无穷小量与无穷大量
无穷小量与无穷大量
定理11. 若在同一极限过程中, α, β, γ 均为无穷小
量, 则
(1). α ~ α;
(反身性)
(2).若α ~ β; 则 β ~ α;
(对称性)
(3).若α ~ β, β ~ γ; 则 α ~ γ; (传递性)
(4).若α ~ β; 则 αγ ~ γ β .
9
定理12. (等价代换原理)设α, α１, β, β１, 为同一极限
过程中无穷小量且 α～α１,β～β１, 若 lim 1 存在,则
1
lim lim 1 .
1
注1:由此定理可知, 求两个无穷小量商的极限时, 如果 分子, 分母的等价无穷小量存在, 则就可用它们各自的 等价无穷小量来代换原来的分子, 分母, 使计算简化. 请记住以下几个常用的等价无穷小量:
10
当x 0 时
因 ( x) 为无穷小量,
则 0, 某个时刻，在此时刻后, ( x)
f
M ( x)( x)
M
.
M, f ( x)( x)为无穷小量.
M
例 lim x sin 1 0, 但 lim x sin 1 1.
x0
x
x
x
sin x
(1)n
lim
0; lim
0.
x x
n n
3
定理8. (函数与其极限间的关系)函数ƒ(x)的极限为A 的充要条件是函数ƒ(x )等于A与无穷小量 α 的和.
不是一个很大的常量. 当ƒ(x)取正值无限增大(取负值
绝对值无限增大)时, 称为正无穷大量(负无穷大量).
记为 lim f ( x) （或）lim f ( x)
注2.通常 lim f ( x) 是极限不存在的记号; 但它又
无穷小量与无穷大量
§1.3 无穷小量与无穷大量一、无穷小量与无穷大量的概念在实际问题中，经常会遇到以零为极限的变量。
例单摆离开铅直位置并摆动, 由于受到空气阻力和机械摩擦力作用, 它的振幅随时间增加而逐渐减少并趋近于零; 又如在电容器放电时, 电压也是随时间的增加而逐渐减少趋近于零.还有一些变量在变化过程中, 绝对值无限增大. 下面我们给出这两种变量的定义: 【定义1】如果lim ()0x Xf x →=，则称函数()f x 是当x X →时的无穷小量，简称无穷小．若lim ()x Xf x →=∞，则称()f x 为当x X →时的无穷大量，简称无穷大．也就是说, 无穷小是以0为极限的函数,无穷大是绝对值无限增大的函数.例如, 当0x →时，2,sin x x , 当1x →时，2(1),ln x x -是无穷小,当x →∞时，1x 是无穷小. 当0x →时，1x是无穷大, 当x →∞时，2x 是无穷大.“x X →”表示自变量的某个变化过程，可以是“x →∞、x →-∞、x →+∞、0x x →、0x x -→、0x x +→”中的任何一种．在自变量的同一变化过程中的无穷小具有如下性质: 【性质1】有限个无穷小的代数和是无穷小. 【性质2】有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 由以上两个性质立得以下两性质: 【性质3】常数与无穷小的乘积是无穷小. 【性质4】有限个无穷小的乘积是无穷小.【例1】求 01lim sin.x x x→ 【分析】当0x →时,1x →∞, 1sin x的取值在区间[1,1]-上波动, 无极限, 不能用积的极限法则计算, 应考虑无穷小的性质.【解】当0x →时，x 是无穷小量, 又因为1sin1x≤，所以1sin x 是有界变量；．根据性质2有01lim sin0.x x x→= 二、无穷大量与无穷小量的关系无穷小与无穷大有如下关系:【定理1】在自变量的同一变化过程中, 如果()f x 为无穷大, 则1()f x 为无穷小；反之, 如果()f x 为无穷小, 且()0f x ≠, 则1()f x 为无穷大. 简言之, 同一过程中的无穷大的倒数为无穷小, 非零无穷小的倒数是无穷大. 【例2】求 11lim1x x x →+-. 【解】当1x →时, 10x -→, 12x +→, 不能用商的极限法则. 考虑其倒数的极限, 有11lim01x x x →-=+, 即当1x →时, 11x x -+是无穷小, 由定理1， 11x x +-是无穷大, 因此 11lim1x x x →+=∞-. 三、无穷小量的比较我们通常用速度来描述及比较物体运动的快慢, 那么, 怎样描述及比较无穷小量收敛速度的快慢呢? 例如，当0x →时，3x 、2x 、2x 都是无穷小，而它们的比值的极限有各种不同情况：2200003333lim lim ,lim 0,lim 2223x x x x x x x x x x →→→→====∞这反映了在同一极限过程中，不同的无穷小趋于零的“快慢”程度不一样．从上述例子可看出，在0x →的过程中，30x →与20x →“快慢大致相同”， 20x →比30x →“快些”，而20x →比20x →“慢些”．下面我们通过无穷小之商的极限来说明两个无穷小之间的比较, 给出无穷小的阶的定义．【定义2】设,αβ是同一变化过程中的无穷小, 且0β≠,(1)若lim 0βα=，就说β是比α高阶的无穷小，记作)(αβo =； (2)若lim βα=∞，就说β是比α低阶的无穷小；(3)若lim 0c βα=≠，就说β是与α同阶无穷小；特别地, 若lim1βα=，就说β与α是等价无穷小，记作~αβ． 显然, 如果β是比α高阶的无穷小, 则α是比β低阶的无穷小, 这时β比α收敛到0的速度“快些”. 如果β是与α同阶无穷小, 那么它们收敛到0的“快慢大致相同”.例如，当0x →时，2x 是比3x 高阶的无穷小，因为20lim 03x x x→=，即2(3) (0)x o x x =→;此时203limx xx→=∞, 因此3x 是比2x 低阶的无穷小; 当0x →时，2x 与3x 是同阶无穷小，因为022lim33x x x →=;当0x →时，sin x 与x 是等价无穷小，即sin ~(0)x x x →, 因为0sin lim 1x xx→=, 这是第一重要极限, 我们将在下一节加以介绍．【例3】当0x →时，试比较下列无穷小的阶．(1) 22,x x x αβ=+=； (2) cos ,x x x αβ==．【解】（1）因为2002lim lim 2x x x xxαβ→→+==，所以当0x →时，22x x +与x 是同阶无穷小．（2）因为00cos limlim 1x x x x xαβ→→==，所以当0x →时，cos x x 与x 是等价无穷小． 四、具有极限的函数与无穷小量的关系关于等价无穷小，有下面的重要性质：【定理2】(无穷小与极限的关系) β与α是等价无穷小当且仅当()o βαα=+． 这个定理是说, 两个无穷小等价, 当且仅当它们的差是比其中一个更高阶的无穷小. 例如, 22~2(0)x x x x +→, 因为它们的差2x 是比2x 高阶的无穷小, 即2(2)(0)x o x x =→.【定理3】(等价无穷小代换原理) 设~'αα , ~'ββ,且'lim'βα存在，则 'limlim 'ββαα=． 这个定理告诉我们一种求极限的方法---等价无穷小代换法.求两个无穷小的商的极限时, 分子和分母都可以用等价的无穷小来代替.通常, 我们用形式较简单的无穷小代替较复杂的无穷小,以达到简化计算的目的. 进一步, 分子和分母中的无穷小乘积因子也可以用等价无穷小代替.下面先给出一些常用的等价无穷小:当0x →时, 有sin ~,x x tan ~,x x 211cos ~,2x x - arcsin ~,x x arctan ~,x x (1)1~ (),x x R ααα+-∈ 1~,x e x - ln(1)~.x x +【例4】求下列极限:(1) 0tan 2lim sin5x x x →; (2) 20sin 3lim sin 2x xx x →; (3) 30tan sin lim sin x x x x→-. 【解】(1) 当0x →时, tan 2~2x x , sin5~5x x , 所以00tan 222limlim sin555x x x x x x →→==.(2) 当0x →时, sin3~3x x , sin 2~2x x , 所以2200sin 3(3)9lim lim sin 222x x x x x x x x →→==⋅. (3) 当0x →时, tan ~x x , sin ~x x , 但3300tan sin limlim 0sin x x x x x xx x→→--≠=. 为什么? 因为只有当分子或分母是函数的乘积时, 对于乘积因子才可以用等价无穷小代换. 对于和或差中的函数, 一般不能用等价无穷小代换! 这是用等价无穷小代换法求极限的易错点, 需要特别注意!正确解法为3300tan sin tan (1cos )limlim sin sin x x x x x x x x→→--=, 当0x →时, tan ~x x , sin ~x x , 211cos ~,2x x - 因此 2123300()tan sin 1lim lim sin 2x x x x x x x x →→⋅-==.结合定理2, 我们介绍等价无穷小代换法中的一种特殊的技巧---舍去高阶无穷小. 根据定理2, 对于能用等价无穷小代换的分母或分子(或乘积因子), 若是两个不同阶的无穷小的和, 则可以把其中较高阶的无穷小舍去, 即以其中较低阶的无穷小作代换. 以下举例说明:【例5】求下列极限:(1) 30sin lim x x x x →+; (2) 2303sin lim tan 2x x xx x →+-;【解】(1) 当0x →时, sin ~x x , 又3()x o x =, 故3~x x x +, 所以300sin limlim 1x x x xx x x→→==+.(2) 当0x →时, 22sin ~,x x 而2(3)x o x =, 故2sin (3)x o x =, 由定理223sin ~3x x x +; 类似有3tan 2~2x x x -, 所以23003sin 33lim lim tan 222x x x x x x x x →→+==-. 习题1.31.下列函数中, 哪些是无穷小, 哪些是无穷大?(1) 23(0)y x x x =+→; (2) 1()2y x x =→∞-; (3) 1(2)2y x x =→-; (4) 2log (0)y x x +=→. 2. 函数1xy x =+在什么条件下是无穷小, 什么条件下是无穷大? 3. 当0x →时, 22x x +与323x x +相比较, 哪个是较高阶的无穷小?4. 当0x →时, 有0lim11xx e x→=+, 能否说函数x e 与1x +是0x →时的等价无穷小? 5. 求下列极限: (1) sin limx x x →∞; (2) 211lim(1)sin 1x x x →--;(3) 02arcsin lim3x x x →; (4) 01lim 2x x→;(5) 20ln(123)lim 4x x x x →+-; (6) 2320sin tan lim sin52x x x x x x →+++.§1.4 两个重要极限本节介绍两个重要极限:0sin lim1x x x →=及1lim(1)x x e x→∞+=.一、0sin lim1x xx→=在物理学中, 我们有一个近似计算的公式: 当x 的绝对值||x 很小时, sin x x ≈. 从无穷小收敛到0快慢的角度看, 这个近似式就是说当0x →时, sin x 和x 收敛到0的“速度相同”, 换句话说, sin x 与x 是等价无穷小, 即0sin lim1x xx→=, 或记为sin ~(0)x x x →.对这个结果, 我们列出当0x →时, 函数sin xx的数值表加以说明: 表1.5sin xx当0x →时的数值表由表1.5可知, 当0x →时,sin 1x x→, 即0sin lim 1x xx →=.【例1】证明当0x →时, 下列各对无穷小等价: (1) tan ,x x ; (2) 211cos ,2x x -; (3) arcsin ,x x . 【证】(1) 因为0000tan sin 11sin limlim lim lim 111cos cos cos x x x x x x xxx x x x →→→→=⋅==⋅=,所以tan ~(0)x x x →.(2) 因为222200002222sin sin sin1cos 222lim lim lim (lim )1111()2222x x x x x x xx x xx x →→→→-=====, 所以211cos ~(0)2x x x -→. (3) 令arcsin x t =, 则sin x t =, 当0x →时, 0t →, 我们有000arcsin 11limlim 1sin sin 1limx t t x t t x t t→→→====,所以arcsin ~(0)x x x →. 【例2】求下列极限. (1) 0sin lim(0)x kx k x→≠; (2) 0sin lim (,0)sin x mxm n nx →≠.【解】(1) 000sin sin sin limlim lim x x x kx kx kxk k k x kx kx→→→=⋅==.(2) 00sin sin lim lim sin sin x x mx mx mx nx nx nx→→==.说明: 例2还可以用等价无穷小代换法, 解法如下: 由sin ~(0)kx kx x →, 有00sin limlim x x kx kxk x x →→==, 类似有00sin limlim sin x x mx mx mnx nx n→→==.显然, 用等价无穷小代换法更加简洁, 读者可见这种方法的巧妙之处.二、1lim(1)x x e x→∞+=首先讨论以下数列极限 1lim 1nn n →∞⎫⎛+ ⎪⎝⎭.考察数列1{1}nn x n ⎫⎛=+ ⎪⎝⎭当n 无限增大时的变化趋势, 如表1.6：表1.6 11nn ⎫⎛+ ⎪⎝⎭当n →∞时的数值表由上表可见, 当n →∞时, 数列11n n ⎫⎛+ ⎪⎝⎭的值大约于2.718, 极限1lim 1nn n →∞⎫⎛+ ⎪⎝⎭存在. 可以证明当x →∞时(包括,+∞-∞), 函数1()(1)xf x x=+也和上述数列收敛到同一个极限. 我们把这个极限值用e 表示, 即1lim(1)x x e x→∞+=. 这就是我们高中学过的自然对数的底e , 它是个无理数, 其值 2.718281828459...e = 若令1u x=, 则当x →∞时, 0u →, 这样便得到该极限的另一种形式: 10lim(1)uu u e →+=.【例3】求下列极限. (1) 2lim(1)x x x →∞+; (2) 1lim(1)x x x →∞-; (3) 431lim(1)2x x x+→∞+.【解】(1) 22222222lim(1)lim[(1)][lim(1)]x x x x x x e x x x→∞→∞→∞+=+=+=.(2) 111111lim(1)lim[(1)][lim(1)]x x x x x x e x x x -----→∞→∞→∞-=-=-=.(3) 432232231111lim(1)lim(1)lim[(1)](1)2222x x x x x x x x x x+⋅+→∞→∞→∞+=+=++2232211lim[(1)]lim(1)122x x x e e x x→∞→∞=++=⋅=.一般地, 有lim(1)bx c ab x ae x+→∞+=. 【例4】求 1lim 1xx x x →∞+⎫⎛ ⎪-⎝⎭. 【解】法一: 2111lim(1)1lim lim 111lim(1)xxxx x x x x x x e x x e x x e x x→∞-→∞→∞→∞+⎫⎛+⎪ +⎫⎛====⎪ ⎪--⎝⎭⎪-⎝⎭.法二: 121222122lim lim 1lim 11111x x xx x x x e e x x x -⋅+→∞→∞→∞+⎫⎫⎫⎛⎛⎛=+=+=⋅=⎪ ⎪ ⎪---⎝⎝⎝⎭⎭⎭.作为第二重要极限的应用, 我们介绍连续复利模型. 所谓复利计息, 就是把第一期的本金与利息之和作为第二期的本金, 反复计算利息, 俗称“利滚利”. 设本金为0A , 年利率为r , 一年后的本利和为1000(1)A A A r A r =+=+,把1A 作为新的本金存入, 第二年末的本利和为221110(1)(1)A A Ar A r A r =+=+=+.以此类推, 得到t 年后的本利和0(1)t t A A r =+.若把一年均分为n 期结算, 则每期利率为r n , 例如取12n =, 则得月利率12r. 这样, 一年后的本利和为10(1)n r A A n =+, t 年后的本利和为0(1)ntt r A A n=+.不难证明, 上述t A 作为以n 为自变量的数列单调上升, 即随着n 的增加而增大. 这也就能解释, 为什么在同样的年利率与存(贷)款年限下, 利滚利的频度越大, 本利和越大. 这是高利贷牟取暴利的主要手段, 据说, 香港的高利贷每天结算一次利息, 澳门的高利贷则是每12小时结算一次.若采取瞬时结算法, 即随时生息随时结算, 也就是当n →∞时, 得t 年后的本利和为000lim (1)lim[(1)]nnt rt rt r t n n r r A A A A e n n→∞→∞=+=+=这就是我们的连续复利模型. 可能有读者会质疑: 再贪婪的高利贷也不可能每时每刻都在利滚利, 这样的模型有什么实际用途? 我们指出, 在自然界里有许多客观现象都符合上述变化规律, 例如树木高度的增长, 在开始阶段的速度正比于当前的高度, 相当于高度时时刻刻都在“利滚利”,即每时每刻增长的高度都会加到原来的高度上作为“本利和”来计算高度的“利息”, 其中0A 为树木的初始高度, r 为增长率. 细菌的繁殖, 人口的指数增长, 放射性元素的衰变等, 都符合类似的规律.习题1.41. 求下列极限. (1) 02sin 3lim x x x→; (2) 1lim sin x x x →∞; (3) sin sin lim x a x a x a→--; (4) 0sin lim sin x x x x x →-+; (5) 201cos5lim x x x →-; (6) 01lim sin x x e x →-. 2. 求下列极限. (1) 3lim(1)x x x →∞+ ; (2) 251lim(1)x x x+→∞-; (3) 3lim()5x x x x →∞+- ; (4) 123lim()21x x x x +→∞++; (5) 110lim(1)2x x x -→+ ; (6) 111lim x x x -→. 3. 已知2lim 8x x x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 求a 的值.。
无穷大量与无穷小量
例1 证明 : 当x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
4 x tan 3 x tan x 3 解 lim ) = 4, = 4 lim( 4 x→0 x→0 x x
故当 x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
性质2 有限个无穷小量之积仍为无穷小量. 性质 ： 有限个无穷小量之积仍为无穷小量 注:无穷多个无穷小量之积不一定是无穷小量. 无穷多个无穷小量之积不一定是无穷小量.
性质3： 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量. 性质 ： 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量 证 设函数 u( x )在0 < x − x 0 < δ 1内有界， 内有界，
2 2
, .
趋
零的 快
度
定义: 定义:
设α , β 是同一过程中的两个无 穷小, 且β ≠ 0.
α (1) 如果 lim = 0, 就说α是比β 高阶的无穷小, β 记作 α = o( β );
(2) 如果 lim
记作α 记作α=O(β)或 β=O(α) β)或 α α 特别地： 如果 lim = 1, 称α与β是等价的无穷小; β 记作 α ~ β ; α 此外， 如果 lim k = A ( A ≠ 0, k > 0), 称α是β的k阶无穷小. β α (3) 如果 lim = ∞, 称α是比β低阶的无穷小. β
π 无界， y( xn ) = 2nπ + , 当n充分大时, y( xn ) > M . 无界， 2 1 ′ ( 2) 取 x n = ( n = 0,1,2,3,L) 2 nπ
当n充分大时 , x ′ 可以任意小 , n
无穷小量与无穷大量
例2 利用等价无穷小量代换求极限 tan x sin x lim 3 x 0 sin x
sin x 解 由于 tan x sin x (1 cos x), 而 cos x x2 sin x x( x 0),1 cos x ( x 0),sin x3 x3 ( x 0), 2 x2 x tan x sin x 1 2 1 故有 lim lim 3 3 x 0 x 0 cos x sin x x 2
又设g是当xx0时的无穷小量 即0 存在20 使 当0|xx0|2时 有|g| 取min{1 2} 则当0|xx0| 时 有 |ug||u||g|M 这说明ug 也是当xx0时的无穷小量
•定理1 有限个无穷小量的和也是无穷小量 •定理2 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量 •推论1 常数与无穷小量的乘积是无穷小量 •推论2 有限个无穷小量的乘积也是无穷小量
注 在利用等价无穷小量代换求极限时,应注意: 只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等 价无穷小量来替代,而对极限式中相加或相减部分 则不能随意替代. 如例2中,若因有
tan x x( x 0),sin x x( x 0),
tan x sin x xx 而推出lim lim 0, 3 3 x 0 x 0 sin x sin x 则得到的结果是错误的.
定理的意义:
求两个无穷小比值的极限时 分子及分母都可用等 价无穷小来代替 因此 如果用来代替的无穷小选取得 适当 则可使计算简化
此定理显示了等价无穷小量在求极限问题中的作用.
arctan x 例1 求 lim . x 0 sin 4 x
无穷小量和无穷大量wuqiongdahewuqiongxia
•
f xogx
(4) 如果
lim
f g
xx ，则称f是比g低阶的无穷小量。
例如 lim xsinx2lim0
xsinx2与x 为同阶无穷小量。
时x 0
limtanxlimsinx 1 1， 所以，当 x 0 x x 0 x cosx
x 时0
tanx x
无穷小量的性质
•性质１ 有限个无穷小量的和也是无穷小量。 •性质２ 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。 •性质３ 常数乘以无穷小量仍是无穷小量。 •性质４ 有界函数乘以无穷小量仍是无穷小量。
例如 由性质4可得
cos x lim 0 x x
二、无穷大量
定义 若 x x0 时，函数 | f x |，则称函数f(x)
2、limxsin11 1、limsin x 0
x x
x x
填空题
x 为曲x 0 线y＝f(x)的垂直渐
三、无穷小量与无穷大量的关系
定理 如果当 x x0 或 x 时，f(x)为无穷大量, 则
为无 且
穷1小量；反之，如果当
f x
为无穷大f 量x。
0,则
时x ， f(xx)0为或 无x 穷 小量，
1
f x
说明 据此定理，关于无穷大的问题都可以转化无穷小来讨论。
第四节 无穷小量和无穷大量 一、无穷小量
定义 若 x x0或x时 ，函数 f x则称0函, 数 f(x)为 x x0 或x 时的无穷小量。
例如： limx20 ，函数 x2当x2 时为无穷小 x2
li m 1 0 ，函数 x x
1 当 x时为无穷小。
x
说明 除0以外任何很小的常数都不是无穷小量。
例11 求
无穷小量与无穷大量
当
x
0
x 时，ln
x
是负无穷大，记作
lim
ln x 。
x ，1 就不是无穷大，而是无穷小x了0。 x
②无穷大是指绝对值可以无限变大的变量，绝不
能与任何一个绝对值很大的常数如101000 ，
10001000 等混为一谈。
问：两个无穷大量的和是否是无穷大量？
答：不一定。
例如： f (x) 2x 1 ， g(x) 2x ，
2x
lim f (x) ， lim g(x) ，它们都是无穷大量，
x
x
但 lim [ f (x) g(x)] lim 1 0 是无穷小量。
x
x 2x
又如： f (x) 2x cosx ， g(x) 2x ，
lim f (x) ， lim g(x) ，它们都是无穷大量，
x
x
但 lim [ f (x) g(x)] lim cosx 不存在。
例．求下列极限
（1） lim xsin 1 ； （2） lim arctanx 。
x0 x
x x
错！
错！
（1）错正解： li∵m lximsinx10 l，im而x sliimn 1sin11， 0 ； x0x0 x x0 x0x x ∴ lim xsin 1 0 。 x0 x
（2） 解： ∵ lim 1 0 ，而arctan x ，
无穷小量和无穷大量
1.无穷小量 定义 1 若lim X 0 ，则称 X 为该极限过程中的
无穷小量，简称无穷小。
例如：当x0 时，sin x 和tanx 是无穷小量； 当 x x时，xx 是无穷小量；
当x 时， ax (a 1) 是无穷小量；
当 x 时， 1 是无穷小量。 x2
无穷小量与无穷大量
无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是微积分中重要的概念之一。
它们在极限理论的研究中起着重要的作用，能够描述数列、函数等的趋势和极限。
本文将从无穷小量和无穷大量的定义、性质以及在微积分中的应用等方面进行介绍和探讨。
一、无穷小量的定义和性质无穷小量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于零的量。
通常用符号"ε"或者"δ"表示。
具体而言，如果对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得当自变量趋于某个值x时，函数值满足0<|f(x)|<ε，那么函数f(x)就是无穷小量。
无穷小量具有以下的性质：1. 无穷小量的高阶无穷小量比低阶无穷小量高阶，也就是说，当x趋于某个值时，x的幂次越高的无穷小量趋于零的速度越快。
2. 无穷小量可以进行四则运算，即两个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量。
3. 无穷小量与有界函数的乘积还是无穷小量。
4. 无穷小量与无穷小量的乘积还是无穷小量。
这些性质使得无穷小量在微积分的运算中具有重要的意义，可以方便地进行极限的计算和推导。
二、无穷大量的定义和性质无穷大量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于无穷的量。
通常用符号"∞"表示。
具体而言，如果对于任意给定的正数M，存在另一个正数δ，使得当自变量趋于某个值x时，函数值满足f(x)>M，那么函数f(x)就是无穷大量。
无穷大量具有以下的性质：1. 无穷大量的相反数是无穷小量。
2. 无穷大量与有界函数的乘积可以是无穷大量或者无穷小量，具体取决于有界函数的性质。
3. 无穷大量与无穷大量的四则运算结果不确定，可能是无穷大量、无穷小量或者有限量，具体取决于无穷大量的相对大小关系。
无穷大量在极限的计算和研究中起着重要的作用，可以帮助我们判断函数的趋势和性质，解决一些特殊的极限问题。
三、无穷小量与极限的关系无穷小量是极限的重要概念，它与极限之间存在着密切的关系。
当我们讨论函数在某一点的极限时，实际上就是在讨论自变量趋于某一点时，函数值的趋势。
无穷小量与无穷大量
x → x0
2
将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 将一般极限问题转化为特殊极限问题 意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题 无穷 小);
2.给出了函数 f ( x )在x 0附近的近似表达式 f ( x ) ≈ A, 误差为 α( x ).
3.无穷小的运算性质 无穷小的运算性质: 无穷小的运算性质
1 = A = 0. x → +∞ x
一、填空题: 填空题:
练习
凡无穷小量皆以________为极限. ________为极限 1、 凡无穷小量皆以________为极限.
2、在 __________ 条件下, 直线 y = c 是函数 y = f ( x ) 的水平渐近线 .
3、lim f ( x ) = A _______ f ( x ) = A + α ,
0
则有 lim α( x ) = 0,
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α( x )是当x → x0时的无穷小,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
第四讲 无穷小量与无穷大量
• 内容提要
无穷小量与无穷大量。 无穷小量与无穷大量。
• 教学要求
1.理解无穷小量与无穷大量的概念 理解无穷小量与无穷大量的概念; 理解无穷小量与无穷大量的概念 2.了解无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与函数极 了解无穷小量与无穷大量的关系， 了解无穷小量与无穷大量的关系 限的关系。 限的关系。
1 1 sin 在区间 ( 0 , 1 ] 上无界 , 但当 x x x → +0 时 , 这个函数不是无穷大 .
无穷大量与无穷小量
| a (x) f (x) | = | a (x) | | f (x) | < e M .
由于 e 是任意的小正数，因而 e M 也是可以任意 小的正数, 故 a (x) f (x) →0 .
推论 1
有限个无穷小量 (自变量同一趋向下)
之积为无穷小量 . 推论 2 常数与无穷小量之积为无穷小量 . 若 lim f ( x ) , 则 lim
定理3
设 f ( x ) 0 , 若 lim f ( x ) 0 ,
1 0. 反之， f ( x) 则 lim 1 . f ( x)
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中, 1 为无穷大, 则 若 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 若 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x) 说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
无穷小量与无穷大量
一、无穷大量 二、无穷小量
三、无穷大量与无穷小 量的关系 四、无穷小量阶的比较
一、无穷大量
若函数 y = f ( x ) 的绝对值 | f ( x )| 在 x 的某
种趋向下无限增大，则称 y = f ( x ) 为在 x 的这
种趋向下的无穷大量，简称为无穷大.
当 x→ x0 时， f ( x ) 为无穷大量， 记作
x x0
lim f ( x ) ,
当 x → 时， f ( x ) 为无穷大量， 记作
lim f ( x ) .
x
有时，所研究的无穷大量具有确定的符号， 若在 x 的某种趋向下，f ( x ) 恒正地无限变大， 或者恒负，但绝对值无限变大，则记为
无穷小量和无穷大量
课堂练习
n2 1 n2 1 3.求 lim n 1 n sin 2 n
3 4.求 lim ( x 1 x sin 2 ) x x
2
e tan x esin x 5.求 lim 3 x 0 8 x3 2
6.求 lim n ( a
2 n n
时的无穷小量 .
x x0
lim f ( x) A
0 , 0 , 当 0 x x0 时,有 f ( x) A
f ( x) A
x x0
lim 0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
定理4. 2 在自变量的同一变化过程中, (1) 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量; (2) 无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量;
( f ( x) M ) ,
( lim f ( x) )
注意:
1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.
2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !
例如, 函数
当
但
所以
时,
不是无穷大 !
例 . 证明
证: 任给正数 M , 要使 即
1 只要取 , 则对满足 M
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 0
是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小
常用等价无穷小 :
～
～
～ ～ ～ ～
～
～
～
2. 等价无穷小替换定理
作业：p-69 习题1.4 1; 2; 3; 4 (1), (2) ,(3); B组-1
arcsin x ～ x
无穷大量与无穷小量
x x0
x
x
0
x
x
0
lim f ( x) lim f ( x) 且 lim f ( x) ；
x
x
x
( 无穷小量与函数极限的关系 )
例 证明：lim f ( x) A的充分必要条件是 x X
f ( x) A o(1) ( x X ) f ( x) A o(1) ( x X ) 证明 必要性：由 lim f ( x) A 及四则运算法则知
例：函数x, x2 , x3当x 0时都为无穷小量
x 1 0.5 0.1 0.01 0
x2 1 0.25 0.01 0.0001 0
x3 1 0.125
0.001 0.000001 0
显然x3比x, x2趋于0的速度要快。 同样不同无穷大量趋于无穷大的速度也不同。
(一) Def2.6:
sin cos
x2 x2
x x
key : ,1.
指出下列变量当
x
?时是无穷小量：
x x2
1 1
,
ln(1 x),
1
e 1 x
1
指出下列变量当x 时?是无穷大量： ln(1 x), e x
二、无穷小量与无穷大量阶的比较
无穷小量虽然都是趋于零的变量，但不同的无穷小量 趋于零的速度都不一样，有时差别很大。
x
关于无穷小量与无穷大量注意以下几个问题：
(1)无穷小量与无穷大量的定义同样适用于数列。
(2)无穷小量(无穷大量)是相对于自变量的某一变化 过程而言的。 例如：1x当x 时为无穷小量，当x 0时为无穷大量。
(3)无穷小量(无穷大量)不是指很小(很大)的数而是指 一个变量。实数中仅有０是无穷小量 ！ (4)无穷大量是一个特殊的无界变量，反之无界变量未
无穷小量和无穷大量
常用等价无穷小:
当 x 0时，
sinx ~ tan x ~ arcsinx ~ arctanx ~ ln( x ) ~ x， 1
1 2 e 1 ~ x , 1 cos x ~ x , (1 x )a 1 ~ ax (a 0) 2
x
五、等价无穷小量在求极限问题中的作用
任何无穷小量都是有界量。
类似可定义x→x0+, x→x0-,x→+∞, x→–∞以及x→∞时的无穷小量与有界量。
例1 (1) lim sin x 0， x 0
sinx是当x 0时的无穷小， sin x o(1) ( x 0 )； 即
lim sin x 1 0， sin x o(1) ( x
三、无穷小量的性质
性质1 有限个相同类型的无穷小量的和、差、积仍是 无穷小量. 性质2 （同一过程中的）有界量与无穷小量的乘积是 无穷小，即 O(1)· o(1)=o(1).
证法1： 用迫敛性可以证明。
性质2 （同一过程中的） O(1)· o(1)=o(1). 证法2 仅对 x x0 这种自变量的变化过程 来证。
定理 3 设函数f,g,h在U°(x0)内有定义，且有 f(x)~g(x) (x→x0). （1）若 lim f ( x )h( x ) A, 则 lim g( x )h( x ) A,
x x0 x x0
h( x ) h( x ) （2）若 lim B, 则 lim B x x0 f ( x ) x x0 g ( x ) h( x ) h( x ) f ( x ) h( x ) f ( x) lim lim lim 证（2） lim x x0 g ( x ) x x0 f ( x ) g ( x ) x x0 f ( x ) x x0 g ( x )
无穷小量与无穷大量
证明略．
1.1 无穷小量
3．无穷小量的性质 性质 1 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量． 证明 以两个无穷小量的和为例．
设
lim (x)
xx0
0
，lim xx0
(x)
0
，由极限定义知：
0
，1
0
，当
0
|
x
x0
|
1
时， | (x)
|
2
；
0
，
2
0
1.1 无穷小量
例 2 求 lim x2 sin 1 ．
x0
x
解 因为 sin 1 1 ，当 x 0 时， x2 是无穷小量．根据无穷小量的性质 3，当 x
x 0 时， x2 sin 1 是无穷小量，即 x
lim x2 sin 1 0 ．
x0
x
1.2 无穷大量
1．无穷大量的概念 定义 2 在自变量的某个变化过程中，绝对值无限增大的函数称为无穷大量，简称无穷大， 记作 lim f (x) ．
x
2
cos x 是无穷小量．
1.1 无穷小量
例 1 下列变量在自变量怎样的变化过程中为无穷小量：
（1） 1 ； x 1
（2） 2x 4 ；
（3） 2x ；
（4）
1 4
x
．
解 （1）因为 lim 1 0 ，所以当 x 时， 1 为无穷小量．
x x 1
x 1
（2）因为 lim(2x 4) 0 ，所以当 x 2 时， 2x 4 为无穷小量． x2
例如，当 x 1时， 1 无限增大，所以当 x 1时， 1 是无穷大，即 lim 1 ．
无穷小量与无穷大量
无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是微积分中的重要概念，在研究极限和无穷时经常出现。
本文将介绍无穷小量和无穷大量的定义、性质以及它们在计算极限过程中的应用。
一、无穷小量的定义与性质无穷小量通常用符号“Δx”或者“dx”表示，表示趋于零的一个量。
严格的定义是：如果函数f(x)在某一点a处的极限为零，那么称Δx为函数f(x)在点a处的一个无穷小量。
无穷小量的性质如下：1. 有限个无穷小量的和仍然是无穷小量。
2. 有限个无穷小量的积仍然是无穷小量。
3. 无穷小量与有限数的和为无穷小量。
4. 无穷小量与有限数的积为无穷小量。
二、无穷大量的定义与性质无穷大量通常用符号“∞”表示，表示趋于无穷大的一个量。
严格的定义是：如果对于任意的正数M，总存在正数N，使得当x>N时，有|f(x)|>M，那么称f(x)为一个无穷大量。
无穷大量的性质如下：1. 有限数与无穷大量的和为无穷大量。
2. 有限数与无穷大量的差为无穷大量。
3. 有限数乘以无穷大量为无穷大量。
4. 无穷大量与零的积为无穷小量。
三、无穷小量与无穷大量的关系在极限计算中，无穷小量和无穷大量是密切相关的。
当x趋于某一特定值时，如果Δx是一个无穷小量，那么f(x)就是一个无穷大量。
根据无穷小量和无穷大量的性质，可以得到一些重要的极限计算法则。
1. 极限的四则运算法则：如果函数f(x)和g(x)在点a处的极限都存在，那么它们的和、差、积和商的极限也都存在，并且满足相应的运算规则。
2. 极限的夹逼定理：如果对于x处于某一邻域内的所有值，有f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim(f(x))=lim(h(x))=L，那么lim(g(x))也等于L。
四、无穷小量和无穷大量的应用1. 在微分学中，无穷小量被用来定义导数。
导数表示函数变化率的大小，而无穷小量则表示极小的自变量变化量，二者的关系可以通过极限的定义来推导。
2. 在积分学中，无穷小量被用来定义微积分的基本概念。
微积分 第二章 第三节 无穷小量和无穷大量
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 说明：
1.称一个变量为高阶或同阶无穷小量，是没有意义
的，只有在同一个变化过程中的两个无穷小量比较时，
才能说它们阶的高低或是否同阶.
2.在同一极限过程中的两个无穷小量，并不是总能
比较阶的高低的.
3. 如果 lim x0
xk
C(C
0, k
0), 则称是x的k阶
无穷小量.
4. 利用等价无穷小量，可简化某些极限的求解过程.
M
即证得 lim f (x)g(x) 0 . x x0 3
例1 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小, x
而sin x是有界函数.
y sin x x
lim sin x 0. x x
错误解法: lim x sin 1 lim x limsin 1 0 .
3. lim f (x) A _______ f (x) A , x x0 ( 其中 lim 0 ) . x x0
4.在同一过程中,若 f (x) 是无穷大,
则 ______是无穷小.
17
二、根据定义证明:当 x 0 时,函数 y 1 2x x
是无穷大,问 x 应满足什么条件,能使 y 104 . 三、证明函数 y 1 sin 1 在区间 ( 0 , 1 ] 上无界 ,但当
13
五、小结 思考题
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1. 主要内容: 三个定义;一个定理;三个性质. 2. 几点注意: （1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大） 的数混淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是 无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大.
14
无穷小量和无穷大量
1. 无穷小量定义。
量时是无穷小当则称，若)()(0)(lim a x x f x f ax →=→。
，成立，，即εδδε<<-<>∃>∀|)(|||000x f a x 是无穷小；时，当20x x →不是无穷小；时，当21x x →注意:(i) 不可把无穷小与很小的数混为一谈，零是可以作为无穷小的唯一的数；(ii) 一函数是否为无穷小与自变量的变化趋势有关。
以后，凡在同一命题中出现多个无穷小，除说明，一般指同一过程中的无穷小。
2.2.4无穷小量和无穷大量无穷小与函数极限之间的关系：定理 8，为时的无穷小。
lim ()()()()x a f x A f x Aα→=⇔=+2. 无穷大量x x 1lim 0→考虑0xy x x f 1)(=∞=定义时，当a x →有无穷极限，)(x f 时，，当，即δδ<-<>∃>∀||000a x M ；，则若+∞→>)()(x f M x f ．无穷大量，简称无穷大。
成立M x f >|)(|。
，则若-∞→-<)()(x f M x f 时的为在则称a x x f →)(。
证明例∞=-→11lim 121x x 1x11)(-=x x f y 0证明，0>∀M 若使M x >-11，有M x 1|1|<-，取M 1=δ于是，，0>∀M ，0>∃δ时，当δ<-<|1|0x 成立M x >-11。
所以∞=-→11lim 1x x定义如果，则称直线为曲线的铅直渐近线。
lim ()()x af x x a y f x →=∞==在自变量的同一变化过程中，若定理是无穷大，()9f x 是无穷大。
，则是无穷小，且反之，如果)(10)()(x f x f x f ≠是无穷小；则)(1x f性质若是无穷大，是有界函数，则(1)()()g x f x 是无穷大。
无穷大量和无穷小量
无界变量而非无穷大量的例
例 如, 当x 0时, y 1 sin 1 是一个
xx 无 界 变 量, 但 不 是 无 穷 大 量.
x 1 k
k
无穷小量与无穷大量的关系
定理: 在同一过程中,无穷大量的倒数为无穷
小量;恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量.
lim 1 0, x x
函数 1 是当x 时的无穷小量. x
lim (1)n 0, 数列{(1)n }是当n 时的无穷小量.
n n
n
关于无穷小量之注
不要把无穷小量与任何一个很小的数混为一谈. 无穷小量为变量,任何一个很小的数为常量.
无穷小量是对于某个变化过程而言的,同一个 变量在一个变化过程中为无穷小量,在另一变 化过程中不一定为无穷小量.
证明提示：取 1
M
意义: 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷 小的讨论.
问题
两个无穷大量的相加或相减后是否仍是 无穷大量？
提示：n 2, 2n, n 2在n 时都是无穷大量 但：n 2 2n, n 2 n 2, 2n 2n有不同的结果
y M, 则 称 在 过 程p中，变 量y为 无 穷 大 量，记 作
lim y . p
无穷大量的例子
因为lim 1 ,故当x 0时， y 1 是无穷大量.
x0 x
x
因为lim ln x ,故当x 0时，y ln x是无穷大量. x0
因为lim e x ,故当x 时，y e x是无穷大量. x
2-3 无穷小与无穷大
无穷小量 无穷大量
1.无穷小量的概念
定义: 极限为零的变量称为无穷小量.
如果函数f (x)当x x（0 或x ）时的极限为零， 那么称函数f (x)为当x x（0 或x ）时的无穷小。
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第十六讲、无穷小量与无穷大量
定义16.1 . （I）若l im ( ) 0x→x f x
=，则称f(x )为
x→x f x =，则称
f(x )为
x →x 时的无穷小量.
（II）若当x →x0 ，f(x )发散到∞（或±∞）（即x→x f x =∞，
lim ( )
lim ( ) lim ( ) x →x 时的无穷大量x→x f x =+∞，x→x f x =−∞），则称f(x )为
0 0
注记16.1. (I) 无穷小量及无穷大量概念实际上是描述变量的一种状态；
(II) 当说到无穷小量或无穷大量时，一定要指出自变量的变化过程. 如1
x 当x →∞时为无穷小量，当x →0时为无穷大量，而当x →1时不是无穷
小量，也不是无穷大量；
（III）上述无穷小（大）量的定义中，变量x →x0 可以换成x →∞，
x →
−∞，
x→x 等。
另外，对于离散变量也可以定义无穷小（大）量，
0 +x →x 等。
另外，对于离散变量也可以定义无穷小
（大）量，
例如可以说n →∞时，n + sin n 是一个无穷大量。
例子16.1 : （I）因为−=于是变量x −1当x →1时为无穷小量;
lim( x 1)0,
x→1
1
（II）由于=故变量
lim 0,
x→∞x
1
x
当x →∞时为无穷小量;
（III）由于 1
lim +
=∞
→
1
−
x 1- x ，故变量
1
1−x
当x →1-时为无穷大量.
定理16. 1. 设f (x), g(x)为x →x0 时的无穷小量。
设x→x h x =a ≠，
lim ( ) 0
| s(x) |≤M < +∞，x∈U x c 。
则
o
( ; )
（I）f (x) ±g(x) 为x→x 时的无穷小量；
（II）f (x)s(x) 为x →x0 时的无穷小量；
（III）f (x)
h(x)
为x →x0 时的无穷小量。
证明：由已知条件，我们有l im ( ) 0 lim ( ) 0
x→x f x =及x→x g x
=。
x→x f x =及x→x g x
=。
0 0
于是由定理14.1（I）（III），我们有
x→x f x ±g x =x→x f x ±x→x g x =+=
lim ( ( ) ( )) lim ( ) lim ( ) 0 0 0
0 0 0
lim f (x)
f (x) 0
lim 0
===
x→x
x→x
h(x) lim h(x) a
x→x
此即证得（I）和（III）。
对于（II），证明如下：任取ε> 0 ，由于
0 <δ<c 使得l im ( ) 0x→x f x =，故存在
x→x f x =，故存
在
| f (x) − 0 |<ε / M ，x∈U o x
δ。
( ; )
x∈U o x δ时我们
有于是，当( 0; )
ε
ε| f (x)s(x) 0 | | f (x) || s(x) | M
−<<⋅=，
M
此即
lim ( ) ( ) 0
x→x f x s x =。
证毕。
注记16.2.由定理16.1 可得
(I) 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；(II) 有限个无穷小的乘积仍是无穷小；
（III）上述x →x0 可以换成x →∞，x →−∞，x→x 等状态。
0 +x →x 等状态。
定理16.2 . ( 无穷小量与函数极限的关系)
lim ( )x→x h x =a当且仅当h(x) −a 为
x→x h x =a当且仅当h(x) −
a 为
0 x →x 时的无穷小量。
证明: （充分性）如果h(x) −a 为x→x 时的无穷小量，则由定理14.1（I）
lim h(x) lim ((h(x) a) a)
=−+
x→x x→x
=−+=+=。
lim (h(x) a) lim a 0 a a
0 0
x→x x→x
0 0
（必要性）若l im ( )x→x h x =a，则由
定理14.1（I）
x→x h x =a，则由定理14.1
（I）
lim ( ( ) ) lim ( ) lim 0 x→x h x −a =x→x h x −x→x a =a −a =。
0 0 0
证毕。
注记16.3. 在上述定理9.2 中，x →x0 可以换成x →∞，x →−∞，
等状态。
x→x 0+
0+
例子16.2. 证明若l im ( )
x→x f x =A及
x→x f x =A
及
0 lim ( )x→x g x =B，则
x→x g x =B，
则
x→x f x g x =AB 。
lim ( ( ) ( ))
证明：由定理16.2，只需证明：f (x)g(x) −AB 为注意到x→x 时的无穷小量。
f (x)g(x) (( f (x) A) A)((g(x) B) B)
=−+−+
=−−+−+−+
( f (x) A)(g(x) B) B( f (x) A) A(g(x) B) AB 故有
f (x)g(x) AB (( f (x) A) A)((g(x) B) B)
−=−+−+
=−−+−+−
( f (x) A)(g(x) B) B( f (x) A) A(g(x) B)
从而x→x f x g x −AB =，i.e., f (x)g(x) −AB 为lim ( ( ) ( ) ) 0
0 x →x 时的无穷小量。
由定理16.2，16.1 可知上述等式右边为无穷小量。
证毕。
1
例子16.3. 计算 2
lim x sin .
x
x 0
→
解：因为lim x2 0,
=
x 0
→
可得
1 = lim x sin 0.
2
x
x→ 0 sin
1
x在
U o (0;1)中有界, 由定理16.1（II）
定理16.3. （I）若f (x) 为穷小量；x →x 时的无穷大量，则
1
f (x)
为x →x0 时的无
（II）若f (x) 为
x→x时的无穷小量并且f (x) ≠
0 ，
0x∈U o x c ，
( ; )
则
1
f (x)
为x →x0 时的无穷大量；
lim ( )
x→x f x =∞，故对任意ε> 0 ，存在δ> 0 使得
证明：（I）由已知
1
| f (x) | ( ; )
>，对任意x∈U o x δ成立。
ε
从而
1 1
−=<ε，对任
意
f (x) f (x) x∈U x δ成立。
o
( ; )
即
1
lim 0
=，从而
x→x f x
( )
1
f (x)
为x →x0 时的无穷小量。
（II）由已知l im ( ) 0x→x f x =
并且f (x) ≠ 0 ，
x→x f x =并且f (x) ≠
0 ，
0 x∈U o x c 。
故对任意M > 0 ( ; )
，存在0 <δ<c 使得
1
0 f (x) 0
<−<，对任意
M x∈U o x δ成立。
( ; )
从而
1 1
−=>，对任意
0 M
f (x) f (x) x∈U o x δ成立。
( ; )
即
1
lim
x→x f x
( )
=∞，从而
1
f (x)
为x →x0 时的无穷大量。
注记16.4. 上述有关无穷大量与无穷小量之间的相互关系，使我们能从有关无穷小量的相关结果导出相应的无穷大量的结果。
例如我们可以得到：
定理：设f (x) 为x→x 时的无穷大量，0 <a ≤| s(x) |≤b <
+∞，
0 x∈U o x c ，
( ; )
则f (x)s(x) 为x→x 时的无穷大量。
证明：这是因为由定理16.3（I）可得
1
f x 为
( )
x→x 时的无穷小量，而
1
s x 在
( )
U x c 内有界，从而由定理16.1（II）可得o
( ; )
1
f x s x 为为( ) ( )
x →x 时的无穷小量。
又0
1
f x s x 在
( ) ( )
x的某个去心邻域内非零，故由定
理16.3（II）可得f (x)s(x) 为x→x 时的无穷大量。
证毕。