2020届高三文理科数学一轮复习《等差数列及其前n项和》专题汇编(学生版)

《等差数列及其前n 项和》专题

一、相关知识点

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．

(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b

2，其中A 叫做a ，b 的等差中

项．

2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )

2

. 3．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．

(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．

(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．

(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列

(5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d .

(6)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)，遇见S 奇，S 偶时可分别运用性质及有关公式求解．

(7)若{a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1

T 2n －1

.

(8)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭

⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的1

2.

(9)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则

①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 偶－S 奇＝nd ，

S 奇S 偶＝a n

a n ＋1

. (10)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则 ①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1； ②S 奇S 偶

＝n ＋1

n .

二．等差数列的常用结论

1．等差数列前n 项和的最值

在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则S n 有最大值，即所有正项之和最大，若a 1＜0， d ＞0，则S n 有最小值，即所有负项之和最小．

2．等差数列的前n 项和公式与函数的关系：S n ＝d

2

n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．

题型一 等差数列基本量的运算

1．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于

2．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为

3．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝

A ．－12

B ．－10

C ．10

D ．12

4．在等差数列{a n }中，若前10项的和S 10＝60，且a 7＝7，则a 4＝

5．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝

6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，a 5＝5，则S 7的值是

7．数列{2n －1}的前10项的和是

8．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝a n －1，则a 4等于

9．设等差数列{a n }的公差为d ，且a 1a 2＝35,2a 4－a 6＝7，则d ＝

10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝50，S 10＝200，则a 10＋a 11的值为

11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 3＝5，且S 1，S 5，S 7成等差数列，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.

12．设{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2＋a 5＝36，则{a n }的通项公式为________．

13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＋a 18＝54，S 19＝437，则a 2 018的值是

14．已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于

15．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有一女子擅长织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女子最后一天织布的尺数为( )

A ．18

B ．20

C ．21

D ．25

16．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝__________.

17．已知在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝2a ＋1，a 5＝3a ＋2，若S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，且 S k ＝66，则k 的值为

18．已知数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

a n n 是等差数列，且a 3＝2，a 9＝12，则a 15＝

19．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1

a n ＋2

(n ∈N *)，则该数列的通项为( )

A ．a n ＝1n

B ．a n ＝2n ＋1

C ．a n ＝2n ＋2

D ．a n ＝3

n

20．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人