最值问题-隐圆
专题18 隐形圆及最值问题
AB是 O 的直径，
ACB 90．
ABC 45 ， AC 5 ，
ABC 45 ，
AB AC 5 5 2 ， sin 45 2 2
MN最大
52 2
．
故答案为： 5 2 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知 C(3, 4) ，以点 C 为圆心的圆与 y 轴相切．点 A 、 B 在 x 轴上，且 OA OB ．点 P 为 C 上的动点， APB 90 ，则 AB 长度的最大值为 ．
1．如图，等边 ABC 的边长为 2， A 的半径为 1，D 是 BC 上的动点，DE 与 A 相切于 E ， DE 的最小值是 ( )
A．1
B． 2
C． 3
D．2
【分析】连接 AE ， AD ，作 AH BC 于 H ，因为 DE 与 A 相切于 E ，所以 AE DE ， 可得 DE AD2 AE2 AD2 1 ，当 D 与 H 重合时， AD 最小，此时 DE 最小，求出 AH 的长，即可得出 DE 的最小值． 【解答】解：如图，连接 AE ， AD ，作 AH BC 于 H ，
若平面上 A、B、C、D 四个点满足 ABC ADC ， 则 A、B、C、D 四点共圆． 证明条件：1．四边形对角互补； 2．四边形外角等于内对角．
两条线段被一点分成（内分或外分）两段长的乘积相等，则这两条线段的四个端点共圆．
D
C
H
O
A
B
四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于 H， 若 AH CH BH DH ，则 A、B、C、D 四点共圆.
作 AM⊥BP 于 M．当点 P 从点 C 运动到点 A 时，线段 BM 的中点 N 运动的路径长为（
）
A． 2 π 2
初中数学之隐圆最值
BMCDAEFD CBABEDCF A“隐圆”最值问题【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是__________．分析：在构造圆的前提下 考虑90°如何使用。
直角对直径所以以AB 为直径画圆。
使用垂径定理即可得到3-20c x ≤<3【练】如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是______256____．分析：过D 点作DE 垂直AB 交AC 于点M 可证△FBD ∽△ECD 即可 求出最小值【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始 终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________．分析：将线段AD 绕A 点任意旋转隐藏着以A 为圆心AD 为半径的圆构造 出来。
接下来考虑重点M 的用途即可。
中点的用法可尝试下倍长和中位线。
此题使用中位线。
答案是3722c x ≤≤【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC = 22，AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是424222AC -+≤≤． 分析：同例题【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC长的最大值是（）A．2 B．1 C．1 +3D．3分析：取AB中点M连接OM、CM。
专题1.3 最值问题-隐圆模型之定边对定角
常见的“隐圆”模型思维导图
O
动点 动点
6.“瓜豆”问题
隐圆 模型
O
动 点
定点
动点
2.直角对直径
动点
模型解读
固定线段AB所对动角∠P为定值,则 点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆.
P(动点) O
A
B
原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等. 备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可.
3
CC
定弦
AB
辅
定角
∠ACB
助 圆
C
60º
O
A
4
B
中考数学第二轮总复习题型概述典型例题考点聚焦精准训练综合提升专题13隐圆模型之定边对定角第一部分最值问题纵观近几年中考数学有一些高频考题如线段最值问题动点路程问题除了填空选择关于圆的计算以及解答题关于圆的证明以外常常会以压轴题的形式考察圆的重要性质
中考数学第二轮总复习
第一部分 最值问题
专题1.3 “隐圆模型”之定边对定角
பைடு நூலகம்
D D
是什么呢?△ABD面积的最大值?
定弦
AB
辅
A
B
助
定角
∠ADB
圆
D
拓展提高
1.如图,边长为3的等边△ABC,D、E分别为边BC、AC上的两个动点, 且BD=CE,AD、BE交于点P,求CP的最小值。
定弦
AB
辅
定角
∠APB
助 圆
A O
P
E
P
BD
C
类型4 定长+定角---求最值
2.如图,在正△ABC中,AB=2,若P为△ABC内一动点,且满足
专题1.5 最值问题-隐圆模型之四点共圆
∠BAD=∠EAC=α,连接CD,BE相交于点P.
(1)求∠BPD的度数(用含α的代数式表示)；
(2)连接AP,求证：∠APD=∠ABD.
A D
OP
E
B
C
模型解读---手拉手(双子型)中的四点共圆
D 条件：△OCD∽△OAB
O
结论：①△OAC∽△OBD
E C ②AC与BD交于点E,必有∠AEB=∠AOB；
3.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆。
E
D
A
C
A
B
O
B O
F
典型例题---直径是圆中最长的弦
【例3】在△ABC中,∠ACB=90º,AC=6,BC=8,O为AB的中点,过O作
OE⊥OF,OE、OF分别交射线AC,BC于E、F,则EF的最小值为? A
【简答】∵∠EOF=∠C=90º,∴C,O均在以
EF为直径的圆上∵EF是圆的直径,O、C均
F M
D
C
E
O
A
B
当堂训练---对角互补型四点共圆
1.如图,在四边形ABCD中,∠B=60º,∠D=120º,BC=CD=a,
则AB-AD=( C )
A. a
B.
3 a
C.a
D. 3a
2
2
D
a
120º
C
a
A
60º 60º
Ea
B
当堂训练---对角互补型四点共圆
2.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,连接EF.
典型例题---对角互补型四点共圆
【例1】如图,正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形AEFG,连接 BE,延长BE交于CF于点M,求证：M是线段CF的中点.
专题4.2圆---利用“隐圆”模型求最值-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
D
Q
Q
C
N N
H
O O
A
MM
P P
B
∵MN=2NH= ON2-OH2 = 262-OH2
∴当OH最短时，MN最长.
与“圆”有关的最值问题
强化训练
提升能力
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,BC=6,AC=8,D,E分别是BC,AC上的一点,且
24/5
DE=6.若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M,N两点,则MN的最大值为_____.
A
M
D
E
B
N
C
针对训练
点圆最值---点心线
考点4-1
1.如图,⊙O、⊙C,OC=5,点A、B分别是平面内的动点,且OA=4,BC=3,则OB长
2 ,AC长的最大值为_____
8 ,OB长的最小值为______
9 ,AC长的最小值
的最大值为______
12 ,AB长的最小值为____．
0
为______
1 ,AB长的最大值为______
2.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E是AB边上的中点,点F是线段BC边上
的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB´F,连接B´C,则B´C最小值是
A
2 10-2
________.
A
B
O
C
D
B´
E
B´
B
F
C
模型分析
线圆最值---心垂线
考点4-2
BC、CD上两个动点,且∠EAF=60º,则△AEF的面积是否存在最小值?若存在,
求出其最小值；若不存在,请说明理由. 定角夹定高
【简答】将△ADF绕点A顺时针旋转120º,得△ABF´,则∠EAF´=60º,易证
隐圆问题 最值问题 7种题型 知识点+例题+练习(非常好 分类全面)
4、90o的圆周角所对的弦为直径
（动态问题中一般会出现多个直角，往往会有一个直角所对斜边是固定不变的，选取该斜边中点为圆心，斜边中线为半径）
7、寻找特殊点和线段两端点形成特殊角
例1：如图， 为正三角形，做 的外接圆
（1）D为优弧 上一点，则 =
（2）已知线段 和直线 ，请用尺规作图在直线 上找一点 ，使得 .（可改成 ， ）
练习：1、如图， 为正三角形，做 的外接圆
（1）D为劣弧 上一点，则 =
（2）若三角形的3个内角均小于120°，三角形存在一点P，使得PA、PB、PC的夹角均为120°，我们称点P为 的费马点。
A．1B． C． D．5
3、如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90∘，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90∘得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是____________.
4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是_________.
例2、平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是___________
练习、如图，AB为直径，AB=4，C、D为圆上两个动点，N为CD中点，CM⊥AB于M，当C、D在圆上运动时保持∠CMN=30°，则CD的长（ ）
隐形圆最值问题初中题型
隐形圆最值问题初中题型隐形圆最值问题是初中数学中的一个常见题型，它涉及到圆的最值问题，需要通过分析，计算得出圆的最大或最小值。
这个问题一般涉及到最大面积、最小周长或最小直径等方面，下面我将以最大面积为例来详细介绍。
我们来解释什么是隐形圆。
隐形圆是指在平面上已知一个角度和一个弦长，需要求得这个角度上的圆的最大面积。
我们可以先确定圆心在这个角的端点上，然后通过圆心和角的端点来画圆。
这个圆称为隐形圆，因为它不是直接给出的，而是需要我们通过问题的条件来确定。
解决隐形圆最值问题的关键是画出合适的图形并找到相关的性质和定理。
在求解最大面积问题时，我们可以使用面积公式S=πr²来表示圆的面积，其中r是半径。
由于隐形圆的圆心位于角的端点上，因此圆心和角的两个端点构成一个等腰三角形，这是求解问题的关键。
为了方便分析，我们可以将该等腰三角形的一个顶点放在坐标系的原点，另一个顶点放在x轴上，并设该顶点的坐标为(1, 0)。
由于是等腰三角形，所以圆心的坐标也可以设为(a, b)，其中a和b是待定的参数。
假设圆的半径为r，则圆的方程为(x - a)² + (y - b)² = r²根据等腰三角形的性质，我们可以得到圆心的另一个坐标(a, b)满足a² + b² = 1。
这个条件可以用来确定圆心的位置。
接下来，我们要利用已知的角度和弦长的信息来确定圆心和半径。
设角的顶点坐标为(cosθ, sinθ)，其中θ是已知的角度。
根据弦长的性质，我们可以得到圆心到角的顶点的距离为r，即(a - cosθ)² + (b - sinθ)² = r²将圆心的坐标代入上式，得到(cosθ - a)² + (sinθ - b)² = r²综合以上两个方程，我们可以得到关于a和b的方程组。
通过求解这个方程组，我们可以得到圆的半径r。
“隐圆”最值问题习题.doc
B M CDA “隐圆”最值问题重难点：分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是__________．分析：在构造圆的前提下 考虑90°如何使用。
直角对直径所以以AB 为直径画圆。
使用垂径定理即可得到3-20c x ≤<3【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是__________．分析：过D 点作DE 垂直AB 交AC 于点M 可证△FBD ∽△ECD 即可求出最小值【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________． 分析：将线段AD 绕A 点任意旋转隐藏着以A 为圆心AD 为半径的圆构造出来。
接下来考虑重点M 的用途即可。
中点的用法可尝试下倍长和中位线。
此题使用中位线。
答案是3722c x ≤≤ 【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE= 90°，AC = 22，AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是424222AC -+≤≤． 分析：同例题【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC长的最大值是（ ）A ．2B ．1C ． 1 +3D ．3分析：取AB 中点M 连接OM 、CM 。
中考数学专题《隐形圆解析》
D
E O
C
B
取 CB 中点 M，所以 E 点轨迹是以 M 为圆心、CB 为直径的圆弧．
A
D
E O
CM
B
连接 AM，与圆弧交点即为所求 E 点，此时 AE 值最小， AE AM EM 102 22 2 2 26 2 ．
A
E
C
M
B
【2019 园区一模】如图，正方形 ABCD 的边长为 4，动点 E、F 分别从点 A、C 同时出发，
C
M
E
A
O
B
【寻找定边与直角】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°，BC=4，AC=10，点 D 是 AC 上的 一个动点，以 CD 为直径作圆 O，连接 BD 交圆 O 于点 E，则 AE 的最小值为_________．
A
D
O
E
C
B
【分析】连接 CE ，由于 CD 为直径，故∠CED=90°，考虑到 CD 是动线段，故可以将此 题看成定线段 CB 对直角∠CEB ．
A
D
O
P
F
B
E
C
连接 OC，与圆的交点即为 P 点，再通过勾股定理即可求出 PC 长度． 思路概述：分析动点形 成原理，通常“ 非直即圆” （不是直线就 是圆），接下来可以 寻找与动 点相关有无定直线与定 角．
【2013 武汉中考】如图，E 、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足 AE =DF，连 接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H，若正方形边长为 2，则线段 DH 长度的最小 值是________．
A
O
B
【辅助圆+相切】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°，∠B=30°，AB =4，D 是 BC 上一动点， CE ⊥AD 于 E ，EF⊥AB 交 BC 于点 F，则 CF 的最大值是_________．
解题技巧专题：圆中的最值问题(含隐圆问题)
8．如图，已知⊙O的半径为m，点C为直径AB延 长线上一点，BC＝m.过点C任作一直线l，若l上总 存在点P，使过P所作的⊙O的两切线互相垂直， 则∠ACP的最大值等于 45°.
解析：设PM、PN是过P所作的⊙O的两切线且互 相垂直，则∠MON＝90°.∴四边形PMON是正方 形．根据勾股定理求得OP＝ 2m.∴P点在以O为圆 心，以 2m长为半径的大圆⊙O上．过C点作大 ⊙O的切线，切点即为P点，此时∠ACP有最大值， 如图所示．∵PC是大圆⊙O的切线， ∴OP⊥PC.∵OC＝2m，OP＝ 2 m， ∴PC＝ OC2 OP2＝ 2m.∴OP＝PC. ∴∠ACP＝45°. ∴∠ACP的最大值等于45°.故答案为45°.
(2)解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF.
而OA＝OB，
∴OF为△ACB的中位线． ∴OF＝ 1 BC＝3.
2 ∴DF＝OD－OF＝5－3＝2.
(3)若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段 AB上任意一点，试求出PC＋PD的最小值． (3)解：作C点关于AB的对称点C′，连接C′D交AB于 P，连接OC，如图． ∵PC＝PC′， ∴PD＋PC＝PD＋PC′＝DC′. ∴此时PC＋PD的值最小． ∵ AD＝CD，∴∠COD＝∠AOD＝80°.
9．如图，P是矩形ABCD内一点，AB＝4，AD＝2， AP⊥BP，则当线段DP最短时，CP＝ 2 3 .
解析：以AB为直径作半圆O，连接OD，与半圆O交 于＝＝O2点BP2＝，′，12∠当AAB点D＝PO2与＝.∵P∠′A重ADO合＝D时2＝，，∠∠DOBPDA最CD短＝＝，4950则°°A.，∴O∴＝DPOO′＝DP′ OD－OP′＝2 2－2.过P′作P′E⊥CD于点E，则易得 P′E＝DE＝2－ 2.∴CE＝CD－ DE＝ 2＋2.∴CP′＝ PE2 CE2 ＝2 3.故答案为2 3.
巧用隐圆 妙解最值(解析版)--初中数学
巧用隐圆妙解最值模型背诵隐圆一:定弦定角，隐圆正好。
AB的长度固定不变(定弦)，∠ABC=α不变(定角)。
这样的图形就是我们所谓的“定弦定角模型”。
隐圆一特殊:若∠ACB=90°，则AB为三点所在圆的直径。
(可以解决动点轨迹。
)隐圆二:等弦对等角，隐圆可以找。
(可以利用四点共圆证相似,角相等)若∠ADC=∠ABC，则A,B,C,D四点共圆。
在半角模型中,证四点共圆,主要利用了这类隐圆.隐圆二特殊.若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D四点共圆，且AC为直径。
隐圆三:对角互补，四点共圆.若∠ADC+∠ABC=180°，则A,B,C,D四点共圆。
隐圆三特殊:若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D四点共圆，且AC为直径。
隐圆四：定点定长，隐圆必现。
CA=CB=CP隐圆五、瓜豆原理之种圆得圆。
若Q为AP的中点，当P沿⊙O运动一周，则Q的运动轨迹为以AO中点M为圆心的圆。
(P为“主动点”，点Q为“从动点。
)典例分析如图1-1，点P(3,4)，圆P半径为2，A(2.8,0)，B(5.6,0)，点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．【点睛】图1-2，M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．图1-3：当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．实战训练一．选择题(共8小题)1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°且AB=10，点P为△ABC的内心，点O为AB边中点，将BO绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接DP，则DP长的最小值为()A.55-52B.52C.35-32 D.52-52试题分析：在AB的下方作等腰直角三角形AKB，使得∠AKB=90°，AK=BK．连接DK，PK，过点K作KT⊥DB交DB的延长线于点T．判断出点P的运动轨迹，求出DK，PK，可得结论．答案详解：解：在AB的下方作等腰直角三角形AKB，使得∠AKB=90°，AK=BK．连接DK，PK，过点K作KT⊥DB交DB的延长线于点T．∵点P是△ACB的内心，∠C=90°，∴∠PAB=12∠CAB，∠PBA=12∠ABC，∴∠PAB +∠PBA =12(∠CAB +∠CBA )=45°，∴∠APB =180°-45°=135°，∴点P 在以K 为圆心，KA 为半径的圆上运动，∵AB =10，AK =BK ，∠AKB =90°，∴AK =BK =KP =52，∠ABK =45°，∵∠ABT =90°，∴∠KBT =45°，∴KT =BT =5，∵OA =OB =BD =5，∴DT =10，∴DK =DT 2+KT 2=55，∴DP ≥DK -PK =55-52，∴DP 的最小值为55-52．所以选：A ．2.已知抛物线y =-316(x -1)(x -9)与x 轴交于A ，B 两点，对称轴与x 轴交于点D ，点C 为抛物线的顶点，以C 点为圆心的⊙C 半径为2，点G 为⊙C 上一动点，点P 为AG 的中点，则DP 的最大值与最小值和为()A.72B.23C.412D.5试题分析：P 为AG 中点，D 为AB 中点，所以PD 是△ABG 的中位线，则DP =12BG ，当BG 最大时，则DP 最大．由圆的性质可知，当G 、C 、B 三点共线时，BG 最大或最小．答案详解：解：如图，连接BG ．因为P 为AG 中点，D 为AB 中点，所以PD 是△ABG 的中位线，则DP =12BG ，当BG 最大时，则DP 最大．由圆的性质可知，当G 、C 、B 三点共线时，BG 最大．∵C (5，3)，B (9，0)，∴BC =32+42=5，∴BG 的最大值为2+5=7，BG 的最小值=5-2=3，∴DP 的最大值为72．DP 的最小值为32，∴DP 的最大值与最小值的和为5．所以选：D ．3.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点P是矩形ABCD内一点，连接PA，PC，PD，若PA⊥PD，则PC的最小值为()A.213-4B.210-3C.2D.4试题分析：由PA⊥PD可得点P在以AD中点O为圆心AD为直径的圆上，连接CO交圆于一点即为最短距离点，即可得到答案．答案详解：解：∵PA⊥PD，∴点P在以AD中点O为圆心AD为直径的圆上，如图所示，∴连接CO交圆于一点即为最短距离点P，如图所示，∵AB=4，BC=6，∴OD=3，DC=4，根据勾股定理可得，OC=32+42=5，∴CP=5-3=2，所以选：C．4.如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，点P是BC边上一动点(点P不与B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为()A.2B.5C.3D.102试题分析：当A，M，C三点共线时，线段CM的长度最小，求出此时CM的长度即可．答案详解：解：连接AM，∵点B和M关于AP对称，∴AB=AM=3，∴M在以A为圆心，3为半径的圆上，∴当A，M，C三点共线时，CM最短，∵AC=32+42=5，AM=AB=3，∴CM=5-3=2，所以选：A．5.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为()A.3B.1+6C.1+32D.1+7试题分析：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题；答案详解：解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ=QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO=90°，∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大(也可以通过CQ≤QK+CK求解)在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2，OC=1，CH=3，∴OH=12在Rt△CKH中，CK=(3)2+22=7，∴CQ的最大值为1+7，所以选：D．6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为()A.2B.πC.2πD.22π试题分析：由△ADE ≌△CDF ，推出∠DAE =∠DCF ，因为∠AED =∠CEG ，推出∠ADE =∠CGE =90°，推出A 、C 、G 、D 四点共圆，推出点G 的运动轨迹为弧CD ，利用弧长公式计算即可．答案详解：解：如图，∵CA =CB ，∠ACB =90°，AD =DB ，∴CD ⊥AB ，∴∠ADE =∠CDF =90°，CD =AD =DB ，在△ADE 和△CDF 中，AD =CD ∠ADE =∠CDF DE =DF，∴△ADE ≌△CDF (SAS )，∴∠DAE =∠DCF ，∵∠AED =∠CEG ，∴∠ADE =∠CGE =90°，∴A 、C 、G 、D 四点共圆，∴点G 的运动轨迹为弧CD ，∵AB =4，AB =2AC ，∴AC =22，∴OA =OC =2，∵DA =DC ，OA =OC ，∴DO ⊥AC ，∴∠DOC =90°，∴点G 的运动轨迹的长为90π×2180=22π．所以选：D ．7.如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =8，BC =12，D 为AC 边上的一个动点，连接BD ，E 为BD 上的一个动点，连接AE ，CE ，当∠ABD =∠BCE 时，线段AE 的最小值是()A.3B.4C.5D.6试题分析：如图，取BC 的中点T ，连接AT ，ET ．首先证明∠CEB =90°，求出AT ，ET ，根据AE ≥AT -ET ，可得结论．答案详解：解：如图，取BC 的中点T ，连接AT ，ET ．∵∠ABC =90°，∴∠ABD +∠CBD =90°，∵∠ABD =∠BCE ，∴∠CBD +∠BCE =90°，∴∠CEB =90°，∵CT =TB =6，∴ET =12BC =6，AT =AB 2+BT 2=82+62=10，∵AE ≥AT -ET ，∴AE ≥4，∴AE 的最小值为4，所以选：B ．8.如图，已知在矩形ABCD 中，AB =1，BC =3，点P 是AD 边上的一个动点，连接BP ，点C 关于直线BP 的对称点为C 1，当点P 运动时，点C 1也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段CC 1扫过的区域的面积是()A.πB.π+334C.332D.2π试题分析：由临界状态确定出C 1的运动路径，明确点P 从点A 运动到点D ，则线段CC 1扫过的区域为：扇形BC 'C ''和△BCC ''，再分别计算两部分面积即可．答案详解：解：如图，当P 与A 重合时，点C 关于BP 的对称点为C ′，当P 与D 重合时，点C 关于BP 的对称点为C ″，∴点P 从点A 运动到点D ，则线段CC 1扫过的区域为：扇形BC 'C ''和△BCC ''，在△BCD 中，∵∠BCD =90°，BC =3，CD =1，∴tan ∠DBC =13=33，∴∠DBC =30°，∴∠CBC ″=60°，∵BC =BC ''，∴△BCC ''为等边三角形，∴S 扇形BC ′C ″=120×π×(3)2360=π，作C ''F ⊥BC 于F ，∵△BCC ''为等边三角形，∴BF=12BC=32，∴C''F=tan60°×32=32，∴S△BCC''=12×3×32=334，∴线段CC1扫过的区域的面积为：π+334．所以选：B．二．填空题(共12小题)9.如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB=6，AD=4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为 53 ．试题分析：分析题意可知，点M是在以AM为半径，点A为圆心的圆上运动，连接AN，AM，以AM 为半径，点A为圆心作圆，反向延长AN与圆交于点M′，以此得到M、A、N三点共线时，MN的值最大，再根据勾股定理分别算出AM、AN的值，则MN的最大值M′N=AN+AM′=AN+AM．答案详解：解：连接AN，AM，以AM为半径，点A为圆心作圆，反向延长AN与圆交于点M′，如图，∵△ADE绕点A旋转，∴点M是在以AM为半径，点A为圆心的圆上运动，∵AM+AN≥MN，∴当点M旋转到M′，即M、A、N三点共线时，MN的值最大，最大为M′N，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB=6，AD=4，∴AN⊥BC，AM⊥DE，BN=3，DM=2，在Rt△ABN中，由勾股定理得AN=AB2-BN2=33，在Rt△ADM中，由勾股定理得AM=AD2-DM2=23，根据旋转的性质得，AM′=AM=23，∴M′N=AN+AM′=53，即MN的最大值为53．所以答案是：53．10.如图，正方形ABCD中，AB=4，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为 210 ．试题分析：如图，作点D关于直线BC的对称点K，连接MK，以AB为直径作⊙J，取CD的中点H，连接JH交⊙J于点T．由题意，点P的运动轨迹是AT，当点P运动到点T时，且点M在KT上时，DM+MP=KM+MP的值最小，最小值为KT的长．答案详解：解：如图，作点D关于直线BC的对称点K，连接MK，以AB为直径作⊙J，取CD的中点H，连接JH交⊙J于点T．∵点E与点F的速度相同．∴AE=DF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE=∠ADF，AB=AD，∴△ABE≌△DAF(SAS)，∴∠ABE=∠DAF，∵∠DAF+∠PAB=90°，∴∠ABE+∠PAB=90°，∴点P在以AB为直径的圆上，圆心为点J，由题意，点P的运动轨迹是AT，当点P运动到点T时，且点M在KT上时，DM+MP=KM+MP 的值最小，最小值为KT的长．在Rt△THK中，TH=2，HK=6，∴TK=TH2+KH2=22+62=210，∴DM+MP的最小值为210，所以答案是：210．11.如图，在锐角三角形ABC中，BC=8，sin A=45，BN⊥AC于点N，CM⊥AB于点M，连接MN，则△AMN面积的最大值是 28825 ．试题分析：画出△ABC的外接圆⊙O，连接OB，利用定角对定边可知点A在优弧BC上运动，当A'O⊥BC时，△A'BC的面积最大，求出△ABC的最大面积，再利用三角函数求出AM的长度，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方可得答案．答案详解：解：画出△ABC的外接圆⊙O，连接OB，∵BC=8，sin A=45，∴点A 在优弧BC 上运动，当A 'O ⊥BC 时，△A 'BC 的面积最大，∴BH =4，∵∠BOH =∠BAC ，∴BO =5，OH =3，∴AH =8，cos ∠BOH =35，∴S △ABC 最大为12×8×8=32，∵CM ⊥AB ，∴cos ∠MAC =AMAC=35，∵AB =AC ，AM =AN ，∠MAN =∠BAC ，∴△AMN ∽△ABC ，∴S △AMN S △ABC =AM AB2，∴S △AMN 32=925，∴S △AMN =28825，所以答案是：28825．12.在△ABC 中，AB =4，∠C =45°，则2AC +BC 的最大值为410 ．试题分析：过点B 作BD ⊥AC 于点D ，则△BCD 为等腰直角三角形，设BD =CD =a ，延长AC 至点F ，使得CF =a ，则可求出tan ∠AFB ，作△ABF 的外接圆⊙O ，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则AE =12AB =2，∠AOE =∠AFB ，则可利用tan ∠AOE 求出OE 、OA ，最后利用三角形三边关系即可求出2AC +BC 的最大值为2(OA +OF )，计算即可．答案详解：解：过点B 作BD ⊥AC 于点D ，∵∠C =45°，∴△BCD 为等腰直角三角形，∴BD =CD ，设BD =CD =a ，延长AC 至点F ，使得CF =a ，∵tan ∠AFB =a 2a =12，作△ABF 的外接圆⊙O ，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则AE =12AB =2，∠AOE =∠AFB ，∴tan ∠AOE =12，∴OE =4，OA =22+42=25，∴2AC+BC=2AC+22BC=2(AC+CF)=2AF≤2(OA+OF)，∴2AC+BC的最大值为2×45=410．所以答案是：410．13.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠CBD=15°，BD=3AB，则∠BDC=45°．试题分析：过点A作AM⊥BD于M．分别求出∠ADC，∠ADB，可得结论．答案详解：解：过点A作AM⊥BD于M．∵AB=AC=AD，∴∠CAD=2∠CBD=30°，∴∠ADC=∠ACD=75°，∵AB=AD，AM⊥BD，∴BM=DM，∵BD=3AB，∴BMAB =32，∴cos∠ABM=32，∴∠ABM=∠ADB=30°，∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=45°．所以答案是：45°．14.如图，等边△ABC中，AB=6，点D、点E分别在BC和AC上，且BD=CE，连接AD、BE交于点F，则CF的最小值为23 ．试题分析：首先证明∠AFB=120°，推出点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动(∠AOB=120°，OA=23)，连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小．答案详解：解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠BCE=60°，∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE(SAS)∴∠BAD=∠CBE，又∵∠AFE=∠BAD+∠ABE，∴∠AFE=∠CBE+∠ABE=∠ABC，∴∠AFE=60°，∴∠AFB =120°，∴点F 的运动轨迹是O 为圆心，OA 为半径的弧上运动(∠AOB =120°，OA =23)，连接OC 交⊙O 于N ，当点F 与N 重合时，CF 的值最小，最小值=OC -ON =43-23=23．所以答案是23．15.如图，正方形ABCD 中，AB =2，动点E 从点A 出发向点D 运动，同时动点F 从点D 出发向点C 运动，点E 、F 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF 、BE 相交于点P ，M 是线段BC 上任意一点，则MD +MP 的最小值为 10 ．试题分析：首先作出点D 关于BC 的对称点D ′从而可知当点P 、M 、D ′在一条直线上时，路径最短，当点E 与点D 重合，点F 与点C 重合时，PG 和GD ′均最短，即PD ′最短，然后由正方形的性质和轴对称图形的性质可知：PG =1，GD ′=3，最后由勾股定理即可求得PD ′的长，从而可求得MD +MP 的最小值．答案详解：解：如图作点D 关于BC 的对称点D ′，连接PD ′，由轴对称的性质可知：MD =D ′M ，CD =CD ′=2∴PM +DM =PM +MD ′=PD ′过点P 作PE 垂直DC ，垂足为G ，易证AF ⊥BE ，故可知P 的轨迹为以AB 为直径的四分之一圆弧上，当点E 与点D 重合，点F 与点C 重合时，PG 和GD ′均最短，∴此时，PD ′最短．∵四边形ABCD 为正方形，∴PG =12AD =1，GC =12DC =1．∴GD ′=3．在Rt △PGD ′中，由勾股定理得：PD ′=PG 2+GD '2=12+32=10．所以答案是：10．16.如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠CAB =60°，AB =4，点P 是BC 边上的动点，过点C 作直线AP 的垂线，垂足为Q ，当点P 从点C 运动到点B 时，点Q 的运动路径长为 23π ．试题分析：由AQ⊥CQ，推出∠AQC=90°，可知当点P从点C运动到点B时，点Q的运动的轨迹是以AC为直径的半圆上，延长即可解决问题．答案详解：解：∵AQ⊥CQ，∴∠AQC=90°，∴当点P从点C运动到点B时，点Q的运动的轨迹是以AC为直径的半圆上，路径是120度的弧长，在Rt△ABC中，∵AB=4，∠B=30°，∴AC=12AB=2，∴点Q的运动路径长为120⋅π⋅1180=23π17.如图，在平面直角坐标系中，有一条长为10的线段AB，其端点A、点B分别在y轴、x轴上滑动，点C为以AB为直径的⊙D上一点(C始终在第一象限)，且tan∠BAC=12．则当点A从A0(0，10)滑动到O(0，0)，B从O(0，0)滑动到B0(10，0)的过程中，点C运动的路径长为20-65 ．试题分析：如图1中，作射线OC．首先证明点C在射线OC上运动，∠COB=∠CAB=定值，求出三种特殊位置OC的值即可解决问题；答案详解：解：如图1中，作射线OC．∵tan∠BAC=12，∴∠CAB是定值，∵∠COB=∠CAB，∴∠COB是定值，∴点C在射线OC上运动．如图2中，当线段AB在y轴上时，设OC1=k，A1C1=2k，则有：k2+4k2=102，∴k=25∴OC1=25，如图2中，四边形A2OB2C2是矩形时，OC2=AB=10，此时OC2的值最大，当线段AB在x轴上时，同法可得OC3=45，观察图形可知，点C的运动轨迹是C1→C2→C3，∴点C的运动路径为：(10-25)+(10-45)=20-65，所以答案是20-65．18.如图，等边△ABC的边长为6，D为BC边上的中点，P为直线BC上方的一个动点，且满足∠PAD=∠PDB，则线段CP长的最大值为 37+332．试题分析：首先证明点P在以AD为直径的⊙O上，连接OC，延长CO交⊙O于点P，此时PC最大，利用勾股定理求出OC即可解决问题．答案详解：解：∵等边△ABC的边长为6，D为BC边上的中点，∴∠ADB=90°，∴∠ADP+∠PDB=90°，∵∠PAD=∠PDB∴∠DAP+∠ADP=90°，∴∠APD=90°，∴点P在以AD为直径的⊙O上，连接OC，延长CO交⊙O于点P，此时PC最大，在Rt△CDO中，∵∠ODC=90°，DC=12BC=3，OD=12AD=332，∴OC=OD2+CD2=372，∴PC=OC+OP=372+332=37+332．∴CP长的最大值为37+332．所以答案是37+332．19.在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3．点D为平面上一个动点，∠ADB=45°，则线段CD长度的最小值为 5-2 ．试题分析：根据∠ADB=45°，AB=2，作△ABD的外接圆O，连接OC，当O、D、C三点共线时，CD的值最小．将问题转化为点圆最值．可证得△AOB为等腰直角三角形，OB=OA=2，同样可证△OBE也为等腰直角三角形，OE=BE=1，由勾股定理可求得OC的长为5，最后CD最小值为OC-OD=5-2．答案详解：解：如图所示．∵∠ADB=45°，AB=2，作△ABD的外接圆O(因求CD最小值，故圆心O在AB的右侧)，连接OC，当O、D、C三点共线时，CD的值最小．∵∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∴△AOB为等腰直角三角形，∴AO=BO=sin45°×AB=2．∵∠OBA=45°，∠ABC=90°，∴∠OBE=45°，作OE⊥BC于点E，∴△OBE为等腰直角三角形．∴OE=BE=sin45°•OB=1，∴CE=BC-BE=3-1=2，在Rt△OEC中，OC=OE2+CE2=1+4=5．当O、D、C三点共线时，CD最小为CD=OC-OD=5-2．所以答案是：5-2．20.如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=3，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为 3-π3 ．试题分析：由矩形的性质求出∠ABQ=120°，由矩形的性质和轴对称性可知，△BOQ≌△DOC，根据S阴影部分=S四边形ABQD-S扇形ABQ=2S△ABD-S扇形ABQ可求出答案．答案详解：解：∵当点P从点A运动到点D时，PQ=PA，∴点Q运动轨迹是圆弧，如图，阴影部分的面积即为线段PQ在平面内扫过的面积，∵矩形ABCD中，AB=1，AD=3，∴∠ABC=∠BAC=∠C=∠Q=90°．∴∠ADB=∠DBC=∠ODB=∠OBQ=30°，∴∠ABQ=120°，由矩形的性质和轴对称性可知，△BOQ≌△DOC，S△ABD=S△BQD，∴S阴影部分=S四边形ABQD-S扇形ABQ=2S△ABD-S扇形ABQ，=S矩形ABCD -S扇形ABQ=1×3-120π×12360=3-π3．所以答案是：3-π3．三．解答题(共3小题)21.圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．(1)已知：如图1，OA=OB=OC，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若∠AOB=70°，则∠ACB=35°．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=30°，AB=2．(2)已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和∠BEA的大小．(3)如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足∠BQA=45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，若不存在，说明理由．试题分析：(1)利用圆的定义知A，B，C三点共圆，再利用圆周角定理求解．(2)根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解．(3)因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出D点能够向右移动的最大距离，求出四边形的最大面积．答案详解：(1)以O为圆心，OA为半径作辅助圆，如图，∵∠AOB=70°，∴∠ACB=35°，所以答案是35°．(2)连接PB，PE，如图，，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=30°，AB=2．∴AC=4，∠BAC=60°，BC=23．∵P为Rt△ABC斜边AC中点，∴BP=12AC=2，线段AC平移到DF之后，AB=AD=PE=2，BP=AE=2，∴四边形ABPE为菱形，∵∠BAC=60°，∴∠BEA=30°，∵CF∥BD，且∠ABC=90°，∴四边形BDFC为直角梯形，∴S=12(BD+CF)×BC=12×6×23=63，(3)如图所示，当AC边沿BC方向平移2个单位至DF时，满足∠BQA=45°且此时四边形BADF的面积最大，此时直角梯形ABFD的最大面积为，S=12×(BF+AQ)×AB=12×(23+2+2)×2=4+23．22.阅读下列材料，回答问题．材料：求圆外一定点到圆上距离最小值是安徽省中考数学较为常见的一种题型，此类题型试题有时出题者将圆隐藏，故又称为“隐圆问题”．解决这类问题，关键是要找到动点的运动轨迹，即该动点是绕哪一个定点旋转，且能保持旋转半径不变．从而找到动点所在的隐藏圆，进而转换成圆外一点到圆心的距离减半径，求得最小值．解决问题：(1)如图①，圆O的半径为1，圆外一点A到圆心的距离为3，圆上一动点B，当A、O、B满足条件点B在线段AO上时，AB有最小值为2．(2)如图②，等腰△ABC两腰长为5，底边长为6，以A为圆心，2为半径作圆，圆上动点P到BC的距离最小值为2．(3)如图③，OA⊥OB，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，C是线段PQ的中点，且PQ=4，则在线段PQ滑动的过程中，求点C运动形成的路径长，并说明理由．(4)如图④，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E是AB中点，点F是BC上一点，把△BEF沿着EF翻折，点B落在点B'处，求DB'的最小值，并说明理由．(5)如图⑤，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，求PQ长的最小值，并说明理由．试题分析：(1)如图①，连接OA，OB，OA，由三角形的三边关系可得AB≤AO-BO，则当点B在线段AO上时，AB有最小值=3-1=2；(2)如图②中，过点A作AH⊥BC于H，交⊙A于P，此时点P到BC的距离最小．(3)利用直角三角形斜边中线的性质，的长OC=2，再利用弧长公式求解即可．(4)如图④中，连接DE，DB′．利用勾股定理求出DE，根据DB′≥DE-EB′，可得DB′≥217-2，由此可得结论．(5)当O、Q、P三点共线且OP⊥BC时，PQ有最小值，设AC与圆的切点为D，连接OD，分别利用三角形中位线定理可求得OD和OP的长，则可求得PQ的最小值．答案详解：解：(1)如图①，连接OA，OB，OA，在△ABO中，AB≤AO-BO，当点B在线段AO上时，AB有最小值=3-1=2，所以答案是：点B在线段AO上，2．(2)如图②中，过点A作AH⊥BC于H，交⊙A于P，此时点P到BC的距离最小．∵AB=AC=5，AH⊥BC，BC=3，∴BH=CH=12∴AH=AB2-BH2=52-32=4，∵PA=2，∴PH=AH-AP=2，∴圆上动点P到BC的距离最小值为2，所以答案是：2．(3)如图③中，连接OC．∵∠POQ=90°，PQ=4，PC=CQ，PQ=2，∴OC=12∴点C的运动轨迹是圆弧，运动路径的长=90⋅π⋅2=π．180(4)如图④中，连接DE，DB′．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵AE=EB=2，AD=8，∴DE=AE2+AD2=22+82=217，∵BE=EB′=2，∴DB′≥DE-EB′，∴DB′≥217-2，∴DB′的最小值为217-2．(5)当O、Q、P三点共线且OP⊥BC时，PQ有最小值，设AC与圆的切点为D，连接OD，如图⑤中，∵AC为圆的切线，∴OD⊥AC，∵AC=8，BC=6，AB=10，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴OD ∥BC ，且O 为AB 中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD =12BC =3，同理可得PO =12AC =4，∴PQ =OP -OQ =4-3=1，∴PQ 的最小值为1．23.在矩形ABCD 中，BC =3CD ，点E 、F 分别是边AD 、BC 上的动点，且AE =CF ，连接EF ，将矩形ABCD 沿EF 折叠，点C 落在点G 处，点D 落在点H 处．(1)如图1，当EH 与线段BC 交于点P 时，求证：PE =PF ；(2)如图2，当点P 在线段CB 的延长线上时，GH 交AB 于点M ，求证：点M 在线段EF 的垂直平分线上；(3)当AB =5时，在点E 由点A 移动到AD 中点的过程中，计算出点G 运动的路线长．试题分析：(1)欲证明PE =PF ，只要证明∠PEF =∠PFE ．(2)连接AC 交EF 于O ，连接PM ，PO ．首先证明P ，M ，O 共线，再利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．(3)如图3中，由题意，点E 由点A 移动到AD 中点的过程中，点G 运动的路径是图中弧BC ．利用弧长公式，解决问题即可．答案详解：(1)证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠DEF =∠EFB ，由翻折变换可知，∠DEF =∠PEF ，∴∠PEF =∠PFE ，∴PE =PF ．(2)证明：如图2中，连接AC 交EF 于O ，连接PM ，PO ．∵AE ∥CF ，∴∠EAO =∠FCO ，∵AE =CF ，∠AOE =∠COF ，∴△AEO ≌△CFO (AAS )，∴OE =OF ，∵PE =PF ，∴PO 平分∠EPF ，∵AD =BC ，AE =FC ，∴ED =BF ，由折叠的性质可知ED =EH ，所以BF =EH ，∴PE -EH =PF -BF ，∴PB =PH ，∵∠PHM =∠PBM =90°，PM =PM ，∴Rt △PMH ≌Rt △PMB (HL )，∴PM 平分∠EPF ，∴P ．M ，O 共线，∵PO ⊥EF ，OE =OF ，∴点M 在线段EF 的垂直平分线上．(3)如图3中，由题意，点E 由点A 移动到AD 中点的过程中，点G 运动的路径是图中弧BC ．在Rt △BCD 中，tan ∠CBD =CD BC=33，∴∠CBD =30°，∴∠ABO =∠OAB =60°，∴△AOB 是等边三角形，∴OA =OD =OB =OC =AB =5，∠BOC =120°，∴点G 运动的路径的长=120⋅π⋅5180=103π．所以答案是：103π．。
隐形圆模型的最值问题-含答案
隐形圆模型的最值问题【母题示例】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E是CD上一动点，沿AE折叠矩形，使得点D落在矩形ABCD内的点D′处，连接CD′，则CD′的最小值为________．【命题形式】常在几何图形中，结合折叠、旋转问题计算最值，一般会出现直角、定点和定长等特征信息．【母题剖析】先判断点D′在以A为圆心，AD为半径的圆上，再根据勾股定理确定CD′的最小值即可．【母题解读】隐形圆模型的最值问题是一种特殊的最值问题，其中以基本图形(三角形、矩形等)为背景，结合图形变换(折叠、旋转)来计算图形中某条线段的最值．常见的模型有：直角模型；定角模型；折叠旋转模型等．解题的关键是先确定动点轨迹所在圆的圆心，再连接定点与圆心，从而实现问题的解决.模型一直角模型【模型解读】直角模型是在问题中出现“直角”“垂直”“90°”等关键词，利用“90°的圆周角所对的弦是直径”从而确定动点所在轨迹，以及动点的圆心，再确定定点和圆的位置关系，最后利用勾股定理等方法求线段的最值．【基本图形】基本图形BM⊥BN，点C是∠MBN内一点，且AC⊥BC，则点C在说明以AB为直径的圆上【核心突破】1.如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别从点D和点C出发，沿射线DA、射线CD运动，且DE＝CF，直线AF、直线BE交于点H，连接DH，则线段DH长度的最小值为( )A．35－3 B．25－3 C．33－3 D．32．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(3，0)，点P是平面内一点，且AP⊥BP，点M的坐标为(3，4)，连接MP，则MP的最小值为________．模型二定角模型【模型解读】定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算．【基本图形】基本图形说明点P是正方形ABCD内一点，且∠APB＝60°，则以AB为边在正方形ABCD 内作等边△ABM，点P在△ABM的外接圆在正方形内的部分弧上基本图形说明点P是平面内一点，且∠APB＝45°，则以AB为斜边作等腰Rt△AOB，点P在以O为圆心，OA为半径的圆的优弧上【模型突破】1．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝23，点P是矩形ABCD内(含边界)上一点，且∠APB＝60°，连接CP，则CP的最小值为________．2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D均在x轴上，点B在第三象限，且OA＝2，OD＝1，AB＝4，点E是AB的中点，连接OE，动点P是平面内一点，且∠OPE＝45°，连接CP，求CP的最小值．模型三折叠、旋转模型【模型解读】折叠、旋转模型是在几何图形中，通过折叠或旋转变换得到动点，而此时动点的轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算．【基本图形】基本图形沿过矩形ABCD的顶点A折叠△ADE，得到△AD′E，则点D′说明在以A为圆心，AD为半径的圆弧上基本图形△AEF绕正方形ABCD的顶点A旋转，则点F的轨迹为以A 说明为圆心，AF为半径的圆【模型突破】1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE，使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为________．。
“隐圆”最值问题习题
B MCD AEF D C BA B E D C F A “隐圆”最值问题重难点：分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是__________．分析：在构造圆的前提下 考虑90°如何使用。
直角对直径所以以AB 为直径画圆。
使用垂径定理即可得到3-20c x ≤<3【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是__________．分析：过D 点作DE 垂直AB 交AC 于点M 可证△FBD ∽△ECD 即可 求出最小值【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________． 分析：将线段AD 绕A 点任意旋转隐藏着以A 为圆心AD 为半径的圆构造出来。
接下来考虑重点M 的用途即可。
中点的用法可尝试下倍长和中位线。
此题使用中位线。
答案是3722c x ≤≤【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE= 90°，AC 2，AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A旋转一周，则线段AF 424222AC -+≤≤ 分析：同例题【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC长的最大值是（ ）A ．2B ．1C ．3D ．3分析：取AB 中点M 连接OM 、CM 。
“隐圆”最值问题习题(学习资料)
BMC D AEFD CBABDCF A“隐圆”最值问题重难点：分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是__________．分析：在构造圆的前提下 考虑90°如何使用。
直角对直径所以以AB 为直径画圆。
使用垂径定理即可得到3-20c x ≤<3【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是__________．分析：过D 点作DE 垂直AB 交AC 于点M 可证△FBD ∽△ECD 即可 求出最小值【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点，M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始 终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________．分析：将线段AD 绕A 点任意旋转隐藏着以A 为圆心AD 为半径的圆构造 出来。
接下来考虑重点M 的用途即可。
中点的用法可尝试下倍长和中位线。
此题使用中位线。
答案是3722c x ≤≤【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC 2，AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A旋转一周，则线段AF 4242AC -+≤≤ 分析：同例题【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC长的最大值是（）A．2 B．1 C．3D．3分析：取AB中点M连接OM、CM。