第5讲椭圆
第5讲椭圆
第5讲椭圆1．考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题．2．考查椭圆的方程及其几何性质．3．考查直线与椭圆的位置关系．【复习指导】1．熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程．2．掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等．体会解析几何的本质问题——用代数的方法解决几何问题．1．椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质续表一条规律椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：给出椭圆方程x 2m ＋y 2n ＝1时，椭圆的焦点在x 轴上⇔m ＞n ＞0；椭圆的焦点在y 轴上⇔0＜m ＜n .两种方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2、b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程． 三种技巧(1)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .(2)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)． (3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴．1．（2013年高考广东卷（文））已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程（ ）A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 答案D2．(2012·合肥月考)设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )．A ．4B ．5C ．8D ．10 解析 依椭圆的定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10. 答案 D3．(2012·兰州调研)“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的 ( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 要使方程x 25－m ＋y2m ＋3＝1表示椭圆，应满足⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＞0，m ＋3＞0，5－m ≠m ＋3，解得－3＜m ＜5且m ≠1，因此“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．答案 B4．（2013年课标）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是C 上的点21212,30PF F F PF F ⊥∠=︒,则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．答案D5．(2011·全国新课标)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________． 解析 根据椭圆焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵e ＝22，∴c a ＝22，根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，因此a ＝4，b ＝22，所以椭圆方程为x 216＋y 28＝1.答案 x 216＋y 28＝1考向一 椭圆定义的应用【例1】(2011·青岛模拟)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.[审题视点] 关键抓住点P 为椭圆C 上的一点，从而有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，再利用PF 1→⊥PF 2→，进而得解．解析 由题意知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，12PF PF ⊥，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴2|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2. ∴|PF 1||PF 2|＝2b 2， ∴121212PF F S PF PF =＝12×2b 2＝b 2＝9. ∴b ＝3. 答案 3【反思与悟】 椭圆上一点P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|；通过整体代入可求其面积等．【变式1-1】 已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )． A ．2 3 B ．6 C ．4 3D ．12解析 由椭圆的定义知：|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a ， ∴周长为4a ＝43(F 是椭圆的另外一个焦点)． 答案 C考向二 求椭圆的标准方程【例2】(1)求与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)的椭圆方程．(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5、3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．[审题视点] 用待定系数法求椭圆方程，但应注意椭圆的焦点位置是否确定． 解 (1)由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t (t ＞0)，∵椭圆过点(2，－3)，∴t ＝224＋＝2，故所求椭圆标准方程为x 28＋y 26＝1.(2)设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 由已知条件得 253a =+222(2)53c =-解得a ＝4，c ＝2，b 2＝12.故所求方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.【反思与悟】 运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a 、b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，由题目所给条件求出m 、n 即可． 【变式2-1】（2013年高考大纲卷（文））已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（ ）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=答案C考向三 椭圆几何性质的应用【例3】(2011·北京)已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．[审题视点] (1)由椭圆方程可直接求出c ，从而求出离心率．(2)可设出直线方程与椭圆方程联立得一元二次方程，由弦长公式列出|AB |长的表达式从而求出|AB |的最大值． 解 (1)由已知得，a ＝2，b ＝1， 所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)， 离心率为e ＝c a ＝32.(2)由题意知，|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫1，32，⎝⎛⎭⎫1，－32，此时|AB |＝ 3. 当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |＞1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m ，x 24＋y 2＝1.得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0. 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1， 即m 2k 2＝k 2＋1.所以|AB |＝＝43|m |m 2＋3.由于当m ＝±1时，|AB |＝3， 所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2， 且当m ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2.【反思与悟】 (1)求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值；二是由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．(2)弦长公式l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2【变式3-1】（2013年高考辽宁卷（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接了,AF BF ,若410,8,cos ABF 5AB B F ==∠=,则C 的离心率为 （ ）A ．35B ．57C ．45D ．67答案B考向四 椭圆中的定值问题【例4】(2011·重庆)如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22， 一条准线的方程为x ＝2 2. (1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P 满足：O P →＝OM →＋2O N →，其中M 、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12.问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．[审题视点] (1)由离心率和准线方程即可求出椭圆方程．(2)充分利用椭圆的定义和性质，利用设而不求的方法求出P 点．解 (1)由e ＝c a ＝22，a 2c ＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2， 故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则由O P →＝OM →＋2O N →得(x ，y )＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)， 即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.因为点M 、N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2) ＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率， 由题设条件知k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0， 所以x 2＋2y 2＝20. 所以P点是椭圆(22221x y +=上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1，F 2， 则由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|为定值． 又因c＝10，因此两焦点的坐标为F 1(－10，0)，F 2(10，0)．【反思与悟】 本题考查椭圆方程的求法和椭圆中的定点、定值等综合问题，可先设出动点P ，利用设而不求的方法求出P 点的轨迹方程，从而找出定点．【变式4-1】 (2010·安徽)如图，已知椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线l 的方程． 解 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由e ＝12，即c a ＝12，得a ＝2c ，得b 2＝a 2－c 2＝3c 2.∴椭圆方程可化为x 24c 2＋y 23c2＝1.将A (2,3)代入上式，得1c 2＋3c 2＝1，解得c ＝2，∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1的方程为 y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0，直线AF 2的方程为x ＝2. 由点A 在椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数． 设P (x ，y )为l 上任一点，则|3x －4y ＋6|5＝|x －2|. 若3x －4y ＋6＝5x －10，得x ＋2y －8＝0(因其斜率为负，舍去)． 于是，由3x －4y ＋6＝－5x ＋10，得2x －y －1＝0， ∴直线l 的方程为2x －y －1＝0.怎样求解与弦有关的椭圆方程问题【问题研究】 求椭圆的方程是高考的重中之重，几乎每年必考，有的是以选择题或填空题的形式出现，多数以解答题的形式出现．虽然考向二中学习了求椭圆方程的方法，但在解答题中往往结合弦长等知识来求椭圆方程，难度中等偏上．【解决方案】 解决这类问题首先根据题设条件设出所求的椭圆方程，再由直线与椭圆联立，结合根与系数的关系及弦长公式求出待定系数．【示例】 已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，若|AB |＝25，直线OM 的斜率为12，求椭圆的方程．解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)．则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1， ②①－②得：y 2－y 1x 2－x 1＝－b 2a 2x 1＋x 2y 1＋y 2.∴k AB ＝－b 2a 2×x 0y 0＝－12.③又k OM ＝y 0x 0＝12，④由③④得a 2＝4b 2.由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋2，x 24b 2＋y2b 2＝1得：x 2－4x ＋8－2b 2＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝8－2b 2. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝52x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝5216－32＋8b 2 ＝528b 2－16 ＝2 5. 解得：b 2＝4.故所求椭圆方程为：x 216＋y 24＝1.。
椭圆2016新编知识点完美总结重点讲义资料-共10页
第5讲：椭圆一、椭圆及其方程1、椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
其中：这两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点的距离叫做焦距(记为2c ) 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.2、椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 12222=+bx a y （a ＞b ＞0） 注意：(1)只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； (2)在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和222b a c -=；(3)已知方程判断焦点位置的方法是：看2x ，2y 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上 (4)当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c -3、求椭圆标准方程的常用方法：(1)待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数c b a ,,的值。
即：主要步骤是先定位，再定量；注：焦点所在坐标轴的位置不确定时设椭圆标准方程要分两种情形；为了计算方便，有时也可设方程为mx 2+ny 2=1(m>0，n>0，m ≠n)。
(2)定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
例2 .已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m = ． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系222c b a +=可求出m 的值．解：方程变形为12622=+my x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2262=-m ，5=m 适合．故5=m ．例3.已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a 和b （或2a 和2b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．y O F 1F 2x Mc cxF 2F 1O y Mcc解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a by a x ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a b x a y ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ． 又b a 3=，联立解得812=a ，92=b ，故椭圆的方程为198122=+x y ． 例4.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程 分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见， 可设其方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程． 解：设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )．由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,143n m n m 所以151=m ，51=n ．故所求的椭圆方程为151522=+y x ． 例5.已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ．说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．例6.ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解．（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．例7. 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．例8. 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为( )A ．4 B ．2 C ．8 D ．23解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为2F ，由椭圆第一定义得10221==+a MF MF ，所以82101012=-=-=MF MF ，又因为ON 为21F MF ∆的中位线，所以4212==MF ON ，故答案为A ． 4、点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b+<二、椭圆的简单几何性质 1、范围：x 2≤a 2，y 2≤b 2，∴|x|≤a ，|y|≤b ．椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里。
2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第5讲椭圆第2课时直线与椭圆的位置关系教学案理北师大版
第2课时 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系(自主练透)1．(一题多解)若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m >0C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5解析：选D.法一：由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0，1)， 所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上， 则0<1m≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0，消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0.由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立， 即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立． 由于m >0 且m ≠5，所以m ≥1且m ≠5.2．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解：将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y 22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过判断定点在椭圆内部或椭圆上来判定直线和椭圆有交点．弦长问题(师生共研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 的斜率为0时，|AB |＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．【解】 (1)由题意知e ＝c a ＝12，2a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2， 解得a ＝2，b ＝3， 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB |＋|CD |＝4＋3＝7，不满足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线CD 的方程为y ＝－1k(x －1)．将直线AB 的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k2＋1·（x1＋x2）2－4x1x2＝12（k2＋1）3＋4k2.同理，|CD|＝12⎝⎛⎭⎪⎫1k2＋13＋4k2＝12（k2＋1）3k2＋4.所以|AB|＋|CD|＝12（k2＋1）3＋4k2＋12（k2＋1）3k2＋4＝84（k2＋1）2（3＋4k2）（3k2＋4）＝487，解得k＝±1，所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k2[（y1＋y2）2－4y1y2](k为直线的斜率)．已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k＝1，求|AB|的最大值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝b2＋c2，ca＝63，2c＝22，解得a＝3，b＝1.所以椭圆M的方程为x23＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y＝x＋m，x23＋y2＝1，得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，所以x1＋x2＝－3m2，x1x2＝3m2－34.所以|AB|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2＝2（x2－x1）2＝2[（x1＋x2）2－4x1x2]＝12－3m22. 当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6.中点弦问题(多维探究) 角度一 由中点弦确定直线方程或曲线方程(1)已知椭圆x 22＋y 2＝1，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为________．(2)焦点是F (0，52)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为________．【解析】 (1)设弦的两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点为P (x 0，y 0)，通解：有x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1.两式作差，得（x 2－x 1）（x 2＋x 1）2＋(y 2－y 1)(y 2＋y 1)＝0.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 2－y 1x 2－x 1＝k AB ，代入后求得k AB ＝－x 02y 0. 即2＝－x 02y 0，所以x 0＋4y 0＝0.优解：由k AB ·k OP ＝－b 2a 2得2·y 0x 0＝－12，即x 0＋4y 0＝0.故所求的轨迹方程为x ＋4y ＝0，将x ＋4y ＝0代入x 22＋y 2＝1得：x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 42＝1，解得x＝±43，又中点在椭圆内，所以－43<x <43.(2)通解：设所求的椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线被椭圆所截弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题意，可得弦AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，且x 1＋x 22＝27，y 1＋y 22＝－37.将A ，B 两点坐标代入椭圆方程中，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21a 2＋x 21b2＝1，y 22a 2＋x22b 2＝1.两式相减并化简，得a 2b 2＝－y 1－y 2x 1－x 2×y 1＋y2x 1＋x 2＝－2×－6747＝3，所以a 2＝3b 2，又c 2＝a 2－b 2＝50，所以a 2＝75，b 2＝25，故所求椭圆的标准方程为y 275＋x 225＝1. 优解：设弦的中点为M ，由k AB ·k OM ＝－a 2b2得2×2×27－127＝－a 2b 2，得a 2＝3b 2，又c 2＝a 2－b 2＝50，所以a 2＝75，b 2＝25，所以所求的方程为y 275＋x 225＝1.【答案】 (1)x ＋4y ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫－43<x <43 (2)y 275＋x 225＝1 角度二 对称问题如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．【解】 设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.因为直线AB 过椭圆的左焦点F ，所以方程有两个不等实根，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，所以AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2.因为k ≠0，所以－12<x G <0，所以点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.(1)处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：(2)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意“如果点A ，B 关于直线l 对称，则l 垂直于直线AB 且A ，B 的中点在直线l 上”的应用．1．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3，1)，且被点P 平分的弦所在直线的方程是________．解析：设所求直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由于A ，B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0. 因为P (3，1)是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点， 所以x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2， 故k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34， 直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)，即3x ＋4y －13＝0. 答案：3x ＋4y －13＝02.已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．求实数m 的取值范围．解：由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2>0.①将线段AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2.②由①②得m <－63或m >63.椭圆与向量的综合问题(师生共研)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，O 为坐标原点，求△OCD 的面积．【解】 (1)因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为433，所以2b 2a ＝433.因为椭圆的离心率为33，所以c a ＝33， 又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，c ＝1，a ＝ 3. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (2)由(1)可知F (－1，0)， 则直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y 得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.又A (－3，0)，B (3，0)， 所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝± 2.从而x 1＋x 2＝－6×22＋3×2＝－32，x 1x 2＝3×2－62＋3×2＝0.所以|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－4×0＝32，|CD |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋2×32＝332.而原点O 到直线CD 的距离为d ＝|k |1＋k2＝21＋2＝63， 所以△OCD 的面积为S ＝12|CD |×d ＝12×332×63＝324.解决椭圆中与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系． (2)利用向量关系转化成相关的等量关系．(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．(2020·河南郑州二模)已知动点M 到两定点F 1(－m ，0)，F 2(m ，0)的距离之和为4(0<m <2)，且动点M 的轨迹曲线C 过点N ⎝⎛⎭⎪⎫3，12. (1)求m 的值；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与曲线C 有两个不同的交点A ，B ，且OA →·OB →＝2(O 为坐标原点)，求k 的值．解：(1)由0<m <2，得2m <4，可知：曲线C 是以两定点F 1(－m ，0)，F 2(m ，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，所以a ＝2，设曲线C 的方程为x 24＋y 2b2＝1，把点N ⎝⎛⎭⎪⎫3，12代入得34＋14b 2＝1，解得b 2＝1，由c 2＝a 2－b 2，解得c 2＝3，所以m ＝ 3.(2)由(1)知曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，消去y 得⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，则有Δ＝4k 2－1>0，得k 2>14.x 1＋x 2＝－82k 1＋4k 2，x 1x 2＝41＋4k2， 则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝6－4k21＋4k2＝2. 得k 2＝13>14，所以k 的值为±33.[基础题组练]1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )A ．至多为1B ．2C ．1D ．0解析：选B.由题意知，4m 2＋n2>2，即m 2＋n 2<2， 所以点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2.2．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3，2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A ．－23B ．－32C ．－49D ．－94解析：选A.设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则4x 21＋9y 21＝144，4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2＝k ，代入解得k ＝－23. 3．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( )A.223B ．423C. 2D ．2解析：选B.由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－13，所以|AB |＝423.4．(2020·石家庄质检)倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F ，与椭圆交于A ，B 两点，且AF →＝2FB →，则该椭圆的离心率为( )A.32 B ．23 C.22D ．33解析：选B.由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝x －c ，得(b 2＋a 2)y2＋2b 2cy －b 4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2b 2c a 2＋b2，y 1y 2＝－b4a 2＋b 2，又AF →＝2FB →，所以(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)，所以－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b2，－2y 22＝－b4a 2＋b 2.所以12＝4c2a 2＋b 2，所以e ＝23，故选B. 5．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选D.因为(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0，所以PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12，2mn ＝4，mn ＝2， 所以S △F 1PF 2＝12mn ＝1.6．已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．解析：由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0.则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝（1＋22）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.答案：5537．直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为________．解析：由点差法可求出k 1＝－12·x 中y 中，所以k 1·y 中x 中＝－12，即k 1k 2＝－12. 答案：－128.从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)，k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－ba，由于OP ∥AB ，所以－y 0c ＝－b a ，y 0＝bc a，把P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，bc a 代入椭圆方程得（－c ）2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a 2b 2＝1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12，所以e ＝c a ＝22.答案：229．已知椭圆E 的一个顶点为A (0，1)，焦点在x 轴上，若椭圆的右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离是3.(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与该椭圆交于另一点B ，当弦AB 的长度最大时，求直线l 的方程． 解：(1)由题意得b ＝1.右焦点(c ，0)(c >0)到直线x －y ＋22＝0的距离d ＝|c ＋22|2＝3，所以c ＝ 2.所以a ＝b 2＋c 2＝3，所以椭圆E 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，|AB |＝2，此时直线l 的方程为x ＝0.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 23＋y 2＝1得(1＋3k 2)x 2＋6kx ＝0，所以x A ＝0，x B ＝－6k1＋3k2， 所以|AB |＝1＋k 26|k |1＋3k 2，|AB |2＝36k 2（1＋k 2）（1＋3k 2）2.令t ＝1＋3k 2，t ∈(1，＋∞)，则|AB |2＝4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋1t＋1，所以当1t ＝14，即k 2＝1，得k ＝±1时，|AB |2取得最大值为92，即|AB |的最大值为322，此时直线l 的方程为y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.因为2<322，所以当弦AB 的长度最大时，直线l 的方程为y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.10．(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦点坐标分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 为椭圆C 上一点，满足3|PF 1|＝5|PF 2|且cos ∠F 1PF 2＝35.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两点，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，若|AQ |＝|BQ |，求k 的取值范围． 解：(1)由题意设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则3r 1＝5r 2，又r 1＋r 2＝2a ，所以r 1＝54a ，r 2＝34a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理得，cos ∠F 1PF 2＝r 21＋r 22－|F 1F 2|22r 1r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2－222×54a ×34a ＝35， 解得a ＝2，因为c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝kx ＋m，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k2，且Δ＝48(3＋4k 2－m 2)＞0，①设AB 的中点为M (x 0，y 0)，连接QM ，则x 0＝x 1＋x 22＝－4km 3＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝3m3＋4k2， 因为|AQ |＝|BQ |，所以AB ⊥QM ，又Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，M 为AB 的中点，所以k ≠0，直线QM 的斜率存在，所以k ·k QM ＝k ·3m3＋4k 2－4km 3＋4k 2－14＝－1，解得m ＝－3＋4k24k，②把②代入①得3＋4k 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋4k 24k 2，整理得16k 4＋8k 2－3＞0，即(4k 2－1)(4k 2＋3)＞0，解得k ＞12或k ＜－12，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.[综合题组练]1．(一题多解)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4，1)，则椭圆的离心率是( )A.12 B ．22 C.32D ．55解析：选C.法一：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.因为k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，且x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2，所以b 2a 2＝14，e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝32，故选C.法二：将直线方程x －y ＋5＝0代入x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，得(a 2＋b 2)x 2＋10a 2x ＋25a 2－a 2b2＝0，设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－10a2a 2＋b 2，又由中点坐标公式知x 1＋x 2＝－8，所以10a 2a 2＋b 2＝8，解得a ＝2b ，又c ＝a 2－b 2＝3b ，所以e ＝c a ＝32.故选C.2．(一题多解)(2020·广东深圳一模)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线与椭圆交于P ，Q 两点，PQ ⊥PF 1，且|QF 1|＝2|PF 1|，则△PF 1F 2与△QF 1F 2的面积之比为( )A ．2－ 3B ．2－1 C.2＋1D ．2＋ 3解析：选D.法一：可设|PF 1|＝t ，则|QF 1|＝2|PF 1|＝2t ， 由椭圆的定义可得|PF 2|＝2a －t ，|QF 2|＝2a －2t ， |PQ |＝4a －3t ，则|PQ |2＋|PF 1|2＝|QF 1|2，即(4a －3t )2＋t 2＝4t 2，即有4a －3t ＝3t ，解得t ＝43＋3a ，则△PF 1F 2与△QF 1F 2的面积之比为12|PF 1|·|PF 2|12|QF 1|·|QF 2|·sin 30°＝12·43＋3a ·2＋233＋3a 12·83＋3a ·23－23＋3a ·12＝1＋33－1＝2＋ 3.故选D.法二：同法一得出t ＝43＋3a ，则S △PF 1F 2S △QF 1F 2＝12|F 1F 2||y P |12|F 1F 2||y Q |＝|y P ||y Q |＝|PF 2||QF 2|＝2a －t2a －2t ＝2a －43＋3a2a －2×43＋3a＝（2＋23）a （23－2）a＝2＋ 3.故选D.3．(一题多解)(2020·安徽蚌埠一模)已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 23＝1的左，右焦点，点A的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，则∠F 1AF 2的平分线所在直线的斜率为________． 解析：法一：因为F 1，F 2是椭圆x 24＋y 23＝1的左，右焦点，所以F 1(－1，0)，F 2(1，0)，又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32， 所以AF 1⊥x 轴，所以|AF 1|＝32，则|AF 2|＝52，所以点F 2(1，0)关于l (∠F 1AF 2的平分线所在直线)对称的点F ′2在线段AF 1的延长线上，又|AF ′2|＝|AF 2|＝52，所以|F ′2F 1|＝1，所以F ′2(－1，－1)，线段F ′2F 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，所以所求直线的斜率为32－⎝⎛⎭⎪⎫－12－1－0＝－2.法二：如图．设∠F1AF2的平分线交x轴于点N，∠F1AN＝β，∠ANF2＝α.因为tan 2β＝|F1F2||AF1|＝232＝43＝2tan β1－tan2β，所以tan β＝12或－2(舍)．在Rt△AF1N中，tan β＝|F1N||AF1|，即|F1N|32＝12，所以|F1N|＝34，所以k l＝tan α＝tan(π－∠ANF1)＝－tan∠ANF1＝－|AF1||F1N|＝－3234＝－2.答案：－24.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为________．解析：设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，∠B1PA2为钝角可转化为B2A2→，F2B1→所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)<0，得b2<ac，即a 2－c 2<ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a－1>0即e 2＋e －1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，所以5－12<e <1.答案：⎝⎛⎭⎪⎫5－12，15．在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴、y 轴上滑动，CP →＝2PD →.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0，1)作直线与曲线E 相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，当点M 在曲线E 上时，求四边形AOBM 的面积．解：(1)设C (m ，0)，D (0，n )，P (x ，y )． 由CP →＝2PD →，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )．所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2（n －y ），得⎩⎨⎧m ＝（2＋1）x ，n ＝2＋12y ，由|CD →|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2， 所以(2＋1)2x 2＋（2＋1）22y 2＝(2＋1)2，整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM →＝OA →＋OB →， 知点M 的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 由题意知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得 (k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0， 则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋（y 1＋y 2）22＝1，即4k 2（k 2＋2）2＋8（k 2＋2）2＝1，解得k 2＝2. 这时|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝3[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝322，原点到直线AB 的距离d ＝11＋k2＝33， 所以平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝62. 6．(2020·郑州模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63，原点到过点A (0，－b )和B (a ，0)的直线的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)设F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，过F 2作直线交椭圆于P ，Q 两点，求△PQF 1内切圆半径r 的最大值．解：(1)直线AB 的方程为x a ＋y－b＝1， 即bx －ay －ab ＝0. 原点到直线AB 的距离为|－ab |（－a ）2＋b2＝32， 即3a 2＋3b 2＝4a 2b 2，① 由e ＝c a ＝63，得c 2＝23a 2，② 又a 2＝b 2＋c 2，③所以联立①②③可得a 2＝3，b 2＝1，c 2＝2. 故椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由(1)得F 1(－2，0)，F 2(2，0)， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．易知直线PQ 的斜率不为0，故设其方程为x ＝ky ＋2， 联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋2，x 23＋y 2＝1，(k 2＋3)y 2＋22ky －1＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－22kk 2＋3，y 1y 2＝－1k 2＋3.④而S △PQF 1＝S △F 1F 2P ＋S △F 1F 2Q ＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝ 2 （y 1＋y 2）2－4y 1y 2，⑤ 将④代入⑤，得S △PQF 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－22k k 2＋32＋4k 2＋3＝2 6 k 2＋1k 2＋3. 又S △PQF 1＝12(|PF 1|＋|F 1Q |＋|PQ |)·r ＝2a ·r ＝23r ，所以2 6 k 2＋1k 2＋3＝23r ，故r ＝ 2 k 2＋1k 2＋3＝2k 2＋1＋2k 2＋1≤12， 当且仅当k 2＋1＝2k 2＋1，即k ＝±1时取等号．故△PQF 1内切圆半径r 的最大值为12.。
数学(理)一轮复习 第八章 平面解析几何 第讲 椭 圆
第5讲 椭 圆）1．椭圆的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F 1，F 2M 点的 轨迹为 椭圆 F 1、F 2为椭圆的焦点 ｜MF 1|＋|MF 2|＝2a|F 1F 2｜为椭圆的焦距 2a ＞|F 1F 2|2。
椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 错误!＋错误!＝1（a ＞b ＞0） 错误!＋错误!＝1（a ＞b ＞0）图形性质 范围－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b －b ≤x ≤b －a ≤y ≤a 对称性对称轴：x 轴、y 轴 对称中心:(0，0） 顶点 A 1(－a ，0),A 2（a ，0) B 1(0，－b ），B 2(0，A 1（0,－a ），A 2(0，a )B 1(－b ，0），B 2（b ，b）0）轴长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝错误!，e∈（0,1）a,b，c的关系c2＝a 2－b21．辨明两个易误点（1）椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2｜这一条件，当2a＝|F1F2｜时，其轨迹为线段F1F2，当2a＜|F1F2|时,不存在轨迹．(2)求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置,而直接设方程为错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)．2．求椭圆标准方程的两种方法（1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．（2）待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a、b;若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B ＞0,A≠B）．1.错误!椭圆C：错误!＋错误!＝1的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A、B两点,则△F1AB的周长为（）A．12 B．16C．20 D．24C △F1AB的周长为|F1A｜＋|F1B|＋｜AB|＝|F1A｜＋｜F2A|＋|F1B|＋｜F2B|＝2a＋2a＝4a。
椭圆及其标准方程ppt课件
二、新课讲授，探究概念
思考2:如何求椭圆的方程？
探讨建立平面直
角坐标系的方案
y
y
y
M
y
F2
M
O
F1
O
O F2
x
O
方案一
x
x x
F1
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁”
二、新课讲授，探究概念
y
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段
M
F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角
(, 0)
2
2
x
y
2 1
2
a
b
y
M
(a b 0)
它表示：
F1
0
F2
① 椭圆的焦点在轴
② 焦点坐标为1 (−, 0)，2 (, 0)
③ 2 − 2 = 2
思考：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程
是怎样的呢？
x
二、新课讲授，探究概念
y
焦点在轴上的椭圆的标准方程：
2
2
y
x
2 1
椭圆及其标准方程
年
级：高二年级
学
科：数学（人教A版）
一、新课引入，图片感知
压扁
一、新课引入，图片感知
二、新课讲授，探究概念
M
F1
F2
椭圆的产生
二、新课讲授，探究概念
思考1:
1.在椭圆形成的过程中，绳子的两端是固定的还是运动的？
M
F1F2 2c
F1
F2
2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？
2
a
b
(a b 0)
5 第5讲 椭 圆
第5讲椭圆1．椭圆的定义条件结论1结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为椭圆F1、F2为椭圆的焦点|F1F2|为椭圆的焦距|MF1|＋|MF2|＝2a 2a＞|F1F2|标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：(0，0)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca，e∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2已知点P(x0，y0)，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.4．椭圆中四个常用结论(1)P 是椭圆上一点，F 为椭圆的焦点，则|PF |∈[a －c ，a ＋c ]，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a ＋c ，最小值为a －c ；(2)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2b 2a，通径是最短的焦点弦；(3)P 是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F 1，F 2为椭圆的两焦点，则△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )．(4)设P ，A ，B 是椭圆上不同的三点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为定值－b 2a2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( ) (3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (5)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√(教材习题改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 解析：选D.右焦点为F (1，0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1.又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同离心率的椭圆方程是( )A.y 29＋x 24＝1 B.x 236＋y 225＝1 C.y 236＋x 225＝1 D.x 236＋y 211＝1 解析：选A.椭圆y 29＋x 24＝1与已知椭圆的长轴长和短轴长分别相等，因此两椭圆的形状、大小完全一样，只是焦点所在坐标轴不同，故两个椭圆的离心率相同． 若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，解得3<k <5且k ≠4.答案：(3，4)∪(4，5)(教材习题改编)椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A 、B 两点，则△F 1AB 的周长为________． 解析：△F 1AB 的周长为 |F 1A |＋|F 1B |＋|AB |＝|F 1A |＋|F 2A |＋|F 1B |＋|F 2B | ＝2a ＋2a ＝4a .在椭圆x 225＋y 216＝1中，a 2＝25，a ＝5，所以△F 1AB 的周长为4a ＝20. 答案：20椭圆的定义及应用[典例引领](1)(2018·豫北六校联考)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |，且|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，则|AF 2|＝________．(2)(2018·徐州模拟)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________． 【解析】 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3， 因为△ABF 2的周长为16，所以4a ＝16，所以a ＝4.则|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8， 所以|AF 2|＝8－|AF 1|＝8－3＝5. (2)设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2， 所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，所以b ＝3.【答案】 (1)5 (2)3本例(2)中增加条件“△PF 1F 2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程． 解：由原题得b 2＝a 2－c 2＝9，又2a ＋2c ＝18，所以a －c ＝1，解得a ＝5，故椭圆的方程为x 225＋y 29＝1.(1)椭圆定义的应用范围①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆． ②解决与焦点有关的距离问题． (2)焦点三角形的结论椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫作焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ. ①|PF 1|＋|PF 2|＝2a .②4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ. ③焦点三角形的周长为2(a ＋c )．④S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝b 2·sin θ1＋cos θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2取最大值，为bc .已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2，0)，线段AN的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：选B.点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|P A |＝|PN |.又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|P A |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，P 的轨迹是椭圆．椭圆的标准方程[典例引领](待定系数法)(1)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( ) A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 28＋y 24＝1 (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为( )A.x 220＋y 24＝1 B.x 225＋y 24＝1 C.y 220＋x 24＝1 D.x 24＋y 225＝1 【解析】 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12，得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆方程为x 28＋y26＝1.(2)设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 29－k ＝1(k <9)，将点(3，－5)的坐标代入可得（－5）225－k ＋（3）29－k＝1，解得k ＝5(k ＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.【答案】 (1)A (2)C[提醒] 当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，且A ≠B )．[通关练习]1．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则该椭圆的方程为________．解析：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )．因为椭圆经过P 1，P 2两点，所以P 1，P 2点坐标适合椭圆方程，则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1，①3m ＋2n ＝1，②①②两式联立，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝13.所以所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1.答案：x 29＋y 23＝12．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C 的方程是________________． 解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ＝2∶3，c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝1椭圆的几何性质(高频考点)椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大．高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)由椭圆的方程研究其性质； (2)求椭圆离心率的值(范围)； (3)由椭圆的性质求参数的值(范围)．[典例引领]角度一 由椭圆的方程研究其性质已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的焦点坐标为( ) A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±3，0)或(±5，0)D ．(0，±3)或(±5，0)【解析】 因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，即m ＝4，所以椭圆x 2＋y 24＝1的焦点坐标为(0，±3)，故选B.【答案】 B角度二 求椭圆离心率的值(范围)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为 ( ) A.63 B.33C.23D.13【解析】 以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝2abb 2＋a 2＝a ，得a 2＝3b 2，所以C 的离心率e ＝1－b 2a 2＝63，选A. 【答案】 A角度三 由椭圆的性质求参数的值(范围)已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m 等于( ) A ．2 B ．2或83C ．2或6D ．2或8【解析】 显然m >0且m ≠4，当0<m <4时，椭圆长轴在x 轴上，则1m －141m＝22，解得m ＝2；当m >4时，椭圆长轴在y 轴上，则14－1m 14＝22，解得m ＝8. 【答案】 D(1)求椭圆离心率的方法①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式e ＝ca＝1－b 2a2直接求解． ②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路①将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系． ②将所求范围用a ，b ，c 表示，利用a ，b ，c 自身的范围、关系求范围．[通关练习]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( ) A ．(－3，0) B ．(－4，0) C ．(－10，0)D ．(－5，0)解析：选D.因为圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1， 所以圆心坐标为(3，0)，所以c ＝3.又b ＝4， 所以a ＝b 2＋c 2＝5. 因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以椭圆的左顶点为(－5，0)．2．(2018·新余模拟)椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是( ) A ．e ≤12B ．e ≥14C.14≤e ≤12D ．0<e ≤14或12≤e <1解析：选C.因为椭圆C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，所以|PF 1|＝32×2c ＝3c .由a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ，解得14≤c a ≤12.所以椭圆C 的离心率e 的取值范围是⎣⎡⎦⎤14，12.3．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．8解析：选C.由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1，0)，点O (0，0)，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝⎛⎭⎫1－x 24 ＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2， 当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.直线与椭圆的位置关系[典例引领](2017·高考北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5. 【解】 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝ 3.所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m ，n )，则D (m ，0)，N (m ，－n )． 由题设知m ≠±2，且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2，故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n .所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n(x －m )． 直线BN 的方程为y ＝n2－m(x －2)．联立⎩⎨⎧y ＝－m ＋2n （x －m ），y ＝n2－m （x －2），解得点E 的纵坐标y E＝－n （4－m 2）4－m 2＋n 2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2， 所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |，所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.(1)直线与椭圆位置关系判断的步骤①联立直线方程与椭圆方程；②消元得出关于x (或y )的一元二次方程；③当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．(2)直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则 |AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率，k ≠0)． 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求直线的方程．解：(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝⎛⎭⎫1，32， 所以1a 2＋94b 2＝1.①又因为离心率为12，所以c a ＝12，所以b 2a 2＝34.②解①②得a 2＝4，b 2＝3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线的倾斜角为π2时，A ⎝⎛⎭⎫－1，32，B ⎝⎛⎭⎫－1，－32， S △ABF 2＝12|AB |·|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠1227.当直线的倾斜角不为π2时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)，代入x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以S △ABF 2＝12|y 1－y 2|×|F 1F 2|＝|k |（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝|k |⎝⎛⎭⎫－8k 24k 2＋32－4·4k 2－124k 2＋3＝12|k |k 2＋14k 2＋3＝1227，所以17k 4＋k 2－18＝0，解得k 2＝1⎝⎛⎭⎫k 2＝－1817舍去， 所以k ＝±1，所以所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法)．先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a 2，b 2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程．若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )与椭圆有关的最值问题，在转化为函数求最值时，一定注意函数的定义域． 易错防范(1)判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2与y 2的分母大小．(2)在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e ∈(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根．(3)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0<e <1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．1．已知椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的焦点在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选A.因为椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的焦点在x 轴上．所以⎩⎪⎨⎪⎧10－m >0，m －2>0，m －2>10－m ，解得6<m <10.因为焦距为4，所以c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.2．(2018·湖北武汉模拟)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( ) A.x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 解析：选B.因为a ＝4，e ＝34，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.3．(2018·湖北八校联考)设F 1，F 2分别为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59解析：选B.由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，因为OM ⊥F 1F 2，所以PF 2⊥F 1F 2，所以|PF 2|＝b 2a ＝53.又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 1|＝2a－|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.4．(2018·湖南百校联盟联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A 、B ，左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M 、N 两点．若四边形F AMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )A.35B.12C.23D.34解析：选A.因为圆O 与直线BF 相切，所以圆O 的半径为bc a ，即OC ＝bca ，因为四边形F AMN是平行四边形，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫a ＋c 2，bc a ，代入椭圆方程得（a ＋c ）24a 2＋c 2b 2a 2b 2＝1，所以5e 2＋2e －3＝0，又0<e <1，所以e ＝35.故选A.5．设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎤0，33 C.⎣⎡⎭⎫22，1D.⎣⎡⎭⎫33，1解析：选D.由题意可设P ⎝⎛⎭⎫a2c ，y ，因为PF 1的中垂线过点F 2，所以|F 1F 2|＝|F 2P |，即2c ＝ ⎝⎛⎭⎫a 2c －c 2＋y 2，整理得y 2＝3c 2＋2a 2－a 4c 2. 因为y 2≥0，所以3c 2＋2a 2－a 4c 2≥0， 即3e 2－1e 2＋2≥0，解得e ≥33.所以e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.6．(2018·贵阳模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意可知e ＝c a ＝32，2b ＝4，得b ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2＝4＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝23，所以椭圆的标准方程为x 216＋y 24＝1.答案：x 216＋y 24＝17．设F 1，F 2是椭圆x 249＋y 224＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为________．解析：因为|PF 1|＋|PF 2|＝14， 又|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3， 所以|PF 1|＝8，|PF 2|＝6. 因为|F 1F 2|＝10，所以PF 1⊥PF 2.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×8×6＝24.答案：248．(2018·海南海口模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－c ，0)，右顶点为A ，上顶点为B ，现过A 点作直线F 1B 的垂线，垂足为T ，若直线OT (O 为坐标原点)的斜率为－3bc ，则该椭圆的离心率为________．解析：因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 和F 1点坐标分别为(a ，0)，(0，b )，(－c ，0)，所以直线BF 1的方程是y ＝b c x ＋b ，OT 的方程是y ＝－3bc x .联立解得T 点坐标为⎝⎛⎭⎫－c 4，3b 4，直线AT 的斜率为－3b 4a ＋c .由AT ⊥BF 1得，－3b 4a ＋c ·b c ＝－1，因为a 2＝b 2＋c 2，e ＝ca ，所以e ＝12.答案：129．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t 1或y 24＋x 23＝t 2(t 1，t 2＞0)，因为椭圆过点(2，－3)，所以t 1＝224＋（－3）23＝2，或t 2＝（－3）24＋223＝2512.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，（2c ）2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，所以b 2＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.10．(2018·兰州市诊断考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(2，1)，且离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON (O 为坐标原点)的斜率之积为－12.若动点P 满足OP→＝OM →＋2ON →，求点P 的轨迹方程． 解：(1)因为e ＝22，所以b 2a 2＝12，又椭圆C 经过点(2，1)，所以2a 2＋1b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →得x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2， 因为点M ，N 在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 1x 2＋4x 22)＋2(y 21＋4y 1y 2＋4y 22)＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM 与ON 的斜率，由题意知， k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20，故点P 的轨迹方程为x 220＋y 210＝1.1．(2017·高考全国卷Ⅰ)设A 、B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0，1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0，1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)解析：选A.依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧3m≥tan∠AMB 20<m <3或 ⎩⎪⎨⎪⎧m 3≥tan ∠AMB 2m >3，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m ≥tan 60°0<m <3 或⎩⎪⎨⎪⎧m 3≥tan 60°m >3，解得0<m ≤1或m ≥9.故选A. 2．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点．则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________． 解析：如图所示，设椭圆右焦点为F 1，则|PF |＋|PF 1|＝6. 所以|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6.利用－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)． 所以|P A |＋|PF |≤6＋2，|P A |＋|PF |≥6－ 2. 故|P A |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2. 答案：6＋2 6－ 23．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴， 所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点， 故b 2a ＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28， 故a ＝7，b ＝27.4．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →. (1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．解：(1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由题意知a ＝2，b ＝c ， 又a 2＝b 2＋c 2， 则b ＝2，所以椭圆的方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m . 则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0.由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk 2＋k 2x 1x 2＝m 2－42＋k2，又由AP →＝2PB →，即(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )，得－x 1＝2x 2，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，可得m 2－42＋k 2＝－2⎝⎛⎭⎫2mk 2＋k 22， 整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时不符合题意， 所以k 2＝8－2m 29m 2－4>0，解得49<m 2<4，此时Δ>0，解不等式49<m 2<4，得23<m <2或－2<m <－23， 所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫23，2.。
数学一轮复习第八章解析几何第五讲椭圆学案含解析
第五讲椭圆知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数（大于|F1F 2｜)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__,两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．注:若集合P＝｛M｜｜MF1｜＋|MF2｜＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：（1）若a＞c，则集合P为__椭圆__；(2）若a＝c，则集合P为__线段F1F2__;（3）若a＜c，则集合P为__空集__．知识点二椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点错误!错误!错误!错误!1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值．2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦｜AB｜＝错误!，称为通径．3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a．4．e＝错误!．5．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大,椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．6．AB为椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的弦，A(x1，y1),B（x2,y2）,弦中点M(x0，y0),则（1）弦长l＝错误!|x1－x2｜＝错误!|y1－y2｜；（2）直线AB的斜率k AB＝－错误!．7．若M、N为椭圆错误!＋错误!＝1长轴端点，P是椭圆上不与M、N重合的点,则K PM·K PN＝－错误!．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×"）（1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×）(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆．(×)（3)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0,m≠n）表示的曲线是椭圆．(√）(4）错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)与错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)的焦距相同．(√)题组二走进教材2．(必修2P42T4）椭圆x210－m＋错误!＝1的焦距为4，则m等于(C）A．4 B．8C．4或8 D．12［解析］当焦点在x轴上时,10－m＞m－2＞0,10－m－(m－2)＝4,∴m＝4．当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）＝4，∴m＝8．∴m＝4或8．3．(必修2P68A组T3）过点A（3，－2）且与椭圆错误!＋错误!＝1有相同焦点的椭圆的方程为(A)A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1题组三走向高考4．(2018·课标全国Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点，P是C 上的一点，若PF1⊥PF2,且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(D）A．1－错误!B．2－错误!C．错误!D．错误!－1［解析］设|PF2｜＝x，则｜PF1｜＝3x，｜F1F2｜＝2x，故2a＝｜PF1|＋|PF2｜＝(1＋错误!）x，2c＝|F1F2｜＝2x，于是离心率e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!－1．5．（2019·课标Ⅰ，10）已知椭圆C的焦点为F1（－1，0)，F2(1,0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2｜F2B|，｜AB|＝|BF1｜,则C的方程为（B)A．x22＋y2＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1［解析]设｜F2B|＝x（x＞0），则｜AF2|＝2x，｜AB|＝3x，｜BF1｜＝3x,|AF1｜＝4a－(｜AB｜＋|BF1｜)＝4a－6x,由椭圆的定义知｜BF1|＋｜BF2|＝2a＝4x，所以|AF1｜＝2x．在△BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2｜2－2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1，即9x2＝x2＋22－4x·cos∠BF2F1,①在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2＝|AF2|2＋｜F1F2|2－2｜AF2｜·｜F1F2|cos∠AF2F1，即4x2＝4x2＋22＋8x·cos∠BF2F1，②由①②得x＝错误!，所以2a＝4x＝2错误!，a＝错误!,所以b2＝a2－c2＝2．所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝1．故选B．考点突破·互动探究考点一椭圆的定义及应用——自主练透例1 (1）(2021·泉州模拟)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是（B)A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线（2）已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1）是一定点．则|PA|＋｜PF｜的最大值和最小值分别为__6＋错误!，6－错误!__．(3)已知F1，F2是椭圆C：错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°．若△PF1F2的面积为3错误!，则b＝__3__．［解析]（1）如图所示，由题知｜PF1｜＋｜PF2|＝2a，设椭圆方程：错误!＋错误!＝1(其中a＞b＞0）．连接MO，由三角形的中位线可得:｜F1M|＋｜MO|＝a（a＞|F1O｜），则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆．(2）如下图所示，设椭圆右焦点为F1，则｜PF|＋|PF1｜＝6．∴|PA|＋|PF|＝｜PA｜－|PF1|＋6．由椭圆方程x29＋y25＝1知c＝错误!＝2，∴F1（2，0),∴|AF1｜＝错误!．利用－｜AF1|≤|PA|－｜PF1｜≤|AF1|(当P、A、F1共线时等号成立)．∴｜PA|＋|PF｜≤6＋错误!，|PA|＋｜PF|≥6－错误!．故|PA|＋｜PF｜的最大值为6＋2，最小值为6－错误!．（3）｜PF1|＋｜PF2｜＝2a,又∠F1PF2＝60°,所以｜PF1|2＋｜PF2|2－2｜PF1||PF2｜cos 60°＝|F1F2|2，即(｜PF1|＋|PF2|）2－3|PF1｜|PF2｜＝4c2，所以3｜PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，所以｜PF1||PF2｜＝错误!b2，又因为S△PF1F2＝错误!｜PF1|｜PF2|sin 60°＝错误!×错误!b2×错误!＝错误!b2＝3错误!，所以b＝3．故填3．［引申］本例(2）中，若将“A(1,1）”改为“A(2，2)”，则｜PF｜－|PA|的最大值为__4__，|PF｜＋|PA|的最大值为__8__．［解析]设椭圆的右焦点为F1，则∵｜PF1｜＋|PA|≥|AF1|＝2（P在线段AF1上时取等号），∴｜PF|－|PA|＝6－（｜PF1|＋｜PA｜）≤4,∵|PA|－|PF1|≤｜AF1|＝2，(当P在AF1延长线上时取等号),∴｜PF|＋｜PA｜＝6＋｜PA｜－|PF1|≤8．名师点拨(1)椭圆定义的应用范围:①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题．(2)焦点三角形的应用：椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1｜｜PF2｜；通过整体代入可求其面积等．〔变式训练1〕（1)(2021·大庆模拟)已知点M（3，0)，椭圆错误!＋y2＝1与直线y＝k（x＋错误!）交于点A、B,则△ABM的周长为__8__．（2）(2019·课标Ⅲ,15）设F1，F2为椭圆C：错误!＋错误!＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为__(3，错误!)__．（3）(2021·河北衡水调研)设F1、F2分别是椭圆错误!＋错误!＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6，4),则｜PM|－｜PF1|的最小值为__－5__．［解析]（1)直线y＝k（x＋错误!）过定点N(－错误!，0)．而M、N恰为椭圆错误!＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8．（2）因为F1,F2分别是椭圆C的左，右焦点，由M点在第一象限，△MF1F2是等腰三角形，知｜F1M｜＝｜F1F2|,又由椭圆方程错误!＋错误!＝1，知｜F1F2|＝8，｜F1M｜＋｜F2M｜＝2×6＝12，所以|F1M｜＝|F1F2|＝8，所以｜F2M|＝4．设M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则错误!解得x0＝3，y0＝错误!,即M(3，错误!)．（3)由题意可知F2(3，0)，由椭圆定义可知|PF1|＝2a－|PF2|．∴｜PM｜－|PF1｜＝|PM｜－(2a－|PF2|)＝｜PM|＋|PF2｜－2a≥｜MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又｜MF2|＝错误!＝5,2a＝10,∴｜PM|－|PF2|≥5－10＝－5，即|PM｜－|PF1|的最小值为－5．考点二椭圆的标准方程——师生共研例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：（1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0）；(2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为错误!；（3）经过点P(－2错误!,1)，Q（错误!，－2）两点;（4）与椭圆错误!＋错误!＝1有相同离心率，且经过点(2，－错误!)．［解析］（1）若焦点在x轴上，设方程为错误!＋错误!＝1（a ＞b＞0)．∵椭圆过点A（3，0），∴错误!＝1,∴a＝3．∵2a＝3×2b,∴b＝1．∴方程为错误!＋y2＝1．若焦点在y轴上，设方程为错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)．∵椭圆过点A（3，0），∴9b2＝1,∴b＝3．又2a＝3×2b，∴a＝9．∴方程为错误!＋错误!＝1．综上所述,椭圆方程为错误!＋y2＝1或错误!＋错误!＝1．(2)由已知，有错误!解得错误!从而b2＝a2－c2＝9．∴所求椭圆方程为x212＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1．（3）设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n)，∵点P(－2错误!，1），Q(错误!，－2）在椭圆上，∴错误!解得m＝错误!，n＝错误!．故椭圆方程为错误!＋错误!＝1．（4）若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为错误!＋错误!＝t（t＞0)，将点（2,－错误!）代入,得t＝错误!＋错误!＝2．故所求方程为错误!＋错误!＝1．若焦点在y轴上，设方程为错误!＋错误!＝λ(λ＞0）代入点（2，－3），得λ＝错误!，∴所求方程为错误!＋错误!＝1．综上可知椭圆方程为x28＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1．名师点拨(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a＞|F1F2|这一条件．(2)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤:①作判断：根据条件判断焦点的位置;②设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠0)；③找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；④求解,得方程．（3）椭圆的标准方程的两个应用①方程错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)与错误!＋错误!＝λ（λ＞0)有相同的离心率．②与椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）共焦点的椭圆系方程为错误!＋错误!＝1（a＞b＞0，k＋b2＞0），恰当运用椭圆系方程,可使运算简便．〔变式训练2〕(1)“2＜m＜6”是“方程错误!＋错误!＝1表示椭圆”的(B）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2)(2021·广东深圳二模)已知椭圆C：x2a2＋错误!＝1(a＞0)的右焦点为F,O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足｜OF|＝|FP|，则C的方程为（D)A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1[解析](1）错误!＋错误!＝1表示椭圆⇔错误!⇔2＜m＜6且m≠4，∴“2＜m＜6”是方程“错误!＋错误!＝1表示椭圆”的必要不充分条件,故选B．(2)根据对称性知P在x轴上，|OF｜＝|FP|，故a＝2c,a2＝3＋c2，解得a＝2，c＝1,故椭圆方程为：错误!＋错误!＝1．故选：D．考点三,椭圆的几何性质-—师生共研例3 （1)(2017·全国）椭圆C的焦点为F1(－1,0），F2(1，0）,点P在C上，F2P＝2，∠F1F2P＝错误!，则C的长轴长为(D）A．2 B．2错误!C．2＋错误!D．2＋2错误!(2)（2021·河北省衡水中学调研）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的错误!，则该椭圆的离心率为(B）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!（3)(2021·广东省期末联考)设F1，F2分别是椭圆错误!＋错误!＝1(a ＞b＞0）的左、右焦点,若在直线x＝错误!上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（D)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析](1）椭圆C的焦点为F1(－1，0),F2（1,0），则c＝1，∵｜PF2|＝2，∴|PF1｜＝2a－|PF2|＝2a－2，由余弦定理可得|PF1｜2＝｜F1F2｜2＋|PF2｜2－2|F1F2|·|PF2｜·cos 错误!，即(2a－2)2＝4＋4－2×2×2×错误!，解得a＝1＋错误!，a＝1－错误!（舍去），∴2a＝2＋2错误!，故选D．（2）不妨设直线l:错误!＋错误!＝1,即bx＋cy－bc＝0⇒椭圆中心到l的距离错误!＝错误!⇒e＝错误!＝错误!，故选B．(3)如图F2H⊥PF1，∴|F1F2|＝|PF2|，由题意可知错误!－c≤2c,∴e2＝错误!≥错误!，即e≥错误!，又0＜e＜1,∴错误!≤e＜1．故选D．名师点拨椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率,常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．椭圆离心率的范围问题一般借助几何量的取值范围求解，遇直线与椭圆位置关系通常由直线与椭圆方程联立所得方程判别式Δ的符号求解．求椭圆离心率的取值范围的方法方法解读适合题型几何法利用椭圆的几何性质，如|x|≤a，｜y|≤b，0＜e＜1,建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立题设条件有明显的几何关系〔变式训练3〕(1）（2017·全国卷Ⅲ）已知椭圆C：x2a2＋错误!＝1（a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1,A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx －ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(A）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(2）（2021·内蒙古呼和浩特市质检)已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上的动点，若∠A1PA2的最大可以取到120°，则椭圆C的离心率为（D）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(3）已知F1，F2是椭圆x2a2＋错误!＝1(a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是__错误!__．[解析](1）由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0，0),半径为a．又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝错误!＝a，解得a＝错误!b,∴ba＝错误!，∴e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!．故选A．（2）当P为短轴端点时∠A1PA2最大,由题意可知错误!＝tan 60°＝错误!，∴错误!＝错误!,∴e＝错误!＝错误!，故选D．(3)由题意可知当P为椭圆短轴端点时∠OPF1＝∠OPF2≥45°，即c≥b,∴c2≥a2－c2，∴错误!≥错误!，即e≥错误!，又0＜e＜1,∴错误!≤e＜1．考点四,直线与椭圆—-多维探究角度1直线与椭圆的位置关系例4 若直线y＝kx＋1与椭圆x25＋错误!＝1总有公共点，则m的取值范围是(D)A．m＞1 B．m＞0C．0＜m＜5且m≠1D．m≥1且m≠5［解析]解法一：由于直线y＝kx＋1恒过点（0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则0＜错误!≤1且m≠5，故m≥1且m≠5．故选D．解法二：由错误!消去y整理得（5k2＋m)x2＋10kx＋5（1－m)＝0．由题意知Δ＝100k2－20（1－m)（5k2＋m）≥0对一切k∈R 恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，∴错误!，即m≥1,又m≠5，∴m≥1且m≠5．故选D．角度2中点弦问题例5 （1）(2021·湖北省宜昌市调研）过点P（3，1）且倾斜角为错误!的直线与椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)相交于A,B两点，若AP→＝错误!，则该椭圆的离心率为（C）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(2)已知椭圆错误!＋y2＝1,点P错误!，则以P为中点的椭圆的弦所在直线的方程为__2x＋4y－3＝0__．[解析］（1)由题意可知P为AB的中点,且k AB＝－1，设A （x1，y1)，B（x2,y2)，则错误!＋错误!＝1,错误!＋错误!＝1，两式相减得错误!＝－错误!，∴k AB＝错误!＝－错误!＝－错误!＝－1，即错误!＝错误!，∴e ＝错误!＝错误!,故选C ．(2)设弦的两端点为A (x 1，y 1),B (x 2，y 2),中点为M （x 0,y 0），则有错误!＋y 错误!＝1，错误!＋y 错误!＝1．两式作差，得错误!＋（y 2－y 1）（y 2＋y 1）＝0．∵x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，错误!＝k AB ,代入后求得k AB ＝－错误!＝－错误!，∴其方程为y －错误!＝－错误!错误!,即2x ＋4y －3＝0．角度3 弦长问题例6 已知椭圆E ：x 2a 2＋错误!＝1(a ＞b ＞0）经过点P 错误!，椭圆E 的一个焦点为(3，0）．（1）求椭圆E 的方程；（2)若直线l 过点M （0，错误!)且与椭圆E 交于A ，B 两点，求｜AB |的最大值．[解析] （1)依题意，设椭圆E 的左、右焦点分别为F 1（－错误!，0),F 2(3，0)．由椭圆E 经过点P 错误!，得|PF 1｜＋|PF 2｜＝4＝2a ，∴a ＝2,c ＝错误!，∴b 2＝a 2－c 2＝1．∴椭圆E 的方程为错误!＋y 2＝1．（2）当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A(x1，y1），B(x2,y2）．由错误!得(1＋4k2)x2＋8错误!kx＋4＝0．由Δ＞0得(8错误!k）2－4（1＋4k2)×4＞0，∴4k2＞1．由x1＋x2＝－错误!,x1x2＝错误!得|AB|＝错误!·错误!＝2错误!．设t＝11＋4k2，则0＜t＜错误!，∴|AB|＝2错误!＝2错误!≤错误!，当且仅当t＝错误!时等号成立．当直线l的斜率不存在时,|AB｜＝2＜错误!．综上,｜AB|的最大值为错误!．名师点拨直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略（1）直线与椭圆位置关系的判断方法①联立方程，借助一元二次方程的判别式Δ来判断；②借助几何性质来判断．（2)求椭圆方程或有关几何性质．可依据条件寻找满足条件的关于a,b，c的等式,解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质．(3)关于弦长问题．一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1），B（x2，y2),则｜AB|＝错误!＝错误!（其中k为直线斜率）．提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．（4)对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解．若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A（x1，y1)，B（x2，y2)，代入曲线方程,通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2,x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系．注意答题时不要忽视对判别式的讨论．〔变式训练4〕(1)(角度1)直线y＝kx＋k＋1与椭圆错误!＋错误!＝1的位置关系是__相交__．（2）（角度2）(2021·广东珠海期末）已知椭圆错误!＋错误!＝1(a ＞b＞0）的右焦点为F，离心率错误!,过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB中点为(1,1），则直线l的斜率为（D）A．2 B．－2C．错误!D．－错误!(3）(角度3)斜率为1的直线l与椭圆错误!＋y2＝1相交于A，B 两点，则|AB|的最大值为(C)A．2 B．错误!C．错误!D．错误![解析］(1)由于直线y＝kx＋k＋1＝k（x＋1)＋1过定点（－1,1），而（－1，1）在椭圆内，故直线与椭圆必相交．(2）因为错误!＝错误!,∴4c2＝2a2，∴4（a2－b2)＝2a2，∴a2＝2b2,设A（x1，y1)，B(x2，y2），且x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，错误!,相减得b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，所以2b2(x1－x2)＋2a2（y1－y2)＝0，所以2b2＋4b2错误!＝0，所以1＋2k＝0，∴k＝－错误!，选D．(3）设A,B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2）,直线l的方程为y＝x＋t，由错误!消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0,则x1＋x2＝－错误!t，x1x2＝错误!．∴|AB｜＝错误!｜x1－x2|＝1＋k2·错误!＝2·错误!＝错误!·错误!,当t＝0时，|AB｜max＝错误!．故选C．名师讲坛·素养提升利用换元法求解与椭圆相关的最值问题例7如图,焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝1的离心率e＝错误!，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点,则错误!·错误!的最大值为__4__．[解析］e2＝错误!＝1－错误!＝1－错误!＝错误!，∴b2＝3,∴椭圆方程为x24＋错误!＝1,且F（－1,0）,A(2，0),设P（2sin θ，错误!cos θ)，则错误!·错误!＝（－1－2sin θ，－错误!cos θ）·（2－2sin θ，－错误!cos θ）＝sin2θ－2sin θ＋1＝（sin θ－1）2≤4．当且仅当sin θ＝－1时取等号，故错误!·错误!的最大值为4．另解：设P（x，y），由上述解法知错误!·错误!＝（－1－x，－y）·（2－x，－y）＝x2＋y2－x－2＝错误!（x－2）2（－2≤x≤2)，显然当x ＝－2时,错误!·错误!最大且最大值为4．名师点拨遇椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)上的点到定点或定直线距离相关的最值问题，一般用三角换元法求解,即令x＝a sin θ,y＝b cos θ，将其化为三角最值问题．〔变式训练5〕椭圆错误!＋错误!＝1上的点到直线x＋2y－错误!＝0的最大距离是（D)A．3 B．11C．2错误!D．错误!［解析]设椭圆错误!＋错误!＝1上的点P(4cos θ,2sin θ)，则点P 到直线x＋2y－2＝0的距离为d＝错误!＝错误!，∴d max＝错误!＝错误!．。
高三数学椭圆讲解
高三数学椭圆讲解一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务是针对高三学生进行椭圆部分的数学知识讲解。
椭圆作为解析几何中的重要内容，不仅在数学领域有着广泛的应用，同时也与现实生活紧密相连。
通过本节课的学习，使学生能够掌握椭圆的定义、标准方程及其性质，并能运用相关知识解决实际问题。
2、教学对象本节课的教学对象为高三学生，他们在经过前两年的数学学习后，已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。
此外，学生在学习椭圆之前，已经接触过圆、直线等基本几何图形，对于几何图形的解析方法有一定的了解，这为椭圆的学习奠定了基础。
然而，椭圆相较于其他几何图形具有一定的复杂性和抽象性，因此，在教学过程中，需要关注学生的接受程度，采用适当的教学策略，引导他们逐步理解和掌握椭圆的相关知识。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程；（2）掌握椭圆的几何性质，如顶点、焦点、离心率等，并能运用性质解决相关问题；（3）能够运用椭圆知识解决实际应用问题，如椭圆轨道、椭圆截面等；（4）提高学生的逻辑思维能力和空间想象能力，培养他们将实际问题转化为数学问题的能力。
2、过程与方法（1）通过引导学生自主探究椭圆的定义，培养他们主动发现问题的能力；（2）采用问题驱动的教学方法，引导学生从特殊到一般、从具体到抽象的思考过程，培养他们的逻辑思维能力；（3）通过小组合作、讨论交流，培养学生合作解决问题的能力，激发他们的学习兴趣；（4）运用数形结合的方法，将椭圆的几何性质与代数表达式相结合，提高学生的空间想象能力；（5）设计丰富的例题和练习，使学生在实践中掌握椭圆知识，提高解题技巧。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发他们主动学习的积极性；（2）通过椭圆的学习，让学生体会数学的优美和严谨，培养他们追求真理的精神；（3）引导学生认识到数学知识在实际生活中的广泛应用，增强他们的应用意识；（4）培养学生面对困难时勇于挑战、坚持不懈的精神，使他们具备克服挫折的能力；（5）通过小组合作学习，培养学生团结协作、互帮互助的品质，提高他们的人际沟通能力。
2019届高考复习(理科)：第9章 第5讲 椭圆 第1课时 椭圆的定义、标准方程及其几何性质
栏目 导引
第九章
平面解析几何
x 2 y2 → → P 是椭圆 ＋ ＝1 上一点，F 1，F 2 是两焦点，则PF 1·PF 2 5 4 的范围为________．
x2 y2 解析：设 P(x，y)，则 ＋ ＝1， 5 4 因为 F1(－1，0)，F2(1，0)， → → 所以PF1·PF2＝(－1－x，－y)· (1－x，－y) ＝x2＋y2－1
栏目 导引
第九章
平面解析几何
x2 y2 (2)设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)．由点(2， 3)在椭 a b 4 3 圆上知 2＋ 2＝1.① a b 又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|， 即 2a＝2· 2c，a＝2c，② 由①②及 c2＝a2－b2，得 a2＝8，b2＝6. x2 y2 所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 8 6
(2)集合表示： 若集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}， |F1F2|＝2c， 其中 2a>2c>0，即 a>c>0，则 M 的轨迹是以 F1、F2 为两焦点 的椭圆，且|F1F2|＝2c 是椭圆的焦距．
栏目 导引
第九章
平面解析几何
2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 y2 ＋ ＝1(a＞b＞0) a2 b2 y2 x2 ＋ ＝1(a＞b＞0) a2 b2
图形
栏目 导引
第九章
平面解析几何
标准方程 范围 性质 对称性 顶点
x2 y2 ＋ ＝1(a＞b＞0) a2 b2 －a≤x≤a －b≤y≤b
y2 x2 ＋ ＝1(a＞b＞0) a2 b2 －b≤x≤b － a≤ y ≤ a
x 轴、y 轴 ，对称中心：(0，0) 对称轴：____________
椭圆的简单几何性质教学教案
椭圆的简单几何性质教学教案第一章：椭圆的定义与标准方程1.1 椭圆的定义引入椭圆的概念，通过实际例子让学生感受椭圆的形状。
讲解椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。
1.2 椭圆的标准方程推导椭圆的标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中\(a\)是椭圆的半长轴，\(b\)是半短轴。
解释\(a\)和\(b\)与椭圆的形状和大小之间的关系。
第二章：椭圆的焦点与离心率2.1 椭圆的焦点讲解椭圆的焦点定义：椭圆上到两个焦点距离之和为常数的点。
推导椭圆焦点的坐标公式：\((\pm c, 0)\)，其中\(c\)是焦距，满足\(c^2 = a^2 b^2\)。
2.2 椭圆的离心率定义椭圆的离心率：\(e = \frac{c}{a}\)，表示椭圆的扁率。
解释离心率与椭圆的形状之间的关系：离心率越接近1，椭圆越扁；离心率越接近0，椭圆越接近圆。
第三章：椭圆的面积与周长3.1 椭圆的面积推导椭圆的面积公式：\(A = \pi ab\)，其中\(a\)和\(b\)分别是椭圆的半长轴和半短轴。
解释椭圆面积与半长轴和半短轴之间的关系。
3.2 椭圆的周长推导椭圆的周长公式：\(C = \pi(a + b)\)，其中\(a\)和\(b\)分别是椭圆的半长轴和半短轴。
解释椭圆周长与半长轴和半短轴之间的关系。
第四章：椭圆的直线段性质4.1 椭圆的半通径定义椭圆的半通径：连接椭圆上一点与焦点的线段中点的距离。
推导半通径的公式：\(r = \frac{a}{2}\)。
4.2 椭圆的半焦距定义椭圆的半焦距：椭圆上到焦点距离之和的一半。
推导半焦距的公式：\(f = \frac{c}{2}\)。
第五章：椭圆的参数方程与极坐标方程5.1 椭圆的参数方程引入椭圆的参数方程：\(x = a \cos t\)，\(y = b \sin t\)，其中\(t\)是参数。
机械制图：椭圆的画法说课讲解
第六节 斜度和锥度
二、锥度
2 锥度的画法
图2-19a所示物体的右部是一个锥度为1∶3的圆锥台，其作图方 法如图2-19b所示。
图2-19 锥度的画法
锥度的画法和标注
1个单位 3个单位
14 18
1:3
2
25
55
第六节 斜度和锥度
二、锥度
3 锥度的标注
在图样上应采用图2-20a所示的 图形符号表示圆锥，该符号应配 置在基准线上(图2-20b)。表示圆 锥的图形符号和锥度应靠近圆锥 轮廓标注，基准线应通过指引线 与圆锥的轮廓素线相连。基准线 应与圆锥的轴线平行，图形符号 的方向应与圆锥方向相一致。
图2-13 用同心圆法画椭圆
同心圆法作椭圆CAOBD
四心圆弧法作近似椭圆
M O4 C
M1
A O1
O
O3
B
D O2
E
H
F
G
第六节 斜度和锥度
一、斜度
1 斜度的概念 斜度是指一直线(或平面)相对于另一直线(或平面)的
倾斜程度，其大小用该两直线(或两平面)间夹角的正 切值来表示(图2-15a)，即
图2-17 斜度的标注
2. 斜度的画法和标注
15 1:4
1个单位 7 17
4个单位
33
第六节 斜度和锥度
二、锥度
1 锥度的概念 锥度是指正圆锥体底圆直径与锥高之比。如果是圆
锥台，则为上、下底圆直径之差与圆锥台高度之比，
如图2-18所示。锥度=2tan α=D/L=（D-d）/l 锥度在图样上也以1∶n的简化形式表示。
第五节 椭圆的画法
一、理论画法
已知椭圆长轴AB和短轴CD，用同心圆法作椭圆的步骤如下： (1) 以长轴AB和短轴CD为直径画两同心圆，然后过圆心作一 系列直线与两圆相交，如图2-13a所示； (2) 自大圆交点作垂线，小圆交点作水平线，得到的交点就是 椭圆上的点，如图2-13b所示； (3) 用曲线板光滑连接各点，即得所求椭圆(图2-13b)。
高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第5讲 椭圆创新教学案(含解析)新人教版-新人教版高三全册数
第5讲椭圆[考纲解读] 1.掌握两种求椭圆方程的方法：定义法、待定系数法，并能根据其标准方程及几何图形研究椭圆的几何性质(X围、对称性、顶点、离心率)．(重点) 2．掌握直线与椭圆位置关系的判断，并能求解直线与椭圆相关的综合问题．(难点) [考向预测]从近三年高考情况来看，本讲为高考的必考内容．预测2021年将会考查：①椭圆标准方程的求解；②直线与椭圆位置关系的应用；③求解与椭圆性质相关的问题．试题以解答题的形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度，试题中等偏难.1.椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的□01和等于□02常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做□03焦距．(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝□042a，且2a□05>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数．注：当2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性X围－a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为Δ：(1)Δ>0⇔直线与椭圆□01相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆□02相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆□03相离．4．弦长公式(1)假设直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么|AB|＝□011＋k2|x1－x2|＝□021＋1k2|y1－y2|.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长□032b2a，最长为□042a.5．必记结论(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，那么当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．(2)过焦点F1的弦AB，那么△ABF2的周长为4a.1．概念辨析(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)表示的曲线是椭圆．()(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(4)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．小题热身(1)椭圆x29＋y24＝1的离心率是()A.133 B.53C.23 D.59答案 B解析由得a＝3，b＝2，所以c＝a2－b2＝32－22＝5，离心率e＝ca＝5 3.(2)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，假设长轴的长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，那么此椭圆的标准方程为()A.x236＋y232＝1 B.x29＋y28＝1C.x29＋y25＝1 D.x216＋y212＝1答案 B解析由题意，得2c2a＝13，2a＝6，解得a＝3，c＝1，那么b＝32－12＝8，所以椭圆C的方程为x29＋y28＝1.应选B.(3)假设方程x2m－2＋y26－m＝1表示椭圆，那么m的取值X围是________．答案2<m<6且m≠4解析方程x2m－2＋y26－m＝1表示椭圆⇔⎩⎪⎨⎪⎧m－2>0，6－m>0，m－2≠6－m，解得2<m<6且m≠4.(4)动点P(x，y)的坐标满足x2＋(y＋7)2＋x2＋(y－7)2＝16，那么动点P的轨迹方程为________．答案x264＋y215＝1解析由得点P到点A(0，－7)和B(0,7)的距离之和为16，且16>|AB|，所以点P的轨迹是以A(0，－7)，B(0,7)为焦点，长轴长为16的椭圆．显然a＝8，c＝7，故b2＝a2－c2＝15，所以动点P的轨迹方程为x264＋y215＝1.题型一椭圆的定义及应用1．过椭圆x24＋y2＝1的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，那么△ABF2的周长为()A．8 B．4 2 C．4 D．2 2 答案 A解析因为椭圆为x24＋y2＝1，所以椭圆的半长轴a＝2，由椭圆的定义可得AF1＋AF2＝2a＝4，且BF1＋BF2＝2a＝4，所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝4a＝8.2．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆y24＋x23＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，那么|P A|＋|PB|的最大值为() A．5 B．4 C．3 D．2 答案 A解析如图，∵椭圆y24＋x23＝1，∴焦点坐标为B(0，－1)和B′(0,1)，连接PB′，AB′，根据椭圆的定义，得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，可得|PB|＝4－|PB′|，因此|P A|＋|PB|＝|P A|＋(4－|PB′|)＝4＋(|P A|－|PB′|)．∵|P A|－|PB′|≤|AB′|，∴|P A|＋|PB|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5.当且仅当点P 在AB ′的延长线上时，等号成立． 综上所述，可得|P A |＋|PB |的最大值为5.3．(2019·某某模拟)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，那么△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.74 C.72 D.752答案 C解析 由题意，得a ＝3，b ＝7，c ＝2，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∴|AF 2|＝6－|AF 1|.在△AF 1F 2中，|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|·cos45°＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，解得|AF 1|＝72，∴△AF 1F 2的面积S ＝12×72×22×22＝72.利用定义解焦点三角形问题及求最值的方法解焦点三角形问题利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理．其中|PF 1|＋|PF 2|＝2a 两边平方是常用技巧．见举例说明3求最值抓住|PF 1|与|PF 2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF 1|·|PF 2|的最值；利用定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a 转化或变形，借助三角形性质求最值．见举例说明21．如下图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，那么点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案 A解析 由题意得|PF |＝|MP |，所以|PO |＋|PF |＝|PO |＋|MP |＝|MO |>|OF |，即点P 到两定点O ，F 的距离之和为常数(圆的半径)，且此常数大于两定点的距离，所以点P 的轨迹是椭圆．2．(2019·某某皖江模拟)F 1，F 2是长轴长为4的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点，那么△PF 1F 2面积的最大值为________．答案 2解析 解法一：∵△PF 1F 2的面积为12|PF 1||PF 2|·sin ∠F 1PF 2≤12⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝12a 2.又2a ＝4，∴a 2＝4，∴△PF 1F 2面积的最大值为2.解法二：由题意可知2a ＝4，解得a ＝2.当P 点到F 1F 2距离最大时，S △PF 1F 2最大，此时P 为短轴端点，S △PF 1F 2＝12·2c ·b ＝bc .又a 2＝b 2＋c 2＝4，∴bc ≤b 2＋c 22＝2， ∴当b ＝c ＝2时，△PF 1F 2面积最大，为2.题型二 椭圆的标准方程角度1 定义法求椭圆的标准方程1．A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，B 是圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，那么动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋y 234＝1解析 如图，由题意知|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2.所以|P A |＋|PF |＝2且|P A |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 234＝1.角度2 待定系数法求椭圆的标准方程2．椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，那么椭圆方程为________．答案 y 210＋x 26＝1解析设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )．由得⎩⎨⎧94m ＋254n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110，所以椭圆方程为y 210＋x 26＝1.1．定义法求椭圆的标准方程根据椭圆的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．见举例说明1.其中常用的关系有：(1)b2＝a2－c2；(2)椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；(3)椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长a.2．待定系数法求椭圆的标准方程的四步骤提醒：当椭圆的焦点位置不明确时，可设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)可简记为“先定型，再定量〞．见举例说明2.1．与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．答案x225＋y216＝1解析设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，那么有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r. 所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|，所以点P的轨迹是以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.2．(2019·某某调研)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F2F2|，|PF2|成等差数列，那么椭圆方程为________．答案x28＋y26＝1解析 ∵椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，∴可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，∴⎩⎨⎧4a 2＋3b 2＝1，2a ＝4c ，又a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝22，b ＝6，c ＝2，∴椭圆方程为x 28＋y 26＝1.题型三 椭圆的几何性质1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，那么椭圆的左顶点为( )A ．(－3,0)B ．(－4,0)C ．(－10,0)D ．(－5,0)答案 D解析 由得，椭圆的一个焦点坐标为(3,0)，故c ＝3，又因为2b ＝8，b ＝4，所以a 2＝b 2＋c 2＝16＋9＝25.故a ＝5.所以椭圆的左顶点为(－5,0)．2．F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 上下两点，假设△ABF 2是锐角三角形，那么该椭圆的离心率e 的取值X 围是( )A ．(0，2－1)B ．(2－1,1)C ．(0，3－1)D ．(3－1,1)答案 B解析 ∵F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A ，B 上下两点，∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，∵△ABF 2是锐角三角形，∴∠AF 2F 1<45°，∴tan ∠AF 2F 1<1，∴b 2a2c <1，整理，得b 2<2ac ，∴a 2－c 2<2ac ，两边同时除以a 2，并整理，得e 2＋2e －1>0，解得e >2－1或e <－2－1(舍去)，∵0<e <1，∴椭圆的离心率e 的取值X 围是(2－1,1)．3．(2019·某某质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，那么PF →·P A →的最大值为________．答案 4解析 由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.设P 点坐标为(x 0，y 0)．所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.因为F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)，P A →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.那么当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4.1．利用椭圆几何性质的注意点及技巧 (1)注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些X 围问题时，经常用到x ，y 的X 围，离心率的X 围等不等关系．见举例说明3.(2)利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．见举例说明1.2．求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝ca求解．(2)由a，b，c之间的关系求离心率，可以利用变形公式e＝1－b2a2求解．也可以利用b2＝a2－c2消去b，得到关于a，c的方程或不等式，进而转化为关于e 的不等式再求解．如举例说明2.(3)由椭圆的定义求离心率．e＝ca＝2c2a，而2a是椭圆上任意一点到两焦点的距离之和，2c是焦距，从而与焦点三角形联系起来．1．椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，那么椭圆E的标准方程为()A.x22＋y22＝1 B.x22＋y2＝1C.x24＋y22＝1 D.y24＋x22＝1答案 C解析易知b＝c＝2，故a2＝b2＋c2＝4，从而椭圆E的标准方程为x24＋y22＝1.2．(2020·某某模拟)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)和直线l：x4＋y3＝1，假设过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，那么椭圆C的离心率为()A.45B.35C.34D.15答案 A解析 直线l 的斜率为－34，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以bc ＝34，又b 2＋c 2＝a 2⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫34c 2＋c 2＝a 2⇒2516c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝45. 3．假设点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，那么OP →·FP→的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8 答案 C解析 由椭圆x 24＋y 23＝1，得F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，那么OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP→取得最大值6.题型四 直线与椭圆的综合问题角度1 直线与椭圆的位置关系1．直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 解将直线l的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理，得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0. ③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l 与椭圆C 没有公共点．角度2 点差法解中点弦问题2．焦点是F (0,52)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为________．答案 y 275＋x 225＝1解析 设所求的椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线被椭圆所截弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题意，可得弦AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，且x 1＋x 22＝27，y 1＋y 22＝－37.将A ，B 两点坐标代入椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21a 2＋x 21b 2＝1，y 22a 2＋x 22b 2＝1.两式相减并化简，得a 2b 2＝－y 1－y 2x 1－x 2×y 1＋y 2x 1＋x 2＝－2×－6747＝3，所以a 2＝3b 2，又c 2＝a 2－b 2＝50，所以a 2＝75，b 2＝25，故所求椭圆的标准方程为y 275＋x225＝1.角度3 弦长问题3．椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，某某数m 的取值X 围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解(1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2.所以当m ＝0时，|AB |最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y ＝x . 角度4 综合计算问题4．(2019·某某高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .椭圆的短轴长为4，离心率为55.(1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，假设|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4，c a ＝55， 又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1. 所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M,0)．设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0,2)，那么直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k 4＋5k2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k 24＋5k2，进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k2－10k.在y＝kx＋2中，令y＝0，得x M＝－2 k.由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－k2.由OP⊥MN，得4－5k2－10k·⎝⎛⎭⎪⎫－k2＝－1，化简得k2＝245，从而k＝±2305.所以直线PB的斜率为2305或－2305.1．直线与椭圆位置关系的判定方法(1)代数法联立直线与椭圆方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．见举例说明1.(2)几何法画出直线与椭圆的图象，根据图象判断公共点个数．2．“点差法〞的四步骤处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法〞，步骤如下：3．中点弦的重要结论AB为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)．(1)斜率：k ＝－b 2x 0a 2y 0.见举例说明2.(2)弦AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心O 的连线的斜率之积为定值－b 2a 2. 4．直线与椭圆相交的弦长公式(1)假设直线y ＝kx ＋m 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|.见举例说明3.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a ，最长为2a .1．假设直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，那么m 的取值X 围是( ) A ．m >1B ．m >0C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5答案 D解析 直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，假设直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，那么点(0,1)在椭圆x 25＋y 2m ＝1内部或在椭圆上，所以1m ≤1，由方程x 25＋y 2m ＝1表示椭圆，那么m >0且m ≠5，综上知m 的取值X 围是m ≥1且m ≠5.2．直线y ＝x ＋m 被椭圆2x 2＋y 2＝2截得的线段的中点的横坐标为16，那么中点的纵坐标为________．答案 －13解析 解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，2x 2＋y 2＝2，消去y 并整理得3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，设线段的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝－2m 3，∴－2m 3＝13，解得m ＝－12.由截得的线段的中点在直线y ＝x －12上，得中点的纵坐标y ＝16－12＝－13.解法二：设线段的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么2x 21＋y 21＝2,2x 22＋y 22＝2.两式相减得2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.把y 1－y 2x 1－x 2＝1，x 1＋x 2＝13代入上式，得y 1＋y 22＝－13，那么中点的纵坐标为－13.3．(2019·某某六中模拟)直线l ：y ＝kx ＋2与椭圆C ：x 28＋y 22＝1交于A ，B 两点，直线l 1与直线l 2：x ＋2y －4＝0交于点M .(1)证明：直线l 2与椭圆C 相切；(2)设线段AB 的中点为N ，且|AB |＝|MN |，求直线l 1的方程．解(1)证明：由⎩⎨⎧x 28＋y 22＝1，x ＋2y －4＝0，消去x 整理得y 2－2y ＋1＝0， ∵Δ＝4－4＝0，∴l 2与C 相切．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x ＋2y －4＝0，得M 的坐标为(0,2)．由⎩⎨⎧x 28＋y 22＝1，y ＝kx ＋2，消去y 整理得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋8＝0， 因为直线l 1与椭圆交于A ，B 两点， 所以Δ＝(16k )2－32(1＋4k 2)＝128k 2－32>0，解得k 2>14.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)， 那么x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2，x 1x 2＝81＋4k 2， 所以x 0＝x 1＋x 22＝－8k1＋4k 2. ∵|AB |＝|MN |， 即1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2|x 0－0|，∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|x 0|， 即8k1＋4k2＝4 24k 2－11＋4k 2，解得k 2＝12，满足k 2>14.∴k ＝±22，∴直线l 1的方程为y ＝±22x ＋2.组 基础关1．椭圆mx 2＋3y 2－6m ＝0的一个焦点的坐标为(0,2)，那么m 的值为( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．8答案 C解析 由mx 2＋3y 2－6m ＝0，得x 26＋y22m ＝1.因为椭圆的一个焦点的坐标为(0,2)，所以2m ＝6＋4，解得m ＝5.2．(2019·某某模拟)如图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为( )A.25B.35C.235D.255答案 B解析 由题2b ＝16.4,2a ＝20.5，那么b a ＝45，那么离心率e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.3．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数a 的取值X 围是( )A ．(－6，－2)B ．(3，＋∞)C ．(－6，－2)∪(3，＋∞)D ．(－6，－3)∪(2，＋∞) 答案 C解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>a ＋6，a ＋6>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <－2或a >3，a >－6，所以－6<a <－2或a >3.4．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积为( )A.43B.53C.54D.103答案 B解析 由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)，那么直线AB 的方程为y ＝2x－2.联立⎩⎨⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53.应选B.5．如图，椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，那么椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 230＋y 210＝1 C.x 236＋y 216＝1 D.x 245＋y 225＝1答案 C解析 设F ′为椭圆的右焦点，连接PF ′，在△POF 中，由余弦定理，得cos ∠POF ＝|OP |2＋|OF |2－|PF |22|OP ||OF |＝35，那么|PF ′|＝|OP |2＋|OF ′|2－2|OP ||OF ′|cos (π－∠POF )＝8，由椭圆定义，知2a ＝4＋8＝12，所以a ＝6，又c ＝25，所以b 2＝16.故椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，那么椭圆的离心率是( )A.12B.22C.32D.55答案 C解析 设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2＝32.应选C.7．(2020·某某一诊)点M (－1,0)和N (1,0)，假设某直线上存在点P ，使得|PM |＋|PN |＝4，那么称该直线为“椭型直线〞，现有以下直线：①x －2y ＋6＝0；②x －y ＝0；③2x －y ＋1＝0；④x ＋y －3＝0. 其中是“椭型直线〞的是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．③④答案 C解析 由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其方程为x 24＋y 23＝1.对于①，把x －2y ＋6＝0代入x 24＋y 23＝1，整理得2y 2－9y ＋12＝0，由Δ＝(－9)2－4×2×12＝－15<0，知x －2y ＋6＝0不是“椭型直线〞；对于②，把y ＝x 代入x 24＋y 23＝1，整理得x 2＝127，所以x －y ＝0是“椭型直线〞；对于③，把2x －y ＋1＝0代入x 24＋y 23＝1，整理得19x 2＋16x －8＝0，由Δ＝162－4×19×(－8)>0，知2x－y＋1＝0是“椭型直线〞；对于④，把x＋y－3＝0代入x24＋y23＝1，整理得7x2－24x＋24＝0，由Δ＝(－24)2－4×7×24<0，知x＋y－3＝0不是“椭型直线〞．故②③是“椭型直线〞．8．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为55，且过点P(－5,4)，那么椭圆的标准方程为________．答案x245＋y236＝1解析由题意设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．由离心率e＝55可得a2＝5c2，所以b2＝4c2，故椭圆的方程为x25c2＋y24c2＝1，将P(－5,4)代入可得c2＝9，故椭圆的方程为x245＋y236＝1.9．椭圆x25＋y24＝1的右焦点为F，假设过点F且倾斜角为π4的直线l与椭圆相交于A，B两点，那么|AB|的值为________．答案165 9解析由题意知，F(1,0)．∵直线l的倾斜角为π4，∴斜率k＝1.∴直线l的方程为y＝x－1.代入椭圆方程，得9x2－10x－15＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1＋x2＝109，x1x2＝－53.∴|AB|＝2·(x1＋x2)2－4x1x2＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1092＋4×53＝1659. 10．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且PF2垂直于x轴，假设直线PF1的斜率为33，那么该椭圆的离心率为________．答案3 3解析 因为点P 在椭圆上，且PF 2垂直于x 轴，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a .又因为直线PF 1的斜率为33，所以在Rt △PF 1F 2中， PF 2F 1F 2＝33，即b 2a 2c ＝33.所以3b 2＝2ac . 3(a 2－c 2)＝2ac ，3(1－e 2)＝2e ， 整理得3e 2＋2e －3＝0， 又0<e <1，解得e ＝33.组 能力关1．过椭圆x 225＋y 216＝1的中心任意作一条直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，那么△PQF 周长的最小值是( )A ．14B ．16C ．18D ．20答案 C解析 如图，设F 1为椭圆的左焦点，右焦点为F 2，根据椭圆的对称性可知|F 1Q |＝|PF 2|，|OP |＝|OQ |，所以△PQF 1的周长为|PF 1|＋|F 1Q |＋|PQ |＝|PF 1|＋|PF 2|＋2|PO |＝2a ＋2|PO |＝10＋2|PO |，易知2|OP |的最小值为椭圆的短轴长，即点P ，Q 为椭圆的上、下顶点时，△PQF 1(或△PQF 2)的周长即△PQF 周长的最小值，为10＋2×4＝18.2．离心率为22的椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的下、上焦点分别为F 1，F 2，直线l ：y ＝kx ＋1过椭圆C 的焦点F 2，与椭圆交于A ，B 两点，假设点A 到y 轴的距离是点B 到y 轴距离的2倍，那么k 2＝________.答案 27解析 直线l 过定点(0,1)，即F 2为(0,1)，由于c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，故a ＝2，b ＝1，那么椭圆C 的方程为y 22＋x 2＝1，由⎩⎨⎧y 22＋x 2＝1，y ＝kx ＋1，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝－2kk 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2，由点A 到y 轴的距离是点B 到y 轴距离的2倍，得x 1＝－2x 2，代入x 1＋x 2＝－2kk 2＋2，解得x 2＝2kk 2＋2，x 1＝－4k k 2＋2，代入x 1x 2＝－1k 2＋2，解得k 2＝27.3．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．假设△MF 1F 2为等腰三角形，那么M 的坐标为________．答案 (3，15)解析 设F 1为椭圆的左焦点，分析可知点M 在以F 1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎨⎧(x ＋4)2＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15)．4．(2020·某某摸底)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(3，0)，A 为椭圆C 的右顶点，以A 为圆心的圆与直线y ＝b a x 相交于P ，Q 两点，且A P →·A Q →＝0，O P →＝3O Q →，那么椭圆C 的标准方程为________，圆A 的标准方程为________．答案 x 24＋y 2＝1 (x －2)2＋y 2＝85 解析 如图，设T 为线段PQ 的中点，连接AT ，那么AT ⊥PQ . ∵A P →·A Q →＝0，即AP ⊥AQ ， ∴|AT |＝12|PQ |.又O P →＝3O Q →，∴|OT |＝|PQ |. ∴|AT ||OT |＝12，即b a ＝12.由得焦半距c ＝3，∴a 2＝4，b 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又|AT |2＋|OT |2＝4，∴|AT |2＋4|AT |2＝4， ∴|AT |＝255，r ＝|AP |＝2105. ∴圆A 的方程为(x －2)2＋y 2＝85.5．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，e ＝12，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，线段AB 中点的横坐标为14，且AF→＝λFB →(其中λ>1)．(1)求椭圆C 的标准方程； (2)某某数λ的值．解(1)由椭圆的焦距为2，知c ＝1， 又e ＝12，∴a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由AF→＝λFB →，可知A ，B ，F 三点共线， 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．假设直线AB ⊥x 轴，那么x 1＝x 2＝1，不符合题意； 当AB 所在直线l 的斜率k 存在时， 设l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.①①的判别式Δ＝64k 4－4(4k 2＋3)(4k 2－12)＝144(k 2＋1)>0. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3＝2×14＝12，∴k 2＝14.将k 2＝14代入方程①，得4x 2－2x －11＝0，解得x ＝1±354. 又AF →＝(1－x 1，－y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，AF →＝λFB →， 即1－x 1＝λ(x 2－1)，λ＝1－x 1x 2－1，又λ>1，∴λ＝3＋52.组 素养关1．(2019·某某二模)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，且满足PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝32，离心率为12.(1)求椭圆的标准方程；(2)假设M 为y 轴正半轴上的定点，过M 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，设O 为坐标原点，S AOB ＝－32tan ∠AOB ，求点M 的坐标．解(1)由题意，知c a ＝12，b 2a ＝32，结合a 2＝b 2＋c 2，得a ＝2，b ＝3，所以x 24＋y 23＝1.(2)设M (0，t )，t >0，由题意知，直线l 的斜率存在，设l 为y ＝kx ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由S △AOB ＝－32tan ∠AOB ，得12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝－32·sin ∠AOBcos ∠AOB ，得|OA ||OB |cos ∠AOB ＝－3，即OA →·OB→＝－3， 联立直线l 和椭圆C 的方程，有 ⎩⎨⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝－8kt3＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－123＋4k 2，由x 1x 2＋(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝－3，得(k 2＋1)x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝－3， ∴(k 2＋1)4t 2－123＋4k 2－kt ·8kt3＋4k 2＋t 2＝－3， 整理可得7t 2＝3，又t >0，得t ＝217. 故M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，217 2．(2019·某某六市第二次联考)动点P 到定点F (1,0)和到直线x ＝2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝mx ＋n 与曲线E 交于C ，D 两点，与AB 相交于一点(交点位于线段AB 上，且与点A ，B 不重合)．(1)求曲线E 的方程；(2)求直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切时，四边形ABCD 的面积是否有最大值？假设有，求出其最大值及对应的直线l 的方程；假设没有，请说明理由．解(1)设点P (x ，y )．由题意可得(x －1)2＋y 2|x －2|＝22，化简得x 22＋y 2＝1.所以曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．将x ＝1代入x 22＋y 2＝1，得|y |＝22，所以|AB |＝ 2. 当m ＝0时，显然不符合题意．当m ≠0时，因为直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，word- 31 - / 31 所以|n |m 2＋1＝1，所以n 2＝m 2＋1.由⎩⎨⎧ y ＝mx ＋n ，x 22＋y 2＝1消去y 并整理， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋12x 2＋2mnx ＋n 2－1＝0. 因为Δ＝4m 2n 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋12(n 2－1)＝2m 2>0， 所以x 1＋x 2＝－4mn2m 2＋1，x 1x 2＝2(n 2－1)2m 2＋1. 所以S 四边形ACBD ＝12|AB |·|x 1－x 2|＝12×2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2|m |2m 2＋1＝22|m |＋1|m |≤22， 当且仅当2|m |＝1|m |，即m ＝±22时等号成立．将m ＝±22代入n 2＝m 2＋1，得n ＝±62.经检验可知，直线y ＝22x －62和直线y ＝－22x ＋62符合题意．故四边形ACBD 的面积有最大值，最大值为22，对应的直线方程为y ＝22x－62和y ＝－22x ＋62.。
一轮复习配套讲义：第8篇-第5讲-椭圆
第5讲椭圆[最新考纲]1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．2．了解椭圆的简单应用．3．理解数形结合的思想.1．椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程和几何性质1．对椭圆定义的认识(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×) (2)动点P 到两定点A (0，－2)，B (0,2)的距离之和为4，则点P 的轨迹是椭圆．(×) 2．对椭圆的几何性质的理解(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．(×) (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(√) (5)(教材习题改编)椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为22. (√)3．椭圆的方程(6)若椭圆x 24＋y 2k ＝1的焦点坐标是F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则k ＝2(√) (7)(教材改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C的方程是x 23＋y 24＝1(×) [感悟·提升]1．一点提醒 椭圆定义中的常数必须大于|F 1F 2|，如(1)、(2)．2．两个防范 一是注意椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率越大，椭圆就越扁；离心率越小，椭圆就越圆，如(3)；二是注意椭圆方程的焦点位置是在x 轴上还是y 轴上，当a ＞b ＞0时，方程x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上；当b ＞a ＞0时，方程x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在y 轴上，如(7).考点一 椭圆定义及标准方程【例1】 (1)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的 距离为( )．A ．4B ．3C ．2D ．5(2)求过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．(1)解析 由题意知，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3， ∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4. 答案 A(2)解 法一 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知， 2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2， 解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4. 所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.法二 因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在所求椭圆上， 所以(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b 2＝1.② 由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.规律方法 (1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决．(2)求椭圆的标准方程有两种方法①定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． ②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a ，b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．【训练1】 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为______．解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由e ＝22知c a ＝22，故b 2a 2＝12.由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝16，故a ＝4.∴b 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1. 答案 x 216＋y 28＝1考点二 椭圆的几何性质【例2】 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关． (1)解 法一 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， |PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°＝(m ＋n )2－3mn＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)．∴c 2a 2≥14，即e ≥12.又0＜e ＜1，∴e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.法二 如图所示，设O 是椭圆的中心，A 是椭圆短轴上的一个顶点，由于∠F 1PF 2＝60°，则只需满足60°≤∠F 1AF 2即可，又△F 1AF 2是等腰三角形，且|AF 1|＝|AF 2|，所以0°＜∠F 1F 2A ≤60°，所以12≤cos ∠F 1F 2A ＜1，又e ＝cos ∠F 1F 2A ，所以e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.(2)证明 由(1)知mn ＝43b 2， ∴S △PF 1F 2＝12mn sin 60°＝33b 2， 即△PF 1F 2的面积只与短轴长有关．规律方法 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a ，c 的关系．(2)椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式e ＝c a ；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．【训练2】 (1)(2013·四川卷)从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是 ( )．A.24B.12C.22D.32(2)(2012·安徽卷改编)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.且△AF 1B 的面积为403， 则a ＝________，b ＝________.解析 (1)左焦点为F 1(－c,0)，PF 1⊥x 轴，当x ＝－c 时，c 2a 2＋y 2P b 2＝1⇒y 2P ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2a 2＝b 4a 2⇒y P ＝b 2a (负值不合题意，已舍去)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，由斜率公式得k AB ＝－b a ，k OP ＝－b 2ac . ∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ⇒－b a ＝－b 2ac ⇒b ＝c . ∵a 2＝b 2＋c 2＝2c 2， ∴c 2a 2＝12⇒e ＝c a ＝22. (2)法一 a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )， 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c ， 所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |·sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二 设|AB |＝t (t >0)． 因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a . 由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知， a ＝10，b ＝5 3. 答案 (1)C (2)10 5 3考点三 直线与椭圆的位置关系【例3】 (2013·陕西卷)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点．若A 是PB 的中点，求直线m的斜率．审题路线 (1)根据题意列出等式⇒坐标化⇒整理可得动点M 的轨迹方程． (2)设直线m 的方程，交点A ，B 的坐标法一：把直线与点M 的轨迹方程联立，消y ⇒由Δ＞0得k 的范围⇒由方程得根与系数的关系式⇒再结合A 是PB 的中点即x 2＝2x 1⇒解得k 的值；法二：由A 是PB 的中点得出A ，B 两点坐标间的关系⇒又点A ，B 在点M 的轨迹上⇒联立方程组解得A 或B 点坐标⇒根据斜率公式求k . 解 (1)设M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN |.由此得|4－x |＝2(x －1)2＋y 2， 化简得x 24＋y 23＝1，所以，动点M 的轨迹方程为 x 24＋y 23＝1.(2)法一 由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中，Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)>0， 解得k 2>32.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－24k3＋4k 2，① x 1x 2＝243＋4k 2.② 又因A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1，③将③代入①，②，得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k 2， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2，且k 2>32， 解得k ＝－32或k ＝32，所以，直线m 的斜率为－32或32.法二 由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)． ∵A 是PB 的中点， ∴x 1＝x 22， y 1＝3＋y 22. 又x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，联立①，②，③，④解得⎩⎨⎧ x 2＝2，y 2＝0或⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝0，即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)， 所以，直线m 的斜率为－32或32.规律方法 (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．【训练3】 (2014·山东省实验中学诊断)设F 1，F 2分别是椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1倾斜角为45°的直线l 与该椭圆相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝43a .(1)求该椭圆的离心率；(2)设点M (0，－1)满足|MP |＝|MQ |，求该椭圆的方程．解 (1)直线PQ 斜率为1，设直线l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则P ，Q 两点坐标满足方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b2＝1，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2.所以|PQ |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝43a ， 化简，得43a ＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2， 所以椭圆的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22. (2)设PQ 的中点为N (x 0，y 0)， 由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－23c ， y 0＝x 0＋c ＝c3.由|MP |＝|MQ |，得k MN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3.故椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)可以避免讨论和繁琐的计算，也可以设为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0)，这种形式在解题中更简便．3．椭圆的标准方程有两种形式，在解题时要防止遗漏，深刻理解椭圆中的几何量a ，b ，c ，e 之间的关系及每个量的本质含义，并能熟练地应用于解题．若已知焦点位置，则标准方程唯一；若无法确定焦点位置，则应考虑两种形式．答题模板11——直线与椭圆的综合问题【典例】 (13分)(2013·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线 与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．[规范解答] (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程(－c )2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±63b ， (2分) 于是263b ＝43 3，解得b ＝2，(3分)又a 2－c 2＝b 2，从而可得a ＝3，c ＝1， (4分) 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(5分)(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)， (6分)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.(8分)因为直线过椭圆内的点，无论k 为何值，直线和椭圆总相交． 由根与系数的关系可得则x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2，(9分)因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2.(12分)由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8， 解得k ＝±2.(13分)[反思感悟] 解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．答题模板 直线与椭圆联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式Δ：计算一元二次方程根的判别式Δ＞0.第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．第五步：根据题设条件求解问题中的结论．【自主体验】已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．解 (1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)． 其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4.故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2. 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2.又由OB →＝2 OA →，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )．A ．2 3B ．6C ．4 3D ．122．(2014·广州模拟)椭圆x 29＋y 24＋k＝1的离心率为45，则k 的值为( )． A ．－21 B ．21 C ．－1925或21 D.1925或213．(2014·韶关模拟)已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )．A ．4B ．5C ．7D ．84．(2014·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )．A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1C.x 28＋y 24＝1D.x 216＋y 24＝15．(2013·辽宁卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C的离心率为( )．A.35B.57C.45D.67二、填空题6．(2014·青岛模拟)设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为________． 7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.8．(2013·福建卷)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．三、解答题9．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|.(1)求此椭圆的方程；(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积．10．(2014·绍兴模拟)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．已知点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，22在椭圆上， 且点M 到两焦点距离之和为4.(1)求椭圆的方程；(2)设与MO (O 为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A ，B (A ，B 不重合)，求OA →·OB →的取值范围．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·潍坊模拟)已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )．A ．1 B. 2C.32D. 3解析 由题意知a ＝2，所以|BF 2|＋|AF 2|＋|AB |＝4a ＝8，因为|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，所以|AB |的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－32，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，即1－b 24＋94b 2＝1，所以b 24＝94b 2，解得b 2＝3，所以b ＝ 3. 答案 D2．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )． A.12 B.23 C.34 D.45解析 令c ＝a 2－b 2.如图，据题意，|F 2P |＝|F 1F 2|，∠F 1PF 2＝30°，∴∠F 1F 2P＝120°，∴∠PF 2x ＝60°，∴|F 2P |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2－c ＝3a －2c . ∵|F 1F 2|＝2c ，∴3a －2c ＝2c ，∴3a ＝4c ，∴c a ＝34，即椭圆的离心率为34.答案 C二、填空题3．(2014·陕西五校联考)椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a ＞5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B .若△F AB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析 设椭圆的右焦点为F ′，如图，由椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .又△F AB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ， 当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立．此时4a ＝12，则a ＝3.故椭圆方程为x 29＋y 25＝1，所以c ＝2，所以e ＝c a ＝23.答案 23三、解答题4．(2014·河南省三市调研)已知圆G ：x 2＋y 2－2x －2y ＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 及上顶点B .过椭圆外一点M (m,0)(m ＞a )作倾斜角为56π的直线l 交椭圆于C ，D 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围． 解 (1)∵圆G ：x 2＋y 2－2x －2y ＝0经过点F ，B ，∴F (2,0)，B (0，2)，∴c ＝2，b ＝2，∴a 2＝b 2＋c 2＝6，椭圆的方程为x 26＋y 22＝1. (2)由题意知直线l 的方程为y ＝－33(x －m )，m ＞6，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 26＋y 22＝1，y ＝－33(x －m )，消去y ，得2x 2－2mx ＋(m 2－6)＝0.由Δ＝4m 2－8(m 2－6)＞0，解得－23＜m ＜2 3. ∵m ＞6，∴6＜m ＜2 3.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－62，∴y 1y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33(x 1－m )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33(x 2－m )＝13x 1x 2－m 3(x 1＋x 2)＋m 23. ∵FC →＝(x 1－2，y 1).FD →＝(x 2－2，y 2)， ∴FC →·FD →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝43x 1x 2－m ＋63(x 1＋x 2)＋m 23＋4＝2m (m －3)3. ∵点F 在圆E 内部，∴FC →·FD →＜0，即2m (m －3)3＜0，解得0＜m ＜3. 又6＜m ＜23，∴6＜m ＜3.故m 的取值范围是(6，3).。
椭圆讲义
椭 圆1．椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的距离 等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距． 用符号语言表示为：21||||2MF MFa += 注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ． ②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．(2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的 ，定直线l 是 ，常数e 是 ． 2．椭圆的标准方程(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是： ．.(2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是： ．注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222c a b =-；②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。
例如椭圆221x y m n+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。
3．椭圆的性质y xMF 1O F 2A 1A 2B 2B 1（1）第一定义——把椭圆从圆中分离椭圆从圆（压缩）变形而来，从而使得椭圆与圆相关而又相异. 它从圆中带来了中心和定长，但又产生了2个新的定点——焦点. 准确、完整地掌握椭圆的定义，是学好椭圆、并进而学好圆锥曲线理论的基础.第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆, 其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.① 设点：设点M （y x ,）是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为 F 1（-c ,0）、F 2（c ,0）② 列式：依据椭圆的定义式∣MF 1∣+∣MF 2∣=2a 列方程，并将其坐标化为()()a y c x y c x 22222=+-+++。
第5节 第1课时 椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第五节椭圆第1课时椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于01常数(大于|F 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的02焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的03焦距．2．椭圆的标准方程及简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围04－a≤x≤a且－b≤y≤b05－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点06A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)07A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长为082b，长轴长为092a焦点10F1(－c，0)，F2(c，0)11F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝122c对称性对称轴：13x轴和y轴，对称中心：14原点离心率e＝ca(0<e<1)a，b，c的关系15a2＝b2＋c2椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大．(2)S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|sinθ＝b2tanθ2＝c|y0|.(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(4)|PF1|·|PF2|＝a2.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．()(3)y2 m2＋x2n2＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．()(4)x2 a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相等．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题3.1T3改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是()A．长轴长为12B．焦距为34C ．短轴长为14D ．离心率为32答案D解析把椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得y 214＋x 2116＝1，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34，则长轴长2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝32.故选D.(2)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T5改编)已知点P 为椭圆x 216＋y 29＝1上的一点，B 1，B 2分别为椭圆的上、下顶点，若△PB 1B 2的面积为6，则满足条件的点P 的个数为()A ．0B ．2C ．4D ．6答案C解析在椭圆x 216＋y 29＝1中，a ＝4，b ＝3，则短轴|B 1B 2|＝2b ＝6，设椭圆上点P 的坐标为(m ，n )，由△PB 1B 2的面积为6，得12|B 1B 2|·|m |＝6，解得m ＝±2，将m ＝±2代入椭圆方程，得n ＝±332，所以符合题意的点P ，22，共4个满足条件的点P .故选C.(3)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T1改编)已知点M (x ，y )在运动过程中，总满足关系式x 2＋（y －2）2＋x 2＋（y ＋2）2＝8，则点M 的轨迹方程为________________．答案x 212＋y 216＝1解析因为x 2＋（y －2）2＋x 2＋（y ＋2）2＝8>4，所以点M 的轨迹是以(0，2)，(0，－2)为焦点的椭圆，设椭圆方程为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)，由题意得2a ＝8，即a ＝4，则b 2＝a 2－c 2＝12，所以点M 的轨迹方程为x 212＋y 216＝1.(4)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T4改编)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为12，则椭圆C 的方程可以为________________(写出满足题意的一个椭圆方程即可)．答案x 24＋y 23＝1(答案不唯一)解析因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，a >b >0，因为离心率为12，所以ca＝12，所以c 2a 2＝a 2－b 2a2＝14，则b 2a 2＝34.所以椭圆C 的方程可以为x 24＋y 23＝1(答案不唯一)．考点探究——提素养考点一椭圆的定义及其应用(多考向探究)考向1利用椭圆的定义求轨迹方程例1(2024·山东烟台一中质检)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 是圆上任意一点，N (2，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．答案x 29＋y 25＝1解析点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，且2a ＝6，2c ＝4，故所求的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.【通性通法】在求动点的轨迹时，如果能够判断动点的轨迹满足椭圆的定义，那么可以直接求解其轨迹方程．【巩固迁移】1．△ABC 的两个顶点为A (－3，0)，B (3，0)，△ABC 的周长为16，则顶点C 的轨迹方程为()A ．x 225＋y 216＝1(y ≠0)B ．y 225＋x 216＝1(y ≠0)C ．x 216＋y 29＝1(y ≠0)D ．y 216＋x 29＝1(y ≠0)答案A解析由题意，知点C 到A ，B 两点的距离之和为10，故顶点C 的轨迹为以A (－3，0)，B (3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a ＝10，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝16.其方程为x 225＋y 216＝1.又A ，B ，C 三点不能共线，所以x 225＋y 216＝1(y ≠0)．故选A.考向2利用椭圆的定义解决焦点三角形问题例2(1)如图，△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．答案43解析因为a 2＝3，所以a ＝ 3.△ABC 的周长为|AC |＋|AB |＋|BC |＝|AC |＋|CF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝2a ＋2a ＝4a ＝43.(2)设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________．答案433解析解法一：由题意，知c ＝a 2－4.又∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2a 2－4，∴|F 1F 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－2|PF 1||PF 2|cos60°＝4a 2－3|PF 1||PF 2|＝4a 2－16，∴|PF 1||PF 2|＝163，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝12×163×32＝433解法二：S △PF 1F 2＝b 2tan ∠F 1PF 22＝4tan30°＝433.【通性通法】将定义和余弦定理结合使用可以解决焦点三角形的周长和面积问题．【巩固迁移】2．(2023·全国甲卷)已知椭圆x 29＋y 26＝1，F 1，F 2为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，cos∠F 1PF 2＝35，则|PO |＝()A ．25B ．302C ．35D ．352答案B解析解法一：因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6①，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2－65|PF 1||PF 2|＝12②，联立①②，解得|PF 1||PF 2|＝152，|PF 1|2＋|PF 2|2＝21，而PO →＝12(PF 1→＋PF 2→)，所以|PO |＝|PO →|＝12|PF 1→＋PF 2→|，即|PO →|＝12|PF 1→＋PF 2→|＝12|PF 1→|2＋2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2＝1221＋2×152×35＝302.故选B.解法二：设∠F 1PF 2＝2θ，0＜θ＜π2，所以S △PF 1F 2＝b 2tan∠F 1PF 22＝b 2tan θ，由cos ∠F 1PF 2＝cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝35，解得tan θ＝12.由椭圆的方程可知，a 2＝9，b 2＝6，c 2＝a 2－b 2＝3，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×|y P |＝12×23×|y P |＝6×12，解得y 2P ＝3，所以x 2P ＝＝92，因此|PO |＝x 2P ＋y 2P ＝3＋92＝302.故选B.解法三：因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6①，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2－65|PF 1||PF 2|＝12②，联立①②，解得|PF 1|2＋|PF 2|2＝21，由中线定理可知，(2|PO |)2＋|F 1F 2|2＝2(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝42，易知|F 1F 2|＝23，解得|PO |＝302.故选B.考向3利用椭圆的定义求最值例3已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216＋y 212＝1的两个焦点，点M ，N 在C 上，若|MF 2|＋|NF 2|＝6，则|MF 1|·|NF 1|的最大值为()A ．9B ．20C ．25D ．30答案C解析根据椭圆的定义，得|MF 1|＋|MF 2|＝8，|NF 1|＋|NF 2|＝8，因为|MF 2|＋|NF 2|＝6，所以8－|MF 1|＋8－|NF 1|＝6，即|MF 1|＋|NF 1|＝10≥2|MF 1|·|NF 1|，当且仅当|MF 1|＝|NF 1|＝5时，等号成立，所以|MF 1|·|NF 1|≤25，则|MF 1|·|NF 1|的最大值为25.故选C.【通性通法】在椭圆中，结合|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，运用基本不等式或三角形任意两边之和大于第三边可求最值．【巩固迁移】3．(2024·河北邯郸模拟)已知F 是椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点，则|PA |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．答案6＋26－2解析由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2，F (－2，0)．设椭圆的右焦点为F ′，则|PF |＋|PF ′|＝6，所以|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF ′|＋6.当P ，A ，F ′三点共线时，|PA |－|PF ′|取到最大值|AF ′|＝2或最小值－|AF ′|＝－ 2.所以|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2.考点二椭圆的标准方程例4(1)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则椭圆C 的方程为()A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 22＝1C ．x 29＋y 26＝1D ．x 25＋y 24＝1答案B解析设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a .∵|AB |＝|BF 1|，∴|AF 1|＋2|AB |＝4a .又|AF 2|＝2|F 2B |，∴|AB |＝32|AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a .又|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 2|＝a ，∴A 为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A (0，b )，又F 2(1，0)，AF 2→＝2F 2B →，∴将B 点坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 221.故选B.(2)(2024·山西大同模拟)过点(2，－3)，且与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率的椭圆的标准方程为________________．答案x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1解析椭圆x 24＋y 23＝1的离心率是e ＝12，当焦点在x 轴上时，设所求椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)＝12，b 2＋c 2，＋3b 2＝1，2＝8，2＝6，∴所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1；当焦点在y 轴上时，设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)＝12，b 2＋c 2，＋4b 2＝1，2＝253，2＝254，∴所求椭圆的标准方程为y 2253＋x 2254＝1.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1.【通性通法】1．求椭圆方程的常用方法(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．(2)待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤注意：一定先判断椭圆的焦点位置，即先定型后定量．2．椭圆标准方程的两个应用(1)方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2a 2＋y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ>0)有相同的离心率．(2)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)共焦点的椭圆系方程为x 2a 2＋k ＋y 2b 2＋k ＝1(a >b >0，k ＋b 2>0)．恰当选用椭圆系方程，可使运算更简便．【巩固迁移】4．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b>0)的两个焦点，若P |PF 1|＋|PF 2|＝4，则椭圆C 的方程为________________．答案x 24＋y 23＝1解析由|PF 1|＋|PF 2|＝4得2a ＝4，解得a＝2.又P C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，所以1222＋1，解得b＝3，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.5．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P1(6，1)，P2(－3，－2)两点，则该椭圆的方程为________________．答案x29＋y23＝1解析设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．因为椭圆经过P1，P2两点，所以点P1，P2的坐标满足椭圆方程，m＋n＝1，m＋2n＝1，＝19，＝13.所以所求椭圆的方程为x29＋y23＝1.考点三椭圆的简单几何性质(多考向探究)考向1椭圆的长轴、短轴、焦距例5已知椭圆x225＋y29＝1与椭圆x225－k＋y29－k＝1(k<9，且k≠0)，则两椭圆必定() A．有相等的长轴长B．有相等的焦距C．有相等的短轴长D．有相同的离心率答案B解析由椭圆x225＋y29＝1，知a＝5，b＝3，c＝4，所以长轴长是10，短轴长是6，焦距是8.在椭圆x225－k＋y29－k1(k<9，且k≠0)中，因为a1＝25－k，b1＝9－k，c1＝4，所以其长轴长是225－k，短轴长是29－k，焦距是8.所以两椭圆有相等的焦距．故选B.【通性通法】求解与椭圆几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、长轴长、短轴长、焦距等基本量的内在联系．【巩固迁移】6．若连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，则长轴长与短轴长之比为()A．2B．23C．233D．4答案C解析因为连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，所以a＝2c，所以b2＝a 2－c 2＝3c 2，所以b ＝3c ，故2a 2b ＝a b ＝2c 3c ＝233，所以长轴长与短轴长之比为233.故选C.7．(2024·河北沧州统考期末)焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 23＝1的长轴长为43，则其焦距为________．答案6解析由题意，得2a ＝43，所以a 2＝12，c 2＝a 2－b 2＝12－3＝9，解得c ＝3，故焦距2c ＝6.考向2椭圆的离心率例6(1)(2024·江苏镇江模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率为________．答案33解析由题意知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x＝c ，由椭圆的对称性，可设它与椭圆的交点为，因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，又|AF 1|＝|BF 1|，则△AF 1B 为等边三角形．解法一：由|F 1F 2|＝3|AF 2|，可知2c ＝3·b 2a ，即3b 2＝2ac ，所以3(a 2－c 2)＝2ac ，即3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)．解法二：由|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ，可知|AF 1|＝|BF 1|＝|AB |＝43a ，又|AF 1|sin60°＝|F 1F 2|，所以43a ×322c ，解得c a ＝33，即e ＝33.解法三：由|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ，可知|AB |＝|AF 1|＝|BF 1|＝43a ，即2b 2a ＝43a ，即2a 2＝3b 2，所以e ＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝33.(2)(2024·广东七校联考)已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．答案解析根据椭圆的对称性，不妨设焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．解法一：设M (x 0，y 0)，MF 1→·MF 2→＝0⇒(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝0⇒x 20－c 2＋y 20＝0⇒y 20＝c2－x 20，点M (x 0，y 0)在椭圆内部，有x 20a 2＋y 20b 2<1⇒b 2x 20＋a 2(c 2－x 20)－a 2b 2<0⇒x 20>2a 2－a 4c2，要想该不等式恒成立，只需2a 2－a 4c 2<0⇒2a 2c 2<a 4⇒2c 2<a 2⇒e ＝c a <22，而e >0⇒0<e <22，即椭圆离心解法二：由MF 1→·MF 2→＝0，可知点M 在以F 1F 2为直径的圆上，即圆x 2＋y 2＝c 2在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)内部，所以c <b ，则c 2<b 2，即c 2<a 2－c 2，所以2c 2<a 2，即e 2<12，又e >0，所以0<e <22，【通性通法】求椭圆离心率的方法方法一直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝ca求解方法二由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝1－b 2a2求解方法三构造a ，c 的齐次式，可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e注意：解题的关键是借助图形建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，转化为e 的关系式．【巩固迁移】8．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，C 2：x 24＋y 2＝1的离心率分别为e 1，e 2.若e 2＝3e 1，则a ＝()A ．233B ．2C ．3D ．6答案A解析由e 2＝3e 1，得e 22＝3e 21，因此4－14＝3×a 2－1a 2，而a >1，所以a ＝233.故选A.9．(2024·广东六校联考)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是________．答案33，解析设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，由线段PF 1的中垂线过点F 2，得|PF 2|＝|F 1F 2|，即2c ，得m 2＝4c 2＝－a 4c2＋2a 2＋3c 2≥0，即3c 4＋2a 2c 2－a 4≥0，得3e 4＋2e 2－1≥0，解得e 2≥13，又0<e <1，故33≤e <1，即椭圆离心率的取值范围是33，考向3与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题例7(2024·石家庄质检)设点M 是椭圆C ：x 29＋y 28＝1上的动点，点N 是圆E ：(x －1)2＋y 2＝1上的动点，且直线MN 与圆E 相切，则|MN |的最小值是________．答案3解析由题意知，圆E 的圆心为E (1，0)，半径为1.因为直线MN 与圆E 相切于点N ，所以NE ⊥MN ，且|NE |＝1.又E (1，0)为椭圆C 的右焦点，所以2≤|ME |≤4，所以当|ME |＝2时，|MN |取得最小值，又|MN |＝|ME |2－|NE |2，所以|MN |min ＝22－12＝ 3.【通性通法】与椭圆有关的最值(范围)问题的求解策略【巩固迁移】10．如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．答案4解析由题意，知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤3.因为F (－1，0)，A (2，0)，所以PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2，所以当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.课时作业一、单项选择题1．已知动点M 到两个定点A (－2，0)，B (2，0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为()A ．x 29＋y 2＝1B ．y 29＋x 25＝1C ．y 29＋x 2＝1D ．x 29＋y 25＝1答案D解析由题意有6>2＋2＝4，故点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，则2a ＝6，c ＝2，故a 2＝9，所以b 2＝a 2－c 2＝5，故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1.故选D.2．(2024·九省联考)椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的离心率为12，则a ＝()A ．233B ．2C ．3D ．2答案A解析由题意得e ＝a 2－1a＝12，解得a ＝233.故选A ．3．(2024·河南信阳模拟)与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为25的椭圆方程是()A ．x 225＋y 220＝1B ．x 220＋y 225＝1C ．x 220＋y 245＝1D ．x 280＋y 285＝1答案B解析由9x 2＋4y 2＝36，可得x 24＋y 29＝1，所以所求椭圆的焦点在y 轴上，且c 2＝9－4＝5，b＝25，a 2＝25，所以所求椭圆方程为x 220＋y 225＝1.4．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e k 的取值范围是()A ．(0，3)BC ．(0，3)D ．(0，2)答案C解析当k >4时，c ＝k －4，由条件，知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件，知14<4－k4<1，解得0<k <3.故选C.5．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9.动圆M 在圆C 1内部，且与圆C 1内切，与圆C 2外切，则动圆的圆心M 的轨迹方程是()A ．x 264－y 248＝1B ．x 248＋y 264＝1C ．x 248－y 264＝1D ．x 264＋y 248＝1答案D解析设动圆的圆心M (x ，y )，半径为r ，因为圆M 与圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169内切，与圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9外切，所以|MC 1|＝13－r ，|MC 2|＝3＋r .因为|MC 1|＋|MC 2|＝16>|C 1C 2|＝8，由椭圆的定义，知M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点，长轴长为16的椭圆，则a ＝8，c ＝4，所以b 2＝82－42＝48，动圆的圆心M 的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.故选D.6．(2023·全国甲卷)设F 1，F 2为椭圆C ：x 25＋y 2＝1的两个焦点，点P 在C 上，若PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝()A ．1B ．2C ．4D ．5答案B解析解法一：因为PF 1→·PF 2→＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，从而S △F 1PF 2＝b 2tan45°＝1＝12|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝2.故选B.解法二：因为PF 1→·PF 2→＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，由椭圆方程可知，c 2＝5－1＝4⇒c ＝2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝42＝16，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25，平方得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝16＋2|PF 1|·|PF 2|＝20，所以|PF 1|·|PF 2|＝2.故选B.7．(2023·甘肃兰州三模)设椭圆x 24＋y 23＝1的一个焦点为F ，则对于椭圆上两动点A ，B ，△ABF周长的最大值为()A ．4＋5B ．6C ．25＋2D ．8答案D解析设F 1为椭圆的另外一个焦点，则由椭圆的定义可得|AF |＋|BF |＋|AB |＝2a －|AF 1|＋2a －|BF 1|＋|AB |＝4a ＋|AB |－|BF 1|－|AF 1|＝8＋|AB |－|BF 1|－|AF 1|，当A ，B ，F 1三点共线时，|AB |－|BF 1|－|AF 1|＝0，当A ，B ，F 1三点不共线时，|AB |－|BF 1|－|AF 1|<0，所以当A ，B ，F 1三点共线时，△ABF 的周长取得最大值8.8．(2024·安徽三市联考)已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P ，Q 为C 上两点，2PF 2→＝3F 2Q →，若PF 1→⊥PF 2→，则C 的离心率为()A ．35B ．45C ．135D ．175答案D解析设|PF 2→|＝3m ，则|QF 2→|＝2m ，|PF 1→|＝2a －3m ，|QF 1→|＝2a －2m ，|PQ |＝5m ，在△PQF 1中，得(2a －3m )2＋25m 2＝(2a －2m )2，即m ＝215a .因此|PF 2→|＝25a ，|PF 1→|＝85a ，|F 2F 1→|＝2c ，在△PF 1F 2中，得6425a 2＋425a 2＝4c 2，故17a 2＝25c 2，所以e ＝175.故选D.二、多项选择题9．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，下列说法中正确的是()A ．曲线C 不可能是椭圆B ．“1＜k ＜4”是“曲线C 是椭圆”的充分不必要条件C ．“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3＜k ＜4”的必要不充分条件D ．“曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆”是“1＜k ＜2.5”的充要条件答案CD解析对于A ，当1＜k ＜4且k ≠2.5时，曲线C 是椭圆，A 错误；对于B ，当k ＝2.5时，4－k ＝k －1，此时曲线C 是圆，B 错误；对于C ，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，－k >0，－1>0，－1>4－k ，解得2.5＜k ＜4，所以“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3＜k ＜4”的必要不充分条件，C 正确；对于D ，若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，－1>0，－k >0，－k >k －1，解得1＜k ＜2.5，D 正确．故选CD.10．(2024·海口模拟)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m (0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 周长的取值范围是[6，12]C ．当m ＝32时，△ABF 为直角三角形D ．当m ＝1时，△ABF 的面积为6答案ACD解析设椭圆的左焦点为F ′，则|AF ′|＝|BF |，∴|AF |＋|BF |＝|AF |＋|AF ′|＝6，为定值，A 正确；△ABF 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |，∵|AF |＋|BF |为定值6，|AB |的取值范围是6)，∴△周长的取值范围是(6，12)，B 错误；将y ＝32与椭圆方程联立，解得－332，又F (6，0)，∴AF →·BF →＝0，∴AF ⊥BF ，∴△ABF 为直角三角形，C 正确；将y ＝1与椭圆方程联立，解得A (－6，1)，B (6，1)，∴S △ABF＝12×26×1＝6，D 正确．故选ACD.三、填空题11．(2023·四川南充三诊)若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为________．答案14解析将原方程变形为x 2＋y 21m＝1.由题意知a 2＝1m，b 2＝1，所以a ＝1m ，b ＝1，所以1m＝2，m ＝14.12．(2024·南昌模拟)已知椭圆E 的中心为原点，焦点在x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为22，则椭圆E 的方程为________．答案x 28＋y 24＝1解析椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为22，c ＝22－2，＝22，＝22，＝2，从而a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1.13．(2024·河南名校教研联盟押题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，下顶点为A ，AF 的延长线交C 于点B ，若|AF |∶|BF |＝2∶1，则C 的离心率为________．答案33解析解法一：如图，设椭圆C 的右焦点为F ′，则|AF |＝|AF ′|＝a ，因为|AF |∶|BF |＝2∶1，所以|BF |＝a 2，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝3a 2，又|BF |＋|BF ′|＝2a ，所以|BF ′|＝2a －|BF |＝3a2，由余弦定理可知cos ∠BAF ′＝|AB |2＋|AF ′|2－|BF ′|22|AB ||AF ′|＝13，设O 为坐标原点，椭圆C 的焦距为2c ，则离心率e ＝ca ＝sin ∠OAF ′，因为∠BAF ′＝2∠OAF ′，故cos ∠BAF ′＝1－2sin 2∠OAF ′＝1－2e 2，所以e ＝33.解法二：设B 在x 轴上的射影为D ，由于|AF |∶|BF |＝2∶1，所以|BD |＝|OA |2＝b 2，|FD |＝|OF |2＝c 2，即－3c 2，将B 的坐标代入C 的方程，得9c 24a 2＋b 24b 2＝1，得e ＝33.14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且△F 1AB 的面积为2－32，若点P 为椭圆上任意一点，则1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围是________．答案[1，4]解析由已知，得2b ＝2，故b ＝1.∵△F 1AB 的面积为2－32，∴12(a －c )b ＝2－32，∴a －c＝2－3，又a 2－c 2＝(a －c )(a ＋c )＝b 2＝1，∴a ＝2，c ＝3，∴1|PF 1|＋1|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2||PF 1|·|PF 2|＝2a|PF 1|（2a －|PF 1|）＝4－|PF 1|2＋4|PF 1|.又2－3≤|PF 1|≤2＋3，∴1≤－|PF 1|2＋4|PF 1|≤4，∴1≤1|PF 1|＋1|PF 2|≤4，即1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为[1，4]．四、解答题15．(2024·辽宁阜新校考期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 1P C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点A (0，－1)，点M 是椭圆C 上任意一点，求|MA |的最大值．解(1)因为P 3，P 4关于坐标轴对称，所以P 3，P 4必在椭圆C 上，有1a 2＋34b 2＝1，将点P 1(1，1)代入椭圆方程得1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2＝1，所以P 1(1，1)不在椭圆C 上，P 2(0，1)在椭圆C 上，所以b 2＝1，a 2＝4，即椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)点A (0，－1)是椭圆C 的下顶点，设椭圆上的点M (x 0，y 0)(－1≤y 0≤1)，则x 204＋y 20＝1，即x 20＝4－4y 20，所以|MA |2＝x 20＋(y 0＋1)2＝4－4y 20＋(y 0＋1)2＝－3y 20＋2y 0＋5＝－0＋163，又函数y ＝－＋163在∞，＋，所以当y 0＝13时，|MA |2取到最大值，为163，故|MA |的最大值为433.16．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，左顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，A 到直线EF 2的距离为62b .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若P 为椭圆C 上的一点，∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，求椭圆C 的标准方程．解(1)由题意，得A (－a ，0)，直线EF 2的方程为x ＋y ＝c ，因为A 到直线EF 2的距离为62b ，即|－a －c |12＋12＝62b ，所以a ＋c ＝3b ，即(a ＋c )2＝3b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以(a ＋c )2＝3(a 2－c 2)，所以2c 2＋ac －a 2＝0，因为离心率e ＝ca ，所以2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12或e ＝－1(舍去)，所以椭圆C 的离心率为12.(2)由(1)知离心率e ＝c a ＝12，即a ＝2c ，①因为∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，所以12|PF 1|·|PF 2|sin60°＝3，所以|PF 1|·|PF 2|＝4，1|＋|PF 2|＝2a ，1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos60°＝（2c ）2，所以a 2－c 2＝3，②联立①②，得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.17．(多选)(2023·山东济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，点P (1，1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是()A ．|QF 1|＋|QP |的最小值为2a －1B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆CD ．若PF 1→＝F 1Q →，则椭圆C 的长轴长为5＋17答案ACD解析由题意知2c ＝2，则c ＝1，因为点Q 在椭圆上，所以|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QP |＝2a －|QF 2|＋|QP |，又－1≤－|QF 2|＋|QP |≤1，所以A 正确；因为点P (1，1)在椭圆内部，所以b ＞1，2b ＞2，所以B 错误；因为点P (1，1)在椭圆内部，所以1a 2＋1b 2＜1，即b 2＋a 2－a 2b 2＜0，又c ＝1，b 2＝a 2－c 2，所以(a 2－1)＋a 2－a 2(a 2－1)＜0，化简可得a 4－3a 2＋1＞0(a >1)，解得a 2＞3＋52或a 2＜3－52(舍去)，则椭圆C 的离心率e ＝ca＜13＋52＝15＋12＝5－12，又0<e <1，所以椭圆C 所以C 正确；由PF 1→＝F 1Q →可得，F 1为PQ 的中点，而P (1，1)，F 1(－1，0)，所以Q (－3，－1)，|QF 1|＋|QF 2|＝（－3＋1）2＋（－1－0）2＋（－3－1）2＋（－1－0）2＝5＋17＝2a ，所以D 正确．故选ACD.18．(多选)(2023·辽宁大连模拟)已知椭圆C ：x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，左、右顶点分别是A 1，A 2，点P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，则下列说法正确的是()A ．|PF 1|＋|PF 2|＝4B ．存在点P 满足∠F 1PF 2＝90°C ．直线PA 1与直线PA 2的斜率之积为－916D ．若△F 1PF 2的面积为27，则点P 的横坐标为±453答案CD解析由椭圆方程，知a ＝4，b ＝3，c ＝7，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，A 错误；当P 在椭圆上、下顶点时，cos ∠F 1PF 2＝2a 2－4c 22a 2＝18>0，即∠F 1PF 2的最大值小于π2，B 错误；若P (x ′，y ′)，则k P A 1＝y ′x ′＋4，k P A 2＝y ′x ′－4，有k P A 1·k P A 2＝y ′2x ′2－16，而x ′216＋y ′29＝1，所以－16y ′2＝9(x ′2－16)，即有k P A 1·k P A 2＝－916，C 正确；若P (x ′，y ′)，△F 1PF 2的面积为27，即2c ·|y ′|2＝27，故y ′＝±2，代入椭圆方程得x ′＝±453，D 正确．故选CD.19．(2023·河北邯郸二模)已知O 为坐标原点，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，上顶点为B ，线段BF 的中垂线交C 于M ，N 两点，交y 轴于点P ，BP →＝2PO →，△BMN 的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解如图，由题意可得|BP |＝23b ，|PO |＝13b ，连接PF .由题意可知|BP |＝|PF |，在Rt △POF 中，由勾股定理，得|PO |2＋|OF |2＝|PF |2，＋c 2，整理得b 2＝3c 2，所以a 2－c 2＝3c 2，即a 2＝4c 2，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12.在Rt △BOF 中，cos ∠BFO ＝|OF ||BF |＝c a ＝12，所以∠BFO ＝60°.设直线MN 交x 轴于点F ′，交BF 于点H ，在Rt △HFF ′中，有|FF ′|＝|HF |cos ∠BFO ＝a ＝2c ，所以F ′为椭圆C 的左焦点，又|MB |＝|MF |，|NB |＝|NF |，所以△BMN 的周长等于△FMN 的周长，又△FMN 的周长为4a ，所以4a ＝16，解得a ＝4.所以c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝12.故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.20．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆的离心率的取值范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．解(1)不妨设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c .在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（|PF 1|＋|PF 2|）2－2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，即4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 22|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 2，所以3|PF 1|·|PF 2|＝4b 2，所以|PF 1|·|PF 2|＝4b 23.又因为|PF 1|·|PF 2|＝a 2，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，等号成立，所以3a 2≥4(a 2－c 2)，所以c a ≥12，所以e ≥12.又因为0<e <1，所以椭圆的离心率的取值范围是12，(2)证明：由(1)可知|PF 1|·|PF 2|＝43b 2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin60°＝12×43b 2×32＝33b 2，所以△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．。
北师大版2021版高考数学(理)一轮复习 第九章平面解析几何第5讲椭圆第1课时椭圆及其性质练习(含答案)
北师大版2021版高考数学（理）一轮复习第九章平面解析几何第5讲椭圆第1课时椭圆及其性质练习[基础题组练]1．(2020·河北衡水二模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为13，则ab＝( )A.98 B ．322C.43D ．324解析：选D.因为e ＝ca ＝a 2－b 2a 2＝13，所以8a 2＝9b 2，所以a b ＝324.故选D. 2．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 解析：选B.因为a ＝4，e ＝34，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7. 因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.3．已知点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：选A.由|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°＝|F 1F 2|2，得3|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝4，故选A.4．设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为( )A.2－1 B ．5－12C.22D ．2＋1解析：选A.不妨设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，如图所示，因为△PF 1F 2为直角三角形，所以PF 1⊥F 1F 2，又|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝22c ，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2c ＋22c ＝2a ，所以椭圆E 的离心率e ＝2－1.故选A.5．(2020·江西赣州模拟)已知A ，B 是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的两点，且A ，B 关于坐标原点对称，F 是椭圆的一个焦点，若△ABF 面积的最大值恰为2，则椭圆E 的长轴长的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D.如图所示，设直线AB 的方程为ty ＝x ，F (c ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ty ＝x ，x 2a 2＋y 2b2＝1可得y 2＝a 2b 2b 2t 2＋a 2＝－y 1y 2，所以△ABF 的面积S ＝12c |y 1－y 2|＝12c （y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝c a 2b 2b 2t 2＋a 2≤cb ，当t ＝0时取等号．所以bc ＝2.所以a 2＝b 2＋c 2≥2bc ＝4，a ≥2.所以椭圆E 的长轴长的最小值为4.故选D.6．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，|F 1M |2＝（x ＋4）2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)． 答案：(3，15)7．(2020·河北衡水三模)“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目．近期，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为________千米．解析：设椭圆的长半轴长为a 千米，半焦距为c 千米，月球半径为r 千米．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝100＋r ，a －c ＝15＋r ，解得2c ＝85.即椭圆形轨道的焦距为85千米． 答案：858．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是________．解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2.又d ＝|3×0－4×b |32＋（－4）2≥45，所以1≤b <2.又e ＝c a ＝1－b 2a2＝1－b 24，所以0<e ≤32.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 9．已知F 1，F 2分别为椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，连接AF 2和BF 2.(1)求△ABF 2的周长；(2)若AF 2⊥BF 2，求△ABF 2的面积．解：(1)因为F 1，F 2分别为椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，连接AF 2和BF 2. 所以△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝4 2. (2)设直线l 的方程为x ＝my －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1x 2＋2y 2＝2，得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2， 因为AF 2⊥BF 2，所以F 2A →·F 2B →＝0， 所以F 2A →·F 2B →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝(my 1－2)(my 2－2)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－2m (y 1＋y 2)＋4 ＝－m 2－1m 2＋2－2m ×2m m 2＋2＋4 ＝－m 2＋7m 2＋2＝0. 所以m 2＝7.所以△ABF 2的面积S ＝12×|F 1F 2|×（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝89.10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F 2(3，0)，离心率为e .(1)若e ＝32，求椭圆的方程； (2)设直线y ＝kx 与椭圆相交于A ，B 两点，M ，N 分别为线段AF 2，BF 2的中点，若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且22<e ≤32，求k 的取值范围． 解：(1)由题意得c ＝3，c a ＝32，所以a ＝2 3.又因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3.所以椭圆的方程为x 212＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝kx得(b 2＋a 2k 2)x 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2b 2＋a 2k 2，依题意易知，OM ⊥ON ，四边形OMF 2N 为矩形，所以AF 2⊥BF 2.因为F 2A →＝(x 1－3，y 1)，F 2B →＝(x 2－3，y 2)， 所以F 2A →·F 2B →＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋9＝0.即－a 2（a 2－9）（1＋k 2）a 2k 2＋（a 2－9）＋9＝0，将其整理为k 2＝a 4－18a 2＋81－a 4＋18a 2＝－1－81a 4－18a 2. 因为22<e ≤32，所以23≤a <32，12≤a 2<18. 所以k 2≥18，即k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－24∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞.[综合题组练]1．设椭圆：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限内的点，直线BO 交椭圆于点C ，O 为原点，若直线BF 平分线段AC ，则椭圆的离心率为( )A.12 B ．13 C.14 D ．15解析：选B.如图，设点M 为AC 的中点，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线，于是△OFM ∽△AFB ，且|OF ||FA |＝|OM ||AB |＝12，即c a －c ＝12，解得e ＝c a ＝13.故选B. 2．(2020·福建福州一模)已知F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，P 是椭圆上异于顶点的任意一点，K 点是△F 1PF 2内切圆的圆心，过F 1作F 1M ⊥PK 于点M ，O 是坐标原点，则|OM |的取值范围为( )A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(0，3)D ．(0，23)解析：选C.如图，延长PF 2，F 1M 相交于N 点，因为K 点是△F 1PF 2内切圆的圆心，所以PK 平分∠F 1PF 2， 因为F 1M ⊥PK ，所以|PN |＝|PF 1|，M 为F 1N 的中点， 因为O 为F 1F 2的中点，M 为F 1N 的中点，所以|OM |＝12|F 2N |＝12||PN |－|PF 2||＝12||PF 1|－|PF 2||<12|F 1F 2|＝c ＝3，所以|OM |的取值范围是(0，3)． 故选C.3．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若AF 1⊥AF 2，S △F 1AF 2＝2，则椭圆C 的方程为________．解析：因为点A 在椭圆上，所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，对其平方，得|AF 1|2＋|AF 2|2＋2|AF 1||AF 2|＝4a 2，又AF 1⊥AF 2，所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝4c 2，则2|AF 1||AF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2，即|AF 1||AF 2|＝2b 2，所以S △F 1AF 2＝12|AF 1||AF 2|＝b 2＝2.又△AF 1F 2是直角三角形，∠F 1AF 2＝90°，且O 为F 1F 2的中点，所以|OA |＝12|F 1F 2|＝c ，由已知不妨设A 在第一象限，则∠AOF 2＝30°，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，12c ，则S △AF 1F 2＝12|F 1F 2|·12c ＝12c 2＝2，c 2＝4，故a 2＝b 2＋c 2＝6，所以椭圆方程为x 26＋y 22＝1.答案：x 26＋y 22＝14．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是________．解析：设正方形的边长为2m ，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以m >c ，又正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，所以m 2a 2＋m 2b 2＝1>c 2a 2＋c 2b 2＝e 2＋e 21－e 2，整理得e 4－3e 2＋1>0，e 2<3－52＝（5－1）24，所以0<e <5－12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 5．已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点．若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值． 解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. (2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0， 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 2＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋2（4－x 20）x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0<x 20≤4)． 因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，当且仅当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.6．(2020·江西八校联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为其左、右焦点，B 1，B 2为其上、下顶点，四边形F 1B 1F 2B 2的面积为2，点P 为椭圆E 上任意一点，以P 为圆心的圆(记为圆P )总经过坐标原点O .(1)求椭圆E 的长轴A 1A 2的长的最小值，并确定此时椭圆E 的方程；(2)对于(1)中确定的椭圆E ，若给定圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝3，则圆P 和圆F 1的公共弦MN 的长是不是定值？如果是，求|MN |的值；如果不是，请说明理由．解：(1)依题意四边形F 1B 1F 2B 2的面积为2bc ， 所以2bc ＝2.因为|A 1A 2|＝2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22，当且仅当b ＝c ＝1时取“＝”，此时a ＝2， 所以长轴A 1A 2的长的最小值为22，此时椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)是定值．设点P (x 0，y 0)，则x 202＋y 20＝1⇒y 20＝1－x 202.圆P 的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝x 20＋y 20，即x 2＋y 2－2x 0x －2y 0y ＝0，① 圆F 1的方程为(x ＋1)2＋y 2＝3，即x 2＋y 2＋2x －2＝0，②①－②得公共弦MN所在直线的方程为(x0＋1)x＋y0y－1＝0，所以点F1到公共弦MN所在直线的距离d＝|x0＋2|（x0＋1）2＋y20＝|x0＋2|（x0＋1）2＋1－12x20＝|x0＋2|12x20＋2x0＋2＝2，则|MN|＝23－d2＝2，所以圆P和圆F1的公共弦MN的长为定值2.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．椭圆的概念
在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|) 的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，
两焦点间的距离叫做焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c ＞0，且a，c为常数： (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集．
【反思与悟】 运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立 关于a、b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考 虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2＋ny2 ＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，由题目所给条件求出m、n即可．
C
考向三
椭圆几何性质的应用
[审题视点] (1)由椭圆方程可直接求出c，从而求出离心 率．(2)可设出直线方程与椭圆方程联立得一元二次方程， 由弦长公式列出|AB|长的表达式从而求出|AB|的最大值．
专题九 解析几何
第5讲 椭圆
1．考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题． 2．考查椭圆的方程及其几何性质．
3．考查直线与椭圆的位置关系．
【复习指导】 1．熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程．
2．掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、
转化与化归等．体会解析几何的本质问题——用代数的方法解 决几何问题．
怎样求解与弦有关的椭圆方程问题 【问题研究】 求椭圆的方程是高考的重中之重，几乎每年 必考，有的是以选择题或填空题的形式出现，多数以解答 题的形式出现．虽然考向二中学习了求椭圆方程的方法， 但在解答题中往往结合弦长等知识来求椭圆方程，难度中 等偏上． 【解决方案】 解决这类问题首先根据题设条件设出所求的 椭圆方程，再由直线与椭圆联立，结合根与系数的关系及 弦长公式求出待定系数．
2．椭圆的标准方程和几何性质
一条规律
三种技巧
(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别 为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c. (2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2 就可求得e(0＜e＜1)． (3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断 的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴．
考向一
椭圆定义的应用
答案
3
【反思与悟】 椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常 称为“焦点三角形”，利用定义可求பைடு நூலகம்周长，利用定义和余弦 定理可求|PF1|· |PF2|；通过整体代入可求其面积等．
C
考向二
求椭圆的标准方程
[审题视点] 用待定系数法求椭圆方程，但应注意椭圆的焦点
位置是否确定．
B
考向四
椭圆中的定值问题
[审题视点] (1)由离心率和准线方程即可求出椭圆方程．(2) 充分利用椭圆的定义和性质，利用设而不求的方法求出P 点．
【反思与悟】 本题考查椭圆方程的求法和椭圆中的定点、定 值等综合问题，可先设出动点P，利用设而不求的方法求出P 点的轨迹方程，从而找出定点．