第一章 材料的受力形变

第二章材料的力学

本章的目的是给出各种材料力学的宏观参数，从微观上探讨这些参数的物理本质。

可以说人们最早利用材料的性能是它的力学性能。从石器到青铜器再到铁器的发展历程基本上基于材料的力学性能。在我们的日常的学习生活中，所使用的材料，一般情况下也是基于材料的力学性能，如我们的桌椅板凳，书包等。力学性能是在设计各种工程结构时选用材料的主要依据。那么

问题1：什么是对材料的力学性能？

材料在受到外力作用是一般会产生外形上的变化，当外力达到一定的值后材料会遭到破坏。要想给材料的力学性能下一个准确的定义很难，这里给出一个描述性的定义：材料的力学性能是材料的宏观性能，可以定义为材料抵抗外力与变形所呈现的性能一般是指材料是指材料在不同环境（温度、介质、湿度）下，承受各种外加载荷（拉伸、压缩、弯曲、扭转、冲击、交变应力等）时所表现出的力学特征，如弹性性能、塑性性能、硬度、抗冲击性能等。材料的力学性能通过有关标准试验测量，不同材料的力学性能差异较大。研究材料的力学性能是材料取得实际应用的基础。

第一节应力与应变

当材料在外力作用下不能产生位移时，它的几何形状和尺寸将发生变化，这种形变。材料在受到外力作用时发生形变时，其原子、分子或离子间的相对位置和距离会发生变化，在材料的内部会产生原子、分子或离子间的附加内力来抵抗外力，并试图恢复到原来的状态，当达到平衡时，这种附加内力与外力相等、方向相反。那么，

问题2：能否用外力来直接描述或比较材料的受力情况？

在材料的结构被破坏之前，内力与外力数值相等方向相反。由于不同或同种材料的构件的几何形状并不完全相同，形变量不能准确反映出材料的变形能力，尽管外力比较直观也容易出测量，但外力的方向不同或材料的形状不同等时材料的形变量往往不同，也就是说用外力或内力并不能准确的表示材料的受力强度。通常用应力和应变来表示材料的受力状况。材料单位面积上所受的附加内力，其值等于单位面积上所受的外力，即应力。表达式：

F=σ/A （2-1）

式中σ为应力，F为外力，A为面积。

材料受力后，一般会发生形变，其截面积也发生相应的变化。若A表示受力后的截面积，则F为真实应力或名义应力，在工程上对于形变较小的材料，二者数值上相差不大。

应变(strain)：用来表征材料受力时内部各质点之间的相对位移。对于各向同性材料，有三种基本的应变类型：拉伸应变ε、剪切应变γ和压缩应变△。

图2-1 拉伸应变示意图 图2-2 剪切应变示意图

拉伸应变(drawing strain )是指材料受到垂直于截面积的大小相等、方向相反并作用在同一直线上的两个拉伸应力时材科发生的形变，如图2-3所示。一根长度为l0的材料，在拉应力σ作用下被拉长到l1，则其拉伸应变ε为:

001l l

l l l ∆=-=

ε （2-2）

真实应变（Real Strain ）定义为：

1

ln 1

0l l l d l l l T ==⎰

ε （2-3）

剪切应变（shearing strain ）是指材料受到平行于截面积的大小相等、方向相反的两个剪切应力τ时发生的形变，如图2-4所示，在剪切应力τ作用下，材料发生偏斜，该偏斜角θ的正切值定义为剪切应变γ：θγtg = 。

压缩应变（pressed strain ）：指材料周围受到均匀应力P 时，其体积从起始时的V0变化为V1的形变（如图2-5）：

010V V

V V V ∆=-=

∆ （2-4）

图2-3 压缩应变示意图

应变的微分形式：在材料内部围绕该点取出一体积元，如图2-4，其六个面均分别垂直于X ，Y ，Z 轴，则作用在该体积元单位面积上的力△Fx ，△Fy ，△Fz,可分解为法向应力σxx ，σyy ，σzz 和剪切应力τxy ，τxz ，τyz 等。应力分量下标的含义：应力分量σ和τ下标的第1个字母表示应力作用面的法线方向，第2个字母代表应力作用的方向。

如果该材料发生形变，O 点沿x 、y 、z 方向的位移量分别为u 、v 、w ，沿x 方向的正应变为 x u

，用偏微分形式表示为， 则在O 点处沿x 方向的正应变为：

x u xx ∂∂=

ε （2-5）

同理沿y 、z 方向的正应变分别为：

y v

yy ∂∂=

ε （2-6） z w

zz ∂∂=

ε （2-7） OA 与A O '间的畸变夹角：

x v ∂∂=

α

OB 与B O '间的畸变夹角：

y u ∂∂=

β

在xy 平面，线段OA 及OB 之间的夹角减少了

y u x v ∂∂+∂∂，则xy 平面的剪切应变为β

αγ+=xy ，即：

y u

x v xy ∂∂+

∂∂=

γ （2-8） 同理对于yz 、zx 平面的剪切应变：

y w z v yz ∂∂+

∂∂=

γ （2-9） z u x w zx ∂∂+

∂∂=

γ （2-10）

x

u

∂∂

图2-4 应力分量

应力分量的正负号规定：正应力的正负号规定是拉应力（张应力）为正，压应力为负；剪应力的正负号规定是体积元上任意面上的法向力与坐标轴的正方向相同，则该面上的剪应力指向坐标轴的正方向者为正；如果该面上的法向应力指向坐标轴的负方向，则剪应力指向坐轴的正方向者为负。它们构成应力张量（stress tensor ）。

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎣

⎡=zz zy zx yz yy

yx xz xy

xx ij στττστττσσ (2-11)

应变张量可表示为：

xx

xy xz ij yx

yy yz zx zy zz εγγεγεγγγε⎡⎤

⎢⎥

=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

(2-12)

法向应力导致材料的伸长或缩短，而剪切应力引起材料的切向畸变。根据平衡条件，体积元上相对的两个平行平面上的法向应力应该大小相等、正负号相同，同—平面上的两个剪切应力互相垂直。根据剪切应力互等原理可知：τxy=τyx,其余类推。故一点的应力状态由六个应力分量(σxx ，σyy ，σzz ，τxy ，τxz ，τyz)来决定。

问题3：不同材料之间的力学性能差异很大，有无规律可循呢？

生活常识告诉我们不同材料之间不仅仅力学性能不同，总体说来不同种类的材料性能相比差异较大。同类材料之间相比差别较小。它是材料结构的基本反映。

图2-3表示三类典型材料的应力-应变曲线。许多无机非金属材料的变形如曲线（a ）,在弹性变形后没有塑性形变或塑性变形很小，就发生突然断裂，总弹性应变能非常小，这是所有脆性材料的特征；对于延性材料，如大多数金属材料和一些陶瓷单晶体材料，开始为弹