第六讲_解析函数与调和函数的关系
3.4 解析函数与调和函数的关系
注：如果u, v是区域D内的任意两个 调和函数，则u + iv在D内未必解析。
y 例2 证明u ( x, y ) = x − y , v( x, y ) = 2 x + y2
2 2
都是调和函数，但f ( z ) = u + iv不是解析函数。
注：如果u, v是区域D内的两个调和函数， 且v是u的共轭调和函数，即满足C − R方程， 则u + iv在D内解析。
(3.22)
所确定的函数v( x, y ), 使u + iv = f ( z )是D内的
∂u ∂u v ( x, y ) = ∫ (− dx + dy ) + C ( x0 , y 0 ) ∂y ∂x
( x, y )
(3.22)
公式(3.22)不必强记 可以如下推得 不必强记,可以如下推得 注: 公式 不必强记
3 2
的解析函数, 并求以u ( x, y )为实部的解析函数 f ( z ), 使得f (0) = i.
y 例3.16 验证v( x, y ) = arctan ( x > 0)在 x 右半z平面内是调和函数, 并求以此为虚部 的解析函数.
定理 3.18 定理 3.19
⇔ 在区域D内v( x, y )是u ( x, y )的共轭调和函数.
∂u ∂u v ( x, y ) = ∫ (− dx + dy ) + C ( x0 , y 0 ) ∂y ∂x
( x, y )
(3.22)
例3.15 验证u ( x, y ) = x − 3 xy 是z3; iv y dy = − u y dx + u x dy 然后两端积分.类似的可以由v( x, y )求u ( x, y ).
解析函数与调和函数的关系
定义 若二元实变函数 ϕ ( x , y )在 D内具有二阶连
续偏导数且满足 Laplace 方程 : ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 =0 2 ∂x ∂y 即（ ∆ ϕ = 0 )
则称 ϕ ( x , y )为 D内的调和函数 .
ϕ ( x, y ) = x 2 + xy − y 2 ϕ ( x, y ) = ln x 2 + y 2 例：
定理 若f ( z ) = u( x , y ) + iv( x , y )在区域D内解析
内的调和函数。 ⇒ u = u( x , y )，v = v ( x , y )是D内的调和函数 。
证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域 内解析，则 证明： 在区域D内解析， 在区域 内解析
内的调和函数。 ∴ u = u( x , y )，v = v ( x , y )是D内的调和函数 。
思考：
若u , v是任意选取的在区域 D内的两个调和函数 , 则u + iv在D内一定解析吗？
答：不一定，
u = x + y , v = x + y.
要想使 u + iv 在 D 内解析 , u 及 v还必须满足 C − R 方程 .
练习：证明 u = −3 xy + x 为调和函数，
2 3
并求其共轭调和函数 v ( x, y )和由他们 构成的解析函数 f ( z )，使 f (0) = i。
例1
证明u ( x, y ) = x 2 + xy − y 2为调和函数，并求其 共轭调和函数v( x, y )和由它们构成的解析函数 f ( z )使f (i ) = −1 + i.43; y ⇒ v = 2 xy + + g ( x) ∂y 2 ∂v ⇒ = 2 y + g ' ( x) = 2 y − x ∂x
调和函数和解析函数的关系
调和函数和解析函数的关系1. 引言调和函数和解析函数是数学中两个重要的函数类别，在分析学和复变函数研究中具有广泛的应用。
两者有着密切的联系，本文将对两者的定义、性质、用途和工作方式等进行详细解释。
2. 调和函数的定义调和函数是指定义在欧几里德空间中的函数，满足拉普拉斯方程，即：Δf=∂2f∂x12+∂2f∂x22+⋯+∂2f∂x n2=0其中Δ是拉普拉斯算子，f是调和函数。
对于二维空间中的调和函数，即n=2的情况，拉普拉斯方程可以简化为：Δf=∂2f∂x2+∂2f∂y2=0调和函数的定义可以扩展到更高维空间，由此可见，调和函数的概念是多维的。
3. 解析函数的定义解析函数是指定义在复平面上的函数，满足柯西－黎曼方程，即：∂u ∂x =∂v∂y 和 ∂u∂y=−∂v∂x其中u(x,y)是解析函数的实部，v(x,y)是解析函数的虚部。
柯西－黎曼方程表明解析函数是复可微的，它可以展开成幂级数的形式，具有无穷次可导的性质。
4. 调和函数和解析函数的联系调和函数和解析函数在某些条件下是可以联系起来的。
具体而言，二维空间中的调和函数可以通过某个复数函数的实部或虚部来表示。
设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一个解析函数，其中z=x+iy，u和v分别是f的实部和虚部。
由柯西－黎曼方程可知，∂u ∂x =∂v∂y 和 ∂u∂y=−∂v∂x可以求出u和v的偏导数。
进一步，可以验证u和v满足拉普拉斯方程：∂2u ∂x2+∂2u∂y2=∂2v∂y2−∂2v∂x2=0∂2v ∂x2+∂2v∂y2=−∂2u∂y2−∂2u∂x2=0因此，u和v分别是调和函数。
这就是调和函数和解析函数的联系。
5. 调和函数和解析函数的性质调和函数和解析函数具有一些重要的性质，这些性质使得它们在数学和物理学中具有广泛的应用。
5.1 调和函数的性质•调和函数的线性组合仍然是调和函数。
即如果f1(x,y),f2(x,y),…,f n(x,y)都是调和函数，那么对于任意实数c1,c2,…,c n，函数g(x,y)=c1f1(x,y)+c2f2(x,y)+⋯+c n f n(x,y)也是调和函数。
解析函数与调和函数的关系
已知实部u，求虚部v(或者已知v，求u)，使 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析.
例：已知 u x y ,可以求得 v 2 xy C
2 2
f ( z) x y i(2xy C) z C'
2 2 2
(1)
则称 H ( x, y)为区域D 内的调和函数(harmonic function).
2 2 注：运算符号 ,称为拉普拉斯算子. 2 2 x y
2 2 H H 方程 0 ,记作 H 0 称为拉普拉斯方程. 2 2 x y
2.解析函数与调和函数的关系
定理2.2 若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是区域D
内的解析函数,则 u(x,y)和v(x,y) 均为区域D 内的
调和函数. 思考 如果 u, v 是任意选取的在区域D 内的两个
调和函数,那么 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在D 内一定解
析吗？
定义2.5 在区域D 内,满足C-R方程
满足C-R方程
v 为u 在区域D内的共轭调和函数
解析函数与调和函数的关系 解析函数
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
调和函数
u(x,y),v(x,y) 为调和函数 v为u的共轭调和函数
注：研究复变量的问题转化为研究实变量的问题.
验证：解析函数的实、虚部的任意阶偏导数 也是调和函数. 应用 构造解析函数
§2.2
解析函数与调和函数的关系
引言
解析函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) u,v满足C-R方程 解析函数具有无穷可微性 u,v为调和函数
调和函数和解析函数的关系
调和函数和解析函数的关系调和函数和解析函数在数学中都是非常重要的概念，它们之间的关系也是我们需要深入了解的。
调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数，而解析函数则是指在某个区域内可以展开成幂级数的函数。
在实际应用中，我们常常需要研究调和函数和解析函数之间的联系，以便更好地理解它们的性质和特点。
我们可以从数学定义上来看调和函数和解析函数的关系。
调和函数满足拉普拉斯方程，而解析函数则有复变函数的性质。
在某些情况下，调和函数可以通过某些方法转化为解析函数，比如通过傅里叶变换或者柯西积分公式等。
这种转化的过程可以帮助我们更好地理解两者之间的联系，并且在实际问题中起到重要作用。
我们可以从几何意义上来理解调和函数和解析函数的关系。
调和函数在物理学中有很多应用，比如电场、热场等问题都可以通过调和函数来描述。
而解析函数则在复平面上有很好的几何性质，比如保角映射等。
通过研究调和函数和解析函数之间的关系，我们可以更好地理解数学和物理之间的联系，以及复平面上的几何性质。
调和函数和解析函数在实际问题中也有很多应用。
比如在工程领域中，我们常常需要研究电场、热场等问题，这些都可以通过调和函数来描述。
而在信号处理领域中，解析函数则有很多应用，比如在频域分析中可以通过解析函数来描述信号的频谱特性。
通过研究调和函数和解析函数之间的关系，我们可以更好地解决实际问题，提高工程和技术的应用水平。
总的来说，调和函数和解析函数之间的关系是非常密切的，它们在数学、物理和工程等领域都有重要的应用。
通过深入研究两者之间的联系，我们可以更好地理解它们的性质和特点，从而更好地解决实际问题。
希望通过本文的介绍，读者能够对调和函数和解析函数有更深入的了解，并且在实际问题中能够灵活运用这些概念，提高问题的解决效率和准确性。
解析函数与调和函数
2v 2v 0 x2 y 2
故 u是全平面上的调和函数，v除原点外在全平面上 调和。但 u v,不满足C-R条件，所以 f z 不是
解析函数。x y
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
u 例3 证明：若 为调和函数且不等于常数，
则 u 2 不是调和函数。
例4求形如 ax3 bx2 y cxy2 dy3的最一般的调和函数。
并求其共轭调和函数及其对应的解析函数。
解：因为 u ax3 bx2 y cxy2 dy3,所以
2u 6ax 2by, 2u 6dy 2cx.
x 2
y 2
令
2u 2u (6a 2c)x (6d 2b) y 0
u yy vxy
uxx u yy 0 . 同样可得 vxx vyy 0 .
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
注：逆定理显然不成立，即
对区域D内的任意两个调和函数 u，v，
f (z) u iv及（ f z） v iu
不一定是解析函数 .
例如： f z z2 x2 y2 i2xy是解析函数，
故u，v是调和函数，但
f z v iu 2xy i x2 y2
不再是解析函数
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
定义2 若u与v是区域D内的调和函数且满足C R方程 ux =v y，uy =-v x，则称v为u的共轭调和函数。
( f 0 0 c 0)
复变函数与积分变换
例2
Complex Analysis
解析函数与调和函数的定义与性质
解析函数与调和函数的定义与性质函数在数学中扮演着重要的角色，不同类型的函数具有不同的性质和定义。
解析函数与调和函数就是其中两种重要的函数类型。
本文将对解析函数和调和函数的定义与性质进行详细解析。
一、解析函数的定义与性质解析函数是复变函数中的一种特殊类型，其定义如下：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定义在D上的复变函数，其中u(x,y)和v(x,y)是实变函数，如果f(z)在D内是可导的，且f'(z)在D内处处存在，则称f(z)在D内是解析的。
解析函数具有以下几个重要性质：1. 解析函数的实部和虚部均是调和函数。
即u(x,y)和v(x,y)都满足拉普拉斯方程，即∇^2u=∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0，以及∇^2v=∂^2v/∂x^2+∂^2v/∂y^2=0。
2. 解析函数的复共轭也是解析函数。
即若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则其复共轭f*(z)=u(x,y)-iv(x,y)也是解析函数。
3. 解析函数满足柯西-黎曼方程。
即若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则其满足柯西-黎曼方程∂u/∂x=∂v/∂y和∂u/∂y=-∂v/∂x。
二、调和函数的定义与性质调和函数是实变函数中的一种特殊类型，其定义如下：设u(x,y)是定义在二维欧氏空间R^2上的二次连续可微函数，如果u(x,y)满足拉普拉斯方程∇^2u=∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0，则称u(x,y)为调和函数。
调和函数具有以下几个重要性质：1. 调和函数的高阶导数也是调和函数。
即如果u(x,y)是调和函数，则其高阶偏导数∂^nu/∂x^n和∂^nu/∂y^n也是调和函数。
2. 调和函数的积分在闭合曲线上的值为0。
即对于调和函数u(x,y)和任意的闭合曲线C有∮C[∂u/∂s(ds/dt)dt]=0，其中∮C表示对曲线C 上点P到点P绕行一周的积分，s为曲线C上的弧长参数，t为弧长参数t与x轴正向的夹角。
解析函数与调和函数的关系
定义 2：对于给定的调和函数 u(x, y) ，把使 u iv 构成解
析函数的调和函数 v(x, y) 称为 u(x, y) 的共轭调和函数。 注：解析函数的虚部是实部的共轭调和函数。但是，一
解析函数 f (z) 。 例 5：用不定积分法求例 2 中的 f (z) 。 例 6：已知 u v (x y)(x2 4xy y2 ) 2(x y) ，试
确定解析函数 f (z) u iv 。
般来说，解析函数的实部不是虚部的共轭调和函数。 3.如何求解析函数
问题：如给定实部（或虚部），如何选择虚部（或实部）， 使 f (z) u iv 解析？
1)偏积分法
------如果已知调和函数 u ，可利用条件，求它的共轭调
和函数 v ，以构成解析函数。
例 1：证明： u y3 3x2 y 为调和函数，并求其共轭调和
2.4解析函数与调和函数的关系
设 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域 E 上解析，由 C R 条件，
解析函数的高阶导数定理即得在 E 上有
2u x2
2u y 2
0及
2v x2
2v y 2
0
一、调和函数
定义 1：若二元实函数(x, y) 在区域 E 内具有连续的二
f (z) f (z)dz U(z)dz c ---适用于已知 u ，求 v 。 f (z) f (z)dz V (z)dz c ---适用于已知 v ，求 u 。
调和函数
由共轭调和函数定义和解析函数的实部和虚部是调和函数， 可得定理3.18
定理3.18 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解
析 , 则在区域 D 内 v(x,y) 必为 u(x,y) 的共轭调 和函数.
共轭调和函数定义2： 设 u( x , y ) 为区域 D 内给定的调和函数 ,我
们把使 u iv 在 D 内构成解析函数的调和 函数 v ( x , y ) 称为 u( x , y ) 的 共轭调和函数.
的共轭调和函数 v(x,y)，使得函数 f (z)=u＋iv是D上
的解析函数? 或者已知调和函数 v(x,y) 时，是否存在共轭调和函 数 u(x,y) ，使得 f (z)=u＋iv 是D上的解析函数?
回答是肯定的，以下用举例的方法加以说明.
三、 偏积分法 如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用C-R方程 求得它的共轭调和函数 v, 从而构成一个解析函数 u+vi. 这种方法称为偏积分法.
x iy iC z 3 iC
3
再由 f(0)=i,得出 C＝1，故 f(z)=z3+i
方法二：两次积分法：首先由C-R条件得： vy=ux=3x2-3y2
v( x, y) v y ( x, y)dy 3x 2 3 y 2 dy 3x 2 y y 3 x
xe x e iy iye x e iy x(1 i ) iy(1 i ) c ze (1 i )z c,
z
由 f (0) 0,
得 c 0,
z
所求解析函数为 f ( z ) ze (1 பைடு நூலகம் )z.
例3.18 求 k 值, 使 u x 2 ky2 为调和函数. 再求v , 使
解析函数和调和函数的关系
§2.2 解析函数和调和函数的关系 教学目的：弄清调和函数与共轭调和函数的概念，能理解并掌握解 析函数与调和函数的关系；并能灵活利用常用得三种方法 （不定积分法、偏积分法、曲线积分法）求以调和函数为实 部或虚部的解析函数．重点：不定积分法和偏积分法求解析函数．难点：曲线积分法求解析函数．教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：§2.2.1 调和函数的概念调和函数是有着广泛实际应用的一类函数（平面静电场中的电位函数、无源无旋的平面流速场中的势函数与流函数都是特殊的二元实函数，即调和函数），它与解析函数有着密切的联系．本节，我们将详细地介绍解析函数与调和函数的关系，并介绍利用调和函数来求解析函数的若干方法.【定义2.3】 若二元实函数(,)H x y 在区域D 内具有二阶连续的偏导数,且满足二维拉普拉斯方程（Laplace ）22220H H x y∂∂+=∂∂，则称(,)H x y 为D 内的调和函数（或称(,)H x y 在D 内调和），称为拉普拉斯算子. 【定理2.3 】 若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析, 则()f z 的实部(,)u x y 和虚部(,)v x y 都是D 内的调和函数. 证 ()f z 在区域D 内解析,所以(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微，且在D 内满足C-R 方程u v x y ∂∂=∂∂,u v y x∂∂=-∂∂，由解析函数的无穷可微性知(,)u x y 和(,)v x y 在D 内都具有任意阶连续的偏导数,从而也具有二阶连续的偏导数 222u v x y x ∂∂=∂∂∂ 222u v y x y∂∂=-∂∂∂， 所以2222220u u v v x y x y y x ∂∂∂∂+=-+=∂∂∂∂∂∂；同理可证22220v v x y∂∂+=∂∂. 故实部 (,)u x y 和虚部 (,)v x y 都是D 内的调和函数.§2.2.2 共轭调和函数【义2.4】 若(,)u x y ,(,)v x y 都是区域D 内的调和函数,且在D 内满足柯西—黎曼方程, 即 u v x y ∂∂=∂∂,u v y x∂∂=-∂∂, 则称(,)v x y 为(,)u x y 的共轭调和函数.下面研究复变函数的实部、虚部两个二元实函数与调和函数的关系.【定理2.4】若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是在D 内()f z 的虚部函数(,)v x y 是实部函数(,)u x y 的共轭调和函数.证明 （必要性） 因为()(,)(,)f z u x y iv x y =+在D 内解析， (,)u x y 和(,)v x y 都是D 内的调和函数,且满足柯西—黎曼条件所以 在D 内()f z 的虚部函数(,)v x y 是实部函数(,)u x y 的共轭调和函数.（充分性）在D 内()f z 的虚部函数(,)v x y 是实部函数(,)u x y 的共轭调和函数.所以 (,)v x y ，(,)u x y 具有二阶连续偏导数且满足C R -方程 所以(,)v x y ，(,)u x y 具有一阶连续偏导数且满足C R -方程 故 ()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析.注：10.由解析函数的无穷可微性知,若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析,则()f z 的任意阶导数在区域D 内也解析,从而 (,)u x y 和(,)v x y 的任意阶偏导数也都是D 内的调和函数.20.两个二元实函数(,)u x y 和(,)v x y 都是区域D 内的调和函数,不一定能保证复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析. 20的反例：易证(,)u x y x =,(,)v x y y =-都是平面上的调和函数, 但 ()f z x iy z =-=在平面上处处不解析.30.由第二章的解析函数的判别法知,设(,)u x y 和(,)v x y 都是定义在区域D 内的二元实函数,若(,)v x y 为(,)u x y 的共轭调和函数,则()(,)(,)f z u x y iv x y =+在D 内一定解析.提问：1.函数),(),()(y x iv y x u z f +=解析，则下列命题中错误的是（ C ）A 、v u ,均为调和函数B 、v 是u 的共轭调和函数C 、v u 是的共轭调和函数D 、v u 是-的共轭调和函数2.解析函数的实部是其虚部的共轭调和函数. （ × ）3.解析函数的虚部是其实部的共轭调和函数. （ √ ） §2.2.3 解析函数与调和函数的关系根据定理2.4来建立单连通区域内解析函数的一种求法.假设D 是一个单连通区域, (,)u x y 是D 内的一个调和函数,即 (,)u x y 在D 内具有二阶连续的偏导数,并且22220u u x y ∂∂+=∂∂ 从而u y ∂-∂,u x∂∂在D 内具有一阶连续的偏导数, ()()u u y y x x∂∂∂∂-=∂∂∂∂（曲线积分与路径无关的条件）. 再由高数中有关曲线积分与路径无关的条件得, 存在D 内的二元函数(,)v x y ,使得 (,)u u dv x y dx dy y x∂∂=-+∂∂, 于是 00(,)(,)(,)x y x y u u v x y dx dy C y x∂∂=-++∂∂⎰, 其中00(,)x y 是D 内的一个定点, (,)x y 是D 内的一个动点, C 是任意实常数.另外我们还有u v x y ∂∂=∂∂,u v y x∂∂=-∂∂, 即(,)u x y 和(,)v x y 在D 内满足柯西—黎曼条件, 从而易得 2222220v v u u x y y x x y∂∂∂∂+=-+=∂∂∂∂∂∂ 所以 (,)v x y 也是D 内的调和函数,并且(,)v x y 为(,)u x y 的共轭调和函数.故 由定理2.4, 我们构造函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+, ()f z 就是D 内以(,)u x y 为实部的解析函数.【定理】※（1）若(,)u x y 是单连通区域D 内的一个调和函数,则一定存在函数(,)v x y , 使得 ()(,)(,)f z u x y iv x y =+为D 内的解析函数, 并且还有00(,)(,)(,)x y x y u u v x y dx dy C y x∂∂=-++∂∂⎰,其中00(,)x y 是D 内的一个定点, (,)x y 是D 内的一个动点, C 是任意实常数.（2）同理可得 若(,)v x y 是单连通区域D 内的一个调和函数,则一定存在函数(,)u x y ,使得 ()(,)(,)f z u x y iv x y =+为D 内的解析函数, 并且还有00(,)(,)(,)x y x y v v u x y dx dy C y x∂∂=-+∂∂⎰,其中00(,)x y 是D 内的一个定点, (,)x y 是D 内的一个动点, C 是任意实常数.注: 此定理给出了已知解析函数的实部(或虚部),求虚部(或实部),从而求出解析函数的一种方法――曲线积分法.由解析函数的实部或虚部求解析函数的举例例1 证明32(,)3u x y x xy =-是平面上的调和函数, 并求以 (,)u x y 为实部的解析函数()f z ,使得(0)f i =.证明： 因为2233u x y x ∂=-∂,6u xy y ∂=-∂,226u x x ∂=∂,226u x y ∂=-∂, 32(,)3u x y x xy =-为正式函数，所以有二阶连续偏导数，所以 22220u u x y∂∂+=∂∂, 即32(,)3u x y x xy =-是平面上的调和函数.下面，我们用三种方法来求满足题设条件的解析函数.方法1: （曲线积分法）由补充定理知取00(,)(0,0)x y =,（如图3.20）(,)(0,0)(,)x y u u v x y dx dy C y x∂∂=-++∂∂⎰ (,)22(0,0)6(33)x y xydx x y dy C =+-+⎰ 220060(33)x yx dx x y dy C =⋅+-+⎰⎰233x y y C =-+所以 3223()3(3)f z x xy i x y y C =-+-+,再由条件(0)f i =,可得1C =.故 32233()3(31)f z x xy i x y y z i =-+-+=+.方法2（微分方程中的常数变异法或称偏积分法）由C R -条件得 2233v u x y y x∂∂==-∂∂ ------------ (Ⅰ) (6)6v u xy xy x y∂∂=-=--=∂∂ ----------- (Ⅱ) 由(Ⅰ)积分得 22(,)(33)v x y x y dy =-⎰233()x y y x ϕ=-+ ----------- (Ⅲ) 求(Ⅲ)对x 的偏导数代入(Ⅱ)得 6()6xy x xy ϕ'+= , 即 ()0x ϕ'=, 所以 ()x C ϕ=(常数),从而 23(,)3v x y x y y C =-+,所求解析函数为 3223()3(3)f z x xy i x y y C =-+-+. 再由条件(0)f i =,可得1C =.故 32233()3(31)f z x xy i x y y z i =-+-+=+.方法3（不定积分法）：..()C R u v u u f z i i x xx y ∂∂∂∂'=+=-∂∂∂∂, 其中 1()2x z z =+, 1()2y z z i =- 因为 2233u x y x∂=-∂,6u xy y ∂=-∂， 由解析函数的导数公式: ..()C R u v u u f z i i x xx y ∂∂∂∂'=+=-∂∂∂∂ 得 ()u u f z i x y∂∂'=-∂∂ 222233(6)336x y i xy x y i xy =---=-+ 将1()2x z z =+, 1()2y z z i=- 代入上式 整理得 222()3363f z x y i xy z '=-+= ， 所以 3()f z z C =+再由条件(0)f i =,可得C i =. 故 3()f z z i =+.说明：从例1中所给的三种方法中，大家不难体会到，三种方法各有特点：方法1利用了高数中的第二型曲线积分的计算方法；方法2利用了求解微分方程的方法（常数变异法）；方法3是纯粹的复变函数的方法.在实际计算时可以根据具体的问题选择合适的方法计算.例2 设),(,()(y x iv y x u z f +=为iy x z +=的解析函数，且已知y x y x v y x u +=-),(),(,求函数()f z .解：方程y x y x v y x u +=-),(),(两边分别对y x ,求偏导数得：110111C R x y x x x y y y x y u u u v u u v u u u -+=-==⎧⎧⎧⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-==-+=⎪⎪⎪⎩⎩⎩方程， 由0x u =得： )(),(y g y x u = 代入1y u =得：1)(='y g ， C y y g +=)(（C 为任意常数）从而C y y x u +=),(，(,)(,)()v x y u x y x y x C =-+=-+，所求函数为：C i iz C x i C y iv u z f )1()()(++-=+-++=+= 练习：（1）已知调和函数y x u )1(2-=,i f -=)2(,求解析函数iv u z f +=)(.解：用不定积分法求解如下：2x u y =，22y u x =-，()2(22)2(1)x y f z u iu y i x i z '=-=--=--221()2(1)2(1)(1)2f z i z dz i z C i z C =--=-⨯-+=--+⎰ 由i f -=)2(得 2(21)i C i --+=-，0=C ，所以：2()(1)f z i z =--（2） 已知 22()yi f z u x y=++是解析函数，且(2)0f =，求()f z .解：22222()x y x y u v x y -''==+，2222()y x xy u v x y ''=-=+ 对此，用偏积分求u 比较方便：2222()()()y xdy u u dy g x g x x y =+=++⎰⎰22()x g x x y=-++ 将积分结果求对x 的偏导数得 22(,)()x u x y g x x y=-++ 2222212(),()x x u g x x y x y -'=++++()0,()g x g x c '== 所以 2222()x yi f z c x y x y =-++++ 1(2)02f c =-+= 得12c =，11()2f z z=- . 例3 证明(,)arctan y v x y x = (0x >)在右半平面内是调和函数, 并求以此为虚部的解析函数.证明 因为22v y x x y ∂-=∂+,22v x y x y∂=∂+, 则 222222()v xy x x y ∂=∂+, 222222()v xy y x y ∂-=∂+, 从而 22220v v x y ∂∂+=∂∂, 故(,)arctany v x y x = 是右半平面内的调和函数.下面用方法2(微分方程中的常数变异法)来求解析函数的实部(,)u x y .由C R -条件得22u v x x y x y ∂∂==∂∂+ -------------- (Ⅰ)2222u v y y y x x y x y ∂∂-=-=-=∂∂++ -------------- (Ⅱ) 由(Ⅰ)得 221(,)ln()()2u x y x y y ϕ=++ 代入(Ⅱ)得2222()y yy x y x y ϕ'+=++, 即()0y ϕ'=,从而 ()y C ϕ=(常数), 221(,)ln()2u x y x y C =++. 故 所求解析函数为221()ln()arctan 2y f z x y C i x=+++(0x >)ln arg ln z C i z z C =++=+ (Re 0z >). 例4 已知调和函数 (cos sin )xv e y y x y x y =+++，求一个解析函数 ()f z u iv =+使(0)0f =. 解(不定积分法) 因为(cos sin sin )1x ve y y x y y x∂=+++∂，(cos sin cos )1x ve y y y x y y∂=-++∂ 所以 ..()C R u v v v f z i i x x y x∂∂∂∂'=+=+∂∂∂∂(cos sin cos )1xe y y y x y =-+++ [(cos sin sin )1]xi e y y x y y +++1z z ze e i =+++，积分得 ()(1)zf z ze i z C =+++，由(0)0f =得0C =， 故 ()f z 1z zze e i =+++.例5 已知调和函数 22u x y xy =-+， 求一个解析函数()f z u iv =+使()1f i i =-+.解2ux y x∂=+∂，2u y x y ∂=-+∂ ..()2(2)2C R u v u uf z i i x y i y x z iz x x x y∂∂∂∂'⇒=+=-=++-=-∂∂∂∂，积分得 21()(2)2f z i z C =-+，由()1f i i =-+得2iC =， 故 2()122i i f z z ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 练习： 已知 22()(4)2()u v x y x xy y x y +=-++-+，试确定解析函数 ()f z u iv =+.解 ：2222(4)()(24)2(4)()(42)2,x x y y x x y xu v x xy y x y x y u v x xy y x y x y u v u v ⎧+=+++-+-⎪+=+++-+-⎨⎪==-⎩226332x yv xyv x y =⎧⎪⇒⎨=--⎪⎩ 222()332632v vf z i x y i xy z y x∂∂'⇒=+=--+=-∂∂， 积分得 3()2f z z z C ⇒=-+.例6 若()f z u iv =+为解析函数，且满足892003u v +=， 试证：()f z 必为常数.解 对892003u v +=分别求对,x y 的导数得128900890()0x x x y y y xy u v u u u C u v f z C v v v C C R ⎧+===⎧=⎧⎪⎪+=⇒⇒⇒=⎨⎨⎨===⎪⎩⎪⎩-⎩方程（常数）. 例7 求调和函数(,)x y xy φ= 的共轭调和函数. 提示 设解析函数()(,)(,),(,),(,)x y y x f z x y iv x y v x y x v x y y φφφ=+=-===2(,)()2x y v x y dy ydy g x φ===+⎰⎰，2(,)()()2x y x v x y g x x g x c φ'==-=-⇒=-+故 (,)x y xy φ= 的共轭调和函数221(,)()2v x y y x c =-+. 例8 证明：函数2222,y x xv y x u +=-=都是调和函数，但iv u z f +=)(不是解析函数.证明：y u x u y x 2,2-== ,2,2-==yy xx u u()()222222222,y xxyv y xy x v y x +-=+-=()()222322232,2yxy v yxy v yy xx +-=+=0=+∴yy xx u u 0=+yy xx v v 即u 是复平面上的调和函数，v 除原点外在复平面上调和。
【学习课件】第六讲_解析函数与调和函数的关系
在 D内满 C足 R方程 :uxvy,uy vx的两个 调和u 函 ,v,v数 必u 为 的共轭调 . 和函 现在研究反过来的问题：若u,v是任意选取的
区域 D内的两个调,和 则u函 i数 v在D内就不 一定解. 析
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6
如 vxy不是 uxy的共轭调.和
（ f(z)uiv(xy)i(xy)在 z平 面 上 处 处 不 ux解 1vy析 uy1vx)
要想 u使 iv在 D内解 ,u及 析 v还必须 C满 R 足 方程v， 必即 须 u的 是共轭调 .由和 此函 ，数
已知一个解析函数 部u的 (x,实 y),利用CR方 (虚 部 v(x, y))
程可求得它的v(虚 x, y部),从而构成解析函数
uiv.
(实 部 u(x, y))
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7
设D一 单 连 通,u(区 x, y域 )是 区D域 内 的 调 和
11
例1 由下列条件求解f析 (z)函 u数 iv
u x2 xy y2
f (i) 1i
解vu2xy vu2yx
y x
x y
dvvdxvdy(2yx)dx(2xy)dy x y
( x, y)
v(x, y) (2y x)dx(2x y)dyc (0,0)
x
y
o xdx0 (2x y)dyc
x2
u0,
v0
其
中
2 x2
2 y2
uu(x,y)，vv(x,y)是D内的调和函
定义 设u(x,y)为D内的调和 ,称函 使u数 得 iv 在D内构成解析函 函数 数 v(x,的 y)为 调 u(x,和 y) 的共轭调. 和函数
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5
上面定理说明：
解析函数与调和函数的关系
第六讲解析函数与调和函数的关系§3.7 解析函数与调和函数的关系内容简介在§3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。
本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系。
.),()00:),(2222内的调和函数为则称即（方程续偏导数且满足内具有二阶连在若二元实变函数D y x y x Laplace D y x ϕϕϕϕϕ=∆=∂∂+∂∂定义 内的调和函数。
是，内解析在区域若D y x v v y x u u D y x iv y x u z f ),(),(),(),()( ==⇒+=定理证明：设f (z )=u (x ,y )+i v (x ,y )在区域D 内解析，则x v y u y v xu R C ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂- 方程由yx v y u x y v x u ∂∂∂-=∂∂∂∂∂=∂∂222222从而有xy v y x v y x v y x u ∂∂∂=∂∂∂∴⇒22.),(),,(具有任意阶的连续导数理由解析函数高阶导数定,0 D 2222=∂∂+∂∂y u x u 内有故在0 2222=∂∂+∂∂y v x v 同理有0,0=∆=∆v u 2222y x ∂∂+∂∂≡∆其中即u 及v 在D 内满足拉普拉斯(Laplace )方程: 内的调和函数。
是，D y x v v y x u u ),(),(==∴.),(),(D ,),(的共轭调和函数为函数内构成解析函数的调和在称使得内的调和函数为设y x u y x v iv u D y x u +定义上面定理说明：.部的共轭调和函数内解析函数的虚部是实D .),(),(),(),()(,的共轭调和函数必为内在内解析在即y x u u y x v D D y x iv y x u z f =⇒+=由解析的概念得：.,,,:的共轭调和函数必为调和函数的两个方程内满足在u v v u v u v u R C D x y y x -==-.,, 一定解析内就不在则内的两个调和函数区域是任意选取的在若D iv u D v u +现在研究反过来的问题：.的共轭调和函数不是y x u y x v +=+=如 )11)()()(x y y x v u v u z y x i y x iv u z f -≠===+++=+=处处不解析平面上在（ 由此，的共轭调和函数必须是方程，即还必须满足及内解析在要想使.,u v R C v u D iv u -+.),,(),,(iv u y x v R C y x u +-从而构成解析函数程可求得它的虚部方利用部已知一个解析函数的实)),((y x v 虚部)),((y x u 实部0,),(,2222=∂∂+∂∂yu x u D y x u D 则函数内的调和是区域一单连通区域设内有连续一阶偏导数在、即D xu y u ∂∂∂∂-,dy xu dx y u dy y v dx x v x u x y u y ∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂∂∂∂∂=∂∂-∂∂ )()(且),(y x dv v ∃=)(),(),(),(00*+∂∂+∂∂-=⎰c dy x u dx y u y x v y x y x..内解析在方程满足D iv u R C xu y v y u x v +∴-∂∂=∂∂∂∂-=∂∂ .)(),,()(,),(内解析在使得式所确定的则内调和函数在单连通设D iv u z f y x v D y x u +=*定理公式不用强记！可如下推出：dy x v dx y v dy y v dx x v du R C ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=-方程由然后两端积分。
复变函数中的解析函数与调和函数
复变函数中的解析函数与调和函数复变函数是数学中的一门重要分支，它研究的是具有两个独立变量的函数，其中一个变量是实部，另一个变量是虚部。
复变函数的研究非常有意义，它在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。
在复变函数中，有两个重要的概念，即解析函数和调和函数。
一、解析函数复变函数中的解析函数是指在某个区域内处处可微的函数。
具体来说，如果复变函数在某个区域内的每一点都有导数，那么这个函数就是解析函数。
解析函数具有很多重要的性质，如导数的存在性和唯一性。
根据解析函数的性质，我们可以通过求导来研究其它的解析函数性质，这是解析函数研究中的一种重要方法。
解析函数具有的性质还包括保角映射和调和性。
保角映射指的是解析函数在某个区域内保持角度关系不变，这在几何学中有广泛的应用。
调和性是解析函数的另一个性质，它表示解析函数的实部和虚部都是调和函数。
调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数，它在物理学中有着重要的应用，如电势场和热传导等领域。
二、调和函数调和函数是解析函数的实部和虚部，它是复变函数中的一个重要概念。
调和函数具有很多重要的性质，如最大值原理和平均值性质。
最大值原理是指调和函数在区域内取得最大值或最小值时，必定位于边界上，这是调和函数研究中的一个重要结论。
平均值性质是指调和函数在区域内每一点的函数值等于其边界上某一点的函数值的平均值，这也是调和函数的一个特性。
调和函数在实际问题中有广泛的应用，如波动方程和扩散方程的求解，都涉及到调和函数的研究。
此外，在物理学中，调和函数也被广泛应用于电势场和热传导等领域。
通过研究调和函数，我们可以更好地理解和解决实际问题。
三、实例下面我们通过一个实例来说明解析函数和调和函数的应用。
假设有一个矩形区域，边界上施加有电势，我们需要求解这个矩形区域内的电势分布。
首先，我们可以将电势分布表示为复变函数的实部或虚部，即调和函数。
然后，我们可以利用调和函数的性质和边界条件来求解问题。
在实际计算中，我们可以使用数值方法，如有限差分法或有限元法，来求解调和函数的近似解。
复变函数的解析性与调和性
复变函数的解析性与调和性复变函数是数学中的一个重要分支，研究复变函数的解析性与调和性可以帮助我们深入了解复数域中函数的特性和性质。
本文将从解析函数和调和函数的概念入手，探讨复变函数的解析性和调和性，并介绍其在实际应用中的重要性。
1. 解析函数的定义与性质解析函数是指在某个区域内处处可微的函数，其导数也是存在的。
具体定义如下：定义：设f(z)=u+iv是定义在复平面某个区域D上的复值函数，如果对于D内任一点z0都有以下两个偏导数存在且满足柯西-黎曼方程，即：∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x则称f(z)为D内的一个解析函数。
解析函数具有以下重要性质：a) 对解析函数f(z)，其实部u和虚部v都是调和函数。
b) 解析函数具有无穷阶可导的性质，即导函数的存在性不受阶数限制。
c) 对于解析函数f(z)，其导函数就是它的导数。
2. 调和函数的定义与性质调和函数是指满足拉普拉斯方程（或泊松方程）的实函数。
具体定义如下：定义：设u(x, y)是定义在平面区域D上的实函数，如果u(x, y)是D 上的二阶连续可导函数，且满足拉普拉斯方程，即：∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=0则称u(x, y)为D上的一个调和函数。
调和函数具有以下重要性质：a) 调和函数的二阶导数的混合偏导数都等于零。
b) 调和函数在定义区域内具有极值原理，即在拐点处取极值。
c) 调和函数的线性组合仍然是调和函数。
3. 复变函数的解析性与调和性的关系复变函数的解析性与调和性之间存在着密切的联系。
事实上，解析函数的实部和虚部同时也是调和函数。
这是由柯西-黎曼方程保证的。
具体而言，如果f(z)=u+iv是某个区域D内的解析函数，则u和v 分别是D内的调和函数。
同样地，如果u和v是D内的调和函数，并且满足柯西-黎曼方程，则可以得到f(z)=u+iv是D内的解析函数。
这种关系对于解析函数的研究非常重要。
3-7解析函数与调和函数的关系
可微的，故有全微分
v v u u dv ( x, y ) dx dy dx dy x y y x
设 (x0 ,y0)为D内一个定点，(x,y) 为D内任一点， c为任意常数，可得
2 2
定理： 函数 f ( x, y) u ( x, y) i v ( x, y) 在区域 D 内解析，其实部 u( x, y) 和虚部 v ( x, y) 都是 D 内的调和函数.
2. 共轭调和函数定义： 若两实函数 ( x, y) 及 ( x, y ) 均为区域 D 内的调和函数，且满足柯西－黎曼条件，即
的方法即可.
例 已知 u ( x, y ) x 2 y 2 xy,求解析函数 f ( z ) u ( x, y ) i v ( x, y ),并满足 f (0) 0
1.不定积分法
解: 首先验证 u(x,y) 是否为调和函数, 容易得到:
ux 2 x y , u y x 2 y
v v ∴ dv (x, y ) dx dy (2 y x)dx (2 x y)dy x y
( xdx ydy) (2 ydx 2 xdy)
x2 y 2 x2 y 2 d( ) d(2 xy ) d( 2 xy ) 2 2 2 2
uxx 2 , u yy 2 uxx u yy 0
故 u(x,y) 为调和函数, 因此只需找到它的共轭 调和函数 v(x,y) , 即可构建解析函数.由C- R条件得
v y ux 2 x y
1 2 所以：v (2 x y)dy 2 xy y ( x) 2
解析函数与调和函数的关系
第三章
解析函数与调和函数的关系
一、调和函数的定义 二、解析函数与调和函数的关系
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一、调和函数的定义
定义 如果二元实变函数 ( x , y ) 在区域 D内具
有二阶连续偏导数, 并且满足拉普拉斯方程 2 2 2 2 0, x y 那末称 ( x , y ) 为区域 D 内的调和函数.
3 w f ( z ) i ( z c ). 即
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内容小结
1.调和函数的概念
2.解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数
的概念.
1. 任意两个调和函数 u与v所构成的函数 u+iv不一定 是解析函数. 2. v称为u的共轭调和函数, u与v注意的是地位不能 颠倒.
2 u u 因为 6 xy, 6 y , 2 x x 2 u u 2 2 3 y 3x , 6 y, 2 y y
2u 2u 于是 2 0, 故 u( x , y ) 为调和函数. 2 x y
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调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中有很重要的应用.
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二、解析函数与调和函数的关系
1. 两者的关系
任何D 内的解析函数,它的实部和虚部都是 D 内
的调和函数. 2. 共轭调和函数的定义
设解析函数u iv的实部u( x, y ) 是一调和函数, 则虚部v( x, y ) 称为 u( x, y ) 的共轭调和函数.
第6讲 解析函数与调和函数
1 2 1 2 v(x,y)= 2 x 2 y
解： v x x, v y y
故 u
(x,y ) ( 0, 0 ) (x,0)
( 0, 0 )
v y dx vx dy c
ydx
0
(x,y ) ( x , 0)
(x,y ) ( 0, 0 )
ydx xdy c
如果函数在区域D内任意点解析，则称f(z)在区 域D内解析。 若f(z)在 z 0不解析，则称该点为f(z)的奇点。
1
(1) w=f (z) 在 D 内解析 在D内可导。 (2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。
(在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是 一个整体概念)
注： 1） f(z)在某点解析，也就是指f(z)在包含该点 的某邻域内解析。 2）f(z)在闭区域 D 上解析，也就是指f(z)在包 含 D 的某邻域内解析。
类似地， 然后两端积分得，
u( x , y )
( x, y)
( x 0 , y0 )
v y dx v x dy c
( )
18
例 2.23 已知调和函数u(x,y)= y 3 3 x 2 y 求其共轭调和函数v(x,y)使f(z)=u+iv在相应区域解析。
解： u y 3 - 3x 2 y
从而f(z) c1 ic2 c.
其中c1 , c2为实常数，c为复常数）证毕
7
3、初等函数的解析性
定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数， 则 f (z)±g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)≠0时) 均是D内的解析函数。 定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值 集合 G，则复合函数w=f [g(z)]在D内处处解析。
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2
2
又解 f'(z)uxivx uxiuy
(2xy)i(x2y)
不
2(xiy)i(xiy)
定
(2i)(xiy)
积
2iz
分
f(z)2i z2ic
法
2
f(z ) (x 2 y 2 x) y i( 1 x 2 2 x y 1 y 2 c )
2
2
第四章 级数
CH4§4.1 复数项级数
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
要想 u使 iv在 D内解 ,u及 析 v还必须 C满 R 足 方程v， 必即 须 u的 是共轭调 .由和 此函 ，数
已知一个解析函数 部u的 (x,实 y),利用CR方 (虚 部 v(x, y))
程可求得它的v(虚 x, y部),从而构成解析函数
uiv.
(实 部 u(x, y))
设D一单连通,u(区 x,y域 )是区D域 内的调和
(2)
8in
8n收
敛 ， (8i)n绝
对
收
n0 n! n0n!
n0 n!
(3 ) n 1( n 1 )n 收n 1 敛 2 1 n 收 ， 敛 n 1(( n 1 )， n2 in)收 . 敛
又
(1)n
条
件 收
敛 原 ，级 数 非
绝.
对
n1 n
例3
讨论
zn的 敛 散 性 。
分
22
法
x2
y2
v(x,y) 2x y c
2
2
f(z ) (x 2 y 2 x) y i( 1 x 2 2 x y 1 y 2 c )
2
2
又解 v2xy v2x yy2(x)
y
2
v2y'(x) x v2yx
偏
x
积
'(x)x
(x)
x2 2
c
分
法
y2 x2
v(x,y)2x y c
22
f(z ) (x 2 y 2 x) y i( 1 x 2 2 x y 1 y 2 c )
两个实数项级数的收敛问题。
性质 级数 n收敛的必要条:ln i件 m n 0.
n1
定理3 若 n收 敛 n 收敛 ， n 且 n.
n1
n1
n1
n1
证明 n an ibn
an an2 bn2 ,
an2 bn2
由比较判定法
an和 bn均绝对收敛，
n1
n1
bn an2 bn2
u x2 xy y2
f (i) 1i
解vu2xy vu2yx
y x
x y
dvvdxvdy(2yx)dx(2xy)dy x y
( x, y)
v(x, y) (2y x)dx(2x y)dyc (0,0)
x
y
o xdx0 (2x y)dyc
x2
y2
曲线积分法
2xy c
2
2
故 f(z)(x2y2x)yi(1x22xy1y2c)
1. 复数列的极限
定义 设复 {n }n 数 ( 1 ,2 , ) 列 其 , n ： ＝ 中 a n in b ,
又设复常数：aib， 若0,N0,nN,恒有 n， 那么 称为复 {数 n}当n列 时的极限
记ln 作 i m n,或n 当 时， n, 此 时 ， 也{称 n}收 复敛 数 .于 列
z z0的z,级 数 必 绝.对 收 敛
⑵ 若z级 z0发 数 ,则 散 在对z 满 z0的 足 z, 级 数 . 必 发 散
证明 (1)n0cnz0 n收,则 敛 ln im cnz0 n0，即
0 ， N 0 ， nN ， 恒 cnz0 n 有
取 M ma,c x 0,c1z0,c2z0 2,,cN z0 N
▪若z0D nl im sn(z0)s(z0),称 级(1)数 在z0收 ,敛
其 和s(z为 0), nl im sn(z0)不 存 在 ， (1)发 称,散 级
若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数 s (z ) f1 (z ) f2 (z ) fn (z ) ,2 ,
若zz0,
则z q1 z0
cnzn cnz0n
n
z Mqn, z0
由于 Mqn收敛,由比较判别cn 法 zn 收 得敛 ,
n0
n0
cnzn绝对收敛。
n0
(2)用反证法，设z1,z1 z0， 有cnz1n收 敛 ，
n0
由(1)知 cnz0n收敛与假设矛盾！ ，得证
2 2
x2 y2 0
即（ 0)
则称(x, y)为D内的调和函. 数
定理 若f(z)u(x,y)iv(x,y)在区D域 内解析 uu(x,y)，vv(x,y)是D内的调和函数
证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则 由 CR 方 程 uv uv
x y y x 从而 x 2u 2有 y2 vx y 2u 2 x2 vy
“”已知 n l iman a,n l imbn b 即，
0,N0,
n
N,恒
有an
a
2，bn
b
2
又n (an a)i(bn b)
an a bn b 故nl i m n .
2. 级数的概念
定义 ▪设复数列： {n } { a n in b }n ( 1 ,2 , ,), n12n ---无穷级数 n1
由 d uvd xvdC y R 方 程 vd xvdy
x y
y x
类似地， 然后两端积分得，
(x,y)
u (x ,y)(x 0,y0)vyd x vxd yc ()
调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解 析函数的关系。
例1 由下列条件求解f析 (z)函 u数 iv
定理1 l n im n l n ia n m a , l n ib n m b .
证明 “ ”已 n l i m 知 n即， 0,N0,nN,恒有 n
又 n(ana)i(bnb) (ana)2(bnb)2 anan bnbn
故 n l im ana, n l im bnb.
▪级数的前面n项的和
n
sn12n i ---级数的部分和
i1
收 敛 － 级 数 n称 为 收 敛
n1
▪若部分和数列{sn }
ln i m sn s称为级数的和
不收敛
－ 级 数n称 为 发 散
n1
例1 解
判别
3i的敛散性。
sn n1jn 21n2 3 ij 3 i(12 1 n)又 ,ln i s m n3 i
特殊情况，在级数(1)中 fn(z)cn(zz0)n得
cn(zz0)n (2)
n0
当z00 cnzn (3) n0
称为幂级数
在(2)中令 zz0 (2) cnk k0
研究级(3)数 并不失一般性。
2. 收敛定理
同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：
定理1 (阿贝尔(Able)定理）
⑴ 若 级c数 nzn在zz0(0)收 敛 ,则 对 满 足 n0
2
2
(xiy)2i(xiy)2ic(11i)z2ic
2
2
f(i)1i 代 入 上 (1式 i)i2 得 ic， 1i
2
c1 f(z)(1i)z2i
2
22
x1(zz), y1(zz)
2
2i
又解 dv v dx v dy
x y
凑
(2y x)dx (2x y)dy
全
2ydx2xdyxdxydy
微
2dxyd(x2 y2)
由解析函数高理阶 u导 (x, y数 ),v(定 x, y) 具有任意阶的. 连 续 2v 导 2数 v
xy yx
故D 在 内有 x2u 2 y2u 2 0, 同 理 有 x2v2 y2v2 0
即u及v 在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:
u0,
v0
其
中
2 x2
2 y2
uu(x,y)，vv(x,y)是D内的调和函
播放
R cR
定义 这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的 收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。
(i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外 部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题 要具体分析。
(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R 的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径 为R的圆域.
在 D内满 C足 R方程 :uxvy,uy vx的两个 调和u 函 ,v,v数 必u 为 的共轭调 . 和函 现在研究反过来的问题：若u,v是任意选取的 区域 D内的两个调,和 则u函 i数 v在D内就不 一定解. 析
如 vxy不是 uxy的共轭调.和
（ f(z)uiv(xy)i(xy)在 z平 面 上 处 处 不 ux解 1vy析 uy1vx)
n0
3. 收敛圆与收敛半径
由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况：
(i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处 处收敛。
(ii )除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。
(iii) 0,使得 cnn收敛, 小，在c外部都是蓝色，
定义 设u(x,y)为D内的调和 ,称函 使u数 得 iv 在D内 构 成 解 析 函 函数 数 v(x,的 y)为 调 u(x,和 y) 的共轭调. 和函数
上面定理说明：
D内解析函数的虚 部部 的是 共实 轭调.和
即, f(z)u(x,y)iv(x,y)在D内解 析 在D内v(x, y)必 为 uu(x, y)的 共 轭 调.和 函 由解析的概念得：