极化恒等式在向量问题中的应用

极化恒等式在向量问题中的应用

目标1:阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式的两种模式，并理解其几何意义

目标2-1 :掌握用极化恒等式求数量积的值

ujur umr 例1. （ 2012年浙江文15 ）在ABC 中，M 是BC 的中点，AM 3, BC 10，贝卩AB

AC

【小结】运用极化恒等式的三角形模式，

关键在于取第三边的中点，

找到三角形的中线，

目标检测

（2012北京文13改编）已知正方形 ABCD 的边长为1,

点E 是AB 边上的动点，贝U DE DA 的值为 _____________ . 目标2-2：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围

例2.（自编）已知正三角形 ABC 内接于半径为2的圆O ,点P 是圆O 上的一个动点， 则PA PB 的取值范围是 _____________ .

解：取AB 的中点D ，连结CD,因为三角形ABC 为正三角形，所以 O 为三角形ABC

解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得: AB AC AM

1| BC 2

=9-丄 100 = -16

4

阅读以下材料：

引例：平行四边形是表 示向量加法和减法的几 何模型。 你能用向量方法证明: 平行四边形的对角线的平方和

证明：不妨设 AB a,AD b,贝U AC b,DB a b,

1- — * 2 -.2 J ,

-2 |

2

AC AC

a

b |

a

2a lb 2

lb (1)

DB 2

2

DB .2

a

b

H

2

2a b 2

⑵

2 a ?2

（1） 得：

结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍 到什么结论呢？

2 AB

AD

思考1:如果将上面（1）（ 2）两式相减，能得

极化恒等式

几何意义:向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的

, ” 1 '和对角线”与“差对角线”平方差的1

?

4

即：a b

汹2

冋|

2

（平行四边形

思考：在图 1的三角形ABD 中 （M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢 ？

因为AC 2AM ，所以a b

AM

丄DB （三角形模式）

BMC

再写出极化恒等式。

等于两条邻边平方和的

（2）两式相

2

的重心，O在CD上，且OC 2OD 2，所以CD 3, AB 2.. 3

又由极化恒等式得：PA PB PD 2丄|AB|2 |PD 2 3

4

因为P在圆O上，所以当P在点C处时，|PD|max3 当P在CO的延长线与圆O的交点处时，I PD | min

1

所以PA PB [ 2,6]

【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式出单变

将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求量的范围、最值即可

目标2-3:会用极化恒等式解决与数量积有关的综合问题 ABC 中，F 0是边AB 上一定点，满足

uuu uuu uur uuur

且对于边AB 上任一点P ,

A. ABC 90 °

B.

目标检测 恒有 PB PC RB PC 。则()

BAC 90 °C. AB AC D.

（2008浙江理9）已知a,b 是平面内2个互相垂直的单位向量

2.已知AB 是圆 O 的直径,AB 长为2, C 是圆O 上异于A, B 的一点,P

是圆O 所在平面上任意一点 ，

则

uuu PA uuu uur

PB PC 的最小值为（

) A.

1 -B.

4 1

C.

-D.

2

3.在 ABC 中，AB 3, AC 4 , BAC 60。,若

ABC 所在平面内一点，且

uuu AP2，贝U PB UJ

U

的最大值为

目标检测

uuu

uur

1、 矩形ABCD 中，AB 3,BC 4，点M,N 分别为边 BC,CD

MN 2，贝U AM AN 的最小值是 （）

A. 13

B. 15

C. 17

2 2

2、 已知 代B,C 是圆x y 1上互不相同的三个点，且

3、 已知 ABC ,AB 7,AC 8,BC 9 , P 为平面ABC 内一点，满足

uuu

uur A B

AC

上的动点，且 19

则 uur

uuu uuu AB AC uuu

的最小值是 PA gC 7,则| PB |的取值范围是 _________

'1、

（a c ） （b c ） 0,则|c 的勺最大值是 （） A.1 B.2

C.

2 D. —2

2、 :2016

uiu uuu BA CA 4

年江苏］如图，在△ ABC 出是B C

的中点，E , F 是AD 上的两个三等分点 中，

B F CFu nu iun CE

的值是

1,则 BE

3、 : 2014年江苏 uuv uuiv uuv CP 3PD,AP

:如图在平行四边形 ABCD 中，已知 AB 8, AD 5 ,

uuiv uuv uuuv BP 2，贝y AB AD 的值是

课后检测

1.在ABC 中,

BAC 60。若

AB

2, BC . 3 , D 在线段AC 上运动，DB DA 的最小值为 例3. （ 2013浙江理7 ）在

AC BC

，若向量c 满足