高二数学第二章章末总结

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数学必修2第二章知识点小结

第二章点线面位置关系总复习1.（1）平面含义: 平面是无限延展的, 没有大小, 厚薄之分。

2.四个公理与等角定理:（1）公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内.公理1作用: 判断直线是否在平面内.（只要找到直线的两点在平面内, 则直线在平面内）（2）公理2：过不在一条直线上的三点, 有且只有一个平面。

公理2的三个推论: （1）: 经过一条直线和这条直线外的一点, 有且只有一个平面。

（2）: 经过两条相交直线, 有且只有一个平面。

（3）: 经过两条平行直线, 有且只有一个平面。

公理2作用: 确定一个平面的依据。

（3）公理3: 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据, 是证明三线共点、三点共线的依据。

（4）公理4: 平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为: 设a、b、c是三条直线a∥b Array a∥cc∥b公理4作用: 判断空间两条直线平行的依据。

（表明空间中平行于一条已知直线的所有直线都互相平行）（②异面直线性质：既不平行, 又不相交。

③异面直线判定: 过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线④异面直线所成角: 直线a、b是异面直线, 经过空间任意一点O, 分别引直线a’∥a, b’∥b, 则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。

两条异面直线所成角的范围是（0°, 90°], 若两条异面直线所成的角是直角, 我们就说这两条异面直线互相垂直。

（两条直线互相垂直, 有共面垂直与异面垂直两种情形）说明: （1）判定空间直线是异面直线方法: ①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中, 空间一点O是任取的, 而和点O的位置无关。

（3）求异面直线所成角步骤: （一作、二证、三计算）第一步作角：先固定其中一条直线, 在这条直线取一点, 过这个点作另一条直线的平行先；或两条同时平移到某个特殊的位置, 顶点选在特殊的位置上。

高中数学第二章概率章末归纳总结课件新人教B版选修23

又 Bi 是相互独立事件，
∴P(B)＝P(B1)＋P( B 1B2)＋P( B 1 B 2B3)
＝P(B1)＋P(
BHale Waihona Puke 1)·P(B2)＋P(B
1)·P(
B
2)·P(B3)
＝
2 3
＋
1 3
×
1 6
＋
1 3
×56×227＝346816.
坛子里放着 5 个相同大小、相同形状的鸭蛋，其中有 3 个是绿皮的，2 个是白皮的．如果不放回地依次拿出 2 个鸭蛋，求：
• (1)求这批产品通过检验的概率；
• (2)已知每件产品检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．
[解析] (1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为
事件 A，第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 C，第二次
• 三、离散型随机变量的分布列
• 离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：超几何分布与二项分布，由于这两种分布列在生活中应用较为广泛，故在高考中，对该知识点的融合性考查相对较灵活，考查相对频繁．
• 1．对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时相关概率的求法，计算时可能会用到等可能性事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式等．
一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n＝3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n＝4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．

直线和圆的方程章末重难点归纳总结-2022-2023学年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)

第2章直线和圆的方程章末重难点归纳总结重点一直线的倾斜角与斜率【例1-1】（2022·全国·高二课时练习）已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（） A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ30,,42π4⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】C【解析】如图所示，直线PA 的斜率21110PA k -+==--，直线PB 的斜率11120PB k +==-．由图可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-，因此直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：C【例1-2】（2022·江苏·高二）下列命题中，错误的是______．（填序号） ①若直线的倾斜角为α，则(0,)απ∈； ①若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大； ①若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α．【答案】①①①【解析】对于①中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为α，则[0,)απ∈，所以①错误；对于①中，当倾斜角[0,)2πα∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，且0k >；当倾斜角(,)2παπ∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，但0k <，所以①错误；对于①中，根据直线斜率的概念，可得当[0,)απ∈且2πα≠时，直线的斜率为tan k α=，所以①错误.故答案为：①①①. 【一隅三反】1．（2022·全国·高二课时练习）（多选）若经过()1,1A a a -+和()3,B a 的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的值可能为（） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．2【答案】BCD 【解析】由题意得110132AB a a k a a+-==<----，即20a +>，所以2a >-，故选：BCD ．2．（2022·黑龙江黑河）直线l 经过点()1,1P -和以()()3,1,3,2M N -为端点的线段相交，直线l 斜率的取值范围是（） A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D【解析】13,22PM PN k k =-=，画出图象如下图所示，由图可知，直线l 的斜率k 满足PN k k ≥或PM k k ≤ 所以直线l 的斜率的取值范围是13,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故选：D3．（2022·全国·高二课时练习）已知()3,1A ，()1,2B ，若直线20x ay +-=与线段AB 没有公共点，则实数a 的取值范围是（） A ．1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(,2)(1,)-∞-+∞D ．(2,1)-【答案】A【解析】直线20x ay +-=过点()2,0C ，画出图象如下图所示，20212BC k -==--，10132AC k -==-，由于直线20x ay +-=与线段AB 没有公共点，当0a =时，直线2x =与线段AB 有公共点，不符合题意，当0a ≠时，直线20x ay +-=的斜率为1a -，根据图象可知1a-的取值范围是()()2,00,1-⋃，所以a 的取值范围是1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.故选：A重点二直线的位置关系【例2-1】（2022·江西）已知条件p ：直线2-40x y +=与直线()2110a x a y ++-=平行，条件q ：1a =，则p 是q 的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线2-40x y +=与直线()2110a x a y ++-=平行，则221a a =+，故1a =或12a =-．当1a =时，()2110a x a y ++-=即为2+-1=0x y ，此时直线2-40x y +=与直线()2110a x a y ++-=平行；当12a =-时，()2110a x a y ++-=为111024x y +-=，即2-40x y +=，此时直线2x ＋y －4＝0与直线()2110a x a y ++-=重合，不符合，即1a =，故p 是q 的充要条件．故选：A ．【例2-2】．（2022·河南）已知直线1l ：()220a x ay -++=，2l ：()20x a y a +-+=，则“12l l ⊥”是“1a =-”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当1a =-时，1:32l y x =-+，211:33l y x =-，121313k k ⋅=-⨯=-，所以12l l ⊥；当12l l ⊥时，可得()()()()212210a a a a a -⨯+-=-+=，解得1a =-或2a =，所以“12l l ⊥”是“1a =-”的必要不充分条件．故选：B ．【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）若1l 与2l 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为1a ，2a ，斜率分别为1k ，2k ，则下列命题①若12//l l ，则斜率12k k =； ①若斜率12k k =，则12//l l ； ①若12//l l ，则倾斜角12a a =；①若倾斜角12a a =，则12//l l ；其中正确命题的个数是______．【答案】4【解析】因为1l 与2l 为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为1a ，2a ，斜率分别为1k ，2k . ①由于斜率都存在，若12//l l ，则12k k =，此命题正确；①因为两直线的斜率相等即斜率12k k =，得到倾斜角的正切值相等即12tan tan a a =，即可得到12a a =，所以12//l l ，此命题正确；①因为12//l l ，根据两直线平行，得到12a a =，此命题正确；①因为两直线的倾斜角12a a =，根据同位角相等，得到12//l l ，此命题正确；所以正确的命题个数是4．故答案为：4．2．（2022·全国·高三专题练习）已知直线:0l ax y a ++=，直线:0m x ay a ++=，则l m ∥的充要条件是（） A ．1a =- B ．1a = C ．1a =± D ．0a =【答案】A【解析】因为直线:0l ax y a ++=，直线:0m x ay a ++=，易知0a =时，两直线垂直，所以l m ∥的充要条件是11a aa a=≠，即1a =-．故选：A ．3．（2021·黑龙江黑河·高二阶段练习）（多选）若直线过点()1,2P 且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为（） A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y ++=【答案】ABC【解析】A ：显然()1,2P 在10x y -+=上，且在x 、y 轴上的截距均为1，符合； B ：显然()1,2P 在30x y +-=上，且在x 、y 轴上的截距均为3，符合； C ：显然()1,2P 在20x y -=上，且在x 、y 轴上的截距均为0，符合； D ：()1,2P 不在10x y ++=上，不符合. 故选：ABC4．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下述正确的是（） A ．直线l 的斜率可以等于0 B ．直线l 的斜率有可能不存在 C ．直线l 可能过点()2,1 D ．直线l 的横、纵截距可能相等【答案】BD【解析】因为直线:10l x my m -+-=，若0m =，则直线的斜率不存在，故B 正确；若0m ≠，则直线的斜率存在，且斜率1k m=，不可能为0，故A 错误；将点()2,1代入直线方程得2110m m -+-=≠，故C 错误；令1m =，则直线方程为0x y -=，横纵截距均为0，故D 正确．故选：BD5．（2022·全国·高二课时练习）（多选）若直线10ax y a +-+=与直线()230a x y a --+=垂直，则实数a 的值可能为（） A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．3【答案】AD【解析】由题意得(2)1(3)0a a -+⨯-=，即2230a a --=.解得1a =-或3a =．故选：AD ．6．（2022·全国·高二课时练习）已知直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，下列命题中正确的有（）A ．当3m =时，1l 与2l 重合B ．若12l l ∥，则0m =C ．1l 过定点(6,0)-D ．2l 一定不与坐标轴平行【答案】AC【解析】当3m =时，直线1:360l x y ++=，直线2:360l x y ++=，即两直线重合，故A 正确；当12l l ∥时，有(2)3m m -=且26(2)m m ≠-，解得1m =-，故B 错误；因为6060m -+⨯+=，所以直线1l 过定点(6,0)-，故C 正确；当2m =时，直线24:3l y =-与x 轴平行，故D 错误；故选：AC ．重点三直线与圆的位置关系【例3-1】（2022·全国·高二单元测试）已知直线1l ：122y x =+，直线2l 是直线1l 绕点()2,1P -逆时针旋转45︒得到的直线，则直线2l 的方程是（） A ．3yxB ．1533y x =+C ．37y x =-+D ．37y x =+【答案】D【解析】设直线1l 的倾斜角为θ，则1tan 2θ=，又直线2l 是直线1l 绕点()2,1P -逆时针旋转45︒得到的直线，所以直线2l 的倾斜角为45θ+︒，故直线2l 的斜率为()11tan tan 452tan 45311tan tan 45112θθθ++︒+︒===-⋅︒-⨯，故直线2l 的方程是()132y x -=+，即37y x =+，故选：D ．【例3-2】（2021·黑龙江黑河·高二阶段练习）过点4,2P 且与直线3460x y -+=垂直的直线方程是（） A ．43190x y --= B ．43100x y +-= C ．34160x y --= D ．3480x y +-=【答案】B【解析】由题设，与直线3460x y -+=垂直的直线斜率为43-，且过4,2P ，所以42(4)3y x +=--，整理得43100x y +-=.故选：B【例3-3】（2022·福建省福州第二中学高二期末）已知直线()100,0ax by a b +-=>>平分圆C ：222420170x y x y +---=，则aba b+的最大值为（） A ．322+ B ．322-C 2 D ．16【答案】B【解析】圆C ：222420170x y x y +---=，∴圆心(1,2)C ，直线()100,0ax by a b +-=>>平分圆C ：222420170x y x y +---=， ∴直线()100,0ax by a b +-=>>过圆心(1,2)C ，即()210,0a b a b +=>>， 11112()(2)3223a b b aa b ab a b a b a b+∴=+=++=++≥， (322)322223(223)(322)ab a b -∴≤=-+++-当且仅当2b a a b =，即22212b a ==，ab a b +的最大值为322- 故选：B【一隅三反】1（2022·云南曲靖·高二期末）（多选）已知圆22(1)(1)4x y -+-=与直线20x my m +--=，则（） A ．直线与圆必相交B ．直线与圆不一定相交C ．直线与圆相交所截的最短弦长为23D ．直线与圆可以相切【答案】AC【解析】由题意，圆22(1)(1)4x y -+-=的圆心()1,1C ，半径2r =，直线20x my m +--=变形得()210x m y -+-=，得直线过定点()21A ，， ①()()22211112CA =-+-<，①直线与圆必相交，故A 对，B 、D 错；由平面几何知识可知，当直线与过定点A 和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，此时弦长为22223r CA -C 对；故选：AC ．2．（2022·全国·高二课时练习）方程()2y k x =-表示（） A ．通过点()2,0的所有直线B ．通过点()2,0且不垂直于y 轴的所有直线C ．通过点()2,0且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点()2,0且除去x 轴的所有直线【答案】C【解析】(2)y k x =-为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，且直线过点()2,0．故选：C3．（2022·全国·高二课时练习）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（） A ．直线l 的斜率可以等于0 B ．直线l 的斜率有可能不存在C ．直线l 可能过点()2,1D ．直线l 在x 轴、y 轴上的截距不可能相等【答案】B【解析】若0m =，则直线的斜率不存在，故B 正确；若0m ≠，直线的斜率存在，且斜率1k m=，不可能为0，故A 错误；将点(2,1)代入直线方程得：2110m m -+-=≠，故C 错误；令1m =，则直线方程为：0x y -=，横纵截距均为0，故D 错误.故选：B.重点四圆与圆的位置关系【例4-1】（2022·全国·高二课时练习）“a ＝3”是“圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切，22(0)021a --+=+，所以a ＝－3或a ＝3； 22(0)021a --+=-，所以a ＝1或a ＝－1．当3a =时，圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切，所以“a ＝3”是“圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切”的充分条件．当圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切时，3a =不一定成立，所以“a ＝3”是“圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切”的不必要条件．所以“a ＝3”是“圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切”的充分不必要条件．故选：A 【一隅三反】1．（2022·全国·高二课时练习）已知圆221:1C x y +=和222:540C x y x +-+=，则两圆的位置关系是（）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离【答案】C【解析】由题意，知圆1C 的圆心1(0,0)C ，半径1r =.圆2C 的方程可化为225924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则其圆心25,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径32R =.因为两圆的圆心距12531+22C C R r ===+，故两圆外切. 故选：C.2．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知圆1O 的方程为()()224x a y b -+-=，圆2O 的方程为()2211x y b +-+=，其中a ，b ∈R ．那么这两个圆的位置关系可能为（）A ．外离B ．外切C ．内含D ．内切【答案】ABD【解析】由题意可得圆心()1,O a b ，半径12r =，圆心()20,1O b -，半径21r =，则2121211O O a r r =+=-，所以两圆不可能内含．故选：ABD ．3．（2022·山东青岛·二模）（多选）已知22:60C x y x +-=，则下述正确的是（） A ．圆C 的半径3r =B ．点(1,22在圆C 的内部 C ．直线:330l x y +=与圆C 相切D ．圆()22:14C x y '++=与圆C 相交【答案】ACD【解析】由2260x y x +-=，得22(3)9x y -+=，则圆心(3,0)C ，半径13r =，所以A 正确，对于B ，因为点(1,2222(31)(022)233-+-=>，所以点(1,22在圆C 的外部，所以B 错误，对于C ，因为圆心(3,0)C 到直线:330l x y +=的距离为()12233313d r +===+，所以直线:330l x +=与圆C 相切，所以C 正确，对于D ，圆()22:14C x y '++=的圆心为(1,0)C '-，半径22r =，因为2(31)4CC '=+=，12124r r r r -<<+，所以圆()22:14C x y '++=与圆C 相交，所以D 正确，故选：ACD重点五切线问题【例5-1】（2022·四川·泸县五中高二期中（文））已知直线()10ax y a R -+=∈是圆22:124C x y 的一条对称轴，过点()2,A a --向圆C 作切线，切点为B ，则AB =（） A 6B 10 C 14D ．32【答案】C【解析】由圆22:124C x y ，可知该圆的圆心坐标为()1,2C ，半径为2，因为直线10ax y -+=是圆22:124C x y 的一条对称轴，所以圆心()1,2在直线10ax y -+=上，所以有2101a a -+=⇒=，因为过点()2,1A --向圆C 作切线，切点为B ，所以()223332AC =-+=所以22218414AB AC =--故选：C【例5-2】．（2022·全国·高三专题练习）直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，过点()1,P b --作圆C 的一条切线，切点为Q ，则PQ =（） A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】圆222:2250C x y bx by b +---+=的圆心为(,)C b b ，半径为25r b + 因为直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，所以直线40x y +-=经过(,)C b b ，所以40b b +-=，故2b =，由已知()1,2P --，(2,2)C ，22||=3+4PC ，圆的半径为3，所以224PQ PC r =-=，故选：B.【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）设点()P a b ，为直线3y x =-上一点，则由该点向圆222430x y x y ++-+=所作的切线长的最小值是（） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】由题知3a b =+，圆化简为：22(1)(2)2x y ++-=，则圆心()12-，2 所以由点()a b ，向圆所作的切线长为：()()()()22221223122a b b b ++--=+++--()2224182116b b b ++++ 当1b =-时，切线长取得最小值4. 故选：C.2．（2022·河北邯郸·高二期末）已知圆22:4480C x y x y +---=，直线:280l x y -+=，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点分别为点A ，B ，圆C 的圆心为C ，当四边形PACB 的面积最小时，AB =（） A 25B 45C 65D 85【答案】D【解析】圆C 化为()()222216x y -+-=，①圆心为()2,2C ，半径为4.若使四边形PACB 的面积最小，则需使PAC △的面积最小，即PA 最小， ①22PC PA AC =+C 到直线l 的距离，2228255d ⨯=-+=此时25PC =2PA =， 111222AB PC PA AC ⎛⎫⨯⨯=⨯⨯ ⎪⎝⎭， ①85225AB =. 故选：D3．（2022·全国·高二专题练习）若直线l 与圆()221:11C x y ++=，圆()222:14C x y -+=都相切，切点分别为A 、B ，则AB =（）A ．1B 2C 3D ．22【答案】C【解析】如下图所示，设直线l 交x 轴于点M ，由于直线l 与圆()221:11C x y ++=，圆()222:14C x y -+=都相切，切点分别为A 、B ，则1AC l ⊥，2BC l ⊥，12//AC BC ∴，2122BC AC ==，1C ∴为2MC 的中点，A ∴为BM 的中点，1122MC C C ∴==，由勾股定理可得22113AB MA MC AC ==-=故选：C.4．（2022·广东）过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为_______．【答案】2+-x y 0=【解析】方法1：由题知，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r =，所以过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为()0,2A 、()2,0B ，所以1AB k =-，所以直线AB 的方程为2y x =-+，即20x y +-=；方法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则由2211111142.12x y y y x x ⎧+=⎪-⎨=-⎪-⎩，可得112x y +=，同理可得222x y +=，所以直线AB 的方程为2+-x y 0=. 故答案为：20x y +-=5．（2022·全国·高二课时练习）设圆222220x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若23AB =l 的方程为___________. 【答案】0x =或34120x y +-=【解析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，由2202220x x y x y =⎧⎨+---=⎩，得013x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或013x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，此时23AB =.当直线l 的斜率存在时，设直线:3l y kx =+，因为圆222220x y x y +---=的圆心(1,1)C ，半径2r =，所以圆心C 到直线l 的距离2213211k k d k k -++++因为2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以222341k k ++=+，解得34k =-，所以直线l 的方程为334y x =-+，即34120x y +-=. 综上，直线l 的方程为0x =或34120x y +-=. 故答案为：0x =或34120x y +-=6．（2022·河北衡水·高三阶段练习）过圆22:2O x y +=上一点P 作圆()()22:442C x y -+-=的切线，切点为Q ，则PQ 的最小值为___________.【答案】4【解析】由题意(4,4)C ，半径为2CQ2222PQ PC CQ PC =--224442CO =+22:2CO x y +=的半径为2r =min 42232PC = 所以2min (32)24PQ -=．故答案为：4．。

第二章直线和圆的方程(章末小结)高二数学(人教A版选择性必修第一册)课件

(1)点关于点的对称：中点公式
考的题型之一，此类问题可借
(2)点关于直线的对称：AA'⊥l，AA'的中点在l上
[注]点(a,b)关于直线y=x的对称点为(b,a)
(3)线关于点的对称：斜率相等，求(1)型对称点
助光学性质：入射角等于反射
角，或使用对称思想(一般找对
称点)解决．
(4)线关于线的对称：求交点P，求(2)型对称点
过圆x 2 y 2 D1 x E1 y F1 0和直线Ax By C 0交点的圆系方程.
方法归纳——1.三点共线问题
用斜率公式解决三点共线问题的方法
方法归纳——2.两直线交点问题
求两直线的交点的方法：
设两条直线的方程是 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
直线的倾斜角越大，斜率越大(
)
α为钝角时，α越大，斜率越大，k由-∞变化到0；
所有的直线都有倾斜角；但不是所有直线都有斜率。
知识梳理——1.直线的倾斜角和斜率
类型
斜率存在
斜率不存在
条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2⇔k1=k2
l1∥l2⇔两条直线斜率都不存在
图示
对应关系 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2
相交
O1
O2
R
2
r
1个
R
内切
内含
B
A
r
O1
O2
O1
2个
1个
r
O2
O2
O1
O2
O1
0个
| O1O2 | R r | O1O2 | R r | R r || O1O2 | R r | O1O2 || R r | 0 | O1O2 || R r |

高中数学第二章-理与证明章末归纳总结

律，但推理的结论都有待于去证明它的正确性．
(2)演绎推理与合情推理不同，演绎推理是由一般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式，只要前提正确，推理形式正确，得到的结论就正确．
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(3)合情推理与演绎推理既有联系，又有区别，它们相辅相成，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性． (4)数学证明的两类基本方法是直接证明和间接证明．直接证明的两个基本方法：综合法与分析法；间接证明的基本方法：反证法．
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求证：正弦函数没有比2π小的正周期．
[ 证明] 假设T是正弦函数的周期，且0<T<2π，则对任意
实数x都有sin(x＋T)＝sinx成立．令x＝0，得sinT＝0，即T＝ kπ，k∈Z. 又0<T<2π，故T＝π，从而对任意实数x都有sin(x＋π)＝ sinx，
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设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的a，b，c 均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数，求证：方程f(x)＝0无整数根．
[ 证明]
假设方程f(x)＝0有一个整数根k， ①
则ak2＋bk＋c＝0，即ak2＋bk＝－c. ∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数， ∴a＋b必为偶数．
式探索、发现一些数学结论，可运用演绎推理来加以证
明．学会了综合法、分析法及反证法，能够运用数学归纳法证明与正整数相关的命题．解决上述问题的关键：一是要掌握合情推理与演绎推理的思维模式，熟悉分析法、综合法、反证法、数学归纳法的
思维过程及特点，以及用各种方法证题的基本模式；二是养

高二数学第二章推理与证明章末小结新人教A版选修2-2

1 1 a＋ b 只要证 a＋ b ＋ ab ≥ 8，
11 11 只要证 a＋ b ＋ b＋ a ≥ 8，
11 即证 a＋ b≥ 4.
也就是证
a＋ a
b＋a＋b
b ≥
4.
ba 即证 a＋ b≥ 2，
ba 由基本不等式可知，当 a>0， b>0 时， a＋ b≥ 2 成立，
所以原不等式成立．
知识点三反证法
反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题“若
p，则 q”的否
定是“若 p，则？q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若
p，则？q”为假，从
而可以导出“若 p，则 q”为真，从而达到证明的目的．反证法反映了“正难则反”的解题
思想．
一般以下题型用反证法： ①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；
推得所求结果，则用综合法，若从条件出发，应用相关的公理、定理、公式、结论难以推得
所求结果，则可以考虑使用分析法． (3) 解题反思，回顾解题过程，对所得结果和解题步骤进行检查，确保解题的严谨性和
完备性．
11 1 设 a>0， b>0， a＋ b＝ 1，求证： a＋ b＋ ab≥ 8.
证明：方法一综合法因为 a>0， b>0， a＋ b＝ 1，
圆
球
(1) 圆心与弦 ( 非直径 ) 中点的连线垂直于弦
球心与截面圆 ( 非轴截面 ) 圆心的连线垂直于截面
(2) 与圆心距离相等的两条弦长相等 (3) 圆的周长 c＝π d
与球心距离相等的两个截面圆面积相等球的表面积 S＝π d2
(4) 圆的面积 S＝ πd2 4
球的体积 V＝ π d3 6

高二数学第二章推理与证明章末小结新人教A版选修1-2

个根且 a ≤ 2k－1 a2k( k＝ 1，2， 3，… ) ． (1) 求 a1， a3， a5， a7 及 a2n( n≥4) ，不必证明；
(2) 求数列 { an} 的前 2n 项和 S2n .
2
解析：
(1)
方程
x
2
－
(3
k＋
k
2)
x＋
3
k
k
·２＝
0
的两根为
x
1＝
3
k，
x2＝
k
2
.
当 k＝1 时， x1＝ 3， x2＝ 2，∴ a1＝ 2；
∴ f ( x) 在 (0 ，＋∞ ) 上单调递增．
∴ f ( x) 的单调递增区间为 ( －∞， 0) 和 (0 ，＋∞ ) ．
(2) 解析：计算得 f (4) －5f (2) · g(2) ＝ 0，f (9) － 5f (3) · g(3) ＝ 0.
由此概括出对所有不等于零的实数 x 有 f ( x2) － 5f ( x) · g( x) ＝ 0.
任取 x1，x2∈ (0 ，＋∞ ) ，设 x1<x2，
1
11
1
x31－ x－ 1 x32－x－ 2
3
3
f ( x1) － f ( x2) ＝
5
－
5
＝
11
1
( 5
x31－
x32)
1 1＋ 1 1 .
x31· x32
11
1
∵ x31－ x32<0， 1＋ 1 1 >0，
x31· x32
∴ f ( x1) －f ( x2)<0.
n
1
1
1
1
x3－ x－

【高中数学第二章推理与证明章末总结新人教A版选修2-2

第二章推理与证明章末总结知识点一::情推理归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理．例1在平面上有n条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点，问这些直线把平面分成多少部分？例2已知点O 是△ABC 内任意一点，连接AO 、BO 、CO 并延长交边于A ′、B ′、C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”：OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABCS △ABC＝1，那么在空间四面体A —BCD 中存在怎样的结论？并证明．知识点二:演绎推理合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．演绎推理的一般模式是“三段论”．例3已知函数f (x )＝a x＋bx ，其中a >0，b >0，x ∈(0，＋∞)，确定f (x )的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．知识点三:综合法与分析法综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．例4已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：111111a b c⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8≥知识点四:反证法反证法是间接证明的一种基本方法，它不去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用正确的推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．在证明一些否定性命题、唯一性命题或含有“至多”、“至少”等字句的命题时，正面证明较难，可考虑反证法，即“正难则反”．例5已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能都大于14.知识点五:数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．例7数列|a n|满足S n＝2n－a n (n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．。

数学必修二第二章知识点总结

数学必修二第二章知识点总结一、函数的概念与表示方法1. 函数定义：一个从集合A到集合B的映射，记为$f: A\rightarrow B$。

2. 函数的表示方法：- 公式法：$y = f(x)$- 图像法：通过坐标平面上的点集表示函数- 表格法：列出一系列的$(x, f(x))$值对二、函数的性质1. 单调性：- 单调递增：对于任意$x_1 < x_2$，有$f(x_1) \leq f(x_2)$ - 单调递减：对于任意$x_1 < x_2$，有$f(x_1) \geq f(x_2)$ 2. 奇偶性：- 奇函数：满足$f(-x) = -f(x)$- 偶函数：满足$f(-x) = f(x)$3. 周期性：存在正数T，使得对于任意x，有$f(x + T) = f(x)$三、函数的基本类型1. 一次函数：$y = ax + b$，其中a和b为常数2. 二次函数：$y = ax^2 + bx + c$，其中a、b和c为常数3. 指数函数：$y = a^x$，其中a>0且a≠14. 对数函数：$y = \log_a(x)$，其中a>0且a≠15. 三角函数：- 正弦函数：$y = \sin(x)$- 余弦函数：$y = \cos(x)$- 正切函数：$y = \tan(x)$四、函数的运算1. 函数的加法、减法、乘法和除法：- $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$- $(f - g)(x) = f(x) - g(x)$- $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$- $(f / g)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$，要求$g(x) \neq 0$ 2. 复合函数：$(f \circ g)(x) = f(g(x))$五、函数的图像1. 一次函数图像：直线2. 二次函数图像：抛物线3. 指数函数图像：指数曲线4. 对数函数图像：对数曲线5. 三角函数图像：- 正弦函数：波形曲线- 余弦函数：波形曲线- 正切函数：周期性波动曲线六、函数的应用1. 实际问题的建模与解决2. 优化问题中的最值求解3. 物理和工程问题中的应用请将以上内容复制到Word文档中，并根据实际需要进行格式设置，如标题加粗、分点符号的使用、段落缩进等，以确保文档的专业性。

高二数学第二章的重要知识点概括整理

高二数学第二章的重要知识点概括整理高二数学第二章的重要知识点概括1一、不等式的性质1.两个实数a与b之间的大小关系2.不等式的性质(4)(乘法单调性)3.绝对值不等式的性质(2)如果a>0，那么(3)|a?b|=|a|?|b|.(5)|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.(6)|a1+a2+……+an|≤|a1|+|a2|+……+|an|.二、不等式的证明1.不等式证明的依据(2)不等式的性质(略)(3)重要不等式：①|a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、b∈R)②a2+b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)2.不等式的证明方法(1)比较法：要证明a>b(a0(a-b<0)，这种证明不等式的方法叫做比较法.用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号.(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法.(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法.证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等.三、解不等式1.解不等式问题的分类(1)解一元一次不等式.(2)解一元二次不等式.(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式.①解一元高次不等式;②解分式不等式;③解无理不等式;④解指数不等式;⑤解对数不等式;⑥解带绝对值的不等式;⑦解不等式组.2.解不等式时应特别注意下列几点：(1)正确应用不等式的基本性质.(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性.(3)注意代数式中未知数的取值范围.3.不等式的同解性高二数学第二章的重要知识点概括2一、随机事件主要掌握好(三四五)(1)事件的三种运算：并(和)、交(积)、差;注意差A-B可以表示成A与B的逆的积。

人教A选修2-211-12学年高二数学：第二章推理与证明章末归纳总结课件(人教A版选修2-2)

1 1 由 an＋ <an＋1＋＝c 得 an<α an an 10 当 2<c< 时，an<α≤3 3 10 c> 3 时，α>3，且 1≤an<α， 1 1 于是 α－an＋1＝a α(α－an)≤3(α－an)， n 1 α－an＋1≤3n(α－1) α－1 当 n>log3 时，α－an＋1≤α－3，an＋1≥3. α－3 10 10 因此 c> 3 不合要求，所以 c 的取值范围为2， 3 .
数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方法．它是一种完全归纳法，它的证明共分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为 “归纳基础”(或称特殊性)．第二步解决的是延续性(又称传递性)问题．运用数学归纳法证明有关命题要注意以下几点： 1．两个步骤缺一不可． 2．第二步中，证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程里，必须利用“归纳假设”即必须用上 “当n＝k时结论正确”这一结论．
－
4 的等比数列，
4n 1 1 2 1 n－1 bn＋3＝－3×4 ，即 bn＝－ 3 －3.
(2)a1＝1，a2＝c－1，由 a2>a1 得 c>2 用数学归纳法证明：当 c>2 时，an<an＋1 1 ①当 n＝1，a2＝c－a >a1，命题成立； 1 ②设当 n＝k 时，ak<ak＋1，则当 n＝k＋1 时，ak＋2 1 ＝c－ >c－a ＝ak＋1， ak＋1 k 故由①②知当 c>2 时，an<an＋1 c＋ c2－4 当 c>2 时，令 α＝， 2 1
[例 3]
若定义在区间 D 上函数 f(x)对于 D 上的几个
1 值 x1 ， x2 ， „ ， xn 总满足 n [f(x1) ＋ f(x2) ＋ „ ＋

高中数学第二章章末小结课件新人教B版选修23

＝CMk CCnNnN－－kM，k＝0,1,2，…，m，即超几何分布的分布列为
X
0
1
…
m
P
C0MCnN－－0M CnN
C1MCnN－－1M CnN
…
CkMCnN－－kM CnN
其中 k＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋.
[注意] 解决超几何分布的有关问题时，注意识别模
型，即将试验中涉及的事物看成相应的产品、次品，得到
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
则称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
n
称 D(X)＝ (xi－E(X))2pi 为随机变量 X 的方差，
i＝1
DX为随机变量 X 的标准差．
分布是二项分布的特殊形式．
[说明] 若随机变量X～B(n，p)，则需明确在n 次独立重复试验中，每次试验的两种结果中哪一个结果出现k次．
(4)二项分布的均值与方差： ①二点分布：若随机变量X服从参数为p的二点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． ②二项分布：若随机变量X～B(n，p)，则E(X)＝ np，D(X)＝np(1－p)．
4．几种常见的分布列
(1)二点分布：如果随机变量X的分布列具有下表的形式，则
称X服从二点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率.
X
0
1
P
1－pΒιβλιοθήκη p二点分布又称 0－1 分布、伯努利分布．
(2)超几何分布：一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，
任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 X＝k 的概率为 P(X＝k)

数学必修二第二章章末归纳总结

(2)连接 BD.因为 AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD 为正三角形．因为 F 是 AD 的中点，所以 BF⊥AD.
因为平面 PAD⊥平面 ABCD，BF⊂平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF⊂平面 BEF，所以平面 BEF⊥平面 PAD.
b∥α，则 a∥b；④如果直线 a 与平面 α 内的无数条直线平行，
那么直线 a 必平行于平面 α.
A．0
B．1
C．2
D．3
[答案] A
第二章章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
[解析]
序正号误
原因分析
如右图，长方体 ABCD－A′B′C′D′中，
AB∥DC，AB 却在过
① × DC 的平面 ABCD 内，
①不正确
第二章章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
序号正误
原因分析
如上图，AB∥平面 A′B′C′D′，B′C′
② × ⊂平面 A′B′C′D′，AB 与 B′C′异
面，②不正确
如上图，AB∥平面 CDD′C′，BB′∥平
③ × 面 CDD′C′，AB∩BB′＝B，即 AB 与
知识结构
第二章章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
点、直线、平面之间的位置关系
平面平平面面的的概性念质及公公公其理理理点表12的3示：：：公如过如共果不果直一在两线条一个直条不线直重上线合的上的的两平三点面点在有，一一有个个且平公只面共有内点一，，个那那平么么面这它条们直有线且在只此有平一面条内过该
直线与平面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任

(完整版)高中数学必修2第二章知识点总结

高中数学必修2知识点总结立体几何初步特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）chS =直棱柱侧面积'21ch S =正棱锥侧面积 ')(2121h c c S +=正棱台侧面积rhS π2=圆柱侧()l r r S +=π2圆柱表rlS π=圆锥侧面积()l r r S +=π圆锥表lR r S π)(+=圆台侧面积()22R Rl rl r S +++=π圆台表柱体、锥体、台体的体积公式V Sh=柱 13V Sh =锥 ''1()3V S S S S h =++台2V Sh r h π==圆柱 h r V 231π=圆锥 ''2211()()33V S S S S h r rR R hπ=++=++圆台（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24R π第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义：平面是无限延展的 2 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内.（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据. 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

高中数学第2章总结

n
1 4 1 3 1 2 而已知 i ＝ n ＋ n ＋ n ，故此时 ak－1＝a2＝ 4 2 4 i＝ 1
n 3
1 ，ak－2＝a1＝0. 4 1 5 1 同理，当 k＝4,5,6 时，ak－1 分别为，，，那 3 12 2 2 3 4 5 6 么 k＝2,3,4,5,6 时，ak－1 为，，，，， 12 12 12 12 12 k 可以推测 ak－1＝ . 12
1 1 25 只需证 x ＋y ＋ 2＋ 2＋4≥ . x y 2 1－2xy ∵ x ＋ y ＝ 1 ，∴只需证 (1 － 2xy) ＋ 2 2 xy 17 ≥ ， 2 3 3 2 2 即只需证 4x y ＋15x y ＋4xy－2≤0，即只需证(4xy－1)(x2y2＋4xy＋2)≤0.
即只需证[4xy－(x＋y)2](x2y2＋4xy＋2)≤0，只需证(x－y)2(x2y2＋4xy＋2)≥0，由于 x，y 均大于 0，故上式成立． 1 1 25 2 2 故所证不等式x＋x ＋y＋ y ≥ 成立． 2
第2章推理与证明本章总结
知识体系网络
专题探究精讲
归纳推理
归纳推理是由部分特殊的对象特征得到一般性的结论的推理方法，通过归纳推理可以发现新知识、探索新结论、探索解题思路、预测答案等．
例1
观察圆周上 n个点之间所连的弦，发现两
个点可以连成1条弦，3个点可以连成3条弦，4个
点可以连成6条弦，5个点可以连成10条弦，由此可归纳出什么规律？【思路点拨】先找出 n ＝ 2,3,4 时的结果，再总
例5
求证方程2x＝3有且只有一个根．
【思路点拨】
本题中“有且只有”含有两层含
义，一层为“有”即存在，另一层为“只有”即

2019-2020学年高二数学第二章推理与证明章末小结新人教A版选修2-2

【金版学案】2015-2016高中数学第二章推理与证明章末小结新人教A 版选修2-2知识点一合情推理与演绎推理(1)归纳推理的难点是由部分结果得到一般结论，破解的方法是充分考虑这部分结果提供的信息，从中发现一般规律，解题的一般步骤是：①对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；②提出带有规律性的结论，即猜想；③检验猜想．(2)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能．找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质． (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦． (2)与圆心距离相等的两弦相等． (3)圆的周长c ＝πd (d 为直径)． (4)圆的面积S ＝π4d 2.解析：圆与球具有下列相似性质．1．圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合，球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合．2．是平面内封闭的曲线所围成的对称图形，球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．与圆的有关性质相比较，可以推测球的有关性质：由实数构成的集合A 满足条件：若a ∈A ，a ≠1，则11－a ∈A ，证明：(1)若2∈A ，则集合A 必有另外两个元素，并求出这两个元素；(2)非空集合A 中至少有三个不同元素．分析：从集合中的元素满足的条件“若a ∈A ，则1a －1∈A (a ≠1)”出发；当a ＝2时，依次进行检验，即可得证．证明：(1)∵a ∈A ，a ≠1，则1a －1∈A . ∴2∈A 时，有11－2＝－1∈A .由于－1≠1，有11－（－1）＝12∈A .由于12≠1，有11－12＝2∈A .如此循环可知集合A 中的另外两个元素为12，－1.(2)∵集合A 非空，故存在a ∈A ，a ≠1，有11－a∈A ， ∴11－a ∈A 且11－a≠1，即a ≠0时，有11－11－a ＝a －1a ∈A ，即如此循环出现三个数a ，11－a ，a －1a ∈A .若a ＝11－a ，则a 2－a ＋1＝0，方程无实根．若＝11－a ＝a －1a ，则a 2－a ＋1＝0，方程无实根．若a ＝a －1a，则a 2－a ＋1＝0，方程无实根． ∴a ，11－a ，a －1a互不相等，故集合A 中至少有三个不同元素．知识点二综合法与分析法分析法和综合法是对立统一的两种方法，在使用这两种方法解题是，一般步骤是： (1)分析条件和结论之间的联系和区别，选择解题方向．(2)确定恰当的解题方法，若能够结合题设条件，通过相关的公理、定理、公式、结论推得所求结果，则用综合法，若从条件出发，应用相关的公理、定理、公式、结论难以推得所求结果，则可以考虑使用分析法．(3)解题反思，回顾解题过程，对所得结果和解题步骤进行检查，确保解题的严谨性和完备性．设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.证明：方法一综合法因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，所以1ab ≥4，又1a ＋1b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4，所以1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．方法二分析法因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab≥8.只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab≥8，只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8，即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb≥4. 即证b a ＋a b≥2，由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋a b≥2成立，所以原不等式成立．知识点三反证法反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题“若p ，则q ”的否定是“若p ，则¬q ”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p ，则¬q ”为假，从而可以导出“若p ，则q ”为真，从而达到证明的目的．反证法反映了“正难则反”的解题思想．一般以下题型用反证法：①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；②否定性命题、唯一性命题，存在性命题、“至多”“至少”型命题；③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明比较困难，往往用反证法．用反证法证明不等式要把握三点：①必须先否定结论，即肯定结论的反面；②必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．已知直线ax －y ＝1与曲线x 2－2y 2＝1相交于P ，Q 两点，证明：不存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .证明：假设存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，则OP ⊥OQ . 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1x 1·y 2x 2＝－1，所以(ax 1－1)(ax 2－1)＝－x 1·x 2，即(1＋a 2)x 1·x 2－a (x 1＋x 2)＋1＝0. 由题意得(1－2a 2)x 2＋4ax －3＝0，所以x 1＋x 2＝－4a 1－2a 2，x 1·x 2＝－31－2a 2.所以(1＋a 2)·－31－2a 2－a ·－4a 1－2a 2＋1＝0，即a 2＝－2，这是不可能的．所以假设不成立．故不存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .知识点三数学归纳法数学归纳法的两关关注(1)关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n 0是多少．(2)关注点二：由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ∈N *.(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式； (2)当a 1≥2时，证明对所有的n ≥1，有a n ≥n ＋1. 解析：(1)由a 1＝2，得a 2＝a 21－a 1＋1＝3. 由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4. 由a 3＝4，得a 4＝a 23－3a 3＋1＝5.由此猜想a n 的一个通项公式为a n ＝n ＋1(n ≥1)．(2)证明：①当n ＝1时，∵a n ＝a 1≥2，n ＋1＝1＋1＝2，∴不等式成立． ②假设当n ＝k 时不等式成立，即a k ≥k ＋1.那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋1)(k ＋1－k )＋1＝k ＋2.也就是说，当n ＝k ＋1时，a k ＋1>(k ＋1)＋1. 根据①和②，对于所有n ≥1，有a n ≥n ＋1.一、选择题1．“因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是增函数(结论)”，以上推理的错误的原因是(A ) A ．大前提错误导致结论错 B ．小前提错误导致结论错 C ．推理形式错误导致结论错 D ．大前提和小前提错误导致结论错解析：推理形式没有错误，而大前提“y ＝a x是增函数”是不正确的，当0＜a ＜1时，y ＝a x是减函数；当a ＞1时，y ＝a x是增函数．故选A.2．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋1n －1＝2(1n ＋2＋1n ＋4＋…12n )时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证(B )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立解析：因为n 为正偶数，n ＝k (k ≥2为偶数)，所以下一步要证明的命题也应该是在偶数条件下成立，所以，还需要证明n ＝k ＋2时等式成立，故选B.3．若m ，n 是正整数，则m ＋n >mn 成立的充要条件是(D ) A ．m ，n 都等于1 B ．m ，n 都不等于2 C ．m ，n 都大于1 D ．m ，n 至少有一个等于1解析：∵m ＋n >mn ，∴(m －1)(n －1)<1. ∵m ，n ∈N *，∴(m －1)(n －1)∈Z， ∴(m －1)(n －1)＝0. ∴m ＝1或n ＝1，故选D. 4．下列结论正确的是(B )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x >0时，x ＋1x≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值解析：A 错在lg x 的正负不清；C 错在等号成立的条件不存在；根据函数f (x )＝x －1x的单调性，当x ＝2时，f (2)max ＝32，故D 错．故选B.5．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值(D ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0 D ．不大于0 解析：解法一因为a ＋b ＋c ＝0，所以a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，所以ab ＋bc ＋ca ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.解法二令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ca ＝0，否则a 、b 异号，所以ab ＋bc ＋ca ＝ab ＜0，排除A 、B 、C ，故选D.6．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为(A )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c解析：令n ＝1，得1＝3(a －b )＋c ，令n ＝2，得1＋2×3＝9(2a －b )＋c ，令n ＝3，得1＋2×3＋3×32＝27(3a －b )＋c . 即⎩⎪⎨⎪⎧3a －3b ＋c ＝118a －9b ＋c ＝781a －27b ＋c ＝34，∴a ＝12，b ＝c ＝14.故选A.7．若凸k 边形的内角和为f (k )，则凸(k ＋1)边形的内角和f (k ＋1)(k ≥3且k ∈N *)等于(B )A ．f (k )＋π2 B ．f (k )＋πC ．f (k )＋32π D ．f (k )＋2π解析：由凸k 边形到凸(k ＋1)边形，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.故选B.8．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10＝(C )A ．18B ．24C ．60D ．90解析：由a 24＝a 3a 7得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，2a 1＋3d ＝0.再由S 8＝8a 1＋562d ＝32，得2a 1＋7d ＝8，则d ＝2，a 1＝－3.所以S 10＝10a 1＋902d ＝60，选C.二、填空题9．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，则a 5＝________；前8项的和S 8＝________(用数字作答)．解析：a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，a 3＝2a 2＝4，a 4＝2a 3＝8，a 5＝2a 4＝16，易知S 8＝28－12－1＝255，∴应填255.答案：16 25510．(2014·郑州高二检测)图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是________．解析：分别观察正方体的个数为：1，1＋5，1＋5＋9，…归纳可知，第n 个叠放图形中共有n 层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，所以S n ＝n ＋[n (n －1)×4]÷2＝2n 2－n ，所以S 7＝2×72－7＝91. 答案：9111．(2014·厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN ，如果用S 1、S 2、S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：类比如下：正方形↔正方体；截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.(这个结论是正确的，证明略)答案：S 2＝S 21＋S 22＋S 2312．(2014·洛阳部分重点中学教学检测)观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n （n ＋1）×12n ＝________．解析：由已知中的等式：31×2×12＝1－122 31×2×12＋42×3×122＝1－13×22， 31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，所以对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n （n ＋1）×12n ＝1－1（n ＋1）2n .答案：1－1（n ＋1）·2n三、解答题13．证明不等式：12×34×…×2n －12n <12n ＋1(n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝13，显然12 < 13，不等式成立．(2)假设n ＝k 时，不等式成立，即12×34×…×2k －12k <12k ＋1，则n ＝k ＋1时，12×34×…×2k －12k ×2k ＋12k ＋2<12k ＋1×2k ＋12k ＋2＝2k ＋12k ＋2，要证n ＝k ＋1时，不等式成立，只要2k ＋12k ＋2<12k ＋3成立．即证(2k ＋1)(2k ＋3)<(2k ＋2)2，即证4k 2＋8k ＋3<4k 2＋8k ＋4. 该不等式显然成立．即n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n ，不等式成立．14．如图所示，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点．(1)若CD ＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF ，求MN 的长； (2)用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线． (1)解析：如下图，取CD 的中点G ，连接MG ，NG ，因为ABCD ，DCEF 为正方形，且边长为2，所以MG ⊥CD ，MG ＝2，NG ＝ 2. 因为平面ABCD ⊥平面DCEF ，所以MG ⊥平面DCEF . 所以MG ⊥GN .所以MN ＝MG 2＋GN 2＝ 6.(2)证明：假设直线ME 与BN 共面，则AB ⊂平面MBEN ，且平面MBEN ∩平面DCEF ＝EN .由已知，两正方形ABCD 和DCEF 不共面，故AB ⊄平面DCEF .又AB ∥CD ，所以AB ∥平面DCEF . 所以EN ∥AB ，又AB ∥CD ∥EF ，所以EF ∥NE ，这与EF ∩EN ＝E 矛盾，故假设不成立．所以ME 与BN 不共面，它们是异面直线．15．在圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)中，AB 为直径，C 为圆上异于A 、B 的任意一点，则有k AC ·k BC＝－1.你能用类比的方法得出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中有什么样的结论？并加以证明．解析：类比得到的结论是：在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，A 、B 分别是椭圆长轴的左右端点，点C (x ，y )是椭圆上不同于A 、B 的任意一点，则k AC ·k BC ＝－b 2a2证明如下：设A (x 0，y 0)为椭圆上的任意一点，则A 关于中心的对称点B 的坐标为B (－x 0，－y 0)，点P (x ，y )为椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，则k AP ·k BP ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20.由于A 、B 、P 三点在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 20a 2＋y20b 2＝1.两式相减得，x 2－x 20a 2＋y 2－y 20b 2＝0，∴y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，即k AP ·k BP ＝－b 2a2. 故在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，长轴两个端点为A 、B 、P 为异于A 、B 的椭圆上的任意一点，则有k AB ·k BP ＝－b 2a2.16．在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．解析：(1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 得a 21＝1，∵a n >0，∴a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2得a 22＋2a 2－1＝0.∴a 2＝2－1.由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3得a 23＋22a 3－1＝0.∴a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)．证明如下：①n ＝1时，a 1＝1－0命题成立． ②假设n ＝k 时，a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ， ∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0.∴a k ＋1＝k ＋1－k . 即n ＝k ＋1时，命题成立，由①②知，n ∈N *，a n ＝n －n －1.。