上海中考补习班初三上册锐角三角比专题测试

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上海初三上数学专题训练之锐角三角比章节复习

学科教师辅导讲义讲义编号：学员编号：年级：初三课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题锐角三角比章节复习授课时间教学目标1、能推导并熟记30°、45°、60°角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式；2、理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角比解直角三角形．重点、难点重点：熟记30°、45°、60°角的三角比值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式，直角三角形的解法；难点：锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用．考点及考试要求特殊角的三角比，解三角形。

教学内容锐角的三角比章节测试卷一、填空题1、计算：cot440·cot450·cot460＝；2、△ABC中，∠C = 90°，BCAB是∠B的，又是∠A的。

3、在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 4，AB = 5，则cotA = 。

4、在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = a，∠B = α，则AB = 。

5、在Rt△ABC中，∠B = 90°，cosA = 23，则tanC = 。

6、在Rt△ABC中，∠C = 90°，CD⊥AB于D，则图中可以表示sinA的线段比是。

7、△ABC中，锐角∠A = α，AB = m，AC = n，则S△ABC = 。

8、计算：4sin60°－ 2 cos45° + cot30° = 。

9、若3tan(α－10°) = 3 ，则锐角α = 度。

10、在△ABC中，∠C = 90°，a = 4 6 ，b = 12 2 ，则∠A = 度。

沪教版九年级上册数学第二十五章锐角的三角比含答案(必刷题)

沪教版九年级上册数学第二十五章锐角的三角比含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、拦水坝横断面如图所示，迎水坡的坡度（坡的竖直高度与水平宽度的比）是，坝高，则坡面的长度是（）A. B. C. D.2、如图，一个梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是2米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离（BC的长）为（）A. 米B. 米C. 米D. 米3、已知CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AC＝8，BC＝6，则cos∠BCD的值是（）A. B. C. D.4、如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC= ，∠ADC= ，则竹竿AB与AD的长度之比为A. B. C. D.5、如图，⊙O与正方形ABCD是两边AB，AD相切，DE与⊙O相切于点E，若正方形ABCD的边长为5，DE＝3，则tan∠ODE为（）A. B. C. D.6、如图，已知点A（-1，0）和点B（1，2），在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）A.2个B.3个C.6个D.7个7、在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为（）A.70°B.110°C.120°D.141°8、某人沿倾斜角为30°的斜坡前进50米，则他上升的最大高度为（）A.25米B.25 米C.20 米D.25 米9、下列计算结果正确的是（）A. （﹣a3）2=a9B. a2•a3=a6C. ﹣22=﹣2D.-=110、在Rt△ABC中，∠C=900，则下列式子成立的是（）A.sinA=sinBB.sinA=cosBC.tanA=tanBD.cosA=tanB11、已知Rt△ABC中，∠C=90º，那么cosA表示（）的值A. B. C. D.12、国家近年来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后1公里”问题，电力公司在改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1：0.75的山坡CD的平台BC上（如图），测得∠AED＝52°，BC＝5米，CD＝35米，DE ＝19米，则铁塔AB的高度约为（参考数据：sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）（）A.28米B.29.6米C.36.6米D.57.6米13、对于sin60°有下列说法：①sin60°是一个无理数；②sin60°>sin50°；③sin60°=6sin10°。

沪教版(上海)九年级上册数学 25.1锐角三角比的意义同步测试

25.1锐角三角比的意义同步测试1.如果Rt ⊿ABC 的各边的长都扩大为原来的k 倍，那么锐角A 的正切、余切值是（）A.都扩大为原来的k 倍B.都缩小为原来的k 倍C.没有变化D.不能确定 2.如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o ，若AB ＝5，AC ＝4，则cotA ＝（）A ．35B ．45C ．34D ．433.在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，tanA=23，则边AC 的长是( ) A ．13 B ．3 C ．43 D ． 54.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB,垂足为点D,则____________________,,__________===CD ADBC AC BD CD5.等腰三角形腰长与底边之比是5:6，则底角的正切值等于__________6.如图，已知点P 到x 轴的距离为10，3cot =α，则点P 的坐标为________7.在Rt △ABC 中，∠C=900，tanA=2,AB=4,那么AC=__________8.设△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a,b,c,且897ac c b ba +=+=+,求∠A 的余切。

CB AC9.在△ABC中，AB=2,AC=3，BC=4，求tanC的值10.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的正切和余切的数量关系是________∠B是∠A的余角，那么它们的正切、余切值之间有怎样的数量关系？11.（1）Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=45o，计算∠A的对边与邻边比.（2）若∠A=60o呢？（3）一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个定值？12. 直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的长度的比值随着这个锐角的大小的变化关系是怎么样？13.在Rt⊿ABC中，∠C=900，AC=3,BC=2,求tanA和tanB的值.14..在Rt ⊿ABC 中，∠C=900，BC=4，AB=5，求cotA 和cotB 的值.15.Rt △ABC 与Rt △A ’B ’C’，∠C=∠DC ’A =90°，∠A= ，那么CA BC与AC DC ''有什么关系? 结论：CA BC _______A C DC ''D B C参考答案1. C2. D3. A4. cot ∠BCD tanB cotA5. 34 6. （30，10） 7.554 8. cotA=19. 715 10. tanA=Acot 1 tanA=cotB 11. （1）1 （2）3 （3）是定值12. 随着这个锐角增大而增大13. tanA=32 tanB=32 14. cotA=43 cotB =34 15. = 均等于tan α。

沪教版(上海)九年级上册数学第25章锐角的三角比单元测试卷

第25章锐角的三角比单元测试卷第Ⅰ卷（选择题）一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（）A．B．C．D．2．如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的余切值（）A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的C．没有变化D．不能确定3．若锐角α满足co sα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°4．如果α是锐角，且sinα=，那么cos（90°﹣α）的值为（）A．B．C．D．5．在△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB的值为（）A．B．1 C．D．6．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1=，则∠2的度数为（）A．120°B．135°C．145°D．150°7．计算：tan45°+sin30°= （）A．2 B．C．D．8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC 于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm9．如图，△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB的长为（）A ．B ．C．5 D ．10．如图所示，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=，AC上有一点E，满足AE：CE=2：3，则tan∠ADE的值是（）A ．B ．C ．D ．2第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．已知＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是．12．若α为锐角，且，则m的取值范围是．13．已知α为一锐角，且cosα=sin60°，则α=度．14．已知∠A+∠B=90°，若，则cosB=．15．比较大小：sin44°cos44°（填＞、＜或=）．16．已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且sinA＜，那么∠A的取值范是．17．将sin20°、cos20°、cos40°、cos80°的值由小到大的顺序排列．18．计算：tan44°•tan45°•tan46°=．三．解答题（共10小题，满分66分）19．（1）计算：sin45°．(2)计算（3﹣π）0+﹣2cos60°．20．如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（≈1.732）20．放风筝是大家喜爱的一种运动，星期天的上午小明在市政府广场上放风筝．如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°．已知点A，B，C在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？（风筝线AD，BD 均为线段，≈1.414，≈1.732，最后结果精确到1米）．421．目前，崇明县正在积极创建全国县级文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统，如图，在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，）22．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为42cm，灯罩BC长为32cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）23．如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．24．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为20m，求这栋楼的高度．（结果保留根号）625．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）．26．△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的长？参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC==12，∴sinA==，故选：B．2．如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的余切值（）A．扩大为原来的3倍B ．缩小为原来的C．没有变化D．不能确定【解答】解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变．故选：C．3．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°【解答】解：∵α是锐角，∴cosα＞0，∵cosα＜，∴0＜cosα＜，又∵cos90°=0，cos45°=，∴45°＜α＜90°；∵α是锐角，∴tanα＞0，∵tanα＜，∴0＜tanα＜，又∵tan0°=0，tan60°=，10＜α＜60°；故45°＜α＜60°．故选B．4．如果α是锐角，且sinα=，那么cos（90°﹣α）的值为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵α为锐角，，∴cos（90°﹣α）=sinα=．故选B．5．在△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB的值为（）A ．B．1 C ．D ．【解答】解：由△ABC中，∠C=90°，cosA=，得sinB=．由B是锐角，得∠B=30°，tanB=tan30°=，故选：C．6．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1=，则∠2的度数为（）A．120°B．135°C．145°D．150°【解答】解：∵sin∠1=，∴∠1=45°，∵直角△EFG中，∠3=90°﹣∠1=90°﹣45°=45°，∴∠4=180°﹣∠3=135°，又∵AB∥CD，∴∠2=∠4=135°．2故选B．7．（3分）计算：tan45°+sin30°=（）A．2 B．C．D．【解答】解：∵tan45°=1，sin30°=，∴tan45°+sin30°=1+=．故选C．8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC 于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【解答】解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，∴BD=AD，∴CD+BD=8，∵cos∠BDC==，∴=，解得：CD=3，BD=5，∴BC=4．故选A．9．如图，△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB的长为（）A．B．C．5 D．【解答】解：作CD⊥AB于D．在直角三角形ACD中，∠A=30°，AC=，∴CD=，AD=3．在直角三角形BCD中，，∴BD==2．∴AB=AD+BD=5．故选C．10．如图所示，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=，AC上有一点E，满足AE：CE=2：3，则tan∠ADE的值是（）A．B．C．D．【解答】解：过E点作CD的平行线交AD于F．如图：∵AD是等腰△ABC底边上的高，tan∠B=，∴EF⊥AD，tan∠C=．设AE=2a，∵AE：CE=2：3，∴CE=3a，AC=5a．∵tan∠C=，∴sin∠C=，cos∠C=．在直角△ADC中，AD=ACsin∠C=5a×=3a．在直角△AFE中，AF=AE×sin∠AEF=AE×sin∠C=2a×=．EF=AE×cos∠AEF=AE×cos∠C=2a×=．在直角△DFE中，tan∠ADE=．故选B．二．填空题11．已知＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是20°＜∠A＜30°．【解答】解：∵＜cosA＜sin70°，sin70°=cos20°，∴cos30°＜cosA＜cos20°，∴20°＜∠A＜30°．故答案为：20°＜∠A＜30°．12．若α为锐角，且，则m的取值范围是．【解答】解：∵0＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得，故答案为：．13．已知α为一锐角，且cosα=sin60°，则α=30度．【解答】解：∵sin60°=cos（90°﹣60°），∴cosα=cos（90°﹣60°）=cos30°，即锐角α=30°．故答案为：30．14．已知∠A+∠B=90°，若，则cosB=．【解答】解：由∠A+∠B=90°，若，得cosB=，故答案为：．15．比较大小：sin44°＜cos44°（填＞、＜或=）．【解答】解：∵cos44°=sin46°，正弦值随着角的增大而增大，又∵44°＜46°，∴sin44°＜cos44°．故答案为＜．16．已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且sinA＜，那么∠A的取值范是0°＜∠A＜45°．【解答】解：∵∠A是Rt△ABC的一个内角，∴∠A＜90°，∵sinA＜，∴0°＜∠A＜45°．17．将sin20°、cos20°、cos40°、cos80°的值由小到大的顺序排列cos80°＜sin20°＜cos40°＜cos20°．【解答】解：∵sin20°=cos70°，余弦值随着角的增大而减小，∴cos80°＜sin20°＜cos40°＜cos20°．18．计算：cot44°•cot45°•cot46°=1．【解答】解：cot44°•cot45°•cot46°=cot44°•cot46°•cot45°=1•cot45°=1．三．解答题19．如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（≈1.732）【解答】解：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险理由如下：如图所示．则有∠ABD=30°，∠ACD=60°．∴∠CAB=∠ABD，∴BC=AC=200海里．在Rt△ACD中，设CD=x海里，则AC=2x，AD===x，在Rt△ABD中，AB=2AD=2x，BD===3x，又∵BD=BC+CD，∴3x=200+x，∴x=100．∴AD=x=100≈173.2，∵173.2海里＞170海里，∴轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的危险．20．放风筝是大家喜爱的一种运动，星期天的上午小明在市政府广场上放风筝．如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°．已知点A，B，C在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？（风筝线AD，BD均为线段，≈1.414，≈1.732，最后结果精确到1米）．【解答】解：作DH⊥BC于H，设DH=x米．∵∠ACD=90°，∴在直角△ADH中，∠DAH=30°，AD=2DH=2x，AH=DH÷tan30°=x，在直角△BDH中，∠DBH=45°，BH=DH=x，BD=x，∵AH﹣BH=AB=10米，∴x﹣x=10，∴x=5（+1），∴小明此时所收回的风筝的长度为：AD﹣BD=2x﹣x=（2﹣）×5（+1）≈（2﹣1.414）×5×（1.732+1）≈8米．答：小明此时所收回的风筝线的长度约是8米．21．目前，崇明县正在积极创建全国县级文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统，如图，在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，）【解答】解：此车没有超速．理由如下：过C作CH⊥MN，垂足为H，∵∠CBN=60°，BC=200米，∴CH=BC•sin60°=200×=100（米），BH=BC•cos60°=100（米），∵∠CAN=45°，∴AH=CH=100米，∴AB=100﹣100≈73（m），∴车速为m/s．∵60千米/小时=m/s，又∵14.6＜，∴此车没有超速．22．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为42cm，灯罩BC长为32cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）【解答】解：由题意得：CD⊥AE，过点B作BM⊥CE，BF⊥EA．∵灯罩BC长为32cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，∵CM⊥MB，即三角形CMB为直角三角形，∴sin30°==，∴CM=16cm，在直角三角形ABF中，sin60°=，∴=，解得：BF=21，又∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°，∴四边形BFDM为矩形，∴MD=BF，∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=16+21+2≈54.4cm．答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是54.4cm．23．如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．【解答】解：设EC=x，在Rt△BCE中，tan∠EBC=，则BE==x，在Rt△ACE中，tan∠EAC=，则AE==x，∵AB+BE=AE，∴300+x=x，解得：x=1800，这座山的高度CD=DE﹣EC=3700﹣1800=1900（米）．答：这座山的高度是1900米．24．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为20m，求这栋楼的高度．（结果保留根号）【解答】解：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，∠BAD=45°，∴BD=AD=20．在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，∴CD=AD=20．∴BC=BD+CD=20+20（m）．答：这栋楼高为（20+20）m．25．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）．【解答】解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE 是矩形，由题意得，BC=EF=6米，BE=CF=20米，斜坡AB的坡度i为1：2.5，在Rt△ABE中，=，∴AE=50米．在Rt△CFD中，∠D=30°，∴DF=CFcot∠D=20米，∴AD=AE+EF+FD=50+6+20≈90.6（米）．故坝底AD的长度约为90.6米．26．△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的长？【解答】解：过点C作CD⊥AB于D点，在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4，∴CD=AC=×4=2，∴AD===2，在Rt△CDB中，∠B=45°，CD=2，∴CD=DB=2，∴AB=AD+DB=2+2．。

沪教版(上海)九年级数学第二十五章锐角的三角比基础测试卷

沪教版（上海）九年级数学第二十五章锐角的三角比基础测试卷一、单选题1．下列命题中，真命题的是（）A ．四条边相等的四边形是正方形B ．对角线相等的四边形是矩形C ．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形D ．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形2．计算tan45°+cos60°的值为（）A 12B ．22C ．32D ．12+3．在ABC ∆中，90C ∠=︒，若cos 2B =，则sin A 的值为( )A B C D ．124．如图，在ABC ∆中，90C =∠，8AC cm =，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ，若3cos 5BDC ∠=，则BC 的长是( ).A ．10cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm5．下列语句中，不正确的是（）A ．两个三角形相似，且有一条边相等，则两个三角形全等B ．两个三角形相似，且周长相等，则两个三角形全等C ．两个三角形相似，且面积相等，则两个三角形全等D ．两个三角形相似，且相似比为1，则两个三角形全等6．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的点，若AC ＝CD ＝DB ，则cos ∠CAD ＝（）A ．13B ．2C ．12D ．2二、填空题7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5 cm ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，AD ＝10√33cm ，则BC ＝ cm.8．在Rt ABC 中，90C ∠=，3AB BC =，则sin B =________，cos B =________．9．Rt △ABC 中，∠A=900，BC=4,有一个内角为600，点P 是直线AB 上不同于A 、B 的一点，且∠ACP=300，则PB 的长为．10．如图，△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，BC ＝5，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点O ，过O 点作DE ∥BC ，则△ADE 的周长为__．11．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁，量出杆长1m 处的D 点离地面的高度0.6DE m =，则C 到地面的距离为_________m ；又量得杆底与坝脚的距离3AB m =，则石坝的坡度为__________．12．如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B 点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于海里.13．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i＝1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内），在E处处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为__米．（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）14．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米.那么斜面AB的坡度为．15．如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是_____米．（结果保留根号）16．比较大小：tan 50°_____tan 48°.17．在△ABC 中，（2sin A ）2＝0，则△ABC 的形状为_____． 18．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 在AB 边上，AD AC =，点E 在BC 边上，12BAE ABC ∠=∠，点F 为AE 上一点，2ADF BCD ∠=∠，若2DF =，1BD =，则AD 的长为___________．三、解答题19．如图，OA 的方向是北偏东15°，OB 的方向是西偏北50度．（1）若∠AOC=∠AOB ，则OC 的方向是；（2）OD 是OB 的反向延长线，OD 的方向是；（3）∠BOD 可看作是OB 绕点O 逆时针方向至OD ，作∠BOD 的平分线OE ，OE 的方向是；（4）在（1）、（2）、（3）的条件下，∠COE= ．20．如图，已知AB 是O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作O 的切线与CD 长线交于点F ，8AC =，:6:5CE ED =，:2:3AE EB =．求：（1）AB 的长度；（2）tan ECB ∠的值．21．如图，在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于E ，过E 做EF ⊥AD 于F ，连接BF 交AE 于P ，连接PD ．（1）求证：四边形ABEF 是正方形；（2）如果AB=6，AD=8，求tan ∠ADP 的值．22．已知：如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上一点，CD ⊥AB ，垂足为点D ，F 是弧AC 的中点，OF 与AC 相交于点E ，AC=8 cm ，EF=2cm.（1）求AO 的长；（2）求sinc 的值.23．如图，在ABC ∆中，13AB AC ==，10BC =，D 是边AC 上一点，且3tan 4DBC ∠=.（1）试求sin C 的值；（2）试求BCD ∆的面积.24．抛物线y=ax 2+3交x 轴于A （-4，0）、B 两点，交y 轴于C ．将一把宽度为1.2的直尺如图放置在直角坐标系中，使直尺边A′D′∥BC ，直尺边A′D′交x 轴于E ，交AC 于F ，交抛物线于G ，直尺另一边B′C′交x 轴于D ．当点D 与点A 重合时，把直尺沿x 轴向右平移，当点E 与点B 重合时，停止平移，在平移过程中，△FDE 的面积为S ．（1）请你求出S 的最大值及抛物线解析式；（2）在直尺平移过程中，直尺边B′C′上是否存在一点P ，使点P 、D 、E 、F 构成的四边形这菱形，若存在，请你求出点P 坐标；若不存在，请说明理由；（3）过G 作GH ⊥x 轴于H①在直尺平移过程中，请你求出GH+HO 的最大值；②点Q 、R 分别是HC 、HB 的中点，请你直接写出在直尺平移过程中，线段QR 扫过的图形的面积和周长．25．如图，在106⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 、线段EF 的端点均在小正方形的项点上．（1）在图中以AB 为边画Rt ABC ，使点C 在小正方形的顶点上，且90BAC ∠=︒，2tan 3ACB ∠=；（2）在（1）的条件下，在图中画以EF 为边且面积为3的DEF ，使点D 在小正方形的顶点上，且45CBD ∠=︒，连结CD ，直接写出线段CD 的长．参考答案1．D根据正方形、矩形、菱形和平行四边形的判定判断即可．解：A 、四条边相等的四边形是菱形，原命题是假命题；B 、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题；C 、一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，如筝形，原命题是假命题；D 、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题；故选：D ．本题考查命题与定理，解答本题的关键是明确题意，会判断命题的真假．2．C将特殊角的三角函数值代入求解.解:tan45o +cos60o =1+12=32.所以C 选项是正确的.本题考查了特殊角的三角函数值,解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值.3．C根据特殊角的三角函数值求出∠B ，再求∠A ，即可求解.在ABC ∆中，90C ∠=︒，若cos 2B =，则∠B=30°故∠A=60°，所以故选：C本题考查的是三角函数，掌握特殊角的三角函数值是关键.4．B要求出BC 的长，可以先求出CD 和BD 的长，再利用勾股定理求得，可以设CD=xcm ，再根据3cos 5BDC ∠=，建立关于x 的方程即可求出CD 和BD 的长.∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AD=BD.设CD=xcm ，则AD=BD=(8-x)cm ，在Rt △BCD 中，3cos =5CDBDC BD ∠=，得385x x =- ，解得x=3，则8-x=5，∴BD=5cm ，CD=3cm.在Rt △BCD 中， =4cm.故选B.此题考查线段垂直平分线的性质，解题关键在于理由勾股定理进行计算.5．A由相似求全等，即在相似的基础上，再得出其对应边相等即可，而题干中只有当面积与周长相等时，才可得出其对应边相等，而A 中叙述并不是对应边，所以叙述错误．A 中相似三角形一边为公共边，但并没有说明是对应边，所以A 说法不正确；B 中用反证法，假如不全等，但是相似，则周长不相同．这和题目给出的周长相等矛盾，因此必全等，故B 正确；由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，如果面积相等，则相似比为1，所以全等，故CD 正确．故选：A本题主要考查了相似三角形及全等三角形的性质及判定问题，能够熟练掌握这两类三角形的性质及区别，在以后的解题过程中能够熟练求解．6．D根据圆心角，弧，弦的关系定理可以得出AC =CD =BD =°°1180603⨯=，根据圆心角和圆周角的关键即可求出CAD ∠的度数，进而求出它的余弦值．解：AC CD DB ==AC =CD =BD =°°1180603⨯=，°°160302CAD ∠=⨯=°cos cos30CAD ∠==故选D ．本题考查圆心角，弧，弦，圆周角的关系，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．7．5√3在Rt △CAD 中，cos ∠CAD=AC AD =10√33=√32，可得∠CAD=30°，又因AD 平分∠CAB ，所以∠BAC=2∠CAD=60°；在△ABC 中，∠C ＝90°，即可求得∠B=30°，根据30°角直角三角形的性质可得AB=2AC=10cm .在Rt △ABC 中，AC ＝5 cm ，AB=10cm ，根据勾股定理即可求得BC=5√3cm . 点睛：本题考查了解直角三角形、含30度角的直角三角形、勾股定理等知识点的应用，关键是根据锐角三角函数值求出∠CAD=30°．8 13 设BC 为x ，根据题意用x 表示出AB ，根据勾股定理求出BC ，运用正弦和余弦的定义解答即可．设BC 为x ，则AB=3x ，由勾股定理得，x ，sinB=AC AB =3， cosB=BC AB = 13，故答案为：3；13．本题考查的是锐角三角函数的定义和勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．9．4或43√3或83√3。

锐角的三角比(考题猜想,易错必刷40题7种题型专项训练)(学生版) 2025学年九年级数学上学期期中

专题02锐角的三角比（考题猜想，易错必刷40题7种题型专项训练）锐角三角函数的定义特殊角的三角函数值解直角三角形解直角三角形的应用解直角三角形的应用-坡度坡角问题有理数大小比较解直角三角形的应用-方向角问题一．锐角三角函数的定义（共2小题）1．（2024•闵行区）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AB =，2AC =，那么cos A 的值是()A ．13B ．23C ．D 2．（2023•松江区一模）已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC =，3BC =，那么下列结论正确的是()A ．2tan 3A =B ．2cot 3A =C ．2sin 3A =D ．2cos 3A =二．特殊角的三角函数值（共7小题）3．（2023秋•宝山区期中）tan 45︒的值等于()A ．2B ．1CD 4．（2024•崇明区）计算：2sin 60cos 45cos303tan 30︒︒-+︒︒．5．（2023秋•金山区期末）计算：2sin 451cot 60cos30tan 45︒-+︒⋅︒︒．6．（2023秋•闵行区期中）计算：cos 45tan 60cot 451sin 30︒-︒-︒-︒．7．（2023秋•黄浦区校级期中）计算：2tan 452cos 45sin 60cot 30︒-+︒︒⋅︒．8．（2023秋•长宁区校级期中）计算：tan 452|1sin 60|cot 302cos 45︒-︒+︒-︒．9．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：sin 45cos30sin 30(cos 45sin 60)32cos 60︒+︒-︒︒-︒-︒三．解直角三角形（共4小题）10．（2023秋•长宁区校级月考）已知点(1,2)A 在平面直角坐标系xOy 中，射线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，那么cos α的值为．11．（2022秋•嘉定区校级期末）已知在DEF ∆中，12DE DF ==，10EF =，那么cos E =．12．（2022秋•金山区校级期末）如图，在ABC ∆中，1sin 4B =，1tan 2C =，4AB =，则AC 的长为．13．（2022秋•奉贤区期中）已知：如图，在ABC ∆中，15AB AC ==，4tan 3A =．求：（1）ABC S ∆；（2）B ∠的余弦值．四．解直角三角形的应用（共4小题）14．（2022•徐汇区模拟）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX 观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33︒到40︒之间时（如图1)，双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC 的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m ，参考数据：sin 330.54︒≈，tan 330.65︒≈，sin 400.64︒≈，tan 400.84︒≈，sin16.50.28︒≈，tan16.50.30︒≈，sin 200.34︒≈，tan 200.36)︒≈（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？15．（2022•长宁区模拟）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29︒（参考数据：sin290.48︒≈；︒≈cos290.87︒≈；tan290.55)（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）16．（2023秋•静安区期中）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚10OA OB==分米，晾衣臂支架6HG FE==∠=︒，晾衣臂10CODOC OD==分米，展开角60分米，且4≈==分米． 1.73)HO FO（1）当90∠=︒时，求点A离地面的距离AM约为多少分米；（结果精确到0.1)AOC（2）当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，求''-为多少分米．B E BE17．（2022•崇明区二模）为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑点，图1是某益智健身苑点中的“侧摆器”．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动．（1）如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂OA的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点A为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点B为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，25BOA∠=︒，求踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差．（精确到0.1厘米）(sin250.423︒≈，cos250.906︒≈，tan250.466)︒≈（2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共5小题）18．（2024•南岗区校级一模）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为()A．5cosαB．5cosαC．5sinαD．5sinα19．（2022秋•黄浦区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB 的坡度为．20．（2023秋•杨浦区期末）小华沿着坡度1:3i =的斜坡向上行走了米，那么他距离地面的垂直高度上升了米．21．（2023•普陀区二模）如图，斜坡AB 的坡度1i =AH 的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡AC 的坡度21:2.4i =，已知斜坡10AB =米，那么斜坡AC =米．22．（2022秋•静安区校级期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至1B 层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与1B 层平行，层高AD 为9米，A 、B 间的距离为6米，20ACD ∠=︒．（1）请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在B 处会不会碰到头？请说明理由．（2）若采取中段平台设计（如图虚线所示）．已知平台//EF DC ，且AE 段和FC 段的坡度1:2i =，求平台EF 的长度．【参考数据：sin 200.34︒≈，cos 200.94︒≈，tan 200.36︒≈】六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共16小题）23．（2023秋•嘉定区期末）一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30︒，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是()A．6000米B．12000米C．60003米D．120003米24．（2023•崇明区一模）飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标A点的俯角为α，那么此时飞机与目标A点的距离为千米．（用α的式子表示）25．（2024•徐汇区校级三模）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60︒，6BC m=，则旗杆AC的高度为m．26．（2023秋•松江区期末）如图，A处有一垂直于地面的标杆AM，热气球沿着与AM的夹角为15︒的方向升空，到达B处，这时在A处的正东方向200米的C处测得B的仰角为30(AM︒、B、C在同一平面内）．求≈A、B之间的距离．（结果精确到1米，2 1.414)27．（2022秋•闵行区期末）2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度10.6BD=米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A处测得飞船底部D处的仰角45︒，顶部B处的仰角为53︒，求此时观测点A到发射塔CD的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin530.80︒≈，︒≈，cos530.60︒≈tan53 1.33)28．（2022秋•闵行区期中）如图，在电线杆上的C处引拉线CE和CF固定电线杆．在离电线杆6米的B处安置测角仪（点B、E、D在同一直线上），在点A处测得电线杆上C处的仰角为30︒．已知测角仪的高AB 3米，拉线CE的长为6米，求测角仪底端（点)B与拉线固定点（E）之间的距离．29．（2024•上海模拟）如图，某处有一座塔AB，塔的正前方有一平台DE，平台的高5DG=米，斜坡CD 的坡度5:12i=，点A，C，G，F在同一条水平直线上．某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡C处测得塔顶部B的仰角为54.5︒，在斜坡D处测得塔顶部B的仰角为26.7︒，求塔高AB．（精确到0.1米）（参考数据：tan54.5 1.40︒≈︒≈，sin26.70.45︒≈，cos26.70.89)︒≈，tan26.70.50︒≈，sin54.50.81︒≈，cos54.50.5830．（2024•崇明区）如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡BM的坡度1:3BN，i=，在坡面D处有一棵树AD（假设树AD垂直水平线)在坡底B处测得树梢A的仰角为45︒，沿坡面BM方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角ACQ∠为60︒．（点B、C、D在一直线上）（1）求A、C两点的距离；（2）求树AD的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：3 1.732)≈31．（2023秋•黄浦区期末）在世纪公园的小山坡上有一棵松树，初三（3）班的雏鹰小队带着工具对这棵松树进行测量，并试图利用所学的数学知识与方法推算出这棵松树的高度．他们选好位置架设测角仪先测出了这棵松树的根部与顶端的仰角，并绘制了如下示意图：测角仪为MN ，树根部为B 、树顶端为A ，其中1.5MN m =，视线MB 的仰角为α（已知1tan )6α=，视线MA 的仰角为β（已知3tan )4β=．（1）测得这两个数据后，小明说：“我可以算出这棵松树的高度了．”小聪接着说：“不对吧，只知道这两个角度，这个示意图显然是可以进行放大或缩小的，高度一定是确定不了的．如果还能测出测角仪到松树的垂直距离，即图示中NH 的长度，就可以了．”设NH a =，请你用含有a 的代数式表示松树()AB 的高度．（2）小明又反问道：“虽然我们带了尺，是一把刻度精确到1分米，长为2米的直尺，但也没有办法量出NH 的长度，我们总不能把坡给挖平了吧？”请你想一个测量办法，利用现有的工具，测量出有关数据（数据可以用字母常数表示），并用含有这些字母常数的表达式表示出松树()AB 的高度．32．（2023秋•长宁区期末）小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A、B两点均在视线PC上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线PC与铅垂线OD所夹的角为α，且此时的仰角为β．实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼EF的高度．他先站在水平地面的点H处，视线为GE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60︒；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点R处，视线为QE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45︒．问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β；（2）如果GH、QR、EF在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼EF的高度．（结果保留根号）33．（2023秋•静安区期末）如图，某建筑物AB 高为200米，某人乘热气球来到距地面400米的C 处（即CE 长为400米）．此时测得建筑物顶部A 的俯角为α，当乘坐的热气球垂直上升到达D 处后，再次测得建筑物顶部A 的俯角为β．(tan 1.25,tan 1.75)αβ==（1）请在图中标出俯角α、β，并用计算器求α、β的大小：α≈，β≈；（精确到“1”)（2）求热气球上升的垂直高度（即CD 的长）．34．（2023秋•嘉定区期末）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔CD ．小山斜坡AB 的坡度为1:2.4i =，坡长AB 为39米，在小山的坡底A 处测得该塔的塔顶C 的仰角为45︒，在坡顶B 处测得该塔的塔顶C 的仰角为74︒．（1）求坡顶B 到地面AH 的距离BH 的长；（2）求古塔CD 的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin 740.96︒≈，cos 740.28︒≈，tan 74 3.49)︒≈35．（2022秋•嘉定区期末）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．如图2，为测量海岛上一座山峰AH 的高度，直立两根高2米的标杆BC 和DE ，两杆间距BD 相距6米，D 、B 、H 三点共线．从点B 处退行到点F ，观察山顶A ，发现A 、C 、F 三点共线，且仰角为45︒；从点D 处退行到点G ，观察山顶A ，发现A 、E 、G 三点共线，且仰角为30︒．（点F 、G 都在直线HB 上）（1）求FG 的长（结果保留根号）；（2）山峰高度AH 的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：2 1.41≈，3 1.73)≈36．（2023秋•青浦区期末）北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥．某校九年级数学兴趣小组开展了测量“浦仓路桥顶部到水面的距离”的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的一侧选取B 、C 两点，在B 处测得浦仓路桥顶部点A 的仰角为22︒，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17米至C 处，在C 处测得点A 的仰角为37︒，在D 处测得地面BD 到水面EF 的距离DE 为1.2米（点B 、C 、D 在一条直线上，//BD EF ，DE EF ⊥，)AF EF ⊥，求浦仓路桥顶部A 到水面的距离AF ．（精确到0.1米）（参考数据：sin 220.37︒≈，cos 220.93︒≈，tan 220.40︒≈，sin 370.60︒≈，cos 370.80︒≈，tan 370.75)︒≈37．（2023•长宁区二模）为了测量某建筑物的高度BE ，从与建筑物底端B 在同一水平线的点A 出发，沿着坡比为1:2.4i =的斜坡行走一段路程至坡顶D 处，此时测得建筑物顶端E 的仰角为30︒，再从D 处沿水平方向继续行走100米后至点C 处，此时测得建筑物顶端E 的仰角为60︒，建筑物底端B 的俯角为45︒，如图，已知点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，求建筑物BE 的高度与AD 的长．（参考数据：3 1.732)≈38．（2023秋•静安区校级期中）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，AB 是灯杆，CD 是灯管支架，灯管支架CD 与灯杆间的夹角60BDC ∠=︒．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD 的长度，他们在地面的点E 处测得灯管支架底部D 的仰角为60︒，在点F 处测得灯管支架顶部C 的仰角为30︒，测得3AE m =，8(EF m A =，E ，F 在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：（1）求灯管支架底部距地面高度AD 的长（结果保留根号）；（2）求灯管支架CD 的长度（结果精确到0.1m ，参考数据：3 1.73)≈．七．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）39．（2023秋•青浦区校级月考）如图，某湖心岛上有一亭子A，在亭子A的正东方向上的湖边有一棵树B，在这个湖心岛的湖边C处测得亭子A在北偏西45︒方向上，测得树B在北偏东36︒方向上，又测得B、C之间的距离等于200米，求A、B之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：2 1.414︒≈≈，sin360.588︒≈，cot36 1.376)︒≈，cos360.809︒≈，tan360.72740．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45︒方向上，测得A在北偏东30︒方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是米（结果保留根号形式）．。

2022-2023学年沪教版(上海)数学九年级上学期《锐角的三角比意义》同步练习

25.1锐角的三角比意义一、单选题1．如图，CD 是平面镜，光线从点A 出发经CD 上的点E 反射到点B ．若入射角为α，AC CD ⊥，BD CD ⊥，垂足分别为C 、D ，且3AC =，6BD =，11CD =，则tan α的值为（）．A ．113 B ．311 C ．911D ．1192．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒．边BC 在x 轴上，顶点,A B 的坐标分别为()2,6-和()7,0．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为（）A ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()2,2C ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,23．在Rt ABC 中，8AC =，6BC =，则cos A 的值等于（） A ．45B ．74C ．45或74D ．45或2774．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，则tan A 的值为（）A ．35B ．34C ．45D ．435．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列结论正确的是（） A ．b ＝a •sin AB ．b ＝a •tan AC ．c ＝a •sin AD ．a ＝c •cos B6．如图，EF 与AB ，BC ，CD 分别交于点E ，G ，F ，且1230∠=∠=︒，EF AB ⊥，则下列结论错误的是（）A ．//AB CDB ．360∠=︒C ．12FG FC =D ．GF CD ⊥7．将Rt ABC 的各边都扩大2倍，则锐角B 的余弦值（） A ．不变B ．扩大2倍C ．是原来的0.5倍D ．不能确定8．如果Rt ∆ABC 的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A 的正弦、余弦值是（） A ．都扩大为原来的3倍 B ．都缩小为原来的13C ．没有变化D ．不能确定9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列等式中成立的是（）A ．sin A ＝a bB ．cos B ＝acC ．tan B ＝bcD ．tan A ＝ba10．⊿ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，下列比值中不等于tan A 的是（）A ．BC ACB ．CDADC ．BDCDD ．ACAB二、填空题11．用不等号连接下面的式子．(1)cos50°________cos20° (2)tan18°________tan21° 12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则sin2A＝_____． 13．已知a ＝3-tan60°，则代数式2269111a a a a -+⎛⎫-÷= ⎪--⎝⎭________． 14．在Rt ⊿ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5，BC ＝12，则cos C ______． 15．计算：2sin60°+12cos30°﹣tan60°=__．三、解答题16．在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=8.求tan A 和cot B 的値． 17．直线443y x =+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，求∠ABO 的余切、正弦． 18．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝25，D 为AC 上的一点，∠BDC ＝45°，DC＝6，求AB 的长．19．已知在△ABC 中，AC ＝BC ＝m ，D 是AB 边上的一点，将∠B 沿着过点D 的直线折叠，使点B 落在AC 边的点P 处（不与点A ，C 重合），折痕交BC 边于点E ．（1）特例感知如图1，若∠C ＝60°，D 是AB 的中点，求证：AP ＝12AC ；（2）变式求异如图2，若∠C ＝90°，m ＝62，AD ＝7，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，求DH 和AP 的长；（3）化归探究如图3，若m ＝10，AB ＝12，且当AD ＝a 时，存在两次不同的折叠，使点B 落在AC 边上两个不同的位置，请直接写出a 的取值范围．20．高为12.6米的教学楼ED 前有一棵大树AB （如图）．（1）某一时刻测得大树AB、教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC=2.4米，DF=7.2米，求大树AB的高度．（2）用皮尺、高为h米的测角仪，请你设计另一种．．．测量大树AB高度的方案，要求：①在图2上，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标记在图上（长度用字母m 、n …表示，角度用希腊字母α、β …表示）；②根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树AB高度（用字母表示）．参考答案：1．D 【解析】【分析】根据已知条件，可以找到ACE BDE ⊿∽⊿，12AC CE BD ED ==设CE=x ，则DE=2x,利用对应边成比例，求出DE,便可求解了. 【详解】解：12? ∠∠=，，ACE BDE ∴⊿∽⊿AC CEBD ED∴= 设CE=x ，则DE=2x x+2x=11 x=113tan α=tanA=CE AC =119故选D 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，把实际问题转化为数学问题，把实际应用到解直角三角形中，利用三角函数和相似三角形的性质是解题的关键. 2．B 【解析】【分析】先画出E 落在AB 上的示意图，如图，根据锐角三角函数求解O B '的长度，结合正方形的性质，从而可得答案．【详解】解：由题意知：()2,0,C - 四边形COED 为正方形，,CO CD OE ∴== 90,DCO ∠=︒()()2,2,0,2,D E ∴- 如图，当E 落在AB 上时，()()2,6,7,0,A B - 6,9,AC BC ∴==由tan ,AC EO ABC BC O B'∠==' 62,9O B ∴=' 3,O B '∴=734,2,OO OC ''∴=-==()2,2.D ∴ 故选.B【点睛】本题考查的是平移的性质的应用，同时考查了正方形的性质，图形与坐标，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键． 3．C 【解析】【分析】题目中没有说明哪个角是直角，所以要分情况讨论：①AB 为斜边，②AC 为斜边，根据勾股定理求得AB 的值，然后根据余弦的定义即可求解．【详解】解：当ABC 为直角三角形时，存在两种情况： ①当AB 为斜边，90C ∠=︒．8AC =，6BC =，22228610AB AC BC ∴=+=+=． 84cos 105AC A AB ∴===； ②当AC 为斜边，90B ∠=︒．由勾股定理得：2222867AB AC BC -=-= 277cos 84AB A AC ∴===；综上所述，cos A 的值等于4574，故选C ．【点睛】本题考查了余弦函数的定义，理解定义是关键，并注意分类讨论． 4．B 【解析】【分析】先利用勾股定理计算出AC ，然后根据正切的定义求解．【详解】解：∵∠ACB =90°，AB =5，BC =3， ∴22534AC -=， ∴3tan 4BC A AC ==．故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理、锐角正切值的求法，利用正切函数等于对边比邻边是解题关键． 5．D 【解析】【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ．（2）余弦：锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ．（3）正切：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作tan A ．分别进行分析即可．【详解】解：在直角△ABC 中，∠C ＝90°，则sin A ＝ac ，则sin a c A =，故A 选项错误、C 选项错误；tan A ＝ab ，则b ＝tan a A，故B 选项错误；cos B ＝ac ，则a ＝c cos B ，故D 选项正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 6．C 【解析】【分析】根据平行线的判定定理，可判断A ，根据平行线的性质，可判断B ，D ，根据锐角三角函数的定义，可判断C ，进而即可得到答案．【详解】解：∵1230∠=∠=︒，∴//AB CD ，故A 正确，不符合题意； ∵EF AB ⊥，∴3180309060∠=︒-︒-︒=︒，故B 正确，不符合题意； ∵//AB CD ，EF AB ⊥，∴EF CD ⊥，即：∠GFC =90°，故D 正确，不符合题意；又∵230∠=︒， ∴3tan 303FG CF ︒==33FG FC =，故C 错误，符合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，锐角三角函数的定义是解题的关键． 7．A 【解析】【分析】根据相似三角形的性质及锐角三角函数的定义解答即可．【详解】∵Rt △ABC 中，若各边的长度同时都扩大2倍，∴扩大后形成的三角形与原三角形相似，锐角B 的余弦值不变．故选A ．【点睛】本题比较简单，解答此题的关键是熟知三角函数值是一个比值，与角的边长无关． 8．C 【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理、正弦、余弦的概念解答．【详解】三角形各边长度都扩大为原来的3倍，∴得到的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的正弦、余弦值不变，故选：C．【点睛】三角形的形状没有改变，边的比值没有发生变化．9．B【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义逐项进行判断即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，由锐角三角函数的定义可得，A.sin A＝ac，故选项错误，不符合题意；B. cos B＝ac，故选项正确，符合题意；C. tan B＝ba，故选项错误，不符合题意；D.tan A＝ab，故选项错误，不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．10．D【解析】【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论．【详解】解：如下图所示在Rt ABC中，tan A=BCAC，故A不符合题意；在Rt ACD△中，tan A=CDAD，故B不符合题意；∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90°∴∠A=∠BCD∴tan A=tan∠BCD=BDCD，故C不符合题意；tan A≠ACAB，故D符合题意．故选D．【点睛】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键．11．＜＜【解析】【分析】根据余弦函数在0到90°之间是递减的，正切函数在0到90°之间是递增的解答即可. 【详解】当α为锐角时，其余弦值随角度的增大而减小，∴cos50°＜cos20°；当α为锐角时，其正切值随角度的增大而增大，∴tan18°＜tan21°．故答案为＜；＜.【点睛】本题考查了三角函数的大小比较，熟知三角函数值的变化规律是解决问题的关键. 12．12【解析】【分析】根据∠A的正弦求出∠A＝60°，再根据30°的正弦值求解即可．【详解】解：∵3 sin2BCAAB==∴∠A＝60°，∴1sin sin 3022A ︒==．故答案为12．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键． 13．33- 【解析】【分析】求出a 的值，把分式进行计算，先算括号里面的减法，把除法转化成乘法，再进行约分即可．【详解】原式23111(3)3a a a a a --=⨯=---，将3tan 6033a =-=-°代入得原式33=- 【点睛】此题考查分式的化简求值，特殊角的三角函数值，解题关键在于求出a 的值.14．1213【解析】【分析】根据余弦的定义进行解答【详解】在Rt △ABC 中，AC ＝2222AB +BC =5+12=13，BC 12cosC==AC 13，故填1213．【点睛】本题考查三角函数的定义，余弦值＝角的邻边与斜边之比．1534【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．【详解】解：原式=2×3122×32334 34【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．16．2；2【解析】【分析】根据锐角的正切等于对边比邻边，余切等于邻边比对边即可解答．【详解】解：∵Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=8. ∴tan =2BC A AC=，cot 2BC B AC ==．即tan A =2，cot B =2．【点睛】本题考了锐角三角函数的定义，熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边是解题关键．17．∠ABO 的余切为43，∠ABO 的正弦为35【解析】【分析】先求出点A 、B 的坐标，利用勾股定理求出AB=5，再根据公式求解即可.【详解】令443y x =+中y=0，得4403x +=，解得x=-3；令x=0，解得y=4， ∴443y x =+与x 轴的交点A 为（-3,0），与y 轴的交点B 为（0,4）， ∴225AB OA OB =+=∴∠ABO 的余切为OB OA =43，∠ABO 的正弦为OA AB =35.【点睛】此题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，锐角三角函数，正确掌握各计算公式是解题的关键.18．AB＝15.【解析】【分析】由已知得△BDC为等腰直角三角形，所以CD=BC=6，又因为已知∠A的正弦值，即可求出AB的长．【详解】解：∵∠BCA＝90°，∠BDC＝45°，∴∠DBC＝45°，∴CD＝CB＝6，又∵sinA＝25，∴BCAB＝25，∴AB＝15.【点睛】本题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：锐角三角函数定义，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．19．（1）证明见解析；（272222；（3）6≤a＜203.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，运用等边三角形内角都为60°以及三边相等进行求解．（2）根据相似三角形的性质，运用对应边成比例以及勾股定理进行求解．（3）根据三角函数以及三线合一性质，运用勾股定理以及比例关系进行求解．【详解】（1）证明：∵AC ＝BC ，∠C ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC ＝AB ，∠A ＝60°，由题意，得DB ＝DP ，DA ＝DB ，∴DA ＝DP ，∴△ADP 使得等边三角形，∴AP ＝AD ＝12AB ＝12AC ．（2）解：∵AC ＝BC ＝62，∠C ＝90°，∴AB ＝22AC BC +＝22(62)(62)+＝12，∵DH ⊥AC ， ∴DH ∥BC ，∴△ADH ∽△ABC ，∴DH BC ＝AD AB ， ∵AD ＝7，∴62DH ＝712， ∴DH ＝722，将∠B 沿过点D 的直线折叠，情形一：当点B 落在线段CH 上的点P 1处时，如图2﹣1中，∵AB ＝12，∴DP 1＝DB ＝AB ﹣AD ＝5，∴HP 1221DP DH -227252⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭22， ∴AP 1＝AH +HP 1＝2情形二：当点B 落在线段AH 上的点P 2处时，如图2﹣2中，同法可证HP2＝22，∴AP2＝AH﹣HP2＝32，综上所述，满足条件的AP的值为42或32．（3）如图3中，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DP⊥AC于P．∵CA＝CB，CH⊥AB，∴AH＝HB＝6，∴CH22AC AH-22106-8，当DB＝DP时，设BD＝PD＝x，则AD＝12﹣x，∵tan A＝CHAC＝PDAD，∴810＝12xx-，∴x＝163，∴AD＝AB﹣BD＝203，观察图形可知当6≤a＜203时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置．【点睛】本题考查等边三角形性质，勾股定理，相似三角形性质以及三角形函数的知识点，知识点的灵活运用，以及通过对图形的理解分析出结果的所以可能性是解决此类问题的关键所在．20．（1）4.2米；（2）AB=（m tanα＋h）米.【解析】【分析】∽，得到比例关系式，可求得AB的值；（1）首先根据平行线的性质判断出ABC EDF（2）根据题意，设计测量方法，要求符合三角函数的定义，且易于操作即可.【详解】连接AC、EF，（1）∵太阳光线是平行线，∴AC∥EF，∴∠ACB=∠EFD．∵∠ABC=∠EDF=90°，∴△ABC∽△EDF，∴∴．∴AB=4.2．答：大树AB的高是4.2米．（2）（方法一）如图，MG=BN=m，AG=mtanα∴AB=（mtanα+h）米（方法二）AG=∴AB=+h或AB=+h．【点睛】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形.。

沪教版九年级第一学期25.2求锐角的三角比的值同步练习题

数学九年级上第二十五章锐角三角比25.2 求锐角的三角比的值（1）一、选择题1.在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高,如果BC=a, B β∠=,那么AD 等于 ( )A. 2sin a β⋅B. 2cos a β⋅ C. sin cos a ββ D. sin tan a ββ 2. 已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，那么下列各式中，正确的是（）A ．2tan 3B = B ．2cot 3B =C ．2sin 3B =D ．2cos 3B = 3. 已知点P （tan45°,-cos30°）,则P 点关于原点的对称点P ’的坐标是（）A. )21,1(-- B. )21,1(- C. )23,1(-- D. )23,1(- 4、已知：是锐角，23sin =α，则等于（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，那么B A sin sin +等于（）A. 1B. 231+C. 221+D. 43 6、已知：c b a ,,是△ABC 的三边，并且关于的方程02)(222=++++c ab x b a x 有两个相等实根，则△ABC 形状是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定。

二、填空题7、已知：α为锐角，1tan =α，则α=____________度。

8、已知：α为锐角，3sin 2=α，则____________。

9、若3)20tan(3=︒-α，则锐角α=____________。

10、α为锐角，且关于x 的方程0sin 222=+-αx x 有两个相等的实数根，则α为____________度。

11. 在△ABC 中,若tan 12A B +=,则C ∠= . 12. 计算: 2sin 604cos303tan 60-+= .13.在△ABC 中,如果AB=那么C ∠的度数为 .14.设α为锐角,则cos 1α-= .15.在△ABC 中, A ∠,B ∠均为锐角,且2tan (2sin 0B A +=,则△ABC 的形状是 .16. 在正方形ABCD 中，∠ABD 的余弦值等于________．17. 已知 α是锐角，，且sin cos αα=，则α＝度。

2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲精练第25章锐角的三角比单元测试(解析版)

第25章锐角的三角比单元测试一、单选题（每题4分，共24分）1．已知ABC中，C90∠=︒，则cosA等于（）A．BCABB．BCACC．ABACD．ACAB【答案】D【解析】∵∵ABC中，∵C=90°，∵AB为斜边，∵A的对边为BC，邻边为AC，∵cosA是∵A的余弦，∵由定义cosA=A AC=AB∠的邻边斜边．故选择：D．2．如图，∵ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则sin A＝（）A．12B．22C．33D．55【答案】D【解析】解：如图：，由勾股定理，得22222425AC CD AD=+=+=，由锐角三角函数的正弦等于对边比斜边，得2552s n 5i CD A AC ===，故选：D ．3．如图，已知正方形ABCD ，将对角线BD 绕着点B 逆时针旋转，使点D 落在CB 的延长线上的D ′点处，那么sin∵AD ′B 的值是（）A ．33B ．22C ．2D ．12【答案】A【解析】设AB a由正方形的性质得'2,18090BD a ABD ABC =∠=︒-∠=︒由旋转的性质得'2BD BD a ==在'Rt ABD ∆中，'2'23AD AB BD a =+=则''3sin 33AB a AD B AD a ∠=== 故选：A ．4．如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，点E ，F 分別在边AB ，BC 上，2AE BF ==，DEF 的周长为36，则AD 的长为（）A ．6B ．23C ．31+D ．231-【答案】C【解析】连接BD ，过点E 作EM ∵AD ，∵2AE BF ==，60A ∠=︒，∵ME =AE ×sin60°=2×32=3，AM = AE ×cos60°=2×12=1，∵在菱形ABCD 中，∵AD ＝AB ＝BC ＝CD ，∵C ＝∵A ＝60°，∵∵ABD 和∵BCD 均为等边三角形， ∵∵DBF =∵A =60°，BD =AD ，又∵2AE BF ==，∵∵BDF ∵∵ADE ，∵∵BDF =∵ADE ，DE =DF ，∵∵ADE ＋∵BDE ＝60°＝∵BDF ＋∵BDE ，即：∵EDF =60°，∵DEF 是等边三角形，∵DEF 的周长为36，∵DE =13×36=6，∵DM =()()22633-=，∵AD =AM +DM =1+3．故选C ．5．在∵ABC 中，∵C=90°，以下条件不能解直角三角形的是（） A ．已知a 与∵A B ．已知a 与cC ．已知∵A 与∵BD ．已知c 与∵B【答案】C【解析】解：∵已知a 和A ，在Rt∵ABC 中，∵C ＝90°，∵∵B ＝∵C －∵A ，c ＝sin a A ，b ＝csinB. 故选项A 错误． ∵已知c 和a ，在Rt∵ABC 中，∵C ＝90°， ∵b ＝22c a ，sinA ＝a c，sinB ＝b c . 故选项B 错误．∵在Rt∵ABC 中，∵C ＝90°，已知A 和B ，∵A ＋∵B ＝∵C ＝90°，∵只能知道直角三角形的三个角的大小，而三条边无法确定大小．故选项C 正确．∵已知c 和B ，在Rt∵ABC 中，∵C ＝90°，∵∵A ＝∵C －∵B ，a ＝csinA ，b ＝csinB ．故选项D 错误．故选C ．6．碧津公园坐落在江北机场旁，它是一个风景秀丽、优美如画的公园．园中的碧津塔是一座八角塔，每个角挂有一个风铃，被评为重庆市公园最美景点．重庆一中某数学兴趣小组，想测量碧津塔的高度，他们在点C 处测得碧津塔顶部A 处的仰角为45°，再沿着坡度为i ＝1：2.4的斜坡CD 向上走了5.2米到达点D ，此时测得碧津塔顶部A 的仰角为37°，碧津塔AB 所在平台高度EF 为0.8米．A 、B 、C 、D 、E 、F 在同一平面内，则碧津塔AB 的高约为（）米（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A ．20.8B ．21.6C ．23.2D ．24【答案】B【解析】解：根据题意可知： ∵ABC ＝90°，∵ACB ＝45°，∵AB ＝BC ，∵DN：NC＝i＝1：2.4，CD＝5.2，∵DN＝2，CN＝4.8，设DG∵AB，垂足为G，如图，∵在Rt∵ADG中，∵ADG＝37°，∵AG＝AB﹣GB＝AB﹣DN＝AB﹣2，又DG＝BN＝CN＋BC＝4.8＋AB，∵tan∵ADG＝AG DG，∵34×（4.8＋AB）＝AB﹣2，解得AB＝22.4，∵AB所在平台高度EF为0.8米，∵22.4﹣0.8＝21.6（米）．故选：B．二、填空题（每题4分，共48分）7．计算：2sin30tan45-=______．【答案】0【解析】解：2sin30tan45-=121110, 2⨯-=-=故答案为：0.8．在直角坐标平面内有一点(12,5)A，点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为θ，那么cosθ= _________．【答案】12 13【解析】解：∵在直角坐标平面内有一点A（12,5）∵OA=22125+=13∵cosθ=12 13．故答案为：1213．9．在Rt ABC中，90C∠=︒，6AC=，3cos4A=，那么AB的长为__．【答案】8【解析】解：∵3cos4ACAAB==，∵AB=34AC＝634＝8，故答案为：8．10．已知tan A＝4，则sin A＝______．【答案】41717【解析】解：如图，在Rt∵ABC中，由于tanA＝4＝BCAC，设AC＝k，则BC＝4k，由勾股定理得，AB＝22AC BC+＝22(4)k k+＝17k，所以sinA＝BCAB＝417kk＝41717，故答案为：41717．11．在ABC 中，若A ∠，B 满足23|cos |(1tan )02A B -+-=，则C ∠＝__________．【答案】105° 【解析】解：∵23|cos |(1tan )02A B -+-=， ∵cos A -32=0， 1-tan B =0，∵∵A =30°，∵B =45°，∵∵C =180°-30°-45°=105°．故答案为：105°．12．堤坝的横断面如图所示，迎水坡AB 的坡比是1:3，坝高10m BC =，则坡面AB 的长度是______________m ．【答案】20．【解析】解：∵迎水坡AB 的坡比是1:3，坝高BC =10m ，∵1013BC AC AC ==，解得：103AC =，则()2220AB BC AC m =+=．故答案为：20．13．如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥，垂足为点E ．若4sin 5ADE ∠=，4=AD ，则AB 的长为______．【答案】3 【解析】解：在Rt ADE △中， 4sin 5AE ADE AD ∠== 4AD = 165AE ∴=222216124()55DE AD AE ∴=-=-= DE AC ⊥90ADE EDC EDC ECD ∴∠+∠=∠+∠=︒ADE ECD ∴∠=∠4sin sin 5DE ADE ECD CD ∴∠=∠== 534CD DE ∴=⋅= 在矩形ABCD 中，3AB CD ==故答案为：3．14．数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P 处时，与平台中心O 点的水平距离为15米，测得塔顶A 点的仰角为30°，塔底B 点的俯角为60°，则电视塔的高度为_________米．【答案】203 【解析】解：根据题意可知：15OP m = ，30APO ︒∠= ，60BPO ︒∠=，AB OP ⊥ ，在Rt APO 中，3tan 15tan 3015533AO OP APO ︒=⋅∠=⋅=⨯= ，在Rt BPO 中，tan 15tan 60153153BO OP BPO ︒=⋅∠=⨯=⨯=，∵53153203AB AO BO =+=+= ，即电视塔的高度为203 米．故答案为：20315．如图，地面上两个村庄C 、D 处于同一水平线上，一飞行器在空中以12千米/小时的速度沿MN 方向水平飞行，航线MN 与C 、D 在同一铅直平面内．当该飞行器飞至村庄C 的正上方A 处时，测得∵NAD ＝60°，该飞行器从A 处飞行40分钟至B 处时，测得∵ABD ＝75°，则村庄C 、D 间的距离为________千米．（3≈1.732，结果保留一位小数）【答案】5.5．【解析】解：如图，过B 作BE AD ⊥于E ，60NAD ，75ABD ∠=︒， 45ADB ∴∠=︒， 4012860AB （千米），4AE ∴=（千米）．43BE =（千米）， 43DE BE （千米）， (443)AD （千米）， 90C，30CAD ∠=︒， 1223 5.52CD AD （千米）．故答案为：5.5．16．已知在等腰梯形ABCD 中，AD ∵BC ，AB AD CD ==，AC AB ⊥，那么cotB =______．【答案】33 【解析】如图，根据题意构造图形， ∵AB ＝AD ＝CD ，∵∵B ＝∵BCD ，∵DAC ＝∵ACD ， ∵AD∵BC∵∵DAC ＝∵ACB ，∵∵ACD ＝∵ACB∵∵B ＝2∵ACB∵AC∵AB∵∵BAC ＝90°，∵B ＝60°，∵ACB ＝30°， ∵cotB ＝33故答案为：33 17．如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE ∵BD ，垂足为E ，连接CE ，若1tan 2ADB =∠，则tan∵DEC 的值是________．【答案】23【解析】解：如图，过点C 作CF BD ⊥于点F ，设2CD a =，在ABE ∆与CDF ∆中，AEB CFD ABE CDF AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE CDF AAS ∴∆≅∆，AE CF ∴=，BE FD =，AE BD ⊥，tan∵ADB ＝AB AD＝12，设AB ＝a ，则AD ＝2a ，∵BD ＝5a ，∵S ∵ABD ＝12BD •AE ＝12AB •AD ，∵AE ＝CF ＝255a ， ∵BE ＝FD ＝55a ， ∵EF ＝BD ﹣2BE ＝5a 2535a ，∵tan∵DEC ＝CF EF ＝23，故答案为：23．18．已知在ABC 中，90ACB ∠=︒，10AB =，5sin 5A =（如图），把ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转()0360αα︒<<．将点A 、B 的对应点分别记为点A '、B '，如果AAC '△为直角三角形，那么点A 与点B '的距离为______．【答案】25或65【解析】解：在Rt∵ABC 中，由题意得，5sin 10255BC AB A ==⨯=，221002045AC AB BC =-=-=，又因为旋转，则'25B C BC ==，当'90ACA ∠=︒时，有两种情况，（1）如图1，B '在线段AC 上时，''452525AB AC B C =-=-=；（2）如图2，B '在线段AC 的延长线上时，''452565AB AC B C =+=+=故答案为：25或65三、解答题（19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分）19．计算：()101220212tan 453π-︒⎛⎫-+-+-+ ⎪⎝⎭ 【答案】2【解析】解：原式=21(3)2++-+=220．如图，四边形ABCD 中，90CBA CAD ∠=∠=，45BCA ∠=，60ACD ∠=，2BC =，求AD 的长．【答案】23【解析】解：∵90CBA ∠=︒，45BCA ∠=︒，2BC =，∵22sin 45AC ==， ∵90CAD ∠=︒，60ACD ∠=︒，∵tan 603AD AC=︒=，∵23AD =． 21．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，D 是BC 边上一点，2AC =，1CD =，设CAD α∠=．（1）求cos α的值；（2）若B CAD ∠=∠，求BD 的长．【答案】（1）25cos 5α=；（2）3 【解析】解：在Rt ACD △中，∵2AC =，1DC =， ∵225AD AC CD =+=．（1）225cos 55AC AD α===；（2）在Rt ABC 中，tan AC B BC =，即21tan 2BC α==， ∵4BC =，∵413BD BC CD =-=-=．22．如图，在楼AB 与楼CD 之间有一旗杆EF ，从AB 顶部A 点处经过旗杆顶部E 点恰好看到楼CD 的底部D 点，且俯角为45°，从楼CD 顶部C 点处经过旗杆顶部E 点恰好看到楼AB 的G 点，2BG =米，且俯角为30°，已知楼AB 高39米，求旗杆EF 的高度．（结果精确到1米）【答案】12米【解析】解：过点G 作GP CD ⊥于点P ，与EF 相交于点H ．设EF 的长为x 米，由题意可知，2FH GB ==米，()2EH EF FH x =-=-米，又∵45BAD ADB ∠=∠=︒，∵FD EF x ==米，30AB BD ==米，在Rt GEH 中，30EGH ∠=︒， ∵tan EH EGH GH ∠=，即323x GH-= ∵()32GH x =-米，∵BD BF FD GH FD =+=+，∵()3230x x -+=，解得，1431212x =-≈（米）．答：旗杆EF 的高度约为12米．23．如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图，已知自动扶梯AB 的长度是19.5米，MN 是二楼楼顶，MN ∵PQ ，点C 是MN 上处在自动扶梯顶端B 点正上方的一点，BC ∵MN ，在自动扶梯底端点A 处测得C 点的仰角∵CAQ 为45°，坡角∵BAQ 为37°，求二楼的层高BC （精确到1米），（参考数据：sin 370.6,cos370.8,tan 370.75≈≈≈）【答案】二楼的层高BC 约为4米【解析】解：延长CB 交AQ 于点D ，则CD ∵AQ ，在Rt ∵BAD 中，sin BAD ,cos BAD BD AD AB AB∠∠==， sin 19.50.611.7BD AB BAD ∴=∠≈⨯=（米）cos 19.50.815.6AD AB BAD =∠≈⨯=（米）在Rt ∵CAD 中，∵∵CAD ＝45°，∵CD ＝AD ＝15.6（米） ∵BC ＝CD －BD ＝15.6－11.7＝3.9≈4（米）答：二楼的层高BC 约为4米．24．如图，要在原始森林附近修一条公路MN ，已知C 点周围260米范围内为原始森林保护区，在M 上的点A 处测得C 在A 的东北方向上（即∵DAC ＝45°），从A 向东走800米到达B 处，测得C 在点B 的北偏西60°方向上，MN 是否穿过原始森林保护区，为什么？（结果精确到个位，参数据：3≈1.732）【答案】不会，理由见解析【解析】解：不会，理由如下：如图，过C 作CH ∵AB 于H ，设CH =x ，由已知有∵DAC =45°，∵FBC =60°，则∵CAH =45°，∵CBA =30°，在Rt ∵ACH 中，AH =CH =x ，在Rt ∵HBC 中，tan ∵HBC =CH HB ， ∵HB =3tan 3033CH x x ==︒， ∵AH +HB =AB ，∵x +3x =800，解得x ≈293（米） ∵293（米）＞260（米）．∵MN 不会穿过森林保护区．25．为了提升某片区网络信号，在坡度为i ＝1：2.4的山坡上加装了信号塔PQ （如图所示），信号塔底端Q 到坡底A 的距离为5.2米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A 点 4.2米的水平地面上立了一块警示牌MN ．当太阳光线与水平线成53°角时，测得信号塔PQ 落在警示牌上的影子EN 长为4米，求信号塔PQ 的高．（结果精确到十分位，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3，i ＝1：2.4＝5：12）【答案】13.7m【解析】解：过点E 作EF∵PQ 于点F ，延长PQ 交BA 于点G ，可得QG ∵BA ，∵QA ＝5.2m ，QG ：AG ＝1：2.4，∵设QG ＝x ，则AG ＝2.4x ，∵x 2+（2.4x ）2＝5.22，解得：x ＝2，则AG ＝2.4x ＝4.8，∵EF ＝NG ＝4.8+4.2＝9（m ），故tan53°＝ 1.39PE PF EF =≈，解得：PF ＝11.7（m ）， ∵FQ ＝EN ﹣QG ＝4﹣2＝2（m ）， ∵PQ ＝11.7+2＝13.7（m ）．答：信号塔PQ 的高约为13.7m ．。

上海初三上数学专题训练之《锐角的三角比》自测A卷、B卷、C卷

《锐角的三角比》自测A卷、B卷、C卷自测A卷一、填空题（每小题4分，共40分）1、Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则sinA＝________，cosB＝________，tgB＝________，ctgA＝________。

2、在直角坐标系中点P的坐标为（，2），则sin∠POX＝________，ctg∠POX ＝________。

3、求值：cos45°＝________，tg60°＝________。

4、根据三角函数表，当0°≤α≤90°时，cosα的取值范围是________。

5、用不等号“＞”或“＜”填空：sin20°________cos20°。

6、求值：2sin30°－tg45°＝________。

7、若α是锐角，则（cosα＋1）＝________。

8、用计算器求值：sin78°12’－tg38°48’58"＝________。

9、用计算器求角的度数，若sinα＝0.1997，ctgβ＝29.357，则α＝________，β＝________。

10、矩形的宽为1，两条对角线所夹的较大角的度数为120°，那么矩形的对角线长是________，周长是________。

二、选择题（每小题4分，共20分）1、△ABC中，∠C＝90°，则下列各式中，正确的是（）。

（A）sinA＝ctgB；（B）cosA＝tgB；（C）cosB＝sinA；（D）sinB＝cosB。

2、下列不等式中，不正确的是（）。

（A）tg65°＞sin65°＞cos65°；（B）ctg33°＞cos33°＞sin33°；（C）cos27°＞tg27°＞sin27°；（D）sin70°＞tg70°＞cos70°。

上海初三上数学专题训练之锐角三角比专题复习

学科教师辅导讲义讲义编号：学员编号：年级：初三课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题锐角三角比专题复习授课时间教学目标指导学生理解直角三角形中五个元素的关系，掌握运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角比解直角三角形。

重点、难点解直角三角形和三角比之间的关系。

考点及考试要求理解并掌握锐角三角比的概念；掌握锐角三角比的计算；掌握解直角三角形。

教学内容一、知识点梳理与学习——锐角三角比解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有密切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。

1、明确——解直角三角形的依据和思路在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的。

因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c （以下字母同），则解直角三角形的主要依据是（1）边角之间的关系：sin∠A＝cos∠B＝ac， cos∠A＝sin∠B＝bc，tan∠A＝cot∠B＝ab， cot∠A＝tan∠B＝ba。

（2）两锐角之间的关系：A＋B＝90°（3）三条边之间的关系：以上每个边角关系式都可看作方程。

解直角三角形的思路，就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。

2、解直角三角形的基本类型和方法我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形，而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？事实上，解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形，即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。

沪教新版九年级上学期中考题单元试卷：第25章锐角的三角比(05)

沪教新版九年级（上）中考题单元试卷：第25章锐角的三角比（05）一、选择题（共2小题）1．如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝100米，则B点到河岸AD的距离为（）A．100米B．50米C．米D．50米2．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tanα＝，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（）A．144cm B．180cm C．240cm D．360cm二、填空题（共3小题）3．如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b 上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD ＝30°，则河流的宽度约为米．4．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC＝BD＝15cm，∠CBD＝40°，则点B到CD的距离为cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．5．为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出个这样的停车位．（≈1.4）三、解答题（共25小题）6．如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处，求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米（结果取整数）？（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）7．2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级地震，震源深度20千米．中国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图）．试确定生命所在点C与探测面的距离．（参考数据≈1.41，≈1.73）8．如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2，晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，∠CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20cm，且AH＝DE＝EG＝20cm．（1）当∠CED＝60°时，求C、D两点间的距离；（2）当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少cm？（结果精确到0.1cm）（3）设DG＝xcm，当∠CED的变化范围为60°～120°（包括端点值）时，求x的取值范围．（结果精确到0.1cm）（参考数据≈1.732，可使用科学计算器）9．如图1，A，B，C是三个垃圾存放点，点B，C分别位于点A的正北和正东方向，AC＝100米．四人分别测得∠C的度数如下表：甲乙丙丁∠C（单位：度）34363840他们又调查了各点的垃圾量，并绘制了下列尚不完整的统计图2，图3：（1）求表中∠C度数的平均数：（2）求A处的垃圾量，并将图2补充完整；（3）用（1）中的作为∠C的度数，要将A处的垃圾沿道路AB都运到B处，已知运送1千克垃圾每米的费用为0.005元，求运垃圾所需的费用．（注：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75）10．如图，在水平地面上竖立着一面墙AB，墙外有一盏路灯D．光线DC恰好通过墙的最高点B，且与地面形成37°角．墙在灯光下的影子为线段AC，并测得AC＝5.5米．（1）求墙AB的高度（结果精确到0.1米）；（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）（2）如果要缩短影子AC的长度，同时不能改变墙的高度和位置，请你写出两种不同的方法．11．为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A 射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为m．（1）求BT的长（不考虑其他因素）．（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由．（参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈）12．根据道路管理规定，在贺州某段笔直公路上行驶的车辆，限速40千米/时，已知交警测速点M到该公路A点的距离为10米，∠MAB＝45°，∠MBA＝30°（如图所示），现有一辆汽车由A往B方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用的时间为3秒．（1）求测速点M到该公路的距离；（2）通过计算判断此车是否超速．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）13．如图，厂房屋顶人字架的跨度BC＝10m．D为BC的中点，上弦AB＝AC，∠B＝36°，求中柱AD和上弦AB的长（结果保留小数点后一位）．参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73．14．如图1，滨海广场装有风能、太阳能发电的风光互补环保路灯，灯杆顶端装有风力发电机，中间装有太阳能板，下端装有路灯．该系统工作过程中某一时刻的截面图如图2，已知太阳能板的支架BC垂直于灯杆OF，路灯顶端E距离地面6米，DE＝1.8米，∠CDE ＝60°．且根据我市的地理位置设定太阳能板AB的倾斜角为43°．AB＝1.5米，CD＝1米，为保证长为1米的风力发电机叶片无障碍安全旋转，对叶片与太阳能板顶端A的最近距离不得少于0.5米，求灯杆OF至少要多高？（利用科学计算器可求得sin43°≈0.6820，cos43°≈0.7314，tan43°≈0.9325，结果保留两位小数）15．如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB ＝31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°．求DM和BC的水平距离BM的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）16．某学校体育看台的侧面如图中阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长度均为0.8米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的低端分别为D、C），且∠DAB＝66.5°（cos66.5°≈0.4）．（1）求点D与点C的高度差DH；（2）求所用不锈钢材料的总长度l（即AD+AB+BC的长）．17．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．（参考数据：sin12°＝cos78°≈0.21，sin68°＝cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）18．如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转35°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB为25°，点D到点O的距离为30cm．（1）求B点到OP的距离；（2）求滑动支架的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）19．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA ＝37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．（1）求改直的公路AB的长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）20．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD＝1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）21．如图是某超市地下停车场入口的设计图，请根据图中数据计算CE的长度．（结果保留小数点后两位；参考数据：sin22°＝0.3746，cos22°＝0.9272，tan22°＝0.4040）22．为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度．如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB＝45°，AC＝24m，∠BAC＝66.5°，求这棵古杉树AB的长度．（结果取整数）参考数据：≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30．23．如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为我市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小亮在河西岸滨河大道一段AC上的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得∠DAC＝60°，∠DBC＝75°．又已知AB＝100米，求观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为多少米（精确到1米）．（tan60°≈ 1.73，tan75°≈ 3.73）24．在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验．如图，表盘是△ABC，其中AB＝AC，∠BAC＝120°，在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程．小明通过实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1秒，此时光线AP交BC边于点M，BM的长为（20﹣20）cm．（1）求AB的长；（2）从AB处旋转开始计时，若旋转6秒，此时光线AP与BC边的交点在什么位置？若旋转2014秒，交点又在什么位置？请说明理由．25．达州市凤凰小学位于北纬21°，此地一年中冬至日正午时刻，太阳光与地面的夹角最小，约为35.5°；夏至日正午时刻，太阳光的夹角最大，约为82.5°．已知该校一教学楼窗户朝南，窗高207cm，如图（1）．请你为该窗户设计一个直角形遮阳棚BCD，如图（2），要求最大限度地节省材料，夏至日正午刚好遮住全部阳光，冬至日正午能射入室内的阳光没有遮挡．（1）在图（3）中画出设计草图；（2）求BC、CD的长度（结果精确到个位）（参考数据：sin35.5°≈0.58，cos35.5°≈0.81，tan35.5°≈0.71，sin82.5°≈0.99，cos82.5°≈0.13，tan82.5°≈7.60）26．如图，用一根6米长的笔直钢管弯折成如图所示的路灯杆ABC，AB垂直于地面，线段AB与线段BC所成的角∠ABC＝120°，若路灯杆顶端C到地面的距离CD＝5.5米，求AB长．27．将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入．图2是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度（结果精确到0.1cm）．（参考数据：≈1.73，≈1.41）28．如图，A、B两地之间有一座山，火车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，火车沿直线AB行驶．已知AC＝200千米，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，火车从A地到B地比原来少走多少千米（结果保留整数，≈1.732）？29．解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁．（Ⅰ）如图①，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启，则AC开启至AC′的位置时，AC′的长为m；（Ⅱ）如图②，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测得∠PMQ ＝54°，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ＝73°，已知PQ⊥MQ，MN＝40m，求解放桥的全长PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）．30．为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具、图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm．点A、C、E在同一条直线上，且∠CAB＝75°．（参考数据：sin75°＝0.966，cos75°＝0.259，tan75°＝3.732）（1）求车架档AD的长；（2）求车座点E到车架档AB的距离（结果精确到1cm）．沪教新版九年级（上）中考题单元试卷：第25章锐角的三角比（05）参考答案一、选择题（共2小题）1．B；2．B；二、填空题（共3小题）3．100；4．14.1；5．17；三、解答题（共25小题）6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．；16．；17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．23.5；30．；。

沪教版(上海)九年级数学第二十五章锐角的三角比拓展提高卷

沪教版（上海）九年级第二十五章锐角的三角比拓展提高卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 下列式子错误的是（）A．cos40°=sin50°B．tan15°•tan75°=1C．sin225°+cos225°=1D．sin60°=2sin30°2 . 在△ABC中，若，则∠C的度数是（）A．30°B．45°C．75°D．90°3 . 中，，，，则的值是（）A．B．C．D．4 . 2 cos30°的值等于（）A．1C．D．B．5 . 如图所示的网格是正方形网格，则sinA的值为（）A．B．C．D．6 . 在中，，若，则的值等于（）D．A．B．C．二、填空题7 . 在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果3a＝b，那么sinA＝________.8 . 已知，则代数式的值为_____________．9 . 如图，飞机于空中A处观测其正前方地面控制点C的俯角为30°，若飞机航向不变，继续向前飞行1000米至B处时，观测到其正前方地面控制点C的俯角为45°，那么该飞机与地面的高度是___米（保留根号）．10 . 已知，等腰△ABC的腰长为4，底为30°，则底边上的高为______，周长为______．11 . 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC、BD交于点P，且AB=BD，AP=4PC=4，则cos∠ACB 的值是．12 . 河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是_____米．13 . 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，若点P为y轴上的一个动点，连接PD，则的最小值为________.14 . 若tanA＝，则∠A=____ ．15 . 如图，在中，，为边上的中线，过点作于点，过点作平行线，交的延长线于点，在延长线上截得，连结、．若，，则四边形的面积等于________．三、解答题16 . 某班数学活动小组测量吉林市“世纪之舟”的高度．他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测景，测量项目及数据如下表：项目内容课题测量吉林市“实际之舟”的高度示意图如图，用测角仪在点处测得“世纪之舟”顶端的仰角是，前进一段距离到达点，用测角仪测得“世纪之舟”顶端的仰角是，且、、在同一直线上．测量数据的度数的度数的长度测角仪，的高度50米 1.5米……请你根据活动小组测得的数据，求世纪之舟的高（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，）17 . 如图，BD是▱ABCD的对角线，AD⊥BD，AB＝2cm，∠A＝45°．动点P从点B出发，以cm/s的速度沿BA运动到终点A，同时动点Q从点D出发，以2cm/s的速度沿折线DB﹣BC向终点C运动，当一点到达终点时另一点也停止运动．过点Q作QE⊥AD，交射线AD于点E，连接PQ，以PQ与EQ为边作▱PQEF．设点P的运动时间为t（s），▱PQEF与▱ABCD重叠部分图形的面积为S（cm2）．（1）AP＝cm（用含的代数式表示）；（2）当点F落在边AD上时，求t的值：（3）求S与t之间的函数关系式；（4）连接FQ，当FQ所在的直线将▱ABCD分成面积相等的两部分时，直接写出t的值．18 . （1）如图1，在中，分别以、为斜边，向的形外作等腰直角三角形，直角的顶点分别为，点分别为边的中点.问：是否全等？____（填“是”或“否”）；（2）如图2，在中，分别以为底边，向的形外作等腰三角形，顶角的顶点分别为，且.点分别为边的中点.①试判断是否满足（1）中的关系？若满足，请说明理由；若不满足，请写之间存在的一种关系，并加以说明.②若，，的面积为32，求的面积.19 . 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．20 . （1）如图1.等边的边长为2，点为边上一点，连接，则长的最小值是________；（2）如图2，己知菱形的周长为16，面积为，为中点，若为对角线上一动点，为边上一动点，计算的最小值；（3）如图3，己知在四边形中，，，，为边上一个动点，连接，过点作，垂足为点，在上截取.试问在四边形内是否存在点，使得的面积最小？若存在.请你在图中画出点的位置，并求出的最小面积；若不存在，请说明理由.21 . 已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，点O是AB上一点，⊙O过点B且与AC相切于点E，交BD于点G，交AB于点F．（1）求证： BE平分∠ABD；（2）当BD=2，sinC=时，求⊙O的半径．22 . 如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50°，OD是OB的反向延长线．（1）若∠AOC＝∠AOB，求OC的方向．（2）在（1）问的条件下，作∠AOD的角平分线OE，求∠COE的度数．23 . 如图，在菱形ABCD中，边长为2，∠BAD＝120°，点P从点B开始，沿着B→D方向，速度为每秒1个单位，运动到点D停止，设运动的时间为t（秒），将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到对应线段的延长线与过点P且垂直AP的垂线段相交于点E，（1）当t＝0时，求AE的值．（2）P点在运动过程中，线段PE与菱形的边框交于点F．（精确到0.1）问题1：如图2，当∠BAP＝11°，AF＝2PF，则OQ＝．问题2：当t为何值时，△APF是含有30°角的直角三角形，写出所有符合条件的t的值．（≈1.73，sin11°≈0.19，cos11°≈0.98，sin19°≈0.33，tan19°≈0.34，sin41°≈0.65，tan41°≈0.87）（3）当点P在运动过程中，求出△ACE的面积y关于时间t的函数表达式．（请说明理由）24 . 如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AB边的中点，以AE为边作正方形AEFG，连接DE，BA．（1）发现①线段DE、BG之间的数量关系是；②直线DE、BG之间的位置关系是．（2）探究如图2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）应用如图3，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，记直线DE与BG的交点为P，若AB=4，请直接写出点P到CD所在直线距离的最大值和最小值．25 . （本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图，表示一段笔直的高架道路，线段表示高架道路旁的一排居民楼．已知点到的距离为米，的延长线与相交于点，且，假设汽车在高速道路上行驶时，周围米以内会受到噪音的影响．（1）过点作的垂线，垂足为点．如果汽车沿着从到的方向在上行驶，当汽车到达点处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点时，它与这一排居民楼的距离为米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到米）（参考数据：）参考答案一、单选题1、2、3、4、5、6、二、填空题1、2、3、4、5、6、7、8、9、三、解答题1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、。