2021届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第五节椭圆教师文档教案文北师大版.doc

第五节 椭 圆

授课提示：对应学生用书第161页

[基础梳理]

1．椭圆的定义

(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|

F 1F 2|)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．

(2)集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. ①当2a >|F 1F 2|时，M 点的轨迹为椭圆；

②当2a ＝|F 1F 2|时，M 点的轨迹为线段F 1F 2； ③当2a <|F 1F 2|时，M 点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质

图形

标准方程

x 2

a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0) y 2

a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0) 续表

性质

范围 －a ≤x ≤a －b ≤y ≤b －b ≤x ≤b －a ≤y ≤a

对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点

顶点

A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)

B 1(0，－b )，B 2(0，b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(－b ，0)，B 2(b ，0)

轴 长轴A 1A 2的长为2a ； 短轴B 1B 2的长为2b

焦距 |F 1F 2|＝2c 离心率 e ＝c

a

∈(0，1) a ，b ，c 的关

系

a 2＝

b 2＋

c 2

1．e 与b a ：因为e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2，所以离心率e 越大，则b a

越小，椭圆就越扁；

离心率e 越小，则b

a

越大，椭圆就越圆．

2．点与椭圆的位置关系

已知点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)，则

(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20

a 2＋y 2

0b

2＜1；

(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20

a 2＋y 2

0b

2＝1；

(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20

a 2＋y 20b

2＞1.

3．设椭圆x 2a 2＋y

2b

2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P

为短轴端点；当x ＝±a 时，|OP |有最大值a ，这时，P 为长轴端点．

4．若点P 是椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝

θ，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ

2

.

5．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点F 作x 轴的垂线，交椭圆于A ，B ，则|AB |＝2b 2

a .

6．椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，P (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，则|PF 1|

＝a ＋ex 0，|PF 2|＝a －ex 0.

7．若P 为椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点，则a －c ≤|PF |≤a ＋c .

[四基自测]

1．(易错点：椭圆的概念)下列说法中正确的个数是( )

①平面内到两定点距离之和为常数是动点的轨迹是椭圆的必要不充分条件；②椭圆的离心率

越大，椭圆越接近圆；③若方程x 25－k ＋y 2

k －3

＝1表示椭圆，则(5－k )(k －3)＞0；④椭圆离心率

e ∈(0，1)．

A ．1

B ．2

C ．3 D.0 答案：B

2．(基础点：椭圆的定义)已知椭圆x 225＋y 2

16

＝1上一点P 到椭圆一个焦点F 1的距离为3，则P

到另一个焦点F 2的距离为( ) A ．2 B ．3 C ．5 D.7 答案：D

3．(基础点：椭圆的方程与性质)已知椭圆的一个焦点为F (1，0)，离心率为1

2

，则椭圆的标准

方程为________．

答案：x 24＋y 2

3

＝1

4．(易错点：椭圆方程的特征)已知椭圆x 2m －2＋y 2

10－m

＝1的焦点在x 轴上，焦距为4，则m 等

于________． 答案：8

授课提示：对应学生用书第162页

考点一 椭圆的定义及应用

挖掘1 利用椭圆定义求方程/ 自主练透

[例1] (1)已知圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 264－y 248＝1 B ．x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 [解析] 设圆M 的半径为r ，

则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，

∴M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16，2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 2

48

＝1.

[答案] D

(2)已知动圆M 过定点A (－3，0)并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．

[解析] 因为点A 在圆B 内， 所以过点A 的圆与圆B 只能内切， 因为定圆圆心坐标为B (3，0)， 所以|AB |＝6.

所以|BM |＝8－|MA |，即|MB |＋|MA |＝8＞|AB |， 所以动点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，

即a ＝4，c ＝3.故b 2＝7.即椭圆方程为x 216＋y 2

7

＝1.

[答案] x 216＋y

27

＝1

挖掘2 椭圆定义的应用/ 互动探究

[例2] (1)(2020·郑州第二次质量预测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为

F 1、F 2，离心率为2

3

，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则椭圆C 的

标准方程为( ) A.x 23＋y 2＝1 B ．x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 29＋y 25＝1 [解析] 由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AF 2|

＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝12，所以a ＝3.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝2

3

，所以c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2

＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 2

5

＝1，故选D.

[答案] D

(2)已知点P (x ，y )在椭圆x 236＋y 2

100

＝1上，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的面积为18，

则∠F 1PF 2的余弦值为________．

[解析] 椭圆x 236＋y 2

100＝1的两个焦点为F 1(0，－8)，F 2(0，8)，由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝

20，

两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝202，

由余弦定理得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos ∠F 1PF 2＝162， 两式相减得2|PF 1||PF 2|(1＋cos ∠F 1PF 2)＝144，

又S △PF 1F 2＝1

2|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝18，

所以1＋cos ∠F 1PF 2＝2sin ∠F 1PF 2，

解得cos ∠F 1PF 2＝3

5

.

[答案] 3

5

[破题技法] 椭圆定义应用技巧思路