回归模型的残差分析
什么是残差分析如何利用残差分析来检验回归模型的适用性
什么是残差分析如何利用残差分析来检验回归模型的适用性残差分析是统计学中一种常用的方法，用于评估回归模型的适用性。
在回归分析中，我们希望通过建立数学模型来描述自变量与因变量之间的关系。
残差分析则是用来检验模型是否能准确地描述实际数据。
残差（residual）是指观测值与回归方程预测值之间的差异。
回归方程可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中Y是因变量，X1、X2、...、Xn是自变量，β0、β1、β2、...、βn是回归系数，ε是误差。
残差计算公式为：残差 = 观测值 - 预测值。
当回归模型适用性良好时，残差应该随机分布在零附近，没有明显的模式或趋势。
接下来，我们将介绍如何利用残差分析来检验回归模型的适用性。
1. 绘制残差图（Residual Plot）残差图是一种展示残差分布的可视化方式。
在横轴上绘制观测值或预测值，纵轴上绘制残差。
如果残差图中的点随机分布在零附近，并且没有明显的模式，则说明回归模型适用性较好。
如果残差图中存在模式或趋势，那么回归模型可能存在问题，需要重新评估模型的可靠性。
2. 检查残差的正态性回归模型通常假设误差项（ε）满足正态分布。
我们可以通过绘制残差的直方图或概率图来检查残差是否服从正态分布。
如果残差近似服从正态分布，则说明回归模型的适用性较好。
3. 检查残差的独立性残差的独立性是指残差之间没有相关性。
我们可以通过绘制残差的自相关图（Autocorrelation Plot）来检验残差是否独立。
如果残差之间没有显示出明显的相关性，则说明回归模型的适用性较好。
4. 检查残差的等方差性等方差性是指残差的方差在自变量的不同取值范围内是恒定的。
我们可以绘制残差的散点图，以观察残差的方差是否与预测值相关。
如果散点图呈现出均匀分布且没有明显的锥形或漏斗形状，则说明回归模型的适用性较好。
总结来说，残差分析是用于检验回归模型适用性的重要方法。
残差分析
一、残差分析 前面我们介绍了线性回归方程的建立和检验。在实际问题中，由于 观察人员的粗心或偶然因素的干扰。常会使我们所得到的数据不完全可 靠, 即出现异常数据。有时即使通过相关系数或 F 检验证实回归方程可 靠，也不能排除数据存在上述问题。残差分析的目的就在于解决这一问 题。所谓残差是指实际观察值与回归估计值的差，即
(2-1-26)
显然，有多少对数据，就有多少个残差。残差分析就是通过残差所 提供的 信息，分析出数据的可靠性、周期性或其它干扰 。
首先介绍如何检查异常数据。 异常数据是指与其它数据产生的条件有明显不同的数据，因此异常 数据的残差会特别的大。一旦发现异常数据应及时剔除，用剩余数据重 新建立回归方程，以提高回归方程的质量 。 发现异常数据主要从技术上找原因，当技术上无法找到原因时，就 得借助于数理统计方法。 由数理统计方法可以证明
(2-1-42)
的点大约有 95%。因此我们只要求解不等式组
便可得到 x 的取值范围(x1,x2)。
(2-1-43)
图 2-1-5 数据有周期性变化的残差图
图 2-1-6 数据有倾向性变化的残差图
有时我们还会发现数据有倾向性变化。在残差图上表现为前一部分 数据的残差均为正值(或负值)，而后一部分数据的残差均为负值(或正
值)，如图 2-1-6 所示。遇到这种情况要仔细研究，找出原因。比如前 后两部分数据是由两个人观测的，可能两人掌握尺度不同所造成的，也 可能是外界条件产生了变化或系统本身的原因造成的。
(2-1-27)
或记为
(2-1-28)
这说明残差的方差 D(e)是 x 的函数，且二者呈曲线关系。以回归方
程
及方程
和
作图。
高考复习资料：回归模型的残差分析
回归模型的残差分析山东胡大波判断回归模型的拟合效果是回归分析的重要内容，在回归分析中，通常用残差分析来判断回归模型的拟合效果。
下面具体分析残差分析的途径及具体例子。
一、残差分析的两种方法1、差分析的基本方法是由回归方程作出残差图，通过观测残差图，以分析和发现观测数据中可能出现的错误以及所选用的回归模型是否恰当；在残差图中，残差点比较均匀地落在水平区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。
2、可以进一步通过相关指数∑∑==---=niiniiiyyyyR1212^2)()(1来衡量回归模型的拟合效果，一般规律是2R越大，残差平方和就越小，从而回归模型的拟合效果越好。
二、典例分析：例1、某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：次数/x 30 33 35 37 39 44 46 50成绩/y 30 34 37 39 42 46 48 51试预测该运动员训练47次以及55次的成绩。
解答：（1）作出该运动员训练次数x与成绩y之间的散点图，如图1所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系。
次数ix成绩iy2ix2iyixiy30 30 900 900 90033 34 1089 1156 112235 37 1225 1369 129537 39 1369 1521 144339 42 1521 1764 163844 46 1936 2116 202446 48 2116 2304 220850 51 2500 26012550由上表可求得875.40,25.39==y x ，12656812=∑=i ix，13731812=∑=i i y ，1318081=∑=ii i yx ，所以∑∑==---=81281)())((i ii i ix xy y x xβ.0415.18812281≈--=∑∑==i ii ii xxy x yx00302.0-≈-=x y βα，所以回归直线方程为.00302.00415.1^-=x y（3）计算相关系数将上述数据代入∑∑∑===---=8181222281)8)(8(8i i i i i ii y y x x yx yx r 得992704.0=r ，查表可知707.005.0=r ，而05.0r r >，故y 与x 之间存在显著的相关关系。
简单线性回归模型与分析残差图
阿姆德连锁店的回归直线
估计参数
b1=5
250
季度销售收入/千美圆
b0=60
200 150
回归直线
100
yˆ 60 5x 你对系数的含义怎
50
0
0
5
10
15
20
25
30
学生人数/千人
么理解？
回归方程的判定系数
y的总变差的分解
SST ( yi y)2 ( yi yˆi yˆi y)2
简单线性回归模型与分 析残差图
2021年8月2日星期一
建立两个变量X和Y间的关系模型，推断变量 Y如何依赖于变量X, 从而可以用X预测Y.
例：
广告费用和销售量 公司的市值与CEO的年薪 原始股的销售数量和期望价格 证券市场收益率与某只股票的收益率 商品价格和销售量 装配线的速度和次品数量 年收入与信用卡消费金额 年龄与手机话费 连锁店附近的人流与店的利润 气温与滑雪场门票销量
两种区间的关系
均值的置信区间 预测区间边界
xp
对模型作进一步的探讨
回忆我们使用的模型； 对模型作了什么假定？ 逻辑问题：如何判断我们的问题符合这
些假定？ 分析的方案：残差分析
第i个残差： ˆi yi yˆi i 1,2,n
通过残差你能够了解什么？
对误差项作的假定适合吗？ 1）等方差； 2）相互独立； 3）正态分布；
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学生人数/千人
根据这些你可以得到什么结论？
Types of Regression Models
Positive Linear Relationship
Relationship NOT Linear
Negative Linear Relationship
回归分析中的残差与离群值检测
回归分析中的残差与离群值检测回归分析是一种常用的统计分析方法，用于研究变量之间的关系。
在回归分析中，残差与离群值检测是两个重要的概念。
本文将详细介绍回归分析中的残差和离群值检测的概念、意义、计算方法和应用。
1. 残差的概念与意义残差是回归模型的预测值与实际观测值之间的差异。
在回归分析中，我们希望通过建立合适的回归模型来准确地预测因变量的值。
残差表示了模型无法解释的部分，即模型预测值与实际观测值之间的差异。
残差可以用来评估模型的拟合程度和预测效果，残差的均值应接近于0，残差的方差应接近于常数。
2. 残差的计算方法在回归分析中，残差可以通过实际观测值减去回归模型的预测值来计算得到。
具体计算方法如下：残差 = 实际观测值 - 回归模型的预测值3. 残差的应用残差在回归分析中有广泛的应用。
首先，残差可以用于评估回归模型的拟合程度。
如果残差的均值接近于0，方差接近于常数，说明模型的拟合效果较好；反之，则说明模型的拟合效果较差。
其次，残差还可以用于检测回归模型的假设条件是否满足。
例如，如果残差的分布不服从正态分布，可能意味着回归模型存在一些问题，需要进行相应的调整。
此外，残差还可以用于发现异常观测值或离群值。
如果某个观测值的残差远远大于其他观测值的残差，可能表示这个观测值存在异常或离群现象。
4. 离群值检测的概念与意义离群值是指与大多数观测值相比，具有显著偏离的观测值。
离群值检测是指通过统计方法判断某个观测值是否为离群值。
离群值的存在会对回归模型的拟合效果和预测结果产生较大影响，因此需要进行相应的检测和处理。
5. 离群值检测的方法在回归分析中，常用的离群值检测方法包括标准化残差法、Cook's距离法和学生化残差法等。
具体方法如下：(1) 标准化残差法：计算每个观测值的残差与残差的标准差的比值，如果该比值超过某个阈值，则认为观测值为离群值。
(2) Cook's距离法：计算每个观测值对回归模型参数的影响程度，如果某个观测值对参数的影响较大，则认为该观测值为离群值。
ols回归结果的检验方法 -回复
ols回归结果的检验方法-回复OLS回归(Ordinary Least Squares Regression)是一种常用的统计分析方法，它通过最小二乘法来估计自变量与因变量之间的关系。
在进行OLS 回归分析后，为了验证回归结果的可靠性和有效性，需要进行一系列的检验方法。
本文将依次介绍OLS回归结果的多重共线性检验、残差分析、异方差性检验和自相关性检验等方法。
一、多重共线性检验多重共线性是指自变量之间存在高度相关性，即自变量之间存在线性关系，这将导致OLS回归结果的不稳定性和不可靠性。
因此，需要进行多重共线性的检验。
常用的多重共线性检验方法有两种：方差膨胀因子(VIF)和特征值检验。
1. 方差膨胀因子(VIF)方差膨胀因子是用于判断自变量之间是否存在多重共线性的常用指标。
对于给定的自变量，其方差膨胀因子的计算公式如下：VIFi = 1 / (1 - R2i)其中，VIFi表示第i个自变量的方差膨胀因子，R2i表示第i个自变量与其他所有自变量的R平方。
通常认为，如果方差膨胀因子大于等于10，表示自变量之间存在较强的多重共线性。
2. 特征值检验特征值检验是通过计算回归方程的特征值来判断多重共线性的一种方法。
具体步骤如下：1) 计算设计矩阵的转置矩阵的乘积：T = X' * X，其中X为设计矩阵；2) 计算矩阵T的特征值；3) 若特征值小于某个阈值（通常取1e-10），则认为存在多重共线性。
二、残差分析残差分析是用来检验OLS回归的模型拟合程度和残差的合理性的方法。
1. 残差图残差图是以自变量的取值为横坐标，残差值为纵坐标绘制的散点图。
通过观察残差图可以判断模型是否存在异方差、非线性和异常值等问题。
2. 残差的正态性检验在回归分析中，线性模型通常假设残差服从正态分布。
因此，我们需要进行残差的正态性检验，常见的方法包括柯莫哥罗夫-斯米尔诺夫检验、Lilliefors检验和Shapiro-Wilk检验等。
回归模型的残差分析
回归模型的残差分析回归模型的残差分析是评估回归模型表现的一种重要工具。
残差是指实际观测值与回归模型预测值之间的差异，它们表示了变量之间的未解释部分。
通过残差分析，可以检验回归模型是否适用于数据，以及进一步了解模型的有效性和弱点。
下面将详细介绍回归模型的残差分析，包括常见的统计检验和图形可视化。
一、残差检验残差检验是通过统计检验来评估残差的统计性质是否满足模型假设的重要工具。
下面是常见的残差检验方法：1. 正态性检验：使用诸如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov 检验或Anderson-Darling检验等统计检验方法，验证残差是否满足正态分布假设。
如果残差不符合正态分布，则可能存在模型的偏误。
2. 独立性检验：残差应该是相互独立的，这意味着它们之间应该没有明显的相关性。
可以通过Durbin-Watson检验或Ljung-Box检验等方法来检验残差之间的相关性。
3. 同方差性检验：残差应该具有恒定的方差，即同方差性。
常用的检验方法有Breusch-Pagan检验或White检验。
如果检验结果拒绝了同方差性假设，则说明模型不适用于数据。
4.线性性检验：残差应该与自变量之间没有明显的线性关系。
通过绘制残差与预测值、自变量的散点图或低阶多项式回归分析等方法来检验线性性。
5.异常值检测：有时残差会被异常值影响，可以使用统计方法识别和处理异常值，如标准化残差大于一些阈值或离群值距离大于一些阈值等。
通过以上的残差检验，可以获得对回归模型的可靠性的判断。
如果残差满足模型假设，可以认为模型是有效的；如果残差不满足一些假设，则需要考虑模型的修正或改进。
二、残差图形可视化除了统计检验，残差的图形可视化也是评估回归模型的重要手段。
常见的残差图形包括：1.散点图：绘制残差与预测值或自变量的散点图，观察是否存在明显的模式或关联性。
如果散点图中观察到的残差分布均匀、随机分布在0值附近，说明模型是良好的。
回归模型的残差分析
回归模型的残差分析回归模型的残差分析是指在进行回归分析后，对模型残差进行统计学和经济学的分析。
残差即为实际观测值与回归预测值之间的差异，残差分析是判断回归模型是否符合假设前提的重要方法。
残差分析可以帮助我们检查回归模型的合理性和准确性，评估模型的稳定性，并发现可能存在的问题和异常观测值。
残差分析的主要目的：1.检验回归模型的合理性和准确性：通过检查残差图表，判断模型是否存在违反线性关系、独立性、方差齐性和正态性等假设前提，如果不满足假设前提，可能需要进行模型修正或改进。
2.评估模型的稳定性：通过分析残差随时间或其他相关因素的变化，检查模型是否具有稳定的效应，或是否存在漏项变量或过度拟合等问题。
3.发现异常观测值：通过检查残差进行离群点或异常观测值分析，判断其对模型结果和统计推断的影响。
4.确定修正系数：通过观察残差分布和模型设定，发现变量之间的相关关系或非线性关系，以确定进一步修正模型的变量和系数。
在进行残差分析时，可以使用以下图表和方法：1.残差图：绘制残差与预测值之间的散点图，用于判断残差是否随预测值发生系统性的变化，以检验线性关系的假设。
如果残差无明显模式地分布在水平线附近，表明回归模型可能符合线性关系的假设。
2.偏差-方差图：绘制观测值与残差的散点图，用于检验方差齐性的假设。
如果散点图呈现出对称的瓶颈图形，表明方差齐性假设可能成立。
3.实际值-预测值图：绘制实际观测值与预测值的散点图，用于检查回归模型的准确性和稳定性。
如果散点图基本分布在一条直线附近，表明模型预测准确且稳定。
4.正态概率图：绘制残差的累积分布函数图，用于检验残差的正态性假设。
如果观测值近似于一条直线，表明残差满足正态分布。
5.杠杆影响图和离群点分析：通过计算观测值的杠杆值和离群度来判断异常观测值，并对其进行敏感性分析。
6.残差与时间或其他相关变量的图表：绘制残差随时间或其他相关变量的变化图表，用于判断模型的稳定性和可能存在的问题。
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回归模型的残差分析
山东胡大波
判断回归模型的拟合效果是回归分析的重要内容，在回归分析中，通常用残差分析来判断回归模型的拟合效果。
下面具体分析残差分析的途径及具体例子。
一、残差分析的两种方法
1、差分析的基本方法是由回归方程作出残差图，通过观测残差图，以分析和发现观测数据中可能出现的错误以及所选用的回归模型是否恰当；在残差图中，残差点比较均匀地落在水平区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。
2、可以进一步通过相关指数
∑
∑
=
=
-
-
-
=
n
i
i
n
i
i
i
y
y
y
y
R
1
2
1
2
^
2
)
(
)
(
1来衡量回归模型的拟合效果，一般规律是2
R越大，残差平方和就越小，从而回归模型的拟合效果越好。
二、典例分析：
例1、某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：
次数/x 30 33 35 37 39 44 46 50
成绩/y 30 34 37 39 42 46 48 51
试预测该运动员训练47次以及55次的成绩。
解答：（1）作出该运动员训练次数x与成绩y之间的散点图，如图1所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系。
次数
i
x
成绩
i
y2
i
x2
i
y
i
x
i
y
30 30 900 900 900
33 34 1089 1156 1122
35 37 1225 1369 1295
37 39 1369 1521 1443
39 42 1521 1764 1638
44 46 1936 2116 2024
46 48 2116 2304 2208
50 51 2500 2601
2550
由上表可求得875.40,25.39==y x ，
126568
1
2=∑=i i
x
，137318
1
2=∑=i i y ，
131808
1
=∑=i
i i y
x ，所以∑∑==---=
8
1
2
8
1
)()
)((i i
i i i
x x
y y x x
β.0415.188
1
2
28
1≈--=
∑∑==i i
i i
i x
x
y x y
x
00302.0-≈-=x y βα，所以回归直线方程为.00302.00415.1^
-=x y
（3）计算相关系数
将上述数据代入∑∑∑===---=
8
1
8
1
2
22
2
8
1
)
8)(8(8i i i i i i
i y y x x y
x y
x r 得992704.0=r ，查表可知
707.005.0=r ，而05.0r r >，故y 与x 之间存在显著的相关关系。
（4）残差分析：
作残差图如图2，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适。
计算残差的方差得884113.02
=σ
，说明预报的精度较高。
（5）计算相关指数2
R
计算相关指数2
R ＝0.9855.说明该运动员的成绩的差异有98.55％是由训练次数引起的。
（6）做出预报
由上述分析可知，我们可用回归方程.00302.00415.1^
-=x y 作为该运动员成绩的预报值。
将x ＝47和x ＝55分别代入该方程可得y ＝49和y ＝57，
故预测运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57. 点评：一般地，建立回归模型的基本步骤为：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）；
（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y ＝bx ＋a ）；
（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；
（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。
例2、某城区为研究城镇居民月家庭人均生活费支出和月人均收入的相关关系，随机抽月人均收入x/元 月人均生活费y/元 300 255 390 324 420 335 520 360 570 450 700 520 760 580 800 600 850 630 1080
750
试预测人均月收入为1100元和人均月收入为1200元的两个家庭的月人均生活费。
解答：作出散点分布图如图，由图可知，月人均生活费与人均收入之间具有线性相关关系。
通过计算可知4.480,639==y x ，
461030010
1
2=∑=i i
x
，254052610
1
2=∑=i i y ，
341756010
1
=∑=i
i i y
x ，所以=
β.6599.0101010
1
2
210
1≈--∑∑==i i
i i
i x
x
y x y
x
751.58≈-=x y βα，所以回归直线方程为.751.586599.0^
+=x y
计算相关系数得993136.0=r ，而查表知632.005.0=r ，故月人均收入与月人均生活费之间具有显著相关关系。
作残差图如图，由图可知，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适。
计算相关指数得2R ＝0.9863，说明城镇居民的月人均生活费的差异有98.63％是由月人均收入引起的。
由以上分析可知，我们可以利用回归方程.751.586599.0^
+=x y 来作为月生活费的预报值。
将x ＝1100代入回归方程得y ＝784.59元；将x ＝1200代入回归方程得y ＝850.58元。
故预测月人均收入分别为1100元和1200元的两家庭的月人均生活费分别为784.59元和850.58元。