1.3.2杨辉三角与二次项系数的性质(一)

；
二项式系数最大的项是第 3 项.
在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 C151 ，C161 .
2.在二项式(x-1)11的展开式中,
求系数最小的项的系数。最大的系数呢？
C151 462
C161 462
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令a b 1，则：
2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二 项式系数与 第五项的二项式系数相等， 则n=____6______
请问:一般地,当r满足什么范围时，后一项 Cnk比前一项Cnk-1要大?
[分析]:以上问题即Cnk > Cnk-1时，求k的范围?
二项二项式式系系数数的的性性质质
（2）增减性与最大值
由于：Ckn
C
0 5
C15
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
1 33 1 1 4641 1 5 10 10 5 1
(a+b)6 (a+b)n
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
1
Cn0 Cn1 Cn2 … Cnr … Cnn
6 15 20 15 6 1
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
二项式系数最T大r1的 T项r2为第11项,即
C10 20
由所此以确它定们r的的取比值是
C2102 28312 C2100
5 27 313 11

C151

C171

C191

C 11 11

_1_0 ___
.
例2 求证Cn1 2Cn1 3Cn2 L nCnn n 2n1
分析:本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为
Cn0 Cnn ,Cn1 Cnn1 Cnr Cnnr 由此分析求解
解 : 设Sn 0 Cn0 Cn1 2Cn1 3Cn3 L (n 1)Cnn1 nCnn
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经 出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说 明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上 两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11 世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表 叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现 要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数 学的成就是非常值得中华民族自豪的
4
T5 T41 C148
x
184 1 4 x3
3060x4
小结
对称性
(1)二项式系数的三个性质 增减性与最大值
各二项式系数的和
(2) 数学思想：函数思想 a 单调性； b 图象； c 最值。
求展开式中系数最大(小)的项
例6.在(2x 3)20的展开式中,求其项的最大系数 与最大二项式系数的比
大的项，（则3有）展开式中系数最大的项。
TTrr
1 1

Tr Tr 2
由此确定r的取值
变式引申：
1.求在 (3x 2y)20 的展开式中系数绝对值最大的项
解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则
C
r 20
320r
2r

C r1 20
319r
2r1
C
A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项
3、若
(x3

1 x2
)n
展开式中的第6项的系数最大，则不
含x的项等于( )
A.210 B.120 C.461 D.416
3.已知
x

4
1 x3
n 的展开式中只有第10项系数最大,
求第五项
解 依题意, n为偶数 且 n 1 10, n 18. 2
Cn1 Cn3

C 2r-1 n



2n1
例2
已知 (3 x 2 )n 的展开式中，第
x
4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系 数的7倍，求展开式中x的一次项．
例3、若 ( x+ 1 )n 展开式中前三项系数成等差 24 x
数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；
解决系数（最2大）展问开题式，中通所常有设x 的第有r理1项项；是系数最
1.3.2 “杨辉三角” 与二次项系数的性质
新课引入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cn2a n2b2
L

C
r n
a
nr
br
L
Cnnbn
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共 有多少个？
下面我们来研究二项式系数有些什么性 质？我们先通过观察n为特殊值时，二项式 系数有什么特点？
r 20
320r
2r

C r1 20
321r
2r1
37 r 42 55
r 8
3(r 1) 2(20 r) 2(21 r) 3r
所以当r 8时，系数绝对值最大的项为
T9

C
8 20
312
28

x12

y8
变式引申：
2、(x y)7的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ）
Cn0 ,Cn1, Cnn 有如下性质：
（1）
Cnm

C nm n
（2）
Cnm

C m1 n

Cm n1
n
（3）当 n 为偶数时， Cn2为最大值
当
n
为奇数时
，Cnn21
n1
Cn 2 为最大值
（4） Cn0 Cn1 Cnn 2n
Cn0 Cn2 Cn2r 2n1
渐减小的，且中间项取得最大值。
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
先增后减， 中间项取得最大值
因此,当n为偶数时,中间一项的二项式
n
系数 Cn2 取得最大值；
n1
当n为奇数时,中间两项的二项式系数 Cn2
n1
Cn2 相等，且同时取得最大值。
知识对接测查2
C42 x2 6x2
1.在(1+x)4的展开式中，二项式系数最大的项是
(a + b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn
(a+b)1 (a+b)2
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
11 121
(a+b)3 (a+b)4 (a+b)5
C
0 3
C13
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C0n C1n Cn2 Cnn 2n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
同时由于C0n 1，上式还可以写成：
C1n C2n C3n Cnn 2n 1
这是组合总数公式．
赋值法
例1、证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项 式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
解: 设 r 1项是系数最大的项,则
C2r0 220r
3r

C r1 20
220r
1

3r
1
11.6 r 12.6
解大的决系项系C数2r，数0 2最则最20有大r大 3问r的题TC项r，12r0通是12T常r2第0设r11第3 3项rr11项即是C系2102 数283最12
Cn0 Cn2 C1n Cn3
C
0 n
C2n
C1n
C3n

2n 2
2n1
特例法 赋值法
知识对接测查3
1.C110 C120 L

C 10 10
2_1_0__1_; 1023
2 1024 C111

C131
即证：Cn0 Cn2 C1n Cn3 ＝２n-1
证明
(a + b)n C0nan C1nan1b Cnr anrbr Cnnbn
令a=1,b=-1得
C0n C1n C2n... (1)Crn ... (1)n Cnn (11)2 0
议一议
1）请看系数有没有明显的规律？
2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
这个表叫做二项式系数 表,也称“杨辉三角”
+ ++ + ++ ++++
+++++
①每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 ②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等 于它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1
(r
)

C
r n
定义域{0,1,2, … ,n}
当n=6时，其图象是7个孤立点
二项式系数的性质
（1）对称性
与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
C
m n

Cnm n
得到．
图象的对称轴：r n 2
知识对接测查1
1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二 项式系数相等是( B ) A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项
Sn nCn0 (n 1)Cn1 (n 2)Cn2 Cnn1 0 • Cnn
两式相加
2Sn n(Cn0 Cn1 Cn2 Cnn1 Cnn ) n 2n
Sn n 2n1
倒序相加法
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数

n(n 1)(n 2)L (n k (k 1)!

k
1)

Ck 1 n

nk k
1
所以C
k n
相对于C
k n
1的增减情况由
n
k kwenku.baidu.com
1
决定
由：n k 1 1 k n 1
k
2
可知，当k n 1 时，即二项式系数前半部分
是逐渐增大的，由对2 称性可知它的后半部分是逐
杨辉三角
《
九
章
杨
算
辉
术
》
本积
《详解九章算法》 商实 中记载的表 平方
立方
三乘
四乘 五乘
二项式系数的函数观点
(a b)n 展开式的二项式
系数依次是：C
0 n
,
C1n
,
C
2 n
,
, Cnn
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r) ,
其定义域是： 0,1,2, , n
f