最小的余数是1还是0
人教版二年级数学下册：期末1-8单元知识要点汇总
第一单元：数据收集与整理1用调查法收集数据：（1）确定调查对象（2）确定调查内容（3）确定调查方式（4）呈现调查数据（5）分析调查数据，解决问题在收集数据时，可以用分班、分组、举手或在表格打“√”，来进行调查。
调查时，要清楚，不重复、填准确、不遗漏。
2学会用“正”字记录数据。
采用“正”字方法更简便易数。
一个“正”字代表数量5。
3把统计出来的数据填在一定的表格内，这种表格叫统计表。
用统(2) 从上表中可以看出：这个月中( )的天数最多，( )的天数最少。
(3) 这个月中阴天有( )天。
(4) 这个月中晴天比雨天多( )天。
(5) 这个月中阴天比雨天多( )天。
(6) 你还能提出什么问题?第二单元：表内除法（一）1平均分的含义：每份分得同样的多，叫做平均分。
除法就是用来解决平均分问题的。
2平均分里有两种情况：（1）把一些东西平均分成几份，求每份是多少。
公式为：总数÷份数=每份数例：24本练习本，平均分给6人，每人分多少本？列式： 24÷6=4（本）答：每人分4本。
（2）包含除（求一个数里面有几个几）把一个数量按每份是多少分成一份，求能平均分成几份；用除法计算，总数÷每份数=份数例：24本练习本，每人4本，能分给多少人？列式：24÷4=6（本）答：能分给6个人。
3除法算式的读法：从左到右的顺序读，“÷”读作以，“=”读作等于，其他数字不变。
4除法算式各部分名称：被除数÷除数=商。
例：42÷7=6 42是（被除数），7是（），6是（）；这个算式读作（）。
5一句口诀可以写四个算式。
（乘数相同的除外）。
例：用“三八二十四”这句口诀解决的算式是（）A、24÷6=B、4×6=C、24÷3=D、24÷4=6用乘法口诀求商，想：除数×商=被除数。
第三单元：图形的运动1轴对称图形：沿一条直线对折，两边完全重合。
从最小的余数是几说起
从最小的余数是几说起最小的余数是指在除法运算中，除数与被除数相除后得到的余数中最小的值。
在数学中，余数是指两个整数相除后，得到的除法的余数。
我们需要了解什么是除法。
在数学中，除法是一种基本的运算方式，用于计算两个数相除后的商和余数。
被除数除以除数得到商，如果有余数，则余数是被除数除以除数的剩余部分。
当5除以3时，商为1，余数为2。
这里的2就是被除数除以除数得到的余数。
最小的余数是0。
当被除数能够被除数整除时，余数为0。
这是因为被除数能被除数整除，所以不会有剩余部分，余数自然就为0。
接下来，我们可以探讨一下最小的余数在数学中的作用。
最小的余数在数学中有着重要的意义。
它代表了除法运算中的特殊情况，即被除数能够被除数整除。
这种情况在数学运算中很常见，也是基本的除法性质之一。
最小的余数也能够帮助我们更好地理解数学运算的含义。
通过了解最小的余数，我们可以深入理解除法运算中的商和余数的关系，以及被除数和除数之间的整除性质。
最小的余数还可以帮助我们验证数学运算中的结果。
在进行除法运算时，如果得到的余数是最小的余数，那么就可以说明除法运算的结果是正确的，这也是一种对除法运算结果的有效验证方式。
最小的余数还能够引出一些有趣的数学问题。
在数学竞赛中，常常会有关于最小余数的问题，通过这些问题可以锻炼学生的逻辑思维和数学推理能力。
最小的余数在数学中具有重要的地位和作用，它不仅是除法运算的特殊情况，还能帮助我们更好地理解和应用数学知识。
我们还可以通过实际生活中的例子来理解最小的余数。
我们可以通过购物时的找零问题来了解最小的余数。
当我们用100元去购买一件价格为35元的物品时，商为2，余数为30。
这里的30就是最小的余数，代表了购物后找零的情况。
又如，我们可以通过家庭日常生活中的分饼干问题来理解最小的余数。
当父母给孩子分饼干时，如果4块饼干被3个孩子平均分，商为1，余数为1。
这里的1就是最小的余数，代表了孩子们分饼干时剩下的部分。
从最小的余数是几说起
从最小的余数是几说起余数是数学中重要的概念之一。
在进行除法运算时，余数指的是被除数不足除数时剩余的数值。
例如，70除以7，商为10，余数为0，因为7乘以10等于70。
而71除以7，商为10，余数为1，因为70乘以7等于69，剩余1。
余数有很多的应用，可以用来解决许多实际问题。
下面我们将从最小的余数是几开始，探讨余数的各种用途。
最小的余数是指在某个除数范围内，能够得到除数余数的最小被除数。
例如，当除数为7时，最小的余数是1，因为除以7时，最小的结果是商为0余1。
最小的余数是个十分有用的概念，可以用它来解决很多问题。
例如，在解决同余方程时，通常需要找到最小的余数是几。
2. 同余方程同余方程是指在同余式中，未知数与模数之间的关系式。
例如，对于方程7x≡1 mod 11，其中11是模数，x是未知数，我们需要找到一个x，使得7x除以11余1。
同余方程有很多的应用，例如在密码学中，需要对信息进行加密和解密，在进行加密和解密时通常都需要用到同余方程。
3. 素数素数是指只能被1和本身整除的自然数，例如2、3、5、7、11等。
素数在数学中占有十分重要的地位，它们的性质被广泛地运用于密码学、人工智能等领域。
在素数的研究中，余数的概念十分重要。
例如，一个素数除以2时的余数只有可能是0或1。
当一个素数除以3时的余数只有可能是0、1或2。
4. 模运算模运算是指在给定的模数下进行的运算。
对于两个整数a和b，它们在模数n下的和、差和积分别为：a+b≡(a mod n)+(b mod n) (mod n)模运算在密码学中应用广泛，因为模运算可以模仿加法、减法和乘法，但在模数下运算结果却具备不可逆的特性。
5. 模反元素模反元素是指在给定的模数下，某个整数的倒数。
例如，在模数7下，2的模反元素为4，因为2×4≡1 mod 7。
模反元素在密码学中应用广泛，因为它们用于加密和解密信息。
例如，在RSA算法中，数据加密时需要一个公钥和一个私钥。
二年级下册数学1-8单元知识要点梳理汇总(新人教版),数学老师整理
（新人教版）二年级数学（下册）各单元知识要点★数学考试应注意：1、用手指着认真读题至少两遍；2、遇到不会的题不要停留太长时间，可在题目的前面做记号。
（如：“？”）3、画图、连线时必须用尺子；4、检查时，要注意是否有漏写、少写的情况；第一单元数据整理与收集1.学会用“正”字记录数据。
2.会数“正”，知道一个“正”字代表数量5。
3.根据统计表，会解决问题。
例：气象小组把6月份的天气作了如下记录：(1) 把晴天、雨天、阴天的天数分别填在下面的统计表中。
天气名称晴天雨天阴天天数(2) 从上表中可以看出：这个月中( )的天数最多，( )的天数最少。
(3) 这个月中阴天有( )天。
(4) 这个月中晴天比雨天多( )天。
(5) 这个月中阴天比雨天多( )天。
(6) 你还能提出什么问题?1.平均分的含义：每份分得同样的多，叫做平均分。
除法就是用来解决平均分问题的。
2.平均分里有两种情况：（1）把一些东西平均分成几份，求每份是多少；用除法计算，总数÷份数=每份数例：24本练习本，平均分给6人，每人分多少本？列式：（2）包含除（求一个数里面有几个几）把一个数量按每份是多少分成一份，求能平均分成几份；用除法计算，总数÷每份数=份数例：24本练习本，每人4本，能分给多少人？列式：3、除法算式的读法：从左到右的顺序读，“÷”读作以，“=”读作等于，其他数字不变。
4、除法算式各部分名称：被除数÷除数=商。
例：42÷7=6 42是（被除数），7是（），6是（）；这个算式读作（）。
5.一句口诀可以写四个算式。
（乘数相同的除外）。
例：用“三八二十四”这句口诀解决的算式是（）A、24÷6=B、4×6=C、24÷3=D、24÷4=6、用乘法口诀求商，想：除数×商=被除数。
1、轴对称图形：沿一条直线对折，两边完全重合。
对折后能够完全重合的图形是轴对称图形，折痕所在的直线叫对称轴。
除数是一位数的除法
三年级数学知识：除数是一位数的除法1、有关除法的3条公式：（没有余数）被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数2、有关除法的3条公式：（有余数）被除数÷除数=商------余数（被除数一余数）÷商=余数商×除数+余数=被除数。
3、关于余数（1）、余数与除数的关系很大，余数不能大于除数。
余数不能是0, 0不是余数。
整除就没有余数。
（2）、在一位数除法中，最大的余数是8，最小的余数是1。
4、关于商有几多位的问题一定要看被除数有几多位，被除数是两位数的时候，商就有可能是1位或者2位数。
被除数是三位数的时候，商就有可能是2位或者3位数。
决定商到底有几多位数的时候，一定要看被除数的最高位与除数的大小关系，就可以算出来了。
4、被除数是两个数的时候，当被除数的最高位（十位数）大于或等于除数时，商就是2位数。
当被除数的最高位（十位数）小于除数时，商就是1位数。
如：51÷3商就是2位数。
13÷3商就是1位数。
5、被除数是三位数的时候，当被除数的最高位（百位数）大于或等于除数时，商就是3位数。
当被除数的最高位（百位数）小于除数时，商就是2位数。
如：456÷4商就是有3位数。
324÷6商就是有2位数。
6、最大余数和最小余数的算法在一位数除法当中，最大的除数是9，最大的余数是8，最小的余数是1。
在每一道除法中，最小的余数是1是没有改变的。
最大的余数就具体看除数了。
要看规则：余数不能大于除数就可以了。
例如:除数是5的时候，最大的余数就是4、最小就是1，其中4、3、2、1 都是可能是余数。
按照这样的方法类推，其中除数是9的时候，余数是最多的，最大余数是8，最小是1，其中8、7、6、5、4、3、2、1都是可能是余数。
7、特殊情况，除数是整数和整百的时候，（超出了一位数）可以与被除数后面相互去掉一个零或两个零就可以了。
例如：100÷10=10 20000÷100=200 相互在后面去掉相应的零就可以了。
有余数的的除法中,最小的余数是0还是1？
最小的余数是O 在国庆节前夕的一次教研活动中，一位新老师问我：有余
数的的除法中，最小的余数是O 还是1?我当时的回答当然是余数是1,因为如果是O 的话也就是没有余数，那是在整除的范围，不叫有余数的除法。
昨天睡觉前，我突然想起这个问题，感觉这位新老师很用心好学，我对这个问题的回答是不是有点仓促草率。
等于小学老师来讲，百分之九十以上的老师会回答余数是1,但可能百分之九十以上的中学老师和大学生会回答是o,。
为什么会有这么大的区别呢？关键是小学的整除概念：如果a÷b=c[a,b,c 都是非0的整数】，没有余数，我们就说a 能被b 整除。
没有余数也就是余数为3属于整除范围，余数不是0的那才叫做有余数的的除法。
从这一点来说，最小的余数是K 而中学老师和大学生的思路比较活跃，在知识和经验有了一定的积累后，对教材的把握和理解不会那么刻板，他们可能会认为整除的余数实际上就是0,只是在一定范围内让学生区分理解有余数的的除法的意义。
我咨询请教了几位教研员，也网上查阅了一下有关内容，大家的意见都不同,认为都有道理，最好在有余数的的除法中能够注明统一一下会更好帮助广大教师对这一内容的把握。
教学思考: 有余数的的除法中,还是1?。
人教版四年级数学下册第1、2单元过关检测卷附答案 (2)
人教版四年级数学下册第1单元跟踪检测卷一、填一填。
(第8题3分，其余每空1分，共20分)1.()法是加法的逆运算，()法是乘法的逆运算。
2.小括号“()”是公元17世纪由()人吉拉特首先使用的。
3.在申办2022年冬奥会举办权的投票中，北京获得44票，阿拉木图比北京少获得4票，阿拉木图获得()票。
4.□÷12＝25……□，余数最小是()，这时被除数是()；余数最大是()，这时被除数是()。
5.在除法里()不能作除数；被减数等于减数，差是()。
6.根据□＋＝，△×＝○，○－＝※列出的综合算式是()。
7.计算68＋32×(21－5)时，先算()法，再算()法，最后算()法。
8.按照要求的运算顺序添括号。
第一步先算减法：368－20×15＋35最后一步算乘法：368－20×15＋35先算加法最后算乘法：159×132÷4＋629.乐乐看一本书，这本书一共有300页，乐乐每天看24页，已经看了9天，还剩下()页没有看。
10.小明在计算(28＋25)×3时，错算成了28＋25×3，这样与正确结果相差()。
11．如右图，有四张扑克牌，牌上的数经过怎样的运算才能得到24，算式是()。
二、辨一辨。
(对的在括号里打“√”，错的打“×”。
每题1分，共5分)1.在四则运算中，要按照从左往右的顺序依次计算。
()2.125×8÷125×8＝1。
()3.198－75＋25与198－(75＋25)的得数相等。
()4.一辆汽车5小时行驶300 km，那么9小时可以行驶540 km。
()5.被减数、减数、差的和是400，那么被减数一定是200。
()三、选一选。
(将正确答案的序号填在括号里。
每题1分，共5分)1.□×(54÷6)＝72，□里应该填的数是()。
A.6 B．8 C．102.下列算式中，去掉括号后不改变结果的是()。
最小的余数是1还是0
最小的余数是1还是0？最小的余数是1还是0?这个问题你选择哪个答案？当除数是6，余数可以是几?你是填0——5，还是1——5?这都涉及余数可不可以是0的问题。
教材中余数是0被认为是没有余数,1被认为是最小的余数。
但实验教材有不同的理解。
下面的文章我觉得在所有的参考资料中说得是比较清楚明白的，推荐给同仁们参考。
【转】浅谈在整数除法中余数可以为零一、困扰教师的问题不少小学数学教师问过我这样一个问题：“在整数除法中，余数可不可以为0?”这个问题早有定论,于是我不假思索地肯定作答:“余数当然可以为0。
”不料对于这一答案,他们并不同意,其理由如下: 第一，人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》，从一年级上册到六年级下册,里面均无“余数可以为0”的表述.第二,《现代汉语词典》（修订本)（商务印书馆，1996 年)第1553页对“余数"一词的解释为：“整数除法中,被除数未被除数整除所剩的大于0而小于除数的部分.如27÷6=4…3。
即不完全商是4，余数是3."这就表明余数不能为0。
在数学课本中找不到“余数可以为0”的论述，而在词典中却找到了“余数不能为0”的证据,难怪让他们对我的答案持怀疑态度。
面对这样一个困扰小学数学界同仁的问题,该怎样来正本清源呢?我仔细地查阅了人教版全套小学数学课本，确实没找到“余数可以为0”的表述,只在三年级下册第26页练习六第3题的指令性语言中,发现了三处“余数为0”的表述。
我知道，这样的表述既不是出现在正文中,又没有说明道理，不足以成为论据。
课本中没有,看来只有通过合理思辨和相关考证来达到为小学同仁解惑之目的了.二、解惑所需的思辨1、要用对立统一的观点看待0众所周知,当盘子中连一个桃子都没有时，我们就说这盘中桃子的个数为0.从这个意义上讲，0是空集的基数,0表示“没有"。
然而,0又是一个确定的数，它是自然数列的起始数,它既不是正数，也不是负数,它是唯一的中性数。
小学生三年级数学第一、二单元知识点归纳
第一、二单元知识点归纳第一单元位置与方向1、（东与西）相对, （南与北）相对,（东南与西北）相对, （西南与东北）相对。
2、地图通常是按（上北、下南、左西、右东）来绘制的。
通常所说的八个方向：东、西、南、北、东南、西北、西南、东北。
3、会看简单的路线图, 会描述行走路线。
（做题时先标出东南西北。
）一定写清楚从哪儿向哪个方向走, 走了多少米, 到哪儿再向哪个方向走就到了哪里。
（在转弯处要注意方向的变化）判断一个地方在什么方向, 先要找到一个为中心点(观测点) 处画“米”字符号 ,再进行判断。
4、指南针是用来指示方向的,它的一端黑色指针永远指向（南方） , 另一端红色指针永远指向（北方）。
5、生活中的方位知识：①北斗星永远在北方。
②影子与太阳的方向相对。
③早上太阳在东方 , 中午在南方 , 傍晚在西方。
④风向与物体倾斜的方向相反。
我国地处北半球, 树叶茂盛的一面是南方, 树叶稀疏的一面是北方。
第二单元除数是一位数的除法1、只要是平均分就用 ( 除法) 计算。
2、除数是一位数的竖式除法法则：（1）从被除数的高位除起,每次用除数先试被除数的前一位数, 如果它比除数小 ,再试除前两位数。
（2）除到被除数的哪一位 , 就把商写在那一位上。
（3）每求出一位商 , 余下的数必须比除数小。
顺口溜：除数是一位 ,先看前一位 ,一位不够看两位 , 除到哪位商那位 ,每次除后要比较, 余数要比除数小。
3、被除数末尾有几个0, 商的末尾不一定就有几个0。
（如：30÷5 = 6 ）4、笔算除法：（1）余数一定要比除数小。
在有余数的除法中：最小的余数是1；最大的余数是除数减去1；最小的除数是余数加 1；最大的被除数=商×除数+最大的余数最小的被除数 =商×除数 +1；（2）除法验算：→ 用乘法没有余数的除法：被除数＝除数×商商=被除数÷除数除数＝被除数÷商有余数的除法：被除数=除数×商＋余数除数=（被除数－余数）÷商商=（被除数-余数）÷除数余数=被除数-除数×商0除以任何不是 0的数（ 0不能为除数）都等于 0；0乘以任何数都得 0；0加任何数都得任何数本身 , 任何数减 0都得任何数本身。
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最小的余数是1还是0？[ 2011-3-22 11:30:00 | By: 阳光雨露 ]2推荐最小的余数是1还是0？最小的余数是1还是0？这个问题你选择哪个答案？当除数是6，余数可以是几？你是填0-5，还是1-5？这都涉及余数可不可以是0的问题。
九义教材中余数是0被认为是没有余数，1被认为是最小的余数。
但实验教材有不同的理解。
下面的文章我觉得在所有的参考资料中说得是比较清楚明白的，推荐给同仁们参考。
【转】浅谈在整数除法中余数可以为零一、困扰教师的问题 不少小学数学教师问过我这样一个问题:“在整数除法中,余数可不可以为0?”这个问题早有定论,于是我不假思索地肯定作答:“余数当然可以为0。
”不料对于这一答案,他们并不同意,其理由如下: 第一,人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》,从一年级上册到六年级下册,里面均无“余数可以为0”的表述。
第二,《现代汉语词典》(修订本)(商务印书馆, 1996 年 )第1553页对“余数”一词的解释为:“整数除法中,被除数未被除数整除所剩的大于0而小于除数的部分。
如27÷6=4…3。
即不完全商是4,余数是3。
”这就表明余数不能为0。
在数学课本中找不到“余数可以为0” 的论述,而在词典中却找到了“余数不能为0”的证据,难怪让他们对我的答案持怀疑态度。
面对这样一个困扰小学数学界同仁的问题,该怎样来正本清源呢? 我仔细地查阅了人教版全套小学数学课本,确实没找到“余数可以为0”的表述,只在三年级下册第26页练习六第3题的指令性语言中,发现了三处“余数为0”的表述。
我知道,这样的表述既不是出现在正文中,又没有说明道理,不足以成为论据。
课本中没有,看来只有通过合理思辨和相关考证来达到为小学同仁解惑之目的了。
二、解惑所需的思辨 1.要用对立统一的观点看待0 众所周知,当盘子中连一个桃子都没有时,我们就说这盘中桃子的个数为0。
从这个意义上讲,0是空集的基数,0表示“没有”。
余数问题(二)
第十三讲余数问题余数问题我们已经学过了两讲，但那两讲主要都是应用余数性质去解决除法中的除数问题，今天我们要解决的是除法中的被除数问题—“中国剩余定理”。
本类形题的出题特点：已知两种或三种除数和余数的情况，求同时满足这些情况的被除数是多少。
例如：一个自然数除以4余3，除以9余4，除以6余1，求满足条件的最小三位数？本类形题的解题方法：根据余数的基本含义有：公倍加余法和公倍减余法。
根据同余的性质有：逐级满足法。
一、公倍加余法例：求满足除以3余1，除以4余1的最小两位数？分析：根据余数的定义我们知道，余数表示被除数除以除数时没有除尽，还多出来的一些数，所以满足除以3余1的数，应该都是3的倍数再加上1即可；同理，满足除以4余1的数，应该都是4的倍数再加上1即可。
那么如想两个都满足，我们只需要找到3,4的最小公倍数再加上这个都有的余数1就可以了，所以最小的两位数即为[3,4]+1=12+1=13二、公倍减余法例：求满足除以3余2，除以4余3的最小两位数？分析：根据余数的定义我们知道，这个数除以3余2，说明还差1个数就又是3的倍数了，则这样的数应该都是3的倍数再减1即可；同理，满足除以4余3的数，也是还差1个就又是4的倍数了，则这样的数应该都是4的倍数再减1即可。
那么如想两个都满足，我们只需要找到3,4的最小公倍数再减去1就可以了。
所以最小的两位数即为[3,4]-1=12-1=11三、逐级满足法例：求满足除以7余2，除以4余1，除以11余4的最小自然数？分析：此题没有余数相同的，也没有差相同的，则上述两种方法均不可用。
那么我们可以根据同余的性质逐级满足，最后求出同时满足三种情况的最小自然数。
过程如下：（1）满足除以7余2的数应该是7a+2这样的数，但这样的数又要除以4余1。
说明：7a+2除以4是余1的，即：7a+2≡1（mod4）7a+2≡5（mod4）7a≡5-2≡3（mod4）3a≡3（mod4）a=1则满足前两种情况（除以7余2，除以4余1）的最小数为：7×1+2=9则满足前两种情况（除以7余2，除以4余1）的所有数为：[7,4]×b+9（2）那么满足除以7余2，除以4余1应该是28b+9这样的数，但这样的数又要除以11余4。
有关余数可以为零的几点看法
有关余数可以为零的几点看法———一个看似毫无价值的问题在小学三、四年级数学中，出现过这样的问题:（）÷4=（）……（），余数有几个，答案中有3、4个，其中当然有0。
在四年级上册数学测试题中也有诸如（）÷5=（）……（），最大的余数是（），最小的余数是（），我们该给予怎样的结论？余数可以为0，最小的余数也是0吗？而在我们绝大多数老师的眼里，在传统的教学程式中，若说：“余数为0，便会引起全体教师辩驳。
”回答都是肯定的“余数为0，就是除尽了，余数为0，没有意义。
无可异议，最小的余数就不是0了，而是‘1’”。
“在整数除法中,余数可不可以为0?”带着这样的凝问，我查过：人教版义务教育课程《数学》,从一年级到六年级,里面专均无“余数可以为0”的表述。
在《现代汉语词典》(修订本)(商务印书馆, 1996 年 )我找到了对“余数”一词的解释:“整数除法中,被除数未被除数整除所剩的大于0而小于除数的部分。
如27÷6=4…3。
即不完全商是4,余数是3。
”这无疑表明余数不能为0。
我仔细地查阅了人教版全套小学数学课本及教学参考,确实没找到“余数可以为0”的明确表述,在三年级上册，下册第26页练习六第3题的指令性语言中,发现了三处“余数为0”的表述。
某数除以几、几、十、几百，最后被除数减去商与除数的乘积后，就为0。
这明明就说明了余数是0。
只不过表明已除尽或整除。
当然，即使也这，那也不能完全肯定“余数就为0”。
那么“余数能不能为0”？我认为“余数可以为0”。
一、关于“0”的说法新课程伊始，在通识培训中，我们的专家教授已对“0”有了新的说法：0是自然数。
在《小学数学本质的认识》中，张奠宙教授(华东师范大学教授)有这样一段话：首先，人的经验是，从无到有。
我们常说：“从零开始”、“零距离接触”，就表明0是最小的自然数。
再比方说，魔术师总是先交代两手空空，再变出一只兔于，然后是两只兔子......铅笔盒中本来是空的，然后装进一支铅笔、两支铅笔，等等。
人教版四年级数学下册第一二单元测试卷
第1单元跟踪检测卷
一、填一填。
(8题3分，其余每空1分，共20分)
1．()法是加法的逆运算，()法是乘法的逆运算。
2．小括号“()”是公元17世纪由()人吉拉特首先使用的。
3．在申办2022年冬奥会举办权的投票中，北京获得44票，阿拉木图比北京少获得4票，阿拉木图获得()票。
4. ÷12＝25……，余数最小是()，这时被除数是()；
余数最大是()，这时被除数是()。
5．在除法里()不能作除数；被减数等于减数，差是()。
6．根据□＋＝，△×＝○，○－＝※列出的综合算式是()。
7．计算68＋32×(21－5)时，先算()法，再算()法，最后算()法。
8．按照要求的运算顺序添括号。
第一步先算减法：368－20×15＋35
最后一步算乘法：368－20×15＋35
先算加法最后算乘法：159×132÷4＋62
9．乐乐看一本书，这本书一共有300页，乐乐每天看24页，已经看了9天，还剩下()页没有看。
10．小明在计算(28＋25)×3时，错算成了28＋25×3，这样与正确结果相差()。
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十进制中零论文
对于十进制中的零的一些讨论摘要：自从“0”划归自然数以后，小学数学的教学中关于“0”的一些问题相继出现了一些争论。
文章对此进行了探讨。
关键词：十进制；讨论；自然数中图分类号：g623.5 文献标识码：a 文章编号：1002-7661（2011）12-105-02自从“0”划归自然数以后，小学数学的教学中关于“0”的一些问题相继出现了一些争论，比如最小的一位数是“0”还是“1”的问题，“0”是不是偶数的问题，还有就是“约数和倍数”这单元的很多的知识都在老师们中有出现困惑和争议。
日常的教研活动，还是教师私下交流，都有许多教师提出疑问，引发了大家的讨论。
0”划归自然数。
首先说说什么是自然数：“用以计量事物的件数或表示事物次序的数。
即用数码1，2，3，4，……所表示的数。
自然数由1开始，一个接一个，组成一个无穷集合。
”序数理论是意大利数学家g.皮亚诺提出来的。
他总结了自然数的性质，用公理法给出自然数的如下定义：自然数集n是指满足以下条件的集合：①n中有一个元素，记作1。
②n中每一个元素都能在 n 中找到一个元素作为它的后继者。
③1不是任何元素的后继者。
④不同元素有不同的后继者。
⑤（归纳公理）n的任一子集m，如果1∈m，并且只要x在m中就能推出x的后继者也在n中，那么m=n。
基数理论则把自然数定义为有限集的基数，这种理论提出，两个可以在元素之间建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特征，这一特征叫做基数。
这样，所有单元素集{x}，{y}，{a}，{b}等具有同一基数，记作1。
类似，凡能与两个手指头建立一一对应的集合，它们的基数相同，记作2，等等。
自然数的加法、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。
“0”是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从“0”开始算起。
目前关于这个问题尚无一致意见。
不过，在数论中，多采用前者；在集合论中，则多采用后者。
从最小的余数是几说起
从最小的余数是几说起
从最小的余数说起，首先我们需要了解什么是余数。
在数学中，余数是一个除法算式中未被整除的部分。
当我们将7除以3时，商为2余1，其中1就是余数。
最小的余数是1，这是因为当我们用任何一个正整数去除以1时，余数都是0。
也就是说，1可以被任何正整数整除，而没有任何余数。
接下来，我们来考虑最小的余数是2。
当我们用一个正整数去除以2时，余数可以是0或者1。
只有当这个正整数是偶数时，余数才会是0，否则余数就是1。
所以，最小的余数2要求被除数是一个偶数。
依次类推，我们可以继续寻找最小的余数4、5、6...直到无穷大。
因为正整数没有上限，所以余数的最小值也没有上限。
每个余数都有其特定的性质和规律，对于研究数学和解决实际问题都有重要的意义。
在实际应用中，我们经常使用余数来解决一些问题。
当我们在购物时，可以用余数来确定还剩下多少钱；在编程中，可以用余数来判断一个数是否是偶数、奇数，或者一个数是否能被另一个数整除。
最小的余数是1，而余数的最小值没有上限。
通过对余数的研究和应用，我们可以深入理解数学的奥妙，并将其运用到实际问题中，为我们的生活和工作带来便利和效益。
从最小的余数是几说起
从最小的余数是几说起余数这个概念在数学中扮演着重要的角色，它是做除法时得到的未被整除的部分。
余数，在数学上其定义是：两个整数a和b，如果用a除以b商得到c余数得到d，即a÷b=c......d。
其中的d就是余数。
余数在数学运算中有着重要的应用，在数论、代数等领域都有其独特的作用。
今天我们就从最小的余数是几来探讨这一概念。
我们来看最小的余数是多少。
最小的余数是除数减去1，就是当被除数可以被除数整除时余数为0，不能被整除时余数是除数-1。
这是最小的余数。
27 ÷ 5 = 5......2，这时候的余数为2，而5-1=4，所以最小的余数为4。
余数的概念是一个简单而又重要的概念，它在数学运算、解题、几何等方面都有涉及到。
余数在数论中有着非常重要的地位。
在数论中，余数与模运算有着密切的关系。
模运算就是取余数的运算，即a mod b的意思是a除以b的余数。
模运算在密码学、计算机科学、编程等领域都有着广泛的应用。
而使得模运算得以应用的核心就是余数的概念。
当我们做编程的时候，常常会用到取余数的操作，例如判断一个数是奇数还是偶数、计算两个数的最大公约数等都会用到余数的概念。
在代数中，余数也有着重要的作用。
在多项式的除法中，我们也会用到余数的概念。
多项式除法是对多个代数式进行的按除式的除法。
多项式亦可以利用一种名为辗转相除法的方法，通过不断迭代使位置次数逐渐降低而逐步化成为代数式。
当我们在求多项式的商和余数时，就会用到余数的概念。
这个过程实际上与整数的除法类似，只不过多项式的除法是在代数领域中进行的。
通过多项式的除法求得的余数有着一定的性质和特点，这些性质和特点在代数运算中有着重要的应用。
在几何学中，余数也会有一定的应用。
在几何图形的排列、旋转、摆放等方面，我们也会涉及到余数的概念。
在计算几何中，对图形进行排列和布局时，余数的概念会有着一定的作用。
通过余数的计算，我们可以对图形的布局和摆放进行更加合理的安排，使得图形之间的关系更加协调和美观。
从最小的余数是几说起
从最小的余数是几说起
余数是数学中的一个概念，通常指在整数除法中，被除数中未被整除的部分。
例如，5除以2的商是2，余数是1。
在日常生活中，我们经常会用到余数的概念。
比如我们去超市买东西，如果我们要买10个苹果，但超市只卖3个一袋的话，我们最后是要剩余1个苹果的。
这个剩余的1就是10除以3的余数。
那么问题来了，从最小的余数是几说起呢？其实从0开始说起相对会更好理解一些。
当我们进行2除以3的运算时，因为2小于3，所以商为0，余数为2。
3除以3的商为1，余数为0。
4除以3的商还是1，余数为1。
5除以3的商为1，余数为2。
依次类推，不难得出0、1、2、0、1、2……这样的序列。
因此，当我们从最小的余数0开始说起时，对于任意一个正整数，它除以3的余数一定是0、1或2中的一个。
另一方面，如果我们要求一个数的所有余数，就可以用余数环的概念来解决。
对于一个正整数n和另一个正整数m，它们的余数环包括了所有的n除以m的余数，也就是0到m-1之间的所有整数。
举个例子，当n为3，m为7时，它们的余数环包括了0、1、2、3、4、5、6这七个数。
余数的概念不仅在数学中有着广泛的应用，也在计算机科学和密码学等领域中扮演着重要的角色。
在计算机中，余数通常是通过对数进行取模来获得的。
例如，我们可以用13对97进行取模，得到的余数为6，这个余数常常被用来进行数据加密和校验。
总之，从最小的余数0开始说起，我们可以更好地理解余数的概念，从而运用它在不同领域中的应用。
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最小的余数是1还是0？最小的余数是1还是0？这个问题你选择哪个答案？当除数是6，余数可以是几？你是填0——5，还是1——5？这都涉及余数可不可以是0的问题。
教材中余数是0被认为是没有余数，1被认为是最小的余数。
但实验教材有不同的理解。
下面的文章我觉得在所有的参考资料中说得是比较清楚明白的，推荐给同仁们参考。
【转】浅谈在整数除法中余数可以为零一、困扰教师的问题不少小学数学教师问过我这样一个问题:“在整数除法中,余数可不可以为0?”这个问题早有定论,于是我不假思索地肯定作答:“余数当然可以为0。
”不料对于这一答案,他们并不同意,其理由如下: 第一,人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》,从一年级上册到六年级下册,里面均无“余数可以为0”的表述。
第二,《现代汉语词典》(修订本)(商务印书馆, 1996 年)第1553页对“余数”一词的解释为:“整数除法中,被除数未被除数整除所剩的大于0而小于除数的部分。
如27÷6=4…3。
即不完全商是4,余数是3。
”这就表明余数不能为0。
在数学课本中找不到“余数可以为0”的论述,而在词典中却找到了“余数不能为0”的证据,难怪让他们对我的答案持怀疑态度。
面对这样一个困扰小学数学界同仁的问题,该怎样来正本清源呢?我仔细地查阅了人教版全套小学数学课本,确实没找到“余数可以为0”的表述,只在三年级下册第26页练习六第3题的指令性语言中,发现了三处“余数为0”的表述。
我知道,这样的表述既不是出现在正文中,又没有说明道理,不足以成为论据。
课本中没有,看来只有通过合理思辨和相关考证来达到为小学同仁解惑之目的了。
二、解惑所需的思辨1、要用对立统一的观点看待0众所周知,当盘子中连一个桃子都没有时,我们就说这盘中桃子的个数为0。
从这个意义上讲,0是空集的基数,0表示“没有”。
然而,0又是一个确定的数,它是自然数列的起始数,它既不是正数,也不是负数,它是唯一的中性数。
从这个意义上讲,0又表示“有”。
这一点不难理解。
比方说,小明在黑板上写了一个“0”,你总不能说他什么都没写吧!再比方说,某地某时的气温为0摄氏度,你总不能说该地该时没有温度吧!所以,我们应该用对立统一的辩证观点看待0,懂得0既可表示“无”,又可表示“有”。
用这一观点考察整数除法,我们不难发现,当15÷5时,得到整数商3,既可以说“没有余数”,也可以说“余数为0”,这两种说法是完全等价的,因而都是正确的。
2、要用发展变化的观点看待概念间的关系人们对数学概念的认识并非一成不变的,而是处于不断发展变化之中的。
例如,“整数”与“分数”最初是两个并列的概念,它们相互排斥,泾渭分明,不容混淆。
然而,出于数学自身发展的需要,后来,人们又把整数看做是分母为1,分子为该整数的假分数,如3=3/1,65=65/1。
这样一来,“分数”的外延就扩大了,“整数”与“分数”的关系也由并列关系转变为包含关系。
“整数”成了“分数”的特例,整数集成了分数集的真子集。
原先,整数集与分数集之并集才是有理数集,后来,这种广义的分数集实际上就是有理数集了。
与此类似,人们研究整数除法时,先研究被除数能被除数整除的情形,如15÷5,正好得到整数商3,记作15÷5=3。
后来才研究有余数的情形,如16÷5,得到不完全商3后还余1,记作16÷5=3…1。
起初,“整除”与“有余数的除法”也是并列而互斥的概念,前者没有余数,后者有余数,互不相容。
后来,为了研究的方便,人们干脆把“有余数的除法”的外延扩大,让它把原先的两个概念一并囊括。
因为这很容易办到:只要把“整除”时的“没有余数”看做“余数为0”即可。
这样一来,“整除”就成了“有余数的除法”的特例,“整除”与“有余数的除法”也就顺理成章地由对立变成统一,二者统一于广义的“有余数的除法”之中。
3、“余数为0”的说法有据可查事实上,“余数为0”的提法早已被数学界认可。
⑴《小学数学教师手册》(人民教育出版社,1982年)第49页有如下表述:“判定一个整数能不能被另一个正整数整除,只需进行除法运算即可。
如果所得的余数为0,就是整除的情况;如果所得的余数不为0,就是不能整除的情况。
例如:①a=91,b=13。
a÷b=91÷13,商7余0。
这表明91=13×7。
即91能被13整除。
②a=97,b=19。
97÷19商5余2。
所以97不能被19整除。
一般地,对于整数a和正整数b,如果进行除法a÷b得商q,余数为r,就有a=bq+r。
其中0≤r⑵《数学手册》(人民教育出版社,1979年)第1057页“数论”的“辗转相除法”中,有如下表述:“每一个整数a可以唯一地通过正整数b表示为a=bq+r, 0≤r上述不等式0≤r值得注意的是,“辗转相除法”又称“欧几里得算法”,我国宋代数学家秦九韶早在公元1247年即在其著作《数书九章》中,对这一算法进行过卓有成效的研究。
⑶《数学手册》(人民教育出版社,1979年)第1066页“数论”的“同余式”中,有如下表述:“设以m为模,则可将全体整数分为m个类,同类的数都同余,不同类的数都不同余,称这样的类为同余类,每类中各取一数为代表,例如:0,1,2,…,m-1构成一个完全剩余类。
”由此易知,在以0为代表的这个剩余类中,每个数除以m,所得的余数均为0。
也就是说,此类数中的每一个都是m的倍数。
事实上,我们不仅从剩余类的理论中,看到了对“余数为0”的认可,还可以运用剩余类的理论和“抽屉原理”来解答一类有关整除性的题目。
载有这类题目并给出解答的数学书籍比比皆是,下面举一例。
求证:在任意四个整数中,必有这样的两个数,它们的差能被3整除。
证明:因为任何整数除以3,所得余数只可能是0,1,2三种。
也就是说,所有整数按其除以3所得余数来分,可分为余数分别为0,1,2的三个剩余类。
把每个剩余类都看做一个抽屉,三个剩余类就是三个抽屉。
根据“抽屉原理”,把四个整数放进三个抽屉,至少有一个抽屉里会有两个整数。
这两个整数既属同一个剩余类,它们除以3所得的余数必然相同,故其差除以3所得的余数必为0,也就是说,这个差必能被3整除。
三、教材修改的建议综上所述,在整数除法中,余数的确是可以为0的。
但在现行的人教版小学数学教材中,对此却完全不予涉及,遂令在教学中起主导作用的教师迷茫不解,实在没有道理。
由此观之,教材必须修改。
1、教材修改的重要意义⑴有利于学生认识0的双重意义,知道0既可表示“无”,又可表示“有”。
使用修改后的教材教学,能让学生初步感知对立统一的辩证思想。
⑵有利于学生用发展变化的辩证唯物主义观点认识概念间的关系,知道当学习了“有余数的除法”后,原来的“整除”(包括“表内除法”)可以看做是“有余数的除法”的特例,由此理解“特殊”与“一般”的关系。
⑶有利于学生后续的数学学习。
2、教材修改的具体意见⑴要明确指出“没有余数”就是“余数为0”。
人教版小学数学三年级上册第四单元“有余数的除法”第50页例题1为:“搬15盆花布置会场,每组摆5盆,可以摆几组?”解答此题的横式为15÷5=3(组)。
接着,课本上还列出了竖式。
这道例题显然起着承上启下的作用:既承接二年级下册的“表内除法”,又由此介绍除法竖式,为“有余数的除法”的教学作铺垫。
第51页例题2是:“一共有23盆花,每组摆5盆,最多可以摆4组,还多3盆。
”这是“有余数的除法”的首个例题。
解答时,课本上先列出横式: 23÷5=4(组)……3(盆)。
再在横式下方列出竖式,并用虚线将两个式子中的3连接,标上“余数”二字。
课本上述编排颇具匠心,但还应作点补充。
建议在这两道例题后面,不失时机地编排一段对“0”的辩证认识的文字,让学生懂得:“0”虽然表示“没有”,但它同时又是一个确定的数,从这个意义上讲,“0”也表示“有”。
紧接着,还要引导学生对这两道例题的竖式进行观察和比较,发现例题1竖式中最下面的“0”与例题2竖式最下面的“3”处于相同的位置,“3”既表示余数,“0”也可看成是余数。
过去我们说15÷5恰好等于3,“没有余数”,现在我们也可说15÷5,商为3,“余数为0”。
相信这样处理,学生能在轻松愉快中接受辩证唯物主义思想的启蒙教育。
⑵要明确指出除数为a时,共有a种不同的余数:0,1,2,…,a-1。
三年级上册第52页例题3为:“如果上例中一共有16盆花,可以摆几组?多几盆?如果是17盆,18盆,…,24盆,25盆呢?”课本上列出了一组式子:15÷5=3(组)16÷5=3(组)……1(盆)17÷5=3(组)……2(盆)18÷5=3(组)……3(盆)19÷5=3(组)……4(盆)20÷5=□(组)21÷5= □(组)……□(盆)22÷5= □(组)……□(盆)23÷5=24÷5=25÷5=在这组式子的右边,提了一个问题:“观察余数和除数,你发现了什么?”旨在引导学生发现“余数小于除数”的结论。
此题编得不错,无须大改。
关键是要增加一段文字,要告诉学生:“15÷5=3(组)”也可写作“15÷5=3(组)……0(盆)”。
这样,展现在学生面前的余数就有0,1,2,3,4五种,就不会由于余数0的隐匿,而使学生误认为“一个整数除以5,只有1,2,3,4四种余数”了。
到四年级学习了“用字母表示数”后,课本还应当用更具概括性的语言告诉学生:在整数除法中,如果除数是a,则余数只能是0,1,2,…,a-1,一共有a种。
当今时代,数学不仅作为工具,发挥着越来越重要的作用,而且,数学作为一种文化,也日益深入人心。
近年来,人们对0的双重意义的认识越来越到位了。
这不,没有距离被称作“零距离”;不收关税被称作“零关税”。
把没有误差称作“零误差”;把没有风险称为“零风险”。
而像“零增长”“零收益”“零亏损”“零排放”“零损耗”“零学费”“零片酬”“零首付”“零月租”“零利息”之类的提法早已见诸各媒体。
随着时间的推移,像这类以“零××”为模式的词汇还在不断地诞生。
前些时候,美国国务卿希拉里·克林顿由于不满下属的荒唐行为,还首创了“零忍耐”一词,令人颇感新鲜。
“0”本是数学中的元素,在数学的整数除法中,又实实在在地存在着余数为0的现象,而为什么在我们的小学数学教科书上,反倒连一个“零余数”都不敢提呢?这真是:墙外百花齐放,墙内掖掖藏藏。
令人不解其意,空自扼腕嗟伤!教科书是师生进行教学活动的重要资源和主要依据,该说清的一定要说清,该指明的一定要指明。
一切都要为学生的发展着想。
千万别把一些该让孩子们知道的数学知识“坚壁清野”,而且还藏得那么干净彻底,藏得那么了无痕迹,让教师都困扰莫名。