喀兴林高等量子力学习题EX1矢量空间

EX1.矢量空间

练习 1.1 试只用条件（1）~（8）证明2ψψψ+=，0ψ=O 和1ψψ-=-（）。 （完成人：梁立欢 审核人：高思泽）

证明：由条件（5）、（7）得

只需证明O =0ψ和ψψ-=-)1(这两式互相等价

根据条件（7）

现在等式两边加上)0(ψ-，得

根据条件（4），

上式左O =-+=)0(0ψψ

根据条件（4）、（2）

上式右00)00(0ψψψψψ=O +=-+=

由O =0ψ，根据条件（4）、（7）得

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练习 1.2 证明在内积空间中若()()ϕψϕψ,,21=对任意ϕ成立，则必有21ψψ=。 （完成人：谷巍 审核人：肖钰斐）

证明 由题意可知，在内积空间中若()()ϕψϕψ,,21=对任意ϕ成立，则有 (1ψ,)ϕ－(2ψ,)ϕ=0 (1) 于是有

()0,21=-ϕψψ (2) 由于在内积空间中()()ϕψϕψ,,21=对任意ϕ成立，则可取21ψψϕ-=,则有 ()2121,ψψψψ--=0 成立 （3） 根据数乘的条件（12）可知，则必有

21=-ψψ

（4）

即21ψψ=

故命题成立，即必有21ψψ=.

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练习1.3 矢量空间运算的12个条件是不是独立的？有没有一条或两条是其余各条的逻辑推论？如有，试证明之。

（完成人：赵中亮 审核人：张伟）

解：矢量空间运算的12个条件是独立的。

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练习 1.4 （1）在第二个例子中若将加法的规定改为：和矢量的长度为二矢量长度之和，方向为二矢量所夹角()︒〈180的分角线方向，空间是否仍为内积空间？

（2）在第二个例子中若将二矢量和内积的定义改为θ⋅或

θ，空间是否仍为内积空间？ （3）在第三个例子的空间中，若将内积的定义改为

空间是否仍为内积空间？

（4）在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为

空间是否仍为内积空间？

（完成人：张伟 审核人：赵中亮）

解：（1）在第二个例子中若将加法的规定改变之后，空间不是内积空间。 因为将规定改之后对于任意的矢量不一定存在逆元，如一个不为零的矢量设为A ，则任意矢量和它相加后，得到的矢量的长度不为零，所以一定不能得到零矢量，即找不到逆元。所以空间不是内积空间。

（2）在第二个例子中若将内积的定义改之后，空间不是一个内积空间。证明如下：

+≠+,即有

()

,=+C B A θ+θθ⋅+≠=()()C A B A ,,+

所以内积的定义改变之后不是内积空间。

（3）在第三个例子中若将内积的定义改之后，空间仍然是一个内积空间。证明如下：

i

()()m l m l m l m l m l l m l m l m l m l m ,432)432(,4*43*32*21*1*4*43*32*21*1*=+++=+++= ii ．

iii ．

iv.()0||4||3||2||,24232221≥+++=l l l l l l ，对任意l 成立

若()0,0,0,4321======l l l l l l l 即则必有

综上所述，新定义的内积规则符合条件（9）—条件（12），所以仍为内积空间

（4）在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为

()⎰=b a xdx x g x f x g x f )()()(),(*后，空间不是内积空间。

因为()⎰⎰==b a b a xdx x f xdx x f x f x f x f 2

*)()()()(),(，积分号内的函数是一个奇函数，它不能保证对于任意的()x f 积分出来后都大于零，即不符合条件(12)，所以不是内积空间。

在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为

()⎰=b a

dx x x g x f x g x f 2*)()()(),(后，空间是内积空间。

证明如下: i ()()**

2*2*)(),()()()()()(),(x f x g dx x x f x g dx x x g x f x g x f b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰

ii ()()()()()x h x f x g x f dx x x h x f dx x x g x f x h x g x f b a

b a ),()(),()()()()()(),(2*2*+=+=+⎰⎰ iii ()())(),()()()()()(),(2*2*x g x f a dx x x g x f a dx ax x g x f a x g x f b

a b a ===⎰⎰

iv ()成立对任意ψ,0)()(),(22

≥=⎰b

a dx x x f x f x f 若()0)()(),(22

==⎰b

a dx x x f x f x f ，则必有()0=x f 综上所述，新定义的内积规则符合条件（9）—条件（12），所以仍为内积空间。

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练习 1.5若a 为复数，证明若a ψϕ=时，Schwartz 不等式中的等号成立。

（完成人：肖钰斐 审核人：谷巍）

证明：当若a ψϕ=时，分别带入Schwartz 不等式的左边和右边。

左边=()2

,ψψψa a = 右边=2

ψψψa a =⋅

左边=右边，说明当a ψϕ=时，Schwartz 不等式中的等号成立。

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练习1.6 证明当且仅当 ||||a a ϕψϕψ-=+ 对一切数a 成立时，ψ与ϕ正交。并在三维位形空间讨论这一命题的几何意义。

（完成人：赵中亮 审核人：张伟）

证明：解：当||||a a ϕψϕψ-=+对一切数a 成立时，有

即 ),(),(a a a a ϕψϕψϕψϕψ--=++

得 ),(),(),(),(),(),(),(),(a a a a a a a a ϕϕψϕϕψψψϕϕψϕϕψψψ+--=+++ 即 ),(),(ψϕϕψa a -=

因为a 可以取一切数,所以当a 取纯虚数时，即*-=a a

得 *=),(),(ϕψϕψ

由此得),(ϕψ只能是实数

当a 取非零实数时，即*=a a

只有0),(=ϕψ时，即ψ与ϕ正交时才成立

所以 当 ||||a a ϕψϕψ-=+ 对一切数a 成立时，ψ与ϕ正交。

当ψ与ϕ正交时，0),(=ϕψ

则 0),(),(==*ϕψϕψ

取a 为任意数

则 0),(),(=-=**ϕψϕψa a

得 ||||a a ϕψϕψ-=+

即 ||||a a ϕψϕψ-=+ 对一切数a 成立

综上，当且仅当 ||||a a ϕψϕψ-=+ 对一切数a 成立时，ψ与ϕ正交。

在三维位形空间中，这一命题的几何意义是：对角线相等的平行四边形是

矩形。

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练习1.7 证明：当且仅当ψϕαψ≥-对一切数α成立时，ψ与ϕ正交。 （完成人：班卫华 审核人：何贤文） 证明：因为ψϕαψ≥-，两边平方得

则构成以α为变量的二次函数，要使对一切α成立，判别式恒小于等于零，