折叠专题整理

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折叠专题

折叠专题一、课前热身1、将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC等于（）A.73°B.56°C.68°D.146°2、如图,在矩形AOBC中,O为坐标原点,OA、OB分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(0, ),∠ABO=30∘,将△ABC沿AB所在直线对折后,点C落在点D处,则点D的坐标为B′、第1题图第2题图二、典例解读：典例1 如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD 上F处，则DE的长是（）A. B. C. D典例2 如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD=典例3 如图，将平行四边形ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A=60°，AD=4，AB=8，则AE的长为 .例1图例2图例3图典例 4 如图,把矩形ABCD对折,折痕为MN(图甲),再把B点叠在折痕MN上的B′处。

得到Rt△AB′E(图乙),再延长EB′交AD于F,所得到的△EAF是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形典例5 如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F，若AB=6，AD=8，AE=4，则△EBF周长的大小为 .三、解答题1、（2016.苏州）如图,在△ABC中,AB=10,∠B=60∘,点D. E分别在AB、BC上,且BD=BE=4,将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE(点B′在四边形ADEC内),连接AB′,求AB′的长为2.（2017.潍坊）如图,将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折,使点B落在AD边上,记为B′,折痕为CE,再将CD边斜向下对折,使点D落在B′C边上,记为D′,折痕为CG,B′D′=2,BE=13BC.求矩形纸片ABCD的面积。

七年级数学下专题——折叠问题

七年级数学下专题——折叠问题1、将一张等宽的纸条按照图示方式折叠，如果∠1=50°，那么∠2的角度是多少？2、在矩形ABCD中（AD>AB），点M在CD上，如果沿着AM折叠，那么点N会恰好落在BC上。

求∠ANB+∠MNC的度数。

3、将长方形纸片ABCD沿着EF折叠，使得ED与BC相交于点G，点D和C分别在M和N的位置上。

如果∠EFG=55°，那么∠1和∠2的角度分别是多少？4、将一个正方形折叠三次，然后沿着虚线剪下，得到的图形是（）。

如果将EB延长线与AD或其延长线相交于F，则△EAF是（）。

5、将矩形ABCD沿着折痕MN对折，然后将点B叠在折痕上。

6、将标号为A、B、C、D的正方形沿着虚线剪开，得到标号为P、Q、M、N的四个图形。

按照“哪个正方形剪开后得到哪个图形”的对应关系填空：A与______对应，B与______对应，C与______对应，D与______对应。

7、将一张正方形纸片对折两次，并剪出一个菱形小洞，然后展开铺平。

得到的图形是（）。

8、将一块正方形纸片沿着对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是（）。

9、将一圆形纸片对折两次，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分。

其中一部分展开后的平面图形是（）。

10、将ABC沿着DE折叠后，点A落在BC边上的A 处，如果点D是AB边的中点，且B50，那么BDA的度数是多少？11、将一块长方形布料ABCD沿着AE折叠，使得D点落在BC边的F处。

如果∠BAF=60º，那么∠DAE的度数是多少？12、将正方形ABCD沿着折痕EF对折。

将这个正方形展平后，再分别将A、B对折，使点A、点B都与折痕EF上的点G重合。

这时，我们可以发现，线段DE与线段FG重合，线段EF与线段DG重合，因此三角形DEF与三角形GDE完全重合，它们的所有角度都相等。

所以∠1的度数为90度。

折叠问题总结归纳

折叠问题总结归纳折叠，是指将一个或多个平面物体按照一定方式叠放在一起，以便节省空间或方便携带。

随着人们生活需求的不断变化，折叠问题逐渐成为一个被广泛关注和研究的领域。

本文将对折叠问题的相关知识和研究进行总结归纳。

一、折叠的历史和应用领域1.1 折叠的历史演进人类折叠物体的历史可以追溯到古代，在不同文明和世纪，人们就已经开始探索并应用折叠的方法。

例如，中国的古代折扇、日本的和纸叠鹤等都是典型的折叠应用。

1.2 折叠在工程设计中的应用在工程设计领域，折叠也被广泛运用。

例如，可折叠桥梁能够在需要时展开，为交通提供便利；可折叠的太阳能板能够根据太阳光的方向进行调整以提高能量转换效率等。

1.3 折叠在日常生活中的应用此外，折叠也广泛应用于日常生活中。

折叠家具、折叠自行车、折叠伞等成为了现代生活的一部分，为人们提供了便捷和节省空间的选择。

二、折叠问题的数学模型2.1 折叠问题的基本元素在研究折叠问题时，我们需要了解折叠物体的基本元素。

折叠问题的基本元素包括：折叠点、折叠线、折叠角度等。

这些元素之间的相互配合关系决定了折叠的方式和效果。

2.2 折叠问题的数学模型为了更好地描述和解决折叠问题，学者们提出了一些数学模型。

其中一种常见的模型是基于几何学的折叠模型，通过数学符号和公式来描述折叠物体的形状和叠放方式。

三、折叠问题的解决方法3.1 折叠问题的经典解法折叠问题的解决方法可以分为经典解法和基于计算机的解法。

经典解法主要依赖于几何学和数学推理，通过列方程、推导等方法得到折叠物体的最优解。

3.2 基于计算机的折叠优化基于计算机的折叠优化方法可以通过数值计算和模拟来获得最佳的折叠效果。

这一方法能够极大地提高折叠问题的解决效率和可行性。

四、折叠问题的挑战和发展前景4.1 折叠问题的困难之处尽管折叠问题在许多领域都得到了广泛应用，但仍然存在一些困难和挑战。

例如，折叠物体的复杂性导致问题的求解难度加大，折叠后的物体稳定性问题也需要考虑。

八年级数学勾股定理的应用——折叠问题(专题)(含答案)

勾股定理的应用——折叠问题（专题）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=5，折叠纸片使AD边与线段BD重合，折痕为DG，则AG的长为( )A. B.6C. D.答案：D解题思路：由题意得，BD=13；由折叠知D=AD=5，G=AG，∠DA′G=∠A=90°．∴B=8．设AG=x，则，BG=12-x．在Rt△BG中，∠BA′G=90°，由勾股定理得，，即，解得，．故选D．试题难度：三颗星知识点：略2.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EF=( )A.4cmB.3cmC.5cmD.6cm答案：C解题思路：如图，AF=AD=BC=10，在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF=6，所以FC=4，设EF=DE=x，则CE=8-x，在Rt△ECF中，∠C=90°，由勾股定理得，，解得，x=5．故选C．试题难度：三颗星知识点：略3.如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则AE的长为____，△ABE的周长为____．( )A.，7B.，7C.，D.，答案：A解题思路：解：由题意知，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5由勾股定理得，BC=4由折叠知，AE=EC设AE=EC=x，则BE=4-x在Rt△ABE中，∠B=90°由勾股定理得，解得，则AE=，BE=∴△ABE的周长为3+x+(4-x) =3+4=7综上，AE的长为，△ABE的周长为7故选A试题难度：三颗星知识点：略4.如图，将一长方形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为EF．若AB=4，BC=8，则△ABF的面积为( )A.6B.12C.10D.20答案：A解题思路：解：由题意知，将长方形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为EF，∴AF=CF，∵在长方形ABCD中，AB=4，BC=8∴设BF=x，则AF=FC=8-x，在Rt△ABF中，∠B=90°，AB=4，BF=x，AF=8-x，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，42+x2=(8-x)2，解得，x=3，即BF=3，∴△ABF的面积为故选A．试题难度：三颗星知识点：略5.如图，长方形纸片ABCD中，AD=4，CD=3，折叠纸片使AB边与线段AC重合，折痕为AE，记与点B重合的点为F，则△CEF的面积与纸片ABCD的面积的比为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：如图，在长方形ABCD中，AB=CD=AF=3，AD=BC=4，在Rt△ABC中，∠B=90°由勾股定理得，∴∴AC=5由折叠知，EF=BE，∠AFE=∠B=90°，设BE=x，则EF=BE=x在Rt△EFC中，∠CFE=90°，CF=AC-AF=2，EC=4-x，根据勾股定理得，∴解得，x=1.5∴∵∴故选B．试题难度：三颗星知识点：略6.如图，将边长为16cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F 处，折痕为MN，则CN=_____cm，AM=_____cm．( )A.6，2B.8，3C.10，2D.12，3答案：A解题思路：∵点E是BC边的中点，∴EC BC=8，设CN=x，则EN=DN=16-x，在Rt△ECN中，∠C=90°，由勾股定理得，EC2+CN2=EN2解得，x=6如图，连接DM，EM，则DM=EM，设AM=y，则BM=16-y，在Rt△ADM中，∠A=90°，由勾股定理得，在Rt△BEM中，∠B=90°，由勾股定理得，，∵DM=ME，∴解得，y=2故选A．试题难度：三颗星知识点：略7.如图，将边长为12cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的点E处，折痕为MN．若CE的长为8cm，则AM=_____cm，BN=_____cm．( )A.，1B.，C.，D.，1答案：C解题思路：如图，设AM=x，在Rt△MED中，∠D=90°，由勾股定理，得解得，x=，即AM=，MD=，连接AN，NE，则AN=NE，设BN=y，则CN=12-y，在Rt△ABN中，∠B=90°，由勾股定理，在Rt△CEN中，∠C=90°，由勾股定理，，∵AN=NE，∴解得，故选C．试题难度：三颗星知识点：略8.如图，把长方形ABCD沿AC折叠，AD落在处，交BC于点E，已知AB=2cm，BC=4cm，则EC的长为( )A.2cmB.cmC.5cmD.cm答案：D解题思路：如图，由折叠知，∠DAC=∠EAC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ECA，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC设EC=x，则AE=EC=x∵BC=4，∴BE=4-x在Rt△ABE中，∠B=90°，AB=2，BE=4-x，AE=x，由勾股定理得，解得，即EC的长为cm故选D．试题难度：三颗星知识点：略9.把长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．若BC=5cm，CD=3cm，则DE=( )cm．A. B.C. D.答案：B解题思路：如图，由折叠知，∠BFE=∠DFE，BF=DF，∵AD∥BC，∴∠BFE=∠DEF，∴∠DFE=∠DEF，∴DE=DF设DF=x，则BF=DF=x∵BC=5，∴CF=5-x在Rt△CDF中，∠C=90°，CD=3，CF=5-x，DF=x，由勾股定理得，解得，∴DE=DF=故选B．试题难度：三颗星知识点：略10.如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是CD边上一点，连接BE，把∠C沿BE折叠，使点C落在点F处．当△DEF为直角三角形时，DE的长为( )A.1B.1或C. D.3或答案：B解题思路：∵四边形ABCD是长方形，∴AB=CD=4，AD=BC=3，分两种情况讨论：①当∠FED=90°时，如图所示，则∠CEF=90°，由折叠的性质得：CE=FE=BC=3，∴DE=CD-CE=1；②当∠DFE=90°时，如图所示，在Rt△ABD中，∠A=90°，AB=4，AD=3，∴BD=5，由折叠的性质得：∠BFE=∠C=90°，BF=BC=3，EF=EC，∴∠DFE=∠BFE=90°，即点B，F，D三点共线，点F在BD上，∴DF=BD-BF=5-3=2，设DE=x，则EF=CE=4-x在Rt△DEF中，∠EFD=90°，DE=x，EF=4-x，DF=2，由勾股定理得，解得，综上所述，DE的长为1或；故选B．试题难度：三颗星知识点：略第11页共11页。

折叠问题专题练

A B C D M N PQ 折叠问题1．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为_____ 2．如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于______3、如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=°，则AEF ∠=（）A ．110° B．115° C．120° D．130°4、如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A´处，若∠A´BC＝20°，则∠A´BD 的度数为（） A ．15° B．20° C．25° D．30°5、如图，将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A 的大小等于____________度．6 、点E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，沿着AE 折叠矩形ABCD ，使D 落在BC 边上的F 点处，如果∠BAF ＝60°，则∠DEA ＝____________．7．如图，已知正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD 、BC 的中点，把BC 边向上翻折，使点C 恰好落在MN 上的P 点处，BQ 为折痕，则∠PBQ ＝度.1 A EDCBF8. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于_____________。

9.如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C’，D’处，C’E交AF于点G.若∠CEF=70°，则∠GFD’=_____。

10、将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度数为_________。

完整版初中数学专题折叠问题

专题八折叠问题学习要点与方法点拨：出题位置：选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题折叠问题中，常出现的知识时轴对称。

折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；-----判断线段之间关系等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、轴对称性质折线，是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。

压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。

基本图形：中，将△ABF沿FBE,可得何结论？BE折叠至△在矩形ABCD2）垂直。

结论：（1）全等；（）基本图形练习：（1A上，折痕为AD，展开纸片；再次折叠，使得沿过点如图，将三角形纸片ABCA的直线折叠，使得AC落在AB 是等腰三角形，对吗？则△和D点重合，折痕为EF,展开纸片后得到△AEF,AEF）折叠中角的考法与做法：（2的直线）；再沿过点E1FAABCD 将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使得落在BC边上的点处，折痕为BE（图的大小。

再展开纸片，求图（,3）中角a）（图'，折痕为边上的点落在折叠，使点DBEDEG21专题精讲〗讲8第〖九年级．）折叠中边的考法与做法：（3D落在AB边中点E处，如图，将边长为 6cm的正方形ABCD折叠，使点 EBG的周长是多少？交于点G，则△落在折痕为FH，点CQ处，EQ与BC★解题步骤：第一步：将已知条件标在图上第二步：设未知数，将未知数标在图上；第三步：列方程，多数情况可通过勾股定理解决。

模块精讲1.例点处．落在的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点BCD边上的P 扬州）已知矩形（2014?ABCDO，连结．、OAAP、OP1（）如图1，已知折痕与边BC交于点PDA；△①求证：OCP∽△的长；：4，求边ABOCP②若△与△PDA的面积比为1 边的中点，求∠OAB的度数；中的点（2）若图1P恰好是CD不重P、AMMOP，（3）如图2，擦去折痕AO、线段，连结BP．动点在线段AP上（点与点在移动MN交PBM、N．试问当点⊥，作于点FMEBP于点E，连结的延长线上，且在线段合），动点NABBN=PM EF过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度．2专题精讲〗讲8第〖九年级．2.例在矩F沿AE折叠后得到△AFE，且点2013?（苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADEk的代数式表示）．．若=，则=用含于点形ABCD内部．将AF延长交边BCG三CA、B、BC=12cm，点E、F、G分别从，（例3、2013?苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm的运动G的运动速度为3cm/s，点E点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点的运动速度为1cm/s，点F关于直线重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF（即点F到达点CF与点C速度为1.5cm/s，当点s）．、FG运动的时间为t（单位：EF的对称图形是△EB′F．设点E、为正方形；s时，四边形EBFB′（1）当t=为顶点的三角形相似，求t的值；FF为顶点的三角形与以点，C，GB2（）若以点E、、的值；若不存在，请说明理由．OB′与点重合？若存在，求出tt（3）是否存在实数，使得点3专题精讲〗讲8第〖九年级．CD分别与AB，上的点如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CDE 重合，折痕FG例4、 O．交于点交于点G，F，AE与FG F四点围成的四边形是菱形；（1）如图1，求证：A，G，E，的中点；，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC（2）如图2 （3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．F对称，点E与点EE⊥AD，点，点F分别在射线AD，射线BC上．若点与点B关于ACABAD 例5、已知∥BC，G关于BD对称，AC与BD相交于点，则（）22BC=5CF ． B ．A1+tan∠ADB=6 AGB= D．4cos∠∠．∠CAEB+22°=DEF4专题精讲〗讲8第〖九年级．课堂练习、1，展开后再折叠一次，2CD重合，折痕为EF．如图对折，使2、（2014连云港）如图1，将正方形纸片ABCDAB与．ANE=_________EM交AB于N，则tan∠B使点C 与点E重合，折痕为GH，点的对应点为点M，4 图图3处，折痕B，折叠该纸片，使点A落在点，∠3、（2014?徐州）如图3，在等腰三角形纸片ABC 中，AB=ACA=50°．_________°为DE，则∠CBE=、处，若A沿△ABCDE折叠，使点A落在边BC上的点F，4、（2014?扬州）如图4△ABC的中位线DE=5cm，把2 ABC，则△的面积为_________cm．F两点间的距离是8cm上的一动点，，BC=m，P为线段BC，，在梯形5、（2013?扬州）如图1ABCD中，AB∥CD，∠B=90°AB=2，CD=1 ，CE=y．CD，过P作PE⊥PA交所在直线于E．设BP=xPAB且和、C不重合，连接x的函数关系式；（1）求y与EBC上运动时，点总在线段CD上，求m的取值范围；P（2）若点在线段长．BPPEG沿m=4）如图2，若，将△PECPE翻折至△位置，∠BAG=90°，求3（5专题精讲〗讲8第〖九年级．课后巩固习题重合，展开后折痕D△ABC折叠，使点A与点平分∠1、（2014?淮安）如图，在三角形纸片ABC 中，ADBAC，将是菱形．、DF．求证：四边形AEDF、分别交AB、AC于点EF，连接DEBC出发沿从点B，且AB=10，BC=6，CD=2．点E中，2、（2013?宿迁）如图，在梯形ABCDAB ∥DC，∠B=90°AD分别交△GEF，直线FG、EGEF交边方向运动，过点E作EF∥ADAB于点F．将△BEF沿所在的直线折叠得到ABCD的重叠部分的面积为y．GEF过点，当EGD时，点E即停止运动．设BE=x，△与梯形、于点MN 是等腰三角形；△AMF1（）证明x的值；）当2EG过点D时（如图（3）），求（的函数，并求y表示成xy的最大值．）将（36专题精讲〗讲8第〖九年级．C'DG,E,F,分别是落在C'处,BC交AD于点C,AB=6,BC=8,3、如图,在矩形ABCD中把△BCD沿着对角线BD折叠,使点. 重合,点D'恰好与点AD'于点H,把△FDE沿着EF折叠,使点D落在处EFBD和上的点,线段交ADC'DG ≌△）求证:三角形ABG（1 ∠ABG的值；（2）求tan ）求EF的长。

折叠几何综合专题---16道题目(含答案)

01如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG＝6，EG＝25，求BE的长．(1)证明：由折叠性质可得，EF ＝FD ，∠AEF ＝∠ADF ＝90°，∠EFA ＝∠DFA ，EG ＝GD ，∵EG ∥DC ，∴∠DFA ＝∠EGF ，∴∠EFA ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ＝FD ＝GD ，∴四边形EFDG 是菱形；(2)解：EG 2＝12GF ·AF .理由如下：如解图，连接ED ，交AF 于点H ，∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝DH ＝12DE ， ∵∠FEH ＝90°－∠EFA ＝∠FAE ，∠FHE ＝∠AEF ＝90°，∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF AF ＝FH EF，即EF 2＝FH ·AF ，又∵FH ＝12GF ，EG ＝EF ，∴EG 2＝12GF ·AF ； (3)解：∵AG ＝6，EG ＝25，EG 2＝12AF ·GF ，∴(25)2＝12(6＋GF )·GF ，解得GF ＝4或GF ＝－10(舍)，∴GF ＝4，∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8，∵∠CDE＋∠DFA＝90°，∠DAF＋∠DFA＝90°，∴∠CDE＝∠DAF，∵∠DCE＝∠ADF＝90°，∴Rt△DCE∽Rt△ADF，∴ECDF＝DEAF，即EC25＝810，∴EC＝855，∴BE＝BC－EC＝1255.02如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F，若DE＝4，BD＝8.(1)求证：AF＝EF；(2)求证：BF平分∠ABD.证明：(1)在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，∵△BED是△BCD对折得到的，∴ED＝CD，∠E＝∠C，∴ED＝AB，∠E＝∠A，(2分)又∵∠AFB＝∠EFD，∴△ABF≌△EDF(AAS)，∴AF＝EF；(4分)(2)在Rt△BCD中，∵DC＝DE＝4，BD＝8，∴sin∠CBD＝DCBD＝12，∴∠CBD＝30°，(5分)∴∠EBD＝∠CBD＝30°，∴∠ABF＝90°－30°×2＝30°，(7分)∴∠ABF＝∠EBD，∴BF平分∠ABD.(8分)03把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG。

中考复习专题折叠压轴题(无答案)

中考专题：折叠问题折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。

折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。

图形折叠问题中题型的变化比较多，主要有以下几点：1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；2．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；3．将长方形纸片折叠，三角形是否为等腰三角形；4．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；5．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一。

折叠问题数学思想：(1)思考问题的逆向(反方向)，(2)从一般问题的特例人手，寻找问题解决的思路；(3)把一个复杂问题转化为解决过的基本问题的转化与化归思想；(4)归纳与分类的思想(把折纸中发现的诸多关系归纳出来，并进行分类)；(5)从变化中寻找不变性的思想.用“操作”、“观察”、“猜想”、“分析”的手段去感悟几何图形的性质是学习几何的方法。

折叠问题主要有以下题型：题型1：动手问题此类题目考查学生动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起．题型2：证明问题动手操作的证明问题，既体现此类题型的动手能力，又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明．题型3：探索性问题此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系．此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理论。

典型例题一．折叠后求度数例1．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（）A．600B．750C．900D．950练习1．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED′等于（）A．50°B．55°C．60°D．65°2．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=_______°，∠2=_______°A3. 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝度。

中考数学中的折叠问题专题复习

中考数学中的折叠问题专题复习1 / 6 中考数学中的折叠问题专题复习一、教学目标1、基础知识目标：、基础知识目标：使学生进一步巩固掌握折叠图形的性质，会利用其性质进行有关的计算和证明。

和证明。

2、能力训练目标：、能力训练目标：提升学生的空间想象能力、抽象思维能力、逻辑推理能力及综合运用数学知识解决问题的能力。

学知识解决问题的能力。

3、情感态度与价值观要求：、情感态度与价值观要求：鼓励学生积极参与数学学习活动，对数学证明有好奇心和求知欲。

鼓励学生积极参与数学学习活动，对数学证明有好奇心和求知欲。

二、教学重点、难点重点：会利用折叠图形的性质进行有关的计算和证明。

重点：会利用折叠图形的性质进行有关的计算和证明。

难点：综合运用所学数学知识进行有关的计算和证明。

三、教学方法讲、练、测相结合的教学方法，在老师的引导下，通过讲、练、测的有机结合，达到知识、技能、方法的全线突破。

机结合，达到知识、技能、方法的全线突破。

四、教学程序及设想 1、巧设情景，设疑引入、巧设情景，设疑引入观察与发现：小明将纸片ABC（AB>AC ）沿过A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD,展开纸片；展开纸片；再次折叠该三角形纸片，再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF,展开纸片后得到AEF （如图1）。

小明认为AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由。

引出课题。

说明理由。

引出课题。

2、运用性质，折叠问题实质上就是轴对称变换归类探究。

、运用性质，折叠问题实质上就是轴对称变换归类探究。

归类一：折叠后求角的度数归类一：折叠后求角的度数典例解析：将矩形纸片ABCD 折叠，使得D 点与B重合，点C 落在点C '处，折痕为EF ，如果∠ABE ＝20°，则∠EFC'＝（）A. 125°A. 125°B. 80°C. 75°C. 75°D. 无法确定无法确定评析：本题只要抓住折叠的本质特征，折叠前后的两个图形全等，找出翻折前后的一些不变量，其次要注意利用矩形的性质，如矩形的每个角都是90°、对边互相平行等。

中考总复习专题--折叠问题

轴 ∴△BQC≌△BQP
M
A
D
∴PB=BC=1
N是AD、BC 上的中点，BN=
∴PN= 3
2
∴MP=1-
3 2
∵M、1 2ຫໍສະໝຸດ PQ∴∠BP(2N)由=3（0°1）∴得∠PBBNN==12 6B0P°,
B
N
C
又∵BQ平分∠PBC，BQ=2QC=
23 3
∴PQ=
1 2
BQ=
3 3
. ∴PQ²=
1 3
即以PQ为边长的正方形面积等于
△ABD≌△C’DB BC’=∠C’DE,∠C’DB=∠CD
③相等的线段:
B=∠ABD
AE=C’E,BC’=BC=AD, AB=CD=C’D,BE=ED
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第二类相对顶点重合
这类折叠问题的基本图形：
A
ED
O
BF
C
引例：已知：如图，平行四边形ABCD
的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC
分别交于E、F，求证：四边形AFCE是
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4．已知：将矩形ABCD沿着
E C'
直线BD折叠，使C落在C’处， BC’交AD于E ,AD=8,AB=4.
A
D
求△BED面积。（2000，山
西）
B
解二：作EF⊥BD于F
F
C
在矩形ABCD中 AD ∥ BC ∴EF:AB=DF:AD
∴∠DBC=∠EDB 当矩形ABCD沿着直线BD折
BD=4 5 ，DF=2 5
（2）常常利用矩形的对边平行且相等
和矩形折叠形成的直角三角形来综合解题
（3）前三道题的结论可以推广到平行四边形上
（4）这类折叠问题的常用图形： C'

折叠专题

折叠专题如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将△MCN 翻折，使点C落在边AB上，设其落点为P．（1）当点P是边AB的中点时，比例式PAPB=CMCN成立吗？为什么？（2）当点P不是边AB的中点时，PAPB=CMCN是否仍然成立？请说明理由．2．（常州·2009）（本题满分10分）（1）观察与发现小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC边落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展开后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF为等腰三角形，你同意吗？请说明理由．BAD CEF（图②）BAD C（2）实践与运用将一张矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为EG （如图④）；再展开纸片（如图⑤）．求图⑤中α∠的度数．解：（1）同意．如图，设AD 与EF 交于点G ．由折叠知，AD 平分∠BAC ，所以∠BAD=∠CAD ．又由折叠知，∠AGE=∠DGE ，∠AGE+∠DGE=180°，所以∠AGE=∠AGF=90°，所以∠AEF=∠AFE ．所以AE=AF ，即△AEF 为等腰三角形．（2）由折叠知，四边形ABFE 是正方形，∠AEB=45°，所以∠BED=135度．又由折叠知，∠BEG=∠DEG ，所以∠DEG=67.5度．从而∠α=67.5°-45°=22.5°．9．（常州·2011）（本小题6分）已知：如图1，图形① 满足AD=AB ，MD=MB ，∠A=72°，∠M=144°。

图形②与图形①恰好拼成一个菱形（如图2）。

记AB 的长度为a ，BM 的长度为b ⑴图形①中∠B=°，图形②中∠E=°；⑵小明有两种纸片各若干张，其中一种纸片的形状及大小与图形①相同，这种纸片称为“风筝一号”；另一种纸片的形状及大小与图形②相同，这种纸片称为“飞镖一号”。

专题1.2 折叠问题(强化)(解析版)

专题1.2 折叠问题【例题精讲】【例1】如图，在矩形ABCD 中，8AB =，4BC =，将矩形沿AC 折叠，则重叠部分AFC D 的面积为( )A ．12B ．10C ．8D ．6【解答】解：Q △AD C CBA ¢@D ，\△AD F CBF ¢@D ，\△AD F ¢与CBF D 面积相等，设BF x =，则222(8)4x x -=+，22641616x x x -+=+，1648x =，解得3x =，AFC \D 的面积1148341022=´´-´´=．故选：B ．【例2】一张矩形纸ABCD ，将点B 翻折到对角线AC 上的点M 处，折痕CE 交AB 于点E ．将点D 翻折到对角线AC 上的点H 处，折痕AF 交DC 于点F ，折叠出四边形AECF ．（1）求证：//AF CE ；（2）当BAC Ð=　30　度时，四边形AECF 是菱形？说明理由．【解答】（1）证明：Q四边形ABCD为矩形，//AD BC\，DAC BCA\Ð=Ð，由翻折知，12DAF HAF DACÐ=Ð=Ð，12BCE MCE BCAÐ=Ð=Ð，HAF MCE\Ð=Ð，//AF CE\；（2）解：当30BACÐ=°时四边形AECF为菱形，理由如下：Q四边形ABCD是矩形，90D BAD\Ð=Ð=°，//AB CD，由（1）得：//AF CE，\四边形AECF是平行四边形，30BACÐ=°Q，60DAC\Ð=°．30ACD\Ð=°，由折叠的性质得30DAF HAFÐ=Ð=°，HAF ACD\Ð=Ð，AF CF\=，\四边形AECF是菱形；故答案为：30．【题组训练】1．如图，在矩形ABCD中，4AB=，6BC=，点E为BC的中点，将ABED沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为( )A ．95B ．125C ．165D ．185【解答】解：连接BF ，6BC =Q ，点E 为BC 的中点，3BE \=，又4AB =Q ，5AE \==，由折叠知，BF AE ^（对应点的连线必垂直于对称轴）125AB BE BH AE ´\==，则245BF =，FE BE EC ==Q ，\Ð185CF \==．故选：D ．2．如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C ¢处，点B 落在点B ¢处，其中9AB =，6BC =，则FC ¢的长为( )A ．103B ．4C ．4.5D ．5【解答】解：设FC x ¢=，则9FD x =-，6BC =Q ，四边形ABCD 为矩形，点C ¢为AD 的中点，6AD BC \==，3C D ¢=．在Rt △FC D ¢中，90D Ð=°，FC x ¢=，9FD x =-，3C D ¢=，222FC FD C D \¢=+¢，即222(9)3x x =-+，解得：5x =．故选：D ．3．如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B ¢处，若2AE =，6DE =，60EFB Ð=°，则矩形ABCD 的面积是( )A ．12B ．24C ．D ．【解答】解：在矩形ABCD 中，//AD BC Q ，60B EF EFB \Ð¢=Ð=°，由折叠的性质得90A A Ð=Ð¢=°，2A E AE ¢==，AB A B =¢¢，18060120A EF AEF Ð¢=Ð=°-°=°，1206060A EB A EF B EF \Ð¢¢=Ð¢-Ð¢=°-°=°．在Rt △A EB ¢¢中，906030A B E Ð¢¢=°-°=°Q ，2B E A E \¢=¢，而2A E ¢=，4B E \¢=，A B \¢¢=，即AB =2AE =Q ，6DE =，268AD AE DE \=+=+=，\矩形ABCD 的面积8AB AD ===g ．故选：D ．4．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，6OA =，将ABC D 沿直线AC 翻折，使点B 落在点D 处，AD 交x 轴于点E ，若30BAC Ð=°，则点D 的坐标为( )A ．2)-B ．3)-C ．3)-D ．(3,-【解答】解：过D 点作DF x ^轴，垂足为F ，则//DF y 轴，Q 四边形AOCB 为矩形，90OAB AOC B \Ð=Ð=Ð=°，6BC AO ==，AB OC =，30BAC Ð=°Q ，12AC \=，OC AB ==，由折叠可知：30DAC BAC Ð=Ð=°，AD AB ==，30OAE \Ð=°，OE \=，AE =，ED \=//DF y Q 轴，30EDF EAO \Ð=Ð=°，EF \=，3DF =，OF OE EF \=+=D \点坐标为，3)-，故选：B ．5．如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN ；再过点D 折叠，使得点A 落在MN 上的点F 处，折痕为DE ，则EM FN的值是( )A B 1-C ．2D ．3【解答】解：设正方形纸片ABCD 的边长为2a ．由题意可知：AM BM DN NC a ====，2AD DF MN a ===，AE EF =，90EMF DNF Ð=Ð=°，FN \===，(2FM MN FN a \=-=．设AE EF x ==，则EM AM AE a x =-=-．在Rt EMF D 中，222EM MF EF +=Q ，222()[(2]a x a x \-+-=，(4x a \=-，(43)EM a a a \=--=-，\2EM FN ==故选：C ．6．如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若:2:1BE EC =，则线段CH 的长是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：设CH x =，则9DH EH x ==-，:2:1BE EC =Q ，9BC =，133CE BC \==，\在Rt ECH D 中，222EH EC CH =+，即222(9)3x x -=+，解得：4x =，即4CH =．故选：B ．7．如图，将长方形纸片折叠，使A 点落在BC 上的F 处，折痕为BE ，若沿EF 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是( )A ．邻边相等的矩形是正方形B ．对角线相等的菱形是正方形C ．两个全等的直角三角形构成正方形D ．轴对称图形是正方形【解答】解：Q 将长方形纸片折叠，A 落在BC 上的F 处，BA BF \=，Q 折痕为BE ，沿EF 剪下，\四边形ABFE 为矩形，\四边形ABEF 为正方形．故用的判定定理是；邻边相等的矩形是正方形．故选：A ．9．如图，正方形纸片ABCD 的边长为3，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，将AB 、AD 分别沿AE 、AF 折叠，点B 、D 恰好都落在点G 处，已知1BE =，则EF 的长为　52　．【解答】解：Q 正方形纸片ABCD 的边长为3，90C \Ð=°，3BC CD ==，根据折叠的性质得：1EG BE ==，GF DF =，设DF x =，则1EF EG GF x =+=+，3FC DC DF x =-=-，312EC BC BE =-=-=，在Rt EFC D 中，222EF EC FC =+，即222(1)2(3)x x +=+-，解得：32x =，32DF \=，35122EF =+=．故答案为52．三．解答题（共8小题）10．如图，在矩形纸片ABCD 中，6AB =，8BC =，将矩形纸片折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点E 处，FG 是折痕，连接BF ．（1）求证：四边形BGDF 是菱形；（2）求折痕FG 的长．【解答】（1）证明：Q 将矩形纸片折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点E 处，FG 是折痕，BF DF \=，BG DG =，BFG DFG Ð=Ð，Q 四边形ABCD 是矩形，8AD BC \==，//AD BC ，DFG BGF \Ð=Ð，BFG BGF \Ð=Ð，BF BG \=，BF DF BG DG \===，\四边形BGDF 是菱形；（2）解：过F 作FM BC ^于M ，则90FMC FMB Ð=Ð=°，Q 四边形ABCD 是矩形，90A ABM \Ð=Ð=°，\四边形ABMF 是矩形，6AB FM \==，AF BM =，设AF x =，则8BF DF x ==-，Q 四边形ABCD 是矩形，90BAD \Ð=°，在Rt BAF D 中，由勾股定理得：222AB AF BF +=，即2226(8)x x +=-，解得：74x =，即74AF =，2584BG x =-=，2579442MG BG BM \=-=-=，在Rt FMG D 中，由勾股定理得：152FG ==．11．将矩形ABCD 折叠使A ，C 重合，折痕交BC 于E ，交AD 于F ，（1）求证：四边形AECF 为菱形；（2）若4AB =，8BC =，求菱形的边长；（3）在（2）的条件下折痕EF 的长．【解答】（1）证明：Q 矩形ABCD 折叠使A ，C 重合，折痕为EF ，OA OC \=，EF AC ^，EA EC =，//AD BC Q ，FAC ECA \Ð=Ð，在AOF D 和COE D 中，FAO ECO AO COAOF COE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，AOF COE \D @D ，OF OE \=，OA OC =Q ，\四边形AECF 为平时四边形，AC EF ^Q ，\四边形AECF 为菱形；（2）解：设菱形的边长为x ，则8BE BC CE x =-=-，AE x =，在Rt ABE D 中，222BE AB AE +=Q ，222(8)4x x \-+=，解得5x =，即菱形的边长为5；（3）解：在Rt ABC D中，AC ===，12OA AC \==，在Rt AOE D中，OE ==，2EF OE\==12．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．（1）求证：CM CN=；（2）若CMND的面积与CDND的面积比为3:1，求MNDN的值．【解答】（1）证明：Q将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，ANM CNM\Ð=Ð，Q四边形ABCD是矩形，//AD BC\，ANM CMN\Ð=Ð，CMN CNM\Ð=Ð，CM CN\=；（2）解：过点N作NH BC^于点H，则四边形NHCD是矩形，HC DN\=，NH DC=，CMNDQ的面积与CDND的面积比为3:1，\12312CMNCDNMC NHS MCS NDDN NHDD===g gg g，33MC ND HC\==，2MH HC\=，设DN x=，则HC x=，2MH x=，3CM x CN\==，在Rt CDND中，DC==，HN \=，在Rt MNH D 中，MN ==，\MN DN ==．13．如图，在矩形ABCD 中，15AB =，E 是BC 上的一点，将ABE D 沿着AE 折叠，点B 刚好落在CD 边上点G 处；点F 在DG 上，将ADF D 沿着AF 折叠，点D 刚好落在AG 上点H 处，且45CE BE =．（1）求AD 的长；（2）求FG 的长．【解答】解：（1）45CE BE =Q ，5BE x \=，4CE x =，由折叠的性质可得：15AB AG ==，AD AH =，5EB EG x ==，90B AGE Ð=Ð=°，90D AHF Ð=Ð=°，3CG x \===，90EGC GEC EGC AGD Ð+Ð=°=Ð+ÐQ ，AGD CEG \Ð=Ð，sin sin CG AD CEG AGD EG AG \Ð=Ð==，\3515x AD x =，9AD \=；（2）9AD =Q ，15AG =，6GH AG AH \=-=，cos cos EC GH CEG AGD EG GF Ð=Ð==Q ，\465x x GF=，7.5GF \=．14．如图所示，在矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，P 为AD 上一点，将ABP D 沿BP 翻折至EBP D ，PE 与CD 相交于点O ，且OE OD =，BE 与CD 交于G 点．（1）求证：AP DG =；（2）求线段CG 的长．【解答】（1）证明Q 四边形ABCD 是矩形，90D A C \Ð=Ð=Ð=°，6AD BC ==，8CD AB ==，根据题意得：ABP EBP D @D ，EP AP \=，90E A Ð=Ð=°，8BE AB ==，在ODP D 和OEG D 中，D E OD OEDOP EOG Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ODP OEG ASA \D @D ，OP OG \=，PD GE =，DG EP \=，AP DG \=；（2）解：设AP EP x ==，则6PD GE x ==-，DG x =，8CG x \=-，8(6)2BG x x =--=+，根据勾股定理得：222BC CG BG +=，即2226(8)(2)x x +-=+，解得： 4.8x =，4.8AP \=，8 4.8 3.2CG \=-=．15．如图，四边形ABCD 为平行四边形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边上，折痕为AF ．且10AB cm =，8AD cm =，6DE cm =．（1）求证：平行四边形ABCD 是矩形；（2）求BF 的长；（3）求折痕AF 长．【解答】（1）证明：Q 把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边上，10AE AB \==，2210100AE ==，又222286100AD DE +=+=Q ，222AD DE AE \+=，ADE \D 是直角三角形，且90D Ð=°，又Q 四边形ABCD 为平行四边形，\平行四边形ABCD 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；（2）解：设BF x =，则EF BF x ==，1064EC CD DE cm =-=-=，8FC BC BF x =-=-，在Rt EFC D 中，222EC FC EF +=，即2224(8)x x +-=，解得5x =，故5BF cm =；（3）解：在Rt ABF D 中，由勾股定理得，222AB BF AF +=，10AB cm =Q ，5BF cm =，AF \==．16．如图，正方形ABCD 中，6AB =，点E 在边CD 上，且3CD DE =．将ADE D 沿AE 翻折至AFE D ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ．（1）求证：ABG AFG D @D ；（2）求证：BG GC =；（3）求CFG D 的面积．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 是正方形，6AB AD \==，90B D Ð=Ð=°，Q 将ADE D 对折得到AFE D ，AF AD \=，90AFE Ð=°，90AFG B \Ð=°=Ð，又AG AG =Q ，ADE AFG \D @D ．（2）证明：6AB =Q ，3CD DE =，6DC \=，2DE \=，4CE =，2EF DE \==，设FG x =，则BG FG x ==，6CG x =-，2EG x =+，在Rt ECG D 中，由勾股定理得，2224(6)(2)x x +-=+，解得3x =，3BG FG \==，63CG x =-=，BG CG \=．（3）过点F作FN CG^于点N，则90FNG DCGÐ=Ð=°，又EGC EGCÐ=ÐQ，GFN GEC\D D∽，\GF FN GE EC=，\354FN =，\125FN=，11121832255 CGFS CG FND\==´´=g．。

折叠问题练习题(含答案)

专题4：折叠问题【典例引领】例：如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；（2）（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【强化训练】1、数学活动：在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题.动手操作：如图1，在直角三角形纸片ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8.将三角形纸片ABC 进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片 ABC 使点 C 与点 A 重合，然后展开铺平，得到折痕 DE ；第二步：将△ABC 沿折痕 DE 展开，然后将△DEC 绕点 D 逆时针方向旋转得到△DFG ，点 E ，C 的对应点分别是点 F ，G ，射线 GF 与边 AC 交于点 M(点 M 不与点 A 重合)，与边 AB 交于点 N ，线段 DG 与边 AC 交于点 P.数学思考：（1）求 DC 的长；（2）在△DEC 绕点 D 旋转的过程中，试判断 MF 与 ME 的数量关系，并证明你的结论；问题解决：（3）在△DEC 绕点 D 旋转的过程中，探究下列问题：① 如图 2，当 GF ∥BC 时，求 AM 的长；② 如图 3，当 GF 经过点 B 时，AM 的长为③ 当△DEC 绕点 D 旋转至 DE 平分∠FDG 的位置时，试在图 4 中作出此时的△DFG 和射线 GF ，并直接写出 AM 的长（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标记出所有相应的字母）2．（2016内蒙古包头市）如图，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中∠ACB =90°，AC =4，BC =3，E 、F 分别是AC 、AB 边上点，连接EF ．（1）图①，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且使S 四边形ECBF =3S △EDF ，求AE 的长；（2）如图②，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且使M F ∥CA ． ①试判断四边形AE M F 的形状，并证明你的结论；②求EF 的长；（3）如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN =1，CE =47，求AFBF 的值．3．如图1，四边形的对角线相交于点，，，，.（1）填空：与的数量关系为；（2）求的值；（3）将沿翻折，得到（如图2），连接，与相交于点.若，求的长.4．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝7，点P是边AC上不与点A、C重合的一点，作PD∥BC交AB边于点D．（1）如图1，将△APD沿直线AB翻折，得到△AP'D，作AE∥PD．求证：AE＝ED；（2）将△APD绕点A顺时针旋转，得到△AP'D'，点P、D的对应点分别为点P'、D'，①如图2，当点D'在△ABC内部时，连接P′C和D'B，求证：△AP'C∽△AD'B；②如果AP：PC＝5：1，连接DD'，且DD'＝√2AD，那么请直接写出点D'到直线BC的距离．专题4：折叠问题【典例引领】例：如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（3）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；（4）（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【答案】（2）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；证明见解答．【分析】（1）由折叠可得AB=AB′，BE=B'E，再根据四边形ABCD是正方形，易证B'E=B'F，即可证明DF+BE=AF；（2）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；证明图（2）：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，根据CB∥AD，得∠AEB=∠EAD，即可得出∠B′AE=∠DAG，则∠GAF=∠DAE，则∠AGD=∠GAF，即可得出答案BE+DF=AF．【解答】解：（1）由折叠可得AB=AB′，BE=B'E，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DC=DF，∠CB'E=45°，∴B'E=B'F，∴AF=AB'+B'F，即DF+BE=AF；（5）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；图（2）的证明：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，∵CB∥AD，∴∠AEB=∠EAD，∵∠BAE=∠B'AE，∴∠B'AE=∠DAG，∴∠GAF=∠DAE，∴∠AGD=∠GAF，∴GF=AF，∴BE+DF=AF；图（3）的证明：在BC上取点M，使BM=DF，连接AM，需证△ABM≌△ADF，∴∠BAM=∠FAD，AF=AM ∵ΔABE≌AB'E∴∠BAE=∠EAB′，∴∠MAE=∠DAE，∵AD∥BE，∴∠AEM=∠DAE，∴∠MAE=∠AEM，∴ME=MA=AF，∴BE﹣DF=AF．【强化训练】1、数学活动：在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题.动手操作：如图1，在直角三角形纸片ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8.将三角形纸片ABC 进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片ABC 使点C 与点A 重合，然后展开铺平，得到折痕DE；第二步：将△ABC 沿折痕DE 展开，然后将△DEC 绕点D 逆时针方向旋转得到△DFG，点E，C 的对应点分别是点F，G，射线GF 与边AC 交于点M(点M 不与点A 重合)，与边AB交于点N，线段DG 与边AC 交于点P.数学思考：（1）求DC 的长；（2）在△DEC 绕点D 旋转的过程中，试判断MF 与ME 的数量关系，并证明你的结论；问题解决：（3）在△DEC 绕点D 旋转的过程中，探究下列问题：①如图2，当GF∥BC 时，求AM 的长；②如图3，当GF 经过点B 时，AM 的长为③当△DEC 绕点D 旋转至DE 平分∠FDG 的位置时，试在图 4 中作出此时的△DFG 和射线GF，并直接写出AM 的长（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标记出所有相应的字母）【答案】(1) DC＝5;(2)相等，理由见解析；（3）①AM＝3；②AM＝74；③AM＝10 3√5【分析】（1）理由勾股定理求出BC即可解决问题．（2）结论：MF=ME．证明Rt△DMF≌Rt△DME（HL），即可解决问题．（3）①如图2中，作AH⊥BC于H，交FG于K．由KM∥CH，推出AK AH =AMAC，求出AK，AH即可解决问题．②证明BM=MC，设BM=MC=x，在Rt△ABM中，根据BM2=AB2+AM2，构建方程即可解决问题．③尺规作图如图4-1所示．作DR平分∠CDF，在DR上截取DG=DC，分别以D，G为圆心，DE，CE为半径画弧，两弧交于点F，△DFG即为所求．如图4-1中，连接DM，设DG交AC于T，作TH⊥CD于H，作DK平分∠CDG交TH于K，作KJ⊥DG于J．易证△DEM≌△DHK（AAS），推出EM=HK，只要求出HK即可．【解答】解：（1）如图1中，∵DE⊥AC，∴∠DEC=∠A=90°，∴DE∥AB，∵AE=EC，∴BD=DC，在Rt△ABC中，∵AB=6，AC=8，∴BC=√AB2+BC2=√62+82=10，∴CD=12BC=5．（2）结论：MF=ME．理由：如图1中，连接DM，∵∠DFM=∠DEM=90°，DM=DM，DF=DE，∴Rt△DMF≌Rt△DME（HL），∴MF=ME．（3）①如图2中，作AH⊥BC于H，交FG于K．易知AH=AB⋅ACBC =245，四边形DFKH是矩形，∴DF=KH=3，∴AK=AH-KH=95，∵KM∥CH，∴AKAH =AMAC，∴95245=AM8，∴AM=3．②如图3中，∵DG=DB=DC，∴∠G=∠DBG，∵∠G=∠C ，∴∠MBC=∠C ，∴BM=MC ，设BM=MC=x ，在Rt △ABM 中，∵BM 2=AB 2+AM 2，∴62+（8-x ）2=x 2，∴x=254∴AM=AC-CM=8-254=74．故答案为74.③尺规作图如图4-1所示．作DR 平分∠CDF ，在DR 上截取DG=DC ，分别以D ，G 为圆心，DE ，CE 为半径画弧，两弧交于点F ，△DFG 即为所求．如图4-1中，连接DM ，设DG 交AC 于T ，作TH ⊥CD 于H ，作DK 平分∠CDG 交TH 于K ，作KJ ⊥DG 于J ．易证△DEM ≌△DHK （AAS ），推出EM=HK ，只要求出HK 即可．∵TE ⊥DE ，TH ⊥DC ，DG 平分∠CDE ，∴TE=TH ，设TE=TH=x ，在Rt △TCH 中，x 2+22=（4-x ）2，∴x=32， ∴DT =√32+(32)2=32√5， ∵DK 平分∠CDT ，KJ ⊥DT ，KH ⊥CD ，∴KJ=KH ，设KJ=KH=y ，在Rt △KTJ 中，y 2+(32√5−3)2=(32−y)2∴y =3√5−6，∴EM=3√5−6∴AM =AE −EM =4−(3√5−6)=10−3√5．2．（2016内蒙古包头市）如图，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中∠ACB =90°，AC =4，BC =3，E 、F 分别是AC 、AB 边上点，连接EF ．（1）图①，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且使S 四边形ECBF =3S △EDF ，求AE 的长；（2）如图②，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且使M F ∥CA ． ①试判断四边形AE M F 的形状，并证明你的结论； ②求EF 的长；（3）如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN =1，CE =47，求AFBF的值．【答案】（1）52；（2）①四边形AE M F 为菱形；②4√109；（3）32．【分析】试题分析：（1）先利用折叠的性质得到EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ，则S △AEF ≌S △DEF ，则易得S △ABC =4S △AEF ，再证明Rt △AEF ∽Rt △ABC ，然后根据相似三角形的性质得到=（）2，再利用勾股定理求出AB即可得到AE 的长；（2）①通过证明四条边相等判断四边形AEMF 为菱形；②连结AM 交EF 于点O ，如图②，设AE=x ，则EM=x ，CE=4﹣x ，先证明△CME ∽△CBA 得到==，解出x 后计算出CM=，再利用勾股定理计算出AM ，然后根据菱形的面积公式计算EF ；（3）如图③，作FH ⊥BC 于H ，先证明△NCE ∽△NFH ，利用相似比得到FH ：NH=4：7，设FH=4x ，NH=7x ，则CH=7x ﹣1，BH=3﹣（7x ﹣1）=4﹣7x ，再证明△BFH ∽△BAC ，利用相似比可计算出x=，则可计算出FH 和BH ，接着利用勾股定理计算出BF ，从而得到AF 的长，于是可计算出的值．【解答】（1）如图①，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，∴S△AEF≌S△DEF，∵S四边形ECBF=3S△EDF，∴S△ABC=4S△AEF，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5，∵∠EAF=∠BAC，∴Rt△AEF∽Rt△ABC，∴=（）2，即（）2=，∴AE=；（2）①四边形AEMF为菱形．理由如下：如图②，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，∵MF∥AC，∴∠AEF=∠MFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=EM=MF=AF，∴四边形AEMF为菱形；②连结AM交EF于点O，如图②，设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，∵四边形AEMF为菱形，∴EM∥AB，∴△CME∽△CBA，∴==，即==，解得x=，CM=，在Rt△ACM中，AM===，∵S菱形AEMF=EF•AM=AE•CM，∴EF=2×=；（6）如图③，作FH⊥BC于H，∵EC∥FH，∴△NCE∽△NFH，∴CN：NH=CE：FH，即1：NH=：FH，∴FH：NH=4：7，设FH=4x，NH=7x，则CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，∵FH∥AC，∴△BFH∽△BAC，∴BH：BC=FH：AC，即（4﹣7x）：3=4x：4，解得x=，∴FH=4x=，BH=4﹣7x=，在Rt△BFH中，BF==2，∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3，∴=．3．如图1，四边形的对角线相交于点，，，，.（1）填空：与的数量关系为；（2）求的值；（3）将沿翻折，得到（如图2），连接，与相交于点.若，求的长.【答案】（1）∠BAD+∠ACB=180°；（2）；（3）1.【分析】（1）在△ABD中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：∠BAD+∠ACB=180°；（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．由△OAB≌△OED，可得AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，由△EAD∽△ABC，推出，可得，可得4y2+2xy﹣x2=0，即，求出的值即可解决问题；（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．想办法证明△PA′D∽△PBC，可得，可得，即，由此即可解决问题；【解答】（1）如图1中，在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∠ABD+∠ADB=∠ACB，∴∠BAD+∠ACB=180°，故答案为∠BAD+∠ACB=180°．（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，∵OB=OD，∴△OAB≌△OED，∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，∴，∴，∴4y2+2xy﹣x2=0，∴，∴（负根已经舍弃），∴．（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°，∵△EAD ∽△ACB ，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C ， ∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D ∥BC ， ∴△PA′D ∽△PBC ，∴，∴，即∴PC=1．4．Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝7，点P 是边AC 上不与点A 、C 重合的一点，作PD ∥BC 交AB 边于点D ．（1）如图1，将△APD 沿直线AB 翻折，得到△AP 'D ，作AE ∥PD ．求证：AE ＝ED ；（2）将△APD 绕点A 顺时针旋转，得到△AP 'D '，点P 、D 的对应点分别为点P '、D '， ①如图2，当点D '在△ABC 内部时，连接P ′C 和D 'B ，求证：△AP 'C ∽△AD 'B ；②如果AP ：PC ＝5：1，连接DD '，且DD '＝√2AD ，那么请直接写出点D '到直线BC 的距离．【答案】(1)见解析；（2）①见解析；②点D '到直线BC 的距离为176或536 【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质可得∠EAD ＝∠ADP ＝∠ADP '，即可得AE ＝DE ；（2）①由题意可证△APD ∽△ACB ，可得APAC =ADAB ，由旋转的性质可得AP ＝AP '，AD ＝AD '，∠PAD ＝∠P 'AD '，即∠P 'AC ＝∠D 'AB ，，则△AP 'C ∽△AD 'B ；②分点D '在直线BC 的下方和点D '在直线BC 的上方AP′AC =AD′AB两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求PD ＝356，通过证明△AMD '≌△DPA ，可得AM ＝PD ＝356，即可求点D '到直线BC 的距离．【解答】证明：（1）∵将△APD 沿直线AB 翻折，得到△AP 'D ， ∴∠ADP '＝∠ADP ， ∵AE ∥PD ， ∴∠EAD ＝∠ADP ， ∴∠EAD ＝∠ADP '， ∴AE ＝DE（2）①∵DP ∥BC ，∴△APD∽△ACB，∴APAC =ADAB，∵旋转，∴AP＝AP'，AD＝AD'，∠PAD＝∠P'AD'，∴∠P'AC＝∠D'AB，AP′AC =AD′AB，∴△AP'C∽△AD'B②若点D'在直线BC下方，如图，过点A作AF⊥DD'，过点D'作D'M⊥AC，交AC的延长线于M，∵AP：PC＝5：1，∴AP：AC＝5：6，∵PD∥BC，∴APAC =PDBC=56，∵BC＝7，∴PD＝356，∵旋转，∴AD＝AD'，且AF⊥DD'，∴DF＝D'F＝12D'D，∠ADF＝∠AD'F，∵cos∠ADF＝DFAD ＝12D′DAD=√22ADAD√22，∴∠ADF＝45°，∴∠AD'F＝45°，∴∠D'AD＝90°∴∠D'AM+∠PAD＝90°，∵D'M⊥AM，∴∠D'AM+∠AD'M＝90°，∴∠PAD＝∠AD'M，且AD'＝AD，∠AMD'＝∠APD，∴△AD'M≌△DAP（AAS）∴PD＝AM＝356，∵CM＝AM﹣AC＝356﹣3，∴CM ＝176，∴点D '到直线BC 的距离为176若点D '在直线BC 的上方，如图，过点D '作D 'M ⊥AC ，交CA 的延长线于点M ，同理可证：△AMD '≌△DPA ， ∴AM ＝PD ＝356，∵CM ＝AC +AM ， ∴CM ＝3+356＝356，∴点D '到直线BC 的距离为356综上所述：点D '到直线BC 的距离为176或536；。

折叠问题专题练知识讲解

折叠问题专题练折叠问题1．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为_____2．如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D′、C′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED′等于______3、如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=°，则AEF ∠=（）A ．110°B ．115°C ．120°D ．130°4、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A´处，若∠A´BC ＝20°，则∠A´BD 的度数为（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°5、如图，将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A ′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A 的大小等于____________度．1A ED CBABC DM NPQ6 、点E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，沿着AE 折叠矩形ABCD ，使D 落在BC 边上的F 点处，如果∠BAF ＝60°，则∠DEA ＝____________．7．如图，已知正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD 、BC 的中点，把BC 边向上翻折，使点C 恰好落在MN 上的P 点处，BQ 为折痕，则∠PBQ ＝度.8. 如图，在平行四边形ABCD 中，∠A =70°，将平行四边形折叠，使点 D 、C 分别落在点F 、E 处（点F 、E 都在AB 所在的直线上），折痕为 MN ，则∠AMF 等于_____________。

9.如图，将一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使顶点C ，D 分别落在点C ’，D ’处，C ’E 交AF 于点G .若∠CEF =70°，则∠GFD ’= _____。

初二数学培优专题(5)——折叠问题(答案详解)

折叠问题(一)正方形内的十字架结构结论1：在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、CD、BC、AD边上的点，若EF⊥GH，则GH=EF【例1】如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F 在AD边，求折痕FG的长；【变式2】如图,将边长为的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在F处,折痕为MN.(1)求线段CN的长;(2)求以线段MN为边长的正方形的面积;(3)求线段AM的长度.（二）折痕垂直于对称点的连线结论：折痕上的点到对应点距离相等【例2】如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，将矩形折叠使得点D 与BC 上的点E 重合，折痕分别交AB 、CD 于点G 、F ，若BE=1，求AG 的长．【变式1】如图,四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片,将其沿MN 折叠,使点B 落在CD 边上的B'处,点A 对应点为A',且,则AM 的长是______________．【变式2】（2016年山东威海中考题）如图,在矩形ABCD 中,4AB = ,6BC = ,点E 为BC 的中点,将ABE ∆沿AE 折叠,使点B 落在矩形内点F 处,连接CF ,则CF 的长为( )A.95 B.125 C.165 D.185(三) 折叠中动点轨迹与最值【例3】(2015四川自贡)如图，在矩形ABCD 中，4AB = ，6AD = ，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 上的动点，将EBF ∆沿EF 所在直线折叠得到'EB F ∆，连接'B D ，则'B D 的最小值是（）。

A. 2B. 6C. 2-D.4【变式】（2014成都）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60A ∠=︒ ，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将AMN ∆ 沿MN 所在直线翻折得到'A MN ∆，连接'A C ，则'A C 长度的最小值是_____ 。

折叠剪切问题专题复习

折叠剪切问题专题复习一、矩形中的折叠1、如图所示，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点A ′处，再过点A ′折叠使折痕DE ∥BC ，若AB=4，AC=3，则△ADE 的面积是．2、如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使A 点落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到了线段BN ，过N 作NH ⊥BC 于Q ，则∠NBC 的度数是 _________ ．3、如图，将边长为4的正方形ABCD 沿着折痕EF 折叠，使点B 落在边AD 的中点G 处，求四边形BCFE 的面积3、如图，已知正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD 、BC 的中点，把BC 边向上翻折，使点C 恰好落在MN 上的P 点处，BQ 为折痕，则∠PBQ= _________ 度．4、如图2，将矩形纸片ABCD （图1）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折叠纸片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图2）；（2）以过点E 的直线为折痕折叠纸片，使点A 落在BC 边上，折痕EF 交AD 边于点F （如图3）；（3）将纸片收展平，那么∠AEF 的度数为 _________ 二、三角形中的折叠5、如图，把Rt △ABC （∠C=90°），使A ，B 两点重合，得到折痕ED ，再沿BE 折叠，C 点恰好与D 点重合，则CE ：AE=6、在△ABC 中，已知AB=2a ，∠A=30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小△ACD 与△BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的14．（1）当中线CD 等于a 时，重叠部分的面积等于；（2）有如下结论（不在“CD 等于a ”的限制条件下）：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于32a 2；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等．其中，结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）．7、直角三角形纸片ABC 中，∠ACB=90°，AC ≤BC ，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A 落在直角边BC 上，记落点为D ，设折痕与AB 、AC 边分别交于点E 、点F ．探究：如果折叠后的△CDF 与△BDE 均为等腰三角形，那么纸片中∠B 的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的后的图形．8、如图，直角三角形纸片ABC 中，AB=3，AC=4，D 为斜边BC 中点，第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交于点P 1；设P 1D 的中点为D 1，第2次将纸片折叠，使点A 与点D 1重合，折痕与AD 交于点P 2；设P 2D 1的中点为D 2，第3次将纸片折叠，使点A 与点D 2重合，折痕与AD 交于点P 3；…；设P n-1D n-2的中点为D n-1，第n 次纸片折叠，使A 与点D n-1重合，折痕与AD 交于点P n （n ＞2），则AP 6长（）B'CDAB9、阅读理解如图1，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n An C 的平分线A n B n+1折叠，点B n 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC 是△ABC 的好角．小丽展示了确定∠BAC 是△ABC 的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC 顶角∠BAC 的平分线AB 1折叠，点B 与点C 重合；情形二：如图3，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，此时点B 1与点C 重合．探究发现（1）△ABC 中，∠B=2∠C ，经过两次，∠BAC 是不是△ABC 的好角？（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC 是△ABC 的好角，请探究∠B 与∠C （不妨设∠B ＞∠C ）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C （不妨设∠B ＞∠C ）之间的等量关系为．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．10、已知一个直角三角形纸片OAB ，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（1）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；（2）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ′，设OB ′=x ，OC=y ，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（3）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ″，且使B ″D ∥OB ，求此时点C 的坐标．11、如图，将弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若AD=5，DB=7，则BC 的长是多少？图1…B 3B n+1B n A 2B 2A 1B 1AB C A nxy CD A B O12、OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6．（1）如图1，在OA上选取一点G，将△COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，记为E，求折痕y1所在直线的解析式；（2）如图2，在OC上选取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为E'．①求折痕AD所在直线的解析式；②再作E'F∥AB，交AD于点F．若抛物线y=﹣x2+h过点F，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD的交点的个数．（3）如图3，一般地，在OC、OA上选取适当的点D'、G'，使纸片沿D'G'翻折后，点O落在BC边上，记为E''．请你猜想：折痕D'G'所在直线与②中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想．13、综合实践问题背景某课外兴趣小组在一次折纸活动中，折叠一张带有条格的长方形纸片ABCD（如图1），将点B分别与点A，A1，A2，…，D重合，然后用笔分别描出每条折痕与对应条格所在直线的交点，用平滑的曲线顺次连接各交点，得到一条曲线．探索如图2，在平面直角坐标系xOy中，将长方形纸片ABCD的顶点B与原点O重合，BC边放在x轴的正半轴上，AB=m，AD=n（m≤n），将纸片折叠，MN是折痕，使点B落在边AD上的E处，过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，交直线MN于点P，连接OP（1）求证：四边形OMEP是菱形；（2）设点P坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（用含m、n的式子表示）运用（3）将长方形纸片ABCD如图3所示放置，AB=8，AD=12，将纸片折叠，当点B与点D重合时，折痕与DC 的延长线交于点F．试问在这条折叠曲线上是否存在K，使得△KCF的面积是△KOC 面积的，若存在，写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．14、在一张长12cm 、宽5cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH （见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC 折出∠CAE=∠DAC ，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？15、如图，⊙O 表示一圆形纸板，根据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形面，操作过程如下：第1次剪裁，将圆形纸板等分为4个扇形；第2次剪裁，将上次得到的扇形面中的一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁的作法进行下去.(1)请你在⊙O 中，用尺规作出第2次剪裁后得到的7个扇形(保留痕迹，不写作法). (2)请你通过操作和猜想，将第3、第4和第n 次裁剪后所得扇形的总个数(S)填入下表.等分圆及扇形面的次数(n) 1 2 3 4 … n 所得扇形的总个数(S)47…(3)请你推断，能不能按上述操作过程，将原来的圆形纸板剪 (4)成33个扇形？为什么？16、将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ，，(60)A ，，(03)C ，．6OP t =-，23OQ t =+．（1）当1t=时，如图1，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标；（2）连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问： PE 与AC 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．17、已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．xy BO AA D EH FB C G （方案一） AD E F B C （方案二）图1OP A x BDC Q y图2OPA x BC Q y E18、如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴相交于点C ．连结AC BC A C 、，、两点的坐标分别为(30)A -，、(03)C ，，且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等．（1）求实数a b c ，，的值；（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将BMN △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．19、如图所示，已知：Rt ABC △中，90ACB ∠=°．（1）尺规作图：作BAC ∠的平分线AM 交BC 于点D （只保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作图形中，将Rt ABC △沿某条直线折叠，使点A 与点D 重合，折痕EF 交AC 于点E ，交AB 于点F ，连接DE DF 、，再展回到原图形，得到四边形AEDF ．①试判断四边形AEDF 的形状，并证明；②若84AC CD ==，，求四边形AEDF 的周长和BD 的长．y O xC N BPM ABCA。

折叠变换专题

1．在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8．过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN．当点T在直线l 上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动（点M可以与点A重合，点N可以与点C重合），求线段AT长度的最大值与最小值的和（计算结果不取近似值）．2．小明取出一张矩形纸片ABCD，AD=BC=5，AB=CD=25．他先在矩形ABCD的边AB 上取一点M，接着在CD上取一点N，然后将纸片沿MN折叠，使MB′与DN交于点K，得到△MNK（如图①）．（1）试判断△MNK的形状，并说明理由．（2）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．3．如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN，（1）求证：△ADN≌△CBM；（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形；四边形MFNE是菱形吗？请说明理由；（3）点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连接PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN，且AB=4cm，BC=3cm，求PC的长度．4．如图1，在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．（1）求点B的坐标；（2）求证：四边形ABCE是平行四边形；（3）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．5．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2，点P是边BC上的动点（点P不与点B，C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C 的对应点是R点．设CP=x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y．（1）求∠CPQ的度数．（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的边AB上？（3）当点R在矩形ABCD外部时，求y与x的函数关系式．并求此时函数值y的取值范围．6．如图，在平面直角坐标系中，点．是坐标原点，AB∥y轴，将△ABO沿A0翻折后，点B 落在点D处，AD交y轴于点E，过点D作DC⊥X轴于点C．OB=5，OC=3．（1）求点A的坐标：（2）点P从A点出发，沿线段A0以个单位/秒的速度向终点O匀速运动，同时点Q从A点出发，沿射线AD以3个单位，秒的速度匀速运动，当P到达终点时点Q也停止运动．设△PQD的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变．量t的取值范围）：（3）在（2）的条件下，过点Q作射线AD的垂线交射线A0于点N，交x轴于点M，当t 为何值时，MN=PN．7．在△ABC中，∠A=90°，AC=8cm，sin∠ABC=，点D是边AB上的一动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E（1）如图（1），当AD=2BD时，求△ADE的面积；（2）点D在运动过程中，如果△ADE的周长与四边形DBCF的周长相等，求AD的长；（3）将四边形BCED沿DE向上翻折，得四边形MDEN，HF与边AB、AC分别交于点M、N（如图2所示），如设四边形MDEN的面积为y，AD的长为x，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围．8．（1）动手操作：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度数为_________．（2）观察发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（3）实践与运用：将矩形纸片ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④），求∠MNF的大小．9．在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边长是2，且OB边落在x轴的正半轴上，点A落在第一象限、将△OAB折叠，使点A落在x轴上，设点C是点A落在x轴上的对应点，（1）当△OAB沿直线y=kx+b折叠时，如果点A恰好落在点C（0，0），求b的值；（2）当△OAB沿直线y=kx+b折叠时，点C的横坐标为m，求b与m之间的函数关系式；并写出当b=时，点C的坐标；（3）当△OAB沿直线y=kx+b折叠时，如果我们把折痕所在直线与△OAB的位置分为如图1、图2、图3三种情形，请你分别写出每种情形时b的取值范围（将答案直接填写在每种情形下的横线上）．10．矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE，点P是AE上的一点，且BP=BE，连结B′P．（1）求B′D的长；（2）求证：四边形BPB′E的形状为菱形；（3）若在折痕AE上存在一点到边CD的距离与到点B的距离相等，请直接写出此相等距离的值．11．操作探究：数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图1所示的长方形纸条ABCD，其中AD=BC=1，AB=CD=5．然后在纸条上任意画一条截线段MN，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，得到△MNK．如图2所示：探究：（1）若∠1=70°，∠MKN=_________°；（2）改变折痕MN位置，△MNK始终是_________三角形，请说明理由；应用：（3）爱动脑筋的小明在研究△MNK的面积时，发现KN边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出△KMN的面积最小值为，此时∠1的大小可以为______°（4）小明继续动手操作，发现了△MNK面积的最大值．请你求出这个最大值．初中数学难点突破（1）折叠专题训练12．如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个_________三角形（2）如图①，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？11。