第六讲_解析函数与调和函数的关系

2
2
又解 f'(z)uxivx uxiuy
(2xy)i(x2y)
不
2(xiy)i(xiy)
定
(2i)(xiy)
积
2iz
分
f(z)2i z2ic
法
2
f(z ) (x 2 y 2 x) y i( 1 x 2 2 x y 1 y 2 c )
2
2
第四章 级数
CH4§4.1 复数项级数
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
要想 u使 iv在 D内解 ,u及 析 v还必须 C满 R 足 方程v， 必即 须 u的 是共轭调 .由和 此函 ，数
已知一个解析函数 部u的 (x,实 y),利用CR方 (虚 部 v(x, y))
程可求得它的v(虚 x, y部),从而构成解析函数
uiv.
(实 部 u(x, y))
设D一单连通,u(区 x,y域 )是区D域 内的调和
(2)
8in
8n收
敛 ， (8i)n绝
对
收
n0 n! n0n!
n0 n!
(3 ) n 1( n 1 )n 收n 1 敛 2 1 n 收 ， 敛 n 1(( n 1 )， n2 in)收 . 敛
又
(1)n
条
件 收
敛 原 ，级 数 非
绝.
对
n1 n
例3
讨论
zn的 敛 散 性 。
分
22
法
x2
y2
v(x,y) 2x y c
2
2
f(z ) (x 2 y 2 x) y i( 1 x 2 2 x y 1 y 2 c )
2
2
又解 v2xy v2x yy2(x)
y
2
v2y'(x) x v2yx
偏
x
积
'(x)x
(x)
x2 2
c
分
法
y2 x2
v(x,y)2x y c
22
f(z ) (x 2 y 2 x) y i( 1 x 2 2 x y 1 y 2 c )
两个实数项级数的收敛问题。
性质 级数 n收敛的必要条:ln i件 m n 0.
n1
定理3 若 n收 敛 n 收敛 ， n 且 n.
n1
n1
n1
n1
证明 n an ibn
an an2 bn2 ,
an2 bn2
由比较判定法
an和 bn均绝对收敛，
n1
n1
bn an2 bn2
u x2 xy y2
f (i) 1i
解vu2xy vu2yx
y x
x y
dvvdxvdy(2yx)dx(2xy)dy x y
( x, y)
v(x, y) (2y x)dx(2x y)dyc (0,0)
x
y
o xdx0 (2x y)dyc
x2
y2
曲线积分法
2xy c
2
2
故 f(z)(x2y2x)yi(1x22xy1y2c)
1. 复数列的极限
定义 设复 {n }n 数 ( 1 ,2 , ) 列 其 , n ： ＝ 中 a n in b ,
又设复常数：aib， 若0,N0,nN,恒有 n， 那么 称为复 {数 n}当n列 时的极限
记ln 作 i m n,或n 当 时， n, 此 时 ， 也{称 n}收 复敛 数 .于 列
z z0的z,级 数 必 绝.对 收 敛
⑵ 若z级 z0发 数 ,则 散 在对z 满 z0的 足 z, 级 数 . 必 发 散
证明 (1)n0cnz0 n收,则 敛 ln im cnz0 n0，即
0 ， N 0 ， nN ， 恒 cnz0 n 有
取 M ma,c x 0,c1z0,c2z0 2,,cN z0 N
▪若z0D nl im sn(z0)s(z0),称 级(1)数 在z0收 ,敛
其 和s(z为 0), nl im sn(z0)不 存 在 ， (1)发 称,散 级
若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数 s (z ) f1 (z ) f2 (z ) fn (z ) ,2 ,
若zz0,
则z q1 z0
cnzn cnz0n
n
z Mqn, z0
由于 Mqn收敛,由比较判别cn 法 zn 收 得敛 ,
n0
n0
cnzn绝对收敛。
n0
(2)用反证法，设z1,z1 z0， 有cnz1n收 敛 ，
n0
由(1)知 cnz0n收敛与假设矛盾！ ，得证
2 2
x2 y2 0
即（ 0)
则称(x, y)为D内的调和函. 数
定理 若f(z)u(x,y)iv(x,y)在区D域 内解析 uu(x,y)，vv(x,y)是D内的调和函数
证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则 由 CR 方 程 uv uv
x y y x 从而 x 2u 2有 y2 vx y 2u 2 x2 vy
“”已知 n l iman a,n l imbn b 即，
0,N0,
n
N,恒
有an
a
2，bn
b
2
又n (an a)i(bn b)
an a bn b 故nl i m n .
2. 级数的概念
定义 ▪设复数列： {n } { a n in b }n ( 1 ,2 , ,), n12n ---无穷级数 n1
由 d uvd xvdC y R 方 程 vd xvdy
x y
y x
类似地， 然后两端积分得，
(x,y)
u (x ,y)(x 0,y0)vyd x vxd yc ()
调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解 析函数的关系。
例1 由下列条件求解f析 (z)函 u数 iv
定理1 l n im n l n ia n m a , l n ib n m b .
证明 “ ”已 n l i m 知 n即， 0,N0,nN,恒有 n
又 n(ana)i(bnb) (ana)2(bnb)2 anan bnbn
故 n l im ana, n l im bnb.
▪级数的前面n项的和
n
sn12n i ---级数的部分和
i1
收 敛 － 级 数 n称 为 收 敛
n1
▪若部分和数列{sn }
ln i m sn s称为级数的和
不收敛
－ 级 数n称 为 发 散
n1
例1 解
判别
3i的敛散性。
sn n1jn 21n2 3 ij 3 i(12 1 n)又 ,ln i s m n3 i
特殊情况，在级数(1)中 fn(z)cn(zz0)n得
cn(zz0)n (2)
n0
当z00 cnzn (3) n0
称为幂级数
在(2)中令 zz0 (2) cnk k0
研究级(3)数 并不失一般性。
2. 收敛定理
同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：
定理1 (阿贝尔(Able)定理）
⑴ 若 级c数 nzn在zz0(0)收 敛 ,则 对 满 足 n0
2
2
(xiy)2i(xiy)2ic(11i)z2ic
2
2
f(i)1i 代 入 上 (1式 i)i2 得 ic， 1i
2
c1 f(z)(1i)z2i
2
22
x1(zz), y1(zz)
2
2i
又解 dv v dx v dy
x y
凑
(2y x)dx (2x y)dy
全
2ydx2xdyxdxydy
微
2dxyd(x2 y2)
由解析函数高理阶 u导 (x, y数 ),v(定 x, y) 具有任意阶的. 连 续 2v 导 2数 v
xy yx
故D 在 内有 x2u 2 y2u 2 0, 同 理 有 x2v2 y2v2 0
即u及v 在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:
u0,
v0
其
中
2 x2
2 y2
uu(x,y)，vv(x,y)是D内的调和函
播放
R cR
定义 这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的 收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。
(i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外 部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题 要具体分析。
(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R 的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径 为R的圆域.
在 D内满 C足 R方程 :uxvy,uy vx的两个 调和u 函 ,v,v数 必u 为 的共轭调 . 和函 现在研究反过来的问题：若u,v是任意选取的 区域 D内的两个调,和 则u函 i数 v在D内就不 一定解. 析
如 vxy不是 uxy的共轭调.和
（ f(z)uiv(xy)i(xy)在 z平 面 上 处 处 不 ux解 1vy析 uy1vx)
n0
3. 收敛圆与收敛半径
由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况：
(i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处 处收敛。
(ii )除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。
(iii) 0,使得 cnn收敛, 小，在c外部都是蓝色，
定义 设u(x,y)为D内的调和 ,称函 使u数 得 iv 在D内 构 成 解 析 函 函数 数 v(x,的 y)为 调 u(x,和 y) 的共轭调. 和函数
上面定理说明：
D内解析函数的虚 部部 的是 共实 轭调.和
即, f(z)u(x,y)iv(x,y)在D内解 析 在D内v(x, y)必 为 uu(x, y)的 共 轭 调.和 函 由解析的概念得：
由定理
2得
收敛。
n
n
n
k k, nn
n1
k1
k1
n1
n1
由定理3的证明过程，及不等式 an2bn2 anbn有:
定理4 级 数 n收敛 an和 bn都收敛
n1
n1
n1
? 若
n收敛
n收敛(例.如:
n1
n1
n1
(1)ni )
n
定义 若n收敛，则称n为绝对收敛；
n1
n1
若n发散，而n收敛，则称n为
1. 幂级数的概念
定义
▪设复变函数列：{fn(z)}z D , n1 ,2 , fn (z)f1 (z)f2 (z) fn (z) (1 ) n 1 ---称为复变函数项级数
▪级数的最前面n项的和 n sn (z)f1(z)f2(z) fn (z) fk(z) k 1 ---级数的部分和
n0 n!
解
令z r,
zn
rn
er
n0 n! n0 n!
zn在复平面上处处绝对敛收。
n0 n!
练习：
讨
论
1 1ein的 敛 散 性 。
n0 n
讨
论
n0
cosi 2n
n的敛
散
性
。cosin
en
en 2
§4.2 幂级数
1. 幂级数的概念 2. 收敛定理 3. 收敛圆与收敛半径 4. 收敛半径的求法 5. 幂级数的运算和性质
函数 ,则x2u2 y2u2 0
即, u、u在D内有连续一阶偏导数 y x
且
(u)
u ()
y y x x
v v
u u v
dx dy dx dy
x y
y x
d v( x,
y)
(x,y) u u
v(x,y) d x d y c ( ) y (x 0,y0) x
vu vu满足 CR方程 . x y y x
uiv在 D内解 . 析
定理 设u(x, y)在单连D通 内调和函 , 数 则()式所确定 v(x的 , y),使得 f(z)uiv在D内解.析
公式不用强记！可如下推出：
已知u： (x, y),求其共轭调和 v(x函 , y)数 :
由dv
vdx x
v y
CR方
dy
程
uydxuxdy
然后两端积分。
级数收 ,且敛 和3i为 .
定理2 级 数 n收 敛 an和 bn都 收 敛 。
n1
n1
n1
证明 sn n k n (ak ibk) n ak i n bk nin
k1
k1
k1
k1
由定理ln１ im s， n aibln im n a,ln im n b
an和bn都收敛。
n1
n1
由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为
n0
红、蓝色不会交错。故
0,使得 cn n发散. 一定 cR：z R ,为红、
n0
由Able定理，在圆周c
:
蓝两色的分界线。
z 内，级数(3)收敛；
在圆周c : z 外，级
数(3)发散. 显然，<
否则，级数(3)将在处发散。
将收敛部分染成红色，发散
部分染成蓝色，逐渐变大，
在c内部都是红色,逐渐变
n1
n1
n1
条件收.敛
例2 下列级数是否收敛否 ？绝 是对收敛？
1 i
(8 i)n ( 1 )n i
(1 ) (1 )(2 ) n 1n n n 0 n !
(3 ) (
n 1
n 2 n )
解 (1 ) n 1n 1发n 散 1n 1 2收 ， 敛 n 1n 1(1 ， n i)发. 散
第六讲 解析函数与调和函数的关系
§3.7 解析函数与调和函数的关系
内容简介
在§3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数 仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节 利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间 的关系。
定义 若二元实变函(数 x, y)在D内具有二阶连
续偏导数且满La足plac方e 程: