工程流体力学52边界层的动量积分方程
《高等流体力学》第2章 流体动力学积分形式的基本方程
（φ 为广延量）
取τ= τ0(t)为控制体， A= A0(t)为控制面：
A2 ( A02 )
τ 03
′ A02
v∆t
A1 ( A01 )
′ A01
n
τ 02
v∆t
τ 01
dA0
τ = τ 0 (t )
A = A0 ( t )
n
′ ( t + ∆t ) = A′ A0
∆ = I I ( t + ∆t ) − I ( = t)
I在∆t内的增量为：
∫∫∫τ
01 +τ 02
φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 − ∫∫∫
τ 01 +τ 03
φ ( r , t ) dτ 0
∫∫∫τ
φ ( r , t + ∆t ) − φ ( r , t ) dτ 0 + ∫∫∫ φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 τ 02 01
D ∂φ Dφ φ dτ 0 = + ∇ φ= v + φ∇ ⋅ v ⇒ ∫∫∫ τ 0 Dt ∂t Dt Dt ∂t
( )
Dφ + φ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫τ Dt
Dρ + ρ∇ ⋅ v = 0 （微分形式连续方程） 如果 φ = ρ ，则： Dt (2) D D ( ρφ ) ρφ dτ 0 ∫∫∫ = + ρφ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ 0 Dt Dt ρ Dφ ρ Dφ Dρ dτ = ∫∫∫ +φ + ρ∇ = ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ Dt Dt Dt
∂x′ ′ = ∇xα iβ α i′α = ∂xβ ∂φ ∂x′ ∂φ ∂φ ∴∇′φ = i′α = iβ α = iβ = ∇φ ′ ′ ∂xα ∂xβ ∂xα ∂xβ
第七章 边界层及其基本计算
流动边界层：存在着较大速度梯度的流体层区域，即流速降为主体流 速的99％以内的区域。
边界层厚度：边界层外缘与壁面间的垂直距离。
边界层区（边界层内）：沿板面法向的速度梯度很大，需考虑粘度的 影响，剪应力不可忽略。
主流区（边界层外）：速度梯度很小，剪应力可以忽略，可视为理想
流体 。
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7 绕流阻力与阻力系数
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7.5 圆管内流动的边界层
充分发展的边界层厚度为圆管的半径；
进口段内有边界层内外之分 ；
也分为层流边界层与湍流边界层；
进口段长度：
层流：
x0 d
0.05 Re
湍流： x0
d
40
~ 50
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第六章 粘性流体管内流动
1 边界层概念 2 层流边界层微分方程 3 边界层动量积分方程 4 平板层流边界层的计算 5 圆管内流动的边界层 6 边界层分离与卡门涡街
0
vx2dy
x
0
vx2dy dx
BC:
K AC
ve
x
0
vx dy dx
3 受力分析（忽略质量力）
AB: p
BC:
p 1 p dx d
2 x
CD:
p p dx d
x
AD: wdx
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7.3 边界层的动量积分方程
二、边界层动量积分方程的推导 3 动量方程——卡门动量方程
层流边界层比湍流边界层压差阻力大； 减小压差阻力应尽量减小分离区，使分 离点后移： (1) 改善物体外形，采用流线型； (2) 改变边界层性质。
流体动力学积分形式的基本方程
A0
即：
D ∫∫∫ ρVdτ 0 = ∫∫∫ ρ f dτ 0 + ∫∫ pn dA0 Dt τ 0 A0 τ0
n 作用面法线方向而非 pn 的方向
三、动量矩方程
DM 0 D = ∫∫∫ r × ρVdτ 0 = ∑ r × F Dt Dt τ 0 = ∫∫∫ ρ ( r × f )dτ 0 + ∫∫ ( r × pn )dA0
A
D ∂φ ∫∫∫) φ dτ 0 ( t ) = ∫∫∫ ∂t dτ + Dt τ 0 ( t τ
∫∫ ( V • n )φ dA − − − − − (1)
A
——输运公式，即系统导数的欧拉表达式
∇ • (φ V ) = φ∇ • V + V∇ • φ
由质点导数
Dφ ∂φ = + V∇ • φ Dt ∂t
τ0
A0
M 0 = ∫∫∫ ( r × V ) dτ 0
τ0
四、能量方程
⎛ V2 ⎞ DE D Q +W = = ∫∫∫ ρ ⎜ e + 2 ⎟ dτ 0 Dt Dt τ 0 ⎝ ⎠
●热传导
n qλ = qin q n 方向分量 q = − λ∆T ， 为外法 在
Q
q T ∆T 线方向， 由外向内为负， 外高里低 ， 指向温增 ● 热辐射 总辐射热 ∫∫∫ qR ρdτ 0
1 2 3
间的变化率
• 质点导数强调某一流体质点的物理量对时间 的变化率 • 以直角坐标为例：
已知速度场，t时刻空间点 点 V = V ( x, y, z, t )，经过 ∆t ，
p
p ( x, y , z )
上的流体质
p → p′( x + u ∆t , y + v∆t , z + w∆t , t )
工程流体力学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
工程流体力学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.随流动雷诺数增大，管流壁面粘性底层的厚度也愈大。
参考答案:错误2.对于音速．如下说法不正确的是：参考答案:流体中的声速是状态参数的函数3.平板湍流边界层的厚度与距前缘的距离x成正比，与雷诺数Re成反比。
参考答案:错误4.边界层的外边界不是流线，流体可以通过边界层外边界流入流出边界层。
参考答案:正确5.当水流的实际雷诺数小于流态判别数时，水流为湍流。
参考答案:错误6.一输油管和输水管在当直径、长度、壁面粗糙度均相等时，则沿程水头损失必相等。
参考答案:正确7.在圆管流中，层流的断面流速分布符合：参考答案:抛物线规律8.在湍流粗糙管中：参考答案:水头损失与断面平均流速的平方成正比9.圆管流动过流断面上的切应力分布为：参考答案:管轴处是零，且与半径成正比10.既然是一个量，就必定有量纲。
参考答案:错误11.同时满足雷诺准则和弗劳德准则一般是不可能的参考答案:正确12.激波是超声速气流的基本现象之一，它是一种的过程：参考答案:压强上升，密度上升，流速下降13.在平板混合边界层中，层流边界层转捩点位置离前缘越远，摩擦阻力系数就越小。
参考答案:正确14.平板层流边界层厚度____与雷诺数Re的____成反比。
雷诺数愈大，边界层厚度越薄。
参考答案:平方根15.输水管道模型试验，长度比例尺为8，模型管道的流量应为原型管道流量的：参考答案:1/816.定常流时，流线随的形状不随时间变化，流线不一定与迹线相重合。
参考答案:错误17.用U 形水银测压计测A点压强，h1=500mm，h2=300mm，A点的压强是：【图片】参考答案:63700N/m218.在重力作用下静止液体中，等压面是水平面的条件是参考答案:同一种液体，相互连通19.在下列各组流体中，属于牛顿流体的为（）。
参考答案:水、空气、汽油20.如果原型流动中粘滞力占主要作用，则流动相似考虑雷诺相似。
工程流体力学答案(周云龙第三版)(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】第一章1-1 90610500453.06=⨯==-V m ρkg/m 3906.01000906==d 1-2 544.0140027327334.11013252732730=⨯+⨯=+=p t ρρkg/m 31-3 1121211V V V t t V dV dt V --==α 98.616060)2080(10550)(611122=+⨯-⨯⨯=+-=-V V t t V V αm 3/h 1-4933666112121051011011099510102111----⨯=⨯⨯-⨯-⨯-=---=-=V V V p p V dV dp κ1/Pa1-5 47109.26781028.4--⨯=⨯⨯==νρμ Pa·s1-6 63103.14.999103.1--⨯=⨯==ρμνm 2/s 1-7 (1) 17.266050001.014.360=⨯⨯==dn u π m/s521023.510005.017.260⨯=⨯=-=-δu dy du 1/s (2) 222ddy du dL d dy du A d F M μπμ===35221033.51023.5108.01.014.35.322-⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==du dy L d M πμ Pa·s (3) 3531079.21023.51033.5⨯=⨯⨯⨯==-dy duμτPa1-8 (1)y dy duμμτ2==(2)μμμμτ2122=⨯===y dydu1-9 (1)hu bL dy duAF 022μμ== (2) 当2hy =时，h u dy du 0μμτ==(3)当h y 23=时，0u u = 所以0==dy du μτ1-10 2903.03.0133)(112121=⨯⨯==+=+=μμμμdy du A dy du A F F F N967.01=μ Pa·s 933.1212==μμ Pa·s1-11dr r r dr r r r dA dy du r dF dM αδπωμαπδωμμsin 2sin 203=-=⋅=⋅=αδαπωμααδπωμαδπωμαδπωμαααcos 24)(sin 2sin 2sin 234403030tg H Htg dr r dr r dM M Htg Htg Htg =====⎰⎰⎰1-12 62.26020025.014.360=⨯⨯==dn u πm/s3925.050.025.014.3=⨯⨯==dL A πm 2331022.4102.0062.23925.082.0⨯=⨯-⨯⨯==-dy du A F μN 05.1162.21022.43=⨯⨯==Fu P kW1-13 0841.0100092.0109144.04=⨯⨯⨯==-νρμPa·s1459.03048.01524.014.3=⨯⨯==dL A πm 22.7361024.1526.152061459.00841.03=⨯--⨯⨯==-dydu A F μN42.462.736=⨯==Fv P kW1-14 dr r r r rdrr dy du dA r dF dM 3202δμπωδωπμμ=-⋅==⋅= δμπωδμπω3224203d dr r dM M d A ===⎰⎰ 1-15 785.0125.014.3=⨯⨯==dL A πm 23610258.4001.003.0785.01008.18--⨯=-⨯⨯⨯==dy du AF μN 1-16 1884.03.02.014.3=⨯⨯==Db A πm 2δμδμμ20u Au u A u dy du A Fu N =-===9374.01884.0245.01008.07.502=⨯⨯⨯==-A N u μδm/s9056.892.014.39374.06060≈=⨯⨯==D u n πr/min 1-17 082.091810893.04=⨯⨯==-νρμ Pa·s75.14103.003.01.08.1082.03=⨯-⨯⨯⨯==-dy du A F μN 1-18 由1-14的结果得2.791023.096046.09014.31044003032323424424=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯==--δμπδμπωnd d M N ·m1-19dydu AF 00μ=dydu AF 120120μ= %7.86015.0002.0015.00120001200=-=-=-μμμF F F 1-20 3.29105.0324.0105.08.910000728.098.1324.098.1332=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=--r gr h O H ρσmm 1-217.11)105.0216.0105.08.91000513.053.1()216.053.1(33=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-=--=--r gr h Hg ρσmm 1-22 由2642322δδδδρσ-++=R R g h 得 δδδδρσ4622223+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=R R h g其中 ()θθδsin 1cos -=R则 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=22sin 13sin 21cos 2θθθρσR h gR 1-23 根据牛顿内摩擦定律 drdVμτ-=由于流速u 随半径r 的增加而减小，即drdu是负值，为了使τ为正值，上式在等号右端取负号根据已知条件 r r D dr d 2)]4(4[22βμβμτ=--=在管壁处2D r = 则4221DD ββτ== 当4D r =时 4222DD ββτ== 管壁处的阻力 L D DL D A F 21414βππβτ===1-24 ma F G =- 其中18.98.990===g G m （kg ） 则)61.0(18.990-⨯=-F60.95=F N由dyduA F μ=其中0583.01219.015228.014.3=⨯⨯==DL A πm 26.248979100245.001.603=⨯-=-=-δu dy du 1/s则310586.6006586.06.2489790583.06.95-⨯==⨯==dydu A F μ Pa·s第二章2-1112.2128.08.910009.08.913600105122=⨯⨯-⨯⨯+=-+=gh gh p p O H Hg a A ρρkPa2-2 08.140599.08.91594)0(=⨯⨯=∆--=-=h g p p e v ρPa 92.8726508.14059101325=-=-=v a p p p Pa2-3 gh gh p B A e ρρ=+ 且 1.015.025.0=-=h m (a) 9801.08.91000)(=⨯⨯=≈-=gh gh p B A B e ρρρPa 102305980101325=+=+=e a p p p Pa(b) 4.8131.08.9100083.0)(=⨯⨯⨯=≈-=gh gh p B A B e ρρρPa 4.1021384.813101325=+=+=e a p p p Pa(c) 123481.08.9)100013600()(=⨯⨯-=-=gh p A B e ρρPa 11367312348101325=+=+=e a p p p Pa2-4 设A 点到下水银面的距离为h 1，B 点到上水银面的距离为h 2 B O H Hg O H A p gh gh gh p =+-+2122ρρρ04.348.521+=+-h h h 即 44.221+=+h h h305.18.9)100013600(8.9100044.210)372.1744.2()(44.2522=⨯-⨯⨯+⨯-=-+-=gg p p h O H Hg O H B A ρρρm2-5 44.03000027.025.10027.025.1=⨯-=-=s s t ρkg/m 3gHp gH p a a s s ρρ-=-6.166208.9)44.029.1()(=⨯⨯-=-=-gH p p s a s a ρρPa2-64.1340638.9100012.08.913600312.02=⨯⨯+⨯⨯-=⨯+⨯-=g g p O H Hg e ρρPa2-7 223311gh gh p gh p B A ρρρ++=+(1)112233100010001000gh d gh d gh d p p B A-++=16.08.983.0100008.08.96.13100012.08.983.010********.68⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=287.79=kPa(2)332211100010001000gh d gh d gh d p p A B --+=12.08.983.0100008.08.96.13100016.08.983.010*******.137⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯=96.127562=Pa563.319600096.127562=-=-=a B Be p p p kPa2-8 设401=h cm22=h m33=h m)(32112h h g p gh gh gh p B B Hg A A A +-=+--ρρρρ 11232)(gh gh gh h h g p p Hg A A B B A ρρρρ-+++-=4.08.9136004.08.97.85628.97.856)32(8.93.1254200000⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯-=377.105=kPa2-9 (1)93.138545sin 2.08.91000sin =⨯⨯⨯==- αρgL p p B A Pa(2)3530sin 8.980093.1385sin =⨯⨯=-=αρg p p L B A cm 2-10666405.08.9136001=⨯⨯=∆=h g p Hg ρPa68.08.91000666422=⨯==∆gph O H ρm2-111022gh p gh p O H Hg a ρρ+=+4032gh p gh p O H Hg a ρρ+=+整理得 )(1321422h h h h Hg Hg O H OH ρρρρ+-=)3.0136002.0136005.01000(10001⨯+⨯-⨯=86.1=m2-12 )()()(112342h H g h h g h h g p p O H Hg Hg a ---+-+=ρρρ)5.15.3(8.91000)5.15.2(8.913600)0.13.2(8.913600105-⨯⨯--⨯⨯+-⨯⨯+=386944=Pa2-13 gh h g p Hg A ρρ=++)84.0(85.1138.9)100075.013600(84.08.9100075.010372.1)(84.05=⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯=-⨯+=g g p h Hg A ρρρcm2-14)0.343.3(1000)74.22.3(1000-⨯-=-⨯+g d g d p B A 862.043.08.9100046.08.9100060.110845=⨯⨯-⨯⨯⨯+-=B d 2-15 59.0)59.0(22⨯++-=-g z g p gz p Hg O H B O H A ρρρ整理：853.7259.08.9)100013600(59.059.02=⨯⨯-=⨯-⨯=-g g p p O H Hg B A ρρkPa2-16 设差压计中的工作液体密度为ρ' )()()(213241h h g h h g p h h g p B A -'---=--ρρρ)()(213241h h g h h h h g p p p B A -'-+--=-=∆ρρ)48.381.3(8.9100075.0)00.348.310.081.3(8.910005.1-⨯⨯⨯-+--⨯⨯⨯==5.45055Pa 065.38.910005.15.45055=⨯⨯=∆g p ρ m 2-17112233100010001000gh d gh d gh d p p A B ---=44.28.975.0100052.18.9110006.08.96.131000274600⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-=161802=Pa2-1882.38)34.01360053.0100025.1(8.934.053.0-=⨯-⨯⨯⨯=⨯-⨯=g g p Hg A ρρkPa2-19 (1) 981010018.910004=⨯⨯⨯⨯==-ghA F ρN(2) 95.1)99.01001.001.0(8.910004=⨯+⨯⨯⨯==-gV G ρN 2-20 证明：如书中证明过程。
流体力学动量方程的积分推导_理论说明
流体力学动量方程的积分推导理论说明1. 引言1.1 概述本文旨在探讨流体力学中的动量方程，并对其进行积分推导和理论说明。
流体力学是研究液体和气体运动规律的学科，对于各个领域都具有重要意义，如工程、地质等。
而动量方程是描述流体运动的基本方程之一，通过对其积分推导可以得到更加普适且应用广泛的形式。
1.2 文章结构本文主要由四部分组成：引言、流体力学动量方程的积分推导、理论说明和结论。
首先，在引言部分，我们将简要介绍文章的概述、目的以及结构安排，为读者提供一个整体的了解和预期。
然后，在流体力学动量方程的积分推导部分，我们将深入探讨动量守恒定律、Eulerian描述和Lagrangian描述，并详细介绍积分推导过程。
接下来，在理论说明部分，我们将解释动量守恒方程的意义和应用场景，并探讨积分形式与微分形式之间的关系以及考虑动量通量项和边界条件时所需注意的问题。
最后，在结论部分，我们将总结动量方程积分推导的过程，并讨论实际应用中可能遇到的局限性和改进方法，同时探讨流体力学研究的重要性和未来展望。
1.3 目的本文的目的在于提供读者对流体力学动量方程积分推导及其理论说明的全面了解。
通过对动量守恒定律、Eulerian描述和Lagrangian描述进行讨论，我们将详细探究动量方程的积分推导过程，并阐述其在实际应用中的意义和应用场景。
通过理论说明部分，我们将帮助读者理解积分形式与微分形式之间的关系以及考虑边界条件时需要注意的问题。
最后，我们将总结动量方程积分推导过程，并就实际应用中可能遇到的局限性提出一些改进方法，并强调流体力学研究在现实世界中所起到的重要性和未来展望。
通过阅读本文，读者将对流体力学动量方程有一个更加深入和全面的了解。
2. 流体力学动量方程的积分推导:2.1 动量守恒定律:在流体力学中，动量守恒是一个基本原理。
根据牛顿第二定律和质点的动能定理，我们可以得出流体力学中的动量守恒定律。
该定律表明，在一个封闭系统中，流体粒子总动量的变化率等于作用在其上的合外力矢量之和。
工程流体力学与机械智慧树知到答案章节测试2023年山东理工大学
第一章测试1.在水力学中，单位质量力是指（）A:单位体积液体受到的质量力B:单位质量液体受到的质量力C:单位面积液体受到的质量力D:单位重量液体受到的质量力答案:B2.交通土建工程施工中的新拌建筑砂浆属于（）A:非牛顿流体B:牛顿流体C:无黏流体D:理想流体答案:A3.理想流体与实际流体的主要区别在于（）A:是否考虑黏性B:是否考虑重力特性C:是否考虑流动性D:是否考虑惯性答案:A4.下列关于流体粘性的说法中，不准确的说法是（）。
A:构成流体粘性的因素是流体分子间的吸引力B:粘性是实际流体的固有属性C:动力粘度与密度之比称为运动粘度D:流体粘性具有传递运动和阻碍运动的双重性答案:A5.流体是在任一剪切力的作用下不能保持静止的一种物质。
（）A:错B:对答案:B第二章测试1.某点的的真空压强为65 000Pa，当地大气压为0.1MPa，该点的绝对压强为（）A:165 000 PaB:55 000 PaC:65 000 PaD:35 000 Pa答案:D2.下列流体的作用力中，不属于质量力的是( )A:重力B:粘性内摩擦力C:惯性力D:电磁力答案:B3.压力体内（）A:可能有液体，也可能没有液体B:肯定不会有液体C:至少部分有液体D:必定充满液体答案:A4.液体受到表面压强p作用后，它将（）地传递到液体内部任何一点。
A:毫不改变B:只传压力不传递压强C:有所增加D:有所减小答案:A5.液体的粘度随温度的减小而减小。
（）A:错B:对答案:B第三章测试1.恒定流是：（）A:各空间点上的运动要素不随时间变化B:流动随时间按一定规律变化C:迁移加速度为。
D:各过流断面的速度分布相同答案:A2.一维流动限于：（）A:流线是直线；B:速度分布按直线变化；C:运动参数是一个空间坐标和时间变量的函数；D:运动参数不随时间变化的流动。
答案:C3.变直径管，直径，，流速。
为：（）A:；B:；C: 。
D: ；答案:A4.在（）流动中，流线和迹线重合：A:恒定；B:无旋；C:非恒定。
第六章流体动力学积分形式基本方程
一、静止控制体的动量方程 作用于控制体上的力为
作用于控制面上的力为 单位时间内控制体内动量的增量为 单位时间内通过控制面流入控制体的动量为
第1页
Fd A pn dA
wd t
w nwdA
A
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第六章
流体动力学积分形式基本方程
第二节
A
动量方程
A
按照动量守恒定律可写出静止控制体的动量方程：
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第六章
流体动力学积分形式基本方程
第一节
式中Q为流管内的体积流量 （m3/s）。应该指出，对不可压 缩流体，
应该指出，对不可压缩流体， d d 0 t t 所以（6.3）式也适用于不定 常流动。
连续性方程
n
dA
pn A2
n2 w2
w
q
n1
d
A R
第1页
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第六章
流体动力学积分形式基本方程第四节 Nhomakorabea理想流体（
t pn np
能量方程
F U
二、能量方程的简化 对于定常（ 0 ）、绝热（ q qR 0 ）、质量力有势（ ）的流动，（6.8）式简化为
w2 A np wdA U wd A w n e 2 dA 0
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第六章
流体动力学积分形式基本方程
流体动力学的基本方程可以对系统建立，也可以对控制 体建立，所谓系统是指确定不变的物质的组合。所谓控制体 是指相对于某一坐标系固定不变的空间体积，它的边界面称 为控制面。三大守恒定律的原始形式是对系统建立的，但在 许多流体力学实际问题中如对控制体建立方程，应用起来更 为方便。所以流体动力学中讨论的基本方程多数是对控制体 建立的。求解对有限控制体建立的积分形式基本方程，可以 给出流体动力学问题的总体性能关系，如流体与物体间作用 的合力和总的能量交换等。本章讨论流体动力学的积分形式 基本方程。
工程流体力学 水力学 课件 第五章
直角坐标系中的总能量方程
d(e 1 u2 ) 2 dt
1
K x
T x
y
K
T y
z
K
T z
第二节 层流与湍流、雷诺数
雷诺实验装置如图5-1所示
实验发现，当管内流体流速较小时，如 图5-4中（a）所示，有色液体在玻璃管中呈 现为一条直线，不与周围的流体相混杂，流 体呈层状运动，这种流动状态称为层流。
d
处， df 1 。
d
上式是一个非线性的三阶常微分方程，需要采用数值计算的方法求解。
四、边界层动量积分方程
如图所示首先分析单位时间内通过控制面 的流体的质量和动量。 单位时间内通过面流进控制体的流体质量和动量为:
流进质量：
0 u x dy
流进动量：
0
u
2 x
dy
通过CD面流出控制体的流体质量和动量为:
图5-13 平板绕流
相应的边界条件为：
（1）y 0 时 ，ux 0 ， u y 0
（2）y （或 y ）时，ux u
引进相似变换参数表示为
u x df
u d
引进流函数 ，则有
ux
y
y
u
x
整理后可得三阶常微分方程为
d3 f 2
f
d2 f
0
d 3
d 2
相应的边界条件为：
0 处， df 0，f 0 ；
u
2 x
dy
dx
u
x
0
u
x
dy
dx
p x
0 dx
整理得 ：
0
u
du dx
u
图5-6 圆管层流分析
由牛顿第二定律得： p r 2dx 2rdx 0
高二物理竞赛课件：流体力学的动量积分关系式
❖ 一、沿边界层厚度的速度分布 =x (yx) 二、切向应力与边界层厚度的关系式 ( )
一般在应用边界层的动量积分关系式（8－51）来求解边界层问 题时，边界层内的速度分布是按照已有的经验来假定的。假 定的 vx 愈v(接y)近实际，则所得到的结果愈正确。所以选择边 界层内的速度分布函数 是求解v(边y)界层问题的重要关键。
x y
（8-29）
沿边界层上缘由伯努利可知：
pb b2 / 2 常数
上式对
x
求导，得：dpb
dx
b
db
dx
❖ 这样，层流边界层的微分方程又可写为：
vx
vx x
vy
vx y
Vb
dVb dx
2vx y 2
vx vy 0 x y
（8-30）
方程组（8－30） 即为在物体壁面为平面的假设下得 到的边界层微分方程 。
为：
2 x
Fx
p
p
1 2
p x
dx
ds
sin
p
p x
dx
d
wdx
◇边界层动量积分方程的推导
❖ 式中为边界层外边界AC与方向的夹角，由几何关系可
知：dssin a d ，上式经整理并略去高阶小量，得：
❖ 单位时间内Fx沿方向经px d过x ABw流dx入控制体的质量和动量分
别为：
透边界层直接作用在平板上。外部压强由势流决定
dp U dU
dx
dx
②第二式得到简化（x方向二阶偏导数消失），有利于数值计算。 利用该式可计算壁切应力和流动阻力。
❖ 将上述方程组无量纲化。
为此考虑如图所示的一半
无穷绕流平板，假定无穷
第25讲边界层理论2
K cd − K ab − K bc = ∑ Fx
对于Sab面，流入的质量和动量分别为：
δ ( x)
mab =
∫ ρ udy
0
δ ( x)
δ ( x)
K ab =
ρu 2 dy ∫
0
对于Scd面，流入的质量和动量分别为：
δ ( x)
mcd =
∫
0
∂ ⎛ ρudy + ⎜ ∂x ⎜ ⎝
⎞ ∫ ρudy ⎟dx ⎟ 0 ⎠
1/ 7 δ ⎡ u⎞ y⎞ ⎤ δ ⎛ ⎛ * δ = ∫ ⎜1 − ⎟dy = ∫ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ dy = U⎠ 8 0⎝ 0 ⎢ ⎦ ⎣ ⎝δ ⎠ ⎥
δ
u⎛ u⎞ ⎛ y⎞ θ = ∫ ⎜1− ⎟dy = ∫ ⎜ ⎟ U⎝ U⎠ δ 0 0⎝ ⎠
δ
δ
1/ 7
⎡ ⎛ y ⎞1/ 7 ⎤ 7 1− ⎜ ⎟ ⎥dy = δ ⎢ 72 ⎢ ⎝δ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦
0.075 Cf = (lg ReL − 2) 2
这是8thITTC推荐的标准式，目的是消除采用不同的摩擦阻力系数公式导 致阻力换算结果上的差异，是人为确定的。 该式的计算值与桑海公式的值差不多，但计算较为简单。
（4）平板混合边界层
实际湍流边界层包括前段层流、中间过渡区和后段湍流，是混合边界 层。层流段长度与平板长度之比越大，则按湍流计算的误差越大。 合理的办法是：前段按层流边界层计算，在转捩点之后按湍流边界层 计算，这样做的困难在于转捩点位置的确定。 引入两个假设： ① 边界层转捩瞬时发生在临界雷诺数Recr处，没有过渡区，则转捩点
将上述各关系式代入动量积分方程，可得：
τ0 dθ = dx ρU 2
⎛ν ⎞ ⎟ ⎝ Ux ⎠
边界层动量积分方程知识详解
三、减阻措施
绕流阻力中的压差阻力和摩擦阻力的主次取决于雷诺数。雷 诺数越大，压差阻力所占的份额越大。 摩擦阻力与边界层的流态有很大的关系。一般来说，层流边 界层的摩擦阻力比湍流边界层小。为了减小摩擦阻力，应使 物面上的层流边界层尽可能长，并使壁面光滑。 压差阻力是与物体的形状关系密切。物体后部曲率越大，分
0
dv x dy
d [ 2v ( y y2 )]
dy
2
y0
y0
0
2v
vx
v [1
(
y)2
2 ]
0
2v
d
v dx
0
v
x
dy
d dx
0
v
2 x
dy
0
1 15
v
d
dx
5.477 x
v
1 v 2 x C 15 2
1 v 2 x 15 2
0
2v
5.477 x
第五节 边界层动量积分方程
设二维定常均匀流绕流一固体，如图所示。沿固体表面取 x轴，沿固体表面的外法线方向取y轴，在固体表面取单宽 微段ABCD为控制体，对它建立x方向的动量方程。
v
假设：（1）不计质量力； （2）dx无限小，所以BD、AC可视为直线。
MCD M AB M AC Fx
式中，MCD、MAB、MAC分别为单位时间通过CD、 AB、AC面的流体动量在x轴上的分量； ΣFx为作用在控制体ABCD上所有外力的合力在x 轴上的分量。
单位时间通过AB、CD、AC面的质量分别为
qAB 0 vxdy
qCD
q AB
qAB
x
dx
0
v x dy
x
高等工程流体力学-边界层的基本概念
vx v
，y
yv
，
v
第七章 不可压缩流体的二维边界层
18
第四节 紊流边界层的速度分布
其中，v w / 为壁面摩擦速度，由柏金汉
定理可得
vx
vx v
F(y,)
（7-18）
对水力光滑壁面，内层区域（y≤0.2δ）的粘
性底层[0 ≤ y+ ≤ （5~10）]，速度分布
或
vx y
（7-19a） （直线分布）
第一节 边界层的基本概念
一、边界层的基本特征 二、边界层位移厚度和动量损失厚度 三、紊流边界层的分层结构 四、紊流猝发现象
1
一、边界层的基本特征
边界层的特性
边界层很薄； 边界层厚度随来流方向逐渐增厚； 沿壁面法向速度梯度很大，黏性力不能忽
略，边界层内的流动是有旋的； 边界层内任一横截面上的压强都相等，等
10
第三节 二维边界层动量积分方程
将乘以Ue(x)第一式连续方程，整理得
(Uevx ) x
(Uevy ) y
vx
dU e dx
（7-14a）
注意到连续方程和 vx ，可将第二式边
界层方程改写为
y
vx2 x
(vxvy ) y
Ue
dU e dx
1
y
（7-14b）
第七章 不可压缩流体的二维边界层
第七章 不可压缩流体的二维边界层
17
第四节 紊流边界层的速度分布
一、内层速度分布——壁面律
（1）在内层区域时，速度 vx 应依赖于 壁面切应力τw、流体密度ρ、动力黏度μ、 离开壁面的垂直距离y和壁面粗糙度Δ，根 据柏金汉的π定理，在基本量纲M-L-T中， 将上述6个物理量存在3个无量纲组合量：
工程流体力学答案(周云龙第三版)
第一章1-190610500453.06=⨯==-V m ρkg/m 3906.01000906==d1—2 544.0140027327334.11013252732730=⨯+⨯=+=p t ρρkg/m 31-3 1121211V V V t t V dV dt V--==α98.616060)2080(10550)(611122=+⨯-⨯⨯=+-=-V V t t V V αm 3/h1-4933666112121051011011099510102111----⨯=⨯⨯-⨯-⨯-=---=-=V V V p p V dV dp κ1/Pa1-5 47109.26781028.4--⨯=⨯⨯==νρμ Pa·s1—6 63103.14.999103.1--⨯=⨯==ρμνm 2/s1—7 （1)17.266050001.014.360=⨯⨯==dnu π m/s521023.510005.017.260⨯=⨯=-=-δu dy du 1/s(2）222ddy du dL d dy du A d FM μπμ===35221033.51023.5108.01.014.35.322-⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==du dy L d M πμ Pa·s(3)3531079.21023.51033.5⨯=⨯⨯⨯==-dyduμτPa1—8 (1)y dydu μμτ2==（2)μμμμτ2122=⨯===y dydu 1-9 (1）hu bL dy duAF 022μμ==(2） 当2h y =时,h u dy duμμτ== (3)当h y 23=时，0u u = 所以0==dy duμτ 1—102903.03.0133)(112121=⨯⨯==+=+=μμμμdy du A dy du AF F F N967.01=μ Pa·s 933.1212==μμPa·s1-11drr r dr r r r dA dy du r dF dM αδπωμαπδωμμsin 2sin 203=-=⋅=⋅=αδαπωμααδπωμαδπωμαδπωμαααcos 24)(sin 2sin 2sin 234403030tg H Htg dr r dr r dM M Htg Htg Htg =====⎰⎰⎰1-1262.26020025.014.360=⨯⨯==dnu πm/s3925.050.025.014.3=⨯⨯==dL A πm 2331022.4102.0062.23925.082.0⨯=⨯-⨯⨯==-dy du AF μN 05.1162.21022.43=⨯⨯==Fu P kW 1-130841.0100092.0109144.04=⨯⨯⨯==-νρμ Pa·s 1459.03048.01524.014.3=⨯⨯==dL A πm 22.7361024.1526.152061459.00841.03=⨯--⨯⨯==-dydu AF μN42.462.736=⨯==Fv P kW1—14dr r r r rdr r dy du dAr dF dM 3202δμπωδωπμμ=-⋅==⋅=δμπωδμπω3224203d dr r dM M d A===⎰⎰ 1-15785.0125.014.3=⨯⨯==dL A πm 23610258.4001.003.0785.01008.18--⨯=-⨯⨯⨯==dy du AF μN 1—161884.03.02.014.3=⨯⨯==Db A πm 2δμδμμ20u Au u A u dy du A Fu N =-=== 9374.01884.0245.01008.07.502=⨯⨯⨯==-A N u μδm/s9056.892.014.39374.06060≈=⨯⨯==D u n πr/min 1-17082.091810893.04=⨯⨯==-νρμ Pa·s75.14103.003.01.08.1082.03=⨯-⨯⨯⨯==-dy du AF μN1—18 由1-14的结果得2.791023.096046.09014.31044003032323424424=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯==--δμπδμπωnd d M N·m1—19dy du AF 00μ=dyduA F 120120μ= %7.86015.0002.0015.00120001200=-=-=-μμμF F F1-203.29105.0324.0105.08.910000728.098.1324.098.1332=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=--r gr h O H ρσmm1—217.11)105.0216.0105.08.91000513.053.1()216.053.1(33=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-=--=--r gr h Hg ρσmm1—22 由2642322δδδδρσ-++=RR g h 得δδδδρσ4622223+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=R R h g其中 ()θθδsin 1cos -=R则 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=22sin 13sin 21cos 2θθθρσR h gR1-23 根据牛顿内摩擦定律 drdV μτ-= 由于流速随半径的增加而减小，即drdu是负值，为了使为正值,上式在等号右端取负号根据已知条件 r r D drd 2)]4(4[22βμβμτ=--= 在管壁处2D r = 则4221DDββτ==当4D r =时 4222DDββτ==管壁处的阻力 L D DL DA F 21414βππβτ===1—24maF G =- 其中18.98.990===g Gm （kg ）则 )61.0(18.990-⨯=-F 60.95=F N 由dydu A F μ= 其中0583.01219.015228.014.3=⨯⨯==DL A πm 2 6.248979100245.001.603=⨯-=-=-δu dy du 1/s 则310586.6006586.06.2489790583.06.95-⨯==⨯==dydu A F μ Pa·s第二章2—1112.2128.08.910009.08.913600105122=⨯⨯-⨯⨯+=-+=gh gh p p OH HgaAρρkPa2-2 08.140599.08.91594)0(=⨯⨯=∆--=-=h g p p evρPa 92.8726508.14059101325=-=-=v ap p p Pa2-3 gh gh p BAeρρ=+ 且 1.015.025.0=-=h m （a) 9801.08.91000)(=⨯⨯=≈-=gh gh p BABeρρρPa 102305980101325=+=+=e ap p p Pa(b) 4.8131.08.9100083.0)(=⨯⨯⨯=≈-=gh gh p BABeρρρPa 4.1021384.813101325=+=+=e ap p p Pa(c) 123481.08.9)100013600()(=⨯⨯-=-=gh p ABeρρPa 11367312348101325=+=+=eap p p Pa2-4 设A 点到下水银面的距离为h 1，B点到上水银面的距离为h 2 BOH HgOH Ap gh gh gh p =+-+2122ρρρ04.348.521+=+-h h h 即44.221+=+h h h305.18.9)100013600(8.9100044.210)372.1744.2()(44.2522=⨯-⨯⨯+⨯-=-+-=gg p p h O H Hg OH B A ρρρm 2—544.03000027.025.10027.025.1=⨯-=-=s s t ρkg/m 3gHp gH p a a s s ρρ-=-6.166208.9)44.029.1()(=⨯⨯-=-=-gH p p s a s a ρρPa2—64.1340638.9100012.08.913600312.02=⨯⨯+⨯⨯-=⨯+⨯-=g g p OH HgeρρPa 2-7 223311gh gh p gh p B A ρρρ++=+ （1)112233100010001000gh d gh d gh d p p B A -++=16.08.983.0100008.08.96.13100012.08.983.010********.68⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=287.79=kPa （2) 332211100010001000gh d gh d gh d pp AB--+=12.08.983.0100008.08.96.13100016.08.983.010*******.137⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯=96.127562=Pa563.319600096.127562=-=-=a B Be p p p kPa2—8 设401=h cm 22=h m 33=h m)(32112h h g p gh gh gh p BBHgAAA+-=+--ρρρρ 11232)(gh gh gh h h g p p HgAABBAρρρρ-+++-=4.08.9136004.08.97.85628.97.856)32(8.93.1254200000⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯-=377.105=kPa2-9 (1)93.138545sin 2.08.91000sin =⨯⨯⨯==-αρgL p p BAPa（2)3530sin 8.980093.1385sin =⨯⨯=-=αρg p p L BA cm 2—10666405.08.9136001=⨯⨯=∆=h g p Hg ρPa68.08.91000666422=⨯==∆gph O H ρm2—11 1022gh p gh p O H Hg a ρρ+=+4032gh p gh p O H Hg a ρρ+=+整理得)(1321422h h h h Hg Hg O H OH ρρρρ+-=)3.0136002.0136005.01000(10001⨯+⨯-⨯=86.1=m 2—12)()()(112342h H g h h g h h g p p O H Hg Hg a ---+-+=ρρρ)5.15.3(8.91000)5.15.2(8.913600)0.13.2(8.913600105-⨯⨯--⨯⨯+-⨯⨯+=386944=Pa2-13 ghh g p Hg A ρρ=++)84.0(85.1138.9)100075.013600(84.08.9100075.010372.1)(84.05=⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯=-⨯+=g g p h Hg A ρρρcm 2-14)0.343.3(1000)74.22.3(1000-⨯-=-⨯+g d g d p B A862.043.08.9100046.08.9100060.110845=⨯⨯-⨯⨯⨯+-=B d2-15 59.0)59.0(22⨯++-=-g z g p gz p Hg O H B O H A ρρρ整理：853.7259.08.9)100013600(59.059.02=⨯⨯-=⨯-⨯=-g g p p OH HgBAρρkPa 2—16 设差压计中的工作液体密度为)()()(213241h h g h h g p h h g p B A -'---=--ρρρ)()(213241h h g h h h h g p p p B A -'-+--=-=∆ρρ)48.381.3(8.9100075.0)00.348.310.081.3(8.910005.1-⨯⨯⨯-+--⨯⨯⨯=5.45055Pa065.38.910005.15.45055=⨯⨯=∆g p ρm2-17112233100010001000gh d gh d gh d p p A B ---=44.28.975.0100052.18.9110006.08.96.131000274600⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-=161802=Pa2—1882.38)34.01360053.0100025.1(8.934.053.0-=⨯-⨯⨯⨯=⨯-⨯=g g p HgA ρρkPa2—19 (1） 981010018.910004=⨯⨯⨯⨯==-ghA F ρN（2） 95.1)99.01001.001.0(8.910004=⨯+⨯⨯⨯==-gV G ρN 2-20 证明：如书中证明过程。
高等工程流体力学-边界层的基本概念
10
第三节 二维边界层动量积分方程
将乘以Ue(x)第一式连续方程，整理得
(Uevx ) x
(Uevy ) y
vx
dU e dx
（7-14a）
注意到连续方程和 vx ，可将第二式边
界层方程改写为
y
vx2 x
(vxvy ) y
Ue
dU e dx
1
y
（7-14b）
第七章 不可压缩流体的二维边界层
内层
过渡区
对数律层
外层
尾迹律层 黏性顶层
完全紊流层
4
第二节 二维边界层微分方程
一、层流边界层微分方程 二、紊流边界层微分方程
第七章 不可压缩流体的二维边界层
5
一、层流边界层微分方程
e
U e x
2vx y 2
vx vy 0
x y
y 0 : vx 0, vy 0
三、指数律
指数律是由引用的水力光滑圆管的经 验公式并加以演化得出的，其表达式为
vx Ue
y
1/
n
（7-28)
四、水力粗糙平板速度分布
紊流粗糙平板边界层的速度分布为
vx
1 k
ln
y
B()
（7-29）
第七章 不可压缩流体的二维边界层
24
课堂小结、下次课内容
课堂小结 检查作业 二维边界层动量积分方程 紊流边界层的速度分布
11
第三节 二维边界层动量积分方程
将式（7-14a）减去式（7-14b）并对y积分
0
vx Ue vx dy
x
0
vy Ue vx dy
y
（7-14c）
dUe dx
高等工程流体力学
内容提纲边界层及其方程层流边界层流动转捩湍流边界层结构流动分离、二次流动与旋涡能源动力领域流动问题的主要特征全三维非定常粘性☐高雷诺数，边界层☐边界层：层流、转捩、湍流（紊流），分离流动，旋涡运动叶轮机械（透平和压气机等）大多由单个或多个级组成。
每个级含有一排静子叶片列和一排转子叶片列。
在级内的气流场中，一般至少有以下几种流动现象发生：1、前缘马蹄涡；2、通道涡；3、顶部间隙涡；4、边界层转捩；5、叶片尾迹；6、旋涡、尾迹等与叶片列周期性非定常相互作用。
☐激波、激波与边界层相互作用边界层流动边界层边界层概念：粘性很小的流体以大雷诺数运动时，在大部分流场上可以略去粘性的作用；但在物面附近的很薄的一层流体内必须考虑粘性作用。
这一薄层流体称为边界层。
平板边界层示意图 有边界的流动图谱如右上图所示：流动分为三个区：边界层，尾迹区，位流区（外部势流区）二维平板的边界层微分方程设直匀流 以零迎角平行流过一块长度为 的平板,如左下图所示，人为规定，当某个y 处的速度达到层外自由流的99％时，这一点到物体表面的距离（即y ）称为边界层在改点的厚度，记为 。
显然，边界层的厚度是与X 有关的，所以可以写成 。
υ∞l δδ（x ）平板边界层边界层的厚度 很小，满足此关系式：在忽略质量力的前提下，粘性平面不可压流的运动方程加上连续方程是:用边界层条件式 上式，y 的数值限制在边界层之内，即经过数量级分析，上面方程组化为：的物理意义：在边界层内，沿物体表面的发法线方向压强是不变的，亦即等于边界层处自由流的压强。
卡门动量积分关系解采用动量积分法得出控制面ABCD 的动量变化：其中： 为边界层边界上的流速。
作用在AB,BC,CD,AD 四个面上的力在x 方向上投影的合力的冲量是：根据动量定理得：δ（x ）l δ（x ）<<222222221()1()0u u u p u u u t x y x x y p u t x y y x y u x y υνρυυυυυυνρυ⎫∂∂∂∂∂∂++=-++⎪∂∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂∂⎪++=-++⎬∂∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂+=⎪∂∂⎪⎭l δ（x ）<<0y δ≤≤22100u u u p u u t x y x y p y u x y υνρυ⎫∂∂∂∂∂++=-+⎪∂∂∂∂∂⎪⎪∂=⎬∂⎪⎪∂∂+=⎪∂∂⎭0p y ∂=∂200()d d dt dx dy dy dx dxδδδρυυρυ⋅⋅-⋅⋅⎰⎰δυ()w dp dt dx dxδτ-⋅+⋅200()w d d dpdy dy dx dx dx δδδρυυρυδτ⋅-⋅⋅=-⋅+⎰⎰即定常流动的边界层动量积分关系式，也叫卡门－波尔豪森（Karman-Pohlhausen ）动量积分关系式。
工程流体力学ch5-不可压缩流体二维边界层概述
第5章不可压缩流体二维边界层概述主要教学内容5.1 边界层的基本概念知识回顾与介绍在本世纪初之前，流体力学的研究分为两个分支：一是研究流体运动时不考虑黏性，运用数学工具分析流体的运动规律。
——势流理论 另一个是不用数学理论而完全建立在实验基础上对流体运动进行研究，解决了技术发展中许多重要问题，但其结果常受实验条件限制。
——实验流体力学这两个分支的研究方法完全不同，这种理论和实验分离的现象持续了150多年，直到1904年，在德国举行的第三届国际数学家学会上，德国著名的力学家普朗特第一次提出了边界层的概念为止。
由于边界层理论具有广泛的理论和实用意义，因此得到了迅速发展，成为黏性流体动力学的一个重要领域，在流体力学的发展史上有划时代的意义。
知识点 边界层的定义和特征本节教学目的1、掌握：边界层理论的概念、特征、作用 一、边界层的概念及边界层厚度1、边界层定义水和空气等黏度很小的流体，在大雷诺数下绕物体流动时，黏性对流动的影响仅限于紧贴物体壁面的薄层中，在这一薄层外黏性影响很小，完全可以忽略不计，这一薄层称为边界层。
大雷诺数下均匀绕流物体表面的流场划分为三个区域:● 边 界 层● 外 部 势 流 区 ● 尾 涡 区2、边界层厚度δ表示边界层的厚度。
但是应当指出，边界层区域与理想流体区的分界线是人为规定的。
通常规定速度0990u .u =的位置为边界层的外边界线。
边界层的主要特点之一是它的厚度δ相对于板长而言是小量。
内容拓展：(1) 边界层的排挤厚度1δ在边界中，由于存在黏性必将引起速度的下降，于是在边界层中通过的流量必将减小，因而势必有一部分流量被排挤到主流区（即理想流体区）中去，如图4-32所示。
由排挤厚度的大小，可以判断边界层对于主流区的影响程度。
排挤厚度以1δ表示，可写成对于主流区而言，1δ可以理解为物体向外推移的距离。
（2）边界层动量损失厚度2δ为了说明边界层中动量损失的程度，可以引进动量损失厚度的概念。
第六章流体动力学积分形式基本方程
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第六章
流体动力学积分形式基本方程
第二节
动量方程
y
Fy
解：选取流体与弯管壁面的交界 面及进出口截面为控制面，并选 取xoy坐标系。 已知 n1 i ，n2 icos jsin ， pn n1 p1 ， pn n2 p2 ， w1 w1n1 w1i w2 w2 n2 w2 i cos j sin ， 1 2 ， A1 A2 ， gd 0 ， p1 F pn dA ，这里Ab为弯管壁面 A w1
研究生教材
流 体 力 学
顾伯勤 主编
中国科学文化出版社
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第二篇 流体动力学基本原理及流体工程
第五章
第六章
第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章 第十二章
流体动力学微分形式基本方程 流体动力学积分形式基本方程 伯努利方程及其应用 量纲分析和相似原理 流动阻力与管道计算 边界层理论 流体绕过物体的流动 气体动力学基础
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第六章
流体动力学积分形式基本方程
第二节
动量方程
U
Fx Fd Fx mR pa mRg p
火箭发动机喷嘴的截面积为A，燃烧 室内气体的质量为mf ，排出气体的 p 、相对速度为w、压 质量流率为 m 力为p，火箭壳体对气体的作用力为 Fx，大气压力为pa，如图6.3（b）所 p a 示。若燃烧室内的流动是稳定的， 则由（6.6）式可以得到 dU A Fx A( p pa ) m p w m f dt p 现在考虑火箭壳体的受力，火箭的质 量为mR、受阻力Fd（图6.3（c））， 则 dU
w q d A q d p w d A F w d w n e R n A A A 2 w2 e d t 2 dA
第六节边界层动量积分关系式
平板表面局部切应力系数为：
0.646 0.646 Cf 1 2 Re x v x v 2
第二补充关系式为：
对上式求导
3
(A)
将（A）（B）与式（7-45）联立求解，即可求出 , vx , 0
15
dvx 0 dy
y 0
3 v 2
(B)
先计算
0
vx vx 1 dy v v 3 y 1 y 3 3 y 1 y 3 39 dy 1 280 2 2 2 2
0
0
2 vx dy vx v y 0 x 2 vx dy v v y x, x
3
式（7-42a）的右端两项分别为：
0
dv dv v dy dx dx
2
0
v dy
vx vx vx dy 0 y 2 dy 0 y y y
0
0
式中：
0
平板表面处的切应力。
所以式（7-42a）可写成：
0
dv 2 vx dy v v y x, dx x
0
0 v dy
(7-42b)
4
0
dv 2 vx dy v v y x, dx x
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忽略质量力，故只有表面力。
作用在控制面AD上的表面力为 FAD ? ?? w dx
作用在控制面AB、CD上的表面力分别为
Fx ? p?
Fx? dx
?
? ???p?
?
d( p?
dx
)
dx???
作用在边界层外边界控制面BC上的表面力，因摩擦应力为零，
而压强可取B、C两点压强的平均值，于是有
FBC
?
?? p ?
?控制体的控制面：
由边界层的横断面AB与CD以及内边界AD和外边界BC组成。
?推导依据：
通过控制面AB、BC、CD的动量变化率等于作用在控制面AB、 BC、CD、AD上所有外力的合力。
?推导过程：
1、通过边界层控制面在轴方向上的动量变化率
?
单位时间流入x处控制面AB的动量为
? K x ?
?
v
2 x
d
y
0
从 x ? dx 处控制面CD流出的动量为
? ? Kx
?
?Kx ?x
dx
?
?
0
?vx2dy
?
? ?x
?????0
?vx2dy????dx
从控制面BC流入的动量采用下列求法，首先计算从 x 处控制面
AB流入的质量流量
?
m x ? ?? v xdy 0
而从 x ? dx 处控制面CD流出的质量流量为
?? ?
?x ?? 0
?
v
2 x
d
y
? ? ?
??Biblioteka ue??? ?
?x ?? 0
?
?
v
x
dy
? ?
?
?
??
dp dx
? ?W
? 边界层动量积分关系式。
? 匈牙利科学家冯 ·卡门(Von．Karman)于1921年根据边界层 的动量定理首先推导出来的。
? 由于在推导过程中未加任何近似条件，从这个意义上讲，
????dx
KBC
?
ue
? ?x
??????vx
?0
dy
???dx ?
图5-3 推导边界层的动量积分关系式用图
? ? ? 整理得
Kx
?
Kx? dx
?
Kx
?
KBC
?
? ?x
?? ?? ?0
?vx2dy???dx ? ?
ue
? ?x
?? ?? ?0
? ?vxdy??dx
?
2、作用在控制面上所有外力在x轴方向的合力。
? ? K x
?
?K x ?x
dx
?
? 0
?
v
2 x
d
y
?
? ?x
?? ?? ?0
?
v
2 x
dy
? ??dx
?
由不可压缩流体的连续性方程可知，通过CD与AB控制面质量 流量的差值应等于由BC控制面流入的质量流量，于是流入BC 控制面的质量流量与动量分别为
m BC
?
? ?x
??
?? ?? v
?0
x
dy
?
1 2
dp dx
dx?? ?
d?
dx
dx
整理得
?
Fx
? ?? wdx ?
p?
? ???p?
?
d( p? dx
)
dx???
?
?? ?
p
?
1 dp dx?? d? 2 dx ? dx
dx
?
??
dp dx
dx ? ? W dx
3、根据动量定理，令 ? Kx ? ? Fx ，可得边界层动量积分方程为
? ? ?
第二节边界层的动量积分方程
边界层内的流体是黏性流体的运动，理论上可以用N-S 方程来研究其运动规律。但由此得到的边界层微分方程中， 非线性项仍存在，因此即使对于外形很简单的绕流物体求 解也是很复杂的，目前只能对平板、楔形体绕流层流边界 层进行理论计算求得其解析解。但工程上遇到的很多问题， 如任意翼型的绕流问题和紊流边界层，一般来说求解比较 困难，为此人们常采用近似解法，其中应用的较为广泛的 是边界层动量积分方程解法。
它是严格的，而且对边界层的流动性质也未加限制，因此它既 可求解层流边界层，又可适用于紊流边界层。