傅里叶变换的时移特性和频移特性
第三章傅里叶变换的性质.ppt
0
f (t)奇函数：X ()
f (t)sin tdt 2
f (t)sin tdt
0
X () 0
R() 0
可见，R()=R(- )为偶函数； X()= -X(- )为奇函数； 若 f (t)是实偶函数，F(j )=R() 必为实偶函数。 若 f (t)是实奇函数，F(j )=jX() 必为虚奇函数。
1 T
(t
T
)
F( j)
T
根据时域微分特性：
( j)2 F ( j) 1 e jT 2 1 e jT ,
0 2
T
TT
T
F(
j )
2
2T
(1
cosT )
4
2T
sin
2 (T
2
)
TSa2 (T
2
)
第三章第1讲
12
频域微分和积分特性
公式：
( jt)n f (t) F (n) ( j) f (0) (t) 1 f (t) F (1) ( j)
表明信号过延程时都了是t0在秒频并谱不搬会移改的变基其础频上谱完的成幅的度。，但是 使其相位变化了 - t0
频移特性： f (t)e j0 t F[ j( 0 )]
表明信号 f (t)乘以 e j0 t，等效于其频谱 F(j)沿频率右移 0
因为： cos 0 t
1 2
(e
j0 t
e
j0 t
)
sin
0t
1 2j
(e
j0 t
傅里叶变换的基本性质
傅里叶变换的基本性质（一）傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。
在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。
因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。
一、线性傅里叶变换是一种线性运算。
若则其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。
例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。
解因由式(3-55)得二、对称性若则证明因为有将上式中变量换为x，积分结果不变，即再将t用代之，上述关系依然成立，即最后再将x用t代替，则得所以证毕若是一个偶函数，即，相应有，则式(3-56)成为可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。
式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。
例如：例3-7若信号的傅里叶变换为试求。
解将中的换成t，并考虑为的实函数，有该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为根据对称性故再将中的换成t，则得为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。
三、折叠性若则四、尺度变换性若则证明因a＞0，由令，则，代入前式，可得函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a倍，而则表示沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a倍。
该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。
例3-8已知,求频谱函数。
解前面已讨论了的频谱函数，且根据尺度变换性，信号比的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。
五、时移性若则此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。
它表明若在时域平移时间，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变。
例3-9求的频谱函数。
解: 根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有六、频移性若则证明证毕频移性说明若信号乘以，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以，这就使频谱中的每条谱线都必须平移，亦即整个频谱相应地搬移了位置。
信号分析与处理——傅里叶变换性质
1. 线性 2. 奇偶性 3. 对偶性 4. 尺度变换特性 5. 时移特性
6.
频移特性
7.
微分特性
8.
积分特性
9. 帕斯瓦尔定理
10. 卷积定理
1、线性（叠加性）
若:
x1 (t) X1 ()
x2 (t) X 2 ()
则: a1x1 (t) a2 x2 (t) a1 X 1 () a2 X 2 ()
Sa(t0
)e
j t0 2
2
由积分性质，可得 的x频2 (谱t)为
X 2 ()
X1() j
X1(0) ()
又因为： 所以得：
X1(0) 1
X 2 ()
1
Sa(
t0
)e
j
t0 2
j 2
()
9、帕斯瓦尔定理
若: x(t) X ()
则:
x(t) 2 dt 1 X () 2 d
2
式(2-100)为有限能量信号的帕斯瓦尔公式
2
)
由线性和时移特性，有:
X
2
()
3Sa(
3
2
)
X
()
1 2
e
j
5 2
X 1 ( )
e
j 5 2
X
2
()
e
j 5 2
1 2
Sa(
2
)
3Sa( 3
2
)
例：求三脉冲信号的频谱
g (t为)P36页的标准矩形脉冲信号
求如下三脉冲信号的频谱函数
x(t) g(t) g(t T ) g(t T )
解：
X () G()(1 e jT e jT ) G()(1 2 cosT ) E Sa( )(1 2 cosT )
离散傅里叶变换时移-概述说明以及解释
离散傅里叶变换时移-概述说明以及解释1.引言1.1 概述离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将一个离散信号（或称时域信号）转换为频域表示的数学工具。
在现代信号处理和通信领域中，DFT被广泛应用于信号分析、滤波、频谱估计等领域。
DFT的概念源于傅里叶分析，它是将一个连续时间函数表示为一组基函数乘以一系列复数系数的线性组合。
而离散傅里叶变换则是将这一思想应用于离散信号，将离散时间序列转换为离散频率表示。
通过使用离散傅里叶变换，我们可以将一个时域上的离散信号转换为频域上的频谱表示，从而可以更加直观地观察信号的频率成分和能量分布。
离散傅里叶变换的时移性质是指当输入信号在时域上发生时移时，其在频域上的表示也随之发生相应的时移。
这一性质使得我们可以通过时移操作对信号进行处理和分析。
具体来说，如果我们对一个信号进行时移操作，即将信号中的每个样本向前或向后平移若干个位置，那么该信号在频域上的表示也会相应地发生同样的平移。
在本文中，我们将着重讨论离散傅里叶变换时移的原理和性质。
我们将介绍离散傅里叶变换的基本概念和原理，包括如何进行DFT变换、如何计算DFT系数以及DFT的逆变换等。
然后，我们将详细解释离散傅里叶变换的时移性质，包括时域上的时移操作如何在频域上体现以及时域和频域之间的变换关系等。
通过对离散傅里叶变换时移性质的研究，我们可以更好地理解信号在时域和频域之间的关系，以及对信号进行时移操作的影响。
同时，我们还将探讨离散傅里叶变换时移的应用，包括在信号处理、通信系统和图像处理等领域中的具体应用案例。
通过这些应用案例，我们将展示离散傅里叶变换时移的重要性以及它在实际问题中的实用价值。
1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。
在引言部分，首先概述了离散傅里叶变换时移的主题，介绍了离散傅里叶变换的基本概念和原理。
接着，详细说明了本文的结构，即按照离散傅里叶变换时移的相关性质展开论述。
3.5傅立叶变换的性质与应用
线性与对称性
例4. 求:
1 F t
(ω ≠ 0)
解: 由符号函数的傅立叶变换对: 由符号函数的傅立叶变换对: Sgn(t)
2 jω
2 ∴ 2π Sgn(ω) = 2π Sgn(ω) jt
1 则 jπ Sgn(ω) : t
脉冲展缩与频带的关系
尺度特性 信号在时域中的扩展或压缩, 信号在时域中的扩展或压缩,将影响频谱的波形 若 f (t ) F ( jω ) 则
h(t ) H ( jω )
Y f ( jω ) = H ( jω ) F ( jω )
卷积定理
利用卷积定理证明时移特性: 利用卷积定理证明时移特性:
f (t t0 ) = f (t ) * δ (t t0 ) F ( jω )e jω t0
利用卷积定理证明频移特性: 利用卷积定理证明频移特性:
0
Aτ 4π τ
ω
τ
4
τ
4
τ
等效脉宽与等效频宽
F ( jω ) =
∫
∞
∞
f ( t )e
jω t
dt
1 ∞ jω t f (t ) = ∫∞ F ( jω)e dω 2π
∫
∞
∞
f ( t )d t = F (0)
F (0 ) B B
f f
∫
= 1
∞
∞
F ( jω )dω = f (0)
等效脉宽
1 ω f ( at ) F( j ) a a
(a ≠ 0)
若 a > 1: 时域压缩,则频域展宽; 若 : 时域压缩,则频域展宽; 若 0 < a < 1: 时域展宽,则频域压缩. 若 : 时域展宽,则频域压缩. 若 a = -1: 若 :
傅里叶变换性质
四．尺度变换性质
第 9
页
若f
(t)
F (),则f
at
1 a
F a
, a为非零实常数
意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 (2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
(3) a 1 f t f t, F F 。
X
第
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
10
页
f t
F
E
E
o t
2
0
F
0
通信中调制与解调，频分复用。
X
七．微分性质
第 16
页
时域微分性质
f (t) F()，则f (t) jF()
频域微分性质
若f (t) F( ), 则tf (t) jd F d
d F
jtf (t)
d
jt n
f
(t)
dn F
d n
或
t n f (t) jn F n
X
1．时域微分
1、f(t)是实函数
实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为偶、 奇函数
若f(t)是实偶函数，F(ω)必为ω的实偶函数
F f ( t )e j t d t
20 f ( t )cost d t
若f(t)是实奇函数，F(ω)必为ω的虚奇函数
F
f
(
t
)e
j
t
d
t
2 j f ( t )sint d t
0
X
第
2、 f(t)是虚函数
7 页
令 f t jgt
F jgt e jt dt
jgt cos( t )dt gt sin( t )dt
傅里叶变换的性质
傅里叶变换的性质本质就是信号的时域运算关系在傅里叶变换域中的体现，也是求解信号傅里叶变换的基本手段。
傅里叶变换具有唯-性。
傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。
讨论傅里叶变换的性质，目的在于：1.了解特性的内在联系2.用性质求严㈣3.了解在通信系统领域中的实用这些性质在内容和形式上具有某种程度的对称性。
§ 3. 7.1对称性质S（r）分1孑盹）=1 o In^fa}例3-7-2己知凤sgn(如=Z,则-O 2兀sgn(-0)卫jt—丿亦gn@>)相移全通网络£例3-7-3ITT叫/分何/(®)=+牛)-《 -牛〕卜若0C=2^,则有gOc盒％(魂度为込的方波§3.7.2线性§ 3. 7. 3奇偶虚实性奇偶虚实性实际上在§3. 4的"傅里叶变换的特殊形式”中己经介绍过。
1駅2砂贝心"（p）证明：由定义日/血］=匸/（灯妝訪（期可佔f［心）］=!>-対妝=£/妙*%血=F®窃（*砂，硕-2 .若jT（g讯劲.则（劲证明：设f（r）是实函数（为虚函数或复函数情况相似.略）F（期=匚芦（％耳皿=cosfitdf-显然丘（劲=Ly（F）cosffifdf 貢佃）=*（p）二关于血的偶函数疋（硏=-忍-硏二关于b的奇函数二列-0）=叭仞）已知而（-圳"（-甸二血—怩吓）§3. 7.4尺度变换性质综合上述两种情况3・意义(1) 0<a<l时域扩展，频带压缩。
脉冲持续时间增加a倍，信号变化减缓，信号在频域的频带压缩a倍。
因此高频分量减少, 幅度上升a倍。
⑵时域压缩，频域扩展Q倍。
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信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降E倍。
此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则耍以展开频带为代价。
机械工程测试技术基础-简答题
一、 信号及其描述1、周期信号频谱的特点：①离散性——周期信号的频谱是离散的；②谐波性——每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是诸分量频率的公约数；③收敛性——谐波分量的幅值按各自不同的规律收敛。
2、傅里叶变换的性质：奇偶虚实性、对称性、线性叠加性、时间尺度改变特性、时移和频移特性、卷积特性、积分和微分特性。
3、非周期信号频谱的特点：①非周期信号可分解成许多不同频率的正弦、余弦分量之和，包含了从零到无穷大的所有频率分量；②非周期信号的频谱是连续的；③非周期信号的频谱由频谱密度函数来描述，表示单位频宽上的幅值和相位；④非周期信号频域描述的数学基础是傅里叶变换。
二、测试装置的基本特性1、测量装置的静态特性是在静态测量情况下描述实际测量装置与理想时不变线性系统的接近程度。
线性度——测量装置输入、输出之间的关系与理想比例关系的偏离程度。
灵敏度——单位输入变化所引起的输出变化。
回程误差——描述测量装置同输入变化方向有关的输出特性，在整个测量范围内，最大的差值称为回程误差。
分辨力——能引起输出量发生变化的最小输入量。
零点漂移——测量装置的输出零点偏离原始零点的距离，它是可以随时间缓慢变化的量。
灵敏度漂移——由于材料性质的变化所引起的输入与输出关系的变化。
2、传递函数的特点：①()s H 与输入()t x 及系统的初始状态无关，它只表达系统的传输特性；②()s H 是对物理系统的微分描述，只反映系统传输特性而不拘泥于系统的物理结构；③对于实际的物理系统，输入()t x 和输出()t y 都具备各自的量纲；④()s H 中的分母取决于系统的结构。
3、一阶测试系统和二阶测试系统主要涉及哪些动态特性参数，动态特性参数的取值对系统性能有何影响？一般采用怎样的取值原则？ 答：测试系统的动态性能指标：一阶系统的参数是时间常数τ；二阶系统的参数是固有频率n ω和阻尼比ξ。
对系统的影响：一阶系统的时间常数τ值越小，系统的工作频率范围越大，响应速度越快。
4-4信号的频域分析-非周期信号频域分析
式中t0为任意实数
✓ 证明： F[ f (t t0 )] f (t t0 )ejt dt
令x = tt0，则dx = dt，代入上式可得
F[
f
(t
t0
)]
f (x)ej(t0 x)dx
F ( j) e jt0
信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域 中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。 8
f
(t)
d
d
e jt
d
[(
jt)
f
(t )]e
jt
dt
将上式两边同乘以j得
j
dF( j) d
[t
f
(t)]
e jt
dt
23
例4 试求单位斜坡信号tu(t)的频谱。
解： 已知单位阶跃信号傅里叶变换为:
F[u(t)] π () 1 j
故利用频域微分特性可得:
F[tu(t)] j d [π () 1 ] π () 1
又因为
F
t
f1
(
)d
F[
f
(t)
f
()]
F(
j)
2f
() ()
整理即得结果.
22
9. 频域微分特性
若 f (t) F F ( j)
则t f (t) F j dF( j) d
t n f (t) F jn dF n ( j) d n
证明： F(j) f (t)ejt dt
dF( j) d
30
12. 非周期信号的能量谱密度
帕什瓦尔能量守恒定理：
f
2 (t)dt
1 2π
|
F( j) |2
d
定义单位角频率的信号能量为能量频谱密度
傅立叶变换-时域-频域
傅立叶变换，时域，频域一(2012-08-28 15:50:39)转载▼标签：杂谈参考文献：信号完整性分析"信息传输调制和噪声"P31，"傅立叶变换的数学再认识"及若干网上博客。
目录信号分析方法概述时域频域时域与频域的互相转换傅立叶变换原理傅立叶变换分类傅立叶级数的五个公式(周期性函数)傅立叶积分(非周期性函数)振幅谱和相位谱的关系功率谱傅立叶变换推导出：时移原理与频移原理，对偶性质时间-频率间的对应关系。
对应关系1：时间变化速率(即时域信号的变化速率) 与频谱呈正比关系对应关系2，时间周期T 与频谱：呈反比关系对应关系3：脉冲宽度与频谱：呈反比关系用脉冲宽度定义带宽频谱、幅度谱、相位谱、功率谱与周期性函数的频谱周期函数、非周期函数的频谱总结，与对称频谱的意义离散傅立叶变换与抽样：时域的抽样点数与频域点数的关系傅立叶变换与正交性傅立叶变换的思想总结与优点时域的物理意义频域的物理意义1，频域的物理意义2，傅立叶变换与谐波3，傅立叶反变换与谐波叠加4，带宽与时钟频率、脉冲宽度关键技术点解释1，IFFT反变换后各谐波如何叠加在一起？2，什么是正交?正交的条件是什么?傅立叶变换后的谐波为什么一定是正交的?傅立叶反变换之前的频谱要满足什么条件?3，为什么说时域上波形急剧变化，频域上就有很高的频率分量4, 频域中幅值与时域中的幅值有什么关系？5，采样傅立叶变换的缺点=================================信号分析方法概述通信的基础理论是信号分析的两种方法：1 是将信号描述成时间的函数，2是将信号描述成频率的函数。
也有用时域和频率联合起来表示信号的方法。
时域、频域两种分析方法提供了不同的角度，它们提供的信息都是一样，只是在不同的时候分析起来哪个方便就用哪个。
思考：原则上时域中只有一个信号波（时域的频率实际上是开关器件转动速度或时钟循环次数，时域中只有周期的概念），而对应频域（纯数学概念）则有多个频率分量。
信号与系统 傅立叶变换的性质
f t f t , F F 。
信号的波形压缩a倍，则信号随时间变化加快a 倍， 则它包含的频率分量也增加等效于在频域中扩展a倍，即 信号的频谱扩展a 倍。 根据能量守恒定理，各频率分量大小必然减小a倍.
信号与系统
f t F
E
E
E
E 2
t
1 F 2 2
o 4 4
4π
o
4π
持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频 带展宽，各分量的幅度下降a倍。 此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比， 有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则 要以展开频带为代价。
信号与系统
(3) a 1
4444傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质?时域卷积定理?频域卷积定理?时域微分性质?时域积分性质?频域微分性质?频域积分性质?线性性质?共轭对称性?正反变换的对称性?尺度变换性质?时移特性?频移特性信号与系统傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系
信号与系统
§ 4.4 傅立叶变换的性质
f (t ) cos tdt j f (t ) sin tdt
X ( ) f (t )sin tdt
R( ) jX ( ) H ( ) e j ( )
H ( ) R 2 ( ) X 2 ( ) X ( ) ( ) arctan R( )
1 sgnt 2
1 2
1 2
1 t 1 sgn 2 j
0
t
1 2
1 2
0
t
0
傅里叶变换常用公式
1、门函数F(w)=2w w sin=Sa() w
222、指数函数（单边）f(t)=e-atu(t) F(w)=1,实际上是一个低通滤波器a+jw
3、单位冲激函数F（w）=1,频带无限宽，是一个均匀谱
4、常数1 常数1是一个直流信号，所以它的频谱当然只有在w=0的时候才有值，体现为（w)。
F(w)=2(w) 可以由傅里叶变换的对称性得到
5、正弦函数F(ejw0t)=2(w-w0),相当于是直流信号的移位。
F(sinw0t)=F((ejw0t-e-jw0t)/2)=((w-w0)-(w+w0))
F(sinw0t)=F((e
6、单位冲击序列jw0t-e-jw0t)/2j)=j((w-w0)-(w+w0)) T(t)=(t-Tn) -这是一个周期函数，每隔T出现一个冲击，周期函数的傅里叶变换是离散的F(T(t))=w0(w-nw0)=w0
w0(w) n=-单位冲击序列的傅里叶变换仍然是周期序列，周期是w0=2T
1、线性性傅里叶变换是积分运算，而积分运算是加法。
2、时移特性信号在时域的时移，相当于信号在频域的各频率分量相移，即
3、频移特性（调制定理）f(t-t0)--e-jwt0F(w) 傅里叶变换公式。
傅里叶变换的性质
∫−
jtx ( t ) e
− jΩ t
dt
dX ( j Ω ) tx ( t ) ←→ j dΩ
FT
例如： 例如： du (t ) (t
dt
对应的傅里叶变换
= δ (t )
jΩ 1 = j 0 ⋅ πδ(Ω) + =1 δ(t ) ←→ jΩ[πδ(Ω) + ] jΩ jΩ
FT
再例如： 再例如：
1 d [ πδ ( Ω ) + ] jΩ FT tu ( t ) ← → j dΩ
= j π δ ′( Ω ) −
1 Ω2
七、反褶与共轭特性 设 则
FT x(t ) ←→ X ( jΩ) FT x ( − t ) ← → X ( − j Ω ) FT x * ( t ) ← → X * ( − j Ω )
由傅里叶变换公式很容易证明。 由傅里叶变换公式很容易证明。 奇偶、 八、奇偶、虚实性 1、实信号 、
FT x(t ) = x* (t ) ←→ X ( jΩ) = X * (− jΩ)
设
X ( jΩ) = X ( jΩ) e jϕ( Ω ) = X R (Ω) + jX I (Ω)
X * ( jΩ) = X ( jΩ) e − jϕ( Ω ) = X R (Ω) − jX I (Ω)
六、微分特性 设 则
FT x(t ) ←→ X ( jΩ) FT x ′( t ) ← → j Ω X ( j Ω )
------时域微分性 时域微分性 ------频域微分性 ------频域微分性
1 x (t ) = 2π
∞
dX ( j Ω ) − jtx ( t ) ← → dΩ
FT
因为， 因为，由傅里叶反变换公式 等号两边同时对时间t求导数 等号两边同时对时间 求导数
傅里叶变换的时移特性和频移特性
03 在图像处理中，时频分析用于图像压缩和去噪， 以及图像特征提取和分类。
04
傅里叶变换的物理意义
傅里叶变换与信号的时间特性关系
时间平移
傅里叶变换能够表示信号在时间上的平移，即信号在时间轴上移动时，其频谱不会发生变化。
时移特性在信号处理中的应用
信号压缩
利用时移特性，可以将信号在时间轴上进行压缩或扩展，从而改 变信号的时域特性。
频谱分析
在进行频谱分析时，可以利用时移特性来调整信号的相位和频率， 以便更好地观察和分析信号的频谱特性。
数字信号处理
在数字信号处理中，可以利用时移特性来实现信号的滤波、调制和 解调等操作。
时移特性的数学表达
公式
如果 $f(t)$ 是原信号，那么 $f(t-a)$ 和 $f(t+a)$ 分别是信号在时间轴上向前和向后平移 $a$ 后的新信号。傅里 叶变换 $F(omega)$ 和 $F(omega-a)$ 和 $F(omega+a)$ 分别是这三个信号的频谱。
推导
通过傅里叶变换的基本性质，可以推导出 $F(omega-a) = F(omega) cdot e^{-jaomega}$ 和 $F(omega+a) = F(omega) cdot e^{ jaomega}$。
时间尺度
通过傅里叶变换，可以将信号的时域尺度转换为频域尺度，从而更好地理解信号在不同尺度下的特性 。
傅里叶变换与信号的频率特性关系
频率平移
傅里叶变换能够表示信号在频率上的平移，即信号的频谱在频域内移动时，其时间函数 不会发生变化。
频率调制
通过傅里叶变换，可以将信号的频域调制转换为时域调制，从而更好地理解信号在不同 频率下的调制方式。
傅里叶变换的性质
E
−
τ
2
o
τ
2
t
−
2π o 2π
ω
τ
τ
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 时域扩展，频带压缩。
t f 2
2Eτ
−
2F (2ω )
E
t
π τ
−τ
o
τ
o
π τ
ω
脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频 脉冲持续时间增加 倍 变化慢了， 带压缩a倍 高频分量减少，幅度上升a倍 带压缩 倍。高频分量减少，幅度上升 倍。
第 1 页
付立叶变换的性质主要内容
对称性质 奇偶虚实性 时移特性 微分性质 线性性质 尺度变换性质 频移特性 时域积分性质
X
第
意义
傅里叶变换具有惟一性。 傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了 信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。 信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。 讨论傅里叶变换的性质，目的在于： 讨论傅里叶变换的性质，目的在于： •了解特性的内在联系； 了解特性的内在联系； 了解特性的内在联系 •用性质求 用性质求F(ω)； 用性质求 ； •了解在通信系统领域中的应用。 了解在通信系统领域中的应用。 了解在通信系统领域中的应用
u(t) ↔ F (ω ) 直流 1 ↔πδ(ω ) 2 1 1 1 余下部分 f2 (t ) = u(t ) − = sgn(t ), u(t) ↔πδ(ω ) + 2 2 jω 1 ′ f2 (t )微分f2 (t ) = δ (t) ↔ 1, f2 (t ) ↔ jω d[u(t ) − f1 (t )] u(t ) f (t )
1 即 ↔ − jπ sgn(ω ) t
傅里叶变换性质最终版.ppt
或
.精品课件.
14
1．时域微分
注意
.精品课件.
15
注意
如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里 变换，余下部分再用微分性质。
.精品课件.
16
2．频域微分性质
推广 或
.精品课件.
17
八．时域积分性质
也可以记作：
.精品课件.
18
证明
因为
综合上述两种情况
.精品课件.
19
等效脉冲宽度与等效频带宽度
求图(a)所示三脉冲信号的
f t
频谱。
E
解：
令f0 t 表示矩形单脉冲
信号，其频谱函数F0 ,
F0
E
Sa
2
T
22
Tt
(a)三脉冲信号的波形
F0
E
2
O
(b)
.精品课件.
23
例3-7-9
方法一：先标度变换，再时延
方法二：先时延再标度变换
.精品课件.
相同
24
例3-7-6（教材例3-4）
已知矩形调幅信号 f t Gtcos0t ,
交换积分顺序
，
即先求时移的单位阶跃
信号的傅里叶变换
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35
……续
.精品课件.
36
证明
即
.精品课件.
37
(flash)
.精品课件.
38
X
29
第 页
.精品课件.
29
X
例3-7-8
解：
.精品课件.
30
例3-7-9
解：
.精品课件.
31
例3-7-10
傅里叶变换的性质
傅里叶变换的性质Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】傅里叶变换的性质本质就是信号的时域运算关系在傅里叶变换域中的体现，也是求解信号傅里叶变换的基本手段。
傅里叶变换具有唯一性。
傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。
讨论傅里叶变换的性质，目的在于：1. 了解特性的内在联系2. 用性质求3. 了解在通信系统领域中的实用这些性质在内容和形式上具有某种程度的对称性。
§对称性质1．性质2．意义例3-7-1例3-7-2例3-7-3§ 线性1．性质§ 奇偶虚实性奇偶虚实性实际上在§的“傅里叶变换的特殊形式”中已经介绍过。
1.证明：由定义可以得到2.若，则证明：设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）显然§ 尺度变换性质1. 性质：2. 证明：综合上述两种情况3．意义(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
脉冲持续时间增加a倍，信号变化减缓，信号在频域的频带压缩a倍。
因此高频分量减少，幅度上升a倍。
(2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
持续时间短，变化加快。
信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。
此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。
§ 时移特性幅度频谱无变化，只影响相位频谱，例3-7-8求下图所示函数的傅里叶变换。
解：由对称关系求，又因为得幅频、相频特性分别如下图所示。
幅度频谱无变化，只影响相位频谱§ 时移+尺度变换1. 性质：2. 证明： (仿的证明过程)当时，设，则例3-7-9方法一：先标度变换，再时延方法二：先时延再标度变换两种方法结果相同。
§ 频移特性1．性质2．证明4．应用通信中调制与解调，频分复用§ 频移特性1．性质2．证明4．应用通信中调制与解调，频分复用§ 时域微分性质1．性质即3. 特别注意如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出直流分量单独求傅里变换，余下部分再用微分性质。
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2012-05-11
a
1
时移特性
a
2
例如：原信号为宽度为1，幅度为1的矩 形窗函数，经过0.1s的时移后。
f(t) 1.5
1
0.5
0
-0.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
f(t-t0) 1.5
1
0.5
0
-0.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
上图为 f ( t ) ，a 下图为 f (t t0 )
a
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3 54
频移特性
a
6
我们可以得到如下两个简单的结论：
某信号在时域中乘以 e j 0 t ，相当于频域中频谱右移 0 ； 某信号在时域中乘以 e j 0t ，相当于频域中频谱左移 0 ；
也就是：
a
7
前面两个结论可以这样直观理解：
信号 x ( t ) 由无数不同旋转角速度 ( ) 的旋转向量叠加而成。
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
a
12
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
a
13
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-10 -8 -6 -4 -2
0
2
4
6
8 10
3
得到 f ( t ) 的傅里叶变换的三维图、幅值与相位：
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
-0.5
三 幅度谱 2
-1
维
3 4 -1.5
图 相位谱
1.5 1 0.5
a
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4 0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3 44
得到 f (t t0 ) 的傅里叶变换的三维图、幅值
与相位：
1
0.8
1.5
0.6
0.4
1
0.2
0.5
0
0
-0.2
-0.5
-0.4 0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
-1
3
-1.5 -4
-2
0
2
三 幅度谱 维 图 相位谱
-1 4 -1.5
0 -0.5
1.5 1 0.5
a
14
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-1000
-500
0
500
1000
事实上，上面这个矩形脉冲的调制过程就是无线 数字通信中最基本的一个调制过程。
a
15
a
8
a
9
a
10
假定我们用一个矩形脉冲信号去调制余弦载波， 我们看一下调制前后信号在时域和频域各发生了哪些 变化。
矩形脉冲信号，时域：
1.5
1
0.5
0
-0.5
Hale Waihona Puke -1.5-1-0.5
0
0.5
1
1.5
a
11
余弦载波信号， 为了看得清楚，频率 只取了5Hz
调制后的信号， 时域：
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5