整数和整除的意义B(学生)
数的整除
一、整数与整除的意义 1、 零和正整数统称为自然数。
2、 正整数、零、负整数，统称为整数。
3、 整除：整数a 除以整数b （0b ），如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b能整除a ，记作b ︱a 。
整除的条件：（1） 除数、被除数都是整数；（2） 被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
除尽与整除联系与区别：（1） 联系：除尽与整除，都没有余数；除尽中包含整除。
（2） 区别：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零。
二、因数与倍数1、 整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（也称约数）,因数与倍数是相互依存的.。
2、 因数和倍数的特点：（1） 一个整数的因数有有限个。
一个整数最小的因数是l ，最大的因数是它本身。
（2） 一个整数的倍数有无限个。
最小的倍数是它本身，没有最大倍数。
3、 因数和倍数的性质：（1） 任何一个整数都是它本身的倍数，也是它本身的因数； （2） 1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数；（3） 0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数。
三、奇数与偶数整数与整除知识要点1、奇数和偶数的概念：能被2整除的整数叫做奇数；不能被2整除的整数叫做偶数。
2、运算性质：（1）奇数±奇数=偶数（加减法中奇数改变结果的奇偶性）（2）奇数±偶数=奇数（加减法中偶数不改变结果的奇偶性）（3）偶数±偶数=偶数（加减法中偶数不改变结果的奇偶性）（4）奇数个奇数的和或差（相加减）为奇数（5）偶数个奇数的和或差（相加减）为偶数（6）奇数×奇数=奇数（7）偶数×偶数=偶数（8）奇数×偶数=偶数（9）奇数×奇数×奇数×奇数×…×奇数×偶数=偶数（10） a+b与a-b同奇或同偶四、整数的可整除性特征：1、被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。
六年级奥数.数论.整除问题ABC级.学生版
六年级奥数.-数论.整除问题-(ABC级).学生版数的整除知识框架一、整除的定义：当两个整数a和b（b≠0），a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或b整除a，也把a叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作b a.二、常见数字的整除判定方法1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；5.如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数，那么这个数能被9整除；6.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。
7.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
8.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
六年级数的整除复习整理
数的整除知识点1：1、整除的意义：整数a除以整数b(b ≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
2、因数与倍数：如果数a能被数b（b ≠0）整除，a就叫做b 的倍数，b就叫做a的因数（或a的因数）。
倍数和因数是相互依存的，不能单独说一个数是因数或倍数。
一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
3、2、3、5的倍数的特征（1）2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
（2）5的倍数的特征：个位上是0或者5的数都是5的倍数。
（3）2和5的倍数的特征：个位上是0.（4）3的倍数的特征：一个数的各个数位上的数字之和是3的倍数。
（5）2、3、5倍数的特征：个位是0，各个数位上的数字之和是3的倍数。
常见题型：1、一个数的最大因数和最小倍数都是30，这个数是（）。
2、（）是所有非0自然数的因数。
3、一个数的最小倍数是18，这个数有（）个因数，期中最大的因数是（）。
4、50以内8的倍数有（）。
12的因数有（）。
5、一个整数（0除外），最少有（）个因数。
6、有因数2，又是倍数5的最小两位数是（）；既是3的倍数，又是5的倍数的最小三位数是（）；同时是2,3,5的倍数的最小两位数是（），最小三位数是（），最大四位数是（）。
近五年的考题：一、填空1.在23，44, 89, 120, 111这五个数中，质数有（），3的倍数有（）。
（2016年）二、判断1、因为32÷3.2=10，所以32能被3.2整除。
（）（2012年）知识点2：奇数、偶数、质数、合数及分解质因数1、是2的倍数的数叫做偶数。
2、不是2的倍数的数叫做奇数。
3、每相邻的两个奇数之间相差2，每相邻的两个偶数之间相差2.4、一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫质数（或素数）。
质数只有2个因数。
5、一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。
数字的整除和余数整除和余数的概念和应用
数字的整除和余数整除和余数的概念和应用数字的整除和余数：概念和应用整数的运算是数学中一个基本的概念，在现实生活中也有着广泛的应用。
在整数的运算中，整除和余数是常见的概念和运算方式。
本文将介绍数字的整除和余数的概念以及它们在实际生活中的一些应用。
一、整除和余数的概念整除是指一个数能够被另一个数整除，即余数为0。
假设有两个整数a和b，如果a能够被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的约数。
可以用符号“|”来表示整除关系，即a|b表示a能够整除b。
余数是指一个数除以另一个数得到的剩下的部分。
假设有两个整数a和b，如果a除以b得到的余数为r，那么r就是a对b取余得到的余数。
可以用符号“%”来表示取余运算，即a%b表示a对b取余。
例如，假设有整数a=15，b=3。
由于b能够整除a，所以15是3的倍数，3是15的约数；同时，15除以3得到的余数为0。
二、整除和余数的应用1. 分配物品在实际生活中，我们常常需要将一些物品进行平均分配。
假设有m 件物品需要分配给n个人，我们可以利用整除和余数的概念来进行分配。
首先，将m除以n，得到商q和余数r。
商q表示每个人至少可以分到的物品数量，余数r表示还剩下的物品数量。
然后，将q件物品平均分给n个人，剩余的r件物品可以按照一定的规则进行分配（例如，可以再平均分给几个人，或者按照某种特定的规则分配给特定的人）。
2. 数字运算在数学运算中，整除和取余也常常被使用。
例如，判断一个数是否是偶数可以利用取余的方法。
如果一个数除以2得到的余数为0，那么这个数就是偶数；反之，余数为1则表示它是奇数。
3. 日历计算日历中经常需要进行日期的计算和判断。
对于某些特定的问题，可以利用整除和余数的概念来进行计算。
例如，判断某一年是否是闰年可以通过它能否被4整除来判断；判断某一个日期是星期几可以通过计算与某一个基准日相差的天数，然后对7取余来得到。
4. 数据存储和编码在计算机科学中，整除和余数的概念经常被用于数据存储和编码。
上海市六年级(上)数学 暑假讲义 第1讲 整数和整除(学生版)
整数和整除是六年级数学上学期第一章第一节内容，主要对整数的分类和整除的概念进行讲解，重点是整除的概念理解，难点是整除条件的归纳总结．通过这节课的学习一方面为我们后期学习公因数和公倍数提供依据，另一方面也为后面学习有理数奠定基础．1、整数的意义和分类： （1）自然数：零和正整数统称为自然数； （2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数．⎧⎫⎪⎬⎨⎭⎪⎩正整数自然数整数零负整数（3）最小的自然数是0，没有最大的自然数.整数和整除知识结构模块一 整数的意义和分类知识精讲内容分析【例1】判断题：（1）最小的自然数是1 ；（）（2）最小的整数是0；（）（3）非负整数是自然数；（）（4）有最大的正整数，但没有最小的负整数；（）（5）有最小的正整数，但没有最大的负整数．（）【例2】把下列各数放入相应的圈内：15，－1，－0.2，0，－63，0.7，13，－0.2323…，35．整数自然数正整数负整数【例3】（1）试说说正整数、负整数、零、自然数、整数之间的关系；（2）试比较正整数、负整数、零的大小；（3）试比较负整数、自然数的大小．例题解析- 2 -【例4】五个连续的自然数，已知中间数是a ，那么其余四个数分别是______、______、______、______．若这五个连续自然数的和是20，试求这五个数．【例5】有三个自然数，其和是13，将它们分别填入下式的三个括号中，满足等式要求：()()()152-=÷=+，试求这三个自然数．1、整除的意义整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a ．2、整除的条件（三整一零）（1）除数、被除数都是整数； （2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零； 3、区别“整除”与“除尽”的概念注意：整除是除尽的一种特殊形式.被除数和除数商整除 都是整数，除数不等于0 商是整数，余数为0除尽不一定是整数，除数不等于0商是整数或有限小数，没有余数知识精讲模块二 整除的意义- 4 -【例6】老师问：“当 4.5a =时，0.9b =时，a 能被b 整除吗？”一个同学回答：“因为商是5，是整数，所以a 能被b 整除．” 你认为对吗？【例7】下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在下面的（ ）内打“√”，不能整除的打“×”．18和9（ ） 15和30（ ） 0．4和4（ ） 14和6（ ）17和35（ ）9和0．5（ ）1、 整除的条件是什么？2、 “a 能整除b ”与“a 能被b 整除”的区别是什么？【例8】已知下列除法算式： ①57÷7=8……1； ②21÷7=3； ③22÷0.2=110；④22÷5=4.4；⑤0÷3=0；⑥2÷4=0.5．（1）表示能除尽的算式有哪几个？（2）哪些算式中可以说被除数能被除数整除？例题解析你说我听【例9】把表示下列算式的序号填入适当的空格内．①30÷10；②7÷25；③35÷0.1；④18÷3；⑤0.4÷2；⑥3.9÷0.3；⑦27÷9；⑧16÷4．除数能整除被除数的：________________________________________；能够除尽的：________________________________________________．你说我听1、整除与除尽有什么相同点？2、整除与除尽有什么不同点？模块三因数和倍数的意义知识精讲1、因数和倍数的意义（1）如果数a能被数b整除，那么a就叫做b的倍数，b叫做a的因数(也称为约数).因数、倍数是互相依存的．不能说a是倍数、b是因数！（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身.（3）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身.（4）1只有一个因数1，除1以外的整数，至少有2个因数.- 6 -（5）因数的求法：因数的求法有2种，列乘法算式和列除法算式.一个整数的倍数有无数个，没有最大的倍数，最小的倍数是它本身. （6）性质：①一个整数既是它本身的约数又是它本身的倍数. ②1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数.③0是任何一个不为0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数.【例10】有一个算式6379÷=，则可以说______能被______整除，也可以说______能整除______，还可以说______和______是______的因数，______是______和______的倍数．【例11】分别写出12、19和36的因数，再分别写出这三个数的倍数（倍数只需从小到大依次写3个）．【例12】在圈内填写满足条件的数：【例13】下列各数中是否含有相同的因数，若含有请指出．（1）6和9； （2）27和51．例题解析18的因数 27的因数既是18的因数又是27的因数【例14】从小到大依次写出10个2的倍数：_____________________________________；从小到大依次写出10个3的倍数：_____________________________________；其中__________________________既是2的倍数，又是3的倍数．【例15】已知：235A=⨯⨯，335B=⨯⨯，则A和B相同的因数有哪些？【例16】一个正整数只有2个因数而且这个数比10小，这个数可以是多少？【例17】两个2位数的积是216，这两个数的和是多少？模块四能被2、5整除的数知识精讲1、能被2整除的数能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数；能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数．2、能被5整除的数能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数．3、能同时被2、5整除的数能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．例题解析【例18】已知：11，15，32，56，19，123，312，566，787，哪些是奇数？哪些是偶数？【例19】已知：17，25，70，98，105，370，952，其中能被5整除的数有_____________．【例20】在圈内写出满足条件的数：12，25，40，75，80，94，105，210，354，465，760．能被2整除的数能被5整除的数能同时被2和5整除的数- 8 -【例21】三个连续的偶数的和是54，则其中最小的一个是______．【例22】请判断下列算式的结果是偶数还是奇数，偶数则打“√”，奇数则打“×”．86-（ ） 86+（ ） 86⨯（ ） 96-（ ） 96+（ ） 96⨯（ ） 157-（ ）157+（ ）157⨯（ ）1、奇数与偶数的运算性质有哪些？【习题1】 先把下列各数放入正确的圈内，然后把这些数按照从小到大的顺序排列，并说明其中最小的正整数，最小的自然数，最大的负整数分别是哪个？－1，2，－0.3……，15，－0.7，0，3.83，0.3，1，4.732732……，－8，10．整数自然数正整数负整数随堂检测你说我听【习题2】一个三位数46，能被2整除时，中最大填________；能被5整除时，中最小填_________．【习题3】判断题：(1)若2÷=，则n一定能整除m．（）m n(2)整数a的最大因数正好等于整数b的最小倍数，则a一定大于b．（）(3) 因为6.370.9÷=，所以6.3是7的倍数．（）(4) 因为整数7421中包含了数字2，所以7421一定能被2整除．（）【习题4】已知2357A=⨯⨯⨯，那么A的全部因数的个数是(）A．10个B．12个C．14个D．16个【习题5】一个正整数既是48的因数，又是3的倍数，这个数可以是多少？课后作业【作业1】是否存在最小的的正整数，负整数，自然数；是否存在最大的正整数，负整数，自然数？如果有，请写出是哪个数．【作业2】78的因数有哪些？把其中的奇数和偶数分别填入相应的圈内．奇数偶数- 10 -【作业3】求26以内能被5整除的所有数的和．【作业4】在黑板上，先写出三个自然数1、3、5，然后任意擦去其中的一个，换成所剩两个数的和．照这样进行100次后，黑板上留下的三个数中有几个奇数？它们的乘积是奇数还是偶数？【作业5】求1000以内能同时被3、5整除的数中，最大的奇数与最小的偶数的和．【作业6】一个大于1的自然数a，只有两个因数，那么3a有几个因数？。
1.1整数和整除的意义
一、引例：
小明家装修新房，客厅的地面是长6米、宽4.8米的 长方形，准备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面，市 场上地砖有30×30、40×40、60×60、80×80（单位： 厘米×厘米）四种尺寸，小明家想选尺寸较大的地砖， 该选哪一种尺寸呢？
二、新授：
（一）整数：
整数和整除的意义：
三整一零
练习 2． 下列哪一个算式的被除数能被除数整除？ √ 10÷3； 48÷8； 6÷4． 24÷6．√ 51÷17． √ 2.6÷1.3．
3． 下列说法对吗？为什么 （2）51能整除17 × （1）3能被6整除 × （3）2.5能被5整除 × （4）51能整除17 × （5）10能被100整除 × （6）10能整除20 √
零既不是正整数，又 不是负整数
自然数也叫做非负整数
2．自然数：
正整数 自然数 零
3．注意整除的条件：“三整一零”．
4．在下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除， 请在下面的（ ）内打“√”，不能整除的打“×”． 72和36（√ ）； 20和5（ √ ）； 18和3（ √ ）；
×
17和34（ ）；
× ×
0.5和5（
0.2和4（
）.
17和3（
×
19和38（
×
）； ）.
）.
三、小结： 1．整数分类：
正整数 整数 零 负整数
自然数有时也叫 做非负整数!
练习：
1．从下列数中选择适当的数填入相应的圈内．
12，－7，0，0.4，－23，
12，91
3 4
，91，－8.75．
-7，-23
正整数
12，-7，0，-23，91
第01讲整数和整除(核心考点讲与练)-【暑假预习】2022年暑假新六年级数学核心考点讲与练(沪教版)
第01讲整数和整除（核心考点讲与练）【基础知识】1.⎧⎫⎪⎬⎨⎭⎪⎩正整数自然数整数零负整数；2.整除：整数a 除以整数b ，若除得的商是整数且余数为零. 即称：a 能被b 整除；或b 能整除a. 整除的条件：..⎫⎧⎪⎨⎬⎪⎩⎭除数、被除数都是整数；三整一零商是整数且余数为零整除与除尽的关系.⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩整除：被除数、除数、商整数，且余数为零；区别除尽：被除数、除数、商是整数，没有余数.联系：整除是除尽都是不一定的特殊形式3.因数与倍数：整数a 能被整数b 整除，a 就叫b 的倍数，b 就叫a 的因数（约数）.因数与倍数的特征：⎧⎪⎨⎪⎩因数与倍数互相依存；一个整数的因数中最小因数为1，最大因数为它本身一个整数的倍数中最小的倍数是它本身，无最大倍数.4.能被2整除的数2468.⎧⎨⎩偶数(2n)；(否则是奇数(2n-1))特征：个位上是0，，，，，能5整除的数的特征：个位上数字是0，5；能同时被2、5整除的数：个位上数字是0.*能被3整除的数：一个整数的各个数位上数字之和能被3整除，这个整数就能被3整除. *能同时被2、3和5整除的数：个位数是0，且各个数位上数字之和能被3整除.【考点剖析】考点1：整数和整除的意义例题1（浦东南片十六校2020期末1）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）A. 5和20；B. 7和2；C. 34和17；D. 1.2和3.例题2（2019上南中学10月考2）在数18，-24，0，2.5，34，2005，3.14，-10中，整数有（）A. 2个；B. 3个；C. 4个；D. 5个.考点2：整除的意义例题3．老师问：“当 4.5a =时，0.9b =时，a 能被b 整除吗？”一个同学回答：“因为商是5，是整数，所以a 能被b 整除．”你认为对吗？例题4.下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在下面的（ ）内打“√”，不能整除的打“×”．18和9（ ）15和30（ ） 0．4和4（ ） 14和6（ ）17和35（ ） 9和0．5（ ） 考点3：因数与倍数例题5（2019晋元附校测试2）14的因数有__________.例题6（2019浦东上南东10月考17）如果用[]a 表示a 的全部因数的和，如[]1263216=+++=，那么[][]=-818________考点4：能被2，5、3整除的数例题5（奉贤2019期中10）正整数中，能同时被2和5整除的最大两位数是 .例题6（青教院附中2019期中18）如图，用灰白色正方形瓷砖铺设地面，则第n 个图案中白色瓷砖数 为 块.例题7.要使三位数2□3能被3整除，那么□中可以填的数是_____________；要使三位数2□3能被9整除，那么□中可以填的数是_____________．例题8.一个五位数497A B 能被3整除，且7B 能被2整除，这样的五位数有______个．例题9.从2、4、0、5、8这五个数字中选出3个数字组成一个三位数，使得这个三位数同时被2、3和5整除，那么这样的三位数有______个．【过关检测】一、选择题1.（2019闵行实验西校10月考1）下面各组数中，第一个数能整除第二个数的是（ ）A ．14和7； B.2.5和5； C.9和18； D.0.4和8.2.（2019上南中学10月考1）下列关于“1”的叙述不正确的是（ ）A.1是最小的自然数；B.1既不是素数，也不是合数；C.1是奇数；D.1能整除任何一个正整数.3.（浦东南片2019期中2）36的全部因数的个数有（ ）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个4.（2019浦东四署10月考1）在下列算式中，被除数能被除数整除的是（ ）A. 254÷；B. 0.60.3÷；C. 33÷；D. 48÷.5.（2019上南中学10月考3）下列说法正确的是（ ）A.任何整数的因数至少有2个；B.一个数的因数都比这个数的倍数小；C.连续两个自然数相加的和一定是奇数；D.8是因数，12是倍数.6.（2019浦东四署10月考3）下列各组数中能同时被2和3整除的一组数是（ ）A.10和35；B.42和24；C. 15和16；D.22和20.7.（2019建平西校10月考1）下列算式中被除数能被除数整除的是（ ）A. 15÷4B. 5÷2.5;C.10÷3;D. 8÷4.8.（华师大附中2019期中1）如果M 能被15整除，那么M 是（ ）A 、15B 、30C 、15的倍数D 、15的因数9.（2019进才北12月考1）下列说法正确的是（ ）A. 一个整数不是正整数就是负整数B. 一个正整数不是素数就是合数C. 一个正整数不是奇数就是偶数D. 一个正整数的最大因数不是它的最小倍数.10.（2019闵行实验西校10月考5）下列语句错误的是（ ）①2.5能被5整除；②因为4÷2=2，所以4是倍数，2是因数；A=2×3×5×B,B>1,则B 一定是A 的因素；④两个整数的公倍数一定能被这两个数整除；A.1个；B.2个；C.3个；D.4个.11.（2019徐教院附中10月考3）在下列说法中，正确的是（ ）A.合数都是偶数B. 2的倍数都是合数C. 2的倍数都是偶数D. 5的倍数都是奇数12.（2019晋元附校测试15）用一个数去除28和56都能整除，这个数最大是（ ）A. 2B. 4C. 14D. 28 二、填空题13.(2019南模初中10月考1) 最小的自然数是 .14.（2019大同初中10月考7）4.8÷3＝1.6， 填“能”或“不能”)说3能整除4.815.（2019晋元附校测试10）有一个数，它既是a 的倍数，又是a 的因数，这个数是__________.16.（2019松江九亭10月考1）写出既能被2整除又能被5整除的最小的两位__________.17. （华理附中2019期中8）在75,50,42,40,66中，既是2的倍数又能被5整除的数有 .18.（2019中国中学10月考6）三位数75□能同时被2、3整除，那么□可以是 。
数的整除的概念和定义
第一章数的整除第一节整数和整除教学目标：1、理解整除的定义和自然数的意义。
知道整除的要素，掌握整除的两种表述方法。
2、理解因数与倍数的意义，会求一个整数的因数和倍数。
3、概括出能被2，5整除的数的特征。
知识要点：1.1：整数和整除的意义1、零和正整数统称为自然数。
2、正整数、零、负整数，统称为整数。
3、整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a.注意整除的条件：1、除数、被除数都是整数；2、被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
1.2：因数和倍数1、整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称约数）。
2、一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
1.3：能被2、5整除的数1、个位上是0，2，4，6，8的整数都能被2整除。
2、能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数。
3、各位上是0或者5的整数都能被5整除。
第二节分解素因数教学目标：1、理解素数、合数的意义。
2、能用求因素的方法或查素数表的方法判断一个正整数是否为素数。
3、熟记20以内的全部素数。
4、理解素因数和分解素因数的意义，掌握分解素因数的方法。
5、掌握最大公因数和最小公倍数的算理和方法。
知识要点：1.4：素数、合数与分解素因数1、一个正整数，如果只有1和它本身两个因素，这样的数叫做素数，也叫做质数；如果除了1和它的本身以外还有别的因素，这样的数叫做合数。
2、1既不是素数，也不是合数。
这样，正整数又可以分为1、素数和合数三类。
34、每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。
把一个合数用素因素相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
5、一般我们用短除法分解素因数，步骤如下：①先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除。
讲义6——整数与整除
讲义课题整数与整除教学目标重点：整数和整除的意义、因数和倍数、能被2、5整除的数的特征难点：熟练运用知识解题教学关键：讲练结合，巩固基础，提高能力教学内容教学过程：【知识点1】1、整数和整除的意义整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，就说a能被b整除；或者说b能整除a。
易错点： (1)除数、被除数都是整数；(2)被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
12÷6=2 18÷2=9 25÷5=5 125÷5=25 144÷12=12 .........2、自然数和整数零和正整数统称为自然数． 0 1 2 3 4 .........正整数．零和负整数统称为整数. ....-3 -2 -1 0 1 2 3 .....★★★除尽：在整数或小数除法中，如果商是整数或有限小数，则叫做能够除尽。
【典型例题1】试证明“三个连续的正整数之和能被3整除”。
分析：三个连续的正整数，怎样表示呢？什么是整除呢？解：我们设中间数为a，a为大于1的正整数，紧邻它而比它小的正整数可以表示为a-1，紧邻它而比它大的正整数可以表示为a+1，因为a+(a-1）+（a+1)=3a, 3a÷3=a.所以三个连续的正整数之和能被3整除。
【变式】试证明“三个连续的偶数之和能被3整除”。
【基本习题限时训练1】1、下列算式中表示整除的算式是（）（A）9÷18＝0.5 （B）6÷2＝3 （C）15÷4＝3……3 （D）0.9÷0.3＝32、下列各组数中，均为自然数的是（）（A） 1.1，1.2，1.3 （B）-1，-2，-3 （C）23，34，45（D） 2，4，63、下列说法正确的是……………………………………………（）（A）最小的整数是0 （B）最小的正整数是1（C）没有最大的负整数（D）最小的自然数是14、判断：（1）零是整数，但不是自然数；（2）-1是最大的负整数；÷=，则4能被32整除；（3）3248（4）整数中没有最大的数，也没有最小的数。
第一讲数的整除(1—3)
第一讲 数的整除知识清单：1.1整数与整除的意义1、整数整数：正整数、零、负正整统称为整数。
零和正整数统称为自然数。
最大的负整数是–1，没有最小的负整数，最小的正整数是1，没有最大的正整数，没有最大的整数。
2、整除的意义整除：整数a 除以整数b （b ≠0），如果除得的商是整数而余数为零，我们就说数a 能被数b 整除或b 能整除a 。
确定整除的条件：（三整余零）1、除数、被除数都是整数；2、被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
除尽：在整数或小数除法中，如果商是整数或有限小数，则叫做能够除尽。
除不尽：数a 除以数b （b ≠0），当所得的商是一个无限循环小数时，我们就说数b 除不尽数a ，或者说数a 不能被数b 除尽。
1.2 因数与倍数1、如果整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（或a 的约数）。
倍数和因数是相互依存的。
2、因数和倍数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数是无限的，其中最小的倍数时它本身，没有最大的倍数；一个数既是它本身的因数，也是它本身的倍数。
1.3 能被2、5整除的数1、偶数：能被2 整除的整数是偶数；奇数：不能被2 整除的整数是奇数．2、通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式，其中k 为整数，偶数可以表示为2k 的形式，其中k 是整数．3、正整数按照能否被2整除分为奇数和偶数2、能被2、5 、3、9整除的数的特征（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8 中的一个，那么这个数就能被2 整除。
（2）一个数的个位数字如果是0 或5，那么这个数就能被5 整除。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3 整除，那么这个数就能被3 整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
1.1整数和整除的意义
回顾与思考
正整数、自然数、小数、分数、负整数
用来表示物体个数的数称为正整数
特点： ① 有无数个 ②正整数中有最小值，为1，没有最大值 ③ 相邻两个正整数之间相差 1，即：a、a+1
阿拉伯数字？
公元3世纪，古印度的一位科学家巴格达发明了阿拉伯数字。 大约公元700年前后，阿拉伯人征服了印度地区，发现印度 数字和印度计数法既简单又方便，其优点远远超过了其他的方法， 所以阿拉伯的学者们和商人们学习了这些先进知识。 后来，阿拉伯人把这种数字传入西班牙。公元10世纪，又由 教皇热尔贝·奥里亚克传到欧洲然数(natural number)
特点： ① 有无数个
② 自然数中有最小值，为 0，没有最大值
③ 相邻两个自然数之间相差 1，即：a、a+1
负号的来源
• 1489年德国数学家魏德曼在他的著作中首先 使用了“ ＋”、“—”符号，但正式为大家 公认是从1514年荷兰数学家荷伊克开始。
(√ )
(×)
18和3 (√ )
19和38 0.2和4
(×)
(×)
17和3 (×)
区别“整除”与“除尽”的概念
被除数 除数
商
整除 都是整数，除数不为0
除尽 不一定是整数，除数不为0
余数
余数 为0 没有 余数
整除是除尽的一种特殊形式。
课堂练习
一、判断： 1、_2_.5_能被5整除。× 2、0既不是正整数，也不是负整数。√ 3、a÷b = 11，则b一定能整除a。× a、b范围不明确 4、最小的整数是1。× 正整数
a÷b=c、a=b×c，（a、b、c为正整数） 我们就说a能被b整除；或者说b能整除a。
回家作业
校本作业A册1.1
第一节 整除意义、特征和性质(1)
第一讲数的整除第一节整除的意义与特征、性质第1课时教学内容：整除的意义与常用数的整除特征。
教学目标：理解整除的意义，掌握常用数的整除特征，并能运用特征判断。
教学重难点：理解掌握常用数的整除的特征。
教学过程：一、整除的意义当两个整数a和b（b≠0），a除以b商为整数余数为零时，则称a能被b整除或b 能整除a，也把a叫做b的倍数，b叫a的因数，记作b|a，如果a 除以b所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作b|a.二、整除特征（1）1与0的特性：1是任何整数的因数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的个位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的各位数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的个位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（7）若一个整数的各位数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（8）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
（9）如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（以大减小）能被7（11、13）整除，这个数就能被7（11、13）整除。
三、例题讲解例1：（1）判断47382能否被3或9整除？（2）判断1548764能否被7整除？（3）判断42559，7295872能否被11整除？解：（1）4+7+3+8+2=24 3|24，9|24∴3|47382，9|47382（2）1548－764=784=7×112 7|784 ∴ 7|1548764（3）（4+5+9）―（2+5）=18―7=11∴11|42559（7+9+8+2）―（2+5+7）=26―14=12 11|12 ∴11|7295871小结：判断一个整数能否被另一个整数整除，充分考虑整除的特征，这样有利于我们去判断。
数字的整除关系
数字的整除关系数字的整除关系在数学中有着重要的应用和意义。
整除关系可以理解为一个数能够被另一个数整除，也就是说，当一个数能够被另一个数整除时，我们称它为前者的倍数，而后者则称作前者的约数。
本文将探讨整数的整除关系，包括其定义、性质以及应用。
一、整除关系的定义在数学中，我们定义“整除”为：若整数a和b满足存在一个整数k，使得a=k*b，那么我们说a能够被b整除。
符号表示为a|b，读作“a能够整除b”。
例如，当a=6，b=3时，6能够被3整除，记作6|3。
这是因为6=2*3，存在k=2使得a=k*b成立。
二、整除关系的性质1. 自反性：任何整数a都能够整除自身。
即a|a对任意整数a成立。
2. 传递性：如果a能够被b整除，且b能够被c整除，则a能够被c 整除。
即若a|b且b|c，那么a|c。
3. 对称性：如果a能够被b整除，那么b也能够被a整除。
即若a|b，则b|a。
4. 整数的整除关系是偏序关系。
偏序关系指的是具有自反性、传递性和反对称性的关系。
三、整除关系的应用整除关系在数学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景。
1. 素数判定在素数判断中，整除关系能够帮助我们确定一个数是否为素数。
一个数是素数，当且仅当它只能够被1和它本身整除。
因此，对于一个待判断的数n，我们只需要判断它能够整除2到√n之间的数即可。
2. 公约数和最大公约数在求解公约数和最大公约数时，整除关系是非常重要的。
公约数是指能够同时整除两个或多个数的数，而最大公约数则是这些公约数中最大的一个。
通过求解两个数的最大公约数，我们可以化简分数、约分、求解线性方程等。
3. 常用分数计算在我们进行分数的加减乘除等运算时，整除关系也是不可或缺的。
在求解分数的最简形式时，我们需要找到分子和分母的最大公约数，然后将两者都除以最大公约数，得到的结果即为最简分数。
4. 除法运算在除法运算中，除数整除被除数得到商和余数。
这种整除关系在计算机程序设计中经常被使用，例如，判断两个数是否能够整除，或者求取一组数除以某个数的商和余数。
整数和整除的意义
第一讲整除和整除、因数和倍数、能被2、3、5整除的数以及分解素因数第一部分：整除和整除的意义1、六（1）班同学分成四个小组制作世博会中国馆模型，每组做的一样多，小沈统计后说：全班共做了42个模型，他的统计正确吗？2、在1到180之间找出所有36的倍数，并求出36的所有因数。
3、96名同学报名参加世博志愿者活动，需平均分成若干组，每组不少于4人，也不多于6人，应怎样分组？4、鲁迅纪念馆的小纪念册每本5元，大纪念册每本7元，王刚买了这两种纪念册共花142元，求两种纪念册最少买了多少本？5、2010年教师节正好是星期五，师生们可以利用下午的班会课好好庆祝一下节日，有同学问了，那明年呢？你能不能不翻日历就能知道明年的教师节是星期几？6、用1,2,3这三个数任意排列，可组成若干个三位数，在这些三位数中，能被11整除的数是多少？第二部分：因数和倍数1、李海区世博会参观，可以在同一个车站乘坐世博21路和869路，世博21路每4分钟发车一次，869路每6分钟发车一次，现在这两路车同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车？2、为庆祝国庆，六年级同学买来336支红花，252枝黄花，210枝粉花，用这些花可以扎成每束最多多少枝同样的花？在每束花中，红、黄、粉共有多少枝？3、小明想把一张长36厘米，宽24厘米的白纸折出一些尽可能大的正方形，最后没有多余，请问这些正方形的边长为多少？一共可以折出多少个正方形？4、五年级一班学生进行队列表演，每行12人或每行16人都正好整行，已知这个班的学生不到50人，你能算出这个班级的人数吗？5、今天是9月19号，正好是星期天，这是小明最高兴的一天，因为他和爸爸妈妈一起去公园玩了一天，小明想：下次什么时候才能和爸爸妈妈一起去玩呢？小明知道爸爸妈妈工作很忙，只有在休息的时候才能和他一起玩，爸爸工作4天休息1天；妈妈工作3天，休息1天；小明学习5天，休息2天（周一至周五学习，星期六、日休息），你能帮他算出来吗？（要说出是几月几号？星期几）第三部分：能被2、5、3整除的数1、某个七位数1993 能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数依次是多少？2、在1—199中，有多少个奇数？多少个偶数？其中奇数之和与偶数之和谁大？3、（！）不算出结果，判断数（524+42-429）是偶数还是奇数？（2）数（42 +30-147）能被2整除，那么，应该填什么数？（3）下面的连乘积是偶数还是奇数？1×3×5×7×9×11×13×14×154、1＋2＋3＋4＋…＋999＋1000＋1001的和是奇数还是偶数？5、□△○□▽○…，则第2001个图形是什么形状？第四部分：素数、合数与分解素因数1、两个素数的和是40，求这两个素数的乘积最大值是多少2、自然数123 456 789是素数还是合数？3、把5、6、7、14、15这5个数分成两组，使每组数的乘积相等。
数的整除认识整除概念
数的整除认识整除概念整数是我们日常生活中经常接触到的一种数，而整除也是我们在学习数学时常常遇到的一个概念。
整除是指一个数能够整除另一个数，也就是说被除数除以除数得到的商是整数，没有余数。
在本文中，我们将详细介绍整除的概念和相关性质。
一、整除的定义在数学中，如果一个整数a可以被另一个整数b整除，那么我们称a是b的倍数，b是a的约数，同时也可以说b整除a，记作b|a。
如果一个整数a不是b的倍数，那么我们称a不能被b整除，记作b∤a。
二、整除的基本性质1. 任何整数a都可以整除自身，即a|a。
2. 对于任何整数a，0都可以整除它，即0|a。
3. 任何整数a都可以整除0，即a|0，但除数不能为0。
4. 如果a|b，且b|c，那么a|c。
即如果a能整除b，b能整除c，那么a一定能整除c。
5. 如果a|b，且a|c，那么a|(bx+cy)，其中x和y是任意整数。
即如果a能整除b和c，那么a一定能整除它们的线性组合。
三、整除的性质证明对于整除的性质，我们可以通过数学推理和举例来进行证明。
以下是两个具体的例子。
例1：证明：如果a|b，且a|c，那么a|(bx+cy)，其中x和y是任意整数。
解：根据整除的定义，a|b表示存在整数k，使得b=ak；a|c表示存在整数m，使得c=am。
那么bx+cy=(ak)x+(am)y=a(kx+my)，其中kx+my也是一个整数。
因此a能整除bx+cy，即a|(bx+cy)。
例2：证明：如果a|b，且b|c，那么a|c。
解：根据整除的定义，a|b表示存在整数k，使得b=ak；b|c表示存在整数m，使得c=bm。
将b代入第二个等式中，得到c=(ak)m=a(km)，其中km也是一个整数。
因此a能整除c，即a|c。
由例子的证明可以看出，整除的相关性质是可以通过严格的数学推理进行证明的，这些性质在解决数学问题和数学推理中起着重要的作用。
四、整除的应用整除的概念在数学中是非常重要的，它在整数的因子和倍数、整数的性质分析以及数的约简等方面都有广泛的应用。
11整数与整除的意义
两数整除的条件
被除数和除数都是整数， 且商也是整数， 余数为零。
说说下列各算式中，哪一个数能被哪一个数整 除（或哪一个数能整除哪一个数）
24÷2=12
21÷3=7
24能被2整除
2能整除24 84÷21=4
如何用语言来表示下列各算式不是两数整除呢？
将练习册用透明包书纸包好 准备草稿本 订正作业时，用不同颜色的笔，旁边写上一个
“订”字 订正好及时拿到办公室来批！每日清！ 没拿到练习册的及时到办公室来拿！
小明家装修新房，客厅的地面是长6米、宽4.8 米的长方形，准备用整块的正方形地砖铺满客
厅的地面．市场上地砖有30×30、40×40、 60×60、80×80（单位：成人数相等的几个小组进行活动， 可以怎样分组呢？
观察下列两组算式，左边的算式有什么特征？
24 2 12 21 3 7 84 21 4
6 5 1.2 17 10 1.7 36 6 55 5 0.5 3
两数整除
a÷b=c（a、b、c为正整数） 整数a除以整数b，如果除得的商
整数与整除的意义
我们已学过哪些整数？
用来表示物体个数的数1,2,3,4,5……叫做正整数。 零可以表示没有物体，还可以表示计量过程中
某种量的基准数，如0℃
在正整数面前加上“-”，得到-1，-2，-3…… 叫做负整数。
零既不是正整数，又不是负整数！
那么有多少个自然数呢？ 是否有最小的自然数？ 有没有最大的整数？
6 5 1.2 17 10 1.7
6不能被5整除 5不能整除6
35 6 55
5 0.5 10
下列哪一个算式的被除数能被除数整除？
关于解释某个数为什么能整除某个数的题
一、题目简介在数学中，有一类经典的题目是要解释某个数为什么能整除某个数。
这类题目既考察了学生对数学概念的理解，也锻炼了学生的逻辑推理能力。
在本文中，我们将围绕这个主题展开深入探讨，分析常见的整除性质，并且给出一些具体的例子，以期能够帮助读者更好地理解整除的概念。
二、整除的定义要解释某个数为什么能整除某个数，首先需要了解整除的定义。
在数学中，我们称整数a能整除整数b，当且仅当存在一个整数c，使得b=ac。
如果一个数能整除另一个数，那么这个数就是另一个数的倍数。
这是整除的基本定义，也是我们理解整除性质的起点。
三、整除的性质接下来，我们将介绍几条关于整除的性质，这些性质在解释某个数能整除某个数的过程中起着至关重要的作用。
1. 若a|b且b|c，则a|c这条性质可以理解为，如果a能整除b，b能整除c，那么a就能整除c。
这是由整除的传递性决定的，也是解释某个数能整除某个数的重要性质之一。
2. 若a|b且a|c，则a|(mb+nc)，其中m、n为任意整数这个性质表明，如果a能够同时整除b和c，那么它同样能整除它们的线性组合。
这个性质在解一些复杂的整除问题时尤为重要，能够帮助我们快速求解问题。
3. 若a|b且a|c，则a|pb+qc，其中p、q为任意整数这条性质是对上一条性质的推广，它表明了如果a能够同时整除b和c，那么它同样能整除它们的任意次幂的线性组合。
这个性质在数论中有着广泛的应用。
四、举例说明为了更好地理解整除的性质，我们接下来通过具体的例子来加以说明。
我们考虑整数a=6和b=18。
我们要解释为什么6能整除18。
根据整除的定义，我们需要找到一个整数c，使得18=6c。
显然，c=3时符合要求，因此6能整除18。
再如，我们考虑整数a=2和b=8。
同样地，我们要解释为什么2能整除8。
根据整除的定义，我们需要找到一个整数c，使得8=2c。
显然，c=4时符合要求，因此2能整除8。
通过以上例子，我们可以清楚地看到整除的性质在解释某个数能整除某个数的过程中起到了至关重要的作用。
2021年上海市六年级数学期末复习-第1章《数的整除》压轴题解题思路解析(学生版)
沪教版六年级上册第1章《数的整除》压轴题解题思路解析模块一：整数和整除的意义例1：一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个．小马虎的统计对吗？为什么？例2.在1~600这600个数中，不能被2整除的数有多少个？不能被3整除的数有多少个？既不能被2整除，又不能被3整除的数有多少个？模块二：因数和倍数例3.已知一个三位数abc，若两位数bc能被4整除，那么这个三位数就能被4整除．这句话对吗？如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例．模块三：能被2、5整除的数例4.13个不同的的自然数之和等于100，其中偶数最多有几个？偶数最少有几个？例5.有五只杯口朝上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时“翻转”，使其杯口朝下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使五只杯子的杯口全部朝下？为什么？⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯的结果的末尾有多少个零？例6.1011021039991000例7.在1，2，3，…，2015，2016中每个数前面任意添加“+”、“-”号，最终的运算结果是奇数还是偶数？请说明理由．模块四：能被3、9整除的数例8.从2、4、0、5、8这五个数字中选出3个数字组成一个三位数，使得这个三位数同时被2、3和5整除，那么这样的三位数有______个．例9.已知一个三位数abc，试证明：若a b c++能被9整除，则abc能被9整除．模块五：素数、合数与分解素因数例10.面积是72平方厘米的长方形，它的长和宽的厘米数都是合数，这个长方形的周长可能是多少厘米？模块六：公因数和最大公因数例11.一块矩形地面，长90米，宽15米，要在它的四周和四角种树，每两棵树之间的距离相等，则最少要种______棵树．例12.一个长方体，它的上面和正面面积之和是209平方分米，长、宽、高都是素数，则这个长方体的表面积是______．例13.求42897与18644的最大公因数．（拓展：辗转相除法）模块七：公倍数与最小公倍数A B是24的倍数，则A+B的最大值为多少？例14.已知四位数20例15.动物园的饲养员给三群猴子分花生，如果分给第一群猴子，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群猴子，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可得18粒．已知第一群猴子猴四十几只，那么总共有多少粒花生？共有多少只猴子？例16.一个正整数被4除余1，被6除余1，被9除余1，则这个数最小是多少？例17.某校有皮球若干个，如果平均分给10个班，则余下9个；如果平均分给12个班，则余下11个；如果平均分给15个班，则余下14个，学校至少有几个皮球？例18.甲每隔3天去少年宫一次，乙每隔5天去一次，丙每隔7天去一次，如果6月1号，甲乙丙同时去了少年宫，则下次同时去少年宫的日期是哪一天？。
329 整除定义、因数、倍数(学生版)
整除定义、因数、倍数【知识定位】理解整数和整除的意义，掌握整除、因数、倍数的概念，会运用整除进行相关的应用和计算。
【知识梳理】知识梳理1：什么叫整除？1、整数a除以整数b，如果所得的商为整数且没有余数，我们就说a能被b整除，或b 能整除用数学式子表示即是：a b c÷=(其中a,b,c均为整数)思考：现在有30个苹果让你去取，但是不能一次取完，也不能一个一个拿，必须每次拿的个数相同，且最后一次正好拿完？能做到吗？有几种办法？通过学习今天的内容你就有办法快速解决这个问题.2、上一节课我们思考过一道兴趣题，“小杰想画一个面积是12的长方形，且这个长方形的长和宽都是整数，你能告诉他符合条件的长方形有几种长和宽吗？”最后我们总结有6种条件符合：①11212⨯=；⨯=；②2612⨯=；③3412⨯=；④12112⑤6212⨯=中，12能被1和12整除就称1和12⨯=显然，像式子11212⨯=；⑥3412是12的因数；反过来，12是1和12的倍数.那么，式子中12的因数还有2，3，4，6像整除的概念总结一样，可得，因数与倍数的关系.知识梳理2：因数和倍数的概念：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）.注：为了研究的方便，在研究因数和倍数时，我们所说的数专指不是零的自然数.（因为零乘任何数为零，零除以任何为零，研究起来没有意义）例题精讲：【试题来源】【题目】你觉得下面的算式中的数字之间能用倍数和因数来描述吗？请你来说一说.①1620320⨯= ②199⨯= ③4416⨯= ④2173÷= ⑤ 200.612÷= ⑥A B C ⨯= (A 、B 、C 都是非零的自然数)【试题来源】【题目】 找出15的因数和倍数.你会发现什么？【试题来源】【题目】一个数既是96的因数，又是6的倍数，它不能被8整除，那么这个数是多少？请说明理由.【试题来源】 【题目】1、65是_ _的倍数；50以内13的倍数是 .2、327至少减去7，就既有因数 ，又是 的倍数.3、12能被3整除，则12是 的倍数；3是 的因数.【试题来源】 【题目】1、数a 能被数b 整除，已知数a 是最大的两位数，b 小于20大于8，那么b 的值可能是 .2、有两个正整数，它们的和是18，积是65，它们的差是 .3、既是正整数a 的因数，又是它的倍数的数是___________.【试题来源】【题目】⨯=，（）和（）是（）的因数，（）是（）和（）的倍数.（1）3721（2）72的最大因数是（），最小倍数是（），最小因数是（）.（3）一个数（0除外），它的最大因数和最小倍数都是（）.【试题来源】【题目】判断正误（1）6是因数，30是倍数.（）÷=，所以8是0.8和10的倍数，0.8和10是8的因数. ( )（2）因为80.810（3）一个数的因数一定小于这个数.（）（4）甲数比乙数大，甲数的因数的个数比乙数多. （)【试题来源】【题目】（1）30的最大因数和最小倍数的和是（），它们的积是（），它们的差是（）.（2）我是60的因数，还是12的最小倍数，我是（）；我的最大因数和最小倍数都是73，我是（）；我只有两个因数，我的2倍在30和35之间，我是（）.【试题来源】【题目】思考：12的因数有1、2、3、4、6、12共6个，5的因数有1和5共2个，那12×5即60的因数的个数有（）个.课后练习：【试题来源】【题目】下列说法正确的是（）【选项】A .1没有因数，也没有倍数； B .一个整数的因数的个数有限；C .一个整数的倍数的个数有限；D .6的因数只有2和3.【试题来源】【题目】在80以内，24的因数和倍数分别有（）【选项】A . 2，3，4，6，8，12；48，72 ；B . 2，3，4，6，8，12，48，72；C . 1，2，3，4，6，8，12，24，48，72；D.1，2，3，4，6，8，12，24; 24，48，72.【试题来源】【题目】100以内(不包括100)5的倍数有（）个【选项】A .10 ；B.18 ；C.19 ；D.20 .【试题来源】【题目】一个数既是30的倍数，又是120的因数，下列说法中，正确的是（）【选项】A.这样的数只有一个；B.这样的数有限个；C.这样的数有无数多个；D.这样的数不存在.【试题来源】【题目】正整数a既是甲的倍数，又是乙的因数，下列说法中，正确的是（）【选项】A .甲乙两数大小相等；B .甲小于乙；C .甲是乙的因数；D .乙是甲的因数.【试题来源】【题目】1、50以内7的倍数有.2、三个连续的偶数中，最大的是a，最小是.这个三数的和是48，那么这a的值为.3、对于任意整数m，有没有最大或最小的因数，如果有，它们各是什么数？【试题来源】【题目】1、一个数的最小倍数减去它的最大因数，差是（）2、一个数的最小倍数除以它的最大因数，商是（）3、一个自然数比20小，它既是2的倍数，又有因数7，这个自然数是（）【试题来源】【题目】+的和的所有因数有（）个；a-b的差的所1、如果a的最大因数是17，b的最小倍数是1，则a b⨯的积的所有因数有（）个有因数有（）个；a b2、比6小的自然数中，其中2是( )的因数，又是( )的倍数【试题来源】【题目】一个小于30的自然数，既是8的倍数，又是12的倍数，这个数是多少?【试题来源】【题目】幼儿园里有一些小朋友，王老师拿了32颗糖平均分给他们，正好分完。
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(B)l 是最小的整数 (D)负整数和自然数统称为整数
7．下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在下面的( 50 和 25 16 和 32 2.1 和 0.3 15 和 4 13 和 3 18 和 6 ()()()()()()
)内打“√”．
除．”你认为对吗？
11．求 26 以内能被 3 整除的所有数的和．
二、综合能力提高 1．整数 a 能被整数 b 整除，它的商是 c ，那么整数 2 a 能被整数 b 整除吗？若能整除，商是多少？若不能整除，
请说明理由．
1.整数 a 以除以整数 b(b≠0)，若商是整数而余数为零，我们就说 a 能被 b 整除或 b 能整除 a .
2.整除的条件： ①被除数和除数都为整数； ②商为整数且余数为 0． 三、除尽与整除 1. 相同点：除尽与整除，都没有余数；除尽中包含整除． 2. 不同点：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零；
(B)51÷3＝17 (D)11÷3＝3……2
【随堂练习】
1．判断题： (1)0 是最小的自然数． (2)正整数是自然数． (3)正整数和负整数统称为整数． (4)整数包括自然数和负整数．
2．将下列各数填在合适的方框内：
3, 0, 27,8.5, 3 , 0.6,125, 1.8,1, 97 ． 4
5.用“能”或者“不能”填空，注意主动句与被动句的不同. （1）2_______整除 4，4________被 2 整除； （2）2_______整除 5，5_________被 2 整除； （3）5_______整除 551，551_______被 5 整除； （4）3_______整除 102，102________被 3 整除.
学科教师辅导讲义
年 级：预初
辅导科目：数学
课时数：3 课时
课题
整数和整除的意义 B
教学目的
1．知道自然数和整数的意义，能够按要求把数进行分类． 2．理解和掌握整除的概念，能够判断一个数能否被另一个数整除．
教学内容
【知识梳理】 一、整数
1.负整数：我们把 1， 2， 3，…这些数叫做负整数．
2.自然数：零和正整数统称为自然数. 3.整数：正整数，零，负整数统称为整数.它们的从属关系如下图．因为自然数包括正整数和零，所以自然数是 非负整数．
【课堂总结】
【课后作业】
一、基础复习巩固
1．判断题（对的打“√”，错的打“×”）： (1)0 是最小的自然数．（ ） (2)正整数是自然数．（ ） (3)正整数和负整数统称为整数．（ ） (4)整数包括自然数和负整数．（ ）
2. 12÷4＝3，我们可以说____能被____整除；也可以说 能整除
．
3． 、____和____都是整数．
8．从下列数中选择适当的数填人相应的圈内；
1，﹣2，0，25％，27，0.3，﹣100 2 ，56． 3
9．把下面的算式填人适当的圈内
30 6；120 5； 75 6； 2 6 ； 8 16 ； 48 12 ；1.5 3 ； 9 0.25．
10．老师问：“当 a 3.6,b 0.9 时，a 能被 b 整除吗？”一个同学回答：“因为商是 4，是整数，所以 a 能被 b 整
4．在下列除法算式中，被除数能被除数整除的是（ ）
(A)2.7÷3＝0.9
(B)25÷5＝5
(C)4.6÷2＝2.3
(D)13÷2＝6.5
5．在下列各组数中，第一个数不能被第二个数整除的是（ ）
( A) 51 和 3
(B) 21 和 7
(C)18 和 1
(D)4 和 0. 5
6．下列说法中，正确的是（ ） (A)小数一定比整数小
【借题发挥】 1． 把下列个数填在指定的圈内
8，-10，0，0.25，-50， 3 ，100，-8.5 7
正整数
负整数
整数
题型二：整除
【例 3】下列算式中，被除数能被除数整除的是 ( ) (A) 25÷4 (B)25÷0.5 (C)2.5÷5 (D)5÷5
【例 4】能整除 18 的数有哪些？
【借题发挥】
【典型类型讲解】 题型一：整数的意义与分类
【例 l】从下列数中选择适当的数填入相应的圈内：
25 , 13, 2.47, 8. 75 , 0， 29.
【例 2】在下列各组数中，4 个连续的自然数是 ( ) (A)﹣1,0,1,2 (B)0,1,2,3 (C)10,12,14 ,16 (D)3,5,7,9
1.指出第一行的各数能被第二行的哪些数整除．
48 30 91 120
2
357
题型三：除尽与整除
【例 5】从下列算式中选择适当的算式填入相应的圈内： 25÷5＝5, 2.5÷0.5＝5， 25÷3＝8……1，25÷4＝6.25．
【借题发挥】 1.下列算式属于整除的是（ ）
(A)3.9÷1. 3＝3 (C)7÷2＝3.5
自然数 负整数 整数 正整数
3.把下面的算式填入适当的圈内：
30÷6； 45÷5； 76÷6；
3÷9;
48÷4;
2.5÷5;
2÷5； 4÷0.25.
（） （） （） （）
4．下面各组数中，哪个数能被另一个数整除？ (1) 75 和 5; (2) 18 和 72; (3) 121 和 11; (4)8 和 48; (5) 17 和 51; (6) 175 和 5．
正整数 整数 零
负整数
自然数
4.0 是最小的自然数；没有最大的整数. 5.“1”是自然数的单位，除“0”外，任何自然数都是由若干个 1 组成的．自然数从 0 开始，逐次加 1．就能
得到一列以 0 为首的自然数，由于这样的逐次加 1，是可以无止境地做下去的，因此，自然数列是无穷无尽的．
同样，如果将 0 逐次减 l，便能依次得到所有的负整数： 1， 2， 3，… 二、整除