1)与直线y kx k =+过点(2,1)之间即可． 【解答】解：函数[],0()(1),0x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩，∴函数的图象如下图所示：(1)y kx k k x =+=+，故函数图象一定过(1,0)-点若()f x kx k =+有三个不同的根，则y kx k =+与()y f x =的图象有三个交点 当y kx k =+过(2,1)点时，13k =，当y kx k =+过(3,1)点时，14k =，故()f x kx k =+有三个不同的根，则实数k 的取值范围是11[,)43故答案为：11[,)43．【跟踪训练3-1】（2019秋•大同期末）函数31(0)()31(0)x x x f x x -⎧+<=⎨-+⎩，若函数y m =的图象与函数()y f x =的图象有公共点，则m 的取值范围是 ．【分析】作出函数图象，求出函数的值域，结合函数与方程的关系转化为图象交点问题进行求解即可． 【解答】解：作出函数的图象如图： 当0x <时，1()2f x <<， 当0x 时，0()1f x <，即函数()f x 的值域为[0，1)(1⋃，2)，要使函数y m =的图象与函数()y f x =的图象有公共点， 则12m <<，或01m <， 则m 的取值范围[0，1)(1⋃，2)， 故答案为：[0，1)(1⋃，2)【跟踪训练3-2】（2019•嘉定区一模）已知函数()log a f x x =和()(2)g x k x =-的图象如图所示，则不等式第 11 页 / 共 11 页 ()0()f xg x 的解集是 ．【分析】根据()log a f x x =和()(2)g x k x =-图象可得()f x 和()g x 的正负，即可求解不等式()0()f xg x 的解集． 【解答】解：由图象()log a f x x =可得(0,1)x ∈时，()0f x <，(1,)x ∈+∞时，()0f x >， 当1x =时()0f x =由图象()(2)g x k x =-可得(,2)x ∈-∞时，()0g x >，(2,)x ∈+∞时，()0g x <， 不等式()0()f x g x ，即()0()0f x g x ⎧⎨>⎩或()0()0f x g x ⎧⎨<⎩； [1x ∴∈，2)∴不等式()0()f xg x 的解集为[1，2) 故答案为：[1，2)【名师指导】1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．2．利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标．3．利用函数的图象研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．。