2020届高三文理科数学一轮复习《等差数列及其前n项和》专题汇编(学生版)

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2020年高考理科数学一轮复习：第5章第2讲等差数列及其前n项和

□08 1
2.
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
4．等差数列与函数的关系 (1)等差数列与一次函数的关系 an＝a1＋(n－1)d 可化为 an＝dn＋a1－d 的形式．当 d≠0 时，an 是关于 n 的一次函数；当 d>0 时，数列为递增数列；当 d<0 时，数列为递减数列． (2)等差数列前 n 项和公式可变形为 Sn＝2dn2＋a1－d2n.当 d≠0 时，它是关于 n 的二次函数，数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)．
□ ，可推广为 an＝ 02 am＋(n－m)d
.
(2)等差数列的前 n 项和公式 Sn＝na12＋an＝na1＋nn2－1d.
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经典题型冲关
课后作业
3．等差数列的相关性质已知{an}为等差数列，d 为公差，Sn 为该数列的前 n 项和． (1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和都相等，即 a1＋an＝
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课后作业
答案解析
(3)(2018·北京高考)设{an}是等差数列，且 a1＝3，a2＋a5＝36，则{an} 的通项公式为________．
答案 an＝6n－3(n∈N*)
解析由已知，设{an}的公差为 d，则 a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝2a1＋5d ＝36，
又 a1＝3，所以 d＝6，所以{an}的通项公式为 an＝3＋6(n－1)＝6n－3(n∈N*)．
(2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 □06 A＝a＋2 b ，其中 A 叫做 a，b 的 □07 等差中项．
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2．等差数列的通项公式与前 n 项和公式

2020届高三文理科数学一轮复习《基本不等式》专题汇编(学生版)

《基本不等式》专题一、相关知识点1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)； (2)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)．(3)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且不为零)； (4)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(5)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)．2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R)．(6)a 2＋b 22≥(a ＋b )24≥ab (a ，b ∈R)．(7)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)5．重要不等式链若a ≥b ＞0，则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b≥b . 题型一基本不等式的判断1．若a ，b ∈R ，则下列恒成立的不等式是( )A.|a ＋b |2≥|ab | B ．b a ＋ab ≥2 C.a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 D ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋ab ≥23．下列命题中正确的是( )A ．函数y ＝x ＋1x 的最小值为2 B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最小值为2－4 3D ．函数y ＝2－3x －4x(x ＞0)的最大值为2－4 34．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则( )A ．R <P <QB ．Q <P <RC ．P <Q <RD ．P <R <Q题型二利用基本不等式求最值类型一直接法或配凑法利用基本不等式求最值1．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．2．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为4．已知x <0，则函数y ＝4x ＋x 的最大值是5．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为6．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________．7．设0<x <2，则函数y ＝x (4－2x )的最大值为________．8．若x ，y 均为正数，则3x y ＋12yx ＋13的最小值是9．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．10．已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．11．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为12．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y ＋3yx的最小值为13．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.14．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是15．已知x ，y 都为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是16．已知a >b >0，则2a ＋4a ＋b ＋1a －b的最小值为17．已知正数a ，b 满足2a 2＋b 2＝3，则a b 2＋1的最大值为________．类型二常数代换法利用基本不等式求最值1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．2．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b 的最小值为________．3．已知正实数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则2x ＋1y 的最小值为________．4．已知正项等比数列{a n }的公比为2，若a m a n ＝4a 22，则2m ＋12n 的最小值为5．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是6．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为7．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．8．已知a >0，b >0，函数f (x )＝a log 2x ＋b 的图像经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则1a ＋2b 的最小值为________．9．已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为10．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是11．已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2,3)，则a ＋b 的最小值为________．12．已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为13．若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c 的最小值是14．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1y 的最小值为________．15．设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则3a ＋1b －1的最小值为________．16．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．类型三通过消元法利用基本(均值)不等式求最值1．若正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn ，则mn 的最小值是________．2．已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．3.设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________.4．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．类型四：利用基本不等式求参数值或取值范围1．若对于任意的x ＞0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为2．已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．3．若对x >0，y >0，x ＋2y ＝1，有2x ＋1y ≥m 恒成立，则m 的最大值是________．4．已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b恒成立，则m 的最大值为5．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________．6．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为7．已知函数f (x )＝3x 2＋ax ＋26x ＋1，若存在x ∈N ＋使得f (x )≤2成立，则实数a 的取值范围为___题型三基本不等式的综合问题类型一基本不等式的实际应用问题1．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．3．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)． (1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值．类型二基本不等式与函数的交汇问题1．已知A ，B 是函数y ＝2x 的图象上不同的两点，若点A ，B 到直线y ＝12的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－2)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－4)类型三基本不等式与数列的交汇问题1．已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为2．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为3．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N ＋)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是______.类型四基本不等式与解析几何的交汇问题1．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是2．当双曲线M ：x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率最小时，M 的渐近线方程为3．两圆x 2＋y 2－2my ＋m 2－1＝0和x 2＋y 2－4nx ＋4n 2－9＝0恰有一条公切线，若m ∈R ，n4m2＋1n2的最小值为∈R，且mn≠0，则。

2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《等差、等比数列的前n项和》

解析： ∵ { an} 是等比数列，∴ a1 a10 a2 a9 a3 a8 a4 a7 a5 a6 9
∴ log 3 a1 log 3 a 2
log 3 a10 log 3( a1 a2 a3 a10 ) log 3( a5 a6 )5 log 3 95 10
【题型四】：等比数列求和公式的应用
例 6．已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn 满足： log5(Sn+1)=n(n∈ N+),求出数列 {a n} 的通项公式，并判断 {a n} 是何种数列？
∴ an 1 an 4 0 ，即 an 1 an 4 ， ∴数列 {an} 是等差数列 .
4
例 4．等差数列 { a n} 的前 n 项和为 Sn ,若 a3 12 , S12 0 , S13 0 .
（1）求公差 d 的取值范围；（2）n 为何值时， Sn 最大，并说明理由。【解析】
12 11
an
1
n(n 1)
n [ na1
2 d ] a1
n1 d
2
∴ {b n} 是等差数列 .
d
d
n 2
( a1
) 2
【总结升华】判断或证明数列是等差数列的方法有 :
(1)定义法 :an+1-an=d(常数 )(n∈ N* ) {an}是等差数列 ;
(2)中项公式法 :2an+1=an+an+2(n∈N*) {an}是等差数列 ;
b1 b2 n 1 ， 2
n(a1 a2n 1)
nan
2
S2n 1 ,
nbn n(b1 b2 n 1 ) T2n 1
2
2
又
Sn Tn
7n 45 ,

2020版高考数学一轮复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和课件文

考点自诊
1.已知{an}为等差数列,d为公差,Sn为该数列的前n项和. (1)在等差数列{an}中,当m+n=p+q时,am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N+).特别地,若m+n=2p,则2ap=am+an(m,n,p∈N+). (2)ak,ak+m,ak+2m,…仍是等差数列,公差为md(k,m∈N+). (3)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差数列,公差为n2d. (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
2
其中A叫做a,b的等差中项 . (3)等差数列的通项公式:an= a1+(n-1)d an=am+(n-m)d.
,可推广为
(4)等差数列的前 n
��( ��1 +�� ) ��(��-1) 项和公式:Sn= =na1+ d. 2 2
-3知识梳理
-10考点1
考点2
考点3
考点4
1 ∴d=-2,∴a1=39,Sn=39n+2n(n-1)(-2)=-n2+40n,
解析: (1)∵a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,∴a3=35,a4=33,
∴当 n=20 时 Sn 取最大值,选 B.
(2)(方法一)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3, ∵数列{an}为等差数列,∴d=am+1-am=1, 又 S m= 又 am=a1+(m-1)d=2,解得 m=5.
考点自诊

2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题6-2 等差数列及其前n项和

2020-2021学年高考数学一轮复习专题6.2 等差数列及其前n 项和【考情分析】1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．【重点知识梳理】知识点一等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)．知识点二等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ．通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)． (2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d (其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项)．知识点三等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．知识点四等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．知识点五等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．【必会结论】等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ＋a n ＝2a p .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d, 则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)等差数列{a n }的前n 项和为S n, 则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等差数列，其公差为n 2d . 【典型题分析】高频考点一等差数列基本量的运算【例1】(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n【答案】A【解析】法一：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2－4n .故选A.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.选项A ，a 1＝2×1－5＝－3；选项B ，a 1＝3×1－10＝－7，排除B ；选项C ，S 1＝2－8＝－6，排除C ；选项D ，S 1＝12－2＝－32，排除D.故选A.【举一反三】 (2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A ．－12B ．－10C ．10D ．12 【答案】B【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3⎣⎡⎦⎤3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10，故选B 。

2020年高考数学一轮复习人教班理科数学课件第五章第二节等差数列及其前n项和

(3)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－
等差 S2m，…也是____________ 数列．
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列数列．
Sn n
等差也是____________
四基精演练 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( √ )
解析：a1＋a3＋a5＝3a3＝3⇒a3＝1， 5a1＋a5 S5 ＝＝5a3＝5. 2
答案：5
4．(知识点1、2)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________． ⇐ 源自必修五P39练习T2
解析：设第n排的座位数为an(n∈N*)，数列{an}为等差数列，其公差d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1 ＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为 20×22＋60 ＝820. 2 20a1＋a20 2 ＝
Sn ∴数列 n 也为等差数列．
Sm－1 Sm＋1 2Sm －2 3 ∴ ＋＝ m ，即＋＝0，解得m＝5.经检验为原 m－1 m＋1 m－1 m＋1 方程的解．故选C.
等差数列运算的思想方法 1．方程思想：设出首项a1和公差d，然后将通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解． 2．整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求结果都用 a1，d表示，寻求两者的联系，整体代换即可求解． 3．利用性质：运用等差数列性质，可以化繁为简、优化解题过程．
答案：820
考点一
等差数列的基本运算[基础练通]
1．(2018· 全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋ S4，a1＝2，则a5＝( B ) A．－12 C．10 B．－10 D．12

2020届高三文理科数学一轮复习《等差数列及其前n项和》专题汇编(教师版)

《等差数列及其前n 项和》专题一、相关知识点1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列(5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d .(6)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)，遇见S 奇，S 偶时可分别运用性质及有关公式求解．(7)若{a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(8)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的12.(9)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. (10)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则 ①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1； ②S 奇S 偶＝n ＋1n .二．等差数列的常用结论1．等差数列前n 项和的最值在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则S n 有最大值，即所有正项之和最大，若a 1＜0， d ＞0，则S n 有最小值，即所有负项之和最小．2．等差数列的前n 项和公式与函数的关系：S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．题型一等差数列基本量的运算1．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于解析：由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98.2．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4. 3．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝A ．－12B ．－10C ．10D ．12解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得； 3⎣⎡⎦⎤3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10. 4．在等差数列{a n }中，若前10项的和S 10＝60，且a 7＝7，则a 4＝解析：法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝60，a 1＋6d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝23，∴a 4＝a 1＋3d ＝5．法二：由等差数列的性质有a 1＋a 10＝a 7＋a 4，∵S 10＝10(a 1＋a 10)2＝60，∴a 1＋a 10＝12.又∵a 7＝7，∴a 4＝5．5．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝解析：由3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1－a n ＝－23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .∵a k ·a k ＋1<0，∴⎝⎛⎭⎫473－23k ⎝⎛⎭⎫453－23k <0，∴452<k <472，又∵k ∈N ＋，∴k ＝23. 6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，a 5＝5，则S 7的值是解析：由题意，设等差数列的公差为d ，则d ＝a 5－a 35－3＝1，故a 4＝a 3＋d ＝4，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×2a 42＝7×4＝28.7．数列{2n －1}的前10项的和是解析：∵数列{2n －1}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴S 10＝(a 1＋a 10)×102＝100.8．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝a n －1，则a 4等于解析：因为a 1＝1，a n ＋1＝a n －1，所以数列{a n }为等差数列，公差d 为－1，所以a 4＝a 1＋3d ＝1－3＝－2.9．设等差数列{a n }的公差为d ，且a 1a 2＝35,2a 4－a 6＝7，则d ＝解析：∵{a n }是等差数列，∴2a 4－a 6＝a 4－2d ＝a 2＝7，∵a 1a 2＝35，∴a 1＝5，∴d ＝a 2－a 1＝2. 10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝50，S 10＝200，则a 10＋a 11的值为解析：设等差数列{a n}的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝50，S 10＝10a 1＋10×92d ＝200，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋92d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝4.∴a 10＋a 11＝2a 1＋19d ＝80. 11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 3＝5，且S 1，S 5，S 7成等差数列，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＝5，且S 1，S 5，S 7成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋7a 1＋21d ＝10a 1＋20d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1. 12．设{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2＋a 5＝36，则{a n }的通项公式为________．解析：法一：设数列{a n }的公差为d .∵a 2＋a 5＝36，∴(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝36，∴2a 1＋5d ＝36.∵a 1＝3，∴d ＝6，∴a n ＝6n －3.法二：设数列{a n }的公差为d ，∵a 2＋a 5＝a 1＋a 6＝36，a 1＝3，∴a 6＝33，∴d ＝a 6－a 15＝6.∵a 1＝3，∴a n ＝6n －3.13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＋a 18＝54，S 19＝437，则a 2 018的值是解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋22d ＝54，19a 1＋171d ＝437，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，d ＝2，所以a 2 018＝5＋2017×2＝4 039． 14．已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 7＝2a 1＋6d ＝－8，a 2＝a 1＋d ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－3，a 1＝5，．15．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有一女子擅长织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女子最后一天织布的尺数为( )A ．18B ．20C ．21D ．25 解析：C ，用a n 表示第n 天织布的尺数，由题意知，数列{a n }是首项为5，项数为30的等差数列．所以30(a 1＋a 30)2＝390，即30(5＋a 30)2＝390，解得a 30＝21，故选C ．16．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝__________.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×82d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.17．已知在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝2a ＋1，a 5＝3a ＋2，若S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，且S k＝66，则k 的值为解析：∵在等差数列中，2a 3＝a 1＋a 5，∴2(2a ＋1)＝1＋3a ＋2，解得a ＝1，即a 1＝1，a 3＝3，a 5＝5，∴公差d ＝1，∴S k ＝k ×1＋k (k －1)2×1＝66，解得k ＝11或k ＝－12(舍)．18．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，且a 3＝2，a 9＝12，则a 15＝解析：法一：设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是公差为d 的等差数列，∵a 3＝2，a 9＝12，∴6d ＝a 99－a 33＝129－23＝23，∴d ＝19，a 1515＝a 33＋12d ＝2.故a 15＝30.法二：由于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，故2×a 99＝a 33＋a 1515，即a 1515＝2×129－23＝2，故a 15＝30.19．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n解析：A ，由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n. 20．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得________钱．( )A.53 B ．32 C.43 D ．54解析：选C 甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，设公差为d ，由题意知a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5＝52，即⎩⎨⎧2a 1＋d ＝52，3a 1＋9d ＝52，解得⎩⎨⎧a 1＝43，d ＝－16，故甲得43钱，故选C.21．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 9＝12a 12＋6，a 2＝4，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前10项和为( )A.1112 B ．1011 C.910 D ．89解析：选B ，设等差数列{a n }的公差为d ，由a 9＝12a 12＋6及等差数列的通项公式得a 1＋5d＝12，又a 2＝4，∴a 1＝2，d ＝2，∴S n ＝n 2＋n ，∴1S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴1S 1＋1S 2＋…＋1S 10＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫110－111＝1－111＝1011.22．已知等差数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 2，则a 8＝解析：法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得3＋3d ＝1＋d ，解得d ＝2或d ＝－1(舍去)，所以a 8＝1＋7×2＝15.法二：S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2，由S 3＝a 2可得3a 2＝a 2，解得a 2＝3或a 2＝0(舍去)，则d ＝a 2－a 1＝2，所以a 8＝1＋7×2＝15.23．若x ≠y ，数列x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各自成等差数列，则a 1－a 2b 1－b 2＝________.解析：由题意得a 1－a 2＝x －y 3，b 1－b 2＝x －y 4，所以a 1－a 2b 1－b 2＝43.24．设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．解析：2 25．数列{a n }满足1a n ＋1＝1a n ＋1(n ∈N ＋)，数列{b n }满足b n ＝1a n ，且b 1＋b 2＋…＋b 9＝45，则b 4b 6( )A ．最大值为100B ．最大值为25C ．为定值24D ．最大值为50解析：C ，由1a n ＋1＝1a n ＋1(n ∈N ＋)，得1a n ＋1－1a n ＝1，∵b n ＝1a n ，∴b n ＋1－b n ＝1，则数列{b n }是公差为1的等差数列，∵b 1＋b 2＋…＋b 9＝45，∴9b 1＋9×82＝45，即b 1＝1，则b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，则b 4b 6＝4×6＝24.26．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N ＋)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析：由a n ＝2n －10(n ∈N ＋)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.27．设数列{a n }满足：a 1＝1, a 2＝3, 且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是________．解析：∵2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，∴数列{na n }是以a 1＝1为首项，2a 2－a 1＝5为公差的等差数列，∴20a 20＝1＋5×19＝96，解得a 20＝9620＝245.28．已知等差数列{a n }为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，∵等差数列{a n }的前3项的和为－3，前3项的积为8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3. ∵d >0，∴a 1＝－4，d ＝3，∴a n ＝3n －7.(2)∵a n ＝3n －7，∴a 1＝3－7＝－4，∴S n ＝n (－4＋3n －7)2＝n (3n －11)2.28．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. 解析：(1)设{a n }的公差为d .由题意，得a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )．于是d (2a 1＋25d )＝0. 又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)或d ＝－2.故a n ＝－2n ＋27. (2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .题型二等差数列的性质及应用类型一等差数列项的性质的应用1．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 解析：依题意，得a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝(a 2＋a 8)＋(a 4＋a 6)＝2(a 3＋a 7)＝74.2．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是________．解析：263．若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1＝2a 3－3，则S 9＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，a 1＝2a 3－3＝2a 1＋4d －3，∴a 5＝a 1＋4d ＝3，S 9＝9a 5＝27.4．在等差数列{a n }中， a 1，a 2 019为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1 010＋a 2 018＝____ 解析：因为a 1，a 2 019为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，所以a 1＋a 2 019＝10.由等差数列的性质可知，a 1 010＝a 1＋a 2 0192＝5，a 2＋a 2 018＝a 1＋a 2 019＝10，所以a 2＋a 1 010＋a 2 018＝10＋5＝15.5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6＝39，则a 3＋a 4＝解析：由等差数列{a n }的性质及其S 6＝39，可得6(a 1＋a 6)2＝3(a 3＋ a 4)＝39，则a 3＋ a 4＝13.6．数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＋a 4＋a 6＝12，则a 3＋a 4＋a 5等于解析:数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }是等差数列，利用等差数列的性质可知，a 3＋a 4＋a 5＝a 2＋a 4＋a 6＝12.7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝解析:由a 2＋a 7＋a 12＝24得3a 7＝24，即a 7＝8，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝13×8＝104．8．等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝6，则{a n }的前9项和等于解析：法一：设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 7＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＝2a 1＋8d ＝6，所以a 1＋4d ＝3.于是{a n }的前9项和S 9＝9a 1＋9×82d ＝9(a 1＋4d )＝9×3＝27.法二：由等差数列的性质，得a 1＋a 9＝a 3＋a 7＝6，所以数列{a n }的前9项和S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×62＝27. 9．数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＋a 4＋a 6＝12，则a 3＋a 4＋a 5等于解析：数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }是等差数列，利用等差数列的性质可知，a 3＋a 4＋a 5＝a 2＋a 4＋a 6＝12.10．等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为解析：由a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32得4a 8＝32，即a 8＝8.又d ≠0，所以等差数列{a n }是单调数列，由a m ＝8，知m ＝8．11．设S n 为公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，若S 9＝3a 8，则S 153a 5等于解析：因为S 9＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝3a 8，即3a 5＝a 8.又S 15＝a 1＋a 2＋…＋a 15＝15a 8，所以S 153a 5＝15a 8a 8＝15.12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ＝10，S 2m －1＝110，则m ＝________. 解析：S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝2(2m －1)a m2＝110，解得m ＝6.类型二：等差数列前n 项和的性质1．在项数为2n ＋1的等差数列{a n }中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选B ，∵等差数列有2n ＋1项，∴S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2.又a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 偶S 奇＝n n ＋1＝150165＝1011，∴n ＝10.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n 且S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，m ≥2，m ∈N *，则m ＝解析：∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0，∴a m ＝S m －S m －1＝2.又S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，∴d ＝a m ＋1－a m ＝1.又 S m ＝m (a 1＋a m )2＝m (a 1＋2)2＝0，∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于解析：由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列．即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，即a 7＋a 8＋a 9＝45． 4．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 019＝________.解析：由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d ，则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 014＋2 018＝4，∴S 2 019＝8 076. 5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 解析：由题意知，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列．则2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，即40＝10＋(S 30－30)，解得S 30＝60. 6．若等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 4＝4，S 6＝12，则S 2＝解析：根据等差数列的性质，可得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，即2(S 4－S 2)＝S 2＋S 6－S 4，因此S 2＝0.7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________．解析：依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200.8．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 015，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018＝解析：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则S n n ＝An ＋B ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列．因为S 1212－S 1010＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差为1，又S 11＝a 11＝－2 015，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以－2 015为首项，1为公差的等差数列，所以S 2 0182 018＝－2 015＋2 017×1＝2，所以S 2 018＝4 036.9．等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7＝________.解析：a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝132(a 1＋a 13)132(b 1＋b 13)＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.10．设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．解析：∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6.∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 6b 6＝1941. 类型三：等差数列前n 项和的最值求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)二次函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． (2)通项变号法①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .1．已知等差数列{a n }中，a 1＝11，a 5＝－1，则{a n }的前n 项和S n 的最大值是解析：设数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 5－a 15－1＝－3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋14，由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧14－3n ≥0，11－3n ≤0，解得113≤n ≤143，即n ＝4，所以{a n }的前4项和最大，且S 4＝4×11＋4×32×(－3)＝26. 2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是解析：法一：由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7＞0，a 8＜0，故n ＝7时，S n 最大．法二：由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n .根据二次函数的性质，知当n ＝7时S n 最大．法三：根据a 1＝13，S 3＝S 11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减．根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图像的对称性，可得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值． 4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n 的值是________．解析：依题意得2a 6＝4,2a 7＝－2，a 6＝2>0，a 7＝－1<0.又数列{a n }是等差数列，所以在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当S n 取最大值时，n ＝6.5．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 7B ．S 6C ．S 5D ．S 4解析：C ，∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6＜0，a 5＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＞0，a 6＜0，∴S n 的最大值为S 5. 6．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并求S n 的最小值．解析：(1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.又a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.(2)法一：(二次函数法)由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.法二：(通项变号法)由(1)知a n ＝2n －9，则S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n .由S n 最小⇔⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －9≤0，2n －7≥0，∴72≤n ≤92，又n ∈N *，∴n ＝4，此时S n 的最小值为S 4＝－16. 7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，满足a 1＋a 2＝10，S 5＝40.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝|13－a n |，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知，a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝10，S 5＝5a 3＝40，即a 3＝8，所以a 1＋2d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，d ＝2，所以a n ＝4＋(n －1)·2＝2n ＋2. (2)令c n ＝13－a n ＝11－2n ，b n ＝|c n |＝|11－2n |＝⎩⎪⎨⎪⎧11－2n ，n ≤5，2n －11，n ≥6，设数列{c n }的前n 项和为Q n ，则Q n ＝－n 2＋10n .当n ≤5时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝Q n ＝－n 2＋10n .当n ≥6时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝c 1＋c 2＋…＋c 5－(c 6＋c 7＋…＋c n )＝－Q n ＋2Q 5＝n 2－10n ＋2(－52＋10×5)＝n 2－10n ＋50.8．已知等差数列{a n }的前三项和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和T n . 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d . 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得，a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{3n －7}的前n 项和为S n ，则S n ＝n [(－4)＋(3n －7)]2＝32n 2－112n . 当n ≤2时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝－32n 2＋112n ，当n ≥3时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4＋…＋a n ) ＝S n －2S 2＝32n 2－112n ＋10，综上知：T n ＝⎩⎨⎧ －32n 2＋112n ，n ≤2，32n 2－112n ＋10，n ≥3.题型三等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明方法与技巧1．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为解析：∵a n ＝－2n ＋1，∴数列{a n }是以－1为首项，－2为公差的等差数列，∴S n ＝n [－1＋(－2n ＋1)]2＝－n 2，∴S n n ＝－n 2n ＝－n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为11×(－1)＋11×102×(－1)＝－66. 2．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝2，S 3＝－6.(1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和S n ；(2)是否存在正整数n ，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由．解析：(1)设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝2，3a 1＋3×22d ＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－6， ∴a n ＝4－6(n －1)＝10－6n ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝7n －3n 2. (2)由(1)知S n ＋S n ＋3＝7n －3n 2＋7(n ＋3)－3(n ＋3)2＝－6n 2－4n －6， 2(S n ＋2＋2n )＝2(－3n 2－5n ＋2＋2n )＝－6n 2－6n ＋4，若存在正整数n 使得S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列，则－6n 2－4n －6＝－6n 2－6n ＋4，解得n ＝5，∴存在n ＝5，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列．3．已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个实根．(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)在(1)中，设b n ＝S n n ＋c，求证：当c ＝－12时，数列{b n }是等差数列．解析：(1)∵a 1，a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个实根，∴a 1＝1，a 2＝5，∴等差数列{a n }的公差为4，∴S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n . (2)证明：当c ＝－12时，b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n －12＝2n ， ∴b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2，b 1＝2.∴数列{b n }是以2为首项，2为公差的等差数列.4．已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值；(2)已知数列{b n }满足b n ＝S n n，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n . 解析：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k . 由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，则b n ＝S n n＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2. 5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．解析：(1)证明由题设知a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1，由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)解由题设知a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1.由(1)知，a 3＝λ＋1.令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．6．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．解析：(1)证明：因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1⎝⎛⎭⎫2－1a n －1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52. 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，72和⎝⎛⎭⎫72，＋∞上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3.7．已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n .(1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．解析：(1)由已知，得a 2－2a 1＝4，则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6.由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15.(2)由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，得na n ＋1－(n ＋1)a n n (n ＋1)＝2，即a n ＋1n ＋1－a n n＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差d ＝2的等差数列．则a n n＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n 2－n . 8．已知数列{a n }满足a 1＝2，n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求其通项公式； (2)设b n ＝2a n －15，求数列{|b n |}的前n 项和T n .解析：(1)证明：∵n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)，∴na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，∴a n ＋1n ＋1－a n n＝2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，其公差为2，首项为2，∴a n n ＝2＋2(n －1)＝2n . (2)由(1)知a n ＝2n 2，∴b n ＝2a n －15＝2n －15，则数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－13＋2n －15)2＝n 2－14n . 令b n ＝2n －15≤0，n ∈N *，解得n ≤7.∴n ≤7时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b n ＝－S n ＝－n 2＋14n . n ≥8时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b 7＋b 8＋…＋b n ＝－2S 7＋S n ＝－2×(72－14×7)＋n 2－14n ＝n 2－14n ＋98.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14n －n 2，n ≤7，n 2－14n ＋98，n ≥8.。

2020届高三文理科数学一轮复习《等比数列及其前n项和》专题汇编(教师版)

《等比数列及其前n 项和》专题一、相关知识点1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)． (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的有关性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝….(2)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{ba n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn ，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n 仍然是等比数列．(其中b ，p ，q 是非零常数) (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(4)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列，其公比为q k . (5)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3nT 2n，…成等比数列． 4．等比数列的有关结论(1) “G 2＝ab ”是“a ，G ，b 成等比数列”的必要不充分条件．(2)若q ≠0，q ≠1，则S n ＝k －kq n (k ≠0)是数列{a n }成等比数列的充要条件，此时k ＝a 11－q .5．等比数列{a n }的单调性(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列．(2)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列．(4)当q <0时，{a n }为摆动数列．6．与等比数列前n 项和S n 相关的几个结论(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . ①若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q ；②若共有2n ＋1项，则S 奇－S 偶＝a 1＋a 2n ＋1q 1＋q (q ≠1且q ≠－1)，S 奇－a 1S 偶＝q .(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n S m ⇔q n ＝S n ＋m －S nS m(q 为公比)．题型一等比数列基本量的运算1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝2，则a 7＝解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1＝1，a 3＝2，∴q 2＝2，∴a 7＝a 3q 4＝2×22＝8. 2．已知递增的等比数列{a n }中，a 2＋a 8＝3，a 3·a 7＝2，则a 13a 10＝________.解析：23．各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，a 6＝a 1a 2a 3，则公比q 的值为________．解析：24．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．解析：45．已知正项数列{a n }为等比数列，且5a 2是a 4与3a 3的等差中项，若a 2＝2，则该数列的前5项和S 5＝解析：设{a n }的公比为q ，则q >0且q ≠1.由已知得a 4＋3a 3＝2×5a 2，即a 2q 2＋3a 2q ＝10a 2，q 2＋3q －10＝0，解得q ＝2或q ＝－5(舍去)，又a 2＝2，则a 1＝1，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝1×(1－25)1－2＝31.6．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝解析：由已知条件及S 3＝a 1＋a 2＋a 3，得a 3＝9a 1，设数列{a n }的公比为q ，则q 2＝9，所以a 5＝9＝a 1·q 4＝81a 1，得a 1＝19.7．设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，∴a 1(1＋q )＝－1，① a 1(1－q 2)＝－3. ②②÷①，得1－q ＝3，∴q ＝－2.∴a 1＝1，∴a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.8．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为解析：设该数列的公比为q ，由题意知，243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.9．设{a n }是公比为正数的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为解析：设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由a 5＝a 1q 4＝16，a 1＝1，得q 4＝16，解得q ＝2，所以S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1×(1－27)1－2＝127.10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝解析：设等比数列{a n }的公比为q,4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则4a 1＋a 3＝4a 2，即4a 1＋a 1q 2＝4a 1q ，解得q ＝2，a 1＝1，则S 4＝1－241－2＝15.11．等比数列{a n }中，a 3＝12，a 4＝18，则a 6等于解析：公比q ＝a 4a 3＝1812＝32，则a 6＝a 4q 2＝18×⎝⎛⎭⎫322＝812. 12．在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝1，a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3＝52，消去a 1得1q ＋q ＝52，解得q ＝12或q ＝2. 又0＜q ＜1，故q ＝12，此时a 1＝4.13．在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3＋a 5＋a 7＝78，则a 5＝解析：由题意知，a 5＋a 7＝72，即6q 2＋6q 4＝72，解得q 2＝3，所以a 5＝a 3q 2＝6×3＝18.14．等差数列{a n }首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为解析：由已知条件可得a 1＝1，d ≠0，由a 23＝a 2a 6可得(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2.所以S 6＝6×1＋6×5×(－2)2＝－24. 15．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝__________. 解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S n ＝126，∴2(1－2n )1－2＝126，解得n ＝6.16．已知公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝3a 3，则S 5＝解析：由S 3＝3a 3得a 1＋a 2＝2a 3，∴1＋q ＝2q 2，解得q ＝－12或q ＝1(舍)．∴S 5＝1－⎝⎛⎭⎫－1251－⎝⎛⎭⎫－12＝23×3332＝1116．17．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析：设{a n}的首项为a 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q＝74，a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝14×27＝25＝32.18．数列{a n }满足a 4＝27，a n ＋1＝－3a n (n ∈N *)，则a 1＝解析：由题意知数列{a n }是以－3为公比的等比数列，∴a 4＝a 1(－3)3＝27， ∴a 1＝27(－3)3＝－1.19．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于解析：设数列{a n }的公比为q ，则显然q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝4⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝314. 20．在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q ＝2，若a m ＝a 1a 2a 3a 4(m ∈N ＋)，则m ＝解析：a m ＝a 1a 2a 3a 4＝a 41qq 2q 3＝2426＝210＝2m －1，∴m ＝11. 21． 5个数依次组成等比数列，且公比为－2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为解析：由题意可知设这5个数分别为a ，－2a,4a ，－8a ，16a ，a ≠0，故奇数项和与偶数项和的比值为a ＋4a ＋16a －2a －8a＝－2110.22．已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值是解析：由题意得a 1＋a 2＝5，b 22＝4，又b 2与第一项的符号相同，所以b 2＝2.所以a 1＋a 2b 2＝52. 23．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 11＝4，a 6a 12＝8，则a 8a 9＝解析：由等比数列的性质得a 28＝a 5a 11＝4，a 29＝a 6a 12＝8，∵a n >0，∴a 8＝2，a 9＝22，∴a 8a 9＝4 2.24．设{a n }是公比为负数的等比数列，a 1＝2，a 3－4＝a 2，则a 3＝解析：法一：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1＝2，a 3－a 2＝a 1(q 2－q )＝4，所以q 2－q ＝2，解得q ＝2(舍去)或q ＝－1，所以a 3＝a 1q 2＝2.法二：若a 3＝2，则a 2＝2－4＝－2，此时q ＝－1，符合题意A. 25．已知等比数列{a n }中，a 5＝3，a 4a 7＝45，则a 7－a 9a 5－a 7的值为解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 7＝a 5q ·a 5q 2＝9q ＝45，所以q ＝5，所以a 7－a 9a 5－a 7＝a 5q 2－a 7q 2a 5－a 7＝q 2＝25.26．在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝解析：因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2q 4＝8，所以q 2＝2，a 1＝a 3q2＝1.27．等差数列{a n }的公差是2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝解析：由已知得，a 24＝a 2·a 8，因为{a n }是公差为2的等差数列，故(a 2＋2d )2＝a 2·(a 2＋6d )，(a 2＋4)2＝a 2·(a 2＋12)，解得a 2＝4，所以a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n ，故S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n ＋1)．28．《张丘建算经》中“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．问日行几何？”意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里路，问每天走的里数为多少？”，则该匹马第一天走的里数为( )A.128127 B ．44 800127 C.700127 D ．17532解析：由题意知该匹马每日所走的路程成等比数列{a n }，且公比q ＝12，S 7＝700，由等比数列的求和公式得S n ＝a 1⎝⎛⎭⎫1－1271－12＝700，解得a 1＝44 800127，故选B.29．若等比数列{a n }满足a 2a 4＝a 5，a 4＝8，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2a 4＝a 5，a 4＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ·a 1q 3＝a 1q 4，a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n－1.30．各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 1≥1，a 2≤2，a 3≥3，则a 4的取值范围是________．解析：设{a n }的公比为q ，则根据题意得q ＝a 2a 1＝a 3a 2，∴32≤q ≤2，a 4＝a 3q ≥92，a 4＝a 2q 2≤8，∴a 4∈⎣⎡⎦⎤92，8.31．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·2n －1－3，则m ＝________.解析：a 1＝S 1＝m －3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝m ·2n －2，∴a 2＝m ，a 3＝2m ，又a 22＝a 1a 3，∴m 2＝(m －3)·2m ，整理得m 2－6m ＝0，则m ＝6或m ＝0(舍去)． 32．等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m . 解析：(1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n－1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63，得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.由S m ＝63，得2m ＝64，解得m ＝6.综上，m ＝6.33．设数列{a n ＋1}是一个各项均为正数的等比数列，已知a 3＝7，a 7＝127.(1)求a 5的值；(2)求数列{a n }的前n 项和．解析：(1)由题可知a 3＋1＝8，a 7＋1＝128，则有(a 5＋1)2＝(a 3＋1)(a 7＋1)＝8×128＝1 024，可得a 5＋1＝32，即a 5＝31.(2)设数列{a n ＋1}的公比为q ，由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋1＝(a 1＋1)q 2，a 5＋1＝(a 1＋1)q 4，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋1＝2，q ＝2，所以数列{a n ＋1}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1，利用分组求和可得，数列{a n }的前n 项和S n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n .34．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝2a 4－1，S 3＝2a 3－1.(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝S n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)设{a n }的公比为q ，由S 4－S 3＝a 4得，2a 4－2a 3＝a 4，所以a 4a 3＝2，所以q ＝2.又因为S 3＝2a 3－1，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝8a 1－1，所以a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)由(1)知a 1＝1，q ＝2，则S n ＝1－2n 1－2＝2n－1，所以b n ＝2n －1.T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝2＋22＋…＋2n －n ＝2（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－2－n .题型二等比数列的性质类型一等比数列项的性质1．在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5＝________. 解析：42．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________. 解析：143．已知等比数列{a n }中，a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＝2，则a 6＋a 7等于________．解析：44．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于________．解析：185．在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为________解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－ 2.6．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝_____ 解析 ∵a 5a 6＋a 4a 7＝18，∴a 5a 6＝9，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2·…·a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝5log 39＝10.7．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝158，a 2a 3＝－98，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4等于________解析： 1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝a 1＋a 4a 1·a 4＋a 2＋a 3a 2·a 3.∵在等比数列{a n }中，a 1·a 4＝a 2·a 3，∴原式＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4a 2·a 3＝158×⎝⎛⎭⎫－89＝－53.8．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝________解析：由等比数列前n 项和的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝32，所以a 7＋a 8＝40×⎝⎛⎭⎫323＝135. 9．设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋1a n<1，若a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，则S 4＝________解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝16，a 5＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝4，a 5＝16.又a n ＋1a n <1，所以数列{a n }为递减数列，故⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝16，a 5＝4.设等比数列{a n }的公比为q ，则q 2＝a 5a 3＝14，因为数列为正项等比数列，所以q ＝12，从而a 1＝64，所以S 4＝64×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1241－12＝120.10．已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 4a 6－2a 24＋a 2a 4＝144，则a 5－a 3＝________ 解析：∵{a n }是递增的等比数列，∴由a 4a 6－2a 24＋a 2a 4＝144，a 5－a 3>0，可得a 25－2a 3a 5＋a 23＝144，(a 5－a 3)2＝144，∴a 5－a 3＝12.11．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＋a 3a n －2＝256，且前n 项和S n ＝126，则n ＝_____解析：∵a 2a n －1＋a 3a n －2＝2a 1a n ＝256，∴a 1a n ＝128，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1a n ＝128，a 1＋a n ＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝64，a n ＝2.设等比数列{a n }的公比为q ， ①当⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ＝2－64q1－q ＝126，解得q ＝2，∴n ＝6.②当⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝64，a n ＝2时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ＝64－2q 1－q ＝126，解得q ＝12，∴n ＝6.12．已知数列{a n }为等比数列，且a 2a 3a 4＝－a 27＝－64，则tan ⎝⎛⎭⎫a 4a 63·π＝________解析：数列{a n }为等比数列，且a 2a 3a 4＝－a 27＝－64＝a 33，则a 3＝－4，a 7＝±8根据等比数列的性质可得a 7＝8舍去，∴a 7＝－8，∴a 4a 6＝a 3·a 7＝32， ∴tan ⎝⎛⎭⎫a 4a 63·π＝tan ⎝⎛⎭⎫323π＝tan ⎝⎛⎭⎫10π＋π－π3＝－tan π3＝－ 3. 13．已知等比数列{a n }中，a 5＝3，a 4a 7＝45，则a 7－a 9a 5－a 7的值为________解析：根据题意，等比数列{a n }中，a 5＝3，a 4a 7＝45，则有a 6＝a 4a 7a 5＝15，则q ＝a 6a 5＝5，则a 7－a 9a 5－a 7＝a 5·q 2－a 7·q 2a 5－a 7＝q 2＝25.14．数列{a n }为正项递增等比数列，满足a 2＋a 4＝10，a 23＝16，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10等于________解析：因为{a n }为正项递增等比数列，所以a n ＞a n －1＞0，公比q ＞1.因为a 2＋a 4＝10 ①，且a 23＝16＝a 3·a 3＝a 2·a 4②由①②解得a 2＝2，a 4＝8.又因为a 4＝a 2·q 2，得q ＝2或q ＝－2(舍)．则得a 5＝16，a 6＝32，因为log2a 1＋log2a 2＋…＋log2a 10＝5log2a 5a 6＝5log216×32＝5×9log 22＝45×2log 22＝90.15．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝____ 解析：因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10 ＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.16．各项为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为__ 解析：由题意得a 4a 14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a 4a 14＝a 7a 11＝8，所以log 2a 7＋log 2a 11＝log 2(a 7a 11)＝log 28＝3.17．记等比数列{a n }的前n 项积为T n (n ∈N *)，已知a m －1a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m的值为________解析：因为{a n }是等比数列，所以a m －1a m ＋1＝a 2m .又a m －1a m ＋1－2a m ＝0，则a 2m －2a m ＝0，所以a m ＝2，a m ＝0(舍)．由等比数列的性质可知前2m －1项的积T 2m －1＝a 2m －1m，即22m －1＝128，故m ＝4.18．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于________ 解析：因为数列{a n }是各项均为正数的等比数列，所以a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9，a 10a 11a 12，…也成等比数列．不妨令b 1＝a 1a 2a 3，b 2＝a 4a 5a 6，则公比q ＝b 2b 1＝124＝3.所以b m ＝4×3m －1.令b m ＝324，即4×3m －1＝324，解得m ＝5，所以b 5＝324，即a 13a 14a 15＝324.所以n ＝14. 19．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＞0，q ＞1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝________.解析：由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且a n ＞0，q ＞1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.所以S 5＝1×(1－25)1－2＝31.20．在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，且前n 项和S n ＝42，则n 等于________解析：因为{a n }为等比数列，所以a 3·a n －2＝a 1·a n ＝64.又a 1＋a n ＝34.所以a 1，a n 是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，a n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，a n ＝2.又因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n＝32.由S n ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q1－q ＝42，解得q ＝4.由a n ＝a 1q n －1＝2×4n －1＝32，解得n ＝321．已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11＝________解析：由等差数列的性质，得a 6＋a 8＝2a 7.由a 6－a 27＋a 8＝0，可得a 7＝2，所以b 7＝a 7＝2.由等比数列的性质得b 2b 8b 11＝b 2b 7b 12＝b 37＝23＝8.22．已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于________解析：由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 类型二等比数列前n 项和的性质1．设各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于____ 解析：易知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30.又S 20>0，所以S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，故S 40－S 30＝80，所以S 40＝150.2．已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，且S 2＝2，S 4＝8，则S 8＝________ 解析：由等比数列的性质可得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6也成等比数列， ∴(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，∵S 2＝2，S 4＝8，∴36＝2(S 6－8)，即S 6＝26. 又(S 4－S 2)(S 8－S 6)＝(S 6－S 4)2，∴S 8＝54＋S 6＝80.3．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于________ 解析：由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列．由(x －2)2＝2×(14－x )，解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23＝30.4．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝________.解析：设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列， ∵S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，∴S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73.5．已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于________解析：S 12＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋(a 7＋a 8＋a 9)＋(a 10＋a 11＋a 12)＝4＋8＋16＋32＝60. 6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________解析：法一：由等比数列的性质及题意，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73.法二：S 6S 3＝1＋a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝1＋q 3＝3，所以q 3＝2.则S 9S 6＝1－q 91－q 6＝1－231－22＝73.题型三等比数列的判定与证明等比数列的4种常用判定方法1．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N ＋，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于解析：由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝⎛⎭⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.2．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋12n a n(n ∈N ＋)．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n4n －a n，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2.解析：(1)由题设得a n ＋1n ＋1＝12·a n n ，又a 11＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为2，公比为12的等比数列，所以a n n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝22－n ，a n ＝n ·22－n ＝4n 2n. (2)b n ＝a n 4n －a n＝4n2n 4n －4n 2n＝12n －1，因为对任意n ∈N ＋，2n －1≥2n －1，所以b n ≤12n －1.所以T n ≤1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝2⎝⎛⎭⎫1－12n <2. 3．已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn.(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．解析：(1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4. (2)数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＝4a n ＋1－4a n .(1)求证：数列{a n ＋1－2a n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)证明：由a n ＋2＝4a n ＋1－4a n 得a n ＋2－2a n ＋1＝2a n ＋1－4a n ＝2(a n ＋1－2a n ) ＝22(a n －2a n －1)＝…＝2n (a 2－2a 1)≠0，∴a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n＝2，∴{a n ＋1－2a n }是等比数列．(2)由(1)可得a n ＋1－2a n ＝2n －1(a 2－2a 1)＝2n ，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为12的等差数列，∴a n 2n ＝n 2，a n ＝n ·2n －1.5．在数列{a n }中，a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，且a 1＝2，a 2＝5.(1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析：(1)证明：∵a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，∴(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝a n ＋2＋1a n ＋1＋1.∵a 1＝2，a 2＝5，∴a 1＋1＝3，a 2＋1＝6，∴a 2＋1a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知，a n ＋1＝3·2n －1，∴a n ＝3·2n －1－1，∴S n ＝3(1－2n )1－2－n ＝3·2n －n －3.6．设数列{a n }的各项均为正数，且a 2＝4a 1，a n ＋1＝a 2n ＋2a n (n ∈N *)．(1)证明：数列{log 3(1＋a n )}为等比数列；(2)设数列{log 3(a n ＋1)}的前n 项和为T n ，求使T n >520成立时n 的最小值．解析：(1)证明：由已知，得a 2＝a 21＋2a 1＝4a 1，则a 1(a 1－2)＝0，因为数列{a n }的各项均为正数，所以a 1＝2.因为a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2>0，所以log 3(a n ＋1＋1)＝2log 3(a n ＋1)．又log 3(a 1＋1)＝log 33＝1，所以数列{log 3(1＋a n )}是首项为1，公比为2的等比数列． (2)由(1)可知，log 3(1＋a n )＝2n －1，所以T n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1. 由T n >520，得2n >521(n ∈N *)，得n ≥10.则使T n >520成立时n 的最小值为10. 7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列；(2)求数列{b n }的通项公式．解析：(1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，①； ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，即2a n ＋1＝a n ＋1， ∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，即2c n ＋1＝c n .由a 1＋S 1＝1得a 1＝12，∴c 1＝a 1－1＝－12，从而c n ≠0，∴c n ＋1c n ＝12.∴数列{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知c n ＝－12×⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n ，又c n ＝a n －1，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝⎛⎭⎫12n －⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n. 又b 1＝a 1＝12，适合上式，故b n ＝⎝⎛⎭⎫12n . 题型四等差、等比数列的综合问题1．已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5＝a 3＋a 4，即a 3q 2＝a 3＋a 3q ，故q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去)，由a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 3＋a 3q 2a 4＋a 4q 2＝a 3(1＋q 2)a 4(1＋q 2)＝1q ＝25＋1＝2(5－1)(5＋1)(5－1)＝5－12．2．设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2.①求{a n }的通项公式；②求e a 1+e a 2+...+e a n . 解析：①设{a n }的公差为d .因为a 2＋a 3＝5ln 2，所以2a 1＋3d ＝5ln 2.又a 1＝ln 2，所以d ＝ln 2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ln 2. ②因为e a 1＝e ln 2＝2，e a n e a n−1=2所以数列{e a n }是首项为2，公比为2的等比数列．所以e a 1+e a 2+...+e a n＝2×1－2n1－2＝2(2n －1)．3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1， a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式；(2)若T 3＝21，求S 3.解析：设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3. ① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2. 因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0.解得q ＝－5或q ＝4. 当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.4．已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式；(2)求{b n }的前n 项和．解析：(1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.所以数列{a n )是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)知a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n 3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列．记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝⎛⎭⎫13n1－13＝32－12×3n －1.5．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．解析：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6.解得q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .(2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎡⎦⎤－23＋(－1)n2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．6．（理科）已知等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，公比是q ，且满足：a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝12，S 2＝b 2q .(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝3b n －λ·2a n3，若数列{c n }是递增数列，求λ的取值范围．解析：(1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋3＋a 2＝12，3＋a 2＝q 2，所以q 2＋q －12＝0，解得q ＝3或q ＝－4(舍)，从而a 2＝6，所以a n ＝3n ，b n ＝3n －1. (2)由(1)知，c n ＝3b n －λ·2a n3＝3n －λ·2n .由题意，c n ＋1＞c n 对任意的n ∈N ＋恒成立，即3n ＋1－λ·2n ＋1＞3n －λ·2n 恒成立，亦即λ·2n ＜2·3n 恒成立，即λ＜2·⎝⎛⎭⎫32n恒成立．由于函数y ＝⎝⎛⎭⎫32n 是增函数，所以⎣⎡⎦⎤2·⎝⎛⎭⎫32n min ＝2×32＝3，故λ＜3，即λ的取值范围为(－∞，3)．。

专题31 等差数列及其前n项和-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(解析版)

专题31等差数列及其前n 项和最新考纲1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．4.了解等差数列与一次函数的关系.基础知识融会贯通1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2 或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n＋1－a n＝d(d是常数)⇔{a n}是等差数列．(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2 (n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列．(4)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a n}是等差数列．重点难点突破【题型一】等差数列基本量的运算【典型例题】已知{}是等差数列，且a1，a4＝1，则a10＝（）A．﹣5 B．﹣11 C．﹣12 D．3【解答】解：∵{}是等差数列，且a1，a4＝1，∴，即，解得d，∴9d，解得a10＝﹣11．故选：B．【再练一题】等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝3，S5＝35，则数列{a n}的公差为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．7【解答】解：∵a1＝3，S5＝35，∴5×335，解得d＝2．故选：B．思维升华等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．【题型二】等差数列的判定与证明【典型例题】设数列{a n}满足关系式：a1＝﹣1，a n试证：（1）试求数列{a n}的通项公式．（2）b n＝lg（a n+9）是等差数列．（3）若数列{a n}的第m项的值，试求m【解答】解：（1）∵a1＝﹣1，a n，∴，∴，令T n＝a n+9，则Tn是公比为的等比数列，，∴，（2）∵b n＝lg（a n+9），＝lg12+（lg2﹣lg3）n．由数列{b n}通项公式可知，{bn}是公差为（lg2﹣lg3）的等差数列．（3）若数列数列{a n}的第m项的值，化简得a m＝（29﹣38）÷3612由a n通项公式可知，a m＝a7，m＝7．【再练一题】已知数列{a n}、{b n}满足：a1，a n+b n＝1，b n+1．（1）求a2，a3；（2）证数列{}为等差数列，并求数列{a n}和{b n}的通项公式；（3）设S n＝a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1，求实数λ为何值时4λS n＜b n恒成立．【解答】（1）解：∵，∴，，，，．∴；（2）证明：由，∴，∴，即a n﹣a n+1＝a n a n+1，∴∴数列{}是以4为首项，1为公差的等差数列．∴，则，∴；（3）解：由，∴S n＝a1a2+a2a3+…+a n a n+1．∴，要使4λS n＜b n恒成立，只需（λ﹣1）n2+（3λ﹣6）n﹣8＜0恒成立，设f（n）＝（λ﹣1）n2+3（λ﹣2）n﹣8当λ＝1时，f（n）＝﹣3n﹣8＜0恒成立，当λ＞1时，由二次函数的性质知f（n）不满足对于任意n∈N*恒成立，当λ＜l时，对称轴nf（n）在[1，+∞）为单调递减函数．只需f（1）＝（λ﹣1）n2+（3λ﹣6）n﹣8＝（λ﹣1）+（3λ﹣6）﹣8＝4λ﹣15＜0 ∴，∴λ≤1时4λS n＜b n恒成立．综上知：λ≤1时，4λS n＜b n恒成立．思维升华等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有a n＋1－a n等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.(3)通项公式法：得出a n＝pn＋q后，再根据定义判定数列{a n}为等差数列．(4)前n项和公式法：得出S n＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{a n}为等差数列．【题型三】等差数列性质的应用命题点1等差数列项的性质【典型例题】．在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15＝60，则a2﹣a8+a14等于（）A．10 B．12 C．11 D．﹣4【解答】解：等差数列{a n}中，a1+3a8+a15＝60，可得：5a8＝60，解得a8＝12，则a2﹣a8+a14＝a8＝12，故选：B．【再练一题】已知等差数列{a n}的公差不为零，且a2，a3，a9成等比数列，则（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差d≠0，且a2，a3，a9成等比数列，∴a2•a9，∴（a1+d）（a1+8d），a1d≠0．则．故选：B．命题点2等差数列前n项和的性质【典型例题】已知等差数列{a n}，a1＝﹣2018，前n项和为S n，，则S2019＝（）A．0 B．1 C．2018 D．2019【解答】解：因为数列{a n}为等差数列，所以，又因为，所以{}是为首项是﹣2018，公差为1的等差数列，所以2018+（2019﹣1）×1＝0，所以S2019＝0．故选：A．【再练一题】已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a6+a8＝6，S9﹣S6＝3，则使S n取得最大值时n的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a6+a8＝6，S9﹣S6＝3，∴2a1+12d＝6，3a1+21d＝3，联立解得：a1＝15，d＝﹣2，∴a n＝15﹣2（n﹣1）＝17﹣2n．令a n＝17﹣2n≥0，解得n≤8．则使S n取得最大值时n的值为8．故选：D．思维升华等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.(2)和的性质：在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(a n＋a n＋1)；②S2n－1＝(2n－1)a n.基础知识训练1．【西省太原市2019届高三上学期期末考试】已知数列{a n }为等差数列，，若，则＝( ) A ．−22019 B ．22020C ．−22017D ．2201【答案】A 【解析】数列为等差数列，且，则，又，则，，，同理，以此类推，又，所以。

2020版高考数学一轮复习第七章数列与数学归纳法7.2等差数列及其前n项和学案解析版

§7.2 等差数列及其前n 项和1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．概念方法微思考1．“a ，A ，b 是等差数列”是“A ＝a ＋b2”的什么条件？提示充要条件．2．等差数列的前n 项和S n 是项数n 的二次函数吗？提示不一定．当公差d ＝0时，S n ＝na 1，不是关于n 的二次函数． 3．如何推导等差数列的前n 项和公式？提示利用倒序相加法．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ )(5)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ ) (6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( √ ) 题组二教材改编2．[P46A 组T2]设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31B ．32C ．33D ．34 答案 B解析由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.3．[P39T5]在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 答案 180解析由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 题组三易错自纠4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤325答案 D解析由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1，a 9≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧125＋9d >1，125＋8d ≤1，所以875<d ≤325.故选D.5．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，所以a 8>0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，所以a 9<0.故当n ＝8时，其前n 项和最大．6．一物体从1960m 的高空降落，如果第1秒降落4.90m ，以后每秒比前一秒多降落9.80m ，那么经过________秒落到地面．答案 20解析设物体经过t 秒降落到地面．物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列．所以4.90t ＋12t (t －1)×9.80＝1960，即4.90t 2＝1960，解得t ＝20.题型一等差数列基本量的运算1．(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A ．－12B ．－10C ．10D ．12 答案 B解析设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10. 故选B.2．(2018·湖州德清县、长兴县、安吉县期中)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，若a 4＝4，a 2＋a 8＝10，则d ＝________，a n ＝________.解析由题意得a 2＋a 8＝2a 5＝10，所以a 5＝5，则等差数列{a n }的公差d ＝a 5－a 4＝5－4＝1，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝n .思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，n ，d ，a n ，S n ，知道其中三个就能求出另外两个．(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a 1和公差d . 题型二等差数列的判定与证明例1在数列{a n }中，a 1＝2，a n 是1与a n a n ＋1的等差中项． (1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并求{}a n 的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 2a n 的前n 项和S n . 解 (1)∵a n 是1与a n a n ＋1的等差中项， ∴2a n ＝1＋a n a n ＋1，∴a n ＋1＝2a n －1a n，∴a n ＋1－1＝2a n －1a n －1＝a n －1a n，∴1a n ＋1－1＝a n a n －1＝1＋1a n －1，∵1a 1－1＝1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为1，公差为1的等差数列， ∴1a n －1＝1＋(n －1)＝n ，∴a n ＝n ＋1n. (2)由(1)得1n 2a n＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 思维升华等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，再根据定义判定数列{a n }为等差数列． (4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．跟踪训练1(2018·温州市高考适应性测试)已知数列{a n }的前n 项积为T n ，且T n ＝1－a n .(1)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n T n 的前n 项和S n .(1)证明由T n ＝1－a n 得，当n ≥2时，T n ＝1－T nT n －1，两边同时除以T n ，得1T n －1T n －1＝1.∵T 1＝1－a 1＝a 1，∴a 1＝12，1T 1＝1a 1＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是首项为2，公差为1的等差数列． (2)解由(1)知1T n ＝n ＋1，则T n ＝1n ＋1，从而a n ＝1－T n ＝n n ＋1，故a nT n ＝n .∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n T n 是首项为1，公差为1的等差数列，∴S n ＝n (n ＋1)2.题型三等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质例2已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝18，则{a n }的前9项和S 9等于( ) A ．9B ．17C ．72D ．81 答案 D解析由等差数列的性质可得，a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝18，则{a n }的前9项和S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×182＝81.故选D.命题点2 等差数列前n 项和的性质例3(1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15等于( ) A ．35B ．42C ．49D ．63 答案 B解析在等差数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列，即7,14，S 15－21成等差数列，所以7＋(S 15－21)＝2×14，解得S 15＝42.(2)(2018·宁波模拟)若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，记b n ＝S nn，则( ) A ．数列{b n }是等差数列，且公差为dB ．数列{b n }是等差数列，且公差为2dC ．数列{a n ＋b n }是等差数列，且公差为dD ．数列{a n －b n }是等差数列，且公差为d2答案 D解析由题意可得a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，则b n ＝S n n ＝a 1＋n －12d ＝a 1－12d ＋12dn 是关于n 的一次函数，则数列{b n }是公差为12d 的等差数列，故A ，B 错误；由a n ＋b n ＝2a 1－32d ＋32dn 是关于n 的一次函数，得数列{a n ＋b n }是公差为32d 的等差数列，故C 错误；又a n －b n＝－12d ＋12dn 是关于n 的一次函数，则数列{a n －b n }是公差为12d 的等差数列，故D 正确，故选D.思维升华等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .跟踪训练2(1)已知等差数列{a n }，a 2＝2，a 3＋a 5＋a 7＝15，则数列{a n }的公差d 等于( ) A ．0B ．1C ．－1D ．2 答案 B解析 ∵a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝15， ∴a 5＝5，∴a 5－a 2＝3＝3d ，可得d ＝1，故选B.(2)(2018·金华模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14<0，则S n 取最大值时n 的值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．13 答案 B解析根据S 13>0，S 14<0，可以确定a 1＋a 13＝2a 7>0，a 1＋a 14＝a 7＋a 8<0，所以可以得到a 7>0，a 8<0，所以S n 取最大值时n 的值为7，故选B.1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＋S 6＝31，则S 8＋S 10等于( ) A ．91B ．85C ．78D ．55 答案 A解析方法一设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧3＝S 2＝2a 1＋d ，31＝S 4＋S 6＝4a 1＋4×32d ＋6a 1＋6×52d ，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝2a 1＋d ，31＝10a 1＋21d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，故S 8＋S 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8×1＋8×72×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫10×1＋10×92×1＝91. 方法二因为{a n }是等差数列，所以可设S n ＝an 2＋bn ，则⎩⎪⎨⎪⎧3＝S 2＝a ×22＋2b ，31＝S 4＋S 6＝(a ×42＋4b )＋(a ×62＋6b )，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝4a ＋2b ，31＝52a ＋10b ，解得a ＝b ＝12，故S 8＋S 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×82＋12×8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×102＋12×10＝91.2．(2018·嘉兴基础测试)在等差数列{a n }中，a 1＝3，a 1＋a 2＋a 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．45B ．42C ．21D ．84 答案 A解析根据等差数列的性质，可得a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝21，∴a 2＝7，设等差数列{a n }的公差为d ，又a 1＝3，∴d ＝4，∴a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝3a 2＋6d ＝21＋24＝45，故选A.3．(2018·温州市适应性测试)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，b n ＝2a n ，数列{b n }的前n 项和、前2n 项和、前3n 项和分别为A ，B ，C ，则( ) A ．A ＋B ＝C B ．B 2＝ACC ．(A ＋B )－C ＝B 2D ．(B －A )2＝A (C －B )答案 D解析令a n ＝n ，则b n ＝2n，设数列{b n }的前n 项和为S n ，令A ＝S 1＝2，则B ＝S 2＝21＋22＝6，C ＝S 3＝21＋22＋23＝14，可以排除选项A ，B ，C ，故选D.4．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( ) A ．65B ．176C ．183D ．184 答案 D解析根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{a n }，其中d ＝17，n ＝8，S 8＝996.由等差数列前n 项和公式可得8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.由等差数列通项公式得a 8＝65＋(8－1)×17＝184.5．(2018·浙江杭州二中期中)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A nB n＝6n ＋54n ＋5，则使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是( ) A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 B解析由等差数列前n 项和性质知，a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝6(2n －1)＋542n －1＋5＝6n ＋24n ＋2＝6＋12n ＋2，故当n ＝1,2,4,10时，a nb n 为整数，故使得a n b n为整数的正整数n 的个数是4，故选B.6．在等差数列{a n }中，若a 9a 8<－1，且它的前n 项和S n 有最小值，则当S n >0时，n 的最小值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17 答案 C解析 ∵数列{a n }是等差数列，它的前n 项和S n 有最小值， ∴公差d >0，首项a 1<0，{a n }为递增数列． ∵a 9a 8<－1，∴a 8·a 9<0，a 8＋a 9>0，由等差数列的性质知，2a 8＝a 1＋a 15<0，a 8＋a 9＝a 1＋a 16>0. ∵S n ＝n (a 1＋a n )2，∴当S n >0时，n 的最小值为16.7．(2018·绍兴教学质量调测)已知数列{a n }中，a 3＝3，a n ＋1＝a n ＋2，则a 2＋a 4＝________，a n ＝________.答案 6 2n －3解析因为a n ＋1－a n ＝2，所以{a n }为等差数列，所以公差d ＝2，由a 1＋2d ＝3得a 1＝－1，所以a n ＝－1＋(n －1)×2＝2n －3，a 2＋a 4＝2a 3＝6.8．在等差数列{a n }中，若a 7＝π2，则sin2a 1＋cos a 1＋sin2a 13＋cos a 13＝________.答案 0解析根据题意可得a 1＋a 13＝2a 7＝π， 2a 1＋2a 13＝4a 7＝2π，所以有sin2a 1＋cos a 1＋sin2a 13＋cos a 13＝sin2a 1＋sin(2π－2a 1)＋cos a 1＋cos(π－a 1)＝0.9．(2018·浙江省部分重点中学调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6>S 7>S 5，则使a n >0的最大正整数n ＝________，满足S k S k ＋1<0的正整数k ＝________. 答案 6 12解析依题意得a 6＝S 6－S 5>0，a 7＝S 7－S 6<0，a 6＋a 7＝S 7－S 5>0，则使a n >0的最大正整数n ＝6，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6>0，S 12＝12(a 1＋a 12)2＝12(a 6＋a 7)2>0，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，所以S 12S 13<0，即满足S k S k ＋1<0的正整数k ＝12.10．已知数列{a n ＋1－a n }是公差为2的等差数列，且a 1＝1，a 3＝9，则a n ＝________. 答案 (n 2－3n ＋3)2解析数列{a n ＋1－a n }是公差为2的等差数列，且a 1＝1，a 3＝9，∴a n ＋1－a n ＝(a 2－1)＋2(n －1)，a 3－a 2＝(a 2－1)＋2，∴3－a 2＝(a 2－1)＋2，∴a 2＝1. ∴a n ＋1－a n ＝2n －2，∴a n ＝2(n －1)－2＋2(n －2)－2＋…＋2－2＋1 ＝2×(n －1)n 2－2(n －1)＋1＝n 2－3n ＋3.∴a n ＝(n 2－3n ＋3)2，n ＝1时也成立． ∴a n ＝(n 2－3n ＋3)2.11．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1. (1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明 ∵1a n ＋1－1－1a n －1＝a n －a n ＋1(a n ＋1－1)(a n －1)＝13，∴b n ＋1－b n ＝13，∴{b n }是等差数列．(2)解由(1)及b 1＝1a 1－1＝12－1＝1. 知b n ＝13n ＋23，∴a n －1＝3n ＋2，∴a n ＝n ＋5n ＋2.12．(2018·嘉兴基础测试)设数列{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7.(1)求a n 和S n ；(2)试求所有正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．解 (1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，∵S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7，∴a 4＝1.又a 22＋a 23＝a 24＋a 25，即a 23－a 25＝a 24－a 22， ∴a 4＋a 2＝－(a 3＋a 5)＝－2a 4，因此有1＋a 2＝－2，a 2＝－3，∴2d ＝4，∴d ＝2，a 1＝－5，因此有a n ＝2n －7，S n ＝n 2－6n . (2)令a m a m ＋1a m ＋2＝(2m －7)(2m －5)2m －3＝2n －7，令2m －3＝t ，则m ＝t ＋32，n ＝t 2＋4t ＋12，易知仅当t ＝1时，n 为正整数，m 为正整数，因此可得m ＝2时成立． 13．设等差数列{a n }的公差为π9，前8项和为6π，记tan π9＝k ，则数列{}tan a n tan a n ＋1的前7项和是( ) A.7k 2－3k 2－1 B.3－7k2k 2－1 C.11－7k 2k 2－1 D.7k 2－11k 2－1答案 C解析等差数列{a n }的公差d 为π9，前8项和为6π，可得8a 1＋12×8×7×π9＝6π，解得a 1＝1336π，tan a n tan a n ＋1＝tan a n ＋1－tan a ntan (a n ＋1－a n )－1＝tan a n ＋1－tan a ntan d－1，则数列{tan a n tan a n ＋1}的前7项和为1k(tan a 8－tan a 7＋tan a 7－tan a 6＋…＋tan a 2－tan a 1)－7＝1k (tan a 8－tan a 1)－7＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 4136π－tan 1336π－7＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 536π－tan 1336π－7 ＝1k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π9－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π9－7 ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 1＋k －1＋k 1－k －7＝11－7k 2k 2－1.故选C. 14．(2018·宁波模拟)已知{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，且A n ＝a n ＋b n ，B n ＝a n b n ，若A 1＝1，A 2＝3，则A n ＝________；若{B n }为等差数列，则d 1d 2＝______. 答案 2n －1 0解析因为{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，所以{A n }也为等差数列，所以A n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，B n ＝[a 1＋(n －1)d 1]·[b 1＋(n －1)d 2]＝d 1d 2n 2＋(a 1d 2＋b 1d 1－2d 1d 2)n ＋(a 1－d 1)·(b 1－d 2)，因为{B n }为等差数列，所以由等差数列的通项公式的特征可知d 1d 2＝0.15．(2019·绍兴期中)已知数列{a n }的奇数项依次构成公差为d 1的等差数列，偶数项依次构成公差为d 2的等差数列(其中d 1，d 2为整数)，且对任意n ∈N *，都有a n <a n ＋1，若a 1＝1，a 2＝2，且数列{a n }的前10项和S 10＝75，则d 1＝________，a 8＝________.答案 3 11解析因为a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝1＋d 1，a 4＝2＋d 2，a 5＝1＋2d 1，对任意n ∈N *，都有a n <a n＋1，所以a 3>a 2，即1＋d 1>2，解得d 1>1；又⎩⎪⎨⎪⎧ a 4>a 3，a 5>a 4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋d 2>1＋d 1，1＋2d 1>2＋d 2，解得－1＋d 1<d 2<－1＋2d 1.因为S 10＝75，所以5×1＋5×42d 1＋5×2＋5×42d 2＝75，所以d 1＋d 2＝6，所以d 2＝6－d 1，所以－1＋d 1<6－d 1<－1＋2d 1，解得73<d 1<72.又d 1，d 2为整数，所以d 1＝3，所以d 2＝3.所以a 8＝2＋(4－1)d 2＝2＋3×3＝11.16．记m ＝d 1a 1＋d 2a 2＋…＋d n a n n，若{}d n 是等差数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等差均值”；若{}d n 是等比数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等比均值”．已知数列{a n }的“2n －1等差均值”为2，数列{b n }的“3n －1等比均值”为3.记c n ＝2a n＋k log 3b n ，数列{}c n 的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，求实数k 的取值范围．解由题意得2＝a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n n，所以a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，所以a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2n －2(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＝22n －1(n ≥2，n ∈N *)．当n ＝1时，a 1＝2，符合上式，所以a n ＝22n －1(n ∈N *)．又由题意得3＝b 1＋3b 2＋…＋3n －1b n n，所以b 1＋3b 2＋…＋3n －1b n ＝3n ，所以b 1＋3b 2＋…＋3n －2b n －1＝3n －3(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得b n ＝32－n (n ≥2，n ∈N *)．当n ＝1时，b 1＝3，符合上式，所以b n ＝32－n (n ∈N *)．所以c n ＝(2－k )n ＋2k －1. 因为对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧ c 6≥0，c 7≤0，解得135≤k ≤114.。

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