概率论与数理统计：c1_4 事件的独立性

事件的独立性在实际生活中有着广泛的用途。
例
“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”
如
“有志者事竟成”
系统的可靠性设计
2021/3/5
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事件的独立性
试求A1，A2，…，An至少有一个发生的概率. 其中0 < P(Ai)=pi < 1，
若（1）A1，A2，…，An 互不相容， （2）A1，A2，…，An 相互独立.
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事件的独立性
例1 设同时掷两个均匀的四面体一次，每一个四面体 的四面分别标有号码1，2，3，4。
令A={甲四面体向下的一面是偶数}， B={乙四面体向下的一面是奇数}， C={两个四面体向下的一面同为奇数或偶数}。
由古典概率定义有
P( A ) = P( B ) = P( C ) = 8/16 = 1/2
= 1 - P( A1 ) P( A2 ) … P( A10 ) = 1 - ( 1 - 0.2 )10 ≈0.8926 p20 = P( A1 ∪A2 ∪… ∪ A20 )
= 1 - P( A1 ) P( A2 ) … P( A20 ) = 1 - ( 1 - 0.2 )20 ≈0.9885
另一方面 P( A|BC ) = 0≠1/2=P( A)
这说明事件A发生的可能性大小会受到B与C的“联 合”影响。
若（*）式成立，并且P( A|BC ) = P( A)，有
P( ABC ) = P( A|BC ) P( BC ) = P( A ) P( B ) P( C ) 我们称A、B、C 相互独立。
= 1-[P( A) + P(B) - P( AB)] = 1- P( A) - P(B) + P( A)P(B)
= [1- P( A)][1- P(B)]
= P( A)P(B)
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事件的独立性
思考 设A, B是两个随机事件 ,且0 < P( A), P(B) < 1,
P(B | A) = P(B | A), 请问 A, B是否相互独立 ?
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事件的独立性
例2 三个臭枪手向一个神枪手比武.他们都独立地向同
一目标射击,三个臭枪手的命中率分别为0.5,0.55,0.60，
神枪手的命中率为0.90.问哪一方胜出的可能性大? 解：令Ai={第 i 个臭枪手命中目标}，i=1,2,3。则有
A1、A2、A3相互独立。 于是由加法定理可得
p = P(A1∪A2∪A3 )
= P(A1) + P(A2 ) + P(A3 ) - P(A1A2) - P(A1A3 )
=
- P(A2A3 ) 0.5 + 0.55
+ +
P(A1A2A3 0.60 – 0.5
) ×0.55
–
0.5
×
0.60
- 0.60 ×0.55 + 0.5 ×0.55 ×0.60
若对一切1 ≤ i1 < i2 ≤ n，有
P(Ai1 Ai2）= P(Ai1 )P(Ai2)
成立，则称事件组A1，A2，…，An 两两独立 .
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事件的独立性
注：1）（*）共包含2n-n-1 个等式。 2）事件组A1，A2，…，An相互独立
事件组A1，A2，…，An两两独立
定理：若事件组A1，A2，…，An相互独立，则将A1， A2，…，An中的任意多个事件换成它们的对立事件后， 所得到的个事件仍然相互独立.
（**）
注：当P ( B )>0时 公式（*）与（**）是等价的.
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事件的独立性
定理：若事件A和B相互独立，则下列三对事件 A，B；A，B；A，B
也相互独立.
证明：仅对第三种情形证明。
因为 P (AB) = P ( A ) P ( B )
故 P(AB) = P(AU B) =1- P(AU B)
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事件的独立性
二、n 个事件的独立性 在多个事件中，是否存在类似的独立性呢？
例如
掷四面体试验
定义：设A1，A2，…，An为试验E的事件，若对任 意的s（1 < s ≤ n）及1 ≤ i1 < i2 < … < is ≤ n，有
P(Ai1 Ai2…Ais）= P(Ai1 )P(Ai2) … P(Ais）（*） 成立，则称事件组A1，A2，…，An 相互独立 .
因为
P(B
|
A)
=
P(B
|
A) =>
P( AB) P( A)
=
P(BA) P( A)
=> P(AB)P(A) = P(BA)P(A) => P(AB)[1- P(A)] = [P(B) - P(AB)]P(A) => P(AB) = P(A)P(B)
结论：A和B相互独立。
此结论也可用来判断两个事件的独立性
=0.91
三个臭枪手胜出的可能性大.
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事件的独立性
例3 某人做一次试验获得成功的概率仅为0.2，他持之 以恒，不断重复试验，求他做10次试验至少成功一次 的概率？做20次又怎样呢？
解：设他做k次试验至少成功一次的概率为pk， Ak={第k次试验成功}，k=1，2，…
则 p10 = P( A1 ∪A2 ∪… ∪ A10 )
（1）当A1，A2，…，An 互不相容时,由概率的有限 可加性可得 P = P(A1)+ P(A2)+ …+ P(An)
= p1+p2+ …+pn （2）若A1，A2，…，An相互独立，由加法定理可得
P = P{ A1∪A2∪…∪An } = 1 - P{ A1 A2 … An }
= 1 - P{ A1 } P{ A2 } … P{ An } = 1 – ( 1 - p)n
P( AB ) = P( AC ) =wk.baidu.comP( BC ) = 1/4
P( ABC ) = P( f ) = 0
从而有P( AB ) = P( A ) P( B )
P( AC ) = P( A ) P( C )
(*)
P( BC ) = P( B ) P( C )
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事件的独立性
即A、B、C中任意两个都是相互独立的。我们称A、 B、C 两两独立。
事件的独立性
§4 事件的独立性
一、两个事件的独立性 在一般情况下, P (A|B) ≠ P ( A ). 但若
P (A|B) = P ( A )
（*）
成立.即事件A发生的可能性大小不受事件B的影响,我们
称A与B 相互独立.
定义：设A，B是试验E的两个事件，若满足
P (AB) = P ( A ) P ( B ) 称事件A与B 相互独立.