工程流体力学52边界层的动量积分方程

?? ?
?x ?? 0
?
v
2 x
d
y
? ? ?
?
?
ue
?
?? ?
?x ?? 0
?
?
v
x
dy
wk.baidu.com
? ?
?
?
??
dp dx
? ?W
? 边界层动量积分关系式。
? 匈牙利科学家冯 ·卡门(Von．Karman)于1921年根据边界层 的动量定理首先推导出来的。
? 由于在推导过程中未加任何近似条件，从这个意义上讲，
?
1 2
dp dx
dx?? ?
d?
dx
dx
整理得
?
Fx
? ?? wdx ?
p?
? ???p?
?
d( p? dx
)
dx???
?
?? ?
p
?
1 dp dx?? d? 2 dx ? dx
dx
?
??
dp dx
dx ? ? W dx
3、根据动量定理，令 ? Kx ? ? Fx ，可得边界层动量积分方程为
? ? ?
d
y
0
从 x ? dx 处控制面CD流出的动量为
? ? Kx
?
?Kx ?x
dx
?
?
0
?vx2dy
?
? ?x
?????0
?vx2dy????dx
从控制面BC流入的动量采用下列求法，首先计算从 x 处控制面
AB流入的质量流量
?
m x ? ?? v xdy 0
而从 x ? dx 处控制面CD流出的质量流量为
????dx
KBC
?
ue
? ?x
??????vx
?0
dy
???dx ?
图5-3 推导边界层的动量积分关系式用图
? ? ? 整理得
Kx
?
Kx? dx
?
Kx
?
KBC
?
? ?x
?? ?? ?0
?vx2dy???dx ? ?
ue
? ?x
?? ?? ?0
? ?vxdy??dx
?
2、作用在控制面上所有外力在x轴方向的合力。
忽略质量力，故只有表面力。
作用在控制面AD上的表面力为 FAD ? ?? w dx
作用在控制面AB、CD上的表面力分别为
Fx ? p?
Fx? dx
?
? ???p?
?
d( p?
dx
)
dx???
作用在边界层外边界控制面BC上的表面力，因摩擦应力为零，
而压强可取B、C两点压强的平均值，于是有
FBC
?
?? p ?
?控制体的控制面：
由边界层的横断面AB与CD以及内边界AD和外边界BC组成。
?推导依据：
通过控制面AB、BC、CD的动量变化率等于作用在控制面AB、 BC、CD、AD上所有外力的合力。
?推导过程：
1、通过边界层控制面在轴方向上的动量变化率
?
单位时间流入x处控制面AB的动量为
? K x ?
?
v
2 x
第二节边界层的动量积分方程
边界层内的流体是黏性流体的运动，理论上可以用N-S 方程来研究其运动规律。但由此得到的边界层微分方程中， 非线性项仍存在，因此即使对于外形很简单的绕流物体求 解也是很复杂的，目前只能对平板、楔形体绕流层流边界 层进行理论计算求得其解析解。但工程上遇到的很多问题， 如任意翼型的绕流问题和紊流边界层，一般来说求解比较 困难，为此人们常采用近似解法，其中应用的较为广泛的 是边界层动量积分方程解法。
? ? K x
?
?K x ?x
dx
?
? 0
?
v
2 x
d
y
?
? ?x
?? ?? ?0
?
v
2 x
dy
? ??dx
?
由不可压缩流体的连续性方程可知，通过CD与AB控制面质量 流量的差值应等于由BC控制面流入的质量流量，于是流入BC 控制面的质量流量与动量分别为
m BC
?
? ?x
??
?? ?? v
?0
x
dy
它是严格的，而且对边界层的流动性质也未加限制，因此它既 可求解层流边界层，又可适用于紊流边界层。