解析函数与调和函数的关系 3-7
调和函数、解析函数与调和函数的关系
2
y 2
=
0，
则称 (x, y) 为区域������内的调和函数.
定理1：区域������内的解析函数的实部与虚部，都是������内的调和函数.
证明：设 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 是区域������内的解析函数，
那么在区域������内满足柯西-黎曼方程：u = v , u = − v x y y x
由 f (0) = i ，得 C = 1，从而 f (z) = x3 − 3xy2 + i(3x2 y − y3 +1).
另外，还可以通过不定积分的方法，由已知调和函数直接求 得解析函数. 解析函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 的导数仍为解析函数，
f ' (z) = ux + ivx = ux − iuy = vy + ivx
=
6x；u y
=
−6xy，2u y2
=
−6x
从而
2u x2
+
2u y 2
= 0，所以：u(x, y) =
x3
− 3xy2 是调和函数.
( ) 由 v = u = 3x2 − 3y2 ，得 v(x, y) = 3x2 − 3y2 dy = 3x2 y − y3 + c(x) y x
定义2：设 u(x, y) 为区域������内的调和函数，称满足柯西-黎曼方程
u = v , u = − v x y y x
的调和函数 v(x, y) 为 u(x, y) 的共轭调和函数.
说明：（1）区域������内的解析函数的实部与虚部为共轭调和函数；
（2）如果已知一个调和函数u(x, y)，则可利用柯西-黎曼方 程求得它的共轭调和函数 v(x, y)，从而构成一个解析函数
3-7调和函数
g( x) 3x2dx x3 c,
(c 为任意常数)
3xy2 g( x),
v 3 y2 g( x), x 又 v 3x2 3 y2 ,
x
3 y2 g( x) 3 y2 3x2,
v( x, y) x3 3xy2 c,
得解析函数 w y3 3x2 y i( x3 3xy2 c).
这个函数可以化为
g( x) 3x2 ,
w f (z) i(z3 c).
10
w y3 3x2 y i( x3 3xy2 c) i4 y3 i2 3x2 y i( x3 i2 3xy2 c)
w i[ x3 3x2 (iy) 3x(iy)2 (iy)3 ] ci
i( x iy)3 ic iz3 ic
x y ex ( ycos y xsin y sin y) 1 ex ( xsin y ycos y sin y) g( y),
g( y) 1, 故 g( y) y c, 于是 u ex ( xcos y ysin y) x y c,
14
eiy cos y i sin y
若v(x, y)是u(x, y)的共轭调和函数，
那么u(x, y)是否也是v(x, y)的共轭调和函数？ 若v(x, y)是u(x, y)的共轭调和函数，则u iv是解析函数， 从而 u v , u v .
x y y x
要使u(x, y)也是v(x, y)的共轭调和函数，
6
若v(x, y)是u(x, y)的共轭调和函数，则u iv是解析函数，
z x iy
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
11
注：已知解析函数的实部求虚部，至多相 差一个常数。
12
例 2 已知v(x, y) e x ( ycos y x sin y) x y 为调
高校工程数学第3节解析函数和调和函数教学课件
共轭调和函数
u( x , y ), v ( x , y ) 在D内调和 u v x y C—R方程成立 v u y x
f ( z ) u( x, y ) iv( x, y )
在D内解析
注： 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.
[例1]
得：
3 y 2 g( x ) 3 y 2 3 x 2 ,
故 g ( x ) 3 x dx x c ,
2
3
(c 为任意常数)
因此
v(x,y)=x3–3xy2+c
从而得到一个解析函数
w=y3–3x2y+i(x3–3xy2+c)
[例1]
偏积分法也可以是下列形式：
适用于已知实部u 求 f ( z ),
适用于已知虚部 v 求 f ( z ),
4、不定积分法
[例3] 用不定积分法求解[例1]中的解析函数 f ( z )
实部 u( x, y ) y 3 3 x 2 y.
[解] f ( z ) U ( z ) ux iuy
3i ( x 2 2 xyi y 2 ) 3iz 2 ,
[例1]
2u 2u 于是 2 0, 故 u( x , y ) 为调和函数. 2 x y
v u 6 xy, （2） 因为 y x
v 6 xydy 3 xy2 g( x ),
v 3 y 2 g( x ), x v u 2 2 3 y 3 x , 又因为 x y
2、共轭调和函数的定义
设 u( x , y ) 为区域 D 内给定的调和函数 , 我 们把使 u iv 在 D 内构成解析函数的调和 函数 v ( x , y ) 称为 u( x , y ) 的共轭调和函数 .
解析函数与调和函数的关系
定义 若二元实变函数 ϕ ( x , y )在 D内具有二阶连
续偏导数且满足 Laplace 方程 : ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 =0 2 ∂x ∂y 即（ ∆ ϕ = 0 )
则称 ϕ ( x , y )为 D内的调和函数 .
ϕ ( x, y ) = x 2 + xy − y 2 ϕ ( x, y ) = ln x 2 + y 2 例：
定理 若f ( z ) = u( x , y ) + iv( x , y )在区域D内解析
内的调和函数。 ⇒ u = u( x , y )，v = v ( x , y )是D内的调和函数 。
证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域 内解析，则 证明： 在区域D内解析， 在区域 内解析
内的调和函数。 ∴ u = u( x , y )，v = v ( x , y )是D内的调和函数 。
思考：
若u , v是任意选取的在区域 D内的两个调和函数 , 则u + iv在D内一定解析吗？
答：不一定，
u = x + y , v = x + y.
要想使 u + iv 在 D 内解析 , u 及 v还必须满足 C − R 方程 .
练习：证明 u = −3 xy + x 为调和函数，
2 3
并求其共轭调和函数 v ( x, y )和由他们 构成的解析函数 f ( z )，使 f (0) = i。
例1
证明u ( x, y ) = x 2 + xy − y 2为调和函数，并求其 共轭调和函数v( x, y )和由它们构成的解析函数 f ( z )使f (i ) = −1 + i.43; y ⇒ v = 2 xy + + g ( x) ∂y 2 ∂v ⇒ = 2 y + g ' ( x) = 2 y − x ∂x
调和函数和解析函数的关系
调和函数和解析函数的关系1. 引言调和函数和解析函数是数学中两个重要的函数类别，在分析学和复变函数研究中具有广泛的应用。
两者有着密切的联系，本文将对两者的定义、性质、用途和工作方式等进行详细解释。
2. 调和函数的定义调和函数是指定义在欧几里德空间中的函数，满足拉普拉斯方程，即：Δf=∂2f∂x12+∂2f∂x22+⋯+∂2f∂x n2=0其中Δ是拉普拉斯算子，f是调和函数。
对于二维空间中的调和函数，即n=2的情况，拉普拉斯方程可以简化为：Δf=∂2f∂x2+∂2f∂y2=0调和函数的定义可以扩展到更高维空间，由此可见，调和函数的概念是多维的。
3. 解析函数的定义解析函数是指定义在复平面上的函数，满足柯西－黎曼方程，即：∂u ∂x =∂v∂y 和 ∂u∂y=−∂v∂x其中u(x,y)是解析函数的实部，v(x,y)是解析函数的虚部。
柯西－黎曼方程表明解析函数是复可微的，它可以展开成幂级数的形式，具有无穷次可导的性质。
4. 调和函数和解析函数的联系调和函数和解析函数在某些条件下是可以联系起来的。
具体而言，二维空间中的调和函数可以通过某个复数函数的实部或虚部来表示。
设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一个解析函数，其中z=x+iy，u和v分别是f的实部和虚部。
由柯西－黎曼方程可知，∂u ∂x =∂v∂y 和 ∂u∂y=−∂v∂x可以求出u和v的偏导数。
进一步，可以验证u和v满足拉普拉斯方程：∂2u ∂x2+∂2u∂y2=∂2v∂y2−∂2v∂x2=0∂2v ∂x2+∂2v∂y2=−∂2u∂y2−∂2u∂x2=0因此，u和v分别是调和函数。
这就是调和函数和解析函数的联系。
5. 调和函数和解析函数的性质调和函数和解析函数具有一些重要的性质，这些性质使得它们在数学和物理学中具有广泛的应用。
5.1 调和函数的性质•调和函数的线性组合仍然是调和函数。
即如果f1(x,y),f2(x,y),…,f n(x,y)都是调和函数，那么对于任意实数c1,c2,…,c n，函数g(x,y)=c1f1(x,y)+c2f2(x,y)+⋯+c n f n(x,y)也是调和函数。
解析函数与调和函数的关系
已知实部u，求虚部v(或者已知v，求u)，使 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析.
例：已知 u x y ,可以求得 v 2 xy C
2 2
f ( z) x y i(2xy C) z C'
2 2 2
(1)
则称 H ( x, y)为区域D 内的调和函数(harmonic function).
2 2 注：运算符号 ,称为拉普拉斯算子. 2 2 x y
2 2 H H 方程 0 ,记作 H 0 称为拉普拉斯方程. 2 2 x y
2.解析函数与调和函数的关系
定理2.2 若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是区域D
内的解析函数,则 u(x,y)和v(x,y) 均为区域D 内的
调和函数. 思考 如果 u, v 是任意选取的在区域D 内的两个
调和函数,那么 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在D 内一定解
析吗？
定义2.5 在区域D 内,满足C-R方程
满足C-R方程
v 为u 在区域D内的共轭调和函数
解析函数与调和函数的关系 解析函数
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
调和函数
u(x,y),v(x,y) 为调和函数 v为u的共轭调和函数
注：研究复变量的问题转化为研究实变量的问题.
验证：解析函数的实、虚部的任意阶偏导数 也是调和函数. 应用 构造解析函数
§2.2
解析函数与调和函数的关系
引言
解析函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) u,v满足C-R方程 解析函数具有无穷可微性 u,v为调和函数
调和函数和解析函数的关系
调和函数和解析函数的关系调和函数和解析函数在数学中都是非常重要的概念，它们之间的关系也是我们需要深入了解的。
调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数，而解析函数则是指在某个区域内可以展开成幂级数的函数。
在实际应用中，我们常常需要研究调和函数和解析函数之间的联系，以便更好地理解它们的性质和特点。
我们可以从数学定义上来看调和函数和解析函数的关系。
调和函数满足拉普拉斯方程，而解析函数则有复变函数的性质。
在某些情况下，调和函数可以通过某些方法转化为解析函数，比如通过傅里叶变换或者柯西积分公式等。
这种转化的过程可以帮助我们更好地理解两者之间的联系，并且在实际问题中起到重要作用。
我们可以从几何意义上来理解调和函数和解析函数的关系。
调和函数在物理学中有很多应用，比如电场、热场等问题都可以通过调和函数来描述。
而解析函数则在复平面上有很好的几何性质，比如保角映射等。
通过研究调和函数和解析函数之间的关系，我们可以更好地理解数学和物理之间的联系，以及复平面上的几何性质。
调和函数和解析函数在实际问题中也有很多应用。
比如在工程领域中，我们常常需要研究电场、热场等问题，这些都可以通过调和函数来描述。
而在信号处理领域中，解析函数则有很多应用，比如在频域分析中可以通过解析函数来描述信号的频谱特性。
通过研究调和函数和解析函数之间的关系，我们可以更好地解决实际问题，提高工程和技术的应用水平。
总的来说，调和函数和解析函数之间的关系是非常密切的，它们在数学、物理和工程等领域都有重要的应用。
通过深入研究两者之间的联系，我们可以更好地理解它们的性质和特点，从而更好地解决实际问题。
希望通过本文的介绍，读者能够对调和函数和解析函数有更深入的了解，并且在实际问题中能够灵活运用这些概念，提高问题的解决效率和准确性。
§3.7 解析函数与调和函数的关系
0,0
( x, y )
u u dx dy C y x
0,0
x 0
2 x 1 dx 2 ydy C
y 0
2 x 1 dx 2 ydy C
x2 2 x y 2 C
f z u iv 2 x 1 y x 2 2 x y 2 C i
例2（P103 30题（3））
已知f(z)=u+iv解析，u=2(x-1)y，f(2)=-i,求f(z). 方法1 不定积分法
u u 2 y, 2 x 1 x y u u f z i 2 y 2 x 1 i x y
2i x iy 2i 2iz 2i
得证！
注：解析函数中u与v不独立即是一对矛盾，已知u 求v， 或已知v求u均可.
例1 已知f(z)=u+iv解析，v=2xy，求f(z).
方法1 线积分法 u u du dx dy x y
u
( x, y )
0,0
( x, y )
u u dx dy C x y
§3.7 解析函数与调和函数的关系 一、分析上解析函数是调和函数
若二元实函数u(x,y) 满足Laplace方程
2u 2u 2 0 2 x y
则称u(x,y) 是调和函数。 定理1 若 w f z u iv 是解析函数，则U和V均为调 和函数.
证明： f z 是解析函数
2 iz 2 zi C f z 2iz 2i dz
f 2 C i
f z iz 2 2 zi i
2.2 解析函数与调和函数的关系
§2.2 解析函数与调和函数的关系
一、调和函数 二、共轭调和函数 共轭调和函数 三、构造解析函数
1
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数
一、调和函数
引例 考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。 考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。 无旋无源力场 设该力场为 F = { P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) } . (1) 无旋场 沿闭路做功为零(即做功与路径无关)。 沿闭路做功为零 即做功与路径无关) 保守场或者梯度场或者有势场。 又称为保守场或者梯度场或者有势场 又称为保守场或者梯度场或者有势场。 存在势函数 ϕ ( x , y , z ) , 使得
11
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数 解 (2) 求虚部 v( x, y )。 方法二： 方法二：全微分法
C1
( x, y)
C2
∂v ∂u ∂v ∂u 2 2 =− = 6xy , 由 = = 3x − 3 y , ∂x ∂y ∂y ∂x
⇒ dv = v ′x dx + v ′y dy = 6 xy dx + ( 3 x 2 − 3 y 2 )dy ,
∂ 2 u ∂ 2v , ⇒ = 2 ∂y∂x (?) ∂x
∂ 2v ∂ 2v + 2 = 0. 同理 2 ∂x ∂y
5
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数
二、共轭调和函数 共轭调和函数
定义 设函数 u( x , y ) 及 v ( x , y ) 均为区域 D 内的调和函数， 内的调和函数，
解析函数与调和函数的关系
定义 2：对于给定的调和函数 u(x, y) ，把使 u iv 构成解
析函数的调和函数 v(x, y) 称为 u(x, y) 的共轭调和函数。 注：解析函数的虚部是实部的共轭调和函数。但是，一
解析函数 f (z) 。 例 5：用不定积分法求例 2 中的 f (z) 。 例 6：已知 u v (x y)(x2 4xy y2 ) 2(x y) ，试
确定解析函数 f (z) u iv 。
般来说，解析函数的实部不是虚部的共轭调和函数。 3.如何求解析函数
问题：如给定实部（或虚部），如何选择虚部（或实部）， 使 f (z) u iv 解析？
1)偏积分法
------如果已知调和函数 u ，可利用条件，求它的共轭调
和函数 v ，以构成解析函数。
例 1：证明： u y3 3x2 y 为调和函数，并求其共轭调和
2.4解析函数与调和函数的关系
设 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域 E 上解析，由 C R 条件，
解析函数的高阶导数定理即得在 E 上有
2u x2
2u y 2
0及
2v x2
2v y 2
0
一、调和函数
定义 1：若二元实函数(x, y) 在区域 E 内具有连续的二
f (z) f (z)dz U(z)dz c ---适用于已知 u ，求 v 。 f (z) f (z)dz V (z)dz c ---适用于已知 v ，求 u 。
调和函数
由共轭调和函数定义和解析函数的实部和虚部是调和函数， 可得定理3.18
定理3.18 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解
析 , 则在区域 D 内 v(x,y) 必为 u(x,y) 的共轭调 和函数.
共轭调和函数定义2： 设 u( x , y ) 为区域 D 内给定的调和函数 ,我
们把使 u iv 在 D 内构成解析函数的调和 函数 v ( x , y ) 称为 u( x , y ) 的 共轭调和函数.
的共轭调和函数 v(x,y)，使得函数 f (z)=u＋iv是D上
的解析函数? 或者已知调和函数 v(x,y) 时，是否存在共轭调和函 数 u(x,y) ，使得 f (z)=u＋iv 是D上的解析函数?
回答是肯定的，以下用举例的方法加以说明.
三、 偏积分法 如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用C-R方程 求得它的共轭调和函数 v, 从而构成一个解析函数 u+vi. 这种方法称为偏积分法.
x iy iC z 3 iC
3
再由 f(0)=i,得出 C＝1，故 f(z)=z3+i
方法二：两次积分法：首先由C-R条件得： vy=ux=3x2-3y2
v( x, y) v y ( x, y)dy 3x 2 3 y 2 dy 3x 2 y y 3 x
xe x e iy iye x e iy x(1 i ) iy(1 i ) c ze (1 i )z c,
z
由 f (0) 0,
得 c 0,
z
所求解析函数为 f ( z ) ze (1 பைடு நூலகம் )z.
例3.18 求 k 值, 使 u x 2 ky2 为调和函数. 再求v , 使
解析函数和调和函数的关系
§2.2 解析函数和调和函数的关系 教学目的：弄清调和函数与共轭调和函数的概念，能理解并掌握解 析函数与调和函数的关系；并能灵活利用常用得三种方法 （不定积分法、偏积分法、曲线积分法）求以调和函数为实 部或虚部的解析函数．重点：不定积分法和偏积分法求解析函数．难点：曲线积分法求解析函数．教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：§2.2.1 调和函数的概念调和函数是有着广泛实际应用的一类函数（平面静电场中的电位函数、无源无旋的平面流速场中的势函数与流函数都是特殊的二元实函数，即调和函数），它与解析函数有着密切的联系．本节，我们将详细地介绍解析函数与调和函数的关系，并介绍利用调和函数来求解析函数的若干方法.【定义2.3】 若二元实函数(,)H x y 在区域D 内具有二阶连续的偏导数,且满足二维拉普拉斯方程（Laplace ）22220H H x y∂∂+=∂∂，则称(,)H x y 为D 内的调和函数（或称(,)H x y 在D 内调和），称为拉普拉斯算子. 【定理2.3 】 若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析, 则()f z 的实部(,)u x y 和虚部(,)v x y 都是D 内的调和函数. 证 ()f z 在区域D 内解析,所以(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微，且在D 内满足C-R 方程u v x y ∂∂=∂∂,u v y x∂∂=-∂∂，由解析函数的无穷可微性知(,)u x y 和(,)v x y 在D 内都具有任意阶连续的偏导数,从而也具有二阶连续的偏导数 222u v x y x ∂∂=∂∂∂ 222u v y x y∂∂=-∂∂∂， 所以2222220u u v v x y x y y x ∂∂∂∂+=-+=∂∂∂∂∂∂；同理可证22220v v x y∂∂+=∂∂. 故实部 (,)u x y 和虚部 (,)v x y 都是D 内的调和函数.§2.2.2 共轭调和函数【义2.4】 若(,)u x y ,(,)v x y 都是区域D 内的调和函数,且在D 内满足柯西—黎曼方程, 即 u v x y ∂∂=∂∂,u v y x∂∂=-∂∂, 则称(,)v x y 为(,)u x y 的共轭调和函数.下面研究复变函数的实部、虚部两个二元实函数与调和函数的关系.【定理2.4】若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是在D 内()f z 的虚部函数(,)v x y 是实部函数(,)u x y 的共轭调和函数.证明 （必要性） 因为()(,)(,)f z u x y iv x y =+在D 内解析， (,)u x y 和(,)v x y 都是D 内的调和函数,且满足柯西—黎曼条件所以 在D 内()f z 的虚部函数(,)v x y 是实部函数(,)u x y 的共轭调和函数.（充分性）在D 内()f z 的虚部函数(,)v x y 是实部函数(,)u x y 的共轭调和函数.所以 (,)v x y ，(,)u x y 具有二阶连续偏导数且满足C R -方程 所以(,)v x y ，(,)u x y 具有一阶连续偏导数且满足C R -方程 故 ()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析.注：10.由解析函数的无穷可微性知,若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析,则()f z 的任意阶导数在区域D 内也解析,从而 (,)u x y 和(,)v x y 的任意阶偏导数也都是D 内的调和函数.20.两个二元实函数(,)u x y 和(,)v x y 都是区域D 内的调和函数,不一定能保证复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析. 20的反例：易证(,)u x y x =,(,)v x y y =-都是平面上的调和函数, 但 ()f z x iy z =-=在平面上处处不解析.30.由第二章的解析函数的判别法知,设(,)u x y 和(,)v x y 都是定义在区域D 内的二元实函数,若(,)v x y 为(,)u x y 的共轭调和函数,则()(,)(,)f z u x y iv x y =+在D 内一定解析.提问：1.函数),(),()(y x iv y x u z f +=解析，则下列命题中错误的是（ C ）A 、v u ,均为调和函数B 、v 是u 的共轭调和函数C 、v u 是的共轭调和函数D 、v u 是-的共轭调和函数2.解析函数的实部是其虚部的共轭调和函数. （ × ）3.解析函数的虚部是其实部的共轭调和函数. （ √ ） §2.2.3 解析函数与调和函数的关系根据定理2.4来建立单连通区域内解析函数的一种求法.假设D 是一个单连通区域, (,)u x y 是D 内的一个调和函数,即 (,)u x y 在D 内具有二阶连续的偏导数,并且22220u u x y ∂∂+=∂∂ 从而u y ∂-∂,u x∂∂在D 内具有一阶连续的偏导数, ()()u u y y x x∂∂∂∂-=∂∂∂∂（曲线积分与路径无关的条件）. 再由高数中有关曲线积分与路径无关的条件得, 存在D 内的二元函数(,)v x y ,使得 (,)u u dv x y dx dy y x∂∂=-+∂∂, 于是 00(,)(,)(,)x y x y u u v x y dx dy C y x∂∂=-++∂∂⎰, 其中00(,)x y 是D 内的一个定点, (,)x y 是D 内的一个动点, C 是任意实常数.另外我们还有u v x y ∂∂=∂∂,u v y x∂∂=-∂∂, 即(,)u x y 和(,)v x y 在D 内满足柯西—黎曼条件, 从而易得 2222220v v u u x y y x x y∂∂∂∂+=-+=∂∂∂∂∂∂ 所以 (,)v x y 也是D 内的调和函数,并且(,)v x y 为(,)u x y 的共轭调和函数.故 由定理2.4, 我们构造函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+, ()f z 就是D 内以(,)u x y 为实部的解析函数.【定理】※（1）若(,)u x y 是单连通区域D 内的一个调和函数,则一定存在函数(,)v x y , 使得 ()(,)(,)f z u x y iv x y =+为D 内的解析函数, 并且还有00(,)(,)(,)x y x y u u v x y dx dy C y x∂∂=-++∂∂⎰,其中00(,)x y 是D 内的一个定点, (,)x y 是D 内的一个动点, C 是任意实常数.（2）同理可得 若(,)v x y 是单连通区域D 内的一个调和函数,则一定存在函数(,)u x y ,使得 ()(,)(,)f z u x y iv x y =+为D 内的解析函数, 并且还有00(,)(,)(,)x y x y v v u x y dx dy C y x∂∂=-+∂∂⎰,其中00(,)x y 是D 内的一个定点, (,)x y 是D 内的一个动点, C 是任意实常数.注: 此定理给出了已知解析函数的实部(或虚部),求虚部(或实部),从而求出解析函数的一种方法――曲线积分法.由解析函数的实部或虚部求解析函数的举例例1 证明32(,)3u x y x xy =-是平面上的调和函数, 并求以 (,)u x y 为实部的解析函数()f z ,使得(0)f i =.证明： 因为2233u x y x ∂=-∂,6u xy y ∂=-∂,226u x x ∂=∂,226u x y ∂=-∂, 32(,)3u x y x xy =-为正式函数，所以有二阶连续偏导数，所以 22220u u x y∂∂+=∂∂, 即32(,)3u x y x xy =-是平面上的调和函数.下面，我们用三种方法来求满足题设条件的解析函数.方法1: （曲线积分法）由补充定理知取00(,)(0,0)x y =,（如图3.20）(,)(0,0)(,)x y u u v x y dx dy C y x∂∂=-++∂∂⎰ (,)22(0,0)6(33)x y xydx x y dy C =+-+⎰ 220060(33)x yx dx x y dy C =⋅+-+⎰⎰233x y y C =-+所以 3223()3(3)f z x xy i x y y C =-+-+,再由条件(0)f i =,可得1C =.故 32233()3(31)f z x xy i x y y z i =-+-+=+.方法2（微分方程中的常数变异法或称偏积分法）由C R -条件得 2233v u x y y x∂∂==-∂∂ ------------ (Ⅰ) (6)6v u xy xy x y∂∂=-=--=∂∂ ----------- (Ⅱ) 由(Ⅰ)积分得 22(,)(33)v x y x y dy =-⎰233()x y y x ϕ=-+ ----------- (Ⅲ) 求(Ⅲ)对x 的偏导数代入(Ⅱ)得 6()6xy x xy ϕ'+= , 即 ()0x ϕ'=, 所以 ()x C ϕ=(常数),从而 23(,)3v x y x y y C =-+,所求解析函数为 3223()3(3)f z x xy i x y y C =-+-+. 再由条件(0)f i =,可得1C =.故 32233()3(31)f z x xy i x y y z i =-+-+=+.方法3（不定积分法）：..()C R u v u u f z i i x xx y ∂∂∂∂'=+=-∂∂∂∂, 其中 1()2x z z =+, 1()2y z z i =- 因为 2233u x y x∂=-∂,6u xy y ∂=-∂， 由解析函数的导数公式: ..()C R u v u u f z i i x xx y ∂∂∂∂'=+=-∂∂∂∂ 得 ()u u f z i x y∂∂'=-∂∂ 222233(6)336x y i xy x y i xy =---=-+ 将1()2x z z =+, 1()2y z z i=- 代入上式 整理得 222()3363f z x y i xy z '=-+= ， 所以 3()f z z C =+再由条件(0)f i =,可得C i =. 故 3()f z z i =+.说明：从例1中所给的三种方法中，大家不难体会到，三种方法各有特点：方法1利用了高数中的第二型曲线积分的计算方法；方法2利用了求解微分方程的方法（常数变异法）；方法3是纯粹的复变函数的方法.在实际计算时可以根据具体的问题选择合适的方法计算.例2 设),(,()(y x iv y x u z f +=为iy x z +=的解析函数，且已知y x y x v y x u +=-),(),(,求函数()f z .解：方程y x y x v y x u +=-),(),(两边分别对y x ,求偏导数得：110111C R x y x x x y y y x y u u u v u u v u u u -+=-==⎧⎧⎧⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-==-+=⎪⎪⎪⎩⎩⎩方程， 由0x u =得： )(),(y g y x u = 代入1y u =得：1)(='y g ， C y y g +=)(（C 为任意常数）从而C y y x u +=),(，(,)(,)()v x y u x y x y x C =-+=-+，所求函数为：C i iz C x i C y iv u z f )1()()(++-=+-++=+= 练习：（1）已知调和函数y x u )1(2-=,i f -=)2(,求解析函数iv u z f +=)(.解：用不定积分法求解如下：2x u y =，22y u x =-，()2(22)2(1)x y f z u iu y i x i z '=-=--=--221()2(1)2(1)(1)2f z i z dz i z C i z C =--=-⨯-+=--+⎰ 由i f -=)2(得 2(21)i C i --+=-，0=C ，所以：2()(1)f z i z =--（2） 已知 22()yi f z u x y=++是解析函数，且(2)0f =，求()f z .解：22222()x y x y u v x y -''==+，2222()y x xy u v x y ''=-=+ 对此，用偏积分求u 比较方便：2222()()()y xdy u u dy g x g x x y =+=++⎰⎰22()x g x x y=-++ 将积分结果求对x 的偏导数得 22(,)()x u x y g x x y=-++ 2222212(),()x x u g x x y x y -'=++++()0,()g x g x c '== 所以 2222()x yi f z c x y x y =-++++ 1(2)02f c =-+= 得12c =，11()2f z z=- . 例3 证明(,)arctan y v x y x = (0x >)在右半平面内是调和函数, 并求以此为虚部的解析函数.证明 因为22v y x x y ∂-=∂+,22v x y x y∂=∂+, 则 222222()v xy x x y ∂=∂+, 222222()v xy y x y ∂-=∂+, 从而 22220v v x y ∂∂+=∂∂, 故(,)arctany v x y x = 是右半平面内的调和函数.下面用方法2(微分方程中的常数变异法)来求解析函数的实部(,)u x y .由C R -条件得22u v x x y x y ∂∂==∂∂+ -------------- (Ⅰ)2222u v y y y x x y x y ∂∂-=-=-=∂∂++ -------------- (Ⅱ) 由(Ⅰ)得 221(,)ln()()2u x y x y y ϕ=++ 代入(Ⅱ)得2222()y yy x y x y ϕ'+=++, 即()0y ϕ'=,从而 ()y C ϕ=(常数), 221(,)ln()2u x y x y C =++. 故 所求解析函数为221()ln()arctan 2y f z x y C i x=+++(0x >)ln arg ln z C i z z C =++=+ (Re 0z >). 例4 已知调和函数 (cos sin )xv e y y x y x y =+++，求一个解析函数 ()f z u iv =+使(0)0f =. 解(不定积分法) 因为(cos sin sin )1x ve y y x y y x∂=+++∂，(cos sin cos )1x ve y y y x y y∂=-++∂ 所以 ..()C R u v v v f z i i x x y x∂∂∂∂'=+=+∂∂∂∂(cos sin cos )1xe y y y x y =-+++ [(cos sin sin )1]xi e y y x y y +++1z z ze e i =+++，积分得 ()(1)zf z ze i z C =+++，由(0)0f =得0C =， 故 ()f z 1z zze e i =+++.例5 已知调和函数 22u x y xy =-+， 求一个解析函数()f z u iv =+使()1f i i =-+.解2ux y x∂=+∂，2u y x y ∂=-+∂ ..()2(2)2C R u v u uf z i i x y i y x z iz x x x y∂∂∂∂'⇒=+=-=++-=-∂∂∂∂，积分得 21()(2)2f z i z C =-+，由()1f i i =-+得2iC =， 故 2()122i i f z z ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 练习： 已知 22()(4)2()u v x y x xy y x y +=-++-+，试确定解析函数 ()f z u iv =+.解 ：2222(4)()(24)2(4)()(42)2,x x y y x x y xu v x xy y x y x y u v x xy y x y x y u v u v ⎧+=+++-+-⎪+=+++-+-⎨⎪==-⎩226332x yv xyv x y =⎧⎪⇒⎨=--⎪⎩ 222()332632v vf z i x y i xy z y x∂∂'⇒=+=--+=-∂∂， 积分得 3()2f z z z C ⇒=-+.例6 若()f z u iv =+为解析函数，且满足892003u v +=， 试证：()f z 必为常数.解 对892003u v +=分别求对,x y 的导数得128900890()0x x x y y y xy u v u u u C u v f z C v v v C C R ⎧+===⎧=⎧⎪⎪+=⇒⇒⇒=⎨⎨⎨===⎪⎩⎪⎩-⎩方程（常数）. 例7 求调和函数(,)x y xy φ= 的共轭调和函数. 提示 设解析函数()(,)(,),(,),(,)x y y x f z x y iv x y v x y x v x y y φφφ=+=-===2(,)()2x y v x y dy ydy g x φ===+⎰⎰，2(,)()()2x y x v x y g x x g x c φ'==-=-⇒=-+故 (,)x y xy φ= 的共轭调和函数221(,)()2v x y y x c =-+. 例8 证明：函数2222,y x xv y x u +=-=都是调和函数，但iv u z f +=)(不是解析函数.证明：y u x u y x 2,2-== ,2,2-==yy xx u u()()222222222,y xxyv y xy x v y x +-=+-=()()222322232,2yxy v yxy v yy xx +-=+=0=+∴yy xx u u 0=+yy xx v v 即u 是复平面上的调和函数，v 除原点外在复平面上调和。
【学习课件】第六讲_解析函数与调和函数的关系
在 D内满 C足 R方程 :uxvy,uy vx的两个 调和u 函 ,v,v数 必u 为 的共轭调 . 和函 现在研究反过来的问题：若u,v是任意选取的
区域 D内的两个调,和 则u函 i数 v在D内就不 一定解. 析
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6
如 vxy不是 uxy的共轭调.和
（ f(z)uiv(xy)i(xy)在 z平 面 上 处 处 不 ux解 1vy析 uy1vx)
要想 u使 iv在 D内解 ,u及 析 v还必须 C满 R 足 方程v， 必即 须 u的 是共轭调 .由和 此函 ，数
已知一个解析函数 部u的 (x,实 y),利用CR方 (虚 部 v(x, y))
程可求得它的v(虚 x, y部),从而构成解析函数
uiv.
(实 部 u(x, y))
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7
设D一 单 连 通,u(区 x, y域 )是 区D域 内 的 调 和
11
例1 由下列条件求解f析 (z)函 u数 iv
u x2 xy y2
f (i) 1i
解vu2xy vu2yx
y x
x y
dvvdxvdy(2yx)dx(2xy)dy x y
( x, y)
v(x, y) (2y x)dx(2x y)dyc (0,0)
x
y
o xdx0 (2x y)dyc
x2
u0,
v0
其
中
2 x2
2 y2
uu(x,y)，vv(x,y)是D内的调和函
定义 设u(x,y)为D内的调和 ,称函 使u数 得 iv 在D内构成解析函 函数 数 v(x,的 y)为 调 u(x,和 y) 的共轭调. 和函数
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5
上面定理说明：
解析函数与调和函数的关系
第六讲解析函数与调和函数的关系§3.7 解析函数与调和函数的关系内容简介在§3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。
本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系。
.),()00:),(2222内的调和函数为则称即（方程续偏导数且满足内具有二阶连在若二元实变函数D y x y x Laplace D y x ϕϕϕϕϕ=∆=∂∂+∂∂定义 内的调和函数。
是，内解析在区域若D y x v v y x u u D y x iv y x u z f ),(),(),(),()( ==⇒+=定理证明：设f (z )=u (x ,y )+i v (x ,y )在区域D 内解析，则x v y u y v xu R C ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂- 方程由yx v y u x y v x u ∂∂∂-=∂∂∂∂∂=∂∂222222从而有xy v y x v y x v y x u ∂∂∂=∂∂∂∴⇒22.),(),,(具有任意阶的连续导数理由解析函数高阶导数定,0 D 2222=∂∂+∂∂y u x u 内有故在0 2222=∂∂+∂∂y v x v 同理有0,0=∆=∆v u 2222y x ∂∂+∂∂≡∆其中即u 及v 在D 内满足拉普拉斯(Laplace )方程: 内的调和函数。
是，D y x v v y x u u ),(),(==∴.),(),(D ,),(的共轭调和函数为函数内构成解析函数的调和在称使得内的调和函数为设y x u y x v iv u D y x u +定义上面定理说明：.部的共轭调和函数内解析函数的虚部是实D .),(),(),(),()(,的共轭调和函数必为内在内解析在即y x u u y x v D D y x iv y x u z f =⇒+=由解析的概念得：.,,,:的共轭调和函数必为调和函数的两个方程内满足在u v v u v u v u R C D x y y x -==-.,, 一定解析内就不在则内的两个调和函数区域是任意选取的在若D iv u D v u +现在研究反过来的问题：.的共轭调和函数不是y x u y x v +=+=如 )11)()()(x y y x v u v u z y x i y x iv u z f -≠===+++=+=处处不解析平面上在（ 由此，的共轭调和函数必须是方程，即还必须满足及内解析在要想使.,u v R C v u D iv u -+.),,(),,(iv u y x v R C y x u +-从而构成解析函数程可求得它的虚部方利用部已知一个解析函数的实)),((y x v 虚部)),((y x u 实部0,),(,2222=∂∂+∂∂yu x u D y x u D 则函数内的调和是区域一单连通区域设内有连续一阶偏导数在、即D xu y u ∂∂∂∂-,dy xu dx y u dy y v dx x v x u x y u y ∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂∂∂∂∂=∂∂-∂∂ )()(且),(y x dv v ∃=)(),(),(),(00*+∂∂+∂∂-=⎰c dy x u dx y u y x v y x y x..内解析在方程满足D iv u R C xu y v y u x v +∴-∂∂=∂∂∂∂-=∂∂ .)(),,()(,),(内解析在使得式所确定的则内调和函数在单连通设D iv u z f y x v D y x u +=*定理公式不用强记！可如下推出：dy x v dx y v dy y v dx x v du R C ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=-方程由然后两端积分。
3-7解析函数与调和函数的关系
可微的，故有全微分
v v u u dv ( x, y ) dx dy dx dy x y y x
设 (x0 ,y0)为D内一个定点，(x,y) 为D内任一点， c为任意常数，可得
2 2
定理： 函数 f ( x, y) u ( x, y) i v ( x, y) 在区域 D 内解析，其实部 u( x, y) 和虚部 v ( x, y) 都是 D 内的调和函数.
2. 共轭调和函数定义： 若两实函数 ( x, y) 及 ( x, y ) 均为区域 D 内的调和函数，且满足柯西－黎曼条件，即
的方法即可.
例 已知 u ( x, y ) x 2 y 2 xy,求解析函数 f ( z ) u ( x, y ) i v ( x, y ),并满足 f (0) 0
1.不定积分法
解: 首先验证 u(x,y) 是否为调和函数, 容易得到:
ux 2 x y , u y x 2 y
v v ∴ dv (x, y ) dx dy (2 y x)dx (2 x y)dy x y
( xdx ydy) (2 ydx 2 xdy)
x2 y 2 x2 y 2 d( ) d(2 xy ) d( 2 xy ) 2 2 2 2
uxx 2 , u yy 2 uxx u yy 0
故 u(x,y) 为调和函数, 因此只需找到它的共轭 调和函数 v(x,y) , 即可构建解析函数.由C- R条件得
v y ux 2 x y
1 2 所以：v (2 x y)dy 2 xy y ( x) 2
解析函数与调和函数的关系
第三章
解析函数与调和函数的关系
一、调和函数的定义 二、解析函数与调和函数的关系
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一、调和函数的定义
定义 如果二元实变函数 ( x , y ) 在区域 D内具
有二阶连续偏导数, 并且满足拉普拉斯方程 2 2 2 2 0, x y 那末称 ( x , y ) 为区域 D 内的调和函数.
3 w f ( z ) i ( z c ). 即
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内容小结
1.调和函数的概念
2.解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数
的概念.
1. 任意两个调和函数 u与v所构成的函数 u+iv不一定 是解析函数. 2. v称为u的共轭调和函数, u与v注意的是地位不能 颠倒.
2 u u 因为 6 xy, 6 y , 2 x x 2 u u 2 2 3 y 3x , 6 y, 2 y y
2u 2u 于是 2 0, 故 u( x , y ) 为调和函数. 2 x y
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调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中有很重要的应用.
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二、解析函数与调和函数的关系
1. 两者的关系
任何D 内的解析函数,它的实部和虚部都是 D 内
的调和函数. 2. 共轭调和函数的定义
设解析函数u iv的实部u( x, y ) 是一调和函数, 则虚部v( x, y ) 称为 u( x, y ) 的共轭调和函数.
3-7解析函数与调和函数的关系
u e x x cos y y sin y x g y 代入 u v 得
故
于是
x
g y 1
g y y c
u x, y e x x cos y y sin y x y c
所以 f(z)=u+iv
u v , x y u v , y x
2v 2 u 2v 2v 2 u 2 u , , 2 0. 2 2 x y y x x y y x y 2u 2v 2v 2u 2u 2 u 2v 2v , 2 , , 2 0. 2 2 x y y x yx xy x y x y 定义 设u(x,y)为区域D内给定的调和函数,我们把使u+iv在D 内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数. 因此,区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.
v v i y x
e ze 1 i
z z
因此
f z e z ze z 1 i dz ze z 1 i z c
由于己知f(z)的虚部v(x,y)中不含任意常数，故C为实常数.
3i x 2 2 xiy i 2 y 2 3iz 2
因此
f z i 3 z 2dz iz 3 c1 由于已知f(z)的实部u不含
任何实常数,故c1为纯虚数,令c1=ic,则 f(z)=i(z3+c) .
例2 中,
f z
v e x y cos y x sin y x y
例1 证明u(x,y)=y3-3x2y为调和函数，并求其共轭调和函数v(x,y)
解析函数与调和函数的关系
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共轭调和函数的定义 定义 设u(x,y)为区域D内的调和函数，如果区 域D内的另一函数v(x,y),使u+iv在D内构成解析函数， 则称v(x,y)为u(x,y)的共轭调和函数.
定理 若调和函数u和v满足C-R方程，则v(x,y)为 u(x,y)的共轭调和函数, u+iv在D内构成解析函数.
f (z) ex cos y ie x sin y 1
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例3 已知调和函数 v e x y cos y x sin y x y,
试求一解析函数 f z u iv,使f (0) 0.
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同学们辛苦了
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例1 证明 u( x, y) x3 3xy2 为调和函数，
求其共轭调和函数 v x, y ,使 f (z) u iv 解析.
解 (1) ux 3x2 3 y2 , uxx 6 x,
uy 6xy,
uyy 6x,
uxx uyy 0.
(2) ux 3x2 3 y2 vy ,
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第三章 复变函数的积分
第五节解析函数与调和函数的关系
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调和函数定义：
定义 如果二元实变函数 x, y在区域D内具有
二阶连续偏导数，且满足Lapalace方程，
2 2
x2 y2 0
则称 x, y 为区域D内的调和函数.
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定理 （解析函数与调和函数的关系）
在区域D内的解析函数,其实部和虚部都是调和函数.
f z u iv,使f (0) 0.
解 ux v y e x cos y,
u vydx e x cos ydx ex cos y C( y)
uy e x sin y C( y) vx e x sin y, C( y) 0, C( y) C.
复变函数3-7
其共轭调和函数 数.
v ( x , y ) 和由它们构成的解析函
解 因为
u x u
y
6 xy ,
2
u
2
x
2
2
6 y,
u
2
3 y 3x ,
y
2
6 y,
6
于是
u
2
x
y u x
e ( y cos y x sin y sin y ) 1,
x
e (cos y y sin y x cos y ) 1,
x
由
v y
x
e (cos y y sin y x cos y ) 1 ,
x
得 u
[e
(cos y y sin y x cos y ) 1 ]d x
f ( z ) u iv 为解析函数 , 并求 f ( i ) 1 的 f ( z ).
解 因为
u x
u y
2 x,
2 ky ,
u
2
x
2
2
2,
2k ,
u y
2
根据调和函数的定义可得 k 1 ,
因为 f ( z ) U ( z ) u x iu y 2 x 2 kyi
这个函数可以化为 w f ( z ) i ( z 3 c ).
8
例2 已知 v ( x , y ) e x ( y cos y x sin y ) x y 为调
和函数 , 求一解析函数 f ( z ) u iv , 使 f ( 0 ) 0 .
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将上两式积分, 得
f (z) U(z)dz c, f (z) V (z)dz c,
适用于已知实部u 求 f (z), 适用于已知虚部 v 求 f (z),
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例3 求 k 值, 使 u x2 ky2 为调和函数. 再求v, 使
f (z) u iv 为解析函数, 并求 f (i) 1的 f (z).
求解析函数的方法称为不定积分法. 不定积分法的实施过程: 解析函数 f (z) u iv 的导数 f (z) 仍为解析函数, 且 f (z) ux ivx ux iuy vy ivx 把 ux iuy 与 vy ivx 用 z 来表示, f (z) ux iuy U(z), f (z) vy ivx V (z),
得 u [e x (cos y y sin y x cos y) 1]dx
9
u ex ( x cos y ysin y) x g( y), 由 v u , 得
x y ex ( ycos y xsin y sin y) 1 ex ( xsin y ycos y sin y) g( y), 故 g( y) y c, 于是 u ex ( xcos y ysin y) x y c,
第七节 解析函数与调和函数 的关系
一、调和函数的定义 二、解析函数与调和函数的关系 三、小结与思考
一、调和函数的定义
定义
如果二元实变函数 ( x, y) 在区域 D内具
有二阶连续偏导数, 并且满足拉普拉斯方程
2
x 2
2
y2
0,
那末称 ( x, y) 为区域 D内的调和函数.
拉普拉斯
调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中有很重要的应用.
(c 为任意常数)
8
例2 已知 v( x, y) e x ( y cos y x sin y) x y 为调 和函数, 求一解析函数 f (z) u iv, 使 f (0) 0. 解 v e x ( y cos y x sin y sin y) 1,
x v e x (cos y y sin y x cos y) 1, y 由 u v ex (cos y ysin y xcos y) 1, x y
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f (z) u iv xexeiy iyexeiy x(1 i) iy(1 i) c zez (1 i)z c, 由 f (0) 0, 得 c 0, 所求解析函数为 f (z) zez (1 i)z.
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4. 不定积分法 已知调和函数u( x, y) 或 v( x, y), 用不定积分
x y
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3 y2 g( x) 3 y2 3x2, (c 为任意常数)
故 g( x) 3x2dx x3 c, v( x, y) x3 3xy2 c,
得一个解析函数 w y3 3x2 y i( x3 3xy2 c). 这个函数可以化为 w f (z) i(z3 c). 课堂练习 证明 u( x, y) x3 6x2 y 3xy2 2 y3 为 调和函数, 并求其共轭调和函数. 答案 v( x, y) 3x2 y 6xy2 y3 2x3 c.
x y y x 两个调和函数中, v 称为 u 的共轭调和函数.
区域D内的解析函数的虚部为偏积分法
如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用 柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而 构成一个解析函数u+vi. 这种方法称为偏积分法.
例1 证明 u( x, y) y3 3x2 y 为调和函数, 并求
解 因为 u 2x, x
2u x 2
2,
u 2ky, y
2u y2
2k
,
根据调和函数的定义可得 k 1,
因为 f (z) U(z) ux iuy 2x 2kyi
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2x 2kyi 2x 2 yi 2z,
根据不定积分法 f (z) 2zdz z2 c,
由 f (i) 1, 得 c 0, 所求解析函数为
2
二、解析函数与调和函数的关系
1. 两者的关系
定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部 和虚部都是 D 内的调和函数.
证 设 w f (z) u iv 为 D内的一个解析函数,
那末 u v , u v . x y y x
从而
2u x 2
2v yx
,
2u y2
2v xy
.
3
根据解析函数高阶导数定理, u 与 v 具有任意阶的连续偏导数,
f (z) x2 y2 2xyi z2.
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例4 用不定积分法求解例1中的解析函数 f (z) 实部 u( x, y) y3 3x2 y. 解 f (z) U(z) ux iuy
3i( x2 2xyi y2 ) 3iz2 ,
f (z) 3iz2dz iz3 c1,
其共轭调和函数v( x, y) 和由它们构成的解析函
数.
解
因为 u 6xy, x
2u x 2
6
y,
u 3 y2 3x2 , y
2u y2
6
y,
6
于是
2u x 2
2u y2
0,
故 u( x, y) 为调和函数.
因为 v u 6xy, y x
v 6 xydy 3xy2 g( x),
v 3 y2 g( x), x 又因为 v u 3 y2 3x2,
2v 2v , yx xy
从而
2u x 2
2u y2
0,
同理
2v x 2
2v y2
0,
因此 u 与 v 都是调和函数.
[证毕]
4
2. 共轭调和函数的定义 设 u( x, y) 为区域 D内给定的调和函数, 我
们把使 u iv 在 D内构成解析函数的调和函数 v( x, y) 称为u( x, y)的共轭调和函数. 换句话说, 在 D内满足方程 u v , u v 的
(因为 f (z)的实部为已知函数, 不可能包含 实的任意常数, 所以常数 c1 为任意纯虚数)
故 f (z) i(z3 c). (c 为任意实常数)
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例5 用不定积分法求解例2中的解析函数 f (z) 虚部 v( x, y) ex ( ycos y xsin y) x y. 解 f (z) V (z) vy ivx