8.2空间几何体的表面积与体积

1.多面体的表(侧)面积

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.

2.柱、锥、台和球的表面积和体积

名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13

Sh

台体(棱台和圆台)

S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下

V ＝1

3

(S 上＋S 下＋S 上S 下)h

球

S ＝4πR 2

V ＝43

πR 3

3.常用结论

(1)与体积有关的几个结论

①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. ②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等. (2)几个与球有关的切、接常用结论 a.正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .

b.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.

c.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( √ ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积.( × ) (3)球的体积之比等于半径比的平方.( × )

(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( √ ) (5)长方体既有外接球又有内切球.( × )

(6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算.( √ )

1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A.4π B.3π C.2π D.π 答案 C

解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C. 2.(2014·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A.12

B.18

C.24

D.30

答案 C

解析 由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由主视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的.在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示.在图(1)中，V 111ABC A B C －棱柱＝S △ABC ·AA 1＝12×4×3×5＝30，V 111P A B C 锥－棱＝13S

111

A B C ·PB 1＝13×1

2

×4×3×3＝6.故几何体ABC －P A 1C 1的体积为30－6＝24.故选C.

3.(2015·陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A.3π

B.4π

C.2π＋4

D.3π＋4

答案 D

解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为： S ＝2×12π×12＋1

2×2π×1×2＋2×2

＝π＋2π＋4＝3π＋4.

4.(教材改编)一个棱长为2 cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为________ cm 3. 答案 43π

解析 由题意知正方体的体对角线为其外接球的直径， 所以其外接球的半径r ＝1

2×23＝3(cm)，

所以V 球＝43π×r 3＝4

3

π×33＝43π(cm 3).

5.(2015·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.

答案 8

3

π

解析 由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为1 m ，圆锥的高为1 m ，圆

柱的高为2 m ，所以该几何体的体积V ＝2×13π×12×1＋π×12×2＝8

3

π (m 3).

题型一 求空间几何体的表面积

例1 (1)(2015·安徽)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )

A.1＋ 3

B.1＋2 2

C.2＋ 3

D.2 2

(2)(2015·课标全国Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r 等于( )

A.1

B.2

C.4

D.8

(3)(2014·山东)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________. 答案 (1)C (2)B (3)12

解析 (1)由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示. ∴其表面积S 表＝2×12×2×1＋2×3

4×(2)2＝2＋3，故选C.

(2)由主视图与俯视图想象出其直观图，然后进行运算求解.如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则

表面积S ＝1

2×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，

∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B. (3)设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′. 由题意，得13×6×1

2×2×3×h ＝23，

∴h ＝1，

∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2， ∴S 侧＝6×1

2

×2×2＝12.