上海市位育中学2020学年高二数学3月监控考试试题(无答案)

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2022-2023学年上海市位育中学高二下学期3月月考化学试题

2022-2023学年上海市位育中学高二下学期3月月考化学试题1.Ⅰ.如图是氢气分子的形成过程示意图，请回答下列问题：(1)H-H键的键长为___________，①—⑤中，体系能量由高到低的顺序是___________。

(2)下列说法中正确的是___________。

A．氢气分子的能量高于氢原子B．由①到④，电子在核间出现的概率增加C．由④到⑤，必须消耗外界的能量D．氢气分子之间存在共价键(3)下列与氢原子有关的说法中，错误的是___________。

A．在氢原子的电子云图中，小黑点的疏密程度表示电子在该区域出现的概率密度B．霓虹灯能够发出五颜六色的光，其发光机理与氢原子光谱形成机理基本相同C．利用玻尔原子结构模型可以较好地解释氢原子光谱为线状光谱D．氢原子核外只有一个电子，它产生的原子光谱中只有一根或明或暗的线(4)已知几种常见化学键的键能如下表所示。

键能／kJ 498①比较Si-Si键与②被誉为21世纪人类最理想的燃料。

试计算：每千克燃烧(生成水蒸气)放出的热量约为___________kJ。

Ⅱ.科学家已研制出利用太阳能产生激光，并在二氧化钛()表面作用使海水分解得到氢气激光的新技术：。

试回答下列问题：(5)分解海水时，实现了从光能转化为___________能。

分解海水的反应属于反应___________(填“放热”或“吸热”)。

(6)氢气可用于燃料电池。

燃料电池使用气体燃料和氧气直接反应产生电能，是一种很有前途的能源利用方式。

某种培根型碱性氢氧燃料电池原理如图所示，下列有关该电池的说法正确的是___________。

A．出口I处有KOH生成B．循环泵可使电解质溶液不断浓缩、循环C．电池放电时，向镍电极I的方向迁移D．正极电极反应为：(7)储氢是氢能利用的关键技术。

科学家最近研究出一种环保，安全的储氢方法，其原理可表示为：下列有关说法正确的是___________。

A．储氢、释氢过程均无能量变化B．具有离子键和共价键C．储氢过程中，被氧化D．释氢过程中，每消耗0.1mol 放出2.24L的(8)工业合成氨中也会用到氢气。

上海市2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题 (无答案)

2024学年第一学期期中联考高二数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度________.2.已知四棱柱的底面是正方形，侧棱垂直于底面，底面边长为，高为3，则此四棱柱的对角线长为________.3.已知边长为3的正△ABC 的三个顶点都在球O 的表面上，且OA 与平面ABC 所成的角为30°，则球O 的表面积为________.4.已知两条不同的直线m ，n ，两个不同的平面，，给出下列四个说法：①m ∥n ，，；②，，；③，；④，，，其中正确的序号是________.5.直线l 垂直于平面内的两条不平行的直线，则直线l 与平面的关系是________.6.已知异面直线m ，n 所成的角为60°，M ，N 在直线m 上，G ，H 在直线n 上，，，，，，则G ，M 间的距离为________.7.正方体中，平面与平面的交线是________所在的直线.8.圆锥的底面半径为1，母线长为2，在圆锥体内部放入一个体积最大的球，该球的表面积为________.9.已知圆锥的顶点为P ，母线PA ，PB 的夹角为60°，PA 与圆锥底面所成角为45°，若△PAB 的面积为，则该圆锥的侧面积为________.10.在正方体中，二面角的平面角大小为________.11.已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点P 是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是MN ，则的取值范围是________.αβm α⊥n βαβ⊥⇒∥αβ∥m α⊂n m n β⊂⇒∥m n ⊥m n αα⇒∥∥αβ∥m n ∥m n αβ⊥⇒⊥ααHN m ⊥NH n ⊥1MN =3NH =2GH =1111ABCD A B C D -11ABC D 11ABCD 1111ABCD A B C D -11C D B A --ABC A B C '''-PM PN ⋅12.已知正四面体ABCD 棱长为2，点，，分别是△ABC ，△ABD ，△ACD 内切圆上的动点，现有下列四个命题：①对于任意点，都存在点，使；②存在，使直线平面ABC ；③当最小时，三棱锥④当最大时，顶点A 到平面其中正确的有________.（填选正确的序号即可）二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，每题有且只有一个正确选项）13.在空间直角坐标系中，点关于y 轴对称的点坐标是（）A. B. C. D.14.设a ，b 为两条不同的直线，，为两个不重合的平面.下列命题中正确的是（）A.若，，则B.若a ，b 与所成的角相等，则a 与b 平行或相交C.若内有三个不共线的点到的距离相等，则D.若，且，则15.如图，在棱长为2的正方体中，M ，N 分别是棱，的中点，点E 在BD 上，点F 在上，且，点P 在线段CM 上运动，给出下列四个结论：①当点E 是BD 中点时，直线EF ∥平面；②直线到平面CMN ；③存在点P ，使得；④.其中所有正确结论的个数是（）1P 2P 3P 2P 3P 230P P AD ⋅=1P 2P 12P P ⊥122331PP P P P P ++ 123A P P P -122331PP P P P P ++ 123P P P ()2,1,4-()2,1,4-()2,1,4--()2,1,4---()2,1,4-αβαβ⊥a α⊥a β∥ααβa β∥b αβ= a α⊂a β∥a b∥1111ABCD A B C D -11A B 11A D 1B C BE CF =11DCC D 11B D 1190B PD ∠=︒1PDD △A.0B.1C.2D.316.如图所示，四面体ABCD 的体积为V ，点M 为棱BC 的中点，点E ，F 分别为线段DM 的三等分点，点N 为线段AF 的中点，过点N 的平面与棱AB ，AC ，AD 分别交于O ，P ，Q ，设四面体AOPQ 的体积为，则的最小值为（）A. B. C. D.三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在棱长为2的正方体中，E 为的中点.（1）求异面直线AE 与所成角的余弦值；（2）求三棱锥的体积.18.如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PC 的中点，且平面PBD ⊥平面BEF .αV 'V V'14181161271111ABCD A B C D -11A C 1B C 1A B CE -（1）证明：；（2）若PB ⊥PD ，当四棱锥P －ABCD 的体积最大时，求直线PA 与平面BEF 的夹角.19.如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，PA =BC =2AD =2AB =4，AD ⊥平面PAB ，PA ⊥AB ，E 、F 分别是棱PB 、PC 的中点.（1）证明：DF ∥平面ACE ；（2）求平面ACE 与平面PCD 的夹角的余弦值.20.如图，已知长方体，AB =2，，直线BD 与平面所成角为30°，AE 垂直BD 于E .（1）若F 为棱的动点，试确定F 的位置，使得AE ∥平面，并说明理由；（2）若F 为棱的中点，求点A 到平面BDF 的距离；（3）若F 为棱上的动点（除端点、外），求二面角F －BD －A 的平面角的范围.21.一个几何系统的“区径”是指几何系统中的两个点距离的最大值，如圆的区径即为它的直径长度.（1）已知△ABC 为直角边为1的等腰直角三角形，其中AB ⊥AC ，求分别以△ABC 三边为直径的三个圆构成的几何系统的区径；（2）已知正方体的棱长为2，求正方体的棱切球（与各棱相切的球）和外接圆构成的几何系统的区径；PA PC =1111ABCD A B C D -11AA =11AA B B 11A B 1BC F 11A B 11A B 1A 1B 1111ABCD A B C D -1ACB △（3）已知正方体的棱长为2，求正方形ABCD 内切圆和正方形内切圆构成的几何系统的区径.1111ABCD A B C D 11ADD A。

2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高三(下)月考数学试卷(2021.03)(含解析)

2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高三（下）月考数学试卷（3月份）一、填空题（共12小题）.1．抛物线x2＝12y的准线方程为．2．若函数f（x）＝是奇函数，则实数m＝3．若函数f（x）＝的反函数为g（x），则函数g（x）的零点为．4．在锐角三角形△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（b2+c2﹣a2）tan A＝bc，则角A的大小为．5．若（x3﹣）n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为．6．某单位有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（每辆车最多只获一次赔偿），设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为（结果用最简分数表示）7．已知等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，且有，则首项a1的取值范围．8．若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为9．2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有种．10．设θ∈[0，2π），若圆（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝r2（r＞0）与直线2x﹣y﹣10＝0有交点，则r的最小值为11．已知复数集合A＝{x+yi||x|≤1，|y|≤1，x，y∈R}，，其中i为虚数单位，若复数z∈A∩B，则z对应的点Z在复平面内所形成图形的面积为．12．已知正方形ABCD边长为8，，若在正方形边上恰有6个不同的点P，使，则λ的取值范围为．二、选择题（共4小题）.13．下列函数是奇函数的是（）A．f（x）＝x+1B．f（x）＝sin x•cos xC．f（x）＝arccos x D．f（x）＝14．若已知极限，则的值为（）A．﹣3B．C．﹣1D．15．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中下列判断错误的是（）A．BG⊥DE B．CH∥BE C．DG⊥BH D．AE∥CD16．设向量，其中a2+b2＝c2+d2＝1，则下列判断错误的是（）A．向量与z轴正方向的夹角为定值（与c，d之值无关）B．的最大值为C．与的夹角的最大值为D．ad+bc的最大值为1三、解答题17．如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，AB＝AC＝1，，高等于3，点M1、M2、N1、N2为所在线段的三等分点．（1）求此三棱柱的体积和三棱锥A1﹣AM1N2的体积；（2）求异面直线A1N2、AM1所成的角的大小．18．已知曲线Γ：＝1的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线Γ上的任意一点．（1）当P异于A，B时，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2是定值；（2）设点C满足＝λ（λ＞0），且|PC|的最大值为7，求λ的值．19．某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形ABCD区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界AB＝AD＝2（km），BC＝3（km）．CD＝1（km）．（1）求AC的长以及原棚户区建筑用地ABCD的面积；（2）因地理条件限制，边界AD，DC不能更变，而边界AB，BC可以调整，为了增加棚户区建筑用地的面积，请在弧上设计一点P，使得棚户区改造后的新建筑用地（四边形APCD）的面积最大，并求出这个面积的最大值．20．已知函数f（x）＝，x∈R．（1）证明：当a＞1时，函数y＝f（x）是减函数；（2）根据a的不同取值，讨论函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）当a＝2，且b＜c时，证明：对任意d∈[f（c），f（b）]，存在唯一的x0∈R，使得f（x0）＝d，且x0∈[b，c]．21．设数列{a n}（n∈N*）中前两项a1，a2给定，若对于每个正整数n≥3，均存在正整数k （1≤k≤n﹣1）使得a n＝，则称数列{a n}为“Ω数列”．（1）若数列{a n}（n∈N*）为a1＝1，a2＝﹣的等比数列，当n≥3时，试问：a n与是否相等，并说明数列{a n}（n∈N*）是否为“Ω数列”；（2）讨论首项为a1、公差为d的等差数列{a n}是否为“Ω数列”，并说明理由；（3）已知数列{a n}为“Ω数列”，且a1＝0，a2＝1，记S（n，k）＝a n﹣1+a n﹣2+…+a n﹣k，（n≥2，n∈N*），其中正整数k≤n﹣1，对于每个正整数n≥3，当正整数k分别取1、2、…、n﹣1时的最大值记为M n、最小值记为m n．设b n＝n•（M n﹣m n），当正整数n 满足3≤n≤2020时，比较b n与b n+1的大小，并求出b n的最大值．参考答案一、填空题（共12小题）.1．抛物线x2＝12y的准线方程为y＝﹣3．解：抛物线x2＝12y的准线方程为：y＝﹣3．故答案为：y＝﹣3．2．若函数f（x）＝是奇函数，则实数m＝解：f（x）是奇函数；∴f（﹣x）＝﹣f（x）；即；∴﹣x﹣2m+1＝﹣x+2m﹣1；∴﹣2m+1＝2m﹣1；∴．故答案为：．3．若函数f（x）＝的反函数为g（x），则函数g（x）的零点为．解：根据题意，函数f（x）＝，则f（0）＝，若函数f（x）＝的反函数为g（x），则g（）＝0，则函数g（x）的零点为；故答案为：．4．在锐角三角形△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（b2+c2﹣a2）tan A＝bc，则角A的大小为．解：∵（b2+c2﹣a2）tan A＝bc，∴由余弦定理可得：2bc cos A•tan A＝bc，可得：sin A＝，∵A为锐角，∴A＝．故答案为：．5．若（x3﹣）n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为5．解：（x3﹣）n的展开式的通项为＝．取3n﹣5r＝0，得n＝，∴当r＝3时，n为最小正整数5．故答案为：5．6．某单位有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（每辆车最多只获一次赔偿），设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为（结果用最简分数表示）解：某单位有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（每辆车最多只获一次赔偿），设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为p＝1﹣＝．故答案为：．7．已知等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，且有，则首项a1的取值范围0＜a1＜1且a1≠或a1＝3．解：∵，∴q n一定存在，∴0＜|q|＜1或q＝1．当q＝1时，，∴a1＝3．当0＜|q|＜1时，由，得，∴2a1﹣1＝q．∴0＜|2a1﹣1|＜1．∴0＜a1＜1且a1≠．综上，得0＜a1＜1且a1≠或a1＝3．8．若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为16π解：设球的半径为R，球心到平面α的距离为d，平面α截球所得圆面的半径为r，则d ＝3，由于球的表面积为100π，即4πR2＝100π，则R＝5，由勾股定理可得，因此，平面α截球所得圆面的面积为πr2＝π×42＝16π，故答案为：16π．9．2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有1518种．解：由题意知本题是一个分步计数问题，解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从23所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，共有C31C22A232＝1518，故答案为：1518．10．设θ∈[0，2π），若圆（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝r2（r＞0）与直线2x﹣y﹣10＝0有交点，则r的最小值为解：根据题意，圆（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝r2（r＞0）的圆心为（cosθ，sinθ），则圆心到直线2x﹣y﹣10＝0的距离d＝＝，若圆与直线有交点，则d≤r，又由﹣≤2cosθ﹣sinθ≤，则2﹣1≤d≤2+1，则有r≥2﹣1，即r的最小值为2﹣1，故答案为：2﹣1．11．已知复数集合A＝{x+yi||x|≤1，|y|≤1，x，y∈R}，，其中i为虚数单位，若复数z∈A∩B，则z对应的点Z在复平面内所形成图形的面积为．解：集合A＝{x+yi||x|≤1，|y|≤1，x，y∈R）在复平面内所形成的图形为正方形ABCD内包括边界，z2＝（1+i）z1＝（cos+i sin）z1对应的点在复平面内形成的图象为正方形PQRS，如图：所以所求图形的面积为﹣4×＝﹣1＝，故答案为：12．已知正方形ABCD边长为8，，若在正方形边上恰有6个不同的点P，使，则λ的取值范围为（﹣1，8）．解：以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系如图：如图，则F（0，2），E（8，4）（1）若P在AB上，设P（x，0），0≤x≤8∴＝（﹣x，2），＝（8﹣x，4）∴•＝x2﹣8x+8，∵x∈[0，8]，∴﹣8≤•≤8，。

2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高二下学期期中考试数学试卷(解析版)

上海市徐汇区位育中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试卷一、填空题（共12小题）.1．直线（t为参数）的斜率为．『答案』『解析』直线，所以直线的普通方程为：（y﹣4）＝﹣（x﹣3），y＝x+；所以直线的斜率为：；故答案为：．2．已知直线l的一个方向向量为＝（1，﹣2，0），平面α的一个法向量为＝（m，3，6），且l∥α，则m＝．『答案』6『解析』∵直线l的一个方向向量为＝（1，﹣2，0），平面α的一个法向量为＝（m，3，6），且l∥α，∴＝m﹣6＝0，解得m＝6．故答案为：6．3．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，，用、、作为基底向量表示＝．『答案』﹣﹣『解析』平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，如图所示：则＝++＝﹣+＝﹣﹣＝﹣﹣．故答案为：﹣﹣．4．已知抛物线y2＝2px过点A（2，2），则点A到准线的距离为．『答案』『解析』抛物线y2＝2px过点A（2，2），可得p＝1，所以抛物线的准线方程为x＝﹣，所以点A到准线的距离为：2+＝．故答案为：．5．水平放置的边长为1的正三角形经过斜二测画法得到的直观图面积为．『答案』『解析』边长为1的正三角形的面积为S＝×12×sin60°＝，经过斜二测画法得到的直观图面积为S′＝S＝×＝．故答案为：．6．若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则它的表面积是．『答案』6π『解析』圆柱的轴截面是面积为4的正方形，所以圆柱的母线长为2，底面圆的半径为1，所以圆柱的表面积是S表＝2π×12+2π×1×2＝6π．故答案为：6π．7．地球（地球半径为R）表面上从A地（北纬45°，东经120°）到B地（北纬45°，东经30°）的球面距离为．『答案』『解析』地球表面上从A地（北纬45°，东经120°）到B地（北纬45°，东经30°），B的纬圆半径是，经度差是90°，所以AB＝R，球心角是，则A、B两地的球面距离是.故答案为：.8．已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1+2R2＝3R3，则它们的体积V1，V2，V3满足的等量关系是．『答案』『解析』因为V1＝πR13，所以，R1＝同理R2＝，R3＝．由R1+2R2＝3R3，得．它们的体积V1，V2，V3满足的等量关系是：．故答案为：．9．如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，四面体C﹣OAB的主视图AOC是面积为4的直角三角形，且CO＝2，△OAB是正三角形，且点B在平面xOy上，则此四面体的左视图的面积等于．『答案』6『解析』四面体C﹣OAB的主视图AOC是面积为4的直角三角形，且CO＝2，△OAB是正三角形，所以，则：AO＝4，由于△OAB为等边三角形，所以BO＝4，所以BO在平面yoz上的射影长，则四面体的左视图的面积S＝．故答案为：6．10．若三个平面α、β、γ两两垂直，直线l与平面α、β、γ所成的角都等于λ，cosλ＝．『答案』『解析』由题意可建立如图所示的空间直角坐标系，其中ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，直线l为B1D，平面α、β、γ分别在正方体的三个面上，满足两两垂直，BD＝＝，B1D＝＝，此时直线l与三个平面α、β、γ所成角都相等，等于λ，于是直线l与平面α成角为∠B1DB＝λ，cosλ＝＝＝，故答案为：．11．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，B是母线SA上一点，且AB＝10公里．为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路．这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为公里．『答案』18『解析』如图，展开圆锥的侧面，过点S作A'B的垂线，垂足为H，记点P为A'B上任意一点，联结PS，，由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的A'B，，上坡即P到山顶S的距离PS越来越小，下坡即P到山顶S的距离PS越来越大，∴下坡段的铁路，即图中的HB，由Rt△SA'B∽Rt△HSB，可得：＝，可求出HB＝＝＝18．即下坡段铁路的长度为18公里．故答案为：18．12．在平面xOy上，将曲线x2+＝1（x≥0）与y轴围成的封闭图形记为D，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，试构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理得出Ω的体积值为．『答案』『解析』根据题意知，曲线x2+＝1（x≥0）与y轴围成的封闭图形为半椭圆，如图所示：该平面图形绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理，可知Ω的体积V＝2（π•12•2﹣π•12•2）＝．故答案为：．二、选择题13．空间内不同的四个点，“无任何三点共线”是“四点不共面”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件『答案』C『解析』在空间四点中，①当四点不共面时，其中任意三点必不共线，∴必要性成立，②当任意三点不共线时，不能得出四点不共面，如平行四边形的四个顶点，∴充分性不成立，∴无任何三点共线是四点不共面的必要不充分条件．故选：C．14．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（）（1）若m⊥α，n∥α，则m⊥n；（2）若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；（3）若m∥α，n∥α，则m∥n；（4）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．A．1 B．2 C．3 D．4『答案』B『解析』m，n是两条不同的直线α，β，γ是三个不同的平面，对于（1），若m⊥α，n∥α，则m⊥n，故（1）正确；对于（2），若α∥β，β∥γ，所以α∥β∥γ，由于m⊥α，则m⊥γ，故（2）正确；对于（3），若m∥α，n∥α，则m∥n或m和n异面或m和n相交，故（3）错误；（4）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α和β相交，故（4）错误．故选：B．15．在棱长为10的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P平行于A1C的直线与正方体表面（）相交A．ABCD B．BB1C1C C．CC1D1D D．AA1B1B『答案』A『解析』过P作PN⊥A1A于N，A1N＝3，PN＝2，连接A1P，延长A1P交AD于M，设AM＝x，，即，于是x＝＜10，连接MC，过P作PQ∥A1C，交MC于Q，所以Q在平面ABCD内，故选：A．16．对于直角坐标平面内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“新距离”：||AB||＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．给出下列三个命题：①若点C在线段AB上．则∥AC∥+∥BC∥＝∥AB∥；②在△ABC中，若∠C＝90°，则∥AC∥2+∥BC∥2＝∥AB∥2；③在△ABC中，∥AC∥+∥BC∥＞∥AB∥．其中的真命题为（）A．①③B．①②C．①D．③『答案』C『解析』①若点C在线段AB上，设点C（x0，y0），那么x0在x1，x2之间．y0在y1，y2之间，∴||AC||+||CB||＝|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|＝||AB||，故①正确；②平方后不能消除x0，y0，命题不成立，故②不正确；③在△ABC中，||AC||+||CB||＝|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|≥|x0﹣x1+y0﹣y1+x2﹣x0+y2﹣y0|＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|＝||AB||，故③不正确．故选：C．三、解答题17．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝3．（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．解:（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝3，∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：＝＝＝＝4．（2）∵DD1∥CC1，∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），∵tan∠A1CC1＝＝＝，∴∠A1CC1＝．∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为；18．点A、B分别是椭圆+＝1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．（1）求P点的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M 的距离d的最小值．解:（1）由已知可得点A（﹣6，0），F（4，0），设点P（x，y），则＝（x+6，y），＝（x﹣4，y）．由已知可得，2x2+9x﹣18＝0，解得x＝，或x＝﹣6．由于y＞0，只能x＝，于是y＝．∴点P的坐标是（，）．（2）直线AP的方程是，即x﹣y+6＝0．设点M（m，0），则M到直线AP的距离是．于是＝|6﹣m|，又﹣6≤m≤6，解得m＝2，故点M（2，0）．设椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，有d2＝（x﹣2）2+y2＝x2﹣4x+4+20﹣x2＝（x﹣）2+15，∴当x＝时，d取得最小值．19．某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24πcm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm．（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？解：（1）设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为h1，则2πr＝24π，解得r＝12cm．h1＝cm．∴笼具的体积V＝πr2h﹣＝π×（122×30﹣×122×16）＝3552π≈11158.9cm3．（2）圆柱的侧面积S1＝2πrh＝720cm2，圆柱的底面积S2＝πr2＝144πcm2，圆锥的侧面积为S3＝πrl＝240πcm2．故笼具的表面积S＝S1+S2+S3＝1104πcm2．故制造50个这样的笼具总造价为：元．答：这种笼具的体积约为11158.9cm3，生产50个笼具需要元．20．已知点F1、F2为双曲线的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴的上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l过点（0，1）且与双曲线C交于A、B两点，若A、B中点的横坐标为1，求直线l的方程；（3）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求证：为定值．（1）解：由双曲线的方程可得a＝1，在直角三角形MF1F2中，∠MF1F2＝30°，MF2⊥F2F1，可得|MF1|＝2|MF2|，且|MF1|﹣|MF2|＝2a＝2，解得|MF2|＝2，又|MF2|＝＝b2，所以b2＝2，则双曲线的方程为；（2）解：由题意可得直线l的斜率存在，设为k，直线l的方程为y＝kx+1，联立，可得（2﹣k2）x2﹣2kx﹣3＝0，△＝4k2+12（2﹣k2）＞0，解得﹣＜k＜设A，B的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2＝由A、B中点的横坐标为1，可得＝1，解得k＝1或﹣2（舍去），所以直线l的方程为y＝x+1；（3）证明：设P（m，n），则2m2﹣n2＝2，由，解得P1（，），由，解得P2（，），所以•＝（，）•（，）＝+＝＝＝，即．21．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，异面直线AD1与A1C1所成角的大小为β，求证：tan2β＝2tan2α+1；（2）若点C到平面AB1D1的距离为，求二面角A﹣B1D1﹣A1；（3）在（2）的条件下，若平面BB1C1B内存在点P满足P到直线BC的距离与到直线C1D1的距离相等，求的最小值．（1）证明：设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高为h，因为AA1⊥底面A1B1C1D1，所以∠AB1A1＝α，于是tanα＝，因为AC∥A1C1，如图所示，所以∠CAD1＝β，由勾股定理可知，CA＝，CD1＝AD1＝，在等腰三角形CAD1中，底边CA上的高为，所以tanβ＝，则tan2β＝2h2+1＝2tan2α+1；（2）解：因为O1为A1C1与B1D1的交点，三角形AB1D1是以B1D1为底边的等腰三角形，所以AO1⊥B1D1，根据线面垂直的判定定理可知，B1D1⊥平面ACC1A1，由面面垂直的判定定理可知，平面AB1D1⊥平面ACC1A1，且平面AB1D1∩平面ACC1A1＝AO1，、则点C在平面AB1D1的射影H在AO1上，即CH＝，如图所示，在矩形ACC1A1中，AH＝，因为Rt△AA1O∽Rt△CHA，则，即，解得AA1＝2，所以正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高2，因为，O为B1D1的中点，则AO1⊥B1D1，又O1为正方形对角线A1C1与B1D1的交点，则A1O1⊥B1D1，所以∠AO1A1为二面角的A﹣B1D1﹣A1平面角，则Rt△AO1A1中，，故tan∠AO1A1＝，所以二面角A﹣B1D1﹣A1的大小为arctan；（3）解：以A1为空间直角坐标系的坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设P（1，y，z）（0≤y≤1），因为C1D1⊥平面BB1C1C，故C1D1⊥PC1，由题意可知，，即4﹣4z＝（y﹣1）2（0≤z≤1），所以有＝，当y＝1时，y2有最大值1，此时z＝1，而（z﹣2）2+1也达到最小值，所以有最大值，则有最小值，最小值为，故的最小值为．。

上海市位育中学2020-2021学年高二下学期3月监控数学试题

上海市位育中学2020-2021学年高二下学期3月监控数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．复数()()223456z m m m m i =--+--为纯虚数，则实数m =________2．34i +的平方根为________3．如果a 、b 是异面直线，b 、c 也是异面直线，则直线a 、c 的位置关系是________ 4．计算：2320131111i i i i+++⋅⋅⋅+所得的结果为________ 5．在复数范围内分解因式：322x x x -+=_______.6．已知z 为虚数，且4z z+为实数，则||z =________ 7．若15z z i -=+，则z = _______.8．由正方体各个面的对角线所确定的平面共有________个9．关于x 的方程2(3)40()x k i x k k R ++++=∈有实根的充要条件________10．设1z 、2z 是非零复数，且满足2211220z z z z ++=，则22121212z z z z z z ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭________11．在空间四边形ABCD 中，E 为边AB 的中点，F 为边CD 的中点，若6AC =，10BD =，且AC BD ⊥，则线段EF 的长为________12．在复平面内，三点A 、B 、C 分别对应复数A z 、B z 、C z ，若413B A C A z z i z z -=+-，则ABC ∆的三边长之比为________13．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =，设AB 的中点为F ，则1A F 与1DC 所成的角为_______.14．若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立： ①10a a+≠②()2222a b a ab b +=++③若a b =，则a b =± ④若2a ab =，则a b =．则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的序号是_____．二、单选题15．设1z 、2z 是两个复数，则“120z z ->”是“12z z >”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件16．有下列命题：（1）两个平面可以有且仅有一个公共点；（2）三条互相平行的直线必在同一个平面内；（3）两两相交的三条直线一定共面；（4）过三个点有且仅有一个平面；（5）所有四边形都是平面图形，其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．317．若,a b 是所成角为60的两条异面直线，点O 为空间一点，则过点O 与,a b 均成60角的直线有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条18．设非零复数0Z 为复平面上一定点，1Z 为复平面上的动点，其轨迹方程101Z Z Z -=，Z 为复平面上另一个动点满足11Z Z =-，则Z 在复平面上的轨迹形状是（） A ．焦距为012Z 的双曲线 B ．以01Z -为圆心，01Z -为半径的圆 C ．一条直线D ．以上都不对三、解答题 19．已知复数1z 、2z 满足12z =，2||3z =，12326z z i +=，求1z 、2z .20．已知12,x x 是实系数方程20x x p ++=的两个根，若123x x -=，求实数p 的值.21．如图：在空间四边形ABCD 中，AB,BC,BD 两两垂直，且AB=BC ＝2，E 是AC 的中点，异面直线AD 和BE所成的角为arccos 10，求BD 的长度.22．如图，平面α与平面β相交于直线a ，直线b 在平面α上，直线c 在平面β上，且b a P ⋂=，c //a ，求证：直线,b c 是异面直线23．已知复数01z mi =-(0)m >，其中i 为虚数单位，对于任意复数z ，有10z z z =⋅，1|z z =．（1）求m 的值；（2）若复数z 满足|||1|z z i =+-，求1z 的取值范围；（3）我们把上述关系式看作复平面上表示复数z 的点P 和表示复数1z 的点Q 之间的一个变换，问是否存在一条直线l ，若点P 在直线l 上，则点Q 仍然在直线l 上？如果存在，求出直线l 的方程，否则，说明理由．参考答案1．4【分析】若复数z a bi =+为纯虚数，则00a b =⎧⎨≠⎩，再将题设中的条件代入运算即可. 【详解】解：因为复数()()223456z m m m m i =--+--为纯虚数，所以22340560m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，解得4161m m m m ==-⎧⎨≠≠-⎩或且，即4m =，故答案为4.【点睛】本题考查了纯虚数的概念，属基础题.2．(2)i ±+【分析】先设复数z a bi =+，可得2()34a bi i +=+，再结合复数相等的充要条件求解即可.【详解】解：设所求复数为z a bi =+，由题意有2()34a bi i +=+，即22234a b abi i -+=+，则22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，即2z i =+或2z i =--，即34i +的平方根为(2)i ±+，故答案为：(2)i ±+.【点睛】本题考查了复数的运算及复数相等的性质，属基础题.3．相交、平行或异面【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，分别找出满足条件a 、b 是异面直线，b 、c 也是异面直线的直线，借助正方体的几何特征即可得出答案.【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，令直线a 为1AA ，直线b 为CD ，直线c 为1BB ,满足直线a 、b 是异面直线，b 、c 也是异面直线，此时直线a 、c 平行；令直线a 为1AA ，直线b 为CD ，直线c 为1AB ,满足直线a 、b 是异面直线，b 、c 也是异面直线，此时直线a 、c 相交；令直线a 为1AA ，直线b 为CD ，直线c 为11C B ,满足直线a 、b 是异面直线，b 、c 也是异面直线，此时直线a 、c 异面；故直线a 、c 可能平行，可能相交，可能异面，故答案为相交、平行或异面.【点睛】本题考查了空间直线的位置关系，重点考查了空间想象能力，属基础题.4．i -【分析】利用复数的运算法则、周期性、再分组求和即可得解.【详解】解：因为1i i =-，211i =-，31i i = ，411i=，4n n i i +=，所以20134503111()i i i i i===-⨯，所以2320131111503(11)i i i i i ii i +++⋅⋅⋅+=⨯--++-=-，故答案为i -.【点睛】本题考查了复数的运算法则、周期性、分组求和，属基础题.5．2(x x x 【分析】根据提公因式以及公式法，将其进行因式分解.【详解】因为322112222x x x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，令211022x x -+=，则x ==，由21i =-，则14x ±=，所以21111()()2244x x x x -+=--，故3222(x x x x x x -+=-，故答案为：2(x x x . 【点睛】本题考查分解因式，掌握在复数中21i =-，属基础题.6．2【分析】先设z a bi =+，由z 为虚数，得0b ≠，再运算4z z +，由4z z+为实数，可得2240b b a b -=+，从而得224a b +=，再求||z 即可.【详解】解：设z a bi =+，0b ≠，则4z z+=2222444()a b a bi a b i a bi a b a b ++=++-+++，因为4z z+为实数，则2240b b a b -=+，又0b ≠，所以224a b +=，所以||2z ===，故答案为2.【点睛】本题考查了复数的除法运算及复数模的运算，重点考查了运算能力，属基础题.7．125i +【分析】可假设z a bi =+，然后根据复数的模以及共轭复数，进行计算，可得结果.【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，z =. 由15z z i -=+15a bi i +=+，则12155a ab b =⎧=⇒⎨==⎩⎪⎩，所以125z i =+，故答案为：125i +.【点睛】本题考查复数的求解，属基础题.8．20【分析】由平面的基本性质可得：两平行线确定一个平面，两相交直线确定一个平面，故分这两类研究即可.【详解】解：正方体各个面中，相对两平行平面中有两组平行对角线，可以确定两个平面，这样有6个平面，又因为每个顶点对应一个符合条件的平面，这样又有8个平面，而每个面上的两条相交的对角线确定6个表面，则共有68620++=个平面，故答案为20.【点睛】本题考查了平面的基本性质，重点考查了空间想象能力，属基础题.9．4k =-【分析】先设0x x =为方程2(3)40()x k i x k k R ++++=∈的实根，可得2000430x kx k x i ++++=，再结合复数相等的运算，可得20004030x kx k x ⎧+++=⎨=⎩，求解即可.【详解】解：设0x x =为方程2(3)40()x k i x k k R ++++=∈的实根，则200(3)40x k i x k ++++=，所以2000430x kx k x i ++++=，则20004030x kx k x ⎧+++=⎨=⎩，解得040k x =-⎧⎨=⎩，即关于x 的方程2(3)40()x k i x k k R ++++=∈有实根的充要条件为4k =-，故答案为4k =-.【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了复数相等的运算，属基础题.10．-1【分析】利用复数的平方运算，再结合2211220z z z z ++=运算即可得解. 【详解】解：因为1z 、2z 是非零复数，且满足2211220z z z z ++=，所以22121212z z z z z z ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2212212()z z z z +=+22122212122z z z z z z +=++12121z z z z -=-，故答案为1-.【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了运算能力，属基础题.11【分析】取BC 中点O ,连接,EO FO ，由EO AC ，且132EO AC ==，FO BD ,且152FO BD ==,推导出EO FO ⊥,由此求出EF 的长. 【详解】如图，取BC 中点O ,连接,EO FO ，因为E 为边AB 的中点，F 为边CD 的中点，6AC =，10BD =，且AC BD ⊥，所以EO AC ，且132EO AC ==，FO BD ,且152FO BD ==，因为AC BD ⊥,所以EO FO ⊥，所以EF ===，【点睛】本题考查了空间两点的距离，主要考查了线线平行，重点考查了运算能力，属基础题. 12．3：4：5【分析】设AB 、AC 对应的复数，计算BC 对应的复数，从而得出AC BC ⊥，再根据AB 与AC 的比值得出答案.【详解】设AB 表示的复数为a bi +，AC 表示的复数为i c d +，则444()(1)()()333a bi c di i c d d c i +=++=-++，所以43a c d =-，43b d c =+，所以BC 表示的复数为44()()33AC AB c a b d i d ci -=-+-=-，所以44(,)(,)033AC BC c d d c ⋅=⋅-=，所以AC BC ⊥, 又B A C A z z AB AC z z -=-，所以45133AB i AC =+==，又AC BC ⊥,则43BC AC ==，所以ABC ∆的三边长之比为：3:4:5,故答案为：3:4:5.【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了复数模的运算，考查了推理能力，属中档题. 13．【分析】利用建系，计算11,A F DC ，然后利用向量夹角公式，可得结果. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，1AB BC ==，12AA =且F 为AB 的中点，所以()()11,0,0,0,0,2,0,1,02F A D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()11,1,2C ，所以()111,0,2,1,0,22A F DC ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设1A F 与1DC 所成的角为0,2πθθ⎛⎫⎛⎤∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭，故11113cos 3A F DC A F DC θ==，所以3arccos 3θ=. 【点睛】本题考查利用向量法求解异面直线所成的角，属基础题.14．②④【解析】对于①：解方程10a a +=得a i ，所以非零复数a i 使得10a a+=，①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C 中，|1|=|i |，则a b =¿a b =±，所以③不成立；④显然成立．则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的所有序号是②④15．B【分析】两个复数一般不能比较大小，只有两个数都是实数时才能比较大小，由此规律对“12z z >”与“120z z ->”的关系进行研究即可得解.【详解】解：因为1z 、2z 是两个复数，若“120z z ->”成立，则12z z -是正实数，此时两复数可能是实数也可能是虚部相等的复数，故不能得出“12z z >”，若“12z z >”成立，则12,z z 都是实数，故可得出“120z z ->”，即“120z z ->”是“12z z >”的必要非充分条件，故选B.【点睛】本题考查了复数的基本概念，重点考查了充分必要条件，属基础题.16．A【分析】采用逐一验证法，可得结果.【详解】（1）错，根据公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线，故不对.（2）错，如图，11,,AD BC B C 互相平行，但没在同一个平面.（3）错，如上图：1,,AB AD AA 相交但不共面，（4）错，如：空间四边形，故选：A.【点睛】本题考查线线关系以及图形的认识，属基础题.17．C【分析】''，采用数形结合，可得结果.将异面直线,a b平移至共交点O的,a b【详解】如图,''将异面直线,a b平移至共交点O的,a b''在平面α中，且,a bs为a'与b'所成锐角的角平分线将s绕O点往正上方旋转得l将s绕O点往正下方旋转得m''均成60角，且,m l与,a b''所成补角的角平分线，其中k为,a b''均成60角且k与,a b所以通过图形，可知有3条.故选：C【点睛】本题考查空间的角，对此种题型常采用数形结合的方法，重点在于作辅助线平移至同一个平面，难点是通过角平分线进行旋转得到所需要的直线，属基础题.18．B【分析】由101Z Z Z -=，知点1Z 的轨迹为连接原点O 和定点0Z 的线段的垂直平分线，因为11Z Z =-，所以11Z Z =-，将此式整体代入点1Z 的方程，化简即可得解. 【详解】由101Z Z Z -=，知点1z 的轨迹为连接原点O 和定点0Z 的线段的垂直平分线，因为11Z Z =-，所以11Z Z=-，将此式整体代入点1Z 的方程，得011Z Z Z --=, 即两边同时乘以0Z Z ，得0011Z Z Z +=, 所以Z 在复平面上的轨迹是以01Z -为圆心，01Z -为半径的圆，故选B.【点睛】本题考查了复数的模的几何意义，重点考查了复数的运算，属基础题.19．121322z z i ⎧=⎪⎨=+⎪⎩或121322z z ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩ 【分析】假设12,z a bi z c di =+=+，,,,a b c d R ∈，然后依据复数的模以及运算，可得结果.【详解】设12,z a bi z c di =+=+，,,,a b c d R ∈ . 由12z =，2||3z =，12326z z i +=，所以2222149332623202a a b b c d c a c b d d =⎧⎪⎧+==⎪⎪⎪+=⎪⇒⎨⎨=+=⎪⎪⎪⎪+=⎩⎪=-⎩或1322a b c d =⎧⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=⎩，所以121322z z i ⎧=⎪⎨=+⎪⎩或12132z z ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩. 【点睛】本题考查复数的运算，属基础题.20．2p =-或52p =【分析】根据∆的符号，以及公式法，可得结果.【详解】由12,x x 是实系数方程20x x p ++=的两个根可得14p ∆=-，12x -±=. 当0∆≥，即14p ≤，123x x -==，所以1492p p -=⇒=-.当∆<0，即14p >，则12x -±=，123x x -==， 54192p p -=⇒=，综上所述：2p =-或52p =. 【点睛】本题考查复数的应用，重点在于对∆的讨论，属中档题21．4【分析】建立如图所示的空间直角坐标系,求出()1,1,0BE =，()0,2,AD z =-，可得2221cos 410z θ==+，求出z 的值即可得结果. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，由题意有(0,2,0),(2,0,0)A C ，()1,1,0E设()0,0,D z ，则()1,1,0BE =，()0,2,AD z =-cos AD BE AD BE θθ∴⋅=⋅=10arccos10πθ-= 2221cos 410z θ∴==+ 4z ∴=，即4BD =.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.22．证明见解析【分析】根据反证法，利用异面直线的概念，可得结果.【详解】假设b //c ，由c //a ，所以b //a ，与b a P ⋂=矛盾，所以b 与c 不平行.假设直线b 与c 相交，且b c M ⋂=，由直线b 在平面α内，直线c 在平面β内，所以点,M M αβ∈∈，又a αβ⋂=，所以M a ∈，故c 与a 相交，又c //a ，故矛盾，所以b 与c 不相交.综上所述：直线,b c 是异面直线.【点睛】本题考查异面直线的证明，属基础题.23．（1）2；（2）⎫+∞⎪⎪⎣⎭；（3）存在，直线方程y ，理由见解析【分析】（1）利用复数的模的性质即可得解；（2）利用复数的几何意义即可得解；（3）设z x yi =+，1z t ni =+，由10z z z =⋅，得22t x y n x y=+⎧⎨=-⎩，① 设存在直线l ，则直线l 一定过原点，故设直线l 的方程为y kx =，② ，联立化简即可得解.【详解】（1）因为10z z z =⋅，所以10z z z =⋅，故0z =，所以21()5m +-=，又0m >，故2m =；（2）由|||1|z z i =+-，得复数z 的轨迹是点()0,0A ，()1,1B -的中垂线，又AB ==所以2z ⎫∈+∞⎪⎪⎣⎭，即1z ⎫=∈+∞⎪⎪⎣⎭，故1z 的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭；（3）设z x yi =+，1z t ni =+，由10z z z =⋅，得22t x y n x y =+⎧⎨=-⎩，① 设存在直线l 满足题意，则直线l 一定过原点，故设直线l 的方程为y kx =，② 由题意知：把①代入②可得2(2)x y k x y -=+，③把②代入③可得210k k +-=，解得12k -±=，故存在直线l ，其方程为y . 【点睛】本题考查了复数模的运算及复数模的几何意义，重点考查了运算能力，属中档题.。

2019-2020年高二3月质检数学文含答案

2019-2020年高二3月质检数学文含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线的准线方程是，则的值是（）A．B．C．8 D．2.已知命题，则是（）A． B．C． D．3.复数的虚部是（）A. B.C. D.4.若抛物线上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为（）A． B． C． D．5.若方程C：（是常数）则下列结论正确的是（）A．，方程C表示椭圆B．，方程C表示双曲线C．，方程C表示椭圆 D．，方程C表示抛物线6.双曲线的离心率，则k的取值范围是（）A．B．C．D．7.已知函数在R上可导，且，则与的大小为（）-=->-<不确定(1)(1)(1)(1)(1)(1).A f fB f fC f f D8. 设椭圆（a>b>0）的两焦点为F1、F2，若椭圆上存在一点Q，使∠F1QF2=120º，椭圆离心率e的取值范围为（）A. B. C. D.9．两圆和的位置关系是（）A．内切 B.相交 C.外切 D.外离10.若直线将圆平分，但不经过第四象限，则直线的斜率的取值范围是（）A. B.[0，1] C. D.11.直线和圆交于两点，则的中点坐标为（）A． B． C． D．12.直线过抛物线的焦点F，且交抛物线于两点，交其准线于点,已知,则（）A. B. C. D．4二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.13.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是__ ____.14. 双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，，则双曲线的离心率为____________.15．已知点是抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形平面区域内(含边界)的任意一点，则的最大值为_ __..16．下列命题中_________为真命题．① “A∩B＝A”成立的必要条件是“AB”，②“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题，③“全等三角形是相似三角形”的逆命题，④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题。

2018-2019学年上海市徐汇区位育中学高二下学期3月月考数学试题(解析版)

【详解】
（1）在正方体中，与直线是异面直线的棱所在的直线有：、、、、，共条；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、，
，，设异面直线与所成角的大小为，
则， .
因此，异面直线与所成角的大小为 .
2018-2019学年上海市徐汇区位育中学高二下学期3月月考数学试题
一、单选题
1．设、是两个复数，则“ ”是“ ”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】两个复数一般不能比较大小，只有两个数都是实数时才能比较大小，由此规律对“ ”与“ ”的关系进行研究即可得解.
【解析】【详解】
解：（1）建立以为原点，分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，又， ,则， , , , ,
又为线段中点，所以 ,
则， ,
设平面的一个法向量为，
则，即，令，
则，
设直线与平面所成角为，
则，
即，
故直线与平面所成角为 .
（2）设点到平面的距离为，
【答案】（1）2；（2）；（3）存在，直线方程，理由见解析
【解析】（1）利用复数的模的性质即可得解；
（2）利用复数的几何意义即可得解；
（3）设，，由，得，①设存在直线，则直线一定过原点，故设直线的方程为，②，联立化简即可得解.
【详解】
（1）因为，所以，
故，所以，
又，
故；
【详解】
如图，取中点 ,连接，
因为为边的中点，为边的中点，，，且，

上海市位育中学2020-2021学年高二下学期3月月考数学试题

14.设是两条不同直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（）
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则；
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
15.过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）
A.三角形B.长方形C.对角线不相等的菱形D.六边形
【答案】
12.如图，在长方体中，，E，F，G分别为的中点,点P在平面ABCD内，若直线平面EFG，则线段长度的最小值是________________.
【答案】
二．选择题
13.设是平面外的两条直线，且，那么是的（）条件
A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要
【答案】A
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）当P坐标为时，求直线l的方程；
（3）求证：是一个定值．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【答案】A
16.正方体中，点在侧面及其边界上运动，且满足到异面直线与距离相等，则动点的轨迹是（）
A.一条线段B.椭案】D
三．解答题
17.如图，直三棱柱中，，，，点为线段中点．
求直三棱柱的体积；
求异面直线与所成的角的大小．（结果用反三角表示）
【答案】
9.已知圆柱的底面半径为1，母线长为4，为母线，则绕圆柱侧面两周到达点经过的最短路程为_______________
【答案】
10.空间中三条直线两两垂直，若直线与直线所成角都为，则 _______
【答案】
11.在棱长为2的正方体中，分别是的中点，用过三点的平面截正方体，则截面图像的周长为__________

2020-2021学年上海市行知中学高二下学期3月月考数学试题(解析版)

2020-2021学年上海市行知中学高二下学期3月月考数学试题一、单选题1．已知实数1,,,,9a x b --依次成等比数列，则实数x 的值为 A ．3或－3 B ．3 C ．－3 D ．不确定【答案】C【分析】根据等比中项的性质可以得到一个方程，解方程，结合等比数列的性质，可以求出实数x 的值.【详解】因为实数1,,,,9a x b --依次成等比数列，所以有2(1)(9)3x x =-⨯-⇒=± 当3x =时，2(1)33a =-⨯=-，显然不存在这样的实数a ，故3x =-，因此本题选C. 【点睛】本题考查了等比中项的性质，本题易出现选A 的错误结果，就是没有对等比数列各项的正负性的性质有个清晰的认识.2．设α是空间中的一个平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，则下列命题中正确的是 A ．若m ⊂α，n ⊂α，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α B ．若m ⊂α，n ⊥α，l ⊥n ，则l ∥m C ．若l ∥m ，m ⊥α，n ⊥α，则l ∥n D ．若l ⊥m ，l ⊥n ，则n ∥m 【答案】C【详解】A 选项，若//m n ，则可能l α⊂; B 选项，可能l 与m 异面，或相交； C 选项，正确；D 选项，m 与n 可能相交或异面. 故选C.3．已知长方体1111ABCD A B C D -中，对角线1AC 与平面1A BD 交于点O ，则O 为1A BD 的（） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心【答案】C【分析】画出长方体如图，说明O 在三角形1A BD 的中线1A E 和BF 上即可说明O 是1A BD 的重心．【详解】解：如图，平面11ACC A 与平面1A BD 的交线为1A E ，显然点E 是BD 的中点，且点O 在1A E 上，故点O 在BD 的中线上，同理可得点O 在1A D ，1A B 的中线上，即点O 是1A BD 三边中线的交点，即为1A BD 的重心．故选：C ．4．已知两个平面,αβ和三条直线,,m a b ,若m αβ=,a α⊂且,a m b β⊥⊂,设α和β所成的一个二面角的大小为1θ,直线a 和平面β所成的角的大小为2θ,直线,a b 所成的角的大小为3θ,则（） A ．123θθθ=≥ B ．312θθθ≥= C ．1323,θθθθ≥≥ D ．1232,θθθθ≥≥【答案】D【分析】在一个平行六面体中,对三个角进行比较,即可选出正确答案. 【详解】如图,在平行六面体中,1190,90A AD A AB ∠=∠> 不妨设面11AA D D 为α,面ABCD 为β,BC b =.则AD m =,1AA a = 此时,由图可知,12390,90,90θθθ><=.只有C 选项符合. 故选:D.【点睛】本题考查了线面角,考查了面面角的概念.一般情况下,涉及到线面角和面面角问题时可借助空间向量进行求解.但在本题中,没有具体的几何体,因此,我们可以采取举实例的方法,在一个具体地几何体中探究角的大小关系. 二、填空题5．双曲线221916x y -=的焦距是___________.【答案】10【分析】根据双曲线方程求解出c 的值，即可求解出焦距. 【详解】因为22291625c a b =+=+=，所以5c =，所以焦距为210c =，故答案为：10.6．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，则直线1A B 与直线1C D 的距离为___________. 【答案】1【分析】根据题意作出图形，取1A B ，1C D 的中点,M N 并连接MN ，可证明MN 为公垂线，由此根据MN 的长度可求直线1A B 与直线1C D 的距离.【详解】连接111,AB AB A B M =，连接111,CD CD C D N =，连接MN ，由正方体的结构特点可知：MN ⊥平面11CDD C ，MN ⊥平面11ABB A ，且1A B ⊂平面11ABB A ，1C D ⊂平面11CDD C ，所以11,MN A B MN C D ⊥⊥，所以MN 为11,A B C D 的公垂线，所以直线1A B 与直线1C D 的距离为MN ，又1MN =，所以直线1A B 与直线1C D 的距离为1，故答案为：1.7．设,a b 是平面M 外两条直线，且//a M ，那么//a b 是//b M 的________条件. 【答案】充分不必要【分析】判断由a b ∥能否得到b M ，再判断由b M 能否得到a b ∥【详解】证明充分性：若a b ∥，结合a M ，且b 在平面M 外，可得b M ，是充分条件；证明必要性：若b M ，结合a M ，且,a b 是平面M 外，则,a b 可以平行，也可以相交或者异面，所以不是必要条件. 故填“充分不必要”【点睛】本题考查空间线面平行，线线平行之间的关系，充分条件和必要条件，属于简单题.8．正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长2AB =，若直线1B C 与底面ABCD 所成的角的大小为arctan 2，则正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积为________ 【答案】32【分析】根据线面垂直关系、线面角的定义可知1arctan 2B CB ∠=，从而得到12BB BC =，根据底面边长可求得侧棱长，进而得到所求的侧面积.【详解】四棱柱1111ABCD A B C D -为正四棱柱∴四边形ABCD 为正方形，1BB ⊥平面ABCD∴直线1B C 与底面ABCD 所成角为1arctan 2B CB ∠=1224BB BC AB ∴=== ∴正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积：1442432S AB BB =⋅=⨯⨯=故答案为32【点睛】本题考查棱柱侧面积的求解，关键是能够根据线面角的定义确定线面角的具体位置，从而得到长度关系，属于基础题.9．已知四面体ABCD 中，4AB CD ==，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3π，则EF =___________.【答案】2或【分析】取AC 中点M ，先通过平行关系分析异面直线AB 与CD 所成的角为EMF ∠或其补角，然后通过分类讨论结合角度以及长度、余弦定理求解出EF 的长度. 【详解】取AC 中点M ，连接,ME MF ，因为,E F 分别为,BC AD 的中点，所以1//,22ME AB ME AB ==，1//,22MF CD MF CD ==，所以异面直线AB 与CD 所成的角即为EMF ∠或其补角，当异面直线AB 与CD 所成的角为EMF ∠时，3EMF π∠=，且2ME MF ==，所以MEF 为等边三角形，所以2EF =；当异面直线AB 与CD 所成的角为EMF ∠的补角时， 23EMF π∠=，且2ME MF ==，所以2222cos EF ME MF MF ME EMF =+-⋅∠，所以EF ==综上可知，EF 长为2或故答案为：2或10．已知直线l 与平面α成45︒角，直线m α⊂，若直线l 在α内的射影与直线m 也成45︒角，则l 与m 所成的角的大小是___________. 【答案】60︒【分析】根据题意作出图示，通过,l α所成的线面角以及m 与l 的射影所成的线线角确定出相关线段长度，最后通过线段长度求解出,l m 所成角的大小. 【详解】设l P α=，在l 上取点A ，过点A 作AA α'⊥交α于点A '，将直线m 平移至过点P ，由此得到直线m '，过点A '作A A m ''''⊥交m '于A ''，如图，因为m '与A P '成45︒角，不妨设45A PA '''∠=︒，设AA x '=，所以AP '=，x A P '=，又因为45A PA PA A ''''''∠=∠=︒，所以PA A A A P x ''''''===，所以AA x ''=，所以()()22222AP x PA AA ''''==+，所以AA PA ''''⊥，所以1cos 2xPA APA AP ''''∠===，所以60APA ''∠=︒，又因为,l m '所成角为APA ''∠或其补角，所以,l m '所成角的大小为60︒，所以,l m 所成角的大小为60︒，故答案为：60︒.11．设正四面体ABCD 的棱长为a ，P 是棱AB 上的任意一点，且P 到面ACD ､BCD 的距离分别为1d ､2d ，则12d d +=___________. 【分析】求得四面体的高，利用P BCD P ACD A BCD V V V ---+=，代入棱锥的体积公式可得12d d +的值．【详解】解：如图AO ⊥平面BCD，23OB a =，AO ∴==，因为P BCD P ACD A BCD V V V ---+=，在正四面体中，BCDACDSS=，∴12111333BCDBCDACDSAO Sd Sd ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，12d d ∴+．； 12．具有公共y 轴的两个直角坐标平面α和β所成的二面角y α-轴β-大小为45，已知在β内的曲线'C 的方程是2'y =，曲线'C 在平面α内射影的方程22y px =，则p的值是__________．【答案】4【详解】结合题中所给的示意图可知：曲线'C 的方程是2'y =，由于平面α和β所成的二面角y α-轴β-大小为45，平面α内投影的方程为22y px = 故在投影过程中y 值无变化，'2x x =，即2424222y x x px ===' 故4p =.故答案为4．13．在平面直角坐标系中，定义11,(N )n n nn n nx x y n y x y +*+=-⎧∈⎨=+⎩为点(,)n n n P x y 到点111(,)n n n P x y +++的一个变换，我们把它称为点变换.已知1222(1,0)(,)P P x y ，，333(,)P x y ，是经过点变换得到的一组无穷点列，设112,n n n n n a P P P P +++=⋅则满足不等式122016n a a a +++>的最小正整数n 的值为________. 【答案】11【分析】可以先求得1a （当然可求得234,,,a a a ，然后归纳出n a ，对填空、选择题这是不错的解法），然后求得22n n n a x y =+，从而可以得12n n a a +=，说明数列{}n a 是等比数列，求得通项公式n a 后求和，由2016n S >得解．【详解】由定义知1110x y =⎧⎨=⎩，2211x y =⎧⎨=⎩，330,2x y =⎧⎨=⎩，即23(1,1),(0,2)P P ．11223(0,1)(1,1)1a PP P P =⋅=⋅-=， 11(,)(,)n n n n y x y x ++=-⋅-2211()()n n n n n n n n n n n n y y x x y x y x x y x y ++=+=++-=+，222222111()()2()n n n n n n n n n a x y x y x y x y +++=+=-++=+2n a =， ∴数列{}n a 是等比数列，公比为2，首项为1．∴12n n a -=． 2112122221n n n a a a -+++=++++=-，由212016n ->，解得11n ≥．即n 的最小值为11. 故答案为：11.【点睛】本题考查向量的数量积，考查等比数列的通项公式与前n 项和公式．解题关键是求出22n n n a x y =+．接着顺理成章地写出1n a +，观察两项之间的关系，问题得以解决．14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是. 【答案】【详解】作BE ⊥AD 于E ，连接CE ，则AD ⊥平面BEC ，所以CE ⊥AD ，由题设，B 与C 都是在以AD 为焦距的椭球上，且BE 、CE 都垂直于焦距AD ，所以BE =CE . 取BC 中点F ，连接EF ，则EF ⊥BC ，EF =2，，四面体ABCD 的体积，显然，当E 在AD 中点，即B 是短轴端点时，BE 有最大值为b =，所以.[评注] 本题把椭圆拓展到空间，对缺少联想思维的考生打击甚大！当然，作为填空押轴题，区分度还是要的，不过，就抢分而言，胆大、灵活的考生也容易找到突破点：AB=BD (同时AC=CD )，从而致命一击，逃出生天！三、解答题15．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知16AA =，正三棱柱111ABC A B C -的体积为183（1）求正三棱柱111ABC A B C -的表面积；（2）求异面直线1BC 与1AA 所成角的大小. 【答案】（1）3（2）6π.【分析】（1）设该正三棱柱的底面边长为a ，由三棱柱的体积求出a ，然后计算该正三棱柱的表面积即可；（2）说明1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA 所成的角，通过解三角形求解即可．【详解】（1）设正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为a ，则底面ABC ∆的面积为23ABC S ∆=，正三棱柱111ABC A B C -的体积为2213336183ABC V S AA ∆=⋅=⨯== 解得23a =111ABC A B C -的表面积为(2362⨯+=（2）11//AA CC，所以，异面直线1BC与1AA所成角为1BC C∠，在正三棱柱111ABC A B C-中，1CC⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，1CC BC∴⊥，在1Rt BCC∆中，12BCCπ∠=，11tanBCBC CCC∠==16BC Cπ∴∠=.因此，异面直线1BC与1AA所成角的大小为6π.【点睛】本题考查棱柱的体积求法，表面积的求法，异面直线所成角的求法，考查计算能力，属于基础题.16．如图，四边形ABCD为矩形，且2,1,AD AB PA==⊥平面,1ABCD PA=，E为BC的中点.（1）求点A到平面PED的距离；（2）探究在PA上是否存在点G，使得//EG平面PCD，并说明理由.【答案】（1；（2）存在，点G是PA的中点上，使得//EG平面PCD，理由见解析.【分析】（1）由A PDE A PDEV V--=可求得A到平面PED距离；（2）在PA上存在中点G，使得//EG平面PCD，结合线面平行的判断定理可知EG//平面PCD.【详解】（1）连结AE,∵E为BC的中点,1EC CD==,则45DEC∠=,同理可得45AEB∠=,∴90AED∠=,∴DE AE⊥,又PA⊥平面ABCD,且DE⊂平面ABCD，∴PA DE⊥,又∵AE PA A=,∴DE⊥平面PAE,又PE⊂平面PAE,∴DE PE⊥.EA ED==，PE=∴12PDES=△112AEDS=△设A到平面PED的高为h，111133h∴=⨯⨯，解得h=所以A到平面PED.（2）在PA上存在中点G,使得//EG平面PCD.理由如下:取,PA PD的中点,G H,连结,,EG GH CH.∵,G H 是,PA PD 的中点, ∴//GH AD ,且12GH AD =, 又因为E 为BC 的中点,且四边形ABCD 为矩形,所以EC //AD ,且EC =12AD , 所以EC //GH ,且EC =GH ,所以四边形EGHC 是平行四边形,所以EG //CH , 又EG ⊄平面PCD ,CH ⊂平面PCD ,所以EG //平面PCD .17．如图所示，四边形ABCD 为菱形，PA PD =，二面角P AD C --为直二面角，点E 是棱AB 的中点．（Ⅰ）求证：PE AC ⊥；（Ⅱ）若PA AB =，当二面角P AC B --的余弦值为PE 与平面ABCD 所成的角．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）45︒．【分析】（Ⅰ）设点F 是棱AD 的中点，连接,,PF EF BD ，根据面面垂直的性质定理，得到PF ⊥平面ABCD ，进而得到PF AC ⊥，再由BD AC ⊥，结合线面垂直的判定定理，即可求解；（Ⅱ）解法一：设点G 是AC 与EF 的交点，证得PGE ∠为二面角P AC B --的平面角，结合解三角形的知识，即可求解；解法二：设点O 是AC 与BD 的交点，以OA 所在直线为x 轴OB 所在直线为y 轴，过点O 垂直平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，可得平面ABC 的一个法向量(0,0,1)n =，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（Ⅰ）如图所示，设点F 是棱AD 的中点，连接,,PF EF BD ，由PA PD =及点F 是棱AD 的中点，可得PF AD ⊥，又二面角P AD C --为直二面角，故PF ⊥平面ABCD ，又因为AC ⊂平面ABCD ，所以PF AC ⊥，又因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，而EF 是ABD △的中位线，所以//EF BD ，可得EF AC ⊥，又由PFEF F =，且PF ⊂平面PEF ，EF ⊂平面PEF ，所以AC ⊥平面PEF ，又因为PE ⊂平面PEF ，所以PE AC ⊥．（Ⅱ）解法一：设点G 是AC 与EF 的交点，由（Ⅰ）可知AC ⊥平面PEF ，又,PG EG 均在平面PEF 内，从而有,PG AC EG AC ⊥⊥，故PGE ∠为二面角P AC B --的平面角，因为PA AB =，所以PAD △为等边三角形．不妨设菱形ABCD 的边长为2,a GE b =．则在Rt PFG中，,PF FG b ==，于是PG =在Rt PFE中，PE =故cos cos PGE PGF ∠=-∠== 整理得2234a b =，b a =因为PF ⊥平面ABCD ，所以PEF ∠为直线PE 与平面ABCD 所成的角．则tan 1PF PEF EF ∠===，所以直线PE 与平面ABCD 所成的角为45︒. 解法二：设点O 是AC 与BD 的交点，以OA 所在直线为x 轴OB 所在直线为y 轴，过点O 垂直平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．设2,2OA OB b ==，则(2,0,0),(2,0,0)A C -，(1,P b -，则(4,0,0),(1,CA AP b ==--，设平面PAC 的法向量为(,,)m x y z =，则00m AP m CA ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即040x by x ⎧⎪--=⎨=⎪⎩，取1z =，得0,m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，又因为平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =，则|cos ,|||||3m nm n m n ⋅〈〉===b =则(1,P E ，PE =-，则2|cos ,|||||2PE n PE n PE n ⋅-〈〉===则直线PE 与平面ABCD 所成的角为45︒．【点睛】本题考查了线面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18．已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点的坐标为()2,0，倍.椭圆Γ的上、下顶点分别为A B 、，经过点()0,4P 的直线l 与椭圆相交于M N 、两点(不同于AB 、两点). （1）求椭圆的方程；（2）若直线BM l ⊥，求点M 的坐标；（3）设直线AN BM 、相交于点(),Q m n ，求证：n 是定值.【答案】（1）22184x y +=（2）M 的坐标为()-或().（3）见解析【分析】（1）根据题意，可得2c =，a ，224a b -=，求出a =2b =，即可求得椭圆Γ的方程；（2）由（1）得出点B 的坐标为()0,2-，设点(),M x y ，根据BM MP ⊥，得出()()2240x y y ++⋅-=，与椭圆方程22184x y +=联立，即可求出点M 的坐标；（3）设()11,M x y ，()22,N x y ，则直线l 的方程为4y kx =+，与椭圆方程22184x y +=联立，得到关于x 的一元二次方程，写出韦达定理1221612k x x k +=-+，1222412x x k =+，分别求出直线AN 和直线BM 的方程，从而求得m 和n 的关系式，化简整理得出1n =，即n 为定值.【详解】解：（1）根据题意，已知椭圆右焦点的坐标为()2,0倍，得2c =，a ，224a b -=，解得：a =2b =，所以椭圆Γ的方程为：22184x y +=. （2）由题意得，点B 的坐标为()0,2-，设点(),M x y ，由于经过点()0,4P 的直线l 与椭圆相交于M N 、两点，已知BM l ⊥，则BM MP ⊥，所以0BM MP →→=,因为(),2BM x y →=+，(),4MP x y →=--，则()()2240BM MP x y y →→=-++-=整理得：()()2240x y y ++⋅-=，又22184x y +=，解得：0x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩0x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩02x y =⎧⎨=-⎩（舍去），所以所求点M的坐标为()-或(). （3）由于经过点()0,4P 的直线l 与椭圆相交于M N 、两点(不同于AB 、两点)，设直线l 的斜率为k ，可知斜率k 存在，则直线l 的方程为4y kx =+，由题可知，()()0,2,0,2A B -，设()11,M x y ，()22,N x y ，由方程组224184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()221216240k x kx +++=，所以1221612k x x k +=-+，1222412x x k =+，由于直线AN BM 、相交于点(),Q m n ，直线AN 的方程为2222y y x x --=⋅，得()2222x m n kx =-⋅+，直线BM 的方程为1122y y x x ++=⋅，得()1126x m n kx =+⋅+，所以121212423kx x x n x x -=+-，因为()12122482312k kx x x x k ==-++，得()121213422113x x x n x x -++=+=-=-，所以n 为定值1.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和根据直线与椭圆的位置关系解决定值问题，还涉及椭圆的简单几何性质、联立方程组、韦达定理和直线的方程，考查化简运算能力.19．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334116412,,16b b b a a S b +==+=.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和()n T n *∈N ；（3）设集合{}|,n A x x a n *==∈N ，{}|,n B x x b n *==∈N ，将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n c ，记n U 为数列{}n c 的前n 项和，求2021n U -的最小值.【答案】（1）21,2n n n a n b =-=；（2）1(23)26n n T n +=-⋅+；（3）2021n U -的最小值为41.【分析】（1）由题设求出等差数列{}n a 的首项1a 与公差d 及等比数列{}n b 的公比为q ，即可求得n a ，n b ；（2）先由（1）求得n n a b ，再利用错位相减法求得其前n 项和；（3）由（1）可先列举出集合A 、B 中的一些元素，然后根据这些元素的特征求出数列{}n c 中的项，进而求得2020n U -的最小值．【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由题设可得：221312()122231615163220q q q a d d a q q ⎧+=⎪=+⎪⎪⎨⨯+=⎪⎪>⎪⎩，解得：121q d a ==⎧⎨=⎩， 12(1)21n a n n ∴=+-=-，2n n b =；（2）由（1）知：(21)2n n n a b n =-，123123252(21)?2n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋯+-，又23121232(23)?2(21)?2n n n T n n +=⨯+⨯+⋯+-+-，两式相减得：2123112(12)22(222)(21)?222(21)212n n n n n T n n -++--=+++⋯+--=+⨯--⋅-，整理得：1(23)26n n T n +=-⋅+；（3）由（1）知：{|21A x x n ==-，*}{1n N ∈=，3，5，7，9，}⋯，{|2n B x x ==，*}{2n N ∈=，4，8，16，}⋯，{1A B =，2，3，4，5，7，8，}⋯，11c ∴=，22c =，33c =，44c =，⋯，即数列{}n c 中的项是正奇数与2的正整数次幂，当64n c =时，6236382(12)32(163)(2222)(135763)1150122n U U -⨯+=+++⋯++++++⋯+=+==-，即3864c =，381150U =，又493839404911(6585)1150(656785)115019752U U c c c +=+++⋯+=+++⋯+=+=，所以|2021|41n min U -=．。

上海市位育中学2020学年高一数学3月监控考试试题(新疆部,无答案)

上海市位育中学2020学年高一数学3月监控考试试题（新疆部，无答案）班级学号姓名一、填空题：（每题4分，共和40分）1、若点A(2,1)，）（5.1-=→AB ，则B 点坐标为 2、已知||8a =r ，e r 为单位向量，当它们的夹角为60°时，a r 在e r 方向上的投影为__________3、已知向量)1,3(),3,3(-==→→b a ，则向量→→b a ,的夹角大小是__________ 4、已知(2,3),(,6)a b x ==r r ，如果//a b r r ，x =_________5、已知(1,2)a =r ，则向量a r 的单位向量为_____________6、若三点)1,1(),,3(),1,2(+--m C m B A 共线，则m 的值为___________7、已知：;;则AB=8、已知：22241111n n a n n-=+，则________lim =∞→n n a 9、已知三个力123,,f f f u r u u r u u r ，其中()()122,5,3,3f f ==-u r u u r ，若物体在这三个力的同时作用下保持平衡，则力3f =u u r10、判断下列命题的真假：其中正确的是（1）若||||→→=b a ，则→→±=b a ；（2）若→→b a ,是非零向量，则||||→→→→-≥+b a b a ；（3）若→→b a ,满足||||||→→→→+=+b a b a ，则||||→→→→⋅=⋅b a b a ；（4）若→→b a ,是非零向量，且)(R k b k a ∈=→→，则→→b a ,方向相同；二、选择题：（每题4分，共16分） 1、若(1,1),(1,1),(1,2),a b c c ==-=-=r r r r 则（）A.1322a b -+r rB. 1322a b -r rC. 3122a b -r rD. 3122a b -+r r 2、已知：错误!未找到引用源。

上海市位育中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题

【详解】
根据题意知，曲线与轴围成的封闭图形为半椭圆，
如图所示，
该平面图形绕轴旋转一周而成的几何体为，
构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理，
可知的体积为 .
故答案为： .
13．C
【分析】
根据充分，必要条件的定义，判断选项.
【详解】
平行四边形中无任何三点共线，但是四点共面，反过来，若四点不共面，连结四点，构成空间四边形，无任何三点共线，所以“无任何三点共线”是“四点不共面”的必要不充分条件.
（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1 ）；
（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？
20．已知点、，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴的上方交双曲线于点，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线过点（0，1）且与双曲线交于、两点，若、中点的横坐标为1，求直线的方程；
参考答案
1．
【详解】
试题分析：将直线化为普通方程为，斜率为 .
考点：参数方程与普通方程互化；直线方程
2．6
【分析】
根据线面平行的位置关系，转化为空间向量的坐标运算，即可求解.
【详解】
，且直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
，即，
解得： .
故答案为：
3．
【分析】
根据空间图形，根据向量加，减法的规则计算结果.
（2）由DD1∥CC1，知∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1C与DD1所成角的大小．
【详解】
（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝3，

2024年上海市行知中学高二数学3月份考试卷附答案解析

2024年上海市行知中学高二数学3月份考试卷（试卷满分150分；考试时间120分钟）2024.03一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．已知函数()5cos x f x e x x =+，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程是．2．函数33y x x =-在[]22-,上的最大值为.3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()2f x f x '+>，()05f =，则不等式()3e 2xf x -->的解集为.4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式2()2(1)ln f x x xf x '=++，则(1)f '=.5．已知函数()y f x =，若()12f '=，则()()11lim2k f k f k→--=.6．已知存在,()0x ∈+∞，使得1e x m x -<成立，则实数m 的取值范围是．7．已知21()ln 2f x x a x =-，若在区间()0,2上存在()1212,x x x x ≠，使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是．8．若函数()21ln 2f x ax x x x =+-存在单调递增区间，则a 的取值范围是.9．已知函数f （x ）=e x -2x+a 有零点，则a 的取值范围是．10．已知函数32()245f x ax x x =+-+，当23x =时，函数()f x 有极值，则函数()f x 在[]3,1-上的最大值为.11．已知函数32()+f x ax bx cx =+，其导函数()y f x '=的图像经过点()1,0、()2,0.如图，则下列说法正确的是①当32x =时，函数()f x 取得最小值；②()f x 有两个极值点;③当2x =时函数取得极小值；④当1x =时函数取得极大值；12．设函数3221()321(0)3f x x mx m x m m =+-+->，若存在()f x 的极大值点0x 满足[]2220(0)10x f m +<，则实数m 的取值范围是;二､选择题（本大题共4题，满分20分）13．函数()ln f x x x =，正确的命题是A ．值域为RB ．在()1+¥，是增函数C ．()f x 有两个不同的零点D ．过()1,0点的切线有两条14．已知函数2()1,()ln f x x g x x =-=，那么下列说法正确的是（）A ．(),()f x g x 在点()1,0处有相同的切线B ．函数()()f x g x -有两个极值点C ．对任意0,()()x f x g x >≥恒成立D ．(),()f x g x 的图象有且只有两个交点15．函数()21xy x e =-的图象可能是（）A．B ．C．D．16．已知函数234567()1(1)234567x x x x x x f x x x =+-+-+-+>-，若()(3)h x f x =-的零点都在区间(,)(,,)a b a b a b Z <∈内，当b a -取最小值时，则a b +等于（）A ．3B ．4C ．5D ．6三､解答题（本大题共有5题，满分76分）17．已知()1f x ax xlnx =+-的图象在()()1,1A f 处的切线与直线0x y -=平行．（1）求函数()f x 的极值；（2）若1x ∀，2(0,)x ∈+∞，121212()()()f x f x m x x x x ->+-，求实数m 的取值范围．18．已知()()()21ln 1R 2f x x a x ax a =-++∈.(1)当0a =时，求函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当(]0,1a ∈时，求函数()y f x =的单调区间.19．已知函数()(),y f x y g x ==,其中()()21,ln f x g x x x ==.(1)求函数()y g x =在点()()1,1g 的切线方程;(2)函数()()2,R,0y mf x g x m m =+∈≠是否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由;(3)若关于x 的不等式()()af x g x a +≥在区间(]0,1上恒成立,求实数a 的取值范围.20．已知函数()2f x x ax a =--，R a ∈.(1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)若函数()()F x x f x =⋅在1x =处有极值，且关于x 的方程()F x m =有3个不同的实根，求实数m 的取值范围；(3)记()e xg x =-（e 是自然对数的底数）.若对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求实数a 的取值范围.21．若函数()()y f x x D =∈同时满足下列两个条件，则称()y f x =在D 上具有性质M ．①()y f x =在D 上的导数()f x '存在；②()y f x '=在D 上的导数()f x ''存在，且()0f x ''>（其中()()f x f x ''''=⎡⎤⎣⎦）恒成立．(1)判断函数1lgy x=在区间()0,∞+上是否具有性质M ？并说明理由．(2)设a 、b 均为实常数，若奇函数()322bg x x ax x=++在1x =处取得极值，是否存在实数c ，使得()y g x =在区间[),c +∞上具有性质M ？若存在，求出c 的取值范围；若不存在，请说明理由．(3)设k ∈Z 且0k >，对于任意的()0,x ∈+∞，不等式()1ln 11x kx x ++>+成立，求k 的最大值．1．1y x =+【分析】求导，x=0代入求k ，点斜式求切线方程即可【详解】()()45,x f x e cosx sinx x =-+'则()01f ，'=又()01f =故切线方程为y=x+1故答案为y=x+1【点睛】本题考查切线方程，求导法则及运算，考查直线方程，考查计算能力，是基础题2．2【分析】先对函数求导，研究其在给定区间的单调性，求出极值，从而可得出最值.【详解】因为33y x x =-，所以233y x '=-，由2330y x '=->得1x >或1x <-；由2330y x '=-<得11x -<<；又[]2,2x ∈-即函数33y x x =-在()2,1--上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1,2上单调递增，所以，当=1x -时，函数33y x x =-有极大值2y =；当1x =时，函数33y x x =-有极小值=2y -；又当2x =时，3262y =-=；当2x =-时，3262y +=-=-，因此函数33y x x =-在[]22-,上的最大值为2.故答案为：2.【点睛】本题主要考查由导数的方法求函数的最值，属于基础题型.3．()()0x x >##()0,+∞【分析】构造函数()()e 2e x xg x f x =-，利用导数分析函数()g x 的单调性，将所求不等式变形为()()0g x g >，结合函数()g x 的单调性可得解.【详解】构造函数()()e 2e x xg x f x =-，则该函数的定义域为R ，且()()0023g f =-=，所以，()()()e 20xg x f x f x ''=+->⎡⎤⎣⎦，则函数()g x 在R 上为增函数，由()3e 2x f x -->可得()e 2e 3x xf x ->，即()()0g x g >，解得0x >.因此，不等式()3e 2xf x -->的解集为{}0x x >.故答案为：{}0x x >.4．3-【分析】求导即得解.【详解】解：由题得1()22(1),f x x f x''=++所以(1)22(1)1,(1)3f f f '''=++∴=-.故答案为：3-5．－1【分析】根据题意，由导数的定义可得()()()()()()001111lim lim 111k k f k f f k f f k k →→----'==---，计算即可得出结果.【详解】根据题意，由导数的定义可得()()()()()()001111limlim 1211k k f k f f k f f k k →→----'===---，()()()()00111111limlim 21222k k f k f f k f kk →→----⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.故答案为：－1.6．(,1)-∞【分析】存在,()0x ∈+∞，使得1e x m x -<成立，即()max1exm x -<，通过导数求()1e xf x x -=的最大值．【详解】令()1e x f x x -=，则()()11exf x x -'=-令()0f x ¢>，则01x <<()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减∴()()11f x f ≤=，即1m <故答案为：(,1)-∞．7．()0,4【分析】由题知，函数21()ln 2f x x a x =-在区间()0,2不是单调函数，进而转化为2'()0x a f x x-==在()0,2上有解问题求解即可.【详解】解：2'()a x af x x x x-=-=，因为在区间()0,2上存在()1212,x x x x ≠，使得()()12f x f x =成立，所以函数21()ln 2f x x a x =-在区间()0,2不是单调函数，所以2'()0a x af x x x x-=-==在()0,2上有解，所以20x a -=在()0,2上有解，所以()0,4a ∈.所以，实数a 的取值范围是()0,4.故答案为：()0,48．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】将题意转化为：0x ∃>，使得()0f x ¢>，利用参变量分离得到ln x a x>-，转化为minln x a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，结合导数求解即可．【详解】()21ln 2f x ax x x x =+- ，其中0x >，则()ln f x ax x +'=．由于函数()y f x =存在单调递增区间，则0x ∃>，使得()0f x ¢>，即0x ∃>，ln x a x >-，构造函数()ln =-xg x x，则()min a g x >．()2ln 1-'=x g x x ，令()0g x '=，得x e =．当0<<x e 时，()0g x '<；当>x e 时，()0g x '>．所以，函数()y g x =在x e =处取得极小值，亦即最小值，则()()min 1g x g e e ==-，所以，1a e >-，故答案为1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查函数的单调性与导数，一般来讲，函数的单调性可以有如下的转化：（1）函数()y f x =在区间D 上单调递增x D ⇔∀∈，()0f x '≥；（2）函数()y f x =在区间D 上单调递减x D ⇔∀∈，()0f x '≤；（3）函数()y f x =在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，()0f x ¢>；（4）函数()y f x =在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，()0f x '<；（5）函数()y f x =在区间D 上不单调⇔函数()y f x =在区间D 内存在极值点．9．(],2ln 22-∞-【分析】根据零点定义，分离出a ，构造函数()2x g x e x =-，通过研究()2x g x e x =-的值域来确定a 的取值范围．【详解】根据零点定义，则2+0x e x a -=所以2x a e x -=-令()2x g x e x=-则'()2x g x e =-，令'()20x g x e =-=解得ln 2x =当ln 2x <时，)'(0g x <，函数()2x g x e x =-单调递减当ln 2x >时，'()0g x >，函数()2x g x e x =-单调递增所以当ln 2x =时取得最小值，最小值为22ln 2-所以由零点的条件为22ln 2a -≥-所以2ln 22a ≤-，即a 的取值范围为(],2ln 22-∞-【点睛】本题考查了函数零点的意义，通过导数求函数的值域，分离参数法的应用，属于中档题．10．13【解析】由题可得()f x 在23x =的导数值等于0，可求得1a =，再根据导数讨论函数的单调性，即可求出最值.【详解】()2344f x ax x '=+- ，当23x =时，函数()f x 有极值，2440333f a ⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭，解得1a =，()()()2344322f x x x x x '∴=+-=-+，当()3,2x ∈--时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当22,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，()f x \在2x =-处取得极大值()213f -=，且()38f -=，()14f =，∴()f x 在[]3,1-上的最大值为13.故答案为：13.【点睛】方法点睛：利用导数求函数在闭区间上最值的方法：（1）先求出函数的导数；（2）根据导数的正负判断函数的单调性；（3）求出极值，端点值，即可判断出最值.11．②③④【分析】由导函数的图像判断出函数f (x )的单调性，从而得到极值的情况，即可得到正确答案.【详解】由图象可知,当(,1)x ∞∈-时,()0f x ¢>;当()1,2x ∈时,()0f x '<;当(2,)x ∈+∞时,()0f x ¢>.所以函数f (x )在(,1)-∞上单增，在(1,2)上单减，在(2,)+∞上单增，无最大最小值，所以①错；f (x )有两个极值点1和2，且当x =2时函数取得极小值，当x =1时,函数取得极大值，所以②③④正确.故答案为：②③④.12．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】求出函数的导数，即可得到函数的单调区间，从而求出0x 以及(0)f 的值，得到关于m 的不等式，解出即可．【详解】解：因为3221()321(0)3f x x mx m x m m =+-+->所以22()23(3)()f x x mx m x m x m '=+-=+-，令()0f x '>，解得x >m 或3x m <-，令()0f x '<，解得3m x m -<<，故()f x 在(,3)m -∞-单调递增，在(3,)m m -单调递减，在(,)m +∞单调递增，故3x m =-是()f x 的极大值点，即03x m =-，而(0)21f m =-，故2220[(0)]10x f m +<，即2229(21)10m m m +-<，即23410m m -+<，解得：113m <<，故答案为：1,13⎛⎫⎪⎝⎭．13．B【分析】利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线.【详解】因为()ln f x x x =，所以1()ln 10f x x x e'=+=⇒=，因此当1x e >时()0,()'>f x f x 在1(,)e+∞上是增函数，即在(1,)+∞上是增函数；当10x e <<时()0,()'<f x f x 在1(,e -∞上是减函数，因此11()(f x f e e≥=-；值域不为R;当10x e<<时()0f x <,当1x e>时(1)0f =∴ ()f x 只有一个零点，即()f x 只有一个零点；设切点为000(,ln )x x x ，则00000ln ln 111x x x x x =+∴=-，所以过()1,0点的切线只有一条；综上选B.【点睛】本题考查利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线，考查基本分析求解能力，属中档题.14．D【分析】结合切线的斜率、极值点、不等式恒成立、函数图象的交点对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，()()''2,12f x x f ==，()()''1,11g x g x==，()()''11f g ≠，所以A 选项错误.B 选项，令()()()()21ln 0h x f x g x x x x =-=-->，())2'111212x h x x x xx+--=-==，所以()h x在区间()()',0,h x h x ⎛< ⎝⎭递减；在区间()()',0,h x h x ⎫+∞>⎪⎪⎝⎭递增.所以()h x 有极小值也即是有最小值，无极大值，无最大值，函数()()f x g x -有1个极值点，()21111ln ln 2ln 210222222h ⎛⎛=--=-=-< ⎝⎭⎝⎭，22())22f g <，()222111110,e e 20e ee h h ⎛⎫=-+=>=-> ⎪⎝⎭，所以()h x 有2个零点，也即(),()f x g x 的图象有且只有两个交点，所以BC 选项错误，D 选项正确.故选：D 15．C【分析】根据函数的解析式，利用()()()110,20f f f =-=->，分别排除A 、B 、D 项，即可求解.【详解】由题意，函数()()21xf x x e =-，因为()10f =，即函数()f x 的图象过点(1,0)，可排除A 、B 项；又因为2(2)30f e --=>，可排除D 项，故选：C.16．C【分析】先求得函数()f x 是单调递增函数，并用零点存在性定理求得函数零点所在的区间，()f x 零点向右移3个单位后得到()3f x -的零点，即可求解.【详解】依题意()234561f x x x x x x x =-+-+-+'，当1x >-时，根据等比数列求和公式，有()()7711011x x f x xx--+=++'=>，故函数()f x 在R 上为增函数．()()111111010,10234567f f =>-=------<，故函数()f x 零点在区间()1,0-内，所以()3f x -零点在()2,3内，故当b a -取最小值时2,3a b ==，所以5a b +=.故选：C17．（1）极大值为1e +，无极小值；（2）(-∞，21]2e -．【分析】(1)可利用导数的几何意义求出a 的值,然后利用函数导数得到函数的单调性,求得函数的极值;(2)所给不等式含有两个变量,通过变形使两个变量12x x ，分别在不等式两侧,然后构造新函数g(x),转化为函数的单调性即可求解m 的范围.【详解】（1）()1f x ax xlnx =+-的导数为()1f x a lnx '=--，可得()f x 的图象在(1A ，f （1）)处的切线斜率为1a -，由切线与直线0x y -=平行，可得11a -=，即2a =，()21f x x xlnx =+-，()1f x lnx '=-，由()0f x '>，可得0<<x e ，由()0f x '<，可得>x e ，则()f x 在(0,)e 递增，在(,)e +∞递减，可得()f x 在x e =处取得极大值为1e +，无极小值；（2）可设12x x >，若1x ∀，2(0,)x ∈+∞，121212()()()f x f x m x x x x ->+-，可得221212()()f x f x mx mx ->-，即有221122()()f x mx f x mx ->-，设2()()g x f x mx =-在(0,)+∞为增函数，即有()120g x lnx mx '=-- 对0x >恒成立，可得12lnxm x- 在0x >恒成立，由1()lnx h x x -=的导数为22()lnx h x x -'=得：当()0h x '=，可得2x e =，()h x 在2(0,)e 递减，在2(e ，)∞+递增，即有()h x 在2x e =处取得极小值，且为最小值21e -，可得212m e - ，解得212m e -，则实数m 的取值范围是(-∞，21]2e -．【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求解参数的值和范围,属于中等难度题型,第一问解题中关键是导数几何意义的应用;第二问中关键是将不等式转化,然后构造新函数,再利用新函数的单调性求解参数m 的范围.18．(1)10y +=(2)答案见解析【分析】（1）由导数的几何意义求解，（2）由导数与单调性的关系求解，【详解】（1）当0a =时，()ln f x x x =-，()11f x x'=-，所以()11f =-，()10f '=.所以函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为10y +=.（2）因为()()21ln 12f x x a x ax =-++，定义域为()0,∞+，所以()()()()()2111111ax a x x ax f x a ax x x x-++--'=-++==.①当01a <<时，()f x 与()f x '在()0,∞+上的变化情况如下：x()0,1111,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '+-+()f x 单调递增极大值()112af =--单调递减极小值11ln 12f a a a ⎛⎫=---⎪⎝⎭单调递增所以函数()y f x =在()0,1及1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内严格增，在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭内严格减；②当1a =时，()0f x '≥恒成立，所以函数的单调增区间为()0,∞+.综上，当01a <<时，函数()y f x =的单调增区间为()0,1及1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为11,a ⎛⎫⎪⎝⎭；当1a =时，函数()y f x =单调增区间为()0,∞+.19．(1)10x y --=(2)0m <,不存在极值点;0m >,存在一个极小值点x =无极大值点(3)12a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭【分析】(1)对()y g x =求导,求出切点斜率,再根据切点求出切线方程即可;(2)令()()()2H x mf x g x =+,对()H x 进行求导,再讨论0m <及0m >时导函数的正负及极值点即可;(3)将()(),f x g x 代入,先讨论1x =时a 的取值范围,再全分离,构造新函数,求导求单调性求最值,即可得出a 的取值范围.【详解】（1）解:由题知()ln ,g x x = ()1g x x'∴=,()10,g =()1111k g ∴===',所以在点()()1,1g 的切线方程为()01y x -=-,即10x y --=;（2）设()()()222ln mH x mf x g x x x =+=+,定义域()0,∞+,()2332222m x mH x x x x -∴=-+=',当0m <时,()0H x '>恒成立,所以()()()2H x mf x g x =+在()0,∞+单调递增,所以不存在极值点,当0m >时,令()0,H x x ='∴=，当x >时,()0H x '>，当0x <<,()0H x '<，所以()()()2H x mf x g x =+在(单调递减,在)+∞单调递增,所以函数存在一个极小值点x =无极大值点,综上:0m <时,不存在极值点,0m >时,存在一个极小值点x =无极大值点;（3）由题知原不等式()()af x g x a +≥,可化为211ln 0a x x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭,当1x =时,R a ∈恒成立,当()0,1x ∈时2ln 11xa x-≥-,即2ln 11x a x≥-,由(2)知()()221ln N x x x=+在1x =有最小值()11N =,所以()2211ln x x-≤,()0,1x ∈ ,2110x ∴-<,()2211<ln 0x x∴-<,()22ln 111x x∴<-,即2ln 1121x x <-,2ln 11xa x≥- ,12a ∴≥,综上:12a a ⎧⎫≥⎨⎩⎭.【点睛】方法点睛:该题考查导数的综合应用，属于难题，关于恒成立问题的方法如下:(1)若x D ∀∈，()f x a ≥恒成立，则只需()min f x a ≥;(2)若x D ∃∈，()f x a ≥恒成立，则只需()max f x a ≥;(3)若x D ∀∈，()f x a ≤恒成立，则只需()max f x a ≤;(4)若x D ∃∈，()f x a ≤恒成立，则只需()min f x a ≤;(5)若12,x A x B ∀∈∀∈，()()12f x g x ≤恒成立，则只需()()max min f x g x ≤;(6)若12,x A x B ∀∈∃∈，()()12f x g x ≤恒成立，则只需()()max max f x g x ≤;(7)若12,x A x B ∃∈∀∈，()()12f x g x ≤恒成立，则只需()()min min f x g x ≤;(8)若12,x A x B ∃∈∃∈，()()12f x g x ≤恒成立，则只需()()min max f x g x ≤.20．(1)0a =时，()f x 为偶函数；0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数(2)5[1,]27-；(3)[]2ln 22,1-.【分析】（1）根据二次函数的性质以及奇偶函数的定义，即可判断；（2）根据极值，求出1a =，得到32()F x x x x =--，利用导数的性质，判断()F x m =有3个不同的实根时，m 的取值范围；（3）根据()g x 的单调性，问题转化为()()()()()()121221g x g x f x f x g x g x -<-<-，整理得，11221122()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +<+⎧⎨->-⎩，分别判断函数()()f x g x +和函数()()f x g x -在[0,e]上的单调性，根据不等式恒成立的性质，分离参数，即可求出a 的取值范围.【详解】（1）()2f x x ax a =--，因为()f x 的对称轴为2ax =，故当0a =时，()f x 的对称轴为y 轴，此时()f x 为偶函数；0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数.（2）()()F x x f x =⋅在1x =处有极值，因为32()F x x ax ax =--，则2()32F x x ax a '=--，故(1)320F a a '=--=，得1a =；32()F x x x x =--，此时，2()321(1)(31)F x x x x x '=--=-+，故1(,3x ∈-∞-和(1,)+∞上，()F x 单调递增，1(,1)3x ∈-上，()F x 单调递减，因为关于x 的方程()F x m =有3个不同的实根，根据导数的性质，当1(1)()3F m F ≤≤-时，满足题意，得5127m -≤≤，故5[1,27m ∈-（3）()e xg x =-，()g x 单调递减，对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，21()()0g x g x ->，12()()0g x g x -<，则对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，转化为，对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，均有()()()()()()121221g x g x f x f x g x g x -<-<-成立，即11221122()()()()()()()()f xg x f x g x f x g x f x g x +<+⎧⎨->-⎩，所以，函数()()f x g x +在[0,e]上单调递减，函数()()f x g x -在[0,e]上单调递增，①函数()()f x g x +在[0,e]上单调递减，即()()0f x g x ''+≤在[0,e]上恒成立，又因为，()2f x x ax a =--，()e xg x =-，故()()2e 0x f x g x x a ''+=--≤，得2e x x a -≤在[0,e]上恒成立，令()2e x h x x =-，()2e x h x '=-，令()0h x '=，得ln 2x =，所以，()h x 在[)0,ln 2上单调递增，在(]ln 2,e 上单调递减，故max ()(ln 2)2ln 22h x h ==-，故2ln 22a ≥-；②函数()()f x g x -在[0,e]上单调递增，即()()0f x g x ''-≥在[0,e]上恒成立，又因为，()2f x x ax a =--，()e xg x =-，故()()2e 0x f x g x x a ''-=-+≥，得2e x x a +≥在[0,e]上恒成立，因为函数2e xy x =+在[0,e]上为单调递增函数，故min 1y =，此时，1a ≤；综上所述，实数a 的取值范围为：[]2ln 22,1-.21．(1)函数1lgy x=在区间()0,∞+上具有性质M ；(2)存在实数c ，使得()y g x =在区间[),c +∞上具有性质M ，c 的取值范围是()0,∞+；(3)k 的最大值为3.【分析】（1）令()1lg y f x x==，按照题目所给定义，求出()f x '和()f x ''，并判断()0f x ''>是否恒成立即可；（2）先利用()g x 为奇函数且在1x =处取得极值求出实数a ，b 的值，再按照题目所给定义，求出()g x ''，即可求出c 的取值范围；（3）分离参数得()()11ln 1x x k x+++⎡⎤⎣⎦<，构造函数()()()11ln 1x x F x x+++⎡⎤⎣⎦=，通过()F x 的最小值，即可确定正整数k 的最大值.【详解】（1）令()1lg y f x x==，()0,x ∈+∞，则()21111ln10ln10f x x x x⎛⎫'=⋅-=- ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞，()211ln1ln100f x x x ⎛⎫- ⎪⎝'=⎭''=，()0,x ∈+∞，当()0,x ∈+∞时，()210ln10f x x ''=>恒成立，∴函数1lgy x=在区间()0,∞+上具有性质M ；（2）∵()322b g x x ax x=++，∴()2262b g x x ax x '=+-，∵()g x 在1x =处取得极值，且()g x 为奇函数，∴()g x 在=1x -处也取得极值，∴()()16201620g a b g a b ⎧=+-=⎪⎨-=--=''⎪⎩，解得06a b =⎧⎨=⎩，∴()362g x x x =+，()22226666g x x x x x-'=-=-，当0x >时，令()0g x '>，解得1x >；令()0g x '<，解得01x <<；故()g x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，满足()g x 在1x =处取得极值，∴()3312121212g x x x x x -''=+=+，当()0,x ∈+∞时，()312120g x x x ''=+>恒成立，∴存在实数()0,c ∈+∞，使()0g x ''>在区间[),c +∞上恒成立，∴存在实数c ，使得()y g x =在区间[),c +∞上具有性质M ，c 的取值范围是()0,∞+；（3）∵()0,x ∈+∞，∴()1ln 11x k x x ++>+⇒()()11ln 1x x k x +++⎡⎤⎣⎦<，令()()()11ln 1x x F x x+++⎡⎤⎣⎦=，则()()2ln 11x x F x x -+-='，令()()ln 11G x x x =-+-，则()1111x G x x x '=-=++，当()0,x ∈+∞时，()0G x '>，()G x 在区间()0,∞+上单调递增，又∵()21ln 30G =-<，()32ln 40G =->，∴存在()02,3x ∈，使()()000ln 110G x x x =-+-=，∴当()00,x x ∈时，()0G x <，()0F x '<，()F x 在区间()00,x 上单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0G x >，()0F x '>，()F x 在区间()0,x +∞上单调递增，∴当()0,x ∈+∞时，()F x 的最小值为()()()000011ln 1x x F x x +++⎡⎤⎣⎦=，由()()000ln 110G x x x =-+-=，有()00ln 11x x +=-，∴()()()000001111x x F x x x ++-⎡⎤⎣⎦==+，∵()02,3x ∈，∴()()03,4F x ∈，又∵()()()11ln 1x x k F x x+++⎡⎤⎣⎦<=恒成立，∴()0k F x <，∵k ∈Z 且0k >，∴k 的最大值为3.【点睛】关键点点睛：本题中()()ln 11G x x x =-+-存在无法求解零点，使用了虚设零点0x 的方法，设()()000ln 110G x x x =-+-=，再通过()00ln 11x x +=-的代换，求得()F x 的最小值，这种方法，是解决“隐零点”的常用方法之一.。

上海市位育中学2020-2021学年高一下学期3月监控数学试题

上海市位育中学2020-2021学年高一下学期3月监控数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知1690α︒=，若β与α的终边相同，且β(4,2),ππ∈--则β=________. 2．与496-终边相同的角中，最小正角是__________．3．“cos 0θ<”，是“θ为第二象限角”的________条件.4．α为正角，β为负角，α，β终边关于原点对称，则αβ-=________. 5．已知cos227,m =则cos43=________.61sin cos αα+=，则α的取值范围是_________. 7．已知4sin(540),5α+=-若α为第二象限角，则2sin(180)cos(360)tan(180)ααα⎡⎤-+-⎣⎦=+_____________. 8．已知集合{}2sin 10,A αα=-≥{}10,B αα=+≥A B =____________. 9．若3cos ,0,52παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan 2α=__________． 10．已知tan 34πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin 22cos θθ-的值为______ 11．若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______． 12．已知8cos()cos 4πα+()1,4πα-=则44sin cos αα+=_____________. 13．已知11tan(),tan ,27αββ-==-且,(0,),αβπ∈则2βα-=_________. 14．,(0,),2παβ∈且sin sin cos(),,2πβααβαβ=⋅++≠当tan β取最大值时，tan()αβ+的值为__________________.二、单选题15．已知集合{}45,,M k k z θθ==⋅∈{}9045,,N k k z αα==⋅±∈那么集合M 和N 的关系是（）A ．M NB ．M NC ．M ND ．不能确定 16．一钟表的分钟长10,cm 经过35分钟，分钟的端点所转过的长为（）A ．70cmB ．706cmC ．35(3cm π-D ．35.3cm π 17．对任意锐角,,αβ下列不等关系中正确的是A ．sin()sin sin αβαβ+>+B ．sin()cos cos αβαβ+>+C ．cos()sin sin αβαβ+<+D ．cos()cos cos αβαβ+<+18．下列四个命题中的假命题是（）A ．存在a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+=+B ．不存在无穷多个a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+=+C ．对任意的a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+=-D ．不存在这样a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+≠-三、解答题19．已知角α的终边经过点(8,6)P m m (0),m ≠求2log sec tan αα-的值.20．已知()()()sin cos ,03παπααπ--+=<<，求下列各式的值：（1）sin cos αα-；（2）33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 21．已知角αβ、的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(0)αβπ∈、,，角β的终边与单位圆交点的横坐标是13-，角αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45，（1）求sin β；（2）求()cos αβ+；（3）求cos α.22．（1）已知5tan cot ,2αα+=α∈(,),42ππ求cos2α和sin(2)4πα+的值. （2）已知sin(2)sin 4πα+⋅1(2),44πα-=α∈(,),42ππ求22sin tan cot 1ααα+--的值.23．（1）已知(0,),(,),362πππαβ∈∈且α、β满足5cos 8,αα+=2.ββ+=求cos()αβ+的值；（2）已知221sin(2)4cos tan(),tan(),310cos sin 2πααπααβαα-++=-+=-求tan(),tan αββ+的值.参考答案1．4718π-；【解析】【分析】根据终边相同的角的表示方法，若β与α的终边相同，则2k βπα=+求解.【详解】因为169016918πα︒==，因为β与α的终边相同，所以162918k βππ=+ ，又因为β(4,2),ππ∈--所以β=4718π-，故答案为：4718π-. 【点睛】本题主要考查了终边相同的角的表示方法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 2．224【分析】根据终边相同角的公式0360,k k z αβ=+∈即可求解．【详解】与496-终边相同的角为：00224360,k k z +⋅∈ ， ∴当0k =时，得到最小的正角为0224，故答案为0224【点睛】本题考查终边相同角公式，属于基础题．3．必要非充分；根据充分条件、必要条件的定义判断.【详解】当cos 0θ<时，3(2,2)22k k ππθππ∈++ ，所以不充分. 当θ为第二象限角时，即(2,2)2k k πθπππ∈++，cos 0θ<，所以必要.故答案为：必要非充分.【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.4．()2,k k N ππ+∈；【分析】根据角α 与角β 的终边关于原点对称，则角α 与角βπ+ 的终边重合，再由终边相同的角的表示方法求解.【详解】若角α 与角β 的终边关于原点对称，则2k αππβ=++ ，所以2k αβππ-=+.故答案为：()2,k k N ππ+∈.【点睛】本题主要考查了角的终边的对称及终边相同的角的表示方法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5【分析】先用诱导公式转化()()cos 227cos 18047cos 47cos 9043sin 43,=+=-=--=-=m得到sin 43,=-m ，再用平关系求解.因为()()cos 227cos 18047cos 47cos 9043sin 43,=+=-=--=-=m 所以sin 43,=-m所以()22cos 431sin 431=-=-m【点睛】本题主要考查了诱导公式和同角三角函数基本关系式，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.6．22,22k k k Z πππαπ-<<+∈；【分析】1sin |cos |αα+==，再利用象限角的符号求解.【详解】1sin |cos |αα+==，1sin cos αα+=，所以1sin 1sin cos |cos |αααα++=，所以cos 0α> ，所以22,22k k k Z πππαπ-<<+∈.故答案为：22,22k k k Z πππαπ-<<+∈.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式和象限角的符号，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题题.7．3100-；【分析】先通过诱导公式由4sin(540),5α+=-得到4sin 5α ，再用同角三角函数基本关系式得到cos ,tan αα，然后代入[]22sin(180)cos(360)sin cos tan(180)tan αααααα⎡⎤-+--+⎣⎦=+求解.【详解】因为4sin(540)sin(360180)sin(180)sin ,5αααα+=++=+=-=-，所以4sin 5α ，又因为α为第二象限角，所以34cos ,tan 53αα==-=- ，所以[]22sin(180)cos(360)sin cos tan(180)tan αααααα⎡⎤-+-+⎣⎦=+=3100-. 故答案为：3100-. 【点睛】本题主要考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题题.8．32,2,64k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；【分析】分别化简集合A ，B ，然后再求交集.【详解】因为2sin 10α-≥，所以1sin 2，所以52266k k πππαπ+≤≤+ ，10α+≥，所以cos α≥，所以332244k k πππαπ-+≤≤+，所以A B =32,2,64k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：32,2,64k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了三角不等式的解法及集合的运算，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.9．12【解析】分析：先通过已知求出tan α的值，再利用二倍角公式求tan 2α的值.详解:∵3cos ,0,52παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭∴4tan 3α=， ∴22tan 4231tan 2αα=-， ∴tan 22α=-（舍去）或1tan 22α=. 故填12. 点睛：在sina 、cosa 和tana 中，存在“知一求二”的解题规律，解题时，我们要会利用这些规律帮助我们分析问题，提高问题的预见性.10．45- 【分析】利用两角和差正切公式可求得1tan 2θ=，利用二倍角公式将所求式子构造为关于正余弦的齐次式，则配凑分母22sin cos θθ+，分子分母同时除以2cos θ可构造出关于tan θ的式子，代入1tan 2θ=求得结果. 【详解】 tantan 1tan 4tan 341tan 1tan tan 4πθπθθπθθ++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-，解得：1tan 2θ= 2222222sin cos 2cos sin 22tan 22sin cos 2cos sin cos tan 12cos θθθθθθθθθθθθ--=-==∴++-122421514⨯-==-+ 本题正确结果：45- 【点睛】本题考查关于正余弦的齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式的应用、同角三角函数关系的应用，属于常考题型.11．79- 【分析】利用角632πππαα⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的关系，建立函数值的关系求解．【详解】已知π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且πππ632αα⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ππ1cos sin 363αα⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故22ππ7cos 22cos 1339αα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】给值求值的关键是找准角与角之间的关系，再利用已知的函数求解未知的函数值． 12．1732；【分析】先用诱导公式，结合倍角公式将8cos()cos 4πα+()1,4πα-=转化为1cos 24α=，然后用平方关系将44sin cos αα+转化，再代入求解.【详解】因为8cos()cos 4πα+()4πα-， 8cos ()cos 24ππα⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦()4πα-， 8sin()cos 4πα=-()4πα-， 4sin(2)2πα=-=1，所以1cos 24α= ，所以()2442222sin cos in cos 2sin cos αααααα+=+-s ，()2211171sin 211s 22232αα=-=--=co . 故答案为：1732. 【点睛】本题主要考查了诱导公式及同角三角函数关系式，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.13．34π；【分析】先根据11tan(),tan ,27αββ-==-求得tan α，再通过角的变换求得[]tan()tan tan(2)tan ()11tan()tan βααβαβααβαα---=--==-+-，最后确定2βα-的范围求解.【详解】因为11tan(),tan ,27αββ-==- 所以[]tan()tan 1tan tan ()1tan()tan 3αββααββαββ-+=-+==--， []tan()tan tan(2)tan ()11tan()tan βααβαβααβαα---=--==-+-，因为1tan 0,33α⎛=∈ ⎝⎭且(0,),απ∈ 所以(0,),6πα∈因为1tan 73β⎛⎫=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭且(0,),βπ∈ 所以5(,),6πβπ∈ 所以2βα-∈(,),2ππ∈ 所以2βα-=34π. 故答案为：34π. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的正切函数，还考查了转化化归的思想和和运算求解的能力，属于中档题.14.【分析】由2sin sin cos()sin cos cos sin sin βααβααβαβ=⋅+=⋅-，转化为2222sin cos sin cos tan tan 1sin cos 2sin 12tan αααααβαααα⋅⋅===+++，再利用基本不等式法，得到即tan α和tan β的值，再用两角和的正切求tan()αβ+.【详解】因为2sin sin cos()sin cos cos sin sin βααβααβαβ=⋅+=⋅-，所以2222sin cos sin cos tan 1tan 11sin cos 2sin 12tan 42tan tan αααααβαααααα⋅⋅====≤++++，当且仅当12tan tan αα=即tan α=取等号，此时tan β=，所以tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++==-⋅.【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数及基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．C【分析】由904524545(21)45α=⋅±=±=±k k k ，因为21k ±是奇数，k z ∈得到结论.【详解】因为904524545(21)45α=⋅±=±=±k k k ，而21k ±是奇数，k z ∈，所以M N .故选：C.【点睛】本题主要考查了角的表示及集合的关系，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题.16．D【分析】先求出经过35分钟，分针的端点转过的弧度数，再代入弧长公式求解.【详解】因为分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是260π ，所以经过35分钟，分针的端点转过的弧度数为2735606ππ⨯=，所以弧长为7351063cm ππ⨯=，故选：D.【点睛】本题主要考查弧度数及弧度制公式，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.17．D【解析】()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+，()sin ,sin ,cos ,cos 0,1αβαβ∈，可知,A B 不正确；当015αβ==时，()cos sin sin αβαβ+>+ 可知C 不正确，()cos cos cos sin sin cos cos αβαβαβαβ+=-<+ ，所以D 正确，故选D.【点睛】对于这类问题可以代特殊数值排除选项，但还是需要熟练掌握两角和与差的三角函数，利用三角函数的有界性，对公式进行放缩，得到不等关系，或是做差判断.18．B【分析】依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】A. 存在a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+=+根据和差公式有：()cos cos cos sin sin a a a βββ+=-，要使()cos cos cos sin sin a a a βββ+=+，即sin sin =0a β，sin =0a 或sin =0β时成立. 比如取,02a πβ==满足条件.真命题B. 不存在无穷多个a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+=+根据和差公式有：()cos cos cos sin sin a a a βββ+=-，要使()cos cos cos sin sin a a a βββ+=+，即sin sin =0a β，sin =0a 或sin =0β时成立. 当k βπ=或a k π=时满足条件，有无穷多个，假命题C. 对任意的a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+=-根据和差公式()cos cos cos sin sin a a a βββ+=-，真命题D. 不存在这样a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+≠-根据和差公式对所有a β、，均有()cos cos cos sin sin a a a βββ+=-故不存在这样a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+≠-，真命题故答案选B【点睛】本题考查了和差公式，命题的真假判断，意在考查学生的综合应用能力.19．0m >时，2log sec n 1ta αα-=-；0m <时，2log sec tan 1αα-=【分析】根据角α的终边经过点(8,6)P m m (0),m ≠分两种情况，一是当0m >时，10r m == ，二是当0m <时，10r m ==- ，分别用三角函数的定义求得sec ,tan αα，再代入求解.【详解】因为角α的终边经过点(8,6)P m m (0),m ≠当0m >时，10r m == ，所以1053sec ,tan 844r m y x m x αα===== ，所以2253log sec tan log 414αα=-=--.当0m <时，10r m ==- ，所以1053sec ,tan 844r m y x m x αα-===-== ，所以2253log sec tan log 414αα=---=. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，还考查了数形结合、分类讨论的思想和运算求解的能力，属于基础题.20．（1）43（2）2227- 【分析】（1）先用诱导公式将()()()sin cos 03παπααπ--+=<<转化为sin cos 3αα+=，两边平方得72sin cos 9αα⋅=-，再根据,2παπ<<确定sin 0,cos 0αα>< ，最后再用平关系求解sin cos αα-.（2）先用诱导公式将33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭转化为33cos sin αα-，再用立方差公式展开()()22cos sin cos cos sin sin αααααα-++ ，代入求解.【详解】（1）因为()()()sin cos 0παπααπ--+=<<，所以sin cos 3αα+=.，两边平方得72sin cos 9αα⋅=-，又因为,2παπ<<所以sin 0,cos 0αα>< ，所以4sin cos 3αα-==.（2）33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33cos sin αα=-，而33cos sin αα-=()()22cos sin cos cos sin sin αααααα-++ ，所以33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()332222=cos sin cos sin cos cos sin sin 27αααααααα-=-++=-. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，还考查了转化化归的思想和和运算求解的能力，属于中档题.21．（1）3（2）35（3【分析】（1）利用三角函数的定义，得1cos 3β=-，再用平方关系求解.（2）利用三角函数的定义，得()4sin 5αβ+=，根据(0)αβπ∈、,且1cos 03β=-<()4sin 05αβ+=>，确定()2+,παβπ∈，再用平方关系求解. （3）根据（1）（2）的结论，利用角的变换求解.【详解】（1）根据题意，1cos 3β=-，又因为(0,)βπ∈，所以sin β==（2）根据题意，()4sin 05αβ+=>，(0)αβπ∈、,且1cos 03β=-<，所以()2+,παβπ∈，()3cos 5αβ+==-. （3）由（1）（2）得()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ⎡⎤=+-=+⋅++⋅=⎣⎦【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及两角和与差的三角函数，还考查了转化化归和和运算求解的能力，属于中档题.22．（1）3cos25α=-；sin 2+410πα⎛⎫= ⎪⎝⎭（2 【分析】（1）由25tan cot ,sin 22ααα+==求得4sin 2,5α= 再用平方关系求解cos2α，然后用两角和的正弦求sin 2+4πα⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）由sin(2)sin 4πα+⋅1(2),44πα-=可转化为sin(2)sin 4πα+⋅(2)24ππα⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，得到sin 2cos 244ππαα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而由倍角公式求得1cos 42α= ，从而求得角α ，再求22sin tan cot 1ααα+--的值 . 【详解】（1）因为25tan cot ,sin 22ααα+== 所以4sin 2,5α= 又因为α∈(,),42ππ 所以2(,),2παπ∈ 所以3cos25α=-.所以sin 2+sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. （2）sin(2)sin 4πα+⋅(2)4πα-， sin(2)sin 4πα=+⋅(2)24ππα⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， sin 2cos 244ππαα⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111sin 4cos 42224παα⎛⎫=+== ⎪⎝⎭ ， 1cos 42α∴= . α∈(,),42ππ ()554,24,312ππαππαα∴∈∴=∴=，()222sin cos 2sin tan cot 1cos 2cos 22cot 2sin cos αααααααααα-∴+--=-+=-+=.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，还考查了转化化归和和运算求解的能力，属于中档题.23．（1）10-（2）5tan()16a β+=；31tan 43β= 【分析】（1）通过辅助角法，由5cos 8,αα+=得4sin 65a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由2.ββ+=得sin 32πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再通过角的变换转化cos()sin sin sin cos 26363πππππββαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦a acos sin 63ππβ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 求解.（2）由1tan()3a π+=-，得1tan 3a =-，再利用诱导公式及商数关系得 tan()β+a tan 25tan αα+=-的值，而tan()tan tan tan[()]1tan()tan ββββα+-=+-=++a a a a a 再代入tan()β+a 和tan a 的值求解.【详解】（1）因为5cos 8,αα+= 所以10sin 86a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即4sin 65a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵0,3a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2.ββ=所以2,3πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 32πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵,62ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴cos 32πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴cos()sin sin sin cos 26363πππππββαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦a acos sin 6310a ππβ⎛⎫⎛⎫++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）∵1tan()3a π+=-，∴1tan 3a =-， ∵222222sin(2)4cos sin 24cos 2sin cos 4cos tan()10cos sin 210cos sin 210cos 2sin cos πβ-++++===---a a a a a a a a a a a a a a a ，2cos (sin 2cos )sin 2cos tan 22cos (5cos sin )5cos sin 5tan ααα+++===---a a a a a a a a a ， ∴1253tan()11653a β-++==+. ∵tan()tan tan tan[()]1tan()tan ββββα+-=+-=++a a a a a ， ∴131163tan 514311635β+==-⨯. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数，诱导公式，还考查了转化化归和和运算求解的能力，属于中档题.。